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authorErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-17 15:47:34 +0200
committerErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-17 15:47:34 +0200
commit030aa1f0d5bb3020c909ff7cedd102ea5ff69927 (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex32
1 files changed, 18 insertions, 14 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 85f0bf3..bef8a39 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -37,31 +37,35 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in
+Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in
den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
-endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass
+
+Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu
+zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
\[
\langle Av, w \rangle
=
\langle v, Aw \rangle
\]
-für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
-Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
-Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
+Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
-Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
-$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
-Orthonormalsystem existiert.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
+Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
+Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
+Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
+Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
+Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
+also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+falls er selbstadjungiert ist.
\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}