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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
index c0a6e8f..82046ba 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -3,12 +3,3 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Beispiele 
-\label{sturmliouville:sec:examples}}
-\rhead{Beispiele}
-
-% Fourier: Erik work
-\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
-
-% Tschebyscheff
-\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 6c5fb59..9912595 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -36,7 +36,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
 als
 \begin{equation}
 	\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+	\frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) +
 	\lambda w(x)) y
 	=
 	0 
@@ -49,12 +49,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
 Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
-Differentialgleichung genau zu bestimmen.
+Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen.
 Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index a36e85a..9d4ce96 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -23,12 +23,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das
 Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem
 vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind.
 
-\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
-\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
+
 %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems
-\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex}
-%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome
+\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+
+% Fourier: Erik work
+\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
+
+% Tschebyscheff
+\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index dfc6798..d5c2dc6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
@@ -14,7 +14,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
 Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
 kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
 
-\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
@@ -25,8 +25,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
-	(0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+	\frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) +
+	\biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y
 	=
 	0 
 \end{equation}
@@ -34,7 +34,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
-\subsubsection*{Randwertproblem}
+\subsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
 Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
@@ -61,7 +61,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -89,14 +89,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
 	illustriert.
 	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
 	\[
-		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0.
 	\]
 	Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
 	\begin{aligned}
 	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
-	\lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+	\biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\
 	&= 0.
 	\end{aligned}
 	\]
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 356e259..f888d02 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
+\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
 (Wärmeleitung)}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
@@ -34,7 +34,7 @@ Tempreatur gehalten werden.
 %
 % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
 %
-\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
@@ -54,7 +54,7 @@ als Randbedingungen.
 % Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
 %
 
-\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
+\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
 Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
 $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
@@ -80,7 +80,7 @@ als Randbedingungen.
 % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+\subsection{Lösung der Differenzialgleichung}
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
 die Separationsmethode verwendet.
@@ -191,7 +191,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -360,10 +360,10 @@ wie auch mit isolierten Enden
 \end{equation}
 
 % TODO: infinite base vectors and fourier series
-\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
+\subsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
 
 % TODO: check ease of reading
-\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
+\subsection{Berechnung der Koeffizienten}
 
 % TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
 
@@ -625,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch
 % Lösung von T(t) 
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -656,7 +656,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
 % TODO: elaborate
 
-\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
@@ -670,7 +670,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 \end{aligned}
 \]
 
-\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
+\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)