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authorErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-12 18:03:55 +0200
committerErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-12 18:03:55 +0200
commitd9c6ead18aae68a14ce72b893d9c671156a1d6b3 (patch)
tree3eb6668b09ac439547d9753d4b64fbfdfa525319 /buch
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Full calculation for a_m explained.
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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex58
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index cfa7386..5c246f2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -462,6 +462,64 @@ Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
\end{aligned}
\]
+Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
+nahezu alle Terme verschinden, denn
+\[
+ \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+ =
+ 0
+\]
+da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird,
+\[
+ \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ =
+ 0
+\]
+für $m\neq n$, da Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Kreisfrequenzen
+orthogonal zueinander stehen und
+\[
+ \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ =
+ 0
+\]
+da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sin.
+
+Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
+\[
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ =
+ a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx
+\]
+vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
+berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
+mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
+\[
+ \begin{aligned}
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ &=
+ a_m\frac{l}{m\pi}\int_{-m\pi}^{m\pi}\cos^2\left(u\right)du
+ \\
+ &=
+ a_m\frac{l}{m\pi}\left[\frac{u}{2} +
+ \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi}
+ \\
+ &=
+ a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} +
+ \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} -
+ \frac{-m\pi}{2} -
+ \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right)
+ \\
+ &=
+ a_m l
+ \\
+ a_m
+ &=
+ \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ \end{aligned}
+\]
+
Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
Diese wird über das charakteristische Polynom