Merge branch 'master' of https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen

16 files changed, 370 insertions, 40 deletions

diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex
index 9414e42..1be1b4f 100644
--- a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex
+++ b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 \usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover}
 }
 \beamertemplatenavigationsymbolsempty
-\title[Dreieckstest]{Dreieckstest}
+\title[Ordnungsstatistik]{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
 \author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller}
 \date[]{30.~Mai 2022}
 \newboolean{presentation}
diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex
index 211a105..19b7417 100644
--- a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex
+++ b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex
@@ -6,3 +6,7 @@
 \folie{dreieck/stichprobe.tex}
 \folie{dreieck/minmax.tex}
 \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex}
+\folie{dreieck/dichte.tex}
+\folie{dreieck/orderplot.tex}
+\folie{dreieck/beta.tex}
+\folie{dreieck/betaplot.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc
index 0575397..bbc19b6 100644
--- a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc
@@ -4,6 +4,11 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 chapterdreieck =							\
+	../slides/dreieck/stichprobe.tex				\
 	../slides/dreieck/minmax.tex					\
 	../slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex				\
+	../slides/dreieck/orderplot.tex					\
+	../slides/dreieck/dichte.tex					\
+	../slides/dreieck/beta.tex					\
+	../slides/dreieck/betaplot.tex					\
 	../slides/dreieck/test.tex
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..fc3606a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+%
+% beta.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Beta-Verteilung}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.40\textwidth}
+\begin{block}{Ordnungsstatistik}
+\begin{align*}
+\varphi(x)
+&=
+{\color{blue}N} x^{k-1} (1-x)^{n-k}
+\\
+&\uncover<8->{
+=
+\beta_{k,n-k+1}(x)
+}
+\end{align*}
+\end{block}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Risch-Algorithmus}
+Die Beta-Verteilungen haben ausser in Spezialfällen
+keine Stammfunktion in geschlossener Form.
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.56\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{definition}
+Beta-Verteilung
+\[
+\beta_{a,b}(x)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\uncover<7->{
+{\color{blue}
+\frac{1}{B(a,b)}
+}
+}
+x^{a-1}(1-x)^{b-1}
+&0\le x\le 1
+\\
+0&\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+\end{definition}}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Normierung}
+\begin{align*}
+{\color{blue}\frac{1}{{N}}}
+&\uncover<4->{=
+\int_{-\infty}^\infty \beta_{a,b}(x)\,dx}
+\\
+&\uncover<5->{=
+\int_{0}^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx}
+\\
+&\uncover<6->{=
+B(a,b)}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex
new file mode 100644
index 0000000..ee932e8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex
@@ -0,0 +1,38 @@
+%
+% betaplot.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Beta-Verteilungen}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex]
+
+\only<1>{
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2);
+	\node at (0,-6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}};
+\end{scope}
+}
+
+\only<2>{
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2);
+	\node at (0,-0) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}};
+\end{scope}
+}
+
+\only<3>{
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2);
+	\node at (0,6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}};
+\end{scope}
+}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex
index 2c91eb5..0f58c4c 100644
--- a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex
@@ -6,3 +6,6 @@
 \folie{dreieck/test.tex}
 \folie{dreieck/minmax.tex}
 \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex}
+\folie{dreieck/dichte.tex}
+\folie{dreieck/beta.tex}
+\folie{dreieck/betaplot.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex
new file mode 100644
index 0000000..168523a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+%
+% dichte.tex -- Wahrscheinlichkeitsdichte
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Wahrscheinlichkeitsdichte}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.40\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+\[
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+=
+\frac{d}{dx} F_{X_{k:n}}(x)
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.60\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Gleichverteilung}
+\[
+{\color{darkgreen}F(x)}=\begin{cases}
+0&x \le 0\\
+x&0\le x \le 1,\\
+1&x\ge 1
+\end{cases}
+\quad
+\uncover<5->{
+{\color{red}\varphi(x)}
+=
+\begin{cases}
+1&0\le x \le 1\\
+0&\text{sonst}
+\end{cases}}
+\]
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Ordnungsstatistik}
+nach einiger Rechnung:
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+{\color<3->{red}\varphi_X(x)}\,k\binom{n}{k}{\color<3->{darkgreen}F_X(x)}^{k-1}
+(1-{\color<3->{darkgreen}F_X(x)})^{n-k}
+\intertext{\uncover<4->{für Gleichverteilung}}
+\uncover<6->{
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+{\color<7->{blue}k\binom{n}{k}}{\color{darkgreen}x}^{k-1}(1-{\color{darkgreen}x})^{n-k}
+&0\le x \le 1\\
+0&\text{sonst}
+\end{cases}
+\qquad\uncover<7->{\text{({\color{blue}Normierung})}}
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex
index 9ef8d1a..ff3a231 100644
--- a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex
@@ -17,48 +17,66 @@ Verteilungsfunktion von
 Z=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)
 \]
 \begin{align*}
+\uncover<3->{
 F_Z(x)
 &=
-P(Z\le x)
+P(Z\le x)}
 \\
+\uncover<4->{
 &=
 P(X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n\le x)
+}
 \\
+\uncover<5->{
 &=
 P(X_1\le x)\cdot \ldots\cdot P(X_n\le x)
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &=
 F_X(x)^n
+}
 \end{align*}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Minimum}
 Verteilungsfunktion von
 \[
 Z=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
 \]
 \begin{align*}
+\uncover<7->{
 F_Z(x)
 &=
 P(Z\le x)
+}
 \\
+\uncover<8->{
 &=P(\overline{
 X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n \le x
 })
+}
 \\
+\uncover<9->{
 &=
 1-P(
 X_1> x\wedge\dots\wedge X_n > x
 )
+}
 \\
+\uncover<10->{
 &=
 1-(P(X_1>x)\cdot\ldots\cdot P(X_n>x))
+}
 \\
+\uncover<11->{
 &=
 1-(1-F_X(x))^n
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex
new file mode 100644
index 0000000..7cf10c6
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+%
+% orderplot.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Ordnungstatistik}
+\vspace*{-18pt}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=10cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf}
+\end{center}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex
index 6346953..c968e79 100644
--- a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex
@@ -8,11 +8,76 @@
 \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
 \frametitle{Ordnungstatistik}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Angeordnete Stichprobe}
+\[
+X_{1:n}
+\le
+X_{2:n}
+\le
+\dots
+\le
+X_{(n-1):n}
+\le
+X_{n:n}
+\]
+$X_{k:n} = \mathstrut$der $k$-te von $n$ Werten
+\end{block}
 \vspace{-20pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
-\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{column}{0.44\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Verteilungsfunktion}
+\begin{align*}
+F_{X_{k:n}}(x)
+&=
+P(X_{k:n} \le x)
+\\
+&\uncover<3->{=
+P\bigl(
+|\{i\;|\; {\color<4>{red}X_i\le x}\}| \ge k
+\bigr)}
+\\
+&\uncover<5->{=
+P(\text{Anzahl $A_i$}\ge k)}
+\\
+&\uncover<9->{=
+P(K\ge k)}
+\\
+\uncover<6->{
+F_{X_i}(x)&= P(X_i\le x)}\uncover<7->{ = P(A_i)}\uncover<10->{ = p}
+}
+\end{align*}
+\uncover<4->{$A_i=\{X_i\le x\}$}\uncover<7->{ ist ein Beroulli- Experiment 
+\uncover<10->{mit Eintretens- wahrscheinlichkeit $p$}
+\end{block}}
 \end{column}
-\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{column}{0.52\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Wiederholtes Bernoulli-Experiment}
+$K=\mathstrut$Anzahl $k$, für die $A$ eingetreten
+ist\only<11->{, ist binomialverteilt:}
+\begin{align*}
+\uncover<12->{P(K=k) 
+&=
+\phantom{\sum_{i=k}^n\mathstrut}
+\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
+}
+\\
+\uncover<13->{
+P(K\ge k)
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}
+}
+\\
+\uncover<14->{
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i} F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex
index da3a20e..4b2eff0 100644
--- a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex
+++ b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex
@@ -12,21 +12,22 @@
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.48\textwidth}
 \begin{block}{Zufallsvariable}
-Gegeben eine Zufallsvariable $X$ mit
+Gegeben eine Zufallsvariable $X$ \uncover<5->{mit
 Verteilungsfunktion
 \[
 F_X(x)
 =
 P(X\le x)
-\]
-und
+\]}
+\uncover<6->{und
 Wahrscheinlichkeitsdichte
 \[
 \varphi_X(x)
 =
 \frac{d}{dx} F_X(x)
-\]
+\]}
 \end{block}
+\uncover<7->{%
 \begin{block}{Gleichverteilung}
 \[
 F(x) = \begin{cases}
@@ -34,6 +35,7 @@ F(x) = \begin{cases}
 x&\qquad 0\le x \le 1\\
 1&\qquad 1<x
 \end{cases}
+\uncover<8->{
 \qquad\Rightarrow\qquad
 \varphi(x)
 =
@@ -41,19 +43,21 @@ x&\qquad 0\le x \le 1\\
 1&\qquad 0\le x \le 1\\
 0&\qquad\text{sonst}.
 \end{cases}
+}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Stichprobe}
 $n$ Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$
 \begin{itemize}
-\item
+\item<3->
 alle $X_i$ haben die gleiche Verteilung wie $X$
-\item
+\item<4->
 die $X_i$ sind unabhängig
 \end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
index e1ced30..5f6e1c9 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex
@@ -17,6 +17,7 @@ P(x)
 =
 p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n
 \]
+\uncover<2->{%
 als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben:
 \begin{align*}
 P(x)
@@ -38,10 +39,11 @@ a_0\cdot 1
 &\quad\;\;\vdots
 \\
 &\quad + a_n(2^nx^n + \dots)
-\end{align*}
+\end{align*}}
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Koeffizientenvergleich}
 führt auf ein Gleichungssystem
 \begin{center}
@@ -58,11 +60,12 @@ a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
-Dreiecksmatrix, Diagonalelement
-$\ne 0$
-$\Rightarrow$ 
-$\exists$ eindeutige Lösung
-\end{block}
+\uncover<4->{%
+Dreiecksmatrix}\uncover<5->{, Diagonalelement
+$\ne 0$}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$ 
+$\exists$ eindeutige Lösung}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
index 7d4741f..68ee32e 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex
@@ -20,36 +20,45 @@ P(t)e^{-\frac{t^2}2}
 \]
 in geschlossener Form angeben?
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{``Hermite-Antwort''}
 \[
 \int H_n(x)e^{-x^2}\,dx
 \]
 kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden.
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Allgemein}
 \begin{align*}
 \int P(x)e^{-x^2}\,dx
-&=
-\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx
+&\uncover<4->{=
+\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx}
 \\
+\uncover<5->{
 &=
 \sum_{k=0}^n
 a_k
 \int
 H_k(x)e^{-x^2}\,dx
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &=
 a_0\operatorname{erf}(x) + C
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<7->{%
 \begin{theorem}
 Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn
 $a_0=0$
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
index 16a314c..98721dc 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex
@@ -19,6 +19,7 @@ H_n(x)
 \]
 \end{block}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Orthogonalität}
 $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h.
 \begin{align*}
@@ -37,8 +38,9 @@ $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h.
 =
 \delta_{mn}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \vspace{-10pt}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren}
 Rekursionsformel:
 \[
@@ -46,33 +48,46 @@ H_n(x)
 =
 2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x)
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Stammfunktion}
 \begin{align*}
-\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx
-&=
-\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)
+\uncover<4->{
+\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx}
+&\uncover<5->{=
+\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)}
 \\
+\uncover<5->{
 &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx
+}
 \\
+\uncover<6->{
 {\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)}
 &=
 {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx
+}
 \\
+\uncover<6->{
 &\qquad
 -
 \int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx
+}
 \\
+\uncover<7->{
 \text{\color{gray}(Produktregel)}
 &=
 \int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx
+}
 \\
+\uncover<8->{
 \text{\color{gray}(Ableitung)}
 &=
 e^{-x^2}H_{n-1}(x)
+}
 \end{align*}
+\uncover<9->{%
 ausser für $n=0$:
 \[
 \int
@@ -80,8 +95,8 @@ H_0(x)e^{-x^2}\,dx
 =
 \int
 e^{-x^2}\,dx
-\]
-\end{block}
+\]}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
index 88abbe8..32333cd 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex
@@ -20,12 +20,14 @@ P(t)e^{-t^2}
 \]
 in geschlossener Form angeben?
 \end{block}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Allgemeine Antwort}
 Satz von Liouville und
 Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Negativbeispiel}
 $P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral
 \[
@@ -34,7 +36,8 @@ F(x)
 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt
 \]
 ist nicht elementar darstellbar.
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Positivbeispiel}
 $P(t)=t$. Wegen
 \begin{align*}
@@ -47,7 +50,7 @@ $P(t)=t$. Wegen
 -e^{-x^2}+C
 \end{align*}
 elementar darstellbar.
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
index 32b933f..a51e9f6 100644
--- a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex
@@ -18,6 +18,7 @@ Orthogonale $H_k$ normalisieren:
 \]
 mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{``Hermite''-Analyse}
 \begin{align*}
 P(x)
@@ -26,46 +27,55 @@ P(x)
 =
 \sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x)
 \\
+\uncover<3->{
 \tilde{a}_k
 &=
 \| H_k\|_w\, a_k
+}
 \\
+\uncover<4->{
 a_k
 &=
 \frac{1}{\|H_k\|}
 \langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
-=
+}\uncover<5->{=
 \frac{1}{\|H_k\|^2}
 \langle H_k, P\rangle_w
+}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
 \begin{block}{Integrationsproblem}
 Bedingung:
 \begin{align*}
 a_0=0
+\uncover<7->{%
 \qquad\Leftrightarrow\qquad
 \langle H_0,P\rangle_w
 &=
-0
+0}
 \\
+\uncover<8->{%
 \int_{-\infty}^\infty
 P(t) w(t)  \,dt
+}\uncover<9->{%
 =
 \int_{-\infty}^\infty
 P(t) e^{-t^2}  \,dt
 &=
-0
+0}
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
 \begin{theorem}
 Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar
 genau dann, wenn
 \[
 \int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
 \]
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}