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author | haddoucher <reda.haddouche@ost.ch> | 2022-08-25 16:59:37 +0200 |
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Tschebyscheff-Polynome und Einleitung
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 08e25f2..6c5fb59 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -21,14 +21,11 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt. -Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen -Differentialgleichungen. -Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung. +Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder +partielle Differentialgleichung. Wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. +Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in +mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -52,7 +49,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -77,9 +74,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Abschnitt diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" @@ -130,6 +127,7 @@ Sturm-Liouville-Problem. \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere -Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung -eindeutig ist. +Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren. +Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen +nicht mehr nur aus Eigenvektoren. + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8f673a5..dfc6798 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -7,6 +7,13 @@ \subsection{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} +In diesem Unterkapitel wird anhand der +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können. +Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine +kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. + \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: @@ -34,8 +41,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ + k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome @@ -45,17 +52,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, -die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. +Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{regulär oder singulär?} +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -73,19 +79,27 @@ Die Funktion p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. - +Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +die Bedingungen erfüllen. +Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} - Die Gleichung + In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion + illustriert. + Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. \] - - mit - $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ - \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \begin{aligned} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= + \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + &= 0. + \end{aligned} \] + Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind. + Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden. \end{beispiel} |