Herleitung fix

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diff --git a/buch/papers/fm/00_modulation.tex b/buch/papers/fm/00_modulation.tex
index dc99b40..e2ba39f 100644
--- a/buch/papers/fm/00_modulation.tex
+++ b/buch/papers/fm/00_modulation.tex
@@ -18,10 +18,14 @@ Mathematisch wird dann daraus
     \omega_i = \omega_c + \frac{d \varphi(t)}{dt}
 \]
 mit der Ableitung der Phase\cite{fm:NAT}.
-Mit diesen drei parameter ergeben sich auch drei modulationsarten, die Amplitudenmodulation welche \(A_c\) benutzt, 
-die Phasenmodulation \(\varphi\) und dann noch die Momentankreisfrequenz \(\omega_i\):
-\newline
-\newline
+Mit diesen drei Parameter ergeben sich auch drei Modulationsarten, die Amplitudenmodulation, welche \(A_c\) benutzt, 
+die Phasenmodulation \(\varphi\) und dann noch die Momentankreisfrequenz \(\omega_i\): 
+\begin{itemize}
+    \item AM
+    \item PM
+    \item FM
+\end{itemize}
+
 To do: Bilder jeder Modulationsart
 
 
diff --git a/buch/papers/fm/01_AM.tex b/buch/papers/fm/01_AM.tex
index 921fcf2..21927f5 100644
--- a/buch/papers/fm/01_AM.tex
+++ b/buch/papers/fm/01_AM.tex
@@ -17,8 +17,8 @@ Dies sieht man besonders in der Eulerischen Formel
 \[
     x_c(t) = \frac{A_c}{2} \cdot e^{j\omega_ct}\;+\;\frac{A_c}{2} \cdot e^{-j\omega_ct}.
 \]
-Dabei ist die negative Frequenz der zweiten komplexen Schwingung zwingend erforderlich, damit in der Summe immer ein reelwertiges Trägersignal ergibt.
-Nun wird der parameter \(A_c\) durch das  Moduierende Signal \(m(t)\) ersetzt, wobei so \(m(t) \leqslant |1|\) normiert wurde.
+Dabei ist die negative Frequenz der zweiten komplexen Schwingung zwingend erforderlich, damit in der Summe immer ein reellwertiges Trägersignal ergibt.
+Nun wird der Parameter \(A_c\) durch das  Modulierende Signal \(m(t)\) ersetzt, wobei so \(m(t) \leqslant |1|\) normiert wurde.
 \newline
 \newline
 TODO:
diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index eec64f2..5f85dc6 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -3,11 +3,11 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{FM und Besselfunktion 
+\section{FM und Bessel-Funktion 
 \label{fm:section:proof}}
 \rhead{Herleitung}
-Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\) wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Vorigen Kapittel beschreiben. (Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich).
-Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das Modulierende Signal \(m(t)\) ist.
+Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich.
+Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist.
 Somit haben wir unser \(x_c\) welches 
 \[
 \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
@@ -15,7 +15,7 @@ Somit haben wir unser \(x_c\) welches
 ist.
 
 \subsection{Herleitung}
-Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken:
+Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken:
 \begin{align}
     x_c(t)
     = 
@@ -43,22 +43,22 @@ Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme
     \cos(A-B)-\cos(A+B)
     \label{fm:eq:addth3}
 \end{align}
-und die drei Besselfunktions indentitäten,
+und die drei Bessel-Funktionsindentitäten,
 \begin{align}
     \cos(\beta\sin\phi)
     &=
-    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
+    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
     \label{fm:eq:besselid1}
     \\
     \sin(\beta\sin\phi)
     &=
-    2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
+    2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
     \label{fm:eq:besselid2}
     \\
     J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
     \label{fm:eq:besselid3}
 \end{align}
-welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie}.
+welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.
 
 \subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
 Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
@@ -70,70 +70,102 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
     \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
     \label{fm:eq:start}
 \]
-
+%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \subsubsection{Cos-Teil}
 Zu beginn wird der Cos-Teil
-\[
+\begin{align*}
+    c(t) 
+    &=
     \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
-\]
+\end{align*}
 mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
 \begin{align*}
-    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+    c(t)
     &=
-    (-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}
+    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+    \\
+    &=
+    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}}
 \end{align*}
-wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum
+%intertext{}   Funktioniert nicht.
+wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
 \begin{align*}
-    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) +(-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
+    c(t)
+    &=
+    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
     \\
-    =
-    (-1)^k \cdot \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} 
+    &=
+    \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} 
     \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m) 
-    \,+\, (-1)^k \cdot\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
+    \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
 \end{align*}
-
-Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term
-\[
-    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t),
+wird.
+Das Minus im Ersten Term wird  zur negativen Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) ersetzt.
+Da \(2k\) immer gerade ist, wird es durch alle negativen und positiven Ganzzahlen \(n\) ersetzt:
+\begin{align*}
+    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t),
     \label{fm:eq:gerade}
-\]
-dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig.
-
+\end{align*}
+%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \subsubsection{Sin-Teil}
 Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
-\[
+\begin{align*}
+    s(t) 
+    &=
     -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
-\]
+\end{align*}
 Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
 \begin{align*}
-    -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k \cdot J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
+    s(t) 
+    &=
+    -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
     \\
-    =
-    (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}.
+    &=
+    \sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t).
+\end{align*}
+Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt. 
+Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt:
+\begin{align*}
+    s(t)
+    &=
+    \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
 \end{align*}
-Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), 
-somit wird daraus
+Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), 
+somit wird daraus:
 \begin{align*}
-    (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - (2k+1)\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
+    s(t)
+    &=
+    \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \}
     \\
-    =
-    (-1)^k \cdot -\sum_{k=- \infty}^{-1} J_{2k+1}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t)}
-    \,-\, (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t) 
+    &=
+   \sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)}
+   \,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
 \end{align*}
-dieser Term.
-Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\).
-Somit wird neg.Teil zum Term 
-\[
-    (-1)^k \cdot \sum_{k= \infty}^{1} -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t).
-\] 
-TODO (jetzt habe ich zwei Summen die immer positiv sind? )
-Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert vereinfacht sich die Summe zu
+Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln.
+Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\).
+\begin{align*}
+    s(t)
+    &=
+    \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta)  \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
+    \underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+\end{align*}
+Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, 
+jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann:
+\begin{align*}
+    s(t)
+    &=
+    \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta)  \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
+    \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+\end{align*}
+Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht 
 \[
-     \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
-     \label{fm:eq:ungerade}
+    s(t)
+    =
+    \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
+    \label{fm:eq:ungerade}
 \]
-Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg.
-
+schreiben.
+%------------------------------------------------------------------------------------------
 \subsubsection{Summe Zusammenführen}
 Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade 
 \[
@@ -151,10 +183,9 @@ ergeben zusammen
 \]
 Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
 \newpage
-
-%----------------------------------------------------------------------------
+%-----------------------------------------------------------------------------------------
 \subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
-Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
+Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Bessel-Funktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf}
@@ -168,7 +199,7 @@ Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen
 TODO
 Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
 \begin{itemize}
-    \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Besselfunktion
+    \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Bessel-Funktion
     \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. 
     \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. 
 \end{itemize}