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index 0000000..db41676
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+\section{Zusammenhang mit der Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
+
+In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
+
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+\begin{equation*}
+    \Gamma(s)
+    =
+    \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt,
+\end{equation*}
+wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist.
+Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
+\begin{align*}
+    \Gamma(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty} n^{s-1}u^{s-1} e^{-nu} n \,du \\
+    &=
+    \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
+\end{align*}
+Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+\begin{equation*}
+    \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+    =
+    \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu} \,du,
+\end{equation*}
+welche sich zur Zetafunktion summieren
+\begin{equation}
+    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+    =
+    \Gamma(s) \zeta(s)
+    =
+    \int_0^{\infty} u^{s-1}
+    \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
+    \,du.
+    \label{zeta:equation:zeta_gamma1}
+\end{equation}
+Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
+\begin{align}
+    \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
+    &=
+    \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
+    -
+    1
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{e^u - 1}.
+\end{align}
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang
+\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
+    \zeta(s)
+    =
+    \frac{1}{\Gamma(s)}
+    \int_0^{\infty}
+    \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
+    du \qed
+\end{equation}