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authorAlain <mceagle117@gmail.com>2022-07-29 13:50:01 +0200
committerAlain <mceagle117@gmail.com>2022-07-29 13:50:01 +0200
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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex108
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex101
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diff --git a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf
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index 0000000..d581f96
--- /dev/null
+++ b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index c1bd723..1ffdeec 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -6,35 +6,85 @@
\section{Physik sache
\label{parzyl:section:teil2}}
\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+
+
+\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
\label{parzyl:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. Das dies so ist kann mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Jede komplexe Funktion $F(z)$, wie in gezeigt, kann geschrieben werden als
+\begin{equation}
+ F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z = x + iy.
+\end{equation}
+Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
+\begin{equation}
+ \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
+ =
+ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}
+ \qquad
+ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
+ =
+ -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}.
+\end{equation}
+Aus dieser Bedingung folgt
+\begin{equation}
+ \label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
+ \underbrace{
+ \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
+ =
+ 0
+ }_{\nabla^2U(x,y)=0}
+ \qquad
+ \underbrace{
+ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
+ =
+ 0
+ }_{\nabla^2V(x,y) = 0}.
+\end{equation}
+Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind.
+Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt als
+\begin{equation}
+ \nabla^2\phi(x,y) = 0.
+\end{equation}
+Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für dies $U(x,y)$ verwendet.
+Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt $V(x,y)$ orthogonal zum Potential ist, zeigt diese das Verhalten des elektrischen Feldes.
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+\begin{equation}
+ F(z)
+ =
+ \sqrt{z}
+ =
+ \sqrt{x + iy}.
+\end{equation}
+Dies kann umgeformt werden zu
+\begin{equation}
+ F(z)
+ =
+ \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
+ +
+ i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+ .
+\end{equation}
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt,
+\begin{equation}
+ \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}},
+\end{equation}
+und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+\begin{equation}
+ \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann
+\begin{equation}
+ x = \sigma \tau,
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right )
+\end{equation}
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 72c23ca..a143aa1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -6,35 +6,74 @@
\section{Teil 3
\label{parzyl:section:teil3}}
\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\subsection{Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
\label{parzyl:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+ \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z)
+\end{equation}
+im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
+\begin{equation}
+ \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+gelöst wird.
+Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+\begin{equation}
+ \nabla
+ =
+ \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+ \left (
+ \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}
+ +
+ \frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+ \right )
+ +
+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+\end{equation}
+Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
+\begin{equation}
+ \nabla f(\sigma, \tau, z)
+ =
+ \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+ \left (
+ \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
+ \right )
+ +
+ \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
+ =
+ \lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird
+\begin{equation}
+ f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
+\end{equation}
+gesetzt.
+Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
+\begin{equation}
+ h''(\tau)
+ -
+ \left (
+ \lambda\tau^2
+ -
+ \mu
+ \right )
+ h(\tau)
+ =
+ 0
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+ g''(\sigma)
+ -
+ \left (
+ \lambda\sigma^2
+ +
+ \mu
+ \right )
+ g(\sigma)
+ =
+ 0
+\end{equation}
+führt.