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path: root/vorlesungen/slides/hermite
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authorPatrik Müller <36931350+p1mueller@users.noreply.github.com>2022-07-19 07:55:33 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2022-07-19 07:55:33 +0200
commit2f2762eb04c6d881c902dc5e4e31d0122717aaf6 (patch)
treef15e603f580872868c7024f723cc82b3f3cbe2c4 /vorlesungen/slides/hermite
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SeminarSpezielleFunktionen-2f2762eb04c6d881c902dc5e4e31d0122717aaf6.zip
Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex15
-rw-r--r--vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex19
-rw-r--r--vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex29
-rw-r--r--vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex9
-rw-r--r--vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex22
5 files changed, 67 insertions, 27 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
index e1ced30..5f6e1c9 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
@@ -17,6 +17,7 @@ P(x)
=
p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n
\]
+\uncover<2->{%
als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben:
\begin{align*}
P(x)
@@ -38,10 +39,11 @@ a_0\cdot 1
&\quad\;\;\vdots
\\
&\quad + a_n(2^nx^n + \dots)
-\end{align*}
+\end{align*}}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Koeffizientenvergleich}
führt auf ein Gleichungssystem
\begin{center}
@@ -58,11 +60,12 @@ a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
-Dreiecksmatrix, Diagonalelement
-$\ne 0$
-$\Rightarrow$
-$\exists$ eindeutige Lösung
-\end{block}
+\uncover<4->{%
+Dreiecksmatrix}\uncover<5->{, Diagonalelement
+$\ne 0$}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$
+$\exists$ eindeutige Lösung}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
index 7d4741f..68ee32e 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
@@ -20,36 +20,45 @@ P(t)e^{-\frac{t^2}2}
\]
in geschlossener Form angeben?
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{``Hermite-Antwort''}
\[
\int H_n(x)e^{-x^2}\,dx
\]
kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden.
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Allgemein}
\begin{align*}
\int P(x)e^{-x^2}\,dx
-&=
-\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx
+&\uncover<4->{=
+\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx}
\\
+\uncover<5->{
&=
\sum_{k=0}^n
a_k
\int
H_k(x)e^{-x^2}\,dx
+}
\\
+\uncover<6->{
&=
a_0\operatorname{erf}(x) + C
+}
\\
+\uncover<6->{
&\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<7->{%
\begin{theorem}
Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn
$a_0=0$
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
index 16a314c..98721dc 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
@@ -19,6 +19,7 @@ H_n(x)
\]
\end{block}
\vspace{-10pt}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Orthogonalität}
$H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h.
\begin{align*}
@@ -37,8 +38,9 @@ $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h.
=
\delta_{mn}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-10pt}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren}
Rekursionsformel:
\[
@@ -46,33 +48,46 @@ H_n(x)
=
2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x)
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Stammfunktion}
\begin{align*}
-\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx
-&=
-\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)
+\uncover<4->{
+\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx}
+&\uncover<5->{=
+\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)}
\\
+\uncover<5->{
&\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx
+}
\\
+\uncover<6->{
{\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)}
&=
{\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx
+}
\\
+\uncover<6->{
&\qquad
-
\int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx
+}
\\
+\uncover<7->{
\text{\color{gray}(Produktregel)}
&=
\int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx
+}
\\
+\uncover<8->{
\text{\color{gray}(Ableitung)}
&=
e^{-x^2}H_{n-1}(x)
+}
\end{align*}
+\uncover<9->{%
ausser für $n=0$:
\[
\int
@@ -80,8 +95,8 @@ H_0(x)e^{-x^2}\,dx
=
\int
e^{-x^2}\,dx
-\]
-\end{block}
+\]}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
index 88abbe8..32333cd 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
@@ -20,12 +20,14 @@ P(t)e^{-t^2}
\]
in geschlossener Form angeben?
\end{block}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Allgemeine Antwort}
Satz von Liouville und
Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Negativbeispiel}
$P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral
\[
@@ -34,7 +36,8 @@ F(x)
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt
\]
ist nicht elementar darstellbar.
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Positivbeispiel}
$P(t)=t$. Wegen
\begin{align*}
@@ -47,7 +50,7 @@ $P(t)=t$. Wegen
-e^{-x^2}+C
\end{align*}
elementar darstellbar.
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
index 32b933f..a51e9f6 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
@@ -18,6 +18,7 @@ Orthogonale $H_k$ normalisieren:
\]
mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{``Hermite''-Analyse}
\begin{align*}
P(x)
@@ -26,46 +27,55 @@ P(x)
=
\sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x)
\\
+\uncover<3->{
\tilde{a}_k
&=
\| H_k\|_w\, a_k
+}
\\
+\uncover<4->{
a_k
&=
\frac{1}{\|H_k\|}
\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
-=
+}\uncover<5->{=
\frac{1}{\|H_k\|^2}
\langle H_k, P\rangle_w
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Integrationsproblem}
Bedingung:
\begin{align*}
a_0=0
+\uncover<7->{%
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\langle H_0,P\rangle_w
&=
-0
+0}
\\
+\uncover<8->{%
\int_{-\infty}^\infty
P(t) w(t) \,dt
+}\uncover<9->{%
=
\int_{-\infty}^\infty
P(t) e^{-t^2} \,dt
&=
-0
+0}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{theorem}
Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar
genau dann, wenn
\[
\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
\]
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}