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authorErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-12 14:22:03 +0200
committerErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-12 14:22:03 +0200
commitff04ad95214c0ecdf8343fa8cd0aaa74dda45715 (patch)
treedcad0f553db57ebd506c6451b72ca42dc163b3c5 /buch
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Corrected error with continuation of u hat.
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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex52
1 files changed, 40 insertions, 12 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 868f241..cfa7386 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -381,7 +381,8 @@ Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
gebildet:
-\[
+\begin{equation}
+ \label{eq:slp-dot-product-cosine}
\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
=
\langle a_0
@@ -390,30 +391,56 @@ gebildet:
+
\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
-\]
+\end{equation}
Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
-Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode
-integriert werden.
-Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem
-eine neue Funktion
+Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
+Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
+Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
+neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und
+$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $
+gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
\[
- \hat{u}(0, x)
- =
+\begin{aligned}
+ \hat{u}_c(0, x)
+ &=
\begin{cases}
- u(0, x + l) & -l \leq x < 0
+ u(0, -x) & -l \leq x < 0
\\
u(0, x) & 0 \leq x \leq l
\end{cases}
+ \\
+ \hat{u}_s(0, x)
+ &=
+ \begin{cases}
+ -u(0, -x) & -l \leq x < 0
+ \\
+ u(0, x) & 0 \leq x \leq l
+ \end{cases}.
+\end{aligned}
\]
-angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt.
-Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
+
+Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei
+skalliert wurde, also gilt nun
+\[
+\begin{aligned}
+ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ &=
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ \\
+ \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ &=
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
+\end{aligned}
+\]
+
+Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
\[
\begin{aligned}
- \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
=&
\int_{-l}^{l} \left[a_0
+
@@ -422,6 +449,7 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
\\
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
=&
a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+