Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

5 files changed, 67 insertions, 27 deletions

diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
index e1ced30..5f6e1c9 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
@@ -17,6 +17,7 @@ P(x)
 =
 p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n
 \]
+\uncover<2->{%
 als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben:
 \begin{align*}
 P(x)
@@ -38,10 +39,11 @@ a_0\cdot 1
 &\quad\;\;\vdots
 \\
 &\quad + a_n(2^nx^n + \dots)
-\end{align*}
+\end{align*}}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Koeffizientenvergleich}
 führt auf ein Gleichungssystem
 \begin{center}
@@ -58,11 +60,12 @@ a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
-Dreiecksmatrix, Diagonalelement
-$\ne 0$
-$\Rightarrow$ 
-$\exists$ eindeutige Lösung
-\end{block}
+\uncover<4->{%
+Dreiecksmatrix}\uncover<5->{, Diagonalelement
+$\ne 0$}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$ 
+$\exists$ eindeutige Lösung}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
index 7d4741f..68ee32e 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
@@ -20,36 +20,45 @@ P(t)e^{-\frac{t^2}2}
 \]
 in geschlossener Form angeben?
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{``Hermite-Antwort''}
 \[
 \int H_n(x)e^{-x^2}\,dx
 \]
 kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden.
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Allgemein}
 \begin{align*}
 \int P(x)e^{-x^2}\,dx
-&=
-\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx
+&\uncover<4->{=
+\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx}
 \\
+\uncover<5->{
 &=
 \sum_{k=0}^n
 a_k
 \int
 H_k(x)e^{-x^2}\,dx
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &=
 a_0\operatorname{erf}(x) + C
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<7->{%
 \begin{theorem}
 Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn
 $a_0=0$
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
index 16a314c..98721dc 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
@@ -19,6 +19,7 @@ H_n(x)
 \]
 \end{block}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Orthogonalität}
 $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h.
 \begin{align*}
@@ -37,8 +38,9 @@ $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h.
 =
 \delta_{mn}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren}
 Rekursionsformel:
 \[
@@ -46,33 +48,46 @@ H_n(x)
 =
 2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x)
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Stammfunktion}
 \begin{align*}
-\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx
-&=
-\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)
+\uncover<4->{
+\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx}
+&\uncover<5->{=
+\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)}
 \\
+\uncover<5->{
 &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx
+}
 \\
+\uncover<6->{
 {\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)}
 &=
 {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &\qquad
 -
 \int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx
+}
 \\
+\uncover<7->{
 \text{\color{gray}(Produktregel)}
 &=
 \int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx
+}
 \\
+\uncover<8->{
 \text{\color{gray}(Ableitung)}
 &=
 e^{-x^2}H_{n-1}(x)
+}
 \end{align*}
+\uncover<9->{%
 ausser für $n=0$:
 \[
 \int
@@ -80,8 +95,8 @@ H_0(x)e^{-x^2}\,dx
 =
 \int
 e^{-x^2}\,dx
-\]
-\end{block}
+\]}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
index 88abbe8..32333cd 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
@@ -20,12 +20,14 @@ P(t)e^{-t^2}
 \]
 in geschlossener Form angeben?
 \end{block}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Allgemeine Antwort}
 Satz von Liouville und
 Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Negativbeispiel}
 $P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral
 \[
@@ -34,7 +36,8 @@ F(x)
 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt
 \]
 ist nicht elementar darstellbar.
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Positivbeispiel}
 $P(t)=t$. Wegen
 \begin{align*}
@@ -47,7 +50,7 @@ $P(t)=t$. Wegen
 -e^{-x^2}+C
 \end{align*}
 elementar darstellbar.
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
index 32b933f..a51e9f6 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
@@ -18,6 +18,7 @@ Orthogonale $H_k$ normalisieren:
 \]
 mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{``Hermite''-Analyse}
 \begin{align*}
 P(x)
@@ -26,46 +27,55 @@ P(x)
 =
 \sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x)
 \\
+\uncover<3->{
 \tilde{a}_k
 &=
 \| H_k\|_w\, a_k
+}
 \\
+\uncover<4->{
 a_k
 &=
 \frac{1}{\|H_k\|}
 \langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
-=
+}\uncover<5->{=
 \frac{1}{\|H_k\|^2}
 \langle H_k, P\rangle_w
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
 \begin{block}{Integrationsproblem}
 Bedingung:
 \begin{align*}
 a_0=0
+\uncover<7->{%
 \qquad\Leftrightarrow\qquad
 \langle H_0,P\rangle_w
 &=
-0
+0}
 \\
+\uncover<8->{%
 \int_{-\infty}^\infty
 P(t) w(t)  \,dt
+}\uncover<9->{%
 =
 \int_{-\infty}^\infty
 P(t) e^{-t^2}  \,dt
 &=
-0
+0}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
 \begin{theorem}
 Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar
 genau dann, wenn
 \[
 \int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
 \]
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}