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authorrunterer <r.unterer@gmx.ch>2022-05-27 20:10:13 +0200
committerrunterer <r.unterer@gmx.ch>2022-05-27 20:10:13 +0200
commit7459c95431d89576126a6a0007238592a4f5f033 (patch)
treebcc0743a8c797d120a683f235db97895c8f21ccf /buch/papers
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-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex26
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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 408a1f7..40424e0 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -14,7 +14,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat
\centering
\input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
\caption{
- Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion.
+ Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion.
Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}.
Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$.
@@ -76,33 +76,35 @@ Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen
\int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
\end{equation}
Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
-\begin{align}
+\begin{equation}
\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
- &=
+ =
\int_0^{\infty}
(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
- \,dx
- && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
- \\
+ \,dx.
+\end{equation}
+Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
+\begin{equation}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
- &=
+ =
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
- \,dx
- && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
- \\
+ \,dx,
+\end{equation}
+und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+\begin{equation}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
\zeta(s)
- &=
+ =
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\sum_{n=1}^{\infty}
e^{-\pi n^2 x}
\,dx. \label{zeta:equation:integral1}
-\end{align}
+\end{equation}
Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
Es gilt