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author: Patrik Müller <36931350+p1mueller@users.noreply.github.com> 2022-07-19 07:55:33 +0200
committer: GitHub <noreply@github.com> 2022-07-19 07:55:33 +0200
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index 75ba410..d7bc769 100644
--- a/buch/papers/dreieck/main.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/main.tex
@@ -3,19 +3,21 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Dreieckstest und Beta-Funktion\label{chapter:dreieck}}
-\lhead{Dreieckstest und Beta-Funktion}
+\chapter{$\int P(t) e^{-t^2} \,dt$ in geschlossener Form?
+\label{chapter:dreieck}}
+\lhead{Integrierbarkeit in geschlossener Form}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Andreas Müller}
 
 \noindent
-Mit dem Dreieckstest kann man feststellen, wie gut ein Geruchs-
-oder Geschmackstester verschiedene Gerüche oder Geschmäcker
-unterscheiden kann.
-Seine wahrscheinlichkeitstheoretische Erklärung benötigt die Beta-Funktion,
-man kann die Beta-Funktion als durchaus als die mathematische Grundlage
-der Weindegustation
-bezeichnen.
+Der Risch-Algorithmus erlaubt, eine definitive Antwort darauf zu geben,
+\index{Risch-Algorithmus}%
+\index{elementare Stammfunktion}%
+ob eine elementare Funktion eine Stammfunktion in geschlossener Form hat.
+Der Algorithmus ist jedoch ziemlich kompliziert.
+In diesem Kapitel soll ein spezieller Fall mit Hilfe der Theorie der
+orthogonale Polynome, speziell der Hermite-Polynome, behandelt werden,
+wie er in der Arbeit \cite{dreieck:polint} untersucht wurde.
 
 \input{papers/dreieck/teil0.tex}
 \input{papers/dreieck/teil1.tex}
diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib
index d2bbe08..47bd865 100644
--- a/buch/papers/dreieck/references.bib
+++ b/buch/papers/dreieck/references.bib
@@ -4,32 +4,12 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{dreieck:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
-	day = {6}
+@article{dreieck:polint,
+	author = { George Stoica },
+	title = { Polynomials and Integration in Finite Terms },
+	journal = { Amer. Math. Monthly },
+	volume = 129,
+	year = 2022,
+	number = 1,
+	pages = {80--81}
 }
-
-@book{dreieck:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
-}
-
-@article{dreieck:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
-}
-
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
index bcf2cf8..f9affe7 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil0.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
@@ -3,7 +3,48 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Testprinzip\label{dreieck:section:testprinzip}}
-\rhead{Testprinzip}
+\section{Problemstellung\label{dreieck:section:problemstellung}}
+\rhead{Problemstellung}
+Es ist bekannt, dass das Fehlerintegral
+\[
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2\sigma}}\,dt
+\]
+nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann.
+Mit der in Kapitel~\ref{buch:chapter:integral} skizzierten Theorie von
+Liouville und dem Risch-Algorithmus kann dies strengt gezeigt werden.
 
+Andererseits gibt es durchaus Integranden, die $e^{-t^2}$ enthalten,
+für die eine Stammfunktion in geschlossener Form gefunden werden kann.
+Zum Beispiel folgt aus der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{-t^2}
+=
+-2te^{-t^2}
+\]
+die Stammfunktion
+\[
+\int te^{-t^2}\,dt
+=
+-\frac12 e^{-t^2}.
+\]
+Leitet man $e^{-t^2}$ zweimal ab, erhält man
+\[
+\frac{d^2}{dt^2} e^{-t^2}
+=
+(4t^2-2) e^{-t^2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\int (t^2-{\textstyle\frac12}) e^{-t^2}\,dt
+=
+{\textstyle\frac14}
+e^{-t^2}.
+\]
+Es gibt also viele weitere Polynome $P(t)$, für die der Integrand
+$P(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener Form hat.
+Damit stellt sich jetzt das folgende allgemeine Problem.
+
+\begin{problem}
+\label{dreieck:problem}
+Für welche Polynome $P(t)$ hat der Integrand $P(t)e^{-t^2}$
+eine elementare Stammfunktion?
+\end{problem}
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
index 4abe2e1..45c1a23 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -3,9 +3,92 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
-\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
-\rhead{}
+\section{Hermite-Polynome
+\label{dreieck:section:hermite-polynome}}
+\rhead{Hermite-Polyome}
+In Abschnitt~\ref{dreieck:section:problemstellung} hat sich schon angedeutet,
+dass die Polynome, die man durch Ableiten von $e^{-t^2}$ erhalten
+kann, bezüglich des gestellten Problems besondere Eigenschaften
+haben.
+Zunächst halten wir fest, dass die Ableitung einer Funktion der Form
+$P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ 
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} P(t)e^{-t^2}
+=
+P'(t)e^{-t^2} -2tP(t)e^{-t^2}
+=
+(P'(t)-2tP(t)) e^{-t^2}
+\label{dreieck:eqn:ableitung}
+\end{equation}
+ist.
+Insbesondere hat die Ableitung wieder die Form $Q(t)e^{-t^2}$
+mit einem Polynome $Q(t)$, welches man auch als
+\[
+Q(t)
+=
+e^{t^2}\frac{d}{dt}P(t)e^{-t^2}
+\]
+erhalten kann.
 
+Die Polynome, die man aus der Funktion $H_0(t)=e^{-t^2}$ durch
+Ableiten erhalten kann, wurden bereits in
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues}
+bis auf ein Vorzeichen hergeleitet, sie heissen die Hermite-Polynome 
+\index{Hermite-Polynome}%
+und es gilt
+\[
+H_n(t) 
+=
+(-1)^n
+e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} e^{-t^2}.
+\]
+Das Vorzeichen dient dazu sicherzustellen, dass der Leitkoeffizient
+immer $1$ ist.
+Das Polynom $H_n(t)$ hat den Grad $n$.
+
+In Abschnitt wurde auch gezeigt, dass die Polynome $H_n(t)$
+bezüglich des Skalarproduktes
+\[
+\langle f,g\rangle_{w}
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t)e^{-t^2}\,dt,
+\qquad
+w(t)=e^{-t^2},
+\]
+orthogonal sind.
+Ausserdem folgt aus \eqref{dreieck:eqn:ableitung}
+die Rekursionsbeziehung
+\begin{equation}
+H_{n}(t)
+=
+2tH_{n-1}(t)
+-
+H_{n-1}'(t)
+\label{dreieck:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+für $n>0$.
+
+Im Hinblick auf die Problemstellung ist jetzt die Frage interessant,
+ob die Integranden $H_n(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener
+Form haben.
+Mit Hilfe der Rekursionsbeziehung~\eqref{dreieck:eqn:rekursion}
+kann man für $n>0$ unmittelbar verifizieren, dass
+\begin{align*}
+\int H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+&=
+\int \bigl( 2tH_{n-1}(t) - H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt
+\\
+&=
+-\int \bigl( \exp'(-t^2) H_{n-1}(t) + H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt
+\\
+&=
+-\int \bigl( e^{-t^2}H_{n-1}(t)\bigr)' \,dt
+=
+-e^{-t^2}H_{n-1}(t)
+\end{align*}
+ist.
+Für $n>0$ hat also $H_n(t)e^{-t^2}$ eine elementare Stammfunktion.
+Die Hermite-Polynome sind also Lösungen für das
+Problem~\ref{dreieck:problem}.
 
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
index 83ea3cb..8e89f6a 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil2.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
@@ -3,7 +3,113 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Wahrscheinlichkeiten im Dreieckstest
-\label{dreieck:section:wahrscheinlichkeiten}}
-\rhead{Wahrscheinlichkeiten}
+\section{Beliebige Polynome
+\label{dreieck:section:beliebig}}
+\rhead{Beliebige Polynome}
+Im Abschnitt~\ref{dreieck:section:hermite-polynome} wurden die
+Hermite-Polynome $H_n(t)$ mit $n>0$ als Lösungen des gestellten
+Problems erkannt.
+Eine Linearkombination von solchen Polynomen hat natürlich
+ebenfalls eine elementare Stammfunktion.
+Das Problem kann daher neu formuliert werden:
+
+\begin{problem}
+\label{dreieck:problem2}
+Welche Polynome $P(t)$ lassen sich aus den Hermite-Polynomen
+$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren?
+\end{problem}
+
+Sei also
+\[
+P(t) = p_0 + p_1t + \ldots + p_{n-1}t^{n-1} + p_nt^n
+\]
+ein beliebiges Polynom vom Grad $n$.
+Eine elementare Stammfunktion von $P(t)e^{-t^2}$ existiert sicher,
+wenn sich $P(t)$ aus den Funktionen $H_n(t)$ mit $n>0$ linear
+kombinieren lässt.
+Gesucht ist also zunächst eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination
+von Hermite-Polynomen.
+
+\begin{lemma}
+Jedes Polynome $P(t)$ vom Grad $n$ lässt sich auf eindeutige Art und
+Weise als Linearkombination
+\begin{equation}
+P(t) = a_0H_0(t) + a_1H_1(t) + \ldots + a_nH_n(t)
+=
+\sum_{k=0}^n a_nH_n(t)
+\label{dreieck:lemma}
+\end{equation}
+von Hermite-Polynomen schreiben.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst halten wir fest, dass aus der
+Rekursionsformel~\eqref{dreieck:eqn:rekursion}
+folgt, dass der Leitkoeffizient bei jedem Rekursionsschnitt
+mit $2$ multipliziert wird.
+Der Leitkoeffizient von $H_n(t)$ ist also $2^n$.
+
+Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion.
+Für $n=0$ ist $P(t)=p_0 = p_0 H_0(t)$ als Linearkombination von
+Hermite-Polynomen darstellbar, dies ist die Induktionsverankerung.
+
+Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an,
+dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als
+Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$ schreiben
+lässt und untersuchen ein Polynom $P(t)$ vom Grad $n$.
+Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist zerlegen
+wir
+\[
+P(t)
+=
+\underbrace{\biggl(P(t) - \frac{p_n}{2^n} H_n(t)\biggr)}_{\displaystyle = Q(t)}
++
+\frac{p_n}{2^n} H_n(t).
+\]
+Das Polynom $Q(t)$ hat Grad $n-1$, besitzt also nach Induktionsannahme
+eine Darstellung
+\[
+Q(t) = a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t)
+\]
+als Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$.
+Somit ist
+\[
+P(t)
+= a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) +
+\frac{p_n}{2^n} H_n(t)
+\]
+eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination der Polynome
+$H_0(t),\dots,H_n(t)$.
+Damit ist der Induktionsschritt vollzogen und das Lemma für alle
+$n$ bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{dreieck:satz1}
+Die Funktion $P(t)e^{-t^2}$ hat genau dann eine elementare Stammfunktion,
+wenn in der Darstellung~\eqref{dreieck:lemma}
+von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen $a_0=0$ gilt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es ist
+\begin{align*}
+\int P(t)e^{-t^2}\,dt
+&=
+a_0\int e^{-t^2}\,dt
++
+\int
+\sum_{k=1} a_kH_k(t)\,dt
+\\
+&=
+a_0
+\frac{\sqrt{\pi}}2
+\operatorname{erf}(t)
++
+\sum_{k=1} a_k\int H_k(t)\,dt.
+\end{align*}
+Da die Integrale in der Summe alle elementar darstellbar sind,
+ist das Integral genau dann elementar, wenn $a_0=0$ ist.
+\end{proof}
+
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
index e2dfd6b..c0c046a 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -3,8 +3,75 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Erweiterungen
-\label{dreieck:section:erweiterungen}}
-\rhead{Erweiterungen}
+\section{Integralbedingung
+\label{dreieck:section:integralbedingung}}
+\rhead{Lösung}
+Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das
+Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} in einer besonders attraktiven
+Integralform zu formulieren.
+
+Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die
+\index{orthogonale Polynome}%
+\index{Polynome, orthogonale}%
+orthonormierten Polynome
+\[
+\tilde{H}_n(t)
+=
+\frac{1}{\| H_n\|_w} H_n(t)
+\qquad\text{mit}\quad
+\|H_n\|_w^2
+=
+\int_{-\infty}^\infty H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+\]
+bilden.
+Da diese Polynome eine orthonormierte Basis des Vektorraums der Polynome
+bilden, kann die gesuchte Zerlegung eines Polynoms $P(t)$ auch mit
+Hilfe des Skalarproduktes gefunden werden:
+\begin{align*}
+P(t)
+&=
+\sum_{k=1}^n
+\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
+\tilde{H}_k(t)
+=
+\sum_{k=1}^n
+\biggl\langle \frac{H_k}{\|H_k\|_w}, P\biggr\rangle_w
+\frac{H_k(t)}{\|H_k\|_w}
+=
+\sum_{k=1}^n
+\underbrace{
+\frac{ \langle H_k, P\rangle_w }{\|H_k\|_w^2}
+}_{\displaystyle =a_k}
+H_k(t).
+\end{align*}
+Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen
+hat somit die Koeffizienten
+\[
+a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}.
+\]
+Aus dem Kriterium $a_0=0$ dafür, dass eine elementare Stammfunktion
+von $P(t)e^{-t^2}$ existiert, wird daher die Bedingung, dass
+$\langle H_0,P\rangle_w=0$ ist.
+Da $H_0(t)=1$ ist, folgt als Bedingung
+\[
+a_0
+=
+\langle H_0,P\rangle_w
+=
+\int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2}\,dt
+=
+0.
+\]
+
+\begin{satz}
+Ein Integrand der Form $P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$
+hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn
+\[
+\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+
 
 
diff --git a/buch/papers/fm/.vscode/settings.json b/buch/papers/fm/.vscode/settings.json
new file mode 100644
index 0000000..5125289
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+++ b/buch/papers/fm/.vscode/settings.json
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+{
+    "notebook.cellFocusIndicator": "border"
+}
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/fm/teil0.tex b/buch/papers/fm/01_AM-FM.tex
index 55697df..55697df 100644
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+++ b/buch/papers/fm/01_AM-FM.tex
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index 6f9edf1..6f9edf1 100644
--- a/buch/papers/fm/teil1.tex
+++ b/buch/papers/fm/02_frequenzyspectrum.tex
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index 6ab6fa0..6ab6fa0 100644
--- a/buch/papers/fm/teil2.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
diff --git a/buch/papers/fm/teil3.tex b/buch/papers/fm/04_fazit.tex
index 3bcfc4d..3bcfc4d 100644
--- a/buch/papers/fm/teil3.tex
+++ b/buch/papers/fm/04_fazit.tex
diff --git a/buch/papers/fm/Makefile.inc b/buch/papers/fm/Makefile.inc
index 0f144b6..e5cd9f6 100644
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+++ b/buch/papers/fm/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,9 @@
 dependencies-fm =						\
 	papers/fm/packages.tex					\
 	papers/fm/main.tex					\
-	papers/fm/references.bib				\
-	papers/fm/teil0.tex					\
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+	papers/fm/01_AM-FM.tex					\
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+	papers/fm/references.bib			
 
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new file mode 100644
index 0000000..bfbb83d
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+{
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+   "outputs": [],
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+    "from scipy import signal\n",
+    "from scipy.fft import fft, ifft, fftfreq\n",
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+    "   return np.cos(t) * np.cos(n*angle) * special.jn(n, distance*kth_zero)\n",
+    "\n",
+    "theta = np.r_[0:2*np.pi:50j]\n",
+    "radius = np.r_[0:1:50j]\n",
+    "x = np.array([r * np.cos(theta) for r in radius])\n",
+    "y = np.array([r * np.sin(theta) for r in radius])\n",
+    "z = np.array([drumhead_height(1, 1, r, theta, 0.5) for r in radius])\n",
+    "\n",
+    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
+    "fig = plt.figure()\n",
+    "ax = fig.add_axes(rect=(0, 0.05, 0.95, 0.95), projection='3d')\n",
+    "ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1, cmap='RdBu_r', vmin=-0.5, vmax=0.5)\n",
+    "ax.set_xlabel('X')\n",
+    "ax.set_ylabel('Y')\n",
+    "ax.set_xticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5))\n",
+    "ax.set_yticks(np.arange(-1, 1.1, 0.5))\n",
+    "ax.set_zlabel('Z')\n",
+    "\n",
+    "plt.show()"
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+    "plt.show()"
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "interpreter": {
+   "hash": "916dbcbb3f70747c44a77c7bcd40155683ae19c65e1c03b4aa3499c5328201f1"
+  },
+  "kernelspec": {
+   "display_name": "Python 3.8.10 64-bit",
+   "language": "python",
+   "name": "python3"
+  },
+  "language_info": {
+   "codemirror_mode": {
+    "name": "ipython",
+    "version": 3
+   },
+   "file_extension": ".py",
+   "mimetype": "text/x-python",
+   "name": "python",
+   "nbconvert_exporter": "python",
+   "pygments_lexer": "ipython3",
+   "version": "3.8.10"
+  },
+  "orig_nbformat": 4
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 2
+}
diff --git a/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.py b/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.py
new file mode 100644
index 0000000..cf30e16
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.py
@@ -0,0 +1,42 @@
+import numpy as np
+from scipy import signal
+from scipy.fft import fft, ifft, fftfreq
+import scipy.special as sc
+import scipy.fftpack
+import matplotlib.pyplot as plt
+from matplotlib.widgets import Slider
+
+# Number of samplepoints
+N = 600
+# sample spacing
+T = 1.0 / 800.0
+x = np.linspace(0.01, N*T, N)
+beta = 1.0
+y_old = np.sin(100.0 * 2.0*np.pi*x+beta*np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x))
+y = 0*x;
+xf = fftfreq(N, 1 / 400)
+for k in range (-5, 5):
+    y = sc.jv(k,beta)*np.sin((100.0+k*50) * 2.0*np.pi*x)
+    yf = fft(y)
+    plt.plot(xf, np.abs(yf))
+
+axbeta =plt.axes([0.25, 0.1, 0.65, 0.03])
+beta_slider = Slider(
+ax=axbeta,
+label="Beta",
+valmin=0.1,
+valmax=3,
+valinit=beta,
+)
+
+def update(val):
+    line.set_ydata(fm(beta_slider.val))
+    fig.canvas.draw_idle()
+
+
+beta_slider.on_changed(update)
+plt.show()
+
+yf_old = fft(y_old)
+plt.plot(xf, np.abs(yf_old))
+plt.show()
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/fm/RS presentation/FM_presentation.pdf b/buch/papers/fm/RS presentation/FM_presentation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..496e35e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/FM_presentation.pdf
diff --git a/buch/papers/fm/RS presentation/FM_presentation.tex b/buch/papers/fm/RS presentation/FM_presentation.tex
new file mode 100644
index 0000000..92cb501
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/FM_presentation.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+%% !TeX root = RS.tex
+
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+	\author{Joshua Bär}
+	\title{FM - Bessel}
+	\subtitle{}
+	\logo{}
+	\institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+	\date{16.5.2022}
+	\subject{Mathematisches Seminar}
+	%\setbeamercovered{transparent}
+	\setbeamercovered{invisible}
+	\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+	\begin{frame}[plain]
+		\maketitle
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Einführung}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Frequenzmodulation}
+		
+		\visible<1->{
+            \begin{equation} \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
+        \end{equation}}
+		
+		\only<2>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/fm_in_time.png}}
+		\only<3>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/fm_frequenz.png}}
+		\only<4>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/bessel_frequenz.png}}
+		
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Proof}
+\begin{frame}
+	\frametitle{Bessel}
+
+	\visible<1->{\begin{align}
+			\cos(\beta\sin\varphi)
+			&=
+			J_0(\beta) + 2\sum_{m=1}^\infty J_{2m}(\beta) \cos(2m\varphi)
+			\\
+			\sin(\beta\sin\varphi)
+			&=
+			J_0(\beta) + 2\sum_{m=1}^\infty J_{2m}(\beta) \cos(2m\varphi)
+			\\
+			J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
+		\end{align}}
+	\visible<2->{\begin{align}
+			\cos(A + B) 
+			&= 
+			\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)
+			\\
+			2\cos (A)\cos (B)
+			&=
+			\cos(A-B)+\cos(A+B)
+			\\
+			2\sin(A)\sin(B)
+			&=
+			\cos(A-B)-\cos(A+B)
+		\end{align}}
+\end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\begin{frame}
+		\frametitle{Prof->Done}
+		\begin{align}
+			\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
+			&=
+			\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
+		\end{align}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+	\begin{figure}
+		\only<1>{\includegraphics[scale = 0.75]{images/fm_frequenz.png}}
+		\only<2>{\includegraphics[scale = 0.75]{images/bessel_frequenz.png}}
+	\end{figure}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+\section{Input Parameter}
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Träger-Frequenz Parameter}
+	\onslide<1->{\begin{equation}\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}}
+	\only<1>{\includegraphics[scale=0.75]{images/100HZ.png}}
+	\only<2>{\includegraphics[scale=0.75]{images/200HZ.png}}
+	\only<3>{\includegraphics[scale=0.75]{images/300HZ.png}}
+	\only<4>{\includegraphics[scale=0.75]{images/400HZ.png}}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}
+\frametitle{Modulations-Frequenz Parameter}
+\onslide<1->{\begin{equation}\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}}
+\only<1>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_3Hz.png}}
+\only<2>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_5Hz.png}}
+\only<3>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_7Hz.png}}
+\only<4>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_10Hz.png}}
+\only<5>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_20Hz.png}}
+\only<6>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_30Hz.png}}
+\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}
+\frametitle{Beta Parameter}
+	\onslide<1->{\begin{equation}\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)\end{equation}}
+	\only<1>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.001.png}}
+	\only<2>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.1.png}}
+	\only<3>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.5.png}}
+	\only<4>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_1.png}}
+	\only<5>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_2.png}}
+	\only<6>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_3.png}}
+	\only<7>{\includegraphics[scale=0.7]{images/bessel.png}}
+\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}
+	\includegraphics[scale=0.5]{images/beta_1.png}
+	\includegraphics[scale=0.5]{images/bessel.png}
+\end{frame}	
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/fm/RS presentation/Frequency modulation (FM) and Bessel functions.pdf b/buch/papers/fm/RS presentation/Frequency modulation (FM) and Bessel functions.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a6e701c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/Frequency modulation (FM) and Bessel functions.pdf
diff --git a/buch/papers/fm/RS presentation/README.txt b/buch/papers/fm/RS presentation/README.txt
new file mode 100644
index 0000000..4d0620f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/README.txt
@@ -0,0 +1 @@
+Dies ist die Presentation des Reed-Solomon-Code
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/fm/RS presentation/RS.tex b/buch/papers/fm/RS presentation/RS.tex
new file mode 100644
index 0000000..8a67619
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/RS.tex
@@ -0,0 +1,123 @@
+%% !TeX root = RS.tex
+
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+	\author{Joshua Bär}
+	\title{FM - Bessel}
+	\subtitle{}
+	\logo{}
+	\institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+	\date{16.5.2022}
+	\subject{Mathematisches Seminar- Spezielle Funktionen}
+	%\setbeamercovered{transparent}
+	\setbeamercovered{invisible}
+	\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+	\begin{frame}[plain]
+		\maketitle
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Einführung}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Frequenzmodulation}
+		
+		\visible<1->{\begin{equation} \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}}
+		
+		\only<2>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/fm_in_time.png}}
+		\only<3>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/fm_frequenz.png}}
+		\only<4>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/bessel_frequenz.png}}
+		
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Proof}
+\begin{frame}
+	\frametitle{Bessel}
+
+	\visible<1->{\begin{align}
+			\cos(\beta\sin\varphi)
+			&=
+			J_0(\beat) + 2\sum_{m=1}^\infty J_{2m}(\beta) \cos(2m\varphi)
+			\\
+			\sin(\beta\sin\varphi)
+			&=
+			J_0(\beat) + 2\sum_{m=1}^\infty J_{2m}(\beta) \cos(2m\varphi)
+			\\
+			J_{-n}(\beat) &= (-1)^n J_n(\beta)
+		\end{align}}
+	\visible<2->{\begin{align}
+			\cos(A + B) 
+			&= 
+			\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)
+			\\
+			2\cos (A)\cos (B)
+			&=
+			\cos(A-B)+\cos(A+B)
+			\\
+			2\sin(A)\sin(B)
+			&=
+			\cos(A-B)-\cos(A+B)
+		\end{align}}
+\end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\begin{frame}
+		\frametitle{Prof->Done}
+		\begin{align}
+			\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
+			&=
+			\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omgea_m)t)
+		\end{align}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+	\begin{figure}
+		\only<1>{\includegraphics[scale = 0.75]{images/fm_frequenz.png}}
+		\only<2>{\includegraphics[scale = 0.75]{images/bessel_frequenz.png}}
+	\end{figure}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+\section{Input Parameter}
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Träger-Frequenz Parameter}
+	\onslide<1->{\begin{equation}\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}}
+	\only<1>{\includegraphics[scale=0.75]{images/100HZ.png}}
+	\only<2>{\includegraphics[scale=0.75]{images/200HZ.png}}
+	\only<3>{\includegraphics[scale=0.75]{images/300HZ.png}}
+	\only<4>{\includegraphics[scale=0.75]{images/400HZ.png}}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}
+\frametitle{Modulations-Frequenz Parameter}
+\onslide<1->{\begin{equation}\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}}
+\only<1>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_3Hz.png}}
+\only<2>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_5Hz.png}}
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+\only<4>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_10Hz.png}}
+\only<5>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_20Hz.png}}
+\only<6>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_30Hz.png}}
+\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}
+\frametitle{Beta Parameter}
+	\onslide<1->{\begin{equation}\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omgea_m)t)\end{equation}}
+	\only<1>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.001.png}}
+	\only<2>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.1.png}}
+	\only<3>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.5.png}}
+	\only<4>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_1.png}}
+	\only<5>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_2.png}}
+	\only<6>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_3.png}}
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+\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}
+	\includegraphics[scale=0.5]{images/beta_1.png}
+	\includegraphics[scale=0.5]{images/bessel.png}
+\end{frame}	
+\end{document}
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new file mode 100644
index 0000000..371b9bf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/100HZ.png
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index 0000000..f6836bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/200HZ.png
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new file mode 100644
index 0000000..6762c1a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/300HZ.png
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new file mode 100644
index 0000000..236c428
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/400HZ.png
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new file mode 100644
index 0000000..f4c83ea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/bessel.png
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new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/bessel2.png
diff --git a/buch/papers/fm/RS presentation/images/bessel_beta1.png b/buch/papers/fm/RS presentation/images/bessel_beta1.png
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index 0000000..1f5c47e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/bessel_beta1.png
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/bessel_frequenz.png
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new file mode 100644
index 0000000..7e4e276
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/beta_0.001.png
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new file mode 100644
index 0000000..e7722b3
--- /dev/null
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index 0000000..5261b43
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/beta_0.5.png
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index 0000000..c6df82c
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+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/fm_30Hz.png
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index 0000000..e495b5c
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new file mode 100644
index 0000000..b3dd7e3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/fm_7Hz.png
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new file mode 100644
index 0000000..26bfd86
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/fm_frequenz.png
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/RS presentation/images/fm_in_time.png
diff --git a/buch/papers/fm/main.tex b/buch/papers/fm/main.tex
index 1e75235..1f8ebde 100644
--- a/buch/papers/fm/main.tex
+++ b/buch/papers/fm/main.tex
@@ -2,35 +2,42 @@
 % main.tex -- Paper zum Thema <fm>
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
-%
+% 
+% !TeX root = buch.tex
+%\begin {document}
 \chapter{Thema\label{chapter:fm}}
 \lhead{Thema}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+\chapterauthor{Joshua Bär}
+
+Dieser Abschnitt beschreibt die Beziehung von der Besselfunktion(Ref) zur Frequenz Modulatrion (FM)(acronym?).
 
-\input{papers/fm/teil0.tex}
-\input{papers/fm/teil1.tex}
-\input{papers/fm/teil2.tex}
-\input{papers/fm/teil3.tex}
+%Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
+%\begin{itemize}
+%\item
+%Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
+%Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
+%\item
+%Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
+%Optionen werden gelöscht. 
+%Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
+%\item
+%Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
+%Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
+%in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
+%anzuwenden.
+%\item 
+%Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
+%Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
+%\end{itemize}
+
+\input{papers/fm/01_AM-FM.tex}
+\input{papers/fm/02_frequenzyspectrum.tex}
+\input{papers/fm/03_bessel.tex}
+\input{papers/fm/04_fazit.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
+
+%\end {document}
diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt
index 70e3ce2..b8716fc 100644
--- a/buch/papers/nav/beispiel.txt
+++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt
@@ -7,7 +7,7 @@ Deneb
 RA    20h 42m 12.14s      20.703372h
 DEC   45  21' 40.3"       45.361194
 
-H     50g 15' 17.1"       50.254750h
+H     50g 15' 17.1"       50.254750
 Azi   59g 36' 02.0"       59.600555
 
 Spica
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1f91809
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4b28f2f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ba7755f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3333dd4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fae0b85
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ac80c46
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..afe120e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
index 53dd784..472e61f 100644
--- a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
+++ b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex
new file mode 100644
index 0000000..ff01828
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bsp.tex
@@ -0,0 +1,182 @@
+\section{Beispielrechnung}
+\rhead{Beispielrechnung}
+
+\subsection{Einführung}
+In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. 
+Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage.
+Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt.
+Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen.
+\subsection{Vorgehen}
+
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{l l l}
+		1. & Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen \\
+		2. & Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften\\
+		3. & Dreieck ABC bestimmmen\\
+		4. & Dreieck BPC bestimmen \\
+		5. & Dreieck ABP bestimmen \\ 
+		6. & Geographische Breite bestimmen \\
+		7. & Geographische Länge bestimmen \\
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection{Ausgangslage}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}
+	\caption{Ausgangslage}
+\end{wrapfigure}
+Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben.
+Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden:
+\[ Stunden \cdot 15 = Grad\].
+Dies wurde hier bereits gemacht.
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{l l l}
+		Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\
+		Deneb&\\
+		& Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\
+		& Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\
+		& Höhe $h_c$ & $50.256027^\circ$ \\ 
+		Arktur &\\
+		& Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\
+		& Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\
+		& Höhe $h_b$ & $47.427444^\circ$ \\  
+	\end{tabular}
+\end{center}
+\subsection{Koordinaten der Bildpunkte}
+Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. 
+$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge.
+\begin{align}
+\delta_{Deneb}&=DEC_{Deneb} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{Deneb}&=RA_{Deneb} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}}   \nonumber \\ 
+\delta_{Arktur}&=DEC_{Arktur} =  \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{Arktur}&=RA_{Arktur} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}}  \nonumber  
+\end{align}
+
+
+\subsection{Dreiecke definieren}
+\begin{figure} 
+	\begin{center}
+	\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}
+	\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}
+	\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar}
+\end{center}
+\end{figure}
+Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen.
+Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. 
+Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. 
+In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht.
+Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. 
+Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ (vgl. Abbildung 21.11) und man müsste trigonometrisch anders vorgehen. 
+
+\subsection{Dreieck $ABC$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}
+	\caption{Dreieck ABC}
+\end{wrapfigure}
+Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen:
+\begin{align}
+	b=90^\circ-DEC_{Deneb} = 90^\circ - 45.361194^\circ = \underline{\underline{44.638806^\circ}}\nonumber \\
+	c=90^\circ-DEC_{Arktur} = 90^\circ - 19.063222^\circ = \underline{\underline{70.936778^\circ}} \nonumber 
+\end{align}
+Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel \[\alpha= RA_{Deneb} - RA_{Arktur} = 310.55058^\circ -214.17558^\circ = \underline{\underline{96.375^\circ}}.\]
+Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um  $a$ zu berechnen:
+\begin{align}
+	a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \nonumber \\
+	 &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \nonumber \\
+	 &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz:
+\begin{align}
+	\beta &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+
+	\begin{align}
+	\gamma &=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \nonumber \\
+	&=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\subsection{Dreieck $BPC$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}
+	\caption{Dreieck BPC}
+\end{wrapfigure}
+Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$.
+\begin{align}
+	h_b&=90^\circ - h_b \nonumber \\
+	&= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	h_c &= 90^\circ - h_c \nonumber \\
+	&= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	\beta_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	\gamma_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsection{Dreieck $ABP$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}
+	\caption{Dreieck ABP}
+\end{wrapfigure}
+Als erster müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen:
+\begin{align}
+	\beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen:
+\begin{align}
+	l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$:
+\begin{align}
+	\omega &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen}
+
+\begin{align}
+	\delta &= 90^\circ - l \nonumber \\
+	&= 90^\circ - 54.2833404 \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	\lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \nonumber \\
+	&= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. 
+
+\subsection{Fazit}
+Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. 
+Allerdings gab es zwei interessante Probleme.
+
+Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. 
+Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. 
+In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. 
+Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist.
+Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen.
+
+Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz.
+Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\]
+Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. 
+Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte.
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex
new file mode 100644
index 0000000..8d9083b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+\section{Beispielrechnung}
+\rhead{Beispielrechnung}
+
+\subsection{Einführung}
+In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. 
+Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage.
+Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt.
+Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen.
+\subsection{Vorgehen}
+Unser Vorgehen erschliesst sich aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben.
+\begin{compactenum}
+\item
+Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen 
+\item
+Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften
+\item
+Dreieck ABC bestimmmen
+\item
+Dreieck BPC bestimmen 
+\item
+Dreieck ABP bestimmen 
+\item
+Geographische Breite bestimmen
+\item
+Geographische Länge bestimmen
+\end{compactenum}
+
+\subsection{Ausgangslage}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}
+Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regel in Stunden angegeben.
+Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden:
+\[
+\text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}.
+\]
+Dies wurde hier bereits gemacht.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{l l >{$}l<{$}}
+Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\
+Deneb   &\\
+	& Rektaszension $RA_{\text{Deneb}}$ & 310.55058^\circ\\
+	& Deklination $DEC_{\text{Deneb}}$  & \phantom{0}45.361194^\circ \\
+	& Höhe $h_c$                        & \phantom{0}50.256027^\circ \\ 
+Arktur  &\\
+	& Rektaszension $RA_{\text{Arktur}}$& 214.17558^\circ \\
+	& Deklination $DEC_{\text{Arktur}}$ & \phantom{0}19.063222^\circ \\
+	& Höhe $h_b$                        & \phantom{0}47.427444^\circ \\  
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}}%
+}
+\medskip
+
+\subsection{Koordinaten der Bildpunkte}
+Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. 
+$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge.
+\begin{align}
+\delta_{\text{Deneb}}&=DEC_{\text{Deneb}} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{\text{Deneb}}&=RA_{\text{Deneb}} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}}   \nonumber \\ 
+\delta_{\text{Arktur}}&=DEC_{\text{Arktur}} =  \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{\text{Arktur}}&=RA_{\text{Arktur}} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}}  \nonumber  
+\end{align}
+
+
+\subsection{Dreiecke definieren}
+\begin{figure} 
+\hbox{%
+\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}%
+\hfill%
+\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}}
+\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar
+\label{nav:beispiele}}
+\end{figure}
+Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen.
+Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. 
+Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. 
+In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht.
+Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. 
+Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$
+(vgl. Abbildung\ref{nav:beispiele}) und man müsste trigonometrisch
+anders vorgehen. 
+
+\subsection{Dreieck $ABC$}
+\vspace*{-3mm}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}%
+Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die
+Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.
+Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen:
+\begin{align*}
+b
+&=
+90^\circ-DEC_{\text{Deneb}}
+=
+90^\circ - 45.361194^\circ
+\\
+&=
+\underline{\underline{44.638806^\circ}}
+\\
+c
+&=
+90^\circ-DEC_{\text{Arktur}}
+=
+90^\circ - 19.063222^\circ
+\\
+&=
+\underline{\underline{70.936778^\circ}}
+\end{align*}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2.4cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}}%
+}
+Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel
+\begin{align*}
+\alpha
+&=
+RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}}
+=
+310.55058^\circ -214.17558^\circ
+\\
+&=
+\underline{\underline{96.375^\circ}}.
+\end{align*}
+Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um  $a$ zu berechnen:
+\begin{align*}
+	a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\
+	 &= \cos^{-1}(\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ) + \sin(44.638806^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ) \cdot \cos(96.375^\circ)) \\
+	 &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}}
+\end{align*}
+Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz:
+\begin{align*}
+	\beta &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(44.638806^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ)}\bigg] \\
+	&= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} 
+\\
+\gamma &=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\
+	&=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(70.936778^\circ)-\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(80.8707801^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(44.638806^\circ)}\bigg] \\
+	&=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} 
+\end{align*}
+
+
+
+\subsection{Dreieck $BPC$}
+\vspace*{-4mm}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}%
+Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_B$, $h_B$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$.
+\begin{align*}
+h_B&=90^\circ - pbb 
+	= 90^\circ - 47.42744^\circ \\
+	&= \underline{\underline{42.572556^\circ}} 
+\\
+	h_C &= 90^\circ - pc 
+	= 90^\circ - 50.256027^\circ \\
+	&= \underline{\underline{39.743973^\circ}} 
+\end{align*}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}%
+}
+\begin{align*}
+\beta_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_B)}{\sin(a) \cdot \sin(h_B)}\bigg] \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(39.743973^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ)}\bigg] \\
+	&=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} 
+\\
+\gamma_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_C)}{\sin(a) \cdot \sin(h_C)}\bigg] \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(39.743973^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(39.743973^\circ)}\bigg] \\
+	&=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} 
+\end{align*}
+
+\subsection{Dreieck $ABP$}
+\vspace*{-2mm}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}%
+Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen:
+\begin{align*}
+	\beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\
+	&=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} 
+\end{align*}
+Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_B$ die Seite $l$ berechnen:
+\begin{align*}
+l
+&=
+\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_B)
+          + \sin(c) \cdot \sin(h_B) \cdot \cos(\beta_2)) \\
+&=
+\cos^{-1}(\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)\\
+&\qquad + \sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ) \cdot \cos(57.5326442^\circ)) \\
+&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} 
+\end{align*}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2.0cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}}%
+}
+
+\medskip
+
+Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$:
+\begin{align*}
+	\omega &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_B)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\
+	&=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\
+	&= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} 
+\end{align*}
+
+\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen}
+
+\begin{align*}
+\delta &= 90^\circ - l &
+	\lambda &= \lambda_{\text{Arktur}} + \omega \\
+&= 90^\circ - 54.2833404 &
+	&= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\
+&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} &
+	&= \underline{\underline{140.233521^\circ}} 
+\end{align*}
+Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. 
+
+\subsection{Fazit}
+Die theoretische Anleitung im Abschnitt \ref{sta} scheint grundsätzlich zu funktionieren. 
+Allerdings gab es zwei interessante Probleme.
+
+Einerseits das Problem, ob der Punkt $P$ sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. 
+Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt $P$ ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. 
+In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. 
+Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist.
+Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen.
+
+Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz.
+Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\]
+Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. 
+Wegen dieser Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt \ref{sta} abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte.
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex
index 8eb4481..c778d5c 100644
--- a/buch/papers/nav/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex
@@ -1,6 +1,7 @@
 
 
 \section{Einleitung}
+\rhead{Einleitung}
 Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
 Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. 
 Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt.
diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex
index 3b08e8d..9745cdc 100644
--- a/buch/papers/nav/flatearth.tex
+++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex
@@ -1,11 +1,12 @@
 
 
 \section{Warum ist die Erde nicht flach?}
-
+\rhead{Warum ist die Erde nicht flach?}
 \begin{figure}
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png}
 		\caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion}
+		\label{merc}
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
@@ -17,7 +18,7 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen.
 Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. 
 Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
 
-Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. 
+Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung \ref{merc} dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. 
 Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
 Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen.
 Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. 
diff --git a/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png
new file mode 100644
index 0000000..4d55da8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png
diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile
index da4defa..39bfbcf 100644
--- a/buch/papers/nav/images/Makefile
+++ b/buch/papers/nav/images/Makefile
@@ -51,73 +51,80 @@ DREIECKE3D =								\
 	dreieck3d5.pdf							\
 	dreieck3d6.pdf							\
 	dreieck3d7.pdf							\
-	dreieck3d8.pdf
+	dreieck3d8.pdf	
 
 dreiecke3d: $(DREIECKE3D)
 
 POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
 #POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
 
-dreieck3d1.png:	dreieck3d1.pov common.inc
+dreieck3d1.png:	dreieck3d1.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d1.png dreieck3d1.pov
 dreieck3d1.jpg:	dreieck3d1.png
 	convert dreieck3d1.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d1.jpg
 dreieck3d1.pdf:	dreieck3d1.tex dreieck3d1.jpg
 	pdflatex dreieck3d1.tex
 
-dreieck3d2.png:	dreieck3d2.pov common.inc
+dreieck3d2.png:	dreieck3d2.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d2.png dreieck3d2.pov
 dreieck3d2.jpg:	dreieck3d2.png
 	convert dreieck3d2.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d2.jpg
 dreieck3d2.pdf:	dreieck3d2.tex dreieck3d2.jpg
 	pdflatex dreieck3d2.tex
 
-dreieck3d3.png:	dreieck3d3.pov common.inc
+dreieck3d3.png:	dreieck3d3.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d3.png dreieck3d3.pov
 dreieck3d3.jpg:	dreieck3d3.png
 	convert dreieck3d3.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d3.jpg
 dreieck3d3.pdf:	dreieck3d3.tex dreieck3d3.jpg
 	pdflatex dreieck3d3.tex
 
-dreieck3d4.png:	dreieck3d4.pov common.inc
+dreieck3d4.png:	dreieck3d4.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d4.png dreieck3d4.pov
 dreieck3d4.jpg:	dreieck3d4.png
 	convert dreieck3d4.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d4.jpg
 dreieck3d4.pdf:	dreieck3d4.tex dreieck3d4.jpg
 	pdflatex dreieck3d4.tex
 
-dreieck3d5.png:	dreieck3d5.pov common.inc
+dreieck3d5.png:	dreieck3d5.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d5.png dreieck3d5.pov
 dreieck3d5.jpg:	dreieck3d5.png
 	convert dreieck3d5.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d5.jpg
 dreieck3d5.pdf:	dreieck3d5.tex dreieck3d5.jpg
 	pdflatex dreieck3d5.tex
 
-dreieck3d6.png:	dreieck3d6.pov common.inc
+dreieck3d6.png:	dreieck3d6.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d6.png dreieck3d6.pov
 dreieck3d6.jpg:	dreieck3d6.png
 	convert dreieck3d6.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d6.jpg
 dreieck3d6.pdf:	dreieck3d6.tex dreieck3d6.jpg
 	pdflatex dreieck3d6.tex
 
-dreieck3d7.png:	dreieck3d7.pov common.inc
+dreieck3d7.png:	dreieck3d7.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d7.png dreieck3d7.pov
 dreieck3d7.jpg:	dreieck3d7.png
 	convert dreieck3d7.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d7.jpg
 dreieck3d7.pdf:	dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg
 	pdflatex dreieck3d7.tex
 
-dreieck3d8.png:	dreieck3d8.pov common.inc
+dreieck3d8.png:	dreieck3d8.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov
 dreieck3d8.jpg:	dreieck3d8.png
 	convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg
 dreieck3d8.pdf:	dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg
 	pdflatex dreieck3d8.tex
 
-dreieck3d9.png:	dreieck3d9.pov common.inc
+dreieck3d9.png:	dreieck3d9.pov common.inc macros.inc
 	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov
 dreieck3d9.jpg:	dreieck3d9.png
 	convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg
 dreieck3d9.pdf:	dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg
 	pdflatex dreieck3d9.tex
 
+dreieck3d10.png:	dreieck3d10.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d10.png dreieck3d10.pov
+dreieck3d10.jpg:	dreieck3d10.png
+	convert dreieck3d10.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d10.jpg
+dreieck3d10.pdf:	dreieck3d10.tex dreieck3d10.jpg macros.inc
+	pdflatex dreieck3d10.tex
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png
new file mode 100644
index 0000000..4d55da8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..9546c8e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile
@@ -0,0 +1,38 @@
+#
+# Makefile to build images 
+#
+# (c) 2022
+#
+all:	beispiele
+
+POSITION =								\
+	beispiele1.pdf							\
+	beispiele2.pdf							\
+	beispiele3.pdf	
+
+beispiele: $(POSITION)
+
+POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
+#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
+
+beispiele1.png:	beispiele1.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele1.png beispiele1.pov
+beispiele1.jpg:	beispiele1.png
+	convert beispiele1.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele1.jpg
+beispiele1.pdf:	beispiele1.tex common.tex beispiele1.jpg
+	pdflatex beispiele1.tex
+
+beispiele2.png:	beispiele2.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele2.png beispiele2.pov
+beispiele2.jpg:	beispiele2.png
+	convert beispiele2.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele2.jpg
+beispiele2.pdf:	beispiele2.tex common.tex beispiele2.jpg
+	pdflatex beispiele2.tex
+
+beispiele3.png:	beispiele3.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele3.png beispiele3.pov
+beispiele3.jpg:	beispiele3.png
+	convert beispiele3.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele3.jpg
+beispiele3.pdf:	beispiele3.tex common.tex beispiele3.jpg
+	pdflatex beispiele3.tex
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1f91809
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov
new file mode 100644
index 0000000..7fb3de2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// beispiele1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+#declare Stern1 = Deneb;
+#declare Stern2 = Arktur;
+
+#include "geometrie.inc"
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex
new file mode 100644
index 0000000..0dfae2f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% beispiele1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelP
+\labelDeneb
+\labelArktur
+\labelhDeneb
+\labelhArktur
+\labellone
+\labeldDeneb
+\labeldArktur
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4b28f2f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov
new file mode 100644
index 0000000..b69f0f9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// beispiele1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+#declare Stern1 = Altair;
+#declare Stern2 = Spica;
+
+#include "geometrie.inc"
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex
new file mode 100644
index 0000000..04c1e4d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% beispiele2.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelP
+\labelAltair
+\labelSpica
+\labelhAltair
+\labelhSpica
+\labelltwo
+\labeldAltair
+\labeldSpica
+
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..049ccdf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov
new file mode 100644
index 0000000..af9a468
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// beispiele1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+#declare Stern1 = Deneb;
+#declare Stern2 = Altair;
+
+#include "geometrie.inc"
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex
new file mode 100644
index 0000000..2573199
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% beispiele3.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele3.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelP
+\labelDeneb
+\labelAltair
+\labelhDeneb
+\labelhAltair
+\labellone
+%\labeldDeneb
+%\labeldAltair
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..51fbd1f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc
@@ -0,0 +1,50 @@
+//
+// common.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "../macros.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<30, 10, -40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+erde(0)
+achse(fein, White)
+koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001)
+
+union {
+        punkt(Sakura, fett)
+        pigment {
+                color rot
+        }
+        finish {
+                metallic
+                specular 0.9
+        }
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex
new file mode 100644
index 0000000..81dc037
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% common.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};}
+
+\def\labelSpica{
+	\node at (-3.6,-2.8) {Spica};
+}
+\def\labelAltair{
+	\node at (3.0,-2.3) {Altair};
+}
+\def\labelArktur{
+	\node at (-3.3,-0.7) {Arktur};
+}
+\def\labelDeneb{
+	\node at (3.4,0.9) {Deneb};
+}
+
+\def\labelP{\node at (0,-0.2) {$P$};}
+
+\def\labellone{\node at (0.1,1.9) {$l$};}
+\def\labelltwo{\node at (0.1,2.0) {$l$};}
+
+\def\labelhSpica{
+	\coordinate (Spica) at (-1.8,-0.3);
+	\node at (Spica) {$h_{\text{Spica}}\mathstrut$};
+}
+\def\labelhAltair{
+	\coordinate (Altair) at (1.1,-1.0);
+	\node at (Altair) {$h_{\text{Altair}}\mathstrut$};
+}
+\def\labelhArktur{
+	\coordinate (Arktur) at (-1.3,-0.3);
+	\node at (Arktur) {$h_{\text{Arktur}}\mathstrut$};
+}
+\def\labelhDeneb{
+	\coordinate (Deneb) at (1.6,0.45);
+	\node at (Deneb) {$h_{\text{Deneb}}\mathstrut$};
+}
+
+\def\labeldSpica{
+	\coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dSpica)+(-1.8,0.13)$)
+		rectangle
+		($(dSpica)+(-0.06,0.60)$);
+	\node at (dSpica) [above left]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$};
+}
+\def\labeldAltair{
+	\coordinate (dAltair) at (2.0,2.1);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dAltair)+(0.10,0.10)$)
+		rectangle
+		($(dAltair)+(2.0,0.60)$);
+	\node at (dAltair) [above right]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$};
+}
+\def\labeldArktur{
+	\coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dArktur)+(-1.8,0.10)$)
+		rectangle
+		($(dArktur)+(-0.06,0.55)$);
+	\node at (dArktur) [above left]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$};
+}
+\def\labeldDeneb{
+	\coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dDeneb)+(0.05,0.60)$)
+		rectangle
+		($(dDeneb)+(1.87,0.10)$);
+	\node at (dDeneb) [above right]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$};
+}
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc
new file mode 100644
index 0000000..2f6084e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc
@@ -0,0 +1,41 @@
+union {
+	punkt(A, fett)
+	punkt(Stern1, fein)
+	punkt(Stern2, fein)
+	seite(Stern1, Stern2, fein)
+	pigment {
+		color kugelfarbe
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.9
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, Stern1, fein)
+	seite(A, Stern2, fein)
+	seite(Stern1, Sakura, fein)
+	seite(Stern2, Sakura, fein)
+	winkel(A, Stern1, Stern2, 0.5*fein, gross)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.9
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, Sakura, fein)
+	winkel(A, Sakura, Stern1, 0.5*fett, klein)
+	pigment {
+		color unbekannt
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.9
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc
index 2c0ae6e..7b861de 100644
--- a/buch/papers/nav/images/common.inc
+++ b/buch/papers/nav/images/common.inc
@@ -5,6 +5,7 @@
 //
 #version 3.7;
 #include "colors.inc"
+#include "macros.inc"
 
 global_settings {
 	assumed_gamma 1
@@ -12,12 +13,6 @@ global_settings {
 
 #declare imagescale = 0.034;
 
-#declare O = <0, 0, 0>;
-#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>);
-#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>);
-#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>);
-#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>);
-
 camera {
 	location <40, 20, -20>
 	look_at <0, 0.24, -0.20>
@@ -26,7 +21,7 @@ camera {
 }
 
 light_source {
-	<10, 10, -40> color White
+	<30, 10, -40> color White
 	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
 	adaptive 1
 	jitter
@@ -38,150 +33,3 @@ sky_sphere {
 	}
 }
 
-//
-// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
-// color <c>
-//
-#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
-#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
-#declare arrowlength = vlength(to - from);
-union {
-        sphere {
-                from, 1.1 * arrowthickness
-        }
-        cylinder {
-                from,
-                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
-                arrowthickness
-        }
-        cone {
-                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
-                2 * arrowthickness,
-                to,
-                0
-        }
-        pigment {
-                color c
-        }
-        finish {
-                specular 0.9
-                metallic
-        }
-}
-#end
-
-#macro grosskreis(normale, staerke)
-union {
-	#declare v1 = vcross(normale, <normale.x, normale.z, normale.y>);
-	#declare v1 = vnormalize(v1);
-	#declare v2 = vnormalize(vcross(v1, normale));
-	#declare phisteps = 100;
-	#declare phistep = pi / phisteps;
-	#declare phi = 0;
-	#declare p1 = v1;
-	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
-		sphere { p1, staerke }
-		#declare phi = phi + phistep;
-		#declare p2 = v1 * cos(phi) + v2 * sin(phi);
-		cylinder { p1, p2, staerke }
-		#declare p1 = p2;
-	#end
-}
-#end
-
-#macro seite(p, q, staerke)
-	#declare n = vcross(p, q);
-	intersection {
-		grosskreis(n, staerke)
-		plane { -vcross(n, q) * vdot(vcross(n, q), p), 0 }
-		plane { -vcross(n, p) * vdot(vcross(n, p), q), 0 }
-	}
-#end
-
-#macro winkel(w, p, q, staerke, r)
-	#declare n = vnormalize(w);
-	#declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n);
-	#declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n);
-	intersection {
-		sphere { O, 1 + staerke }
-		cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r }
-		plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 }
-		plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 }
-	}
-#end
-
-#macro punkt(p, staerke)
-	sphere { p, 1.5 * staerke }
-#end
-
-#macro dreieck(p, q, r, farbe)
-	#declare n1 = vnormalize(vcross(p, q));
-	#declare n2 = vnormalize(vcross(q, r));
-	#declare n3 = vnormalize(vcross(r, p));
-	intersection {
-		plane { n1, 0 }
-		plane { n2, 0 }
-		plane { n3, 0 }
-		sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 }
-		pigment {
-			color farbe
-		}
-		finish {
-			metallic
-			specular 0.4
-		}
-	}
-#end
-
-#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe)
-	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
-	#declare np = vnormalize(-vcross(p, n));
-	#declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n));
-//	arrow(a, a + n, 0.02, White)
-//	arrow(a, a + np, 0.01, Red)
-//	arrow(a, a + nq, 0.01, Blue)
-	intersection {
-		cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r }
-		plane { np, vdot(np, a) }
-		plane { nq, vdot(nq, a) }
-		pigment {
-			farbe
-		}
-		finish {
-			metallic
-			specular 0.5
-		}
-	}
-#end
-
-#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe)
-	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
-//	arrow(a, a + n, 0.015, Orange)
-	#declare m = vnormalize(-vcross(q, n));
-//	arrow(a, a + m, 0.015, Pink)
-	ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe)
-#end
-
-#declare fett = 0.015;
-#declare fein = 0.010;
-
-#declare klein = 0.3;
-#declare gross = 0.4;
-
-#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>;
-#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>;
-#declare gruen = rgb<0,0.6,0>;
-#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>;
-
-#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>;
-#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>;
-
-#macro kugel(farbe)
-sphere {
-	<0, 0, 0>, 1
-	pigment {
-		color farbe
-	}
-}
-#end
-
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
index 015bce7..fecaece 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
index e491075..336161c 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
@@ -3,8 +3,11 @@
 //
 // (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 //
+#version 3.7;
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugeldunkel)
+
 union {
 	seite(A, B, fett)
 	seite(B, C, fett)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov
new file mode 100644
index 0000000..2dd7c79
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov
@@ -0,0 +1,46 @@
+//
+// dreiecke3d10.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+erde()
+
+#declare Stern1 = Deneb;
+#declare Stern2 = Spica;
+
+koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001)
+
+union {
+	seite(A, Stern1, 0.5*fein)
+	seite(A, Stern2, 0.5*fein)
+	seite(A, Sakura, 0.5*fein)
+	seite(Stern1, Sakura, 0.5*fein)
+	seite(Stern2, Sakura, 0.5*fein)
+	seite(Stern1, Stern2, 0.5*fein)
+
+	punkt(A, fein)
+	punkt(Sakura, fett)
+	punkt(Deneb, fein)
+	punkt(Spica, fein)
+	punkt(Altair, fein)
+	punkt(Arktur, fein)
+	pigment {
+		color Red
+	}
+}
+
+//arrow(<-1.3,0,0>, <1.3,0,0>, fein, White)
+arrow(<0,-1.3,0>, <0,1.3,0>, fein, White)
+//arrow(<0,0,-1.3>, <0,0,1.3>, fein, White)
+
+#declare imagescale = 0.044;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
index 6b3f09d..28af5fe 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
index c0625ce..9e57d22 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
@@ -5,6 +5,8 @@
 //
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugeldunkel)
+
 union {
 	seite(A, B, fett)
 	seite(B, C, fett)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
index 7d79455..4fc4fc1 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
index b6f64d5..bde780b 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
@@ -5,6 +5,8 @@
 //
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugeldunkel)
+
 union {
 	seite(A, B, fett)
 	seite(B, C, fett)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
index e1ea757..0d57fc2 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
index b6f17e3..08f266b 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
@@ -5,6 +5,8 @@
 //
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugelfarbe)
+
 union {
 	seite(A, B, fein)
 	seite(A, C, fein)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
index 0c86d36..a5dd0ae 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
index 188f181..1aac0dc 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
@@ -5,6 +5,8 @@
 //
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugeldunkel)
+
 union {
 	seite(A, B, fein)
 	seite(A, C, fein)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
index 191a1e7..6bbd1a9 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
@@ -5,6 +5,8 @@
 //
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugeldunkel)
+
 union {
 	seite(A, B, fett)
 	seite(A, C, fett)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
index aae5c6c..45dc5d6 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
@@ -5,6 +5,8 @@
 //
 #include "common.inc"
 
+kugel(kugeldunkel)
+
 union {
 	seite(A, C, fett)
 	seite(A, P, fett)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
index 52bd25e..f24ea33 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
index 9d630aa..da3b110 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
index 9e9921a..dae7f67 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
@@ -93,4 +93,5 @@ object {
 
 dreieck(A, B, C, White)
 
+kugel(kugeldunkel)
 
diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.inc b/buch/papers/nav/images/macros.inc
new file mode 100644
index 0000000..20cb2ff
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/macros.inc
@@ -0,0 +1,345 @@
+//
+// macros.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+//
+// Dimensions
+//
+#declare fett = 0.015;
+#declare fein = 0.010;
+
+#declare klein = 0.3;
+#declare gross = 0.4;
+
+//
+// colors
+//
+#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>;
+#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>;
+#declare gruen = rgb<0,0.6,0>;
+#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>;
+
+#declare bekannt = rgb<0.2,0.6,1>;
+#declare unbekannt = rgb<1.0,0.6,0.8>;
+
+#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>;
+#declare kugeldunkel = rgb<0.4,0.4,0.4>;
+#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>;
+
+#declare gitterfarbe = rgb<0.2,0.6,1>;
+#declare gitterfarbe = rgb<1.0,0.8,0>;
+
+//
+// Points Points
+//
+#declare O = <0, 0, 0>;
+#declare Nordpol = vnormalize(< 0, 1, 0>);
+#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>);
+#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>);
+#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>);
+#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>);
+
+//
+// \brief convert spherical coordinates to recctangular coordinates
+//
+// \param phi 
+// \param theta
+//
+#macro kugelpunkt(phi, theta)
+	< sin(theta) * cos(phi - pi), cos(theta), sin(theta) * sin(phi - pi) >
+#end
+
+#declare Sakura = kugelpunkt(radians(140.2325498), radians(90 -   35.71548014));
+#declare Deneb  = kugelpunkt(radians(191.9397759), radians(90 -   45.361194));
+#declare Spica  = kugelpunkt(radians(82.9868559),  radians(90 - (-11.279666)));
+#declare Altair = kugelpunkt(radians(179.3616609), radians(90 -    8.928416));
+#declare Arktur = kugelpunkt(radians(95.5647759),  radians(90 -   19.063222));
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+        sphere {
+                from, 1.1 * arrowthickness
+        }
+        cylinder {
+                from,
+                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+                arrowthickness
+        }
+        cone {
+                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+                2 * arrowthickness,
+                to,
+                0
+        }
+        pigment {
+                color c
+        }
+        finish {
+                specular 0.9
+                metallic
+        }
+}
+#end
+
+#declare ntsteps = 100;
+
+//
+// \brief Draw a circle
+//
+// \param b1	basis vector for a coordinate system of the plane containing
+//		the circle
+// \param b2	the other basis vector
+// \param o	center of the circle
+// \param thick	diameter of the circular tube
+//
+#macro kreis(b1, b2, o, thick, maxwinkel)
+	#declare tpstep = pi / ntsteps;
+	#declare tp = tpstep;
+	#declare p1 = b1 + o;
+	sphere { p1, thick }
+	#declare tpstep = pi/ntsteps;
+	#while (tp < (maxwinkel - tpstep/2))
+		#declare p2 = cos(tp) * b1 + sin(tp) * b2 + o;
+		cylinder { p1, p2, thick }
+		sphere { p2, thick }
+		#declare p1 = p2;
+		#declare tp = tp + tpstep;
+	#end
+	#if ((tp - tpstep) < maxwinkel)
+		#declare p2 = cos(maxwinkel) * b1 + sin(maxwinkel) * b2 + o;
+		cylinder { p1, p2, thick }
+		sphere { p2, thick }
+	#end
+#end
+
+//
+// \brief Draw a great circle
+//
+// \param normale	the normal of the plane containing the great circle
+// \param thick		diameter
+//
+#macro grosskreis(normale, thick)
+	#declare other = < normale.y, -normale.x, normale.z >;
+	#declare b1 = vnormalize(vcross(other, normale));
+	#declare b2 = vnormalize(vcross(normale, b1));
+	kreis(b1, b2, <0,0,0>, thick, 2*pi)
+#end
+
+//
+// \brief Draw a circle of latitude
+//
+// \param theta		latitude
+// \param thick		diameter
+//
+#macro breitenkreis(theta, thick)
+	#declare b1 = sin(theta) * kugelpunkt(0, pi/2);
+	#declare b2 = sin(theta) * kugelpunkt(pi/2, pi/2);
+	#declare o = < 0, cos(theta), 0 >;
+	kreis(b1, b2, o, thick, 2*pi)
+#end
+
+//
+// \brief Draw the great circle connecting the two points
+//
+// \param p		first point
+// \param q		second point
+// \param staerke	diameter
+//
+
+#macro seite(p, q, staerke)
+	#declare s1 = vnormalize(p);
+	#declare s2 = vnormalize(q);
+	#declare w = acos(vdot(s1, s2));
+	#declare n = vnormalize(vcross(p, q));
+	#declare s2 = vnormalize(vcross(n, s1));
+	kreis(s1, s2, O, staerke, w)
+#end
+
+//
+// \brief Draw an angle
+//
+// \param w		the edge where the angle is located
+// \param p		point on the first leg
+// \param q		point on the second leg
+// \param r		diameter of the angle
+//
+#macro winkel(w, p, q, staerke, r)
+	#declare n = vnormalize(w);
+	#declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n);
+	#declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n);
+	intersection {
+		sphere { O, 1 + staerke }
+		cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r }
+		plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 }
+		plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 }
+	}
+#end
+
+//
+// \brief Draw a point on the sphere as a circle
+//
+// \param p		the point
+// \param staerke	the diameter of the point
+//
+#macro punkt(p, staerke)
+	sphere { p, 1.5 * staerke }
+#end
+
+//
+// \brief Draw a circle as a part of the differently colored cutout from 
+//        the sphere
+//
+// \param p		first point of the triangle
+// \param q		second point of the triangle
+// \param r		third point of the triangle
+// \param farbe		color
+//
+#macro dreieck(p, q, r, farbe)
+	#declare n1 = vnormalize(vcross(p, q));
+	#declare n2 = vnormalize(vcross(q, r));
+	#declare n3 = vnormalize(vcross(r, p));
+	intersection {
+		plane { n1, 0 }
+		plane { n2, 0 }
+		plane { n3, 0 }
+		sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 }
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.4
+		}
+	}
+#end
+
+//
+// \brief 
+//
+// \param a		axis of the angle
+// \param p		first leg
+// \param q		second leg
+// \param s		thickness of the angle disk
+// \param r		radius of the angle disk
+// \param farbe		color
+//
+#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe)
+	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
+	#declare np = vnormalize(-vcross(p, n));
+	#declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n));
+//	arrow(a, a + n, 0.02, White)
+//	arrow(a, a + np, 0.01, Red)
+//	arrow(a, a + nq, 0.01, Blue)
+	intersection {
+		cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r }
+		plane { np, vdot(np, a) }
+		plane { nq, vdot(nq, a) }
+		pigment {
+			farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.5
+		}
+	}
+#end
+
+//
+// \brief Show the complement angle
+//
+//
+#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe)
+	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
+//	arrow(a, a + n, 0.015, Orange)
+	#declare m = vnormalize(-vcross(q, n));
+//	arrow(a, a + m, 0.015, Pink)
+	ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe)
+#end
+
+//
+// \brief Show a coordinate grid on the sphere
+//
+// \param farbe		the color of the grid
+// \param thick		the line thickness
+//
+#macro koordinatennetz(farbe, netzschritte, thick)
+union {
+	// circles of latitude
+	#declare theta = pi/(2*netzschritte);
+	#declare thetastep = pi/(2*netzschritte);
+	#while (theta < pi - thetastep/2)
+		breitenkreis(theta, thick)
+		#declare theta = theta + thetastep;
+	#end
+	// cirles of longitude
+	#declare phi = 0;
+	#declare phistep = pi/(2*netzschritte);
+	#while (phi < pi-phistep/2)
+		grosskreis(kugelpunkt(phi, pi/2), thick)
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+//
+// \brief Display a color of given color
+//
+// \param farbe		the color
+//
+#macro kugel(farbe)
+sphere {
+	<0, 0, 0>, 1
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+}
+#end
+
+//
+// \brief Display the earth 
+//
+#macro erde(winkel)
+sphere {
+	<0, 0, 0>, 1
+	pigment {
+		image_map {
+			png "2k_earth_daymap.png" gamma 1.0
+			map_type 1
+		}
+	}
+	rotate <0,winkel,0>
+}
+#end
+
+//
+// achse
+//
+#macro achse(durchmesser, farbe)
+	cylinder {
+		< 0, -1.2, 0 >, <0, 1.2, 0 >, durchmesser
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+	}
+#end
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png
new file mode 100644
index 0000000..4d55da8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/Makefile b/buch/papers/nav/images/position/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..eed2e56
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/Makefile
@@ -0,0 +1,69 @@
+#
+# Makefile to build images 
+#
+# (c) 2022
+#
+all:	position
+
+POSITION =								\
+	position1.pdf position1-small.pdf				\
+	position2.pdf position2-small.pdf				\
+	position3.pdf position3-small.pdf				\
+	position4.pdf position4-small.pdf				\
+	position5.pdf position5-small.pdf	
+
+position: $(POSITION)
+
+POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
+#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
+
+position1.png:	position1.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition1.png position1.pov
+position1.jpg:	position1.png
+	convert position1.png -density 300 -units PixelsPerInch position1.jpg
+position1.pdf:	position1.tex common.tex position1.jpg
+	pdflatex position1.tex
+
+position2.png:	position2.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition2.png position2.pov
+position2.jpg:	position2.png
+	convert position2.png -density 300 -units PixelsPerInch position2.jpg
+position2.pdf:	position2.tex common.tex position2.jpg
+	pdflatex position2.tex
+
+position3.png:	position3.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition3.png position3.pov
+position3.jpg:	position3.png
+	convert position3.png -density 300 -units PixelsPerInch position3.jpg
+position3.pdf:	position3.tex common.tex position3.jpg
+	pdflatex position3.tex
+
+position4.png:	position4.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition4.png position4.pov
+position4.jpg:	position4.png
+	convert position4.png -density 300 -units PixelsPerInch position4.jpg
+position4.pdf:	position4.tex common.tex position4.jpg
+	pdflatex position4.tex
+
+position5.png:	position5.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition5.png position5.pov
+position5.jpg:	position5.png
+	convert position5.png -density 300 -units PixelsPerInch position5.jpg
+position5.pdf:	position5.tex common.tex position5.jpg
+	pdflatex position5.tex
+
+position1-small.pdf:	position1-small.tex common.tex position1.jpg
+	pdflatex position1-small.tex
+position2-small.pdf:	position2-small.tex common.tex position2.jpg
+	pdflatex position2-small.tex
+position3-small.pdf:	position3-small.tex common.tex position3.jpg
+	pdflatex position3-small.tex
+position4-small.pdf:	position4-small.tex common.tex position4.jpg
+	pdflatex position4-small.tex
+position5-small.pdf:	position5-small.tex common.tex position5.jpg
+	pdflatex position5-small.tex
+
+test:	test.pdf
+
+test.pdf:	test.tex $(POSITION)
+	pdflatex test.tex
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..9430608
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+%
+% common.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};}
+\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};}
+\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};}
+\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};}
+
+\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};}
+\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};}
+\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};}
+
+\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};}
+\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};}
+\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};}
+
+\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};}
+\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};}
+\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};}
+\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};}
+
+\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};}
+\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};}
+\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};}
+\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};}
+
+\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};}
+\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.inc b/buch/papers/nav/images/position/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..56e2836
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/common.inc
@@ -0,0 +1,39 @@
+//
+// common.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "../macros.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<30, 10, -40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+//kugel(kugeldunkel)
+erde(-100)
+koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001)
+achse(fein, White)
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.tex b/buch/papers/nav/images/position/common.tex
new file mode 100644
index 0000000..9430608
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/common.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+%
+% common.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};}
+\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};}
+\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};}
+\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};}
+
+\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};}
+\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};}
+\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};}
+
+\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};}
+\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};}
+\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};}
+
+\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};}
+\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};}
+\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};}
+\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};}
+
+\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};}
+\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};}
+\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};}
+\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};}
+
+\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};}
+\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ba7755f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..05fad44
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% position1-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelC
+\labelP
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+\labell
+
+\labelhb
+\labelhc
+
+\labelalpha
+\labelomega
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fc4f760
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pov b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov
new file mode 100644
index 0000000..a79a9f1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov
@@ -0,0 +1,71 @@
+//
+// position1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(B, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, P, fett)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fett, klein)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex
new file mode 100644
index 0000000..d6c21c3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% dreieck3d1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelC
+\labelP
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+\labell
+
+\labelhb
+\labelhc
+
+\labelalpha
+\labelomega
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3333dd4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..e5c33cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% position2-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelC
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+
+\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm]
+\labelalpha
+\end{scope}
+\labelbeta
+\labelgamma
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..dbd2ea9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pov b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov
new file mode 100644
index 0000000..2abcd94
--- /dev/null
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+	}
+}
+
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+		color bekannt
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+
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+\usepackage[utf8]{inputenc}
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new file mode 100644
index 0000000..fae0b85
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf
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index 0000000..4f7b0e9
--- /dev/null
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+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
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+
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+
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+
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+
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+\labelgammaone
+
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+
+\end{document}
+
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new file mode 100644
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf
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new file mode 100644
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+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.tex
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+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
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+\def\hoehe{4}
+
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+
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+
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+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
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new file mode 100644
index 0000000..ac80c46
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex
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+%
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+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+
+\input{common-small.tex}
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+\newboolean{showgrid}
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+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
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+% Gitter
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+
+\labelA
+\labelB
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+
+\labelc
+\labell
+\labelhb
+
+\labelomegalinks
+\labelbetatwo
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
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new file mode 100644
index 0000000..8eeeaac
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf
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new file mode 100644
index 0000000..80628f9
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+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+dreieck(A, B, P, kugelfarbe)
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new file mode 100644
index 0000000..27c1757
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.tex
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+
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+
+\end{document}
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new file mode 100644
index 0000000..afe120e
--- /dev/null
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new file mode 100644
index 0000000..0a0e229
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex
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+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
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+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
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+\newboolean{showgrid}
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+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
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+
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+
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+
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+
+\labelomegarechts
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+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf
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+\documentclass[tikz]{standalone}
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+\labelA
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/test.tex
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+% test.tex
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+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+\documentclass[12pt]{article}
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+Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit.
+Aenean
+commodo ligula eget dolor.
+Aenean massa.
+Cum sociis natoque penatibus
+et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus.
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+Nullam dictum felis eu pede mollis pretium.
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+Nullam sagittis. Suspendisse pulvinar, augue ac venenatis condimentum,
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+
+\pagebreak
+
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+\end{wrapfigure}
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index 4c52547..f993559 100644
--- a/buch/papers/nav/main.tex
+++ b/buch/papers/nav/main.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
 \input{papers/nav/sincos.tex}
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 \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex}
+\input{papers/nav/bsp2.tex}
 
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
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+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -1,10 +1,11 @@
 \section{Das Nautische Dreieck}
+\rhead{Das nautische Dreieck}
 \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks}
 Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.
 Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird.
-Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. 
+Als Gestirne kommen Sterne und Planeten in Frage, zu welchen in diversen Jahrbüchern die für die Navigation nötigen Daten publiziert sind.
 Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert.
-Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann.
+Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung \ref{naut} sehen kann.
 
 Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. 
 
@@ -13,21 +14,24 @@ Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astrono
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png}
 		\caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck}
+		\label{naut}
 	\end{center}
 \end{figure}
  Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren.
 Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. 
 Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. 
-Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt.
+Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt.
 
 \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel}
+\label{sta}
 Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. 
 Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen.
-Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt.
+Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt \ref{ephe} erklärt.
 \begin{figure}
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
 		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+		\label{d1}
 	\end{center}
 \end{figure}
 
@@ -39,15 +43,16 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem
 Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. 
 Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach.
 
-\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$}
+\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt von $X$ und $Y$}
 Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
 Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
 Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.
 
-Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5.
+Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung \ref{d1}.
 \subsection{Ephemeriden}
-Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. 
-Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit.
+\label{ephe}
+Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeridentabellen. 
+Diese Tabellen enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit.
 
 \begin{figure}
 	\begin{center}
@@ -63,20 +68,19 @@ Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und
 Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus.
 
 Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel  ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar.
-Die Lösung ist die Sternzeit. 
-Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. 
-
-Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet.
+Die Lösung ist die Sternzeit $\theta$. 
+Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen.
+Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet und $\theta=0$ ist. 
 Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. 
 Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt.
 Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich
 
-\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\]
+\[\theta = 6^h 41^m 50^s.54841 + 8640184^s.812866 \cdot T + 0^s.093104 \cdot T^2 - 0^s.0000062 \cdot T^3.\]
 
 Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist.
 Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
 \subsubsection{Sextant}
-Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. 
+Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand vom Horizont zum Gestirn gemessen. 
 Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See.
 
 \begin{figure}
@@ -85,49 +89,24 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See.
 		\caption[Sextant]{Sextant}
 	\end{center}
 \end{figure}
-\subsubsection{Eingeschaften}
-Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften:
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{ l c l }
-		Legende && Name / Beziehung \\ 
-		\hline
-		$\alpha$ && Rektaszension \\  
-		$\delta$ && Deklination \\
-		$\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\
-		$\phi$  &&  Geographische Breite\\
-		$\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\
-		$a$ &&      Azimut\\
-		$h$ &&      Höhe
-	\end{tabular}
-\end{center}
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{ l c l }
-		Eigenschaften \\
-		\hline
-		Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$  \\  
-		Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$  \\
-		Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\
-		Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn=  &&  $\pi-\alpha$\\
-		Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\
-	\end{tabular}
-\end{center}
-\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$}
+\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} \label{p}
+Wir nehmen die Abbildung \ref{d2} zur Hilfe.
 Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
 Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$.
-Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant.
+Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant.
 
 \begin{figure}
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
 		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+		\label{d2}
 	\end{center}
 \end{figure}
 
-
 \subsubsection{Dreieck $ABC$}
 
 \begin{center}
-	\begin{tabular}{ c c c }
+	\begin{tabular}{ l l l }
 		Ecke && Name  \\ 
 		\hline
 		$A$ && Nordpol \\  
@@ -137,19 +116,17 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig
 \end{center}
 
 Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
+Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt:
 
-Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$.
-Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. 
-
-Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$.
-Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. 
-
-Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$.
-Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. 
+\begin{enumerate}
+	\item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$.  
+	\item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$, dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$.
+	\item Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$, dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$.
+\end{enumerate}
 
 mit 
 \begin{center}
-	\begin{tabular}{ c c c }
+	\begin{tabular}{ l l l }
 		Ecke && Name  \\ 
 		\hline
 		$\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\  
@@ -166,12 +143,9 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen.
 Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
 
 Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$.
-Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\]
-Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. 
-Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. 
-Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\]
+Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma =  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\].
 
-Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$  und  $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet.
+Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$  und  $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet.
 
 \subsubsection{Dreieck $BPC$}
 Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. 
@@ -180,12 +154,11 @@ Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer
 
 Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$.
 Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ 
-
 mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen.
 
 Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\]  mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. 
 \subsubsection{Dreieck $ABP$}
-Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen.
+Nun muss man eine Verbindungslinie des Standorts zwischen $P$ und $A$ ziehen. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen.
 Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$.
 Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\]
 und
@@ -193,8 +166,7 @@ und
 \delta  =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)].
 \]
 
-Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. 
-Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. 
-Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich 
-\[\lambda=\lambda_1 - \omega\]
+Für die geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. 
+Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg]\] berechnen und bekommen schlussendlich die geographische Länge 
+\[\lambda=\lambda_1 - \omega,\]
 wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist.
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@@ -9,4 +9,4 @@
 %\usepackage{packagename}
 
 \usepackage{amsmath}
-\usepackage{cancel}
-\ No newline at end of file
+\usepackage{cancel}
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@@ -32,4 +32,10 @@
         pages = {607--627},
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index a1653e8..b64d100 100644
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+++ b/buch/papers/nav/sincos.tex
@@ -2,18 +2,19 @@
 
 
 \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
-Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. 
+\rhead{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
+Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. 
 Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. 
+Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
 
-Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
-Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. 
-Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. 
+Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom namens Hipparchos. 
+Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chordfunktionen, auch Chord genannt, beinhalten.
 Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie.
 In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. 
 
+Die Definition der trigonometrischen Funktionen aus Griechenland ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen.
 Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen.
-Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. 
-Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. 
+Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz.  
 Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt.
 Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann.
 Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen.
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index aca8bd2..483b612 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,5 +1,7 @@
 
 \section{Sphärische Trigonometrie}
+\rhead{Sphärische Trigonometrie}
+
 \subsection{Das Kugeldreieck}
 Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
 Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
@@ -7,46 +9,49 @@ Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Sch
 Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
 Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
-Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
-$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
-
 Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
 Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist.
 
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
 
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). 
+
 \begin{figure}
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\includegraphics[width=3.5cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
 		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
+		\label{kugel}
 	\end{center}
 	
 \end{figure}
 
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
 
 Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
-Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann.
+Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann.
 
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
-		\caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck}
+		\includegraphics[width=5cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
+		\caption[Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck]{Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck}
+		\label{recht}
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
 \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
-\begin{figure}
+\label{trigo}
+%\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht!
 	
-	\begin{center}
-		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
-		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
-	\end{center}	
-\end{figure}
+%	\begin{center}
+%		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+%		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
+%	\end{center}	
+%\end{figure}
 
 
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
@@ -64,16 +69,17 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu
 
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
 Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
-\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
+\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\]
 
+In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden.
 \subsection{Seiten und Winkelberechnung}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht.
-Die Approximation folgt noch. 
+Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck.
+Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Form des Satzes des Pythagoras sehen kann.
 Es gilt nämlich:
 \begin{align}
 	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
-	\quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+	\quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber
 \end{align}
 
 \subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
@@ -87,20 +93,22 @@ So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärisch
 Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
 \begin{align}
 	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
-	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+	\frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber
 \end{align}
-Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
+Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
 
 \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
-Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
 
-\begin{align}
-	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
-	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
-	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
+\begin{align*}
+	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c),  \\
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. 
+	\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} 
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2}  \\
 	-a^2-b^2 &=-c^2\\
-	a^2+b^2&=c^2
-\end{align}
+	a^2+b^2&=c^2.
+\end{align*}
+Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras.
 
 \subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
 Den sphärischen Sinussatz 
@@ -116,7 +124,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
-
 \begin{align}
 	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
 \end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
@@ -124,9 +131,9 @@ und den Winkelkosinussatz
 Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
 \begin{align}
 	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
-	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
-	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
-	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:}
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\
+	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha).
 \end{align}
author	Patrik Müller <36931350+p1mueller@users.noreply.github.com>	2022-07-19 07:55:33 +0200
committer	GitHub <noreply@github.com>	2022-07-19 07:55:33 +0200
commit	2f2762eb04c6d881c902dc5e4e31d0122717aaf6 (patch)
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