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authorAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-16 22:25:46 +0200
committerAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-16 22:25:46 +0200
commit8dad5da7d8a4c982a6933b0f6d3c58c64d66c37c (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex61
1 files changed, 54 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e140796..a52665b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -44,21 +44,68 @@ eine sondern zwei Lösungen.
Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
\begin{align}
- w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
- w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+ w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+ w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
\end{align}
als Lösungen.
-
-Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen
+Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
\begin{align}
\label{parzyl:eq:solution_dgl}
- w_1 &= e^{-z^2/4} \,
+ w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{4}}
- k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
- w_2 & = z e^{-z^2/4} \,
+ w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
({\textstyle \frac{3}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
\end{align}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
+Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
+\begin{equation}
+ D_n(z) = \frac{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+ }
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+ }{
+ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+ }
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+\end{equation}
+welche die Differenzialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+
+Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0.
+\end{equation}
+\begin{align}
+ U(a,z) &=
+ \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
+ - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\
+ V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left(
+ \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
+ + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2
+ \right)
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+ Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+