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path: root/buch/papers/sturmliouville
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authorErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-07-28 16:22:07 +0200
committerErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-07-28 16:22:07 +0200
commit2fa5e32a5bbb88cb0f676ac080f0bef54623599e (patch)
tree3e91374fc577679630f8daf5aa51e472c283d5a8 /buch/papers/sturmliouville
parentAdded solutions for heat conduction. (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-2fa5e32a5bbb88cb0f676ac080f0bef54623599e.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-2fa5e32a5bbb88cb0f676ac080f0bef54623599e.zip
Added solution for T(t) in fourier example.
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex31
1 files changed, 28 insertions, 3 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index a493749..b25fc89 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -71,19 +71,20 @@ als Randbedingungen.
% TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet.
-
+die Separationsmethode verwendet. Dazu wird
\[
u(t,x)
=
T(t)X(x)
\]
-Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt:
+in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich
\[
T^{\prime}(t)X(x)
=
\kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
\]
+als neue Form.
+
Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
@@ -107,6 +108,30 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
0
\]
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in
+Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
+die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage
+getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein
+werden.
+
+Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
+charakteristische Polynom
+\[
+ \lambda - \kappa \mu
+ =
+ 0.
+\]
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+ T(t)
+ =
+ e^{\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+
+Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen.
+
% TODO: Rechenweg
TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
\[