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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-23 14:59:24 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-23 14:59:24 +0200
commita2b36b7f9a4e4324ef827a6fdeb3e598e2b6fa6f (patch)
tree021116343e017bd1aa414ff5a181158a20402662 /buch
parentEigenvalueproblem for matrices explained. (diff)
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Finished revised draft of solution properties.
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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex42
1 files changed, 28 insertions, 14 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index b143b6e..948217a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -33,7 +33,8 @@ Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
geschlossen.
-\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen}
+\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
+\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
% TODO: intro
@@ -64,43 +65,56 @@ eine Orthogonalbasis.
\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
-% TODO: check L for errors (- sign)
-
-Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als
-Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator
+In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits
+der Operator
\[
L
=
\frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right)
\]
-eingeführt wird.
-Mit diesem Operator kann nun
+eingeführt.
+Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung
\[
(p(x)y'(x))' + q(x)y(x)
=
\lambda w(x) y(x)
\]
-umgeschrieben werden zu
-\[
+in das Eigenwertproblem
+\begin{equation}
+ \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
L y
=
\lambda y.
-\]
+\end{equation}
+umzuschreiben.
\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
-Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut.
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+angeschaut.
Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
Operator $L$ genauer betrachtet.
-Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden,
-dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+Analog zur Matrix $A$ aus
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
\[
\langle L v, w\rangle
=
\langle v, L w\rangle
\]
gilt.
-Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt
+Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
+gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
+sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
+schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
+im Weiteren nicht näher diskutiert.
+
+Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%