Was ist das Sturm-Liouville-Problem

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index ec37a3f..7d39cf4 100644
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@@ -23,17 +23,30 @@ und schreibt die Gleichung um in:
 
 diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet.
 Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
-Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen
+Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
 
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	\label{ali:randbedingungen}
+	\label{eq:randbedingungen}
 	k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
 	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
 \end{aligned}
 \end{equation}
- 
+
 kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
+Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind,also
+
+\begin{equation}
+	y(a) = y(b) = 0
+\end{equation}
+
+, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
+
+\begin{equation}
+	y'(a) = y'(b) = 0
+\end{equation}
+
+ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden
 Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{ali:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
 Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles  konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
 der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
@@ -53,10 +66,37 @@ Somit ergibt die Gleichung
 	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0
 \end{equation}.
 
-Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
+Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. 
+Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben.
+
+\subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
+Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
+
+\begin{itemize}
+	\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
+	\item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein.
+	\item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$.
+	\item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
+\end{itemize}
+
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können.
+
 
+\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
+Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die oben genannten Bedingungen nicht erfüllt sind, d.h:
 
+\begin{itemize}
+	\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
+	\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
+\end{itemize}
 
+Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
+Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
+Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerte, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
+Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.