add beta distribution graphs

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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
index 96897be..cd9cadc 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
@@ -172,7 +172,7 @@ erhalten wir
 (x)_n f(x)
 <
 n^x (n-1)!
-\\
+\intertext{oder nach Division durch $(x)_n$}
 %\underbrace{
 \frac{(n-1)^x (n-1)!}{(x)_n}
 %}_{\displaystyle\to \Gamma(x)}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index af5d572..7d4453b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -651,8 +651,11 @@ Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
 beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
 werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
 Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
-für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
-In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist, nicht nur für diejenigen $z$, für
+die das Integral konvergiert. 
+Wir können Sie daher verwenden, um das Argument in den Bereich
+zu bringen, wo das Integral zur Berechnung verwendet werden kann.
+Dazu berechnen wir
 \[
 \Gamma(z)
 =
@@ -665,12 +668,20 @@ In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
 \dots
 =
 \frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{(z)_n}.
 \]
-Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
-Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
-Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
-Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
-nicht negativen ganzen Zahlen.
+Dies gilt für jedes natürlich $n$.
+Für $n$ gross genug, genauer für 
+$n\ge |\operatorname{Re}z|$,
+ist $\operatorname{Re}(z+n)=\operatorname{Re}z + n>0$ und damit
+kann $\Gamma(z+n)$ mit der Integralformel berechnet werden.
+
+Die Gamma-Funktion hat keine Nullstellen, aber in der Nähe von $z=-n$
+hat der Nenner eine Nullstelle erster Ordnung.
+Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
+ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
 
 \subsubsection{Numerische Berechnung}
 \begin{table}
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/Makefile b/buch/papers/dreieck/images/Makefile
index 3907d13..c979599 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/Makefile
+++ b/buch/papers/dreieck/images/Makefile
@@ -3,8 +3,16 @@
 #
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
+all:	order.pdf beta.pdf
+
 order.pdf:	order.tex orderpath.tex
 	pdflatex order.tex
 
 orderpath.tex:	order.m
 	octave order.m
+
+beta.pdf:	beta.tex betapaths.tex
+	pdflatex beta.tex
+
+betapaths.tex:	betadist.m
+	octave betadist.m
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c3ab4f6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..50509ee
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
@@ -0,0 +1,214 @@
+%
+% beta.tex -- display some symmetric beta distributions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\input{betapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{12}
+\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0}
+\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
+\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6}
+\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0}
+\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
+\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0}
+\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
+\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
+\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
+\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+
+\def\achsen{
+	\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
+		\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+		\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	}
+	\foreach \y in {1,2,3,4}{
+		\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+		\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+	}
+	\def\x{1}
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	\def\x{0}
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+
+	\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}];
+}
+
+\def\farbcoord#1#2{
+	({\dx*(0.7+((#1-1)/4)*0.27)},{\dx*(0.15+((#2-1)/4)*0.27)})
+}
+\def\farbviereck{
+	\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{1} -- \farbcoord{\x}{5};
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{1}{\x} -- \farbcoord{5}{\x};
+	}
+	\draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{5.4}{1}
+		coordinate[label={$a$}];
+	\draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{1}{5.4}
+		coordinate[label={left: $b$}];
+	\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
+		\node[color=gray] at \farbcoord{5}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+		\fill[color=white,opacity=0.7] 
+			\farbcoord{(\x-0.1)}{4.3}
+			rectangle
+			\farbcoord{(\x+0.1)}{5};
+		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{5} [left,rotate=90]
+			{\tiny $a=\x$};
+	}
+}
+\def\farbpunkt#1#2#3{
+	\fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{0.1}
+\def\opa{0.1}
+
+\def\betamax{4.2}
+
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaaa;
+\draw[color=colortwo]    \betabb;
+\draw[color=colorthree]  \betacc;
+\draw[color=colorfour]   \betadd;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaff;
+\draw[color=colorseven]  \betagg;
+\draw[color=coloreight]  \betahh;
+\draw[color=colornine]   \betaii;
+\draw[color=colorten]    \betajj;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaab -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaac -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaad -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaae -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaf -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaag -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaah -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaai -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaaa;
+\draw[color=colortwo]    \betaab;
+\draw[color=colorthree]  \betaac;
+\draw[color=colorfour]   \betaad;
+\draw[color=colorfive]   \betaae;
+\draw[color=colorsix]    \betaaf;
+\draw[color=colorseven]  \betaag;
+\draw[color=coloreight]  \betaah;
+\draw[color=colornine]   \betaai;
+\draw[color=colorten]    \betaaj;
+\draw[color=coloreleven] \betaak;
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betack -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaik -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaak;
+\draw[color=colortwo]    \betabk;
+\draw[color=colorthree]  \betack;
+\draw[color=colorfour]   \betadk;
+\draw[color=colorfive]   \betaek;
+\draw[color=colorsix]    \betafk;
+\draw[color=colorseven]  \betagk;
+\draw[color=coloreight]  \betahk;
+\draw[color=colornine]   \betaik;
+\draw[color=colorten]    \betajk;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaeleven}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betaeleven}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeleven}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaeleven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betaeleven}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betaeleven}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betaeleven}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betaeleven}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
new file mode 100644
index 0000000..9ff78ed
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
@@ -0,0 +1,50 @@
+#
+# betadist.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 201;
+global n;
+n = 11;
+
+t = (0:n-1) / (n-1)
+alpha = 1 + 4 * t.^2
+
+#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
+beta = alpha;
+names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
+	  "nine"; "ten"; "eleven" ]
+
+function retval = Beta(a, b, x)
+	retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+end
+
+function plotbeta(fn, a, b, name)
+	global N;
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", name);
+	fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
+	for x = (1:N-1)/(N-1)
+		X = (1-cos(pi * x))/2;
+		fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			X, Beta(a, b, X));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("betapaths.tex", "w");
+
+for i = (1:n)
+	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", names(i,:), alpha(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", names(i,:), beta(i));
+end
+
+for i = (1:n)
+	for j = (1:n)
+		printf("working on %d,%d:\n", i, j);
+		plotbeta(fn, alpha(i), beta(j),
+			char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1]));
+	end
+end
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.m b/buch/papers/dreieck/images/order.m
index d37a258..762f458 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/order.m
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.m
@@ -26,6 +26,10 @@ function retval = orderd(p, n, k)
 	end
 end
 
+function retval = orders(p, n, k)
+	retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k);
+end
+
 function orderpath(fn, k, name)
 	fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
 	global N;
@@ -51,29 +55,65 @@ function orderdpath(fn, k, name)
 	fprintf(fn, "\n}\n");
 end
 
+function orderspath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orders(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
 fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+
 orderpath(fn,   0, "zero");
 orderdpath(fn,  0, "zero");
+orderspath(fn,  0, "zero");
+
 orderpath(fn,   1, "one");
 orderdpath(fn,  1, "one");
+orderspath(fn,  1, "one");
+
 orderpath(fn,   2, "two");
 orderdpath(fn,  2, "two");
+orderspath(fn,  2, "two");
+
 orderpath(fn,   3, "three");
 orderdpath(fn,  3, "three");
+orderspath(fn,  3, "three");
+
 orderpath(fn,   4, "four");
 orderdpath(fn,  4, "four");
+orderspath(fn,  4, "four");
+
 orderpath(fn,   5, "five");
 orderdpath(fn,  5, "five");
+orderspath(fn,  5, "five");
+
 orderpath(fn,   6, "six");
 orderdpath(fn,  6, "six");
+orderspath(fn,  6, "six");
+
 orderpath(fn,   7, "seven");
 orderdpath(fn,  7, "seven");
+orderspath(fn,  7, "seven");
+
 orderpath(fn,   8, "eight");
 orderdpath(fn,  8, "eight");
+orderspath(fn,  8, "eight");
+
 orderpath(fn,   9, "nine");
 orderdpath(fn,  9, "nine");
+orderspath(fn,  9, "nine");
+
 orderpath(fn,  10, "ten");
 orderdpath(fn, 10, "ten");
+orderspath(fn, 10, "ten");
+
 fclose(fn);
 
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.pdf b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
index 6d9c8c0..98a5fbe 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.tex b/buch/papers/dreieck/images/order.tex
index 083f014..9a2511c 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/order.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.tex
@@ -13,10 +13,25 @@
 \begin{document}
 \def\skala{8}
 \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\n{10}
+\def\E#1#2{
+	\draw[color=#2]
+		({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy});
+	\node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy})
+		[rotate=90,above right] {$k=#1$};
+}
+\def\var#1#2{
+	\pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))}
+	\xdef\var{\pgfmathresult}
+	\fill[color=#2,opacity=0.5]
+		({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy});
+}
+
 \input{orderpath.tex}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
-\def\dx{1}
+\def\dx{1.6}
 \def\dy{0.5}
 
 \def\pfad#1#2{
@@ -24,7 +39,7 @@
 	--
 	#1
 	--
-	({1+0.1/\skala},0.5);
+	({1*\dx+0.1/\skala},0.5);
 }
 
 \pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
@@ -39,11 +54,11 @@
 \pfad{\orderten}{darkgreen!20}
 \pfad{\orderseven}{darkgreen}
 
-\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={left:$F(X)$}];
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}];
 \foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
-	\draw (\x,{-0.1/\skala}) -- (\x,{0.1/\skala});
-	\node at (\x,{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
 }
 \foreach \y in {0.5,1}{
 	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
@@ -55,17 +70,25 @@
 \begin{scope}[yshift=-0.7cm]
 \def\dy{0.125}
 
+\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{
+	\E{\k}{blue!30}
+}
+\def\k{7}
+\var{\k}{orange!40}
+\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$};
+
 \def\pfad#1#2{
 	\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
 		--
 		#1
 		--
-		({1+0.1/\skala},0.0);
+		({1*\dx+0.1/\skala},0.0);
 }
 
 \begin{scope}
 \clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
-	rectangle ({1+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+	rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+
 \pfad{\orderdzero}{red!20}
 \pfad{\orderdone}{red!20}
 \pfad{\orderdtwo}{red!20}
@@ -76,21 +99,24 @@
 \pfad{\orderdeight}{red!20}
 \pfad{\orderdnine}{red!20}
 \pfad{\orderdten}{red!20}
+\E{\k}{blue}
 \pfad{\orderdseven}{red}
+
 \end{scope}
 
-\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={left:$\varphi(X)$}];
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}];
 \foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
-	\draw (\x,{-0.1/\skala}) -- (\x,{0.1/\skala});
-	\node at (\x,{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
 }
 \foreach \y in {1,2,3,4}{
 	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
 	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
 }
 
-\node[color=red] at (0.67,{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
 
 \end{scope}
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
index 255c5d0..5e7090b 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -12,6 +12,8 @@ Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
 Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
 des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
 zu finden.
+Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
+Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
 
 \subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
 $\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
@@ -176,86 +178,243 @@ X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
 Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
 die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
 übersteigen.
-Es muss also eine Partition von $[n]=\{1,\dots,n\}$ in eine
-$k$-elementige $I=\{i_1,\dots,i_k\}$ Teilmenge und ihre
-$(n-k)$-elementige Komplementmenge $[n]\setminus I$ geben
-derart, dass die $X_{i} \le x$ sind für $i\in I$ und $X_{j}> x$ für 
-$j\in [n]\setminus I$.
-Daraus kann man ablesen, dass
+Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
+mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
+\[
+P(X_{k:n} \le x)
+=
+P\left(
+|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
+\right).
+\]
+
+Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
+Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
+Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
+Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
+Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
+\begin{equation}
+F_{X_{k:n}}(x)
+=
+P(X_{k:n}\le x)
+=
+\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
+\label{dreieck:eqn:FXkn}
+\end{equation}
+mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
+
+\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
+von \eqref{dreieck:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
 \begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\frac{d}{dx}
 F_{X_{k:n}}(x)
+\\
 &=
-P\biggl(
-\bigvee_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
-\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x)
-\wedge
-\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x)
-\biggr).
-\intertext{Da die verschiedenen $k$-elementigen Teilmengen $I\subset[n]$
-zu disjunkten Ereignissen gehören, ist die Wahrscheinlichkeit eine Summe}
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\bigl(
+iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
+-
+F_X(x)^k
+(n-i)
+(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\varphi_X(x)
+\bigr)
+\\
 &=
-\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
-P\biggl(
-\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x)
-\wedge
-\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x)
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\varphi_X(x)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\bigl(
+iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
+\bigr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
 \biggr)
 \\
 &=
-\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
-\prod_{i\in I}
-P(X_i\le x)
-\cdot
-\prod_{j\in [n]\setminus I}
-P(X_j > x)
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
 \\
 &=
-\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
-F_X(x)^k
-(1-F_X(x))^{n-k}.
-\intertext{Die Anzahl solcher Teilmengen $I$ ist gegeben durch den
-Binomialkoeffizienten gebeben, die Verteilungsfunktion ist daher}
-F_{X_{k:n}}(x)
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
++
+\sum_{i=k+1}^{n+1}
+\left(
+i\binom{n}{i} 
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+\right)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\end{align*}
+Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
+\begin{align*}
+i\binom{n}{i} 
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
 &=
-\binom{n}{k}
-F_X(x)^k
-(1-F_X(x))^{n-k}.
+n\binom{n-1}{i-1}
+-
+n
+\binom{n-1}{i-1}
+=
+0
+\end{align*}
+folgt jetzt
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x).
+\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
+}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
 \end{align*}
-Für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die Verteilungsfunktion
-der $k$-ten Ordnungsstatistik
+Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
 \[
-F_{X_{k:n}}(x)
+\beta(k,n-k+1)(x)
+=
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\]
+Tatsächlich ist die Normierungskonstante 
+\begin{align}
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+&=
+\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
+\label{dreieck:betaverteilung:normierung1}
+\end{align}
+Andererseits ist
+\[
+k\binom{n}{k}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
 =
-\binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}.
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
 \]
-Ihre Ableitung nach $x$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und damit
-wird es jetzt auch möglich, den Erwartungswert zu ermitteln:
+in Übereinstimmung mit~\eqref{dreieck:betaverteilung:normierung1}.
+Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/dreieck/images/order.pdf}
+\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
+mit $n=10$.
+\label{dreieck:fig:order}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Erwartungswert}
+Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
+der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
+Die Rechnung ergibt:
 \begin{align*}
 E(X_{k:n})
 &=
-\int_{0}^1
-\underbrace{x\llap{\phantom{\bigg|}}\mathstrut}_{\downarrow}
-\underbrace{\frac{d}{dx}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}}_{\uparrow}
-\,dx
+\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
 =
-\biggl[
-x\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}
-\biggr]_0^1
--
+k
+\binom{n}{k}
 \int_0^1
-\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}
-\,dx
-\\
+x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
 &=
-\binom{n}{k}
-\biggl(
-0^{n-k}
--
-\int_0^1  x^k(1-x)^{n-k}\,dx
-\biggr)
+k\binom{n}{k}
+B(k+1,n-k+1)
+\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
+&=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
+=
+\frac{k}{n+1}
 \end{align*}
+ausdrücken kann.
+Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
+Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
 
+\subsubsection{Varianz}
+Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
+der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
+Er ist
+\begin{align*}
+E(X_{k:n}^2)
+&=
+\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+2,n-k+1)
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
+\end{align*}
+Die Varianz wird damit
+\begin{align}
+\operatorname{var}(X_{k:n})
+&=
+E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
+\notag
+\\
+&
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
+=
+\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
+=
+\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
+\label{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+\end{align}
+In Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} ist die Varianz der
+Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
+Rechteck dargestellt.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.84\textwidth]{papers/dreieck/images/beta.pdf}
+\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
+$\beta(a,b,x)$
+für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
+Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
+sind als Punkt im kleinen Quadrat rechts
+im Graphen als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
+\label{dreieck:fig:betaverteilungn}}
+\end{figure}
 
+Die Formel~\eqref{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
+Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
+also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
+extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.