aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/parzyl
diff options
context:
space:
mode:
authorJoshua Baer <joshua.baer@ost.ch>2022-08-22 17:42:29 +0200
committerJoshua Baer <joshua.baer@ost.ch>2022-08-22 17:42:29 +0200
commitd546d792e9019b975407c5308fcedcc6caf5ec6e (patch)
treeec4b43014c61c14ce06665738def00f4124361d8 /buch/papers/parzyl
parentsave (diff)
parentMerge pull request #63 from NaoPross/master (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-d546d792e9019b975407c5308fcedcc6caf5ec6e.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-d546d792e9019b975407c5308fcedcc6caf5ec6e.zip
Merge branch 'master' of github.com:JODBaer/SeminarSpezielleFunktionen
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.pngbin0 -> 209118 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/coordinates.pngbin0 -> 1215422 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/references.bib9
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex29
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex14
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex70
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex14
7 files changed, 89 insertions, 47 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
new file mode 100644
index 0000000..f55e3cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
new file mode 100644
index 0000000..0ea3701
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 390d5ed..9639d0b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -65,4 +65,13 @@
year = {2022},
month = {8},
day = {17}
+}
+
+@online{parzyl:scalefac,
+ title = {An introduction to curvlinear orthogonal coordinates},
+ url = {http://dslavsk.sites.luc.edu/courses/phys301/classnotes/scalefactorscomplete.pdf},
+ date = {2022-08-18},
+ year = {2022},
+ month = {08},
+ day = {18}
} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 8be936d..3bf9257 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -19,8 +19,8 @@ Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
\Delta f = \lambda f
\end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator.
-Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator.
+Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung
\begin{equation}
\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t)
=
@@ -73,34 +73,35 @@ Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein kr
bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
- x & = \sigma \tau \\
+ x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
\label{parzyl:coordRelationsa}
- y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
+ y & = \sigma \tau\\
z & = z.
\label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
+Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
+ x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
und
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
+ x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
\end{equation}
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
- \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein
- konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
+ \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png}
+ \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein
+ konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.}
\label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
-Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
+Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
-können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
kann im kartesischen Koordinatensystem mit
@@ -123,11 +124,11 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+ = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+ = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 13d8109..0e1ad1b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -13,13 +13,13 @@ Die Lösung ist somit
i(z)
=
A\cos{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \left ( z
+ \sqrt{\lambda + \mu}
\right )}
+
B\sin{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \left ( z
+ \sqrt{\lambda + \mu}
\right )}.
\end{equation}
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
@@ -51,7 +51,7 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
M_{k, -m} \left(x\right)
\end{equation*}
gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
- von der Whittaker Differentialgleichung
+ der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d x^2} +
\biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
@@ -94,8 +94,8 @@ $w$ als Lösung haben.
% ({\textstyle \frac{3}{4}}
% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
%\end{align}
-
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für
+\subsection{Standardlösungen}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für
\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils
unterschiedlich geschrieben wird.
Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 573432a..0cf4283 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -9,15 +9,27 @@
Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
- \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
- \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+ \centering
+ \begin{minipage}{.7\textwidth}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+ \end{minipage}%
+ \begin{minipage}{.25\textwidth}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+ \end{minipage}
\end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
+
Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
- F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+ F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
\begin{equation}
@@ -49,23 +61,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt
0
}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
\end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+
Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
\begin{equation}
\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+
+
Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
\begin{equation}
\phi(x,y) = U(x,y).
\end{equation}
-Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
\begin{equation}
E(x,y) = V(x,y).
\end{equation}
+
+
Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete
komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
F(s)
@@ -83,22 +103,34 @@ Dies kann umgeformt werden zu
i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
.
\end{equation}
+
+
Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
- \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+ c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\begin{equation}
- \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
-\begin{equation}
- x = \sigma \tau,
-\end{equation}
-\begin{equation}
- y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
-\end{equation}
-so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file
+\begin{align}
+ x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
+ y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 166eebf..1b59ed9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,9 +12,9 @@
%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
\begin{align}
w_1(\alpha,x)
&=
@@ -51,7 +51,7 @@ und
=
xe^{-\frac{x^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
- \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
&=
e^{-\frac{x^2}{4}}
@@ -67,9 +67,9 @@ und
\end{align}
sind.
Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen.
-Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden
und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
\alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{equation}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
-Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
\subsection{Ableitung}