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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-23 15:46:42 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-23 15:46:42 +0200
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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex2
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex10
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex45
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex16
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex4
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
index 94082cf..c0a6e8f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Beispiele
-\label{sturmliouville:section:examples}}
+\label{sturmliouville:sec:examples}}
\rhead{Beispiele}
% Fourier: Erik work
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 7c52a5c..d8e2112 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -20,7 +20,7 @@
% 5. Base of orthonormal functions
\section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
@@ -34,7 +34,7 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
geschlossen.
\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
-\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
+\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}}
% TODO: intro
@@ -81,7 +81,7 @@ Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung
\]
in das Eigenwertproblem
\begin{equation}
- \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
+ \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem}
L y
=
\lambda y.
@@ -90,12 +90,12 @@ umzuschreiben.
\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
-Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher
angeschaut.
Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
Operator $L$ genauer betrachtet.
Analog zur Matrix $A$ aus
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
\[
\langle L v, w\rangle
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 4ed3752..2552574 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -32,12 +32,12 @@ partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
-\begin{equation}
+\[
\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\end{equation}
+\]
als
\begin{equation}
- \label{eq:sturm-liouville-equation}
+ \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
\lambda w(x)) y
=
@@ -47,18 +47,20 @@ geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
bezeichnet.
\end{definition}
Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
-in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt
-werden.
+in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
+umgewandelt werden.
-Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
+Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
-\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
+\subsection{Randbedingungen
+\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
Differentialgleichung genau zu bestimmen.
Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
\begin{equation}
\begin{aligned}
- \label{eq:randbedingungen}
+ \label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
\end{aligned}
@@ -66,26 +68,28 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
-\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}}
+\subsection{Koeffizientenfunktionen
+\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
-Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt.
+Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
+Sturm-Liouville-Form bringt.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert.
-
-
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
+einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
+im nächsten Kapitel diskutiert.
%
%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
%
\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
-\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
+\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
Bedingungen beachtet werden.
\begin{definition}
- \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
+ \label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}
\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
\begin{itemize}
@@ -94,11 +98,13 @@ Bedingungen beachtet werden.
\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
sein.
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
- \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei
+ \item Es gelten die Randbedingungen
+ \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei
$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
-Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
+Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
+Sturm-Liouville-Problem.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
@@ -112,8 +118,9 @@ Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres S
Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
Schaut man jetzt die Bedingungen im
- Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit
- unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+ Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und
+ vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
+ Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index cad71d7..18e6198 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -5,15 +5,15 @@
%
\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
-\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
\begin{align*}
w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
- q(x) &= 0
-\end{align*}.
+ q(x) &= 0.
+\end{align*}
Da die Sturm-Liouville-Gleichung
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
@@ -27,7 +27,7 @@ ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
\subsubsection*{regulär oder singulär?}
Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
@@ -55,7 +55,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
+Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+erhält man
\begin{equation}
\begin{aligned}
k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
@@ -81,8 +82,9 @@ auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
Lösungen orthogonal sind.
\begin{beispiel}
- Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und
- $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+ Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
+ $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+ ergibt
\[
\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
\]
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 4992150..356e259 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -161,8 +161,8 @@ $p(x)$
benötigt.
Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
mit der
-Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
-$p(x) = 1$ führt.
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
+verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt.
Werden nun $p(x)$ und die
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}