Orthogonalität der Bessel-Funktionen

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index 5cf15b5..b07002d 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
@@ -20,14 +20,37 @@ die Bessel-Funktionen.
 \subsection{Die Besselsche Differentialgleichung}
 % XXX Wo taucht diese Gleichung auf
 Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung
-\[
+\begin{equation}
 x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2-\alpha^2)y = 0
-\]
+\label{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
+\end{equation}
 zweiter Ordnung
 für eine auf dem Interval $[0,\infty)$ definierte Funktion $y(x)$.
 Der Parameter $\alpha$ ist eine beliebige komplexe Zahl $\alpha\in \mathbb{C}$,
 die Lösungsfunktionen hängen daher von $\alpha$ ab.
 
+\subsubsection{Eigenwertproblem}
+Die Besselsche Differentialgleichung
+\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
+kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator
+\index{Bessel-Operator}%
+\[
+B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + x^2
+\]
+schreiben.
+Eine Lösung $y(x)$ der Gleichung
+\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
+erfüllt
+\[
+By
+=
+x^2y''+xy+x^2y
+=\alpha^2 y,
+\]
+ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert
+$\alpha$.
+
+\subsubsection{Indexgleichung}
 Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung
 der Art~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} mit
 \[
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index 4bd9c0d..15a0215 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex
@@ -461,7 +461,7 @@ e^{-x^2-\frac{sa^2}{4x^2}}
 \int_0^\infty e^{-\left(x^2+\frac{sa^2}{4x^2}\right)}\,dx.
 \label{buch:integrale:eqn:laplaceerf}
 \end{align}
-Der Grenzwert im ersten Term ist nach Definition der Fehlerfunktion $1$. 
+Der Grenzwert im ersten Term ist $1$, nach Definition der Fehlerfunktion. 
 Schreiben wir $b=a\sqrt{s}/2$, dann wird das Integral im zweiten Term
 \begin{equation}
 I(b)
diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
index b081017..5d391f3 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
@@ -450,11 +450,11 @@ r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
 \end{aligned}
 \]
 sind.
-Durch eine geeignete Wahl der Funktion $s(r)$ kann jetzt der
-Zusammenhang mit der Besselschen Differentialgleichung hergestellt werden.
-Ihre Lösungen zu verschiedenen Werten des Parameters müssen also
-orthogonal sein, insbesondere sind die Besselfunktion $J_\nu(r)$
-und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
+
+Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator.
+Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
+des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
+Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
 
 %
 % Orthogonale Polynome