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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-18 20:40:43 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-18 20:40:43 +0200
commita26fbe836106ae74f71025ba69b85f58e68ccec6 (patch)
treeb1144b855689d6f5be75525dc468d88725c27971 /buch
parentbetter range image for elliptic integrals (diff)
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typos
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex50
1 files changed, 48 insertions, 2 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 86b6431..67891f2 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -329,7 +329,7 @@ $\pm 1/\sqrt{n}$
XXX Additionstheoreme \\
XXX Parameterkonventionen \\
-XXX Wertebereich (Rechtecke) \\
+
\subsubsection{Wertebereich}
Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen
haben nur positive relle Werte.
@@ -414,7 +414,7 @@ Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten
\]
Für die Höhe muss das Integral
\begin{equation}
-l(\frac{1}{k})=\int_1^{\frac1{k}}
+l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}}
\frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}}
\label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral}
\end{equation}
@@ -523,6 +523,52 @@ in das blaue.
\label{buch:elliptisch:fig:rechteck}}
\end{figure}
+\subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$}
+Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des
+unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann
+daher wieder als gewöhnliches reelles Integral berechnet werden,
+es sollte sich daher auch auf das unvollständige elliptische Integral
+erster Art zurückführen lassen.
+
+Da wir bereits wissen, dass
+\[
+\lim_{x\to\infty} F(x,k) = iK(k'),
+\]
+können wir $F(x,k)$ auch als
+\[
+F(x,k)
+=
+iK(k')
+-
+\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+\]
+berechnen.
+Dazu werden wir die Variablentransformation
+\[
+y=\frac{1}{kt}\quad\Leftrightarrow\quad t=\frac{1}{ky}
+\qquad\text{mit}\qquad
+\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{ky^2}
+\]
+auf das Integral an und erhalten
+\begin{align*}
+\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+&=
+-\int_{\frac1{kx}}^0 \frac{dy}{ky^2\sqrt{(1-1/(ky)^2)(1-1/y^2)}}
+\\
+&=
+\int_0^{\frac{1}{kx}} \frac{dy}{\sqrt{(k^2y^2-1)(y^2-1)}}
+=
+F\biggl(\frac{1}{kx},k\biggr).
+\end{align*}
+Dies ist das gesuchte unvollständige elliptische Integral erster Art.
+Insbesondere halten wir noch die Formel
+\[
+F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr)
+\qquad\text{für $x>\frac1k$}
+\]
+für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte
+fest.
+
\subsection{Potenzreihe}
XXX Potenzreihen \\
XXX Als hypergeometrische Funktionen \\