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authorrunterer <r.unterer@gmx.ch>2022-08-06 19:21:47 +0200
committerrunterer <r.unterer@gmx.ch>2022-08-06 19:21:47 +0200
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-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex364
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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 8484b28..a45791e 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -110,78 +110,24 @@ Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wi
\,dx,
\end{equation}
und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
-\begin{equation}
+\begin{align}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
\zeta(s)
- =
+ &=
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\sum_{n=1}^{\infty}
e^{-\pi n^2 x}
- \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
-\end{equation}
-Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
-Im Abschnitt \ref{zeta:subsec:poisson_summation} wird die poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ bewiesen.
-In unserem Problem ist $f(n) = e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
-\begin{equation}
- F(n)
- =
- \mathcal{F}
- (
- e^{-\pi n^2 x}
- )
- =
- \frac{1}{\sqrt{x}}
- e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
-\end{equation}
-Dadurch ergibt sich
-\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
- \sum_{n=-\infty}^{\infty}
- e^{-\pi n^2 x}
- =
- \frac{1}{\sqrt{x}}
- \sum_{n=-\infty}^{\infty}
- e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
-\end{equation}
-wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
-\begin{align}
- 2
- \sum_{n=1}^{\infty}
- e^{-\pi n^2 x}
- +
- 1
- &=
- \frac{1}{\sqrt{x}}
- \Biggl(
- 2
- \sum_{n=1}^{\infty}
- e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
- +
- 1
- \Biggr)
+ \,dx\label{zeta:equation:integral1}
\\
- 2
- \psi(x)
- +
- 1
&=
- \frac{1}{\sqrt{x}}
- \left(
- 2
- \psi\left(\frac{1}{x}\right)
- +
- 1
- \right)
- \\
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- &=
- - \frac{1}{2}
- + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
- + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+ \,dx,
\end{align}
-Diese Gleichung wird später wichtig werden.
-
-Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
+wobei die Summe $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$ als $\psi(x)$ abgekürzt wird.
+Zunächst teilen wir nun das Integral auf in zwei Teile
\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
@@ -202,100 +148,11 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
\,dx
}_{I_2}
=
- I_1 + I_2,
-\end{equation}
-wobei wir uns zunächst auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
-\begin{align}
- I_1
- =
- \int_0^{1}
- x^{\frac{s}{2}-1}
- \psi(x)
- \,dx
- &=
- \int_0^{1}
- x^{\frac{s}{2}-1}
- \Biggl(
- - \frac{1}{2}
- + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
- + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
- \Biggr)
- \,dx
- \\
- &=
- \int_0^{1}
- x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- \psi \left( \frac{1}{x} \right)
- + \frac{1}{2}
- \biggl(
- x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- -
- x^{\frac{s}{2}-1}
- \biggl)
- \,dx
- \\
- &=
- \underbrace{
- \int_0^{1}
- x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- \psi \left( \frac{1}{x} \right)
- \,dx
- }_{I_3}
- +
- \underbrace{
- \frac{1}{2}
- \int_0^1
- x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- -
- x^{\frac{s}{2}-1}
- \,dx
- }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
-\end{align}
-Darin kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
-\begin{equation}
- I_4
- =
- \frac{1}{2}
- \int_0^1
- x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- -
- x^{\frac{s}{2}-1}
- \,dx
- =
- \frac{1}{s(s-1)}.
+ I_1 + I_2.
\end{equation}
-Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
-Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
-Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
-Dies ergibt
-\begin{align}
- I_3
- =
- \int_{\infty}^{1}
- \left(
- \frac{1}{u}
- \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- \psi(u)
- \frac{-du}{u^2}
- &=
- \int_{1}^{\infty}
- \left(
- \frac{1}{u}
- \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
- \psi(u)
- \frac{du}{u^2}
- \\
- &=
- \int_{1}^{\infty}
- x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
- \psi(x)
- \,dx,
-\end{align}
-wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
-Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
-Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
-\begin{equation}
+Abschnitt \ref{zeta:subsubsec:intcal} beschreibt wie das Integral $I_1$ umgestellt werden kann um ebenfalls die Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ zu bekommen.
+Die Lösung, beschrieben in Gleichung \eqref{zeta:equation:intcal_res}, lautet
+\begin{equation*}
I_1
=
\int_0^{1}
@@ -309,8 +166,8 @@ Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und
\,dx
+
\frac{1}{s(s-1)}.
-\end{equation}
-Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\end{equation*}
+Dieses Resultat setzen wir nun ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
\begin{align}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
\zeta(s)
@@ -375,12 +232,14 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
\end{equation}
was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht.
Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
-%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
-\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
+\subsection{Berechnung des Integrals $I_1 = \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) \,dx$} \label{zeta:subsubsec:intcal}
-Der Beweis für Gleichung \eqref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
-Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
+Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann.
+Da dieser Schritt ziemlich aufwendig ist, wird er hier in einem eigenen Abschnitt behandelt.
+Zunächst wird die poissonsche Summenformel hergeleitet, da diese verwendet werden kann um $\psi(x)$ zu berechnen.
+
+Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
\begin{lemma}
Die Fourierreihe der periodischen Dirac $\delta$ Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
@@ -492,3 +351,186 @@ Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta F
f(k).
\end{equation}
\end{proof}
+
+Erinnern wir uns nochmals an unser Integral aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2}
+\begin{align*}
+ I_1
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ .
+\end{align*}
+
+Wir wenden nun diese poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ an auf $\psi(x)$.
+In unserem Problem ist also $f(n) = e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
+\begin{equation}
+ F(n)
+ =
+ \mathcal{F}
+ (
+ e^{-\pi n^2 x}
+ )
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
+\end{equation}
+Dadurch ergibt sich
+\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
+\end{equation}
+wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
+\begin{align}
+ 2
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ +
+ 1
+ &=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \Biggl(
+ 2
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
+ +
+ 1
+ \Biggr)
+ \\
+ 2
+ \psi(x)
+ +
+ 1
+ &=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \left(
+ 2
+ \psi\left(\frac{1}{x}\right)
+ +
+ 1
+ \right)
+ \\
+ \psi(x)
+ &=
+ - \frac{1}{2}
+ + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+\end{align}
+Diese Form von $\psi(x)$ eingesetzt in $I_1$ ergibt
+\begin{align}
+ I_1
+ =
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \Biggl(
+ - \frac{1}{2}
+ + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
+ \Biggr)
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ + \frac{1}{2}
+ \biggl(
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \biggl)
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \underbrace{
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ \,dx
+ }_{I_3}
+ +
+ \underbrace{
+ \frac{1}{2}
+ \int_0^1
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \,dx
+ }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
+\end{align}
+Darin kann für das zweite Integral $I_4$ eine Lösung gefunden werden als
+\begin{equation}
+ I_4
+ =
+ \frac{1}{2}
+ \int_0^1
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \,dx
+ =
+ \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist hingegen nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+ I_3
+ =
+ \int_{\infty}^{1}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{-du}{u^2}
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{du}{u^2}
+ \\
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ \,dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
+\begin{equation}
+ I_1
+ =
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ =
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ +
+ \frac{1}{s(s-1)}. \label{zeta:equation:intcal_res}
+\end{equation}
+Diese Form des Integrals $I_1$ hat die gewünschten Integrationsgrenzen und ein essentieller Bestandteil des Beweises der Funktionalgleichung in Abschnitt \ref{zeta:subsection:auf_ganz}.