Merge branch 'master' of https://github.com/daHugen/SeminarSpezielleFunktionen

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diff --git a/buch/Makefile b/buch/Makefile
index e2ad4c0..00fcf42 100755
--- a/buch/Makefile
+++ b/buch/Makefile
@@ -18,15 +18,15 @@ ALLTEXFILES = $(TEXFILES) $(CHAPTERFILES)
 # Buchblock für Druckerei
 #
 buch.pdf:	buch.tex $(TEXFILES) buch.ind $(BLXFILES)
-	pdflatex buch.tex
-	bibtex buch
+	$(pdflatex) buch.tex
+	$(bibtex) buch
 
 buch.idx:	buch.tex $(TEXFILES) images
-	touch buch.ind
-	pdflatex buch.tex
+	$(touch) buch.ind
+	$(pdflatex) buch.tex
 
 buch.ind:	buch.idx
-	makeindex buch.idx
+	$(makeindex) buch.idx
 
 #
 # Papers in einzelne PDF-Files separieren für digitales Feedback
@@ -39,16 +39,16 @@ separate:	buch.aux buch.pdf
 #
 SeminarSpezielleFunktionen.pdf:	SeminarSpezielleFunktionen.tex $(TEXFILES) \
 	SeminarSpezielleFunktionen.ind $(BLXFILES)
-	pdflatex SeminarSpezielleFunktionen.tex
-	bibtex SeminarSpezielleFunktionen
+	$(pdflatex) SeminarSpezielleFunktionen.tex
+	$(bibtex) SeminarSpezielleFunktionen
 
 SeminarSpezielleFunktionen.idx:	SeminarSpezielleFunktionen.tex $(TEXFILES) \
 	images
-	touch SeminarSpezielleFunktionen.ind
-	pdflatex SeminarSpezielleFunktionen.tex
+	$(touch) SeminarSpezielleFunktionen.ind
+	$(pdflatex) SeminarSpezielleFunktionen.tex
 
 SeminarSpezielleFunktionen.ind:	SeminarSpezielleFunktionen.idx
-	makeindex SeminarSpezielleFunktionen
+	$(makeindex) SeminarSpezielleFunktionen
 
 #
 # This Makefile can also construct the short tests
@@ -56,17 +56,17 @@ SeminarSpezielleFunktionen.ind:	SeminarSpezielleFunktionen.idx
 tests:  test1.pdf test2.pdf test3.pdf
 
 test1.pdf:	common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben1.tex
-	pdflatex common/test1.tex
+	$(pdflatex) common/test1.tex
 
 test2.pdf:	common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben2.tex
-	pdflatex common/test2.tex
+	$(pdflatex) common/test2.tex
 
 test3.pdf:	common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben3.tex
-	pdflatex common/test3.tex
+	$(pdflatex) common/test3.tex
 
 #
 # Errata
 #
 errata.pdf:	errata.tex
-	pdflatex errata.tex
+	$(pdflatex) errata.tex
 
diff --git a/buch/aufgaben2.tex b/buch/aufgaben2.tex
index bed14fb..8073f26 100644
--- a/buch/aufgaben2.tex
+++ b/buch/aufgaben2.tex
@@ -4,8 +4,8 @@
 % (c) 2022 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST
 %
 
-%\item
-%\input chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex
-%\item
-%\input chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
+\item
+\input{chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex}
+\item
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex}
 
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index ed8fd51..a222b1c 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex				\
 	chapters/040-rekursion/integral.tex				\
 	chapters/040-rekursion/beta.tex					\
+	chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex			\
 	chapters/040-rekursion/linear.tex				\
 	chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex			\
 	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex			\
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index ea847bc..ff59bad 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -3,11 +3,17 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\subsection{Die Beta-Funktion
-\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}}
+\section{Die Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:gamma:section:beta}}
 Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in
-Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht
-gerechtfertigt.
+Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig}
+mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt.
+Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen,
+die in diesem Abschnitt dargestellt wird.
+
+
+\subsection{Beta-Integral}
 In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion
 von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer
 reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf
@@ -233,6 +239,16 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
 berechnet werden.
 \end{satz}
 
+%
+% Info über die Beta-Verteilung
+%
+\input{chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex}
+
+\subsection{Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion}
+Die nahe Verwandtschaft der Gamma- mit der Beta-Funktion ermöglicht
+nun, weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion mit Hilfe der Beta-Funktion
+herzuleiten.
+
 \subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
 Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in
 \eqref{buch:rekursion:gamma:wert12}
@@ -484,83 +500,3 @@ Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
 in Übereinstimmung mit dem aus \eqref{buch:rekursion:gamma:gamma12}
 bereits bekannten Wert.
 
-\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
-Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
-\begin{align*}
-\binom{n}{k}
-&=
-\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
-\intertext{geschrieben werden.
-Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}.
-\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus 
-wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}.
-\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt,
-den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass
-der Binomialkoeffizient schliesslich}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)}
-=
-\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)}
-\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
-\end{align*}
-geschrieben werden kann.
-Die Rekursionsbeziehung
-\[
-\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
-\]
-der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck,
-die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die
-Binomialkoeffizienten macht daraus
-\[
-\frac{n-1}{B(n-k,k-1)}
-=
-\frac{n-2}{B(n-k,k-2)}
-+
-\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)},
-\]
-die für ganzzahlige Argumente gilt.
-Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt.
-\begin{align*}
-\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\\
-\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe
-der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren
-mit dem gemeinsamen Nenner
-$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus}
-\Gamma(n)
-&=
-(k-2)
-\Gamma(n-1)
-+
-(n-k-1)
-\Gamma(n-1)
-\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf
-die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen
-ein Faktor
-$\Gamma(n-1)$ auftritt:}
-(n-1)\Gamma(n-1)
-&=
-(k-2)\Gamma(n-1)
-+
-(n+k-1)\Gamma(n-1)
-\\
-n-1
-&=
-k-2
-+
-n-k-1
-\end{align*}
-
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex
new file mode 100644
index 0000000..979d04c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex
@@ -0,0 +1,487 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\subsection{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}}
+\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
+In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
+$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
+Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
+Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
+des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
+zu finden.
+Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
+Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
+
+\subsubsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+\label{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax}}
+Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
+den Wert
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X\le x)^n
+=
+F_X(x)^n.
+\end{align*}
+Für die Gleichverteilung ist
+\[
+F_{\text{equi}}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x< 0
+\\
+x&\qquad 0\le x\le 1
+\\
+1&\qquad 1<x.
+\end{cases}
+\]
+In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
+\[
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x<0\\
+x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1&\qquad 1 < x.
+\end{cases}
+\]
+Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0       &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+kann man zum Beispiel den Erwartungswert
+\[
+E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
+=
+\int_{-\infty}^\infty 
+x
+\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
+\,dx
+=
+\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
+=
+\biggl[
+\frac{n}{n+1}x^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{n}{n+1}
+\]
+berechnen.
+
+Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
+Sie ist
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
+\\
+&=
+1-
+P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
+\\
+&=
+1-
+(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
+\\
+&=
+1-(1-F_X(x))^n,
+\end{align*}
+Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
+Verteilungsfunktion des Minimums
+\[
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0        &\qquad x<0        \\
+1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1        &\qquad 1 < x
+\end{cases}
+\]
+mit Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\begin{cases}
+n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0           &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+und Erwartungswert
+\begin{align*}
+E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
+&=
+\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
+=
+\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
+\\
+&=
+\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
+=
+\biggl[
+-
+\frac{1}{n+1}
+(1-x)^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{1}{n+1}.
+\end{align*}
+Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
+der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
+Werten $X_i$.
+
+\subsubsection{Der $k$-t-grösste Wert}
+Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
+Zufallsvariablen.
+Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
+mit
+\[
+X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
+\]
+bezeichnet.
+Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
+Ordnungsstatistiken.
+Die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+und
+$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
+sind die Fälle
+\begin{align*}
+X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
+X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
+\end{align*}
+
+Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
+die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
+übersteigen.
+Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
+mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
+\[
+P(X_{k:n} \le x)
+=
+P\left(
+|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
+\right).
+\]
+
+Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
+Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
+Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
+Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
+Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
+\begin{equation}
+F_{X_{k:n}}(x)
+=
+P(X_{k:n}\le x)
+=
+\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
+\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn}
+\end{equation}
+mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
+
+\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
+von \eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\frac{d}{dx}
+F_{X_{k:n}}(x)
+\\
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\bigl(
+iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
+-
+F_X(x)^k
+(n-i)
+(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\varphi_X(x)
+\bigr)
+\\
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\varphi_X(x)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\bigl(
+iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
+\bigr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
+\biggr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
++
+\sum_{i=k+1}^{n+1}
+\left(
+i\binom{n}{i} 
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+\right)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\end{align*}
+Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
+\begin{align*}
+i\binom{n}{i} 
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+&=
+n\binom{n-1}{i-1}
+-
+n
+\binom{n-1}{i-1}
+=
+0
+\end{align*}
+folgt jetzt
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x).
+\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
+}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\end{align*}
+Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
+\[
+\beta(k,n-k+1)(x)
+=
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\]
+Tatsächlich ist die Normierungskonstante 
+\begin{align}
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+&=
+\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
+\label{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}
+\end{align}
+Andererseits ist
+\[
+k\binom{n}{k}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
+\]
+in Übereinstimmung mit~\eqref{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}.
+Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/order.pdf}
+\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
+mit $n=10$.
+\label{buch:rekursion:ordnung:fig:order}}
+\end{figure}
+
+%
+% Die Beta-Funktion
+%
+\subsection{Die Beta-Verteilung
+\label{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die im
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}
+gefunden worden ist, ist nicht nur für ganzzahlige Exponenten
+definiert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.92\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}
+\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
+$\beta(a,b,x)$
+für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
+Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
+sind im kleinen Quadrat rechts im Graphen
+als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
+\label{buch:rekursion:ordnung:fig:betaverteilungn}}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}
+Die Beta-Verteilung ist die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\beta_{a,b}(x)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{1}{B(a,b)}
+x^{a-1}(1-x)^{b-1}&\qquad 0\le x \le 1\\
+0&\qquad\text{sonst.}
+\end{cases}
+\]
+\end{definition}
+
+Die Beta-Funktion ist also die Normierungskonstante der Beta-Verteilung.
+Die wichtigsten Kennzahlen der Beta-Verteilung wie Erwartungswert und
+Varianz lassen sich alle ebenfalls als Werte der Beta-Funktion ausdrücken.
+
+\subsubsection{Erwartungswert}
+Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
+der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
+Die Rechnung ergibt:
+\begin{align*}
+E(X_{k:n})
+&=
+\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+1,n-k+1)
+\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
+&=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
+=
+\frac{k}{n+1}
+\end{align*}
+ausdrücken kann.
+Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
+
+Für die Beta-Verteilung lässt sich die Rechnung noch allgemeiner 
+durchführen.
+Der Erwartungswert einer $\beta_{a,b}$-verteilten Zufallsvariablen $X$
+ist
+\begin{align*}
+E(X)
+&=
+\int_0^1 x \beta_{a,b}(x)\,dx
+=
+\frac{1}{B(a,b)}
+\int_0^1 x\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx
+=
+\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}
+=
+\frac{a}{a+b}.
+\end{align*}
+Durch Einsetzen von $a=k+1$ und $b=n-k+1$ lassen sich die für die
+Ordnungsstatistik berechneten Werte wiederfinden.
+
+\subsubsection{Varianz}
+Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
+der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
+Er ist
+\begin{align*}
+E(X_{k:n}^2)
+&=
+\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+2,n-k+1)
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
+\end{align*}
+Die Varianz wird damit
+\begin{align}
+\operatorname{var}(X_{k:n})
+&=
+E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
+\notag
+\\
+&
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
+=
+\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
+=
+\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
+\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+\end{align}
+In Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} ist die Varianz der
+Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
+Rechteck dargestellt.
+
+Auch die Varianz kann ganz allgemein für die Beta-Verteilung
+bestimmt werden.
+Dazu berechnen wir zunächst
+\begin{align*}
+E(X^2)
+&=
+\frac{1}{B(a,b)}
+\int_0^1
+x^2\cdot x^{a-1}(1-y)^{b-1}\,dx
+=
+\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}.
+\end{align*}
+Daraus folgt dann 
+\[
+\operatorname{var}(X)
+=
+E(X^2)-E(X)^2
+=
+\frac{B(a+2,b)B(a,b)-B(a+1,b)^2}{B(a,b)^2}.
+\]
+
+Die Formel~\eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
+Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
+also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
+extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
index 9608a94..86dfa1e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	gammaplot.pdf fibonacci.pdf
+all:	gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf
 
 gammaplot.pdf:	gammaplot.tex gammapaths.tex
 	pdflatex gammaplot.tex
@@ -16,3 +16,17 @@ fibonaccigrid.tex:	fibonacci.m
 
 fibonacci.pdf:	fibonacci.tex fibonaccigrid.tex
 	pdflatex fibonacci.tex
+
+order.pdf:      order.tex orderpath.tex
+	pdflatex order.tex
+
+orderpath.tex:  order.m
+	octave order.m
+
+beta.pdf:       beta.tex betapaths.tex
+	pdflatex beta.tex
+
+betapaths.tex:  betadist.m
+	octave betadist.m
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0e6567b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e1a1b3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+%
+% beta.tex -- display some symmetric beta distributions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\input{betapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{12}
+\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0}
+\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
+\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6}
+\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0}
+\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
+\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0}
+\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
+\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
+\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
+\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+
+\def\achsen{
+	\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
+		\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+		\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	}
+	\foreach \y in {1,2,3,4}{
+		\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+		\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+	}
+	\def\x{1}
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	\def\x{0}
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+
+	\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}];
+}
+
+\def\farbcoord#1#2{
+	({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
+}
+\def\farbviereck{
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
+	}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
+		coordinate[label={$a$}];
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
+		coordinate[label={left: $b$}];
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+		%\fill[color=white,opacity=0.7] 
+		%	\farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+		%	rectangle
+		%	\farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
+			{\tiny $a=\x$};
+	}
+}
+\def\farbpunkt#1#2#3{
+	\fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.15}
+\def\dy{0.1}
+\def\opa{0.1}
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaaa;
+\draw[color=colortwo]    \betabb;
+\draw[color=colorthree]  \betacc;
+\draw[color=colorfour]   \betadd;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaff;
+\draw[color=colorseven]  \betagg;
+\draw[color=coloreight]  \betahh;
+\draw[color=colornine]   \betaii;
+\draw[color=colorten]    \betajj;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaea;
+\draw[color=colortwo]    \betaeb;
+\draw[color=colorthree]  \betaec;
+\draw[color=colorfour]   \betaed;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaef;
+\draw[color=colorseven]  \betaeg;
+\draw[color=coloreight]  \betaeh;
+\draw[color=colornine]   \betaei;
+\draw[color=colorten]    \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaal;
+\draw[color=colortwo]    \betabl;
+\draw[color=colorthree]  \betacl;
+\draw[color=colorfour]   \betadl;
+\draw[color=colorfive]   \betael;
+\draw[color=colorsix]    \betafl;
+\draw[color=colorseven]  \betagl;
+\draw[color=coloreight]  \betahl;
+\draw[color=colornine]   \betail;
+\draw[color=colorten]    \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
new file mode 100644
index 0000000..5b466a6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
@@ -0,0 +1,58 @@
+#
+# betadist.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 201;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
+
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
+
+#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
+beta = alpha;
+names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
+	  "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
+
+function retval = Beta(a, b, x)
+	retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+	if (retval > 100)
+		retval = 100
+	end
+end
+
+function plotbeta(fn, a, b, name)
+	global N;
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
+	fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
+	for x = (1:N-1)/(N-1)
+		X = (1-cos(pi * x))/2;
+		fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			X, Beta(a, b, X));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("betapaths.tex", "w");
+
+for i = (1:n)
+	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
+end
+
+for i = (1:n)
+	for j = (1:n)
+		printf("working on %d,%d:\n", i, j);
+		plotbeta(fn, alpha(i), beta(j),
+			char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1]));
+	end
+end
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
new file mode 100644
index 0000000..762f458
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
@@ -0,0 +1,119 @@
+#
+# order.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10;
+global subdivisions;
+subdivisions = 100;
+global P;
+P = 0.5
+
+function retval = orderF(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i);
+	end
+end
+
+function retval = orderd(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i);
+		s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1);
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * s;
+	end
+end
+
+function retval = orders(p, n, k)
+	retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k);
+end
+
+function orderpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (0:subdivisions)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderF(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderdpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderd(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderspath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orders(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+
+orderpath(fn,   0, "zero");
+orderdpath(fn,  0, "zero");
+orderspath(fn,  0, "zero");
+
+orderpath(fn,   1, "one");
+orderdpath(fn,  1, "one");
+orderspath(fn,  1, "one");
+
+orderpath(fn,   2, "two");
+orderdpath(fn,  2, "two");
+orderspath(fn,  2, "two");
+
+orderpath(fn,   3, "three");
+orderdpath(fn,  3, "three");
+orderspath(fn,  3, "three");
+
+orderpath(fn,   4, "four");
+orderdpath(fn,  4, "four");
+orderspath(fn,  4, "four");
+
+orderpath(fn,   5, "five");
+orderdpath(fn,  5, "five");
+orderspath(fn,  5, "five");
+
+orderpath(fn,   6, "six");
+orderdpath(fn,  6, "six");
+orderspath(fn,  6, "six");
+
+orderpath(fn,   7, "seven");
+orderdpath(fn,  7, "seven");
+orderspath(fn,  7, "seven");
+
+orderpath(fn,   8, "eight");
+orderdpath(fn,  8, "eight");
+orderspath(fn,  8, "eight");
+
+orderpath(fn,   9, "nine");
+orderdpath(fn,  9, "nine");
+orderspath(fn,  9, "nine");
+
+orderpath(fn,  10, "ten");
+orderdpath(fn, 10, "ten");
+orderspath(fn, 10, "ten");
+
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cc175a9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a2511c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+%
+% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{8}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\n{10}
+\def\E#1#2{
+	\draw[color=#2]
+		({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy});
+	\node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy})
+		[rotate=90,above right] {$k=#1$};
+}
+\def\var#1#2{
+	\pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))}
+	\xdef\var{\pgfmathresult}
+	\fill[color=#2,opacity=0.5]
+		({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy});
+}
+
+\input{orderpath.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.6}
+\def\dy{0.5}
+
+\def\pfad#1#2{
+\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+	--
+	#1
+	--
+	({1*\dx+0.1/\skala},0.5);
+}
+
+\pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderone}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderthree}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfour}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfive}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordersix}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordereight}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordernine}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderten}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderseven}{darkgreen}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {0.5,1}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$};
+
+\begin{scope}[yshift=-0.7cm]
+\def\dy{0.125}
+
+\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{
+	\E{\k}{blue!30}
+}
+\def\k{7}
+\var{\k}{orange!40}
+\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$};
+
+\def\pfad#1#2{
+	\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+		--
+		#1
+		--
+		({1*\dx+0.1/\skala},0.0);
+}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
+	rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+
+\pfad{\orderdzero}{red!20}
+\pfad{\orderdone}{red!20}
+\pfad{\orderdtwo}{red!20}
+\pfad{\orderdthree}{red!20}
+\pfad{\orderdfour}{red!20}
+\pfad{\orderdfive}{red!20}
+\pfad{\orderdsix}{red!20}
+\pfad{\orderdeight}{red!20}
+\pfad{\orderdnine}{red!20}
+\pfad{\orderdten}{red!20}
+\E{\k}{blue}
+\pfad{\orderdseven}{red}
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
index 48e5356..286ab2e 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
@@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex				\
 	chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex				\
 	chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex			\
+	chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex		\
 	chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
index 5ebb795..4756844 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
@@ -25,7 +25,7 @@
 \rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\uebungsaufgabe{701}
 %\uebungsaufgabe{1}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index 55f9700..acfdb1a 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -135,12 +135,12 @@ p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
 p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
 \end{aligned}
 \]
-Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
+Dividiert man die vierte durch die zweite Gleichung in der Form
 \[
 \left.
 \begin{aligned}
-A_0x_0 &= -A_1x_1\\
-A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
+A_0x_0^3 &= -A_1x_1^3 &\qquad&\text{(vierte Gleichung)}\\
+A_0x_0   &= -A_1x_1   &\qquad&\text{(zweite Gleichung)}
 \end{aligned}
 \quad
 \right\}
@@ -155,7 +155,7 @@ x_1=-x_0.
 \]
 Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
 \[
-0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
+0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_0 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
 \quad\Rightarrow\quad
 A_0=A_1.
 \]
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
index 042d466..f776c03 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
@@ -189,6 +189,28 @@ rechten Rand haben.
 \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}}
 \end{figure}
 
+\subsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung
+\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}}
+Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte
+der Beta-Verteilung, die in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}
+eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$
+oder $t=(x+1)/2$.
+Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ 
+kann damit umgeformt werden in
+\[
+\int_{-1}^1
+f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx
+=
+\int_0^1
+f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt
+=
+\int_0^1
+f(2t-1)
+(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta
+\,2\,dt
+\]
+
 %
 % 
 %
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index d06f46e..a84248a 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -737,6 +737,57 @@ rechten Rand haben.
 \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}}
 \end{figure}
 
+\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung
+\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}}
+Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte
+der Beta-Verteilung, die in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}
+eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$
+oder $t=(x+1)/2$.
+Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$
+kann damit umgeformt werden in
+\begin{align*}
+\int_{-1}^1
+f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx
+&=
+\int_0^1
+f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1
+f(2t-1)
+(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta
+\,2\,dt
+\\
+&=
+2^{\alpha+\beta+1}
+\int_0^1
+f(2t-1)
+\,
+t^\beta
+(1-t)^\alpha
+\,dt
+\\
+&=
+2^{\alpha+\beta+1}
+B(\alpha+1,\beta+1)
+\int_0^1
+f(2t-1)
+\,
+\frac{
+t^\beta
+(1-t)^\alpha
+}{B(\alpha+1,\beta+1)}
+\,dt.
+\end{align*}
+Auf der letzten Zeile steht ein Integral mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
+der Beta-Verteilung.
+Orthogonale Funktionen bezüglich der Jacobischen Gewichtsfunktion
+$w^{(\alpha,\beta)}$ werden mit der genannten Substitution also
+zu orthogonalen Funktionen bezüglich der Beta-Verteilung mit
+Parametern $\beta+1$ und $\alpha+1$.
+
+
 %
 % Tschebyscheff-Gewichtsfunktion
 %
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex
new file mode 100644
index 0000000..dad489f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex
@@ -0,0 +1,137 @@
+Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx
+\]
+ein Skalarprodukt.
+Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome
+bis zum Grad $2$.
+
+\begin{hinweis}
+Verwenden Sie
+\begin{align*}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx
+&=
+1,
+&
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
+&=
+\frac{\pi^2-8}{2},
+&
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx
+&=
+\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}.
+\end{align*}
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die
+Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen.
+Zunächst halten wir fest, dass
+\[
+\langle f_0,f_0\rangle
+=
+\frac12
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx
+=
+1,
+\]
+das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$.
+
+Ein dazu orthogonales Polynom ist
+\(
+f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x),
+\)
+wir müssen also das Skalarprodukt
+\[
+\langle g_0,f_1\rangle
+=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+x\cos x\,dx
+\]
+bestimmen.
+Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist.
+Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu
+normieren berechnen wir das Integral
+\[
+\| f_1\|^2
+=
+\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
+=
+\frac{\pi^2-8}{4},
+\]
+und 
+\[
+g_1(x)
+=
+\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x.
+\]
+
+Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte
+\begin{align*}
+\langle g_0,f_2\rangle
+&=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+x^2
+\cos x
+\,dx
+=
+\frac{\pi^2-8}{4}
+\\
+\langle g_1,f_2\rangle
+&=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}}
+x
+\cdot x^2
+\cos x
+\,dx
+=
+0
+\end{align*}
+bestimmen.
+Damit wird das dritte Polynom
+\[
+f_2(x)
+- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle
+- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle
+=
+x^2 - \frac{\pi^2-8}{4},
+\]
+welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$.
+Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war,
+dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen:
+\[
+\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2
+=
+\frac12
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2
+\cos x\,dx
+=
+20-2\pi^2
+\]
+woraus sich
+\[
+g_2(x)
+=
+\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}
+\biggl(
+x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}
+\biggr).
+\]
+Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes
+orthogonalen Polynome
+\begin{align*}
+g_0(x)&=1,
+&
+g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}},
+&
+g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)
+\end{align*}
+gefunden.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/2d.tex b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex
new file mode 100644
index 0000000..cc019c7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+%
+% 2d.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Zweidimensionale Fourier-Transformation
+\label{buch:fourier:section:2d}}
+\rhead{Zweidimensionale Fourier-Transformation}
+
+\subsection{Fourier-Transformation und partielle Differentialgleichungen}
+
+\subsection{Fourier-Transformation in kartesischen Koordinaten}
+
+\subsection{Basisfunktionen in Polarkoordinaten}
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
index ee9641c..c153dc4 100644
--- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
@@ -5,4 +5,6 @@
 #
 
 CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/075-fourier/bessel.tex					\
+	chapters/075-fourier/2d.tex					\
 	chapters/075-fourier/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex
new file mode 100644
index 0000000..7e978f7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex
@@ -0,0 +1,620 @@
+%
+% bessel.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen
+\label{buch:fourier:section:fourier-und-bessel}}
+\rhead{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen}
+
+Sei $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ eine auf $\mathbb{R}$ definierte
+Funktion.
+Die Fourier-Transformation von $f$ ist das Integral
+\begin{equation}
+(\mathscr{F}f)(u,v)
+=
+F(u,v)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty
+f(x,y) e^{i(xu+yv)}
+\,dx\,dy.
+\label{buch:fourier:eqn:2dfourier}
+\end{equation}
+Die Funktionen $e_{u,v}\colon (x,y)\mapsto e^{i(xu+yv)}$
+sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten,
+sie erfüllen
+\[
+\Delta e_{u,v} = (u^2+v^2) \Delta e_{u,v}.
+\]
+Die Fourier-Integrale sind die Skalarprodukte
+\[
+(\mathscr{F}f)(u,v)
+=
+\langle
+e_{u,v},
+f
+\rangle,
+\]
+wobei das Skalarprodukt durch
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty
+\overline{f(x)} g(x)
+\,dx\,dy
+\]
+definiert ist.
+
+Jede Funktion in der Ebene kann auch in Polarkoordinaten ausgedrückt werden.
+Die kartesischen Koordinaten können mittels
+\begin{align*}
+x&=r\cos\varphi
+y&=r\sin\varphi
+\end{align*}
+durch die Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ ausgedrückt werden.
+Wir schreiben
+\[
+\tilde{f}(r,\varphi)
+=
+f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
+\]
+für die Funktion $f$ ausgedrückt in Polarkoordinaten.
+
+In Polarkoordinaten wird das Skalarprodukt
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} e^{in\varphi}
+\overline{
+\tilde{f}(r,\varphi)
+}
+\tilde{g}(r,\varphi)
+r\,dr\,d\varphi.
+\]
+Auch die Fouriertransformation kann jetzt durch Berechnung eines
+doppelten Integrals in Polarkoordinaten ermittelt werden.
+Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, dass auch diese Berechnung auf
+Bessel-Funktionen führt.
+Im Gegenzug werden sich neue Eigenschaften und Darstellungen derselben
+ergeben.
+
+
+\subsection{Berechnung der Fourier-Transformation in Polarkoordinaten}
+Die Fourier-Transformation $(\mathscr{F}f)(u,v)$ ist eine Funktion
+$\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$, die vom Wellenvektor $(u,v)$ abhängt.
+Auch dieser Vektor kann in Polarkoordinaten ausgedrückt werden.
+Für die Polarkoordinaten in der Wellenvektor-Ebene soll die Bezeichnung
+$(R,\vartheta)$ verwendet werden, was auf die Transformationsgleichungen
+\begin{align*}
+u&=R\cos\vartheta\\
+v&=R\sin\vartheta
+\end{align*}
+führt.
+Im Exponenten der Exponentialfunktion
+des Fourier-Integrals~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier}
+steht der Ausdruck
+\[
+xu+yv
+=
+r\cos\varphi\cdot R\cos\vartheta
++
+r\sin\varphi\cdot R\sin\vartheta
+=
+rR\cos(\varphi-\vartheta).
+\]
+Mit diesen Bezeichnungen wird das
+Fourier-Integral~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier}
+zu
+\begin{align}
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{\infty}
+\int_{0}^{2\pi}
+f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
+e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+\,d\varphi\,r\, dr
+\notag
+\\
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{\infty}
+\int_{0}^{2\pi}
+\tilde{f}(r,\varphi)
+e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+\,d\varphi\,r\, dr.
+\label{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar}
+\end{align}
+Die partielle Funktion $\varphi\mapsto \tilde{f}(r,\varphi)$
+ist eine $2\pi$-periodische Funktion, sie lässt sich also als
+komplexe Fourier-Reihe
+\begin{equation}
+\tilde{f}(r,\varphi)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}_n(r) e^{in\varphi}
+\label{buch:fourier:eqn:fourierkoef}
+\end{equation}
+schreiben, die Funktionen $\hat{f}_n(r)$ sind die komplexen
+Fourier-Koeffizienten.
+Setzt man \eqref{buch:fourier:eqn:fourierkoef} in die Fourier-Transformation
+\eqref{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar} ein, erhält man
+\begin{align*}
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+&=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+\int_0^\infty
+\hat{f}_n(r)
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+\,d\varphi
+\,
+r\,dr.
+\end{align*}
+Der Exponent im inneren Integral kann als
+\[
+in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta)
+=
+i(n(\varphi-\vartheta)+rR\cos(\varphi-\vartheta))
++
+in\vartheta,
+\]
+oder im Integral als
+\[
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+\int_0^\infty
+\hat{f}_n(r)
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in(\varphi-\vartheta)+irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+e^{in\vartheta}
+\,d\varphi
+\,
+r\,dr
+\]
+geschrieben werden.
+Der zweite Exonentialfaktor hängt nicht von $\varphi$ ab und kann daher
+aus dem Integral herausgezogen werden.
+Der erste Exponentialfaktor hängt nur von $\varphi-\vartheta$ ab.
+Da die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist, hat die Verschiebung
+um $\vartheta$ keinen Einfluss auf den Wert des Integrals.
+Die Fourier-Transformation ist daher auch
+\[
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+\int_0^\infty
+\hat{f}_n(r)
+e^{in\vartheta}
+\underbrace{
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi+irR\cos\varphi}
+\,d\varphi
+}_{\displaystyle =:F_n(rR)}
+\,
+r\,dr.
+\]
+Die Beziehung zu den Besselfunktionen können wir daraus herstellen,
+indem wir zunächst $\xi = rR$ abkürzen und dann das innere Integral
+\begin{equation}
+F_n(\xi)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{2\pi}
+e^{in\varphi+i\xi\cos\varphi}
+\,d\varphi
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{2\pi}
+e^{in\varphi}e^{i\xi\cos\varphi}
+\,d\varphi
+\label{buch:fourier:eqn:Fncosphi}
+\end{equation}
+auswerten.
+Exponentialfunktion als Potenzreihe entwickeln:
+\[
+F_n(\xi)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{
+i^k\xi^k \cos^k\varphi
+}{k!}
+\,d\varphi
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{i^k\xi^k}{k!}
+\underbrace{
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}
+\cos^k\varphi
+\,d\varphi}_{\displaystyle =c_{n,k}}.
+\]
+Das Integral auf der rechten Seite ist im Wesentlichen ein
+Fourier-Koeffizient der Funktion $\varphi\mapsto \cos^k\varphi$.
+
+\subsubsection{Berechnung der Fourier-Koeffizienten von $\cos^k\varphi$}
+Indem man die Kosinus-Funktion als die Linearkombination
+\[
+\cos\varphi
+=
+\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}2
+\]
+von Exponentialfunktionen ausdrückt, kann man auch die $k$-te Potenz 
+mit Hilfe des binomischen Satzes als
+\[
+\cos^k\varphi
+=
+\sum_{m=0}^k
+\frac{1}{2^k}
+\binom{k}{m}
+e^{im\varphi}e^{i(m-k)\varphi}
+=
+\sum_{m=0}^k
+\frac{1}{2^k}
+\binom{k}{m}
+e^{i(2m-k)\varphi}
+\]
+ausdrücken.
+Der Fourier-Koeffizient von $\cos^k\varphi$ ist daher das Integral
+\begin{align*}
+c_{n,k}
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}\cos^k\varphi\,d\varphi
+\\
+&=
+\frac{1}{2^k}
+\sum_{m=0}^k
+\binom{k}{m}
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}e^{i(2m-k)\varphi}
+\,d\varphi
+\\
+&=
+\frac{1}{2^k}
+\sum_{m=0}^k
+\binom{k}{m}
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{i(2m-k+n)\varphi}
+\,d\varphi.
+\end{align*}
+Für $2m-k+n=0$ ist das Integral ein Integral der Funktion $1$ über
+ein Intervall der Länge $2\pi$, zusammen mit dem Faktor $1/2\pi$ hat
+es daher den Wert $1$.
+Für $2m-k+n\ne 0$ ist das Integral 
+\[
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{i(2m-k+n)\varphi}
+\,d\varphi
+=
+\frac{1}{i}
+\biggl[
+\frac{e^{i(2m-k+n)\varphi}}{2m-k+n}
+\biggr]_0^{2\pi}
+=
+0
+\]
+weil die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist.
+Nur für $k=2m+n$ ergibt sich ein nicht verschwindender
+Fourier-Koeffizient.
+Eine Summe über $k\in\mathbb{N}$ kann daher auch als Summe über
+$m\in\mathbb{N}$ interpretiert werden, in der $k$ durch die Formel
+$k=2m+n$ gegeben wird.
+Mit dieser Konvention wird
+\[
+c_{n,k}
+=
+c_{n,2m+n}
+%=
+%\frac{1}{2\pi}
+%\int_0^{2\pi}
+%e^{-i(2m+n)\varphi}
+%\cos^{2m+n}\varphi
+%\,d\varphi
+=
+\frac{1}{2^{2m+n}}
+\binom{2m+n}{m}
+\]
+schreiben lässt.
+
+\subsubsection{Berechnung von $F_n(\xi)$}
+Die Reihe für $F_n(\xi)$ lässt sich weiter vereinfachen.
+Wir verwenden wieder die Tatsache, dass sich nur für $n=-2m-k$
+ein Beitrag ergibt.
+Dies bedeutet, dass $k=2m+n$ sein muss, die Summe kann damit als
+Summe über $m$ statt über $k$ geschrieben werden.
+Somit ist
+\begin{align*}
+F_n(\xi)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{i^k\xi^k}{k!}
+c_{n,k}
+=
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!}
+c_{n,2m+n}
+\\
+&=
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{1}{2^{2m+n}}
+\binom{2m+n}{m}
+\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!}
+\\
+&=
+i^n
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{(-1)^m}{(2m+n)!}
+\frac{(2m+n)!}{m!\,(2m+n-m)!}
+\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n}
+\\
+&=
+i^n
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{(-1)^m}
+{m!\,\Gamma(m+n+1)}
+\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n}
+=
+i^n J_n(\xi).
+\end{align*}
+Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind daher bis auf einen Phasenfaktor der
+Wert $J_n(\xi)$ einer Bessel-Funktion.
+
+\subsubsection{Berechnung der Fourier-Transformation mit Bessel-Funktionen}
+Mit allen oben zusammengestellten Notationen kann die Fourier-Transformation
+jetzt in Polarkoordinaten als
+\[
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+e^{in\vartheta}
+\int_0^\infty 
+\hat{f}_n(r)
+i^n
+J_n(rR)
+r\,dr
+\]
+geschrieben werden.
+Dies hat tatsächlich die Form eines Skalarproduktes der Funktion
+$\tilde{f}(r,\varphi)$ mit einer Funktion der Form
+\[
+\tilde{e}_{n,R}(r,\varphi)
+=
+e^{in\varphi}
+J_n(rR).
+\]
+Letzeres sind die in Abschnitt~\ref{buch:fourier:section:2d}
+versprochenen Basisfunktionen.
+
+\subsubsection{Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$}
+Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind wegen
+\[
+F_n(\xi)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+\,d\varphi,
+\]
+daraus kann man die Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$ 
+berechnen, dies wird im folgenden Satz durchgeführt.
+
+
+\begin{satz}
+\label{buch:fourier:satz:expinphi}
+Die komplexe Fourier-Reihe der Funktion
+$\varphi\mapsto \exp(i\xi\cos\varphi)$
+ist
+\begin{align}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi.
+\label{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}.
+\intertext{Real- und Imaginärteil davon sind die Fourier-Reihen}
+\cos(\xi\cos\varphi)
+&=
+J_0(\xi) + 2\sum_{m=1}^\infty (-1)^m J_{2m}(\xi) \cos2m\varphi
+\label{buch:fourier:eqn:expinphireal}
+\\
+\sin(\xi\cos\varphi)
+&=
+2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi.
+\label{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}
+\end{align}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Fourier-Koeffizienten $F_n(\xi)$ der Funktion $e^{i\xi\cos\varphi}$
+führen auf die Fourier-Reihe
+\begin{align*}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+&=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}} F_n(\xi) e^{in\varphi}
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}} i^n J_n(\xi) e^{in\varphi}.
+\end{align*}
+Terme mit $\pm n$ können wegen
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) 
+\\
+i^{-n}&=(-1)^n i^n
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+i^{-n}J_{-n}(\xi) = i^n J_n(\xi)
+\]
+zusammengefasst werden, auf diese Weise erhält man 
+\begin{align*}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+&=
+J_0(\xi)
++
+\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) (e^{in\varphi}+e^{-in\varphi})
+=
+2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi.
+\end{align*}
+Dies beweist
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}.
+
+Indem man Real- und Imaginärteil trennt, kann man daraus auch
+die Fourier-Reihen von $\cos(\xi\cos\varphi)$ und
+$\sin(\xi\cos\varphi)$ gewinnen, sie sind
+\begin{align*}
+\exp(\xi\cos\varphi)
+&=
+J_0(\xi) + 2\sum_{n=1}^\infty i^{n} J_{n}(\xi) \cos n\varphi
+\\
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{m=1}^\infty i^{2m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi
++
+2\sum_{m=0}^\infty i^{2m+1}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi
+\\
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi
++
+2i\sum_{m=0}^\infty (-1)^{m}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi
+\\
+\cos(\xi\cos\varphi)
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi
+\\
+\sin(\xi\cos\varphi)
+&=
+2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi.
+\end{align*}
+Damit sind auch die Formeln
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}
+und
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}
+für die reellen Fourier-Reihen bewiesen.
+\end{proof}
+
+%
+% Integraldarstellung der Bessel-Funktion
+%
+\subsection{Integraldarstellung der Bessel-Funktion}
+Aus \eqref{buch:fourier:eqn:Fncosphi} kann jetzt die Integraldarstelltung
+der Bessel-Funktionen gewonnen werden.
+Dazu substituiert man $\varphi$ durch $\tau$ mit
+$\varphi = \frac{\pi}2-\tau$
+oder
+$\tau=\frac{\pi}2-\varphi$
+und $d\tau = -d\varphi$
+im Integral und berechnet
+\begin{align*}
+J_n(\xi)
+&=
+(-i)^n
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi+i\xi \cos\varphi}
+\,d\varphi
+\\
+&=
+-
+(-i)^n
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{\frac{\pi}2}^{-\frac{3\pi}2}
+e^{in(\frac{\pi}2-\tau) + i\xi\cos(\frac{\pi}2-\tau)}
+\,d\tau
+\\
+&=
+(-i)^n
+\frac{1}{2\pi}
+\int^{\frac{\pi}2}_{-\frac{3\pi}2}
+i^n
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)}
+\,d\tau.
+\intertext{Da der Integrand $2\pi$-periodisch ist, kann das
+Integrationsintervall auf $[-\pi,\pi]$ verschoben werden, was}
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{-\pi}^{\pi}
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)}
+\,d\tau.
+\intertext{ergibt.
+Das Integral kann in zwei Integrale}
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^\pi
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau}
+\,d\tau
++
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^\pi
+e^{in\tau - i\xi\sin\tau}
+\,d\tau
+\intertext{aufgeteilt werden,
+}
+&=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\frac{
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau}
++
+e^{in\tau - i\xi\sin\tau}
+}{2}
+\,d\tau
+\\
+&=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\frac{
+e^{i(-n\tau + \xi\sin\tau)}
++
+e^{-i(-n\tau + \xi\sin\tau)}
+}{2}
+\,d\tau
+\\
+&=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\cos(n\tau - \xi\sin\tau)
+\,d\tau.
+\end{align*}
+Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen:
+
+\begin{satz}[Integraldarstelltung der Bessel-Funktionen]
+\label{buch:fourier:satz:bessel-integraldarstellung}
+Die Bessel-Funktionen $J_n$ mit ganzzahliger Ordnung $n$ haben
+die Integraldarstellung
+\begin{equation}
+J_n(\xi)
+=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\cos(n\tau - \xi\sin\tau)
+\,d\tau.
+\label{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex
index 341d8df..681a1c0 100644
--- a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex
@@ -13,7 +13,8 @@ führen zu neuen speziellen Funktionen.
 In diesem Kapitel soll als Beispiel die Fourier-Transformation
 der Bessel-Funktionen untersucht werden.
 
-%\input{chapters/075-fourier/bessel.tex}
+\input{chapters/075-fourier/2d.tex}
+\input{chapters/075-fourier/bessel.tex}
 
 %\section{TODO}
 %\begin{itemize}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
index a9ef74a..c64af06 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
@@ -10,4 +10,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/090-pde/rechteck.tex					\
 	chapters/090-pde/kreis.tex					\
 	chapters/090-pde/kugel.tex					\
+	chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex			\
 	chapters/090-pde/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
index db909ee..a393da5 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
@@ -21,11 +21,11 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind.
 \input{chapters/090-pde/kreis.tex}
 \input{chapters/090-pde/kugel.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/090-pde/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{901}
 %\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
index 7f65f06..583895d 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Gleichungen und Randbedingungen
 \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}}
+\rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen}
 
 \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen}
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
index a24b6bb..a8cab3e 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Kreisförmige Membran
 \label{buch:pde:section:kreis}}
+\rhead{Kreisförmige Membran}
 In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen
 Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden.
 Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen 
@@ -32,7 +33,7 @@ Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form
 \frac1r
 \frac{\partial}{\partial r}
 +
-\frac{1}{r 2}
+\frac{1}{r^2}
 \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
 \label{buch:pde:kreis:laplace}
 \end{equation}
@@ -120,7 +121,7 @@ für $\Phi(\varphi)$.
 Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen
 \begin{align*}
 \Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi
-\text{und}\qquad
+&&\text{und}&
 \Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi.
 \end{align*}
 Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
index 0e3524f..ee56316 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
@@ -5,4 +5,386 @@
 %
 \section{Kugelfunktionen
 \label{buch:pde:section:kugel}}
+\rhead{Kugelfunktionen}
+Kugelsymmetrische Probleme können oft vorteilhaft in Kugelkoordinaten
+beschrieben werden.
+Die Separationsmethode kann auf partielle Differentialgleichungen
+mit dem Laplace-Operator angewendet werden.
+Die daraus resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichungen führen
+einerseits auf die Laguerre-Differentialgleichung für den radialen
+Anteil sowie auf Kugelfunktionen für die Koordinaten der
+geographischen Länge und Breite.
+
+\subsection{Kugelkoordinaten}
+Wir verwenden Kugelkoordinaten $(r,\vartheta,\varphi)$, wobei $r$
+der Radius ist, $\vartheta$ die geographische Breite gemessen vom
+Nordpol der Kugel und $\varphi$ die geographische Breite.
+Der Definitionsbereich für Kugelkoordinaten ist
+\[
+\Omega
+=
+\{(r,\vartheta,\varphi)
+\;|\;
+r\ge 0\wedge 
+0\le \vartheta\le \pi\wedge
+0\le \varphi< 2\pi
+\}.
+\]
+Die Entfernung eines Punktes von der $z$-Achse ist $r\sin\vartheta$.
+Daraus lassen sich die karteischen Koordinaten eines Punktes mit Hilfe
+von
+\[
+\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+r\cos\vartheta\\
+r\sin\vartheta\cos\varphi\\
+r\sin\vartheta\sin\varphi
+\end{pmatrix}.
+\]
+Man beachte, dass die Punkte auf der $z$-Achse keine eindeutigen
+Kugelkoordinaten haben.
+Sie sind charakterisiert durch $r\sin\vartheta=0$, was $\cos\vartheta=\pm1$
+impliziert.
+Entsprechend führen alle Werte von $\varphi$ auf den gleichen Punkt
+$(0,0,\pm r)$.
+
+\subsection{Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten}
+Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet
+\begin{align}
+\Delta
+&=
+\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kugel:laplace1}
+\intertext{Dies kann auch geschrieben werden als}
+&=
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\label{buch:pde:kugel:laplace2}
+\intertext{oder}
+&=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2} r
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kugel:laplace3}
+\end{align}
+Dabei ist zu berücksichtigen, dass mit der Notation gemeint ist,
+dass ein Ableitungsoperator auf alles wirkt, was rechts im gleichen
+Term steht.
+Der Operator
+\[
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+\quad\text{wirkt daher als}\quad
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}rf
+=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial}{\partial r}\biggl(f + r\frac{\partial f}{\partial r}\biggr)
+=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{\partial^2f}{\partial r^2}.
+=
+\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{\partial^2f}{\partial r^2},
+\]
+was die Äquivalenz der beiden Formen
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace2}
+und
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace3}
+rechtfertigt.
+Auch die Äquivalenz mit
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace1}
+kann auf ähnliche Weise verstanden werden.
+
+Die Herleitung dieser Formel ist ziemlich aufwendig und soll hier
+nicht dargestellt werden.
+Es sei aber darauf hingewiesen, dass sich für $\vartheta=\frac{\pi}2$ 
+wegen $\sin\vartheta=\sin\frac{\pi}2=1$
+der eingeschränkte Operator
+\[
+\Delta
+= 
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\]
+ergibt.
+Wendet man wie oben die Produktregel auf den ersten Term an, entsteht die
+Form
+\[
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac{2}{r}
+\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\]
+die {\em nicht} übereinstimmt mit dem Laplace-Operator in 
+Polarkoordinaten~\eqref{buch:pde:kreis:laplace}.
+Der Unterschied rührt daher, dass der Laplace-Operator die Krümmung
+der Koordinatenlinien berücksichtigt, in diesem Fall der Meridiane.
+
+\subsection{Separation}
+In Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
+wurde bereits gzeigt, wie die Wellengleichung
+\[
+\frac{1}{c^2}
+\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}
+-\Delta U
+=
+0
+\]
+durch Separation der Zeit auf ein Eigenwertproblem für eine
+Funktion $u$ reduziert werden kann, die nur von den Ortskoordinaten
+abhängt.
+Es geht also nur noch darum, dass Eigenwertproblem
+\[
+\Delta u = -\lambda^2 u
+\]
+mit geeigneten Randbedingungen zu lösen.
+Dazu gehören einerseits eventuelle Gebietsränder, die im Moment
+nicht interessieren.
+Andererseits muss sichergestellt sein, dass die Lösungsfunktionen
+stetig und differentierbar sind an den Orten, wo das Koordinatensystem
+singulär ist.
+So müssen $u(r,\vartheta,\varphi)$ $2\pi$-periodisch in $\varphi$ sein.
+% XXX Ableitungen
+
+\subsubsection{Separation des radialen Anteils}
+Für das Eigenwertproblem verwenden wir den Ansatz
+\[
+u(r,\vartheta,\varphi)
+=
+R(r) \Theta(\vartheta) \Phi(\varphi),
+\]
+den wir in die Differentialgleichung einsetzen.
+So erhalten wir
+\[
+\biggl(\frac{1}{r^2}R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \biggr)
+\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)
++
+R(r)
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}(\sin\vartheta \Theta'(\vartheta))
+\Phi(\varphi)
++
+R(r)\Theta(\vartheta)
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta} \Phi''(\varphi)
+=
+-\lambda^2 R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi).
+\]
+Die Gleichung lässt sich nach Multiplikation mit $r^2$ und
+Division durch $u$ separieren in 
+\begin{equation}
+\frac{R''(r)+2rR'(r)+\lambda^2r^2}{R(r)}
++
+\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+0
+\label{buch:pde:kugel:separiert2}
+\end{equation}
+Der erste Term hängt nur von $r$ ab, die anderen nur von $\vartheta$ und
+$\varphi$, daher muss der erste Term konstant sein.
+Damit ergbit sich für den Radialanteil die gewöhnliche Differentialgleichung
+\[
+R''(r) + 2rR'(r) +\lambda^2 r^2 = \mu^2 R(r),
+\]
+die zum Beispiel mit der Potenzreihenmethode gelöst werden kann.
+Sie kann aber durch eine geeignete Substition nochmals auf die
+Laguerre-Differentialgleichung reduziert werden, wie in
+Kapitel~\ref{chapter:laguerre} dargelegt wird.
+
+\subsubsection{Kugelflächenanteil}
+Für die Separation der verbleibenden winkelabhängigen Teile muss die
+Gleichung
+\[
+\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\mu^2
+\]
+mit $\sin^2\vartheta$ multipliziert werden, was auf
+\[
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\mu^2\sin^2\vartheta
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\mu^2\sin^2\vartheta
+=
+-
+\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+führt.
+Die linke Seite der letzten Gleichung hängt nur von $\vartheta$
+ab, die rechte nur von $\varphi$, beide Seiten müssen daher
+konstant sein, wir bezeichnen diese Konstante mit $\alpha^2$.
+So ergibt sich die Differentialgleichung
+\[
+\alpha^2
+=
+-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+für die Abhängigkeit von $\varphi$, mit der allgemeinen Lösung
+\[
+\Phi(\varphi)
+=
+A\cos\alpha \varphi
++
+B\sin\alpha \varphi.
+\]
+Die Randbedingungen verlangen, dass $\Phi(\varphi)$ eine $2\pi$-periodische
+Funktion ist, was genau dann möglich ist, wenn $\alpha=m$ ganzzahlig ist.
+Damit ergibt sich für die $\vartheta$-Abhängigkeit die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\mu^2\sin^2\vartheta
+=
+m^2.
+\label{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Abhängigkeit von $\vartheta$}
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil}
+ist etwas unhandlich, daher verwenden wir die Substitution $z=\cos\vartheta$,
+um die trigonometrischen Funktionen los zu werden.
+Wegen
+\[
+\frac{dz}{d\vartheta} = -\sin\vartheta =-\sqrt{1-z^2}
+\]
+können die Ableitungen nach $\vartheta$ auch durch Ableitungen nach $z$
+ausgedrückt werden.
+Wir schreiben dazu $Z(z)=\Theta(\vartheta)$ und berechnen 
+\[
+\Theta'(\vartheta)
+=
+\frac{d\Theta}{d\vartheta}
+=
+\frac{dZ}{dz}\frac{dz}{d\vartheta}
+=
+-
+\sqrt{1-z^2}
+Z'(z).
+\]
+Dies bedeutet auch, dass
+\[
+\sin\vartheta\frac{d}{d\vartheta}
+=
+-
+(1-z^2)\frac{d}{dz},
+\]
+damit lässt sich die Differentialgleichung für $\Theta(\vartheta)$ umschreiben
+in eine Differentialgleichung für $Z(z)$, nämlich
+\[
+(1-z^2)\frac{d}{dz}(1-z^2)\frac{d}{dz} Z(z)
++
+\mu^2
+(1-z^2)
+Z(z)
+=
+m^2
+Z(z).
+\]
+Indem man die Ableitung im ersten Term mit Hilfe der Produktregel
+ausführt, kann man die Gleichung
+\[
+(1-z^2)\biggl(
+-2zZ'(z) + (1-z^2)Z''(z)
+\biggr)
++
+\mu^2(1-z^2)Z(z)
+=
+-m^2 Z(z)
+\]
+bekommen.
+Division durch $1-z^2$ ergibt die
+{\em Legendre-Differentialgleichung}
+\begin{equation}
+(1-z^2)Z''(z)
+-2zZ'(z)
++
+\biggl(
+\mu^2 - \frac{m^2}{1-z^2}
+\biggr)
+Z(z)
+=
+0.
+\label{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl}
+\end{equation}
+Eine Diskussion der Lösungen dieser Differentialgleichung erfolgt im
+Kapitel~\ref{chapter:kugel}.
+
+\subsection{Kugelfunktionen}
+Die Legendre-Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl}
+hat Lösungen für Werte von $\mu$ derart, dass $\mu^2=l(l+1)$ für natürliche
+Zahlen $l$.
+Die Lösungen sind sogar Polynome, die wir mit $P_l^{(m)}(z)$ 
+bezeichnen, dabei ist $m$ eine ganze Zahl mit $-l\le m\le l$.
+Die Funktionen $P_l^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}$ 
+sind daher alle Lösungen des von $\vartheta$ und $\varphi$
+abhängigen Teils der Lösungen des Eigenwertproblems.
+Mit einer geeigneten Normierung kann man zudem eine Familie von
+bezüglich des Skalarproduktes
+\[
+\langle f,g\rangle_{S^2}
+=
+\int_{-\pi}^{\pi}
+\int_{0}^{\pi}
+\overline{f(\vartheta,\varphi)}
+g(\vartheta,\varphi)
+\sin\vartheta
+\,d\vartheta
+\,d\varphi
+\]
+orthonormiete Funktionen auf der Kugeloberfläche erhalten, die
+man normalerweise als 
+\[
+Y_{lm}(\vartheta,\varphi)
+=
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+\sqrt{
+\frac{2l+1}{2}\cdot
+\frac{(l-m)!}{(l+m)!}
+}
+P_{l}^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}
+\]
+bezeichnet.
+
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
index 72e2806..b7dfe11 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Rechteckige Membran
 \label{buch:pde:section:rechteck}}
+\rhead{Rechteckige Membran}
 Als Beispiel für die Lösung des in
 Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
 aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems
diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
index 6faceaa..e5e144a 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/separation.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Separationsmethode
 \label{buch:pde:section:separation}}
+\rhead{Separationsmethode}
 Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
 ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der
 Anfangsbedingung garantiert.
diff --git a/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
new file mode 100644
index 0000000..67fa8e5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+Die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+\qquad
+\text{im Gebiet}
+\qquad
+(t,x)\in \Omega=\mathbb{R}^+\times (0,l)
+\label{505:waermeleitungsgleichung}
+\end{equation}
+beschreibt die Änderung der Temperatur eines Stabes der Länge $l$.
+Die homogene Randbedingung
+\begin{equation}
+u(t,0)=
+u(t,l)=0
+\label{505:homogene-randbedingung}
+\end{equation}
+besagt, dass der Stab an seinen Enden auf Temperatur $0$ gehalten.
+Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss auch die Temperatur
+zur Zeit $t=0$ in Form einer Randbedingung
+\[
+u(0,x) = T_0(x)
+\]
+gegeben sein.
+Führen Sie Separation für die
+Differentialgleichung~\eqref{505:waermeleitungsgleichung}
+durch und bestimmen Sie die zulässigen Werte der Separationskonstanten.
+
+\begin{loesung}
+Man verwendet den Ansatz $u(t,x)= T(t)\cdot X(x)$ und setzt diesen 
+in die Differentialgleichung ein, die dadurch zu
+\[
+T'(t)X(x) = \kappa T(t) X''(x)
+\]
+wird.
+Division durch $T(t)X(x)$ wird dies zu
+\[
+\frac{T'(t)}{T(t)}
+=
+\kappa
+\frac{X''(x)}{X(x)}.
+\]
+Da die linke Seite nur von $t$ abhängt, die rechte aber nur von $x$, müssen
+beide Seiten konstant sein.
+Wir bezeichnen die Konstante mit $-\lambda^2$, so dass wir die beiden
+gewöhnlichen Differentialgleichungen
+\begin{align*}
+\frac{1}{\kappa}
+\frac{T'(t)}{T(t)}&=-\lambda^2
+&
+\frac{X''(x)}{X(x)}&=-\lambda^2
+\\
+T'(t)&=-\lambda^2\kappa T(t)
+&
+X''(x) &= -\lambda^2 X(x)
+\intertext{welche die Lösungen}
+T(t)&=Ce^{-\lambda^2\kappa t}
+&
+X(x)&= A\cos\lambda x + B\sin\lambda x
+\end{align*}
+haben.
+Die Lösung $X(x)$ muss aber auch die homogene Randbedingung 
+\eqref{505:homogene-randbedingung} erfüllen.
+Setzt man $x=0$ und $x=l$ ein, folgt
+\begin{align*}
+0 = X(0)&=A\cos 0 + B\sin 0 = A
+&
+0 = X(l)&=B\sin \lambda l,
+\end{align*}
+woraus man schliessen kann, dass $\lambda l$ ein ganzzahliges
+Vielfaches von $\pi$ ist, wir schreiben $\lambda l = k\pi$ oder
+\[
+\lambda = \frac{k\pi}{l}.
+\]
+Damit sind die möglichen Werte $\lambda$ bestimmt und man kann jetzt
+auch die möglichen Lösungen aufschreiben, sie sind
+\[
+u(t,x)
+=
+\sum_{k=1}^\infty b_k e^{-k^2\pi^2\kappa t/l^2}\sin\frac{k\pi x}{l}.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
index 0ca1392..538db68 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -8,4 +8,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/jacobi.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex			\
 	chapters/110-geometrie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
index a03ce24..e09fa53 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -20,11 +20,11 @@ aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
 \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex}
 \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
-%\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{1}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index d11bde8..88cf119 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex
index 4fc572e..fec04fc 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex
@@ -31,7 +31,7 @@
 \fill[color=gray!50] (-0.2,1.65) rectangle (7.0,2.3);
 \draw[line width=0.5pt] (-0.2,-6) rectangle (7.0,2.3);
 \begin{scope}[scale=0.5]
-\node at (6.5,{\dy+2}) {$m = #1$};
+\node at (6.5,{\dy+2}) {$k^2 = #1$};
 \end{scope}
 }
 \def\jacobiplot#1#2#3#4{
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
new file mode 100644
index 0000000..8e4b39f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -0,0 +1,312 @@
+In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem
+Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz
+\[
+F(x) = -\kappa x + \delta x^3
+\]
+von der Auslenkung aus der Ruhelage abhängt.
+Nehmen Sie im Folgenden an, dass $\delta >0$ ist,
+dass also die rücktreibende Kraft $F(x)$ kleiner ist als bei einem
+harmonischen Oszillator.
+Ziel der folgenden Teilaufgaben ist, die Lösung $x(t)$ schrittweise
+dadurch zu bestimmen, dass die Bewegungsgleichung in die Differentialgleichung
+der Jacobischen elliptischen Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ umgeformt
+wird.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Berechnen Sie die Auslenkung $x_0$, bei der die rücktreibende Kraft
+verschwindet.
+Eine beschränkte Schwingung kann diese Amplitude nicht überschreiten.
+\item
+Berechnen Sie die potentielle Energie in Abhängigkeit von der 
+Auslenkung.
+\item
+\label{buch:1101:basic-dgl}
+Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz für die Gesamtenergie $E$
+dieses Oszillators.
+Leiten Sie daraus eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung
+for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
+$\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben.
+\item
+Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die
+Geschwindigkeit verschwindet.
+Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von
+\ref{buch:1101:basic-dgl} ab.
+Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$
+die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt,
+während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen
+$\infty$ divergenten Lösung ist.
+\item
+Rechnen Sie nach, dass
+\[
+\frac{x_+^2+x_-^2}{2}
+=
+x_0^2
+\qquad\text{und}\qquad
+x_-^2x_+^2
+=
+\frac{4E}{\delta}.
+\]
+\item
+Faktorisieren Sie die Funktion $f(x)$ in der Differentialgleichung
+von Teilaufgabe c) mit Hilfe der in Teilaufgabe d) bestimmten 
+Nullstellen $x_{\pm}^2$.
+\item
+Dividieren Sie die Differentialgleichung durch $x_-^2$, schreiben
+Sie $X=x/x_-$ und bringen Sie die Differentialgleichung in die
+Form
+\begin{equation}
+A \dot{X}^2
+=
+(1-X^2)
+(1-k^2X^2),
+\label{buch:1101:eqn:dgl3}
+\end{equation}
+wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen.
+\item
+\label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
+Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$
+und
+$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion
+$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
+von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in
+\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
+\item
+Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in 
+\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung,
+um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf}
+\caption{Rechte Seite der Differentialgleichung
+\eqref{buch:1101:eqn:dglf}. 
+Eine beschränkte Lösung bewegt sich im Bereich $x<x_-$
+während im Bereich $x>x_+$ die Kraft abstossend ist und zu einer
+divergenten Lösung führt.
+\label{buch:1101:fig:potential}
+}
+\end{figure}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Wegen
+\[
+F(x)
+=
+-\kappa x\biggl(1-\frac{\delta}{\kappa}x^2\biggr)
+=
+-Ix
+\biggl(1-\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr)
+\biggl(1+\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr)
+\]
+folgt, dass die rücktreibende Kraft bei der Auslenkung  $\pm x_0$ mit
+\[
+x_0^2
+=
+\frac{\kappa}{\delta}
+\qquad\text{oder}\qquad
+x_0 = \sqrt{\frac{\kappa}{\delta}}
+\]
+verschwindet.
+\item
+Die potentielle Energie ist die Arbeit, die gegen die rücktreibende Kraft
+geleistet wird, um die Auslenkung $x$ zu erreichen.
+Sie entsteht durch Integrieren der Kraft über
+das Auslenkungsinterval, also
+\[
+E_{\text{pot}}
+=
+-
+\int_0^x F(\xi) \,d\xi
+=
+\int_0^x \kappa\xi-\delta\xi^3\,d\xi
+=
+\biggl[
+\kappa\frac{\xi^2}{2}
+-
+\delta
+\frac{\xi^4}{4}
+\biggr]_0^x
+=
+\kappa\frac{x^2}{2}
+-
+\delta\frac{x^4}{4}.
+\]
+\item
+Die kinetische Energie ist gegeben durch
+\[
+E_{\text{kin}}
+=
+\frac12m\dot{x}^2.
+\]
+Die Gesamtenergie ist damit
+\[
+E
+=
+\frac12m\dot{x}^2
++
+\kappa
+\frac{x^2}{2}
+-
+\delta
+\frac{x^4}{4}.
+\]
+Die verlangte Umformung ergibt
+\begin{align}
+\frac12m\dot{x}^2
+&=
+E
+-
+\kappa\frac{x^2}{2}
++
+\delta\frac{x^4}{4}
+\label{buch:1101:eqn:dglf}
+\end{align}
+als Differentialgleichung für $x$.
+Die Ableitung $\dot{x}$ hat positives Vorzeichen wenn die Kraft
+abstossend ist und negatives Vorzeichen dort, wo die Kraft anziehend ist.
+%
+\item
+Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den
+die Geschwindigkeit verschwindet, also eine Lösung der Gleichung
+\[
+0
+=
+\frac{2E}{m} -\frac{\kappa}{m}x^2 + \frac{\delta}{2m}x^4.
+\]
+Der gemeinsame Nenner $m$ spielt offenbar keine Rolle.
+Die Gleichung hat die zwei Lösungen
+\[
+x_{\pm}^2
+=
+\frac{\kappa \pm \sqrt{\kappa^2-4E\delta}}{\delta}
+=
+\frac{\kappa}{\delta}
+\pm
+\sqrt{
+\biggl(\frac{\kappa}{\delta}\biggr)^2
+-
+\frac{4E}{\delta}
+}.
+\]
+Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:1101:fig:potential}
+Für $x>x_+$ ist die Kraft abstossend, die Lösung divergiert.
+Die Lösung mit dem negativen Zeichen $x_-$ bleibt dagegen beschränkt,
+dies ist die Lösung, die wir suchen.
+
+\item
+Die beiden Formeln ergeben sich aus den Regeln von Vieta für die
+Lösungen einer quadratischen Gleichungg der Form $x^4+px^2+q$.
+Die Nullstellen haben den Mittelwert $-p/2$ und das Produkt $q$.
+
+\item
+Die rechte Seite der Differentialgleichung lässt sich mit Hilfe
+der beiden Nullstellen $x_{\pm}^2$ faktorisieren und bekommt die Form
+\[
+\frac12m\dot{x}^2
+=
+\frac{\delta}{4}(x_+^2-x^2)(x_-^2-x^2).
+\]
+
+\item
+Indem die ganze Gleichung durch $x_-^2$ dividiert wird, entsteht 
+\[
+\frac12m
+\biggl(\frac{\dot{x}}{x_-}\biggr)^2
+=
+\frac{\delta}{4}
+(x_+^2-x^2)
+\biggl(1-\frac{x^2}{x_-^2}\biggr).
+\]
+Schreiben wir $X=x/x_-$ wird daraus
+\[
+\frac1{2}m\dot{X}^2
+=
+\frac{\delta}{4}
+\biggl(x_+^2-x_-^2 X^2\biggr)
+(1-X^2).
+\]
+Durch Ausklammern von $x_+^2$ im ersten Faktor  wir daraus
+\[
+\frac1{2}m\dot{X}^2
+=
+\frac{\delta}{4}
+x_+^2
+\biggl(1-\frac{x_-^2}{x_+^2} X^2\biggr)
+(1-X^2).
+\]
+Mit der Schreibweise $k^2 = x_-^2/x_+^2$ wird die Differentialgleichung
+zu
+\begin{equation}
+\frac{2m}{\delta x_+^2} \dot{X}^2
+=
+(1-X^2)(1-k^2X^2),
+\label{buch:1101:eqn:dgl2}
+\end{equation}
+was der Differentialgleichung für die Jacobische elliptische Funktion
+$\operatorname{sn}(u,k)$ bereits sehr ähnlich sieht.
+\item
+Bis auf den Faktor vor $\dot{X}^2$ ist 
+\eqref{buch:1101:eqn:dgl2}
+die Differentialgleichung
+von
+$\operatorname{sn}(u,k)$.
+Um den Faktor zum Verschwinden zu bringen, schreiben wir 
+$t(\tau) = \alpha\tau$.
+Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist
+\[
+\frac{dY}{d\tau}
+=
+\dot{X}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau}
+=
+\alpha
+\dot{X}(t(\tau))
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau}
+=
+\dot{X}(t(\tau)).
+\]
+Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist
+\[
+\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\frac{dY}{d\tau}
+=
+(1-Y^2)(1-k^2Y^2).
+\]
+Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man 
+\[
+\alpha^2
+=
+\frac{2mk^2}{\delta x_+^2}
+\]
+wählt.
+Diese Differentialgleichug hat die Lösung
+\[
+Y(\tau) = \operatorname{sn}(\tau,k).
+\]
+\item
+Indem man die gefunden Grössen einsetzt kann man jetzt die Lösung 
+der Differentialgleichung in geschlossener Form als
+\begin{align*}
+x(t)
+&=
+x_- X(t)
+=
+x_- \operatorname{sn}\biggl(
+t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} }
+,k
+\biggr)
+\end{align*}
+Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als
+\[
+\delta x_+^2
+=
+\kappa+\sqrt{\kappa -4\delta E}
+\]
+geschrieben werden.
+\qedhere
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..0ca5234
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile
@@ -0,0 +1,8 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+anharmonisch.pdf:	anharmonisch.tex
+	pdflatex anharmonisch.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4b00f4d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..a00c393
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% anharmonisch.tex -- Potential einer anharmonischen Schwingung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\E{3}
+\def\K{0.2}
+\def\D{0.0025}
+
+\pgfmathparse{sqrt(\K/\D)}
+\xdef\xnull{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{sqrt((\K+sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)}
+\xdef\xplus{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{sqrt((\K-sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)}
+\xdef\xminus{\pgfmathresult}
+
+\def\xmax{13}
+
+\fill[color=darkgreen!20] (0,-1.5) rectangle (\xminus,4.7);
+\node[color=darkgreen] at ({0.5*\xminus},4.7) [below] {anziehende Kraft\strut};
+
+\fill[color=orange!20] (\xplus,-1.5) rectangle (\xmax,4.7);
+\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.7) [below] {abstossende\strut};
+\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.3) [below] {Kraft\strut};
+
+\node[color=gray] at (\xnull,4.7) [below] {verbotener Bereich\strut};
+
+\draw (-0.1,\E) -- (0.1,\E);
+\node at (-0.1,\E) [left] {$E$};
+
+\draw[color=red,line width=1pt]
+	plot[domain=0:13,samples=100]
+		({\x},{\E-(0.5*\K-0.25*\D*\x*\x)*\x*\x});
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- ({\xmax+0.3},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-1.5) -- (0,5) coordinate[label={right:$f(x)$}];
+
+\fill[color=blue] (\xminus,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\xminus,0) [below left] {$x_-\mathstrut$};
+
+\fill[color=blue] (\xplus,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\xplus,0) [below right] {$x_+\mathstrut$};
+
+\fill[color=blue] (\xnull,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\xnull,0) [below] {$x_0\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/common/Makefile.inc b/buch/common/Makefile.inc
index c8b0f6e..b9461e5 100755
--- a/buch/common/Makefile.inc
+++ b/buch/common/Makefile.inc
@@ -4,9 +4,15 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Mueller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-
 SUBDIRECTORIES = chapters 
 
+# change the following variables to suit your environment
+
+pdflatex = pdflatex
+bibtex = bibtex
+makeindex = makeindex
+touch = touch
+
 .PHONY:	images
 
 images:
diff --git a/buch/papers/000template/main.tex b/buch/papers/000template/main.tex
index 87a5685..91b6d6e 100644
--- a/buch/papers/000template/main.tex
+++ b/buch/papers/000template/main.tex
@@ -1,7 +1,10 @@
 %
 % main.tex -- Paper zum Thema <000template>
 %
-% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
+% (c) 2020 Autor, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+% !TEX root = ../../buch.tex
+% !TEX encoding = UTF-8
 %
 \chapter{Thema\label{chapter:000template}}
 \lhead{Thema}
diff --git a/buch/papers/000template/teil0.tex b/buch/papers/000template/teil0.tex
index 7b9f088..65d7ae1 100644
--- a/buch/papers/000template/teil0.tex
+++ b/buch/papers/000template/teil0.tex
@@ -3,6 +3,9 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+% !TEX root = ../../buch.tex
+% !TEX encoding = UTF-8
+%
 \section{Teil 0\label{000template:section:teil0}}
 \rhead{Teil 0}
 Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
diff --git a/buch/papers/000template/teil1.tex b/buch/papers/000template/teil1.tex
index 00d3058..0f8dfae 100644
--- a/buch/papers/000template/teil1.tex
+++ b/buch/papers/000template/teil1.tex
@@ -3,6 +3,9 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+% !TEX root = ../../buch.tex
+% !TEX encoding = UTF-8
+%
 \section{Teil 1
 \label{000template:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
diff --git a/buch/papers/000template/teil2.tex b/buch/papers/000template/teil2.tex
index 471adae..496557f 100644
--- a/buch/papers/000template/teil2.tex
+++ b/buch/papers/000template/teil2.tex
@@ -3,6 +3,9 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+% !TEX root = ../../buch.tex
+% !TEX encoding = UTF-8
+%
 \section{Teil 2 
 \label{000template:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
diff --git a/buch/papers/000template/teil3.tex b/buch/papers/000template/teil3.tex
index 4697813..ef2aa75 100644
--- a/buch/papers/000template/teil3.tex
+++ b/buch/papers/000template/teil3.tex
@@ -3,6 +3,9 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+% !TEX root = ../../buch.tex
+% !TEX encoding = UTF-8
+%
 \section{Teil 3
 \label{000template:section:teil3}}
 \rhead{Teil 3}
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
index c3ab4f6..cd5ed80 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
index 50509ee..f0ffdf0 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
@@ -23,7 +23,8 @@
 \definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
 \definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
 \definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
-\definecolor{coloreleven}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
 
 \def\achsen{
 	\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
@@ -47,24 +48,24 @@
 }
 
 \def\farbcoord#1#2{
-	({\dx*(0.7+((#1-1)/4)*0.27)},{\dx*(0.15+((#2-1)/4)*0.27)})
+	({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
 }
 \def\farbviereck{
-	\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
-		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{1} -- \farbcoord{\x}{5};
-		\draw[color=gray!30] \farbcoord{1}{\x} -- \farbcoord{5}{\x};
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
 	}
-	\draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{5.4}{1}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
 		coordinate[label={$a$}];
-	\draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{1}{5.4}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
 		coordinate[label={left: $b$}];
-	\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
-		\node[color=gray] at \farbcoord{5}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
-		\fill[color=white,opacity=0.7] 
-			\farbcoord{(\x-0.1)}{4.3}
-			rectangle
-			\farbcoord{(\x+0.1)}{5};
-		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{5} [left,rotate=90]
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+		%\fill[color=white,opacity=0.7] 
+		%	\farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+		%	rectangle
+		%	\farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
 			{\tiny $a=\x$};
 	}
 }
@@ -74,23 +75,26 @@
 
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
-\def\dx{1}
+\def\dx{1.1}
 \def\dy{0.1}
 \def\opa{0.1}
 
-\def\betamax{4.2}
-
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
 \fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
 
 \draw[color=colorone]    \betaaa;
 \draw[color=colortwo]    \betabb;
@@ -103,11 +107,15 @@
 \draw[color=colornine]   \betaii;
 \draw[color=colorten]    \betajj;
 \draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
 
 \achsen
 
 \farbviereck
 
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
 \farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
 \farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
 \farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
@@ -124,88 +132,102 @@
 \def\betamax{4.9}
 
 \begin{scope}[yshift=-0.6cm]
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaab -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaac -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaad -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaae -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaf -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaag -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaah -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaai -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaj -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
 
-\draw[color=colorone]    \betaaa;
-\draw[color=colortwo]    \betaab;
-\draw[color=colorthree]  \betaac;
-\draw[color=colorfour]   \betaad;
-\draw[color=colorfive]   \betaae;
-\draw[color=colorsix]    \betaaf;
-\draw[color=colorseven]  \betaag;
-\draw[color=coloreight]  \betaah;
-\draw[color=colornine]   \betaai;
-\draw[color=colorten]    \betaaj;
-\draw[color=coloreleven] \betaak;
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaea;
+\draw[color=colortwo]    \betaeb;
+\draw[color=colorthree]  \betaec;
+\draw[color=colorfour]   \betaed;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaef;
+\draw[color=colorseven]  \betaeg;
+\draw[color=coloreight]  \betaeh;
+\draw[color=colornine]   \betaei;
+\draw[color=colorten]    \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
 
 \achsen
 
 \farbviereck
 
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{coloreleven}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaten}{colorten}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betanine}{colornine}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeight}{coloreight}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaseven}{colorseven}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betasix}{colorsix}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betafive}{colorfive}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betafour}{colorfour}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betathree}{colorthree}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betatwo}{colortwo}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
 
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[yshift=-1.2cm]
-\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betack -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaik -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
 
-\draw[color=colorone]    \betaak;
-\draw[color=colortwo]    \betabk;
-\draw[color=colorthree]  \betack;
-\draw[color=colorfour]   \betadk;
-\draw[color=colorfive]   \betaek;
-\draw[color=colorsix]    \betafk;
-\draw[color=colorseven]  \betagk;
-\draw[color=coloreight]  \betahk;
-\draw[color=colornine]   \betaik;
-\draw[color=colorten]    \betajk;
-\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaal;
+\draw[color=colortwo]    \betabl;
+\draw[color=colorthree]  \betacl;
+\draw[color=colorfour]   \betadl;
+\draw[color=colorfive]   \betael;
+\draw[color=colorsix]    \betafl;
+\draw[color=colorseven]  \betagl;
+\draw[color=coloreight]  \betahl;
+\draw[color=colornine]   \betail;
+\draw[color=colorten]    \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
 
 \achsen
 
 \farbviereck
 
-\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
-\farbpunkt{\alphaten}{\betaeleven}{colorten}
-\farbpunkt{\alphanine}{\betaeleven}{colornine}
-\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeleven}{coloreight}
-\farbpunkt{\alphaseven}{\betaeleven}{colorseven}
-\farbpunkt{\alphasix}{\betaeleven}{colorsix}
-\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{colorfive}
-\farbpunkt{\alphafour}{\betaeleven}{colorfour}
-\farbpunkt{\alphathree}{\betaeleven}{colorthree}
-\farbpunkt{\alphatwo}{\betaeleven}{colortwo}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{colorone}
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
 
 \end{scope}
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
index 9ff78ed..5b466a6 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
+++ b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
@@ -5,24 +5,32 @@
 #
 global N;
 N = 201;
-global n;
-n = 11;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
 
-t = (0:n-1) / (n-1)
-alpha = 1 + 4 * t.^2
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
 
 #alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
 beta = alpha;
 names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
-	  "nine"; "ten"; "eleven" ]
+	  "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
 
 function retval = Beta(a, b, x)
 	retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+	if (retval > 100)
+		retval = 100
+	end
 end
 
 function plotbeta(fn, a, b, name)
 	global N;
-	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", name);
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
 	fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
 	for x = (1:N-1)/(N-1)
 		X = (1-cos(pi * x))/2;
@@ -35,8 +43,8 @@ end
 fn = fopen("betapaths.tex", "w");
 
 for i = (1:n)
-	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", names(i,:), alpha(i));
-	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", names(i,:), beta(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
 end
 
 for i = (1:n)
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
index 5e7090b..4abe2e1 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -5,416 +5,7 @@
 %
 \section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
 \label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
-\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
-In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
-$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
-Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
-Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
-des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
-zu finden.
-Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
-Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
+\rhead{}
 
-\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
-\label{dreieck:subsection:minmax}}
-Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
-den Wert
-\begin{align*}
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-&=
-P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
-\\
-&=
-P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
-\\
-&=
-P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
-\\
-&=
-P(X\le x)^n
-=
-F_X(x)^n.
-\end{align*}
-Für die Gleichverteilung ist
-\[
-F_{\text{equi}}(x)
-=
-\begin{cases}
-0&\qquad x< 0
-\\
-x&\qquad 0\le x\le 1
-\\
-1&\qquad 1<x.
-\end{cases}
-\]
-In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
-\[
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-0&\qquad x<0\\
-x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
-1&\qquad 1 < x.
-\end{cases}
-\]
-Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\frac{d}{dx}
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
-0       &\qquad \text{sonst}
-\end{cases}
-\]
-kann man zum Beispiel den Erwartungswert
-\[
-E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
-=
-\int_{-\infty}^\infty 
-x
-\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
-\,dx
-=
-\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
-=
-\biggl[
-\frac{n}{n+1}x^{n+1}
-\biggr]_0^1
-=
-\frac{n}{n+1}
-\]
-berechnen.
-
-Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
-Sie ist
-\begin{align*}
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-&=
-P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
-\\
-&=
-1-
-P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
-\\
-&=
-1-
-(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
-\\
-&=
-1-(1-F_X(x))^n,
-\end{align*}
-Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
-Verteilungsfunktion des Minimums
-\[
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-0        &\qquad x<0        \\
-1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
-1        &\qquad 1 < x
-\end{cases}
-\]
-mit Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\frac{d}{dx}
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\begin{cases}
-n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
-0           &\qquad \text{sonst}
-\end{cases}
-\]
-und Erwartungswert
-\begin{align*}
-E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
-&=
-\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
-=
-\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
-\\
-&=
-\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
-=
-\biggl[
--
-\frac{1}{n+1}
-(1-x)^{n+1}
-\biggr]_0^1
-=
-\frac{1}{n+1}.
-\end{align*}
-Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
-der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
-Werten $X_i$.
-
-\subsection{Der $k$-t-grösste Wert}
-Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
-Zufallsvariablen.
-Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
-mit
-\[
-X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
-\]
-bezeichnet.
-Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
-Ordnungsstatistiken.
-Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
-und
-$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
-sind die Fälle
-\begin{align*}
-X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
-X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
-\end{align*}
-
-Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
-die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
-übersteigen.
-Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
-mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
-\[
-P(X_{k:n} \le x)
-=
-P\left(
-|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
-\right).
-\]
-
-Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
-Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
-Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
-Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
-Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
-\begin{equation}
-F_{X_{k:n}}(x)
-=
-P(X_{k:n}\le x)
-=
-\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
-\label{dreieck:eqn:FXkn}
-\end{equation}
-mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
-
-\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
-Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
-von \eqref{dreieck:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
-\begin{align*}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-\frac{d}{dx}
-F_{X_{k:n}}(x)
-\\
-&=
-\sum_{i=k}^n
-\binom{n}{i}
-\bigl(
-iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
--
-F_X(x)^k
-(n-i)
-(1-F_X(x))^{n-i-1}
-\varphi_X(x)
-\bigr)
-\\
-&=
-\sum_{i=k}^n
-\binom{n}{i}
-\varphi_X(x)
-F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
-\bigl(
-iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
-\bigr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
--
-\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
-\biggr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
--
-\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
-\biggr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
-+
-\sum_{i=k+1}^{n+1}
-\left(
-i\binom{n}{i} 
--
-(n-i+1)\binom{n}{i-1}
-\right)
-F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
-\biggr)
-\end{align*}
-Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
-\begin{align*}
-i\binom{n}{i} 
--
-(n-i+1)\binom{n}{i-1}
-&=
-n\binom{n-1}{i-1}
--
-n
-\binom{n-1}{i-1}
-=
-0
-\end{align*}
-folgt jetzt
-\begin{align*}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x).
-\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
-}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
-\end{align*}
-Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
-\[
-\beta(k,n-k+1)(x)
-=
-\frac{1}{B(k,n-k+1)}
-x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
-\]
-Tatsächlich ist die Normierungskonstante 
-\begin{align}
-\frac{1}{B(k,n-k+1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
-=
-\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
-\label{dreieck:betaverteilung:normierung1}
-\end{align}
-Andererseits ist
-\[
-k\binom{n}{k}
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-=
-\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
-\]
-in Übereinstimmung mit~\eqref{dreieck:betaverteilung:normierung1}.
-Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
-Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} dargestellt.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{papers/dreieck/images/order.pdf}
-\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
-Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
-mit $n=10$.
-\label{dreieck:fig:order}}
-\end{figure}
-
-\subsubsection{Erwartungswert}
-Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
-der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
-Die Rechnung ergibt:
-\begin{align*}
-E(X_{k:n})
-&=
-\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
-=
-k
-\binom{n}{k}
-\int_0^1
-x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
-\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
-&=
-k\binom{n}{k}
-B(k+1,n-k+1)
-\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
-&=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
-=
-\frac{k}{n+1}
-\end{align*}
-ausdrücken kann.
-Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
-Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
-
-\subsubsection{Varianz}
-Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
-der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
-Er ist
-\begin{align*}
-E(X_{k:n}^2)
-&=
-\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
-=
-k
-\binom{n}{k}
-\int_0^1
-x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
-\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
-&=
-k\binom{n}{k}
-B(k+2,n-k+1)
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
-=
-\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
-\end{align*}
-Die Varianz wird damit
-\begin{align}
-\operatorname{var}(X_{k:n})
-&=
-E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
-\notag
-\\
-&
-=
-\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
-=
-\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
-=
-\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
-\label{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
-\end{align}
-In Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} ist die Varianz der
-Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
-Rechteck dargestellt.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=0.84\textwidth]{papers/dreieck/images/beta.pdf}
-\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
-$\beta(a,b,x)$
-für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
-Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
-sind als Punkt im kleinen Quadrat rechts
-im Graphen als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
-\label{dreieck:fig:betaverteilungn}}
-\end{figure}
-
-Die Formel~\eqref{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
-besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
-Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
-also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
-extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
-$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.
 
 
diff --git a/buch/papers/kugel/Makefile.inc b/buch/papers/kugel/Makefile.inc
index d926229..50d6825 100644
--- a/buch/papers/kugel/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/kugel/Makefile.inc
@@ -4,11 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 dependencies-kugel =						\
-	papers/kugel/packages.tex					\
+	papers/kugel/packages.tex				\
 	papers/kugel/main.tex					\
-	papers/kugel/references.bib				\
-	papers/kugel/teil0.tex					\
-	papers/kugel/teil1.tex					\
-	papers/kugel/teil2.tex					\
-	papers/kugel/teil3.tex
+	papers/kugel/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/kugel/main.tex b/buch/papers/kugel/main.tex
index 0e632ec..06368af 100644
--- a/buch/papers/kugel/main.tex
+++ b/buch/papers/kugel/main.tex
@@ -1,36 +1,39 @@
 %
+
 % main.tex -- Paper zum Thema <kugel>
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:kugel}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Recurrence Relations for Spherical Harmonics in Quantum Mechanics\label{chapter:kugel}}
+\lhead{Recurrence Relations in Quantum Mechanics}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
-
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-
-\input{papers/kugel/teil0.tex}
-\input{papers/kugel/teil1.tex}
-\input{papers/kugel/teil2.tex}
-\input{papers/kugel/teil3.tex}
+\chapterauthor{Manuel Cattaneo, Naoki Pross}
+
+\begin{verbatim}
+
+Ideas and current research goals
+--------------------------------
+
+- Recurrence relations for spherical harmonics
+- Associated Legendre polynomials
+- Rodrigues' type formula aka Rodrigues' formula
+- Applications:
+  * Quantization of angular momentum
+  * Gravitational field measurements (NASA ebb and flow, ESA goce)
+  * Literally anything that needs basis functions on the surface of a sphere
+
+Literature
+----------
+
+- Nichtkommutative Bildverarbeitung, T. Mendez, p57+
+- Linear Algebra Done Right, S. Axler, p212,221,231,237
+- Introduction to Quantum Mechanics, D. J. Griffith, p201+
+- Seminar Quantenmechanik, A. Müller, p101,106,114,121
+- Introduction to Partial Differential Equations, J. Oliver, p510+
+- Partial Differential Equations in Engineering Problems, K. Miller, p175,190
+
+\end{verbatim}
+
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/kugel/teil0.tex b/buch/papers/kugel/teil0.tex
deleted file mode 100644
index f921a82..0000000
--- a/buch/papers/kugel/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{kugel:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{kugel:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/kugel/teil1.tex b/buch/papers/kugel/teil1.tex
deleted file mode 100644
index e56bb18..0000000
--- a/buch/papers/kugel/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{kugel:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{kugel:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kugel:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{kugel:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{kugel:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/kugel/teil2.tex b/buch/papers/kugel/teil2.tex
deleted file mode 100644
index cb9e427..0000000
--- a/buch/papers/kugel/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{kugel:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kugel:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/kugel/teil3.tex b/buch/papers/kugel/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 734fff9..0000000
--- a/buch/papers/kugel/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{kugel:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
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-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kugel:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
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-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
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diff --git a/buch/papers/transfer/main.tex b/buch/papers/transfer/main.tex
index 2aae635..ed16998 100644
--- a/buch/papers/transfer/main.tex
+++ b/buch/papers/transfer/main.tex
@@ -3,29 +3,10 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:transfer}}
+\chapter{Transferfunktionen\label{chapter:transfer}}
 \lhead{Thema}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
-
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+\chapterauthor{Marc Benz}
 
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 \input{papers/transfer/teil1.tex}