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author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-08-23 22:33:40 +0200 |
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-rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 83 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex new file mode 100644 index 0000000..bef8a39 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -0,0 +1,83 @@ +% +% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen +% Author: Erik Löffler +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Eigenschaften von Lösungen +\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften +zustande kommen. + +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet +wurde, noch etwas genauer angeschaut. +Es wird also im Folgenden +\[ + L_0 + = + -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} +\] +zusammen mit den Randbedingungen +\[ + \begin{aligned} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \end{aligned} +\] +verwendet. +Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +selbsadjungiert zu machen. +Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies +für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. + +\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} + +Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. + +Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix +diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. + +Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu +zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass +\[ + \langle Av, w \rangle + = + \langle v, Aw \rangle +\] +für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt. +Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden. +Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt. + +Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das +Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist. +Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des +Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den +Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden. +Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen, +also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +falls er selbstadjungiert ist. + +\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} + +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen +des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des +Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. + +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen +Basisfunktionen ist.
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