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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-25 12:48:21 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-25 12:48:21 +0200
commit2ea641baa5990d5439f8e626618d5ff0968f61ba (patch)
tree226ae01c68a909da886a54831d52422f778f5233 /buch
parentFirst part of fourier example revised. (diff)
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SeminarSpezielleFunktionen-2ea641baa5990d5439f8e626618d5ff0968f61ba.zip
Revision of fourier example done.
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex101
1 files changed, 68 insertions, 33 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 8e3be72..2104645 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -321,8 +321,8 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
\[
\begin{aligned}
\sin(\beta l) &= 0 \\
- \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
- \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
+ \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{aligned}
\]
@@ -364,8 +364,8 @@ Es folgt nun
\[
\begin{aligned}
\sin(\alpha l) &= 0 \\
- \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
- \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+ \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
+ \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{aligned}
\]
und somit
@@ -382,24 +382,32 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden
-\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
\end{equation}
-% TODO: infinite base vectors and fourier series
-\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
+\subsubsection{Fourierreihe als Lösung}
-% TODO: check ease of reading
-\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
-
-% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
-
-%
-% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
-%
+Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun
+wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell
+unendlich viele Lösungen gibt.
+Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen
+Koeffizienten für jede Lösungsfunktion.
+Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination
+\[
+ X(x)
+ =
+ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ +
+ \sum_{n = 0}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\]
+aus allen möglichen Lösungen um.
-Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt.
-Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
-$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
-Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
-unterschiedlich sein.
-Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
+Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen,
+da
+\[
+ \begin{aligned}
+ a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\
+ b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0
+ \end{aligned}
+\]
+gilt endet man somit bei
\[
X(x)
=
@@ -409,10 +417,33 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
+
\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
\]
+Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
+Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
+orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines
+Sturm-Liouville-Problems handelt.
+Es gilt also
+\[
+\begin{aligned}
+ \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ &= 0 \qquad n \neq m \\
+ \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
+ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ &= 0 \qquad n \neq m \\
+ \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
+ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ &= 0.
+\end{aligned}
+\]
+
+\subsubsection{Berechnung der Fourierkoeffizienten}
+
+%
+% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
+%
-Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere
-Bedingungen benötigt.
-Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
+Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten wird nun die initiale
+Wärmeverteilung oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$ benötigt.
Es gilt also nun die Gleichung
\begin{equation}
\label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions}
@@ -479,8 +510,8 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
\end{aligned}
\]
-Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei
-skalliert wurde, also gilt nun
+Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
+um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt
\[
\begin{aligned}
\int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -587,7 +618,7 @@ $ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass
gilt.
Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
-Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
+Wie zuvor bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der
konstanten Funktion $1$.
Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
@@ -615,14 +646,14 @@ Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet:
\]
Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils
-über ein Vielfaches der Periode integriert wird.
+über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird.
Es bleibt also noch
\[
2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
=
- a_0 \int_{-l}^{l}dx
+ a_0 \int_{-l}^{l}dx,
\]
-, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
+was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
\[
\begin{aligned}
2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
@@ -651,13 +682,19 @@ Es bleibt also noch
\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
Zuletzt wird die zweite Gleichung der
Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
-Diese wird über das charakteristische Polynom
+Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
\[
\lambda - \kappa \mu
=
0
\]
-gelöst.
+der Gleichung
+\[
+ T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
+ =
+ 0
+\]
+und löst dieses.
Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
Lösung
@@ -677,8 +714,6 @@ ergibt.
Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
-% TODO: elaborate
-
\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
\[
\begin{aligned}