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Diffstat (limited to '')
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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index 538db68..b23df52 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -7,6 +7,9 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \ chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \ + chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex \ + chapters/110-elliptisch/dglsol.tex \ + chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex \ chapters/110-geometrie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex index e09fa53..e05f3bd 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex @@ -10,18 +10,33 @@ \rhead{} Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat -in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet werden können. Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden. +Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion +der Bogenlänge umkehrt. +Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf +die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf +eine eher geometrische Art eingeführt werden. +Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen} +wieder hergestellt. + \input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex} -\section*{Übungsaufgaben} -\rhead{Übungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} +\rhead{Übungsaufgabe} \aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 46659cd..4cb2ba3 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{buch:elliptisch:section:integral}} \rhead{Elliptisches Integral} Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in -Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener Form ausdrücken liess. Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als @@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische Funktionen} -XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der +Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe. +Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als +hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperK} +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die +hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2 +\biggr) +\] +ausdrücken. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form +\begin{align} +K(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}} +%\notag +%\\ +%& += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\bigl( +1-(k\sin\vartheta)^2 +\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta. +\notag +\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen +Reihe vereinfacht werden zu} +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta +\,d\vartheta. +\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} +\end{align} +Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach +\begin{align*} +\binom{-\frac12}{n} +&= +\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!} += +(-1)^n +\cdot +\frac{1}{n!} +\cdot +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr) += +(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!} +\end{align*} +vereinfachen. +Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält +man +\begin{align*} +K(k) +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^{2n} +\cdot +(-1)^n +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta += +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +\cdot (k^2)^n. +\end{align*} +Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$ +berechnet werden. +Mit partieller Integration kann man +\begin{align*} +\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta +&= +\int +\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow} +\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow} +\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta ++ +\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta ++ +(m-1) +\int +(1-\sin^2\vartheta) +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Wegen $\sin 0=0$ und +$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral +und der zweite wird +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta +\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +- +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^m \vartheta\,d\vartheta +\\ +m +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta +\\ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{m-1}{m} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden. +Es folgt +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{2n-1}{2n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{2n-1}{2n} +\frac{2n-3}{2n-2} +\frac{2n-5}{2n-4} +\cdots +\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{ +(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12 +}{ +n! +} +\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\frac{\pi}2. +\end{align*} +Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!} += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr), +\] +dies beweist die Behauptung. +\end{proof} @@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, also $E(0)=\frac{\pi}2$. Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperE} +Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +\[ +E(k) += +\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix}; +k^2 +\biggr). +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit +Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden +werden. +\end{proof} + \subsubsection{Komplementäre Integrale} \subsubsection{Ableitung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index 68322b6..a7c9e74 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -5,7 +5,7 @@ # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \ - sncnlimit.pdf + sncnlimit.pdf slcl.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -71,3 +71,10 @@ jacobi12.pdf: jacobi12.tex sncnlimit.pdf: sncnlimit.tex pdflatex sncnlimit.tex +slcl: slcl.cpp + g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + +slcldata.tex: slcl + ./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200 +slcl.pdf: slcl.tex slcldata.tex + pdflatex slcl.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex 88cf119..f0e6e78 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf Binary files differindex 063a3e1..9e02c3c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex index f74a81f..fe90631 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex @@ -27,13 +27,16 @@ \draw[color=red,line width=2.0pt] plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))}); -\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}]; -\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}]; +\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) coordinate[label={$X$}]; +\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$Y$}]; \fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02]; \draw (1,0) circle[radius=0.02]; +\node at ({1},0) [below] {$\displaystyle a\mathstrut$}; + \fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02]; \draw (-1,0) circle[radius=0.02]; +\node at ({-1},0) [below] {$\displaystyle\llap{$-$}a\mathstrut$}; \node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$}; \node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$}; @@ -41,6 +44,14 @@ \fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02]; \draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02]; +\draw ({sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({sqrt(2)},{0.1/\skala}); +\node at ({sqrt(2)},0) [below right] + {$\displaystyle a\mathstrut\sqrt{2}$}; +\draw ({-sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({-sqrt(2)},{0.1/\skala}); +\node at ({-sqrt(2)},0) [below left] + {$\displaystyle -a\mathstrut\sqrt{2}$}; + + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp new file mode 100644 index 0000000..8584e94 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp @@ -0,0 +1,128 @@ +/* + * slcl.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <fstream> +#include <sstream> +#include <getopt.h> +#include <vector> +#include <gsl/gsl_sf_elljac.h> + +namespace slcl { + +static struct option longopts[] { +{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' }, +{ "a", required_argument, NULL, 'a' }, +{ "b", required_argument, NULL, 'b' }, +{ "steps", required_argument, NULL, 'n' }, +{ NULL, 0, NULL, 0 } +}; + +class plot { + typedef std::pair<double, double> point_t; + typedef std::vector<point_t> curve_t; + curve_t _sl; + curve_t _cl; + double _a; + double _b; + int _steps; +public: + double a() const { return _a; } + double b() const { return _b; } + int steps() const { return _steps; } +public: + plot(double a, double b, int steps) : _a(a), _b(b), _steps(steps) { + double l = sqrt(2); + double k = 1 / l; + double m = k * k; + double h = (b - a) / steps; + for (int i = 0; i <= steps; i++) { + double x = a + h * i; + double sn, cn, dn; + gsl_sf_elljac_e(x, m, &sn, &cn, &dn); + _sl.push_back(std::make_pair(l * x, k * sn / dn)); + _cl.push_back(std::make_pair(l * x, cn)); + } + } +private: + std::string point(const point_t p) const { + char buffer[128]; + snprintf(buffer, sizeof(buffer), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p.first, p.second); + return std::string(buffer); + } + std::string path(const curve_t& curve) const { + std::ostringstream out; + auto i = curve.begin(); + out << point(*(i++)); + do { + out << std::endl << " -- " << point(*(i++)); + } while (i != curve.end()); + out.flush(); + return out.str(); + } +public: + std::string slpath() const { + return path(_sl); + } + std::string clpath() const { + return path(_cl); + } +}; + +/** + * \brief Main function for the slcl program + */ +int main(int argc, char *argv[]) { + int longindex; + int c; + double a = 0; + double b = 10; + int steps = 100; + std::ostream *out = &std::cout; + while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:", + longopts, &longindex))) + switch (c) { + case 'a': + a = std::stod(optarg); + break; + case 'b': + b = std::stod(optarg) / sqrt(2); + break; + case 'n': + steps = std::stol(optarg); + break; + case 'o': + out = new std::ofstream(optarg); + break; + } + + plot p(a, b, steps); + (*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + (*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + + out->flush(); + //out->close(); + return EXIT_SUCCESS; +} + +} // namespace slcl + +int main(int argc, char *argv[]) { + try { + return slcl::main(argc, argv); + } catch (const std::exception& e) { + std::cerr << "terminated by exception: " << e.what(); + std::cerr << std::endl; + } catch (...) { + std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl; + } + return EXIT_FAILURE; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..493b5fa --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex new file mode 100644 index 0000000..08241ac --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\input{slcldata.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here +\def\lemniscateconstant{2.6220575542} +\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant} +\xdef\scalechange{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)} +\xdef\ts{\pgfmathresult} + +\def\dx{1} +\def\dy{3} + +\draw[line width=0.3pt] + ({\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({2*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({3*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({4*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); + +\draw[color=red!20,line width=1.4pt] + plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*sin(\ts*\x)}); +\draw[color=blue!20,line width=1.4pt] + plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*cos(\ts*\x)}); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \slpath; +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \clpath; + +\draw[->] (0,{-1*\dy-0.1}) -- (0,{1*\dy+0.4}) coordinate[label={right:$r$}]; +\draw[->] (-0.1,0) -- (13.7,0) coordinate[label={$s$}]; + +\foreach \i in {1,2,3,4,5}{ + \draw ({\lemniscateconstant*\i},-0.1) -- ({\lemniscateconstant*\i},0.1); +} +\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$ \varpi\mathstrut$}; +\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$2\varpi\mathstrut$}; +\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$3\varpi\mathstrut$}; +\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$4\varpi\mathstrut$}; +\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$5\varpi\mathstrut$}; + +\node[color=red] at ({1.6*\lemniscateconstant*\dx},{0.6*\dy}) + [below left] {$\operatorname{sl}(s)$}; +\node[color=red!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{sin(1.5*90)*\dy*0.90}) + [above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{2\varpi}s\bigr)$}; + +\node[color=blue] at ({1.4*\lemniscateconstant*\dx},{-0.6*\dy}) + [above right] {$\operatorname{cl}(s)$}; +\node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90}) + [below left] {$\cos\bigl(\frac{\pi}{2\varpi}s\bigr)$}; + +\draw (-0.1,{1*\dy}) -- (0.1,{1*\dy}); +\draw (-0.1,{-1*\dy}) -- (0.1,{-1*\dy}); +\node at (0,{1*\dy}) [left] {$1\mathstrut$}; +\node at (0,0) [left] {$0\mathstrut$}; +\node at (0,{-1*\dy}) [left] {$-1\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index f1e0987..e1fbc00 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -22,1597 +22,1743 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. +%% +%% elliptische Funktionen als Trigonometrie +%% +%\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} +%\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der +%elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen +%auf einer Ellipse. +%\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} +%\end{figure} +%% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals +%% https://youtu.be/DCXItCajCyo % -% ellpitische Funktionen als Trigonometrie +%% +%% Geometrie einer Ellipse +%% +%\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} +%Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe +%\index{Ellipse}% +%der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, +%den {\em Brennpunkten}, konstant ist. +%\index{Brennpunkt}% +%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse +%mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, +%die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. +%Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden +%Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. +%Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme +%haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. +%Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, +%also $a$ sein. +%Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass +%\[ +%b^2+e^2=a^2 +%\qquad\Rightarrow\qquad +%e^2 = a^2-b^2 +%\] +%sein muss. +%Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. +%Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} +%der Ellipse. % -\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} -\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der -elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen -auf einer Ellipse. -\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} -\end{figure} -% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals -% https://youtu.be/DCXItCajCyo - +%% +%% Die Ellipsengleichung +%% +%\subsubsection{Ellipsengleichung} +%Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen +%\begin{equation} +%\begin{aligned} +%\overline{PF_1}^2 +%&= +%y^2 + (x+e)^2 +%\\ +%\overline{PF_2}^2 +%&= +%y^2 + (x-e)^2 +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} +%\end{equation} +%von den Brennpunkten, für die +%\begin{equation} +%\overline{PF_1}+\overline{PF_2} +%= +%2a +%\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +%\end{equation} +%gelten muss. +%Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung +%\[ +%\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 +%\] +%erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +%erfüllt. +%Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. +%$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. +%Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist +%\[ +%l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. +%\] +%Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine +%auf die rechte Seite und quadriert. +%Man muss also verifizieren, dass +%\[ +%(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. +%\] +%In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und +%\[ +%y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} +%\] +%substituieren. +%Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines +%Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. % -% Geometrie einer Ellipse +%% +%% Normierung +%% +%\subsubsection{Normierung} +%Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse +%von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. +%Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, +%kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines +%Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. % -\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -\index{Ellipse}% -der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -\index{Brennpunkt}% -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -also $a$ sein. -Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -\[ -b^2+e^2=a^2 -\qquad\Rightarrow\qquad -e^2 = a^2-b^2 -\] -sein muss. -Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -der Ellipse. - +%Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, +%weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität +%mindestens eine mit Halbeachse $1$. +%Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. +%Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in +%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. +%Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. +%In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten +%zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. % -% Die Ellipsengleichung +%Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität +%$\varepsilon$ auch mit +%\[ +%k +%= +%\varepsilon +%= +%\frac{e}{a} +%= +%\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} +%= +%\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, +%\] +%die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. +%Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen +%findet man +%\[ +%k^2a^2 = a^2-1 +%\quad\Rightarrow\quad +%1=a^2(k^2-1) +%\quad\Rightarrow\quad +%a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. +%\] % -\subsubsection{Ellipsengleichung} -Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -\begin{equation} -\begin{aligned} -\overline{PF_1}^2 -&= -y^2 + (x+e)^2 -\\ -\overline{PF_2}^2 -&= -y^2 + (x-e)^2 -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -\end{equation} -von den Brennpunkten, für die -\begin{equation} -\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -= -2a -\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -\end{equation} -gelten muss. -Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -\[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -\] -erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -erfüllt. -Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -\[ -l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -\] -Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -auf die rechte Seite und quadriert. -Man muss also verifizieren, dass -\[ -(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -\] -In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -\[ -y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -\] -substituieren. -Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. - +%Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist +%\[ +%\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 +%\qquad\text{oder}\qquad +%x^2(k^2-1) + y^2 = 1. +%\] % -% Normierung +%% +%% Definition der elliptischen Funktionen +%% +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} +%\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie +%an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} +%\end{figure} +%\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +%Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ +%können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. +%Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. +%Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem +%Radiusvektor zum Punkt $P$ +%darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später +%ausnützen möchten. +%Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das +%noch unbestimmte Argument $u$. +%Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. % -\subsubsection{Normierung} -Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. - -Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -mindestens eine mit Halbeachse $1$. -Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. - -Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -$\varepsilon$ auch mit -\[ -k -= -\varepsilon -= -\frac{e}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -\] -die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -findet man -\[ -k^2a^2 = a^2-1 -\quad\Rightarrow\quad -1=a^2(k^2-1) -\quad\Rightarrow\quad -a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -\] - -Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -\[ -\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -\qquad\text{oder}\qquad -x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -\] - +%Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch +%vom Modulus ab. +%Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen +%wir das $k$-Argument weg. % -% Definition der elliptischen Funktionen +%Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom +%Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ +%des Kreises. +%Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, +%die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. % -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -\end{figure} -\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -Radiusvektor zum Punkt $P$ -darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -ausnützen möchten. -Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -noch unbestimmte Argument $u$. -Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. - -Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -vom Modulus ab. -Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -wir das $k$-Argument weg. - -Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -des Kreises. -Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. - -In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -die Funktionen -\[ -\begin{aligned} -&\text{sinus amplitudinis:}& -{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -&\text{cosinus amplitudinis:}& -{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -&\text{delta amplitudinis:}& -{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -\end{aligned} -\] -die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -dargestellt sind. -Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -\[ -\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -\] -ist. -Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -berechnen, also gilt -\begin{equation} -r^2 -= -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -x^2 + y^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -\end{equation} -Ersetzt man -$ -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -$, ergibt sich -\[ -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -+ -\operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -\operatorname{dn}(u,k)^2 -+ -\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -= -1, -\] -woraus sich die Identität -\[ -\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -\] -ergibt. -Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -\[ -a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1. -\] -Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -\begin{align*} -\operatorname{dn}(u,k)^2 -- -k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -&= -\frac{1}{a^2} -= -\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -= -1-k^2 =: k^{\prime 2}. -\end{align*} -Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -\begin{equation} -\begin{aligned} -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2}. -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\end{equation} -zusammen. -So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -ist es mit -\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -jede anderen auszudrücken. -Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -zusammengestellt. - -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -&\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{cn}(u,k) -&\operatorname{dn}(u,k)\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{sn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\operatorname{cn}(u,k) -&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) -&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -durch jede andere ausdrücken. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -\end{table} - +%In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für +%die Funktionen +%\[ +%\begin{aligned} +%&\text{sinus amplitudinis:}& +%{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ +%&\text{cosinus amplitudinis:}& +%{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ +%&\text{delta amplitudinis:}& +%{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, +%\end{aligned} +%\] +%die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +%dargestellt sind. +%Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass +%\[ +%\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 +%\] +%ist. +%Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu +%berechnen, also gilt +%\begin{equation} +%r^2 +%= +%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%x^2 + y^2 +%= +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 +%\quad +%\Rightarrow +%\quad +%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. +%\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +%\end{equation} +%Ersetzt man +%$ +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +%= +%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +%$, ergibt sich +%\[ +%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +%+ +%\operatorname{sn}(u,k)^2 +%\quad +%\Rightarrow +%\quad +%\operatorname{dn}(u,k)^2 +%+ +%\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 +%= +%1, +%\] +%woraus sich die Identität +%\[ +%\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 +%\] +%ergibt. +%Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +%die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf +%\[ +%a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 +%= +%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +%+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 +%= +%(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 +%+1. +%\] +%Nach Division durch $a^2$ ergibt sich +%\begin{align*} +%\operatorname{dn}(u,k)^2 +%- +%k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +%&= +%\frac{1}{a^2} +%= +%\frac{a^2-a^2+1}{a^2} +%= +%1-k^2 =: k^{\prime 2}. +%\end{align*} +%Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden +%Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln +%\begin{equation} +%\begin{aligned} +%\operatorname{sn}^2(u,k) +%+ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%1 +%\\ +%\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) +%&= +%1 +%\\ +%\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%k^{\prime 2}. +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%\end{equation} +%zusammen. +%So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, +%ist es mit +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch +%jede anderen auszudrücken. +%Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +%zusammengestellt. % -% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -% -\subsubsection{Ableitung} -Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -Beziehungen -\[ -\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -\qquad\text{und}\qquad -\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -\] -erfüllen. -So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. - -Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -Ableitungsformeln ergeben. -Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -\begin{align*} -\frac{dy}{d\varphi} -&= -\cos\varphi -= -\frac{1}{a} x -= -\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\frac{dx}{d\varphi} -&= --a\sin\varphi -= --a y -= --a\operatorname{sn}(u,k). -\end{align*} -Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -\begin{align*} -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -= -\cos\varphi -= -\frac{x}{a} -= -\operatorname{cn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} -\operatorname{sn}(u,k) -&= -\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -= --\sin\varphi -= --\operatorname{sn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -&= -\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -= -\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -+ -\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -+ -\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -\\ -&= -\frac{x}{ar}(-ay) -+ -\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -= -\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -\\ -&= --\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -\\ -&= --\frac{a^2-1}{ar} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&=-k^2 -\frac{a}{r} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\frac{d\varphi}{du} -\end{align*} -Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -wählt, dass -\[ -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{r}{a} -\] -Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -&= -\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\end{align*} -der elliptischen Funktionen nach Jacobi. - +%\begin{table} +%\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +%\hline +%&\operatorname{sn}(u,k) +%&\operatorname{cn}(u,k) +%&\operatorname{dn}(u,k)\\ +%\hline +%\operatorname{sn}(u,k) +%&\operatorname{sn}(u,k) +%&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} +%&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} +%\\ +%\operatorname{cn}(u,k) +%&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} +%&\operatorname{cn}(u,k) +%&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} +%\\ +%\operatorname{dn}(u,k) +%&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} +%&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +%&\operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\hline +%\end{tabular} +%\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich +%unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%durch jede andere ausdrücken. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} +%\end{table} % -% Der Grenzfall $k=1$ +%% +%% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen +%% +%\subsubsection{Ableitung} +%Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich +%für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die +%Beziehungen +%\[ +%\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi +%\qquad\text{und}\qquad +%\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi +%\] +%erfüllen. +%So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich +%durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. +%Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass +%sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. % -\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -\end{figure} -Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\[ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2 -\operatorname{dn}^2(u,k) -= -k^{\prime2} -= -0 -\qquad\Rightarrow\qquad -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -\operatorname{dn}^2(u,1), -\] -die beiden Funktionen -$\operatorname{cn}(u,k)$ -und -$\operatorname{dn}(u,k)$ -fallen also zusammen. -Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -\begin{align*} -\operatorname{sn}'(u,1) -&= -\operatorname{cn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -1-\operatorname{sn}^2(u,1) -&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -\\ -\operatorname{cn}'(u,1) -&= -- -\operatorname{sn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -- -\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -&&\Rightarrow& -\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -\end{align*} -Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -die Lösung -\[ -\frac{y'}{1-y^2} -= -1 -\quad\Rightarrow\quad -\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{artanh}(y) = u -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -\] -Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -\begin{align*} -(\log \operatorname{cn}(u,1))' -&= -\tanh u -&&\Rightarrow& -\log\operatorname{cn}(u,1) -&= --\int\tanh u\,du -= --\log\cosh u -\\ -& -&&\Rightarrow& -\operatorname{cn}(u,1) -&= -\frac{1}{\cosh u} -= -\operatorname{sech}u. -\end{align*} -Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -dargestellt. - +%Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in +%Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche +%Ableitungsformeln ergeben. +%Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ +%ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist +%$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. +%Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind +%\begin{align*} +%\frac{dy}{d\varphi} +%&= +%\cos\varphi +%= +%\frac{1}{a} x +%= +%\operatorname{cn}(u,k) +%\\ +%\frac{dx}{d\varphi} +%&= +%-a\sin\varphi +%= +%-a y +%= +%-a\operatorname{sn}(u,k). +%\end{align*} +%Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der +%elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: +%\begin{align*} +%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) +%&= +%\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) +%= +%\cos\varphi +%= +%\frac{x}{a} +%= +%\operatorname{cn}(u,k) +%&&\Rightarrow& +%\frac{d}{du} +%\operatorname{sn}(u,k) +%&= +%\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +%\\ +%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) +%&= +%\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} +%= +%-\sin\varphi +%= +%-\operatorname{sn}(u,k) +%&&\Rightarrow& +%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +%&= +%-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +%\\ +%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) +%&= +%\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} +%= +%\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} +%%\\ +%%& +%\rlap{$\displaystyle\mathstrut +%= +%\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} +%+ +%\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} +%%\\ +%%& +%= +%\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) +%+ +%\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) +%$} +%\\ +%& +%\rlap{$\displaystyle\mathstrut +%= +%\frac{x}{ar}(-ay) +%+ +%\frac{y}{ar} \frac{x}{a} +%%\rlap{$\displaystyle +%= +%\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} +%%$} +%%\\ +%%& +%= +%-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} +%$} +%\\ +%&= +%-\frac{a^2-1}{ar} +%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%%\\ +%%& +%\rlap{$\displaystyle\mathstrut +%= +%-k^2 +%\frac{a}{r} +%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%$} +%\\ +%&= +%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%&&\Rightarrow& +%\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) +%&= +%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) +%\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\frac{d\varphi}{du}. +%\end{align*} +%Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so +%wählt, dass +%\[ +%\frac{d\varphi}{du} +%= +%\operatorname{dn}(u,k) +%= +%\frac{r}{a}. +%\] +%Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln % -% Das Argument u +%\begin{satz} +%\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} +%Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen +%\begin{equation} +%\begin{aligned} +%\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) +%&= +%\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +%&= +%-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +%&= +%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} +%\end{equation} +%\end{satz} % -\subsubsection{Das Argument $u$} -Die Gleichung -\begin{equation} -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -\end{equation} -ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -die geometrische Bedeutung zu klären. -Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -\begin{equation} -\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -\end{equation} - -Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -\[ -\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -= -\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -werden, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -= -\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -= -\frac{1}{a}\cdot -\frac{a^2}{r^2} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -\] -Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{du} -= -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -\cdot -\frac{d\varphi}{du} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -\cdot -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -= -\frac{1}{a} -\cdot\frac{a}{r} -= -\frac{1}{r}, -\] -wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -verwendet haben. - -In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -von $u$ nach $t$ berechnen als -\[ -\frac{du}{dt} -= -\frac{du}{d\vartheta} -\frac{d\vartheta}{dt} -= -r -\dot{\vartheta}. -\] -Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -von $O$. -$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -\[ -u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -\] -Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -$u(P)=\vartheta(P)$ ist. - +%% +%% Der Grenzfall $k=1$ +%% +%\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} +%\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen +%für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. +%\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} +%\end{figure} +%Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den +%Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%\[ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%- +%k^2 +%\operatorname{dn}^2(u,k) +%= +%k^{\prime2} +%= +%0 +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\operatorname{cn}^2(u,1) +%= +%\operatorname{dn}^2(u,1), +%\] +%die beiden Funktionen +%$\operatorname{cn}(u,k)$ +%und +%$\operatorname{dn}(u,k)$ +%fallen also zusammen. +%Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: +%\begin{align*} +%\operatorname{sn}'(u,1) +%&= +%\operatorname{cn}(u,1) +%\operatorname{dn}(u,1) +%= +%\operatorname{cn}^2(u,1) +%= +%1-\operatorname{sn}^2(u,1) +%&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 +%\\ +%\operatorname{cn}'(u,1) +%&= +%- +%\operatorname{sn}(u,1) +%\operatorname{dn}(u,1) +%= +%- +%\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) +%&&\Rightarrow& +%\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y +%\end{align*} +%Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet +%die Lösung +%\[ +%\frac{y'}{1-y^2} +%= +%1 +%\quad\Rightarrow\quad +%\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du +%\quad\Rightarrow\quad +%\operatorname{artanh}(y) = u +%\quad\Rightarrow\quad +%\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. +%\] +%Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: +%\begin{align*} +%(\log \operatorname{cn}(u,1))' +%&= +%\tanh u +%&&\Rightarrow& +%\log\operatorname{cn}(u,1) +%&= +%-\int\tanh u\,du +%= +%-\log\cosh u +%\\ +%& +%&&\Rightarrow& +%\operatorname{cn}(u,1) +%&= +%\frac{1}{\cosh u} +%= +%\operatorname{sech}u. +%\end{align*} +%Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} +%dargestellt. % -% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +%% +%% Das Argument u +%% +%\subsubsection{Das Argument $u$} +%Die Gleichung +%\begin{equation} +%\frac{d\varphi}{du} +%= +%\operatorname{dn}(u,k) +%\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +%\end{equation} +%ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch +%die geometrische Bedeutung zu klären. +%Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der +%Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +%ist, diesen nennen wir $\vartheta$. +%Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist +%\begin{equation} +%\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta +%\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} +%\end{equation} % -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -udn -$\operatorname{dn}(u,k)$ -geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -\end{figure} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -\cdot & -\frac{1}{1} & -\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -1& -&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{sn}(u,k) & -\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) & -\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) & -\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -\end{tabular} -\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -\end{table} -\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -der Nenner durch den Buchstaben q. -Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -Funktionen. -Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. - -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -geometrisch interpretiert. -Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. - -Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -andere auszudrücken. -Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: - -\begin{beispiel} -Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -Zunächst ist -\[ -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -\] -nach Definition. -Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -\begin{equation} -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -\end{equation} -Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -Aus der Definition und der -dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -erhält man -\begin{align*} -\operatorname{cd}^2(u,k) -&= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -\\ -\Rightarrow -\qquad -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -+ -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\operatorname{cn}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\frac{ -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -\end{align*} -Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -\[ -1-\operatorname{cn}^2(u,k) -= -\frac{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -- -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -= -\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -\] -Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -\begin{align*} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -\cdot -\frac{ -\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -} -= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -}. -\qedhere -\end{align*} -\end{beispiel} - -\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -Sie ist -\begin{align*} -\frac{d}{du} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{d}{du} -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\frac{ -\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -- -\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{ -\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -+ -\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -= -\frac{( -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -)\operatorname{dn}(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -\cdot -\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\operatorname{nc}(u,k) -\operatorname{dc}(u,k). -\end{align*} -Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -die Funktion, die abgeleitet wird. - -Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -\begin{equation} -%\small -\begin{aligned} -\operatorname{sn}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&\qquad& -\operatorname{ns}'(u,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -\\ -\operatorname{cn}'(u,k) -&= -- -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&& -\operatorname{nc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -\\ -\operatorname{dn}'(u,k) -&= --k^2 -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -&&& -\operatorname{nd}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^2 -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -\\ -\operatorname{sc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -&&& -\operatorname{cs}'(u,k) -&= -- -\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -\\ -\operatorname{cd}'(u,k) -&= --k^{\prime2} -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -&&& -\operatorname{dc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^{\prime2} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -\\ -\operatorname{ds}'(d,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -&&& -\operatorname{sd}'(d,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -\end{equation} -finden. -Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -zweiten Buchstaben haben. - -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden -% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic - - -XXX Ableitungen \\ -XXX Werte \\ - +%Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, +%dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also +%$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. +%Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist +%\[ +%\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} +%= +%\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. +%\] +%Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt +%werden, sie ist +%\[ +%\frac{d\vartheta}{d\varphi} +%= +%\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot +%\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot +%\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} +%= +%\frac{1}{a}\cdot +%\frac{a^2}{r^2} +%= +%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. +%\] +%Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +%Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist +%\[ +%\frac{d\vartheta}{du} +%= +%\frac{d\vartheta}{d\varphi} +%\cdot +%\frac{d\varphi}{du} +%= +%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +%\cdot +%\operatorname{dn}(u,k) +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot +%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +%= +%\frac{1}{a} +%\cdot\frac{a}{r} +%= +%\frac{1}{r}, +%\] +%wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ +%verwendet haben. % -% Lösung von Differentialgleichungen +%In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung +%von $u$ nach $t$ berechnen als +%\[ +%\frac{du}{dt} +%= +%\frac{du}{d\vartheta} +%\frac{d\vartheta}{dt} +%= +%r +%\dot{\vartheta}. +%\] +%Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um +%das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ +%von $O$. +%$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes +%$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. +%Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral +%\[ +%u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. +%\] +%Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht +%auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass +%$u(P)=\vartheta(P)$ ist. % -\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} -Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -Differentialgleichungen in geschlossener Form. -Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -\( -\ddot{x}(t) -= -p(x(t)) -\) -mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. - +%% +%% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +%% +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} +%\caption{Die Verhältnisse der Funktionen +%$\operatorname{sn}(u,k)$, +%$\operatorname{cn}(u,k)$ +%udn +%$\operatorname{dn}(u,k)$ +%geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe +%des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} +%\end{figure} +%\begin{table} +%\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{2.5} +%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +%\hline +%\cdot & +%\frac{1}{1} & +%\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\[5pt] +%\hline +%1& +%&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +%\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +%\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +%\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{sn}(u,k) & +%\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& +%&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +%\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{cn}(u,k) & +%\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & +%\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +%&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{dn}(u,k) & +%\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & +%\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +%\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\\[5pt] +%\hline +%\end{tabular} +%\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +%Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden +%Jacobischen elliptischen Funktionen. +%Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden +%Jacobischen elliptischen Funktionen. +%\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} +%\end{table} +%\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} +%Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn +%lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise +%die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. +%Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, +%$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und +%$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen +%die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten +%Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. +%Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +%ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, +%der Nenner durch den Buchstaben q. +%Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für +%die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen +%Funktionen. +%Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt +%man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. % -% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch +%geometrisch interpretiert. +%Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl +%mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen +%Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. +%Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die +%Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. % -\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -finden. -Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -man -\[ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -= -\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -\] -Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -\begin{align*} -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\biggl( -1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\\ -&= -k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 --(1+k^2) -\operatorname{sn}(u,k)^2 -+1. -\end{align*} -Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -\\ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -\\ -&= -\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\\ -&= --k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -- -(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+ -(1-k^2) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\biggl( -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -\biggr)^2 -&= -\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -\\ -&= -\biggl( -1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1 -\biggr) -\\ -&= --\operatorname{dn}(u,k)^4 -- -2\operatorname{dn}(u,k)^2 --k^2+1. -\end{align*} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2} -\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) - &k^2&1&1 &+&+&+ -\\ -\operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) - &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ -\\ -\operatorname{dn}(u,k) - & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2) - &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&- -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -nichtlineare Differentialgleichungen der Art -\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -muss. -\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -\end{table} - -Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen -Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, -wenn wir eine beliebige der drei Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -oder -$\operatorname{dn}(u,k)$ -meinen. -Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der -Differentialgleichung -\begin{equation} -\operatorname{zn}'(u,k)^2 -= -\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma, -\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -\end{equation} -wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von -$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. -Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als -Lösung zu verwenden. - +%Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede +%andere auszudrücken. +%Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie +%übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier +%nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: % -% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +%\begin{beispiel} +%Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ +%ausgedrückt werden. +%Zunächst ist +%\[ +%\operatorname{sc}(u,k) +%= +%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +%\] +%nach Definition. +%Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und +%$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. +%Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +%mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten +%\begin{equation} +%\operatorname{sc}(u,k) +%= +%\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. +%\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} +%\end{equation} +%Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch +%$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. +%Aus der Definition und der +%dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +%erhält man +%\begin{align*} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%&= +%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +%= +%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +%\\ +%\Rightarrow +%\qquad +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%+ +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%\\ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%- +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%\\ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%&= +%\frac{ +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%}{ +%1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +%} +%\end{align*} +%Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also +%\[ +%1-\operatorname{cn}^2(u,k) +%= +%\frac{ +%1 +%- +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +%- +%k^{\prime 2} +%\operatorname{cd}^2(u,k) +%}{ +%1 +%- +%k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +%} +%= +%\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +%\] +%Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt +%\begin{align*} +%\operatorname{sc}(u,k) +%&= +%\frac{ +%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +%}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} +%\cdot +%\frac{ +%\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +%}{ +%k' +%\operatorname{cd}(u,k) +%} +%= +%\frac{ +%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +%}{ +%k' +%\operatorname{cd}(u,k) +%}. +%\qedhere +%\end{align*} +%\end{beispiel} % -\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -Zusammenhang zwischen den Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -\begin{equation} -\biggl( -\frac{d y}{d u} -\biggr)^2 -= -p(u), -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -Wurzel -\begin{align} -\frac{dy}{du} -= -\sqrt{p(y)} -\notag -\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -\end{align} -Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -ist daher -\[ -y(u) = F^{-1}(u+C). -\] -Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -der unvollständigen elliptischen Integrale. - -\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -\[ -2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k) -= -4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k). -\] -Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$, -bleibt die nichtlineare -Differentialgleichung -\[ -\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2} -= -\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3. -\] -Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. - +%\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +%Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +%können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der +%abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. +%Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. +%Sie ist +%\begin{align*} +%\frac{d}{du} +%\operatorname{sc}(u,k) +%&= +%\frac{d}{du} +%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +%= +%\frac{ +%\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +%- +%\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%} +%\\ +%&= +%\frac{ +%\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%+ +%\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +%}{ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%} +%= +%\frac{( +%\operatorname{sn}^2(u,k) +%+ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%)\operatorname{dn}(u,k)}{ +%\operatorname{cn}^2(u,k) +%} +%\\ +%&= +%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} +%\cdot +%\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +%= +%\operatorname{nc}(u,k) +%\operatorname{dc}(u,k). +%\end{align*} +%Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat +%der Quotientenregel zur Folge hat, dass die +%beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie +%die Funktion, die abgeleitet wird. % -% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +%Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen +%\begin{equation} +%%\small +%\begin{aligned} +%\operatorname{sn}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +%&&\qquad& +%\operatorname{ns}'(u,k) +%&= +%- +%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) +%\\ +%\operatorname{cn}'(u,k) +%&= +%- +%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +%&&& +%\operatorname{nc}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) +%\\ +%\operatorname{dn}'(u,k) +%&= +%-k^2 +%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) +%&&& +%\operatorname{nd}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%k^2 +%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) +%\\ +%\operatorname{sc}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +%&&& +%\operatorname{cs}'(u,k) +%&= +%- +%\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +%\\ +%\operatorname{cd}'(u,k) +%&= +%-k^{\prime2} +%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +%&&& +%\operatorname{dc}'(u,k) +%&= +%\phantom{-} +%k^{\prime2} +%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +%\\ +%\operatorname{ds}'(d,k) +%&= +%- +%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +%&&& +%\operatorname{sd}'(d,k) +%&= +%\phantom{-} +%\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +%\end{aligned} +%\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} +%\end{equation} +%finden. +%Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen +%zweiten Buchstaben haben. % -\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -\begin{equation} -\biggl( -\frac{dx}{dt} -\biggr)^2 -= -Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -\begin{equation} -x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -\end{equation} -ist. -Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -\[ -\dot{x}(t) -= -a\operatorname{zn}'(bt,k). -\] - -Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -einsetzen, erhalten wir -\begin{equation} -a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -= -a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+C -\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -\end{equation} -Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -erfüllt. -Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -\[ -\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+\frac{C}{a^2b^2} -= -\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+ -\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -\] -Daraus ergeben sich die Gleichungen -\begin{align} -\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -& -\beta &= \frac{B}{b^2} -&&\text{und} -& -\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -Differentialgleichung} -A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -& -B&=\beta b^2 -&&\text{und}& -C &= \gamma a^2b^2 -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -\end{align} -für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -Funktion. - -Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -wird, die immer positiv sind. -Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. - -In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -Es folgt, dass die Gleichungen -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -auch $a$ und $b$ bestimmen. -Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -\[ -b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -\] -Damit folgt dann aus der zweiten -\[ -a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -\] -Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. - -\begin{beispiel} -Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -werden muss. -Die Tabelle sagt dann auch, dass -$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -folgt dann der Reihe nach -\begin{align*} -b&=\pm \sqrt{B} -\\ -a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -\\ -k^2 -&= -\frac{AC}{B^2}. -\end{align*} -Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -erhalten kann, nämlich -\[ -\frac{AC}{B^2} -= -\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -= -\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -\qedhere -\] -\end{beispiel} - -Da alle Parameter im -Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -sind nicht von der Zeit abhängig. -Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -Lösung der Differentialgleichung. -Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -also die Form -\[ -x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -\] -wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. - +%\subsubsection{TODO} +%XXX algebraische Beziehungen \\ +%XXX Additionstheoreme \\ +%XXX Perioden +%% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic % -% Das mathematische Pendel % -\subsection{Das mathematische Pendel -\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -\caption{Mathematisches Pendel -\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -\end{figure} -Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -im Punkt $P$, -der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -verbunden ist. -Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. - -Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -\( -I=ml^2 -\). -Das Drehmoment der Schwerkraft ist -\(M=gl\sin\vartheta\). -Die Bewegungsgleichung wird daher -\[ -\begin{aligned} -\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -&= -M -= -gl\sin\vartheta -\\ -ml^2\ddot{\vartheta} -&= -gl\sin\vartheta -&&\Rightarrow& -\ddot{\vartheta} -&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -\end{aligned} -\] -Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -der elliptischen Funktionen vergleichen können. - -Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -enthält. -Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -Dies führt auf -\[ -E_{\text{kinetisch}} -+ -E_{\text{potentiell}} -= -\frac12I\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -E -\] -Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -Differentialgleichung -\[ -\dot{\vartheta}^2 -= -- -\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -+\frac{2E}{ml^2} -\] -finden. -In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -Lösung konstruieren. - -Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -$E=2lmg$. -Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -bleibt. -Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. +%XXX Ableitungen \\ +%XXX Werte \\ +%% +%% Lösung von Differentialgleichungen +%% +%\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen +%\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} +%Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer +%Differentialgleichungen in geschlossener Form. +%Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form +%\( +%\dot{x}(t)^2 +%= +%P(x(t)) +%\) +%mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder +%\( +%\ddot{x}(t) +%= +%p(x(t)) +%\) +%mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. % -% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +%% +%% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +%% +%\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} +%Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu +%können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben +%finden. +%Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält +%man +%\[ +%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +%= +%\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. +%\] +%Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ +%ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung +%\begin{align*} +%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +%&= +%\bigl( +%1-\operatorname{sn}(u,k)^2 +%\bigr) +%\bigl( +%1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 +%\bigr) +%\\ +%&= +%k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 +%-(1+k^2) +%\operatorname{sn}(u,k)^2 +%+1. +%\end{align*} +%Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung +%\begin{align*} +%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +%&= +%-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) +%\\ +%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 +%&= +%\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +%\\ +%&= +%\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +%\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +%\\ +%&= +%-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 +%+ +%(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 +%+ +%k^{\prime 2} +%\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} +%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +%&= +%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +%\\ +%\biggl( +%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +%\biggr)^2 +%&= +%\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) +%\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +%\\ +%&= +%\bigl( +%1-\operatorname{dn}(u,k)^2 +%\bigr) +%\bigl( +%\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} +%\bigr) +%\\ +%&= +%-\operatorname{dn}(u,k)^4 +%+ +%(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 +%-k^{\prime 2}. +%\end{align*} % -\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -\] -Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. - -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac14 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\cdot -\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac14 -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{1}{4} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\end{align*} -Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -für elliptische Funktionen. -Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -$1$ sein muss. - +%\begin{table} +%\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{1.7} +%\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +%\hline +%\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ +%\hline +%\operatorname{sn}(u,k) +% & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) +% &k^2&1+k^2&1 +%\\ +%\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) +% &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} +%\\ +%\operatorname{dn}(u,k) +% & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) +% &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} +%\\ +%\hline +%\end{tabular} +%\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene +%nichtlineare Differentialgleichungen der Art +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. +%Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +%entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden +%muss. +%\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} +%\end{table} % -% Der Fall E < 2mgl +%Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle +%einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. +%Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. +%Die Differentialgleichungen sind in der +%Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. % -\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -\caption{% -Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -verschiedene Werte von $k^2=m$. -Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -von den trigonometrischen Funktionen ab, -es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -erreichen kann, was es für $m$ macht. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -\end{figure} - - -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -\] -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac12ml^2 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\dot{\vartheta}^2 -&= -(1-y^2) -(E -mgly^2) -\\ -\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac{1}{2} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{E}{2ml^2} -(1-y^2)\biggl( -1-\frac{2gml}{E}y^2 -\biggr). -\end{align*} -Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = 2gml/E< 1$. - +%% +%% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen +%% +%\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen +%Funktionen} +%Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +%Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder +%durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, +%dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung +%genügen. +%Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, +%wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. +%Für +%$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ +%$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ +%und +%$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ +%wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass +%$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung +%der Form +%\begin{equation} +%\operatorname{pq}'(u,k)^2 +%= +%\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma +%\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%\end{equation} +%erfüllt, +%wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von +%$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. +%Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, +%ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen +%sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} +%zusammengestellt. % -% Der Fall E > 2mgl +%Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt +%werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die +%Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen +%Funktion ermitteln. % -\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -Indem wir die Gleichung - -XXX Differentialgleichung \\ -XXX Mathematisches Pendel \\ - -\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} +%% +%% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion +%% +%\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} +%Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine +%Differentialgleichung für den Kehrwert +%$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ +%ableiten. +%Dazu rechnet man +%\[ +%\operatorname{qp}'(u,k) +%= +%\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} +%= +%\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\left\{ +%\quad +%\begin{aligned} +%\operatorname{pq}(u,k) +%&= +%\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} +%\\ +%\operatorname{pq}'(u,k) +%&= +%\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +%\end{aligned} +%\right. +%\] +%und setzt in die Differentialgleichung ein: +%\begin{align*} +%\biggl( +%\frac{ +%\operatorname{qp}'(u,k) +%}{ +%\operatorname{qp}(u,k) +%} +%\biggr)^2 +%&= +%\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} +%+ +%\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +%+ +%\gamma. +%\end{align*} +%Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den +%folgenden Satz. +% +%\begin{satz} +%Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +%der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +%$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung +%\begin{equation} +%(\operatorname{qp}'(u,k))^2 +%= +%\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 +%+ +%\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 +%+ +%\alpha +%\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} +%\end{equation} +%\end{satz} +% +%\begin{table} +%\centering +%\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} +%\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} +%\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +%\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} +%\cline{1-4} +%\lfn{Funktion} +% & \alpha & \beta & \gamma &\\ +%\hline +%\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ +%\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ +%\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ +%\hline +%\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ +%\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ +%\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ +%\hline +% & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ +%\cline{2-5} +%\end{tabular} +%\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen +%elliptischen Funktionen. +%Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der +%ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ +%vertauscht worden sind. +%\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} +%\end{table} +% +%% +%% Differentialgleichung zweiter Ordnung +%% +%\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} +%Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +%\[ +%2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) +%= +%4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). +%\] +%Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, +%bleibt die nichtlineare +%Differentialgleichung +%\[ +%\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} +%= +%\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. +%\] +%Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer +%Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. +% +% +% +%% +%% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +%% +%\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +%Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +%zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den +%Zusammenhang zwischen den Funktionen +%$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +%und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. +%Die Differentialgleichungen sind alle von der Form +%\begin{equation} +%\biggl( +%\frac{d y}{d u} +%\biggr)^2 +%= +%p(u), +%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%\end{equation} +%wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. +%Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. +%Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die +%Wurzel +%\begin{align} +%\frac{dy}{du} +%= +%\sqrt{p(y)} +%\notag +%\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} +%\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. +%\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} +%\end{align} +%Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite +%von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und +%das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. +%Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. +%Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%ist daher +%\[ +%y(u) = F^{-1}(u+C). +%\] +%Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +%der unvollständigen elliptischen Integrale. +% +% +%% +%% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +%% +%\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} +%Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +%\begin{equation} +%\biggl( +%\frac{dx}{dt} +%\biggr)^2 +%= +%Ax^4+Bx^2 + C +%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%\end{equation} +%mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. +%Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form +%\begin{equation} +%x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) +%\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} +%\end{equation} +%ist. +%Die erste Ableitung von $x(t)$ ist +%\[ +%\dot{x}(t) +%= +%a\operatorname{zn}'(bt,k). +%\] +% +%Indem wir diesen Lösungsansatz in die +%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +%einsetzen, erhalten wir +%\begin{equation} +%a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 +%= +%a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 +%+ +%a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 +%+C +%\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} +%\end{equation} +%Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer +%Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +%erfüllt. +%Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir +%die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten +%Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: +%\[ +%\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 +%+ +%\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 +%+\frac{C}{a^2b^2} +%= +%\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 +%+ +%\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 +%+ +%\gamma\operatorname{zn}(bt,k). +%\] +%Daraus ergeben sich die Gleichungen +%\begin{align} +%\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, +%& +%\beta &= \frac{B}{b^2} +%&&\text{und} +%& +%\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} +%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +%\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen +%Differentialgleichung} +%A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} +%& +%B&=\beta b^2 +%&&\text{und}& +%C &= \gamma a^2b^2 +%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +%\end{align} +%für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden +%Funktion. +% +%Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die +%Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie +%$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert +%wird, die immer positiv sind. +%Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. +% +%In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt +%es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. +%Es folgt, dass die Gleichungen +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +%auch $a$ und $b$ bestimmen. +%Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass +%\[ +%b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. +%\] +%Damit folgt dann aus der zweiten +%\[ +%a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. +%\] +%Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. +%Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer +%Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. +% +%\begin{beispiel} +%Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss +%Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, +%dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet +%werden muss. +%Die Tabelle sagt dann auch, dass +%$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. +%Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +%folgt dann der Reihe nach +%\begin{align*} +%b&=\pm \sqrt{B} +%\\ +%a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} +%\\ +%k^2 +%&= +%\frac{AC}{B^2}. +%\end{align*} +%Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von +%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +%auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +%erhalten kann, nämlich +%\[ +%\frac{AC}{B^2} +%= +%\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} +%= +%\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. +%\qedhere +%\] +%\end{beispiel} +% +%Da alle Parameter im +%Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits +%festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren +%Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. +%Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +%autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung +%sind nicht von der Zeit abhängig. +%Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine +%Lösung der Differentialgleichung. +%Die allgmeine Lösung der +%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +%also die Form +%\[ +%x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), +%\] +%wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen +%von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. -\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -XXX Möbius-Transformation \\ -XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen +%% +%% Das mathematische Pendel +%% +%\subsection{Das mathematische Pendel +%\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} +%\caption{Mathematisches Pendel +%\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} +%\end{figure} +%Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte +%Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ +%im Punkt $P$, +%der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ +%verbunden ist. +%Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. +% +%Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist +%\( +%I=ml^2 +%\). +%Das Drehmoment der Schwerkraft ist +%\(M=gl\sin\vartheta\). +%Die Bewegungsgleichung wird daher +%\[ +%\begin{aligned} +%\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} +%&= +%M +%= +%gl\sin\vartheta +%\\ +%ml^2\ddot{\vartheta} +%&= +%gl\sin\vartheta +%&&\Rightarrow& +%\ddot{\vartheta} +%&=\frac{g}{l}\sin\vartheta +%\end{aligned} +%\] +%Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die +%wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung +%der elliptischen Funktionen vergleichen können. +% +%Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen +%enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. +%In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ +%enthält. +%Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. +%Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. +%Dies führt auf +%\[ +%E_{\text{kinetisch}} +%+ +%E_{\text{potentiell}} +%= +%\frac12I\dot{\vartheta}^2 +%+ +%mgl(1-\cos\vartheta) +%= +%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 +%+ +%mgl(1-\cos\vartheta) +%= +%E +%\] +%Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die +%Differentialgleichung +%\[ +%\dot{\vartheta}^2 +%= +%- +%\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) +%+\frac{2E}{ml^2} +%\] +%finden. +%In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten +%Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies +%tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für +%elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte +%Lösung konstruieren. +% +%Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +%über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +%$E=2lmg$. +%Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +%der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +%bleibt. +%Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +%Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +%höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. +% +%% +%% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +%% +%\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +%Wir verwenden als neue Variable +%\[ +%y = \sin\frac{\vartheta}2 +%\] +%mit der Ableitung +%\[ +%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +%\] +%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. +% +%Aus den Halbwinkelformeln finden wir +%\[ +%\cos\vartheta +%= +%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 +%= +%1-2y^2. +%\] +%Dies können wir zusammen mit der +%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +%\[ +%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +%\] +%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. +% +%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +%Wir erhalten +%\begin{align*} +%\frac14 +%\cos^2\frac{\vartheta}2 +%\cdot +%\dot{\vartheta}^2 +%&= +%\frac14 +%(1-y^2) +%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +%\\ +%\dot{y}^2 +%&= +%\frac{1}{4} +%(1-y^2) +%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +%\end{align*} +%Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +%für elliptische Funktionen. +%Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +%Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +%Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +%zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +%$1$ sein muss. +% +%% +%% Der Fall E < 2mgl +%% +%\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +%\begin{figure} +%\centering +%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +%\caption{% +%Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +%verschiedene Werte von $k^2=m$. +%Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +%$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +%sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +%Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +%von den trigonometrischen Funktionen ab, +%es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +%Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +%Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +%die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +%erreichen kann, was es für $m$ macht. +%\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +%\end{figure} +% +% +%Wir verwenden als neue Variable +%\[ +%y = \sin\frac{\vartheta}2 +%\] +%mit der Ableitung +%\[ +%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +%\] +%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. +% +%Aus den Halbwinkelformeln finden wir +%\[ +%\cos\vartheta +%= +%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 +%= +%1-2y^2. +%\] +%Dies können wir zusammen mit der +%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +%\[ +%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. +%\] +%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +%Wir erhalten +%\begin{align*} +%\frac12ml^2 +%\cos^2\frac{\vartheta}2 +%\dot{\vartheta}^2 +%&= +%(1-y^2) +%(E -mgly^2) +%\\ +%\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 +%&= +%\frac{1}{2} +%(1-y^2) +%\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +%\\ +%\dot{y}^2 +%&= +%\frac{E}{2ml^2} +%(1-y^2)\biggl( +%1-\frac{2gml}{E}y^2 +%\biggr). +%\end{align*} +%Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische +%Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +%mit $k^2 = 2gml/E< 1$. +% +%%% +%%% Der Fall E > 2mgl +%%% +%%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +%%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +%%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +%%Indem wir die Gleichung +% +% +%%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} +% +%%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} +%%XXX Möbius-Transformation \\ +%%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index 7083b63..e766779 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -22,23 +22,46 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden. \end{figure} Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung \begin{equation} -(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2). +(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2). \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} \end{equation} Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellt. -Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$. +Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$. +Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht +\begin{equation} +\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 ++ +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr)^2 += +2\frac{a^2}{2a^2}\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +- +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr). +\qquad +\Leftrightarrow +\qquad +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} +\end{equation} +wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben. +In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$. +Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen +Sinus und Kosinus verwendet werden soll. In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ -gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \begin{equation} r^4 = -2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) +r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) = -2a^2r^2\cos2\varphi +r^2\cos2\varphi \qquad\Rightarrow\qquad -r^2 = 2a^2\cos 2\varphi +r^2 = \cos 2\varphi \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar} \end{equation} als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung. @@ -46,15 +69,7 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke Blatt der Lemniskate. -Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung -verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$. -Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate -wird dann zu -\[ -(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2). -\] - -\subsubsection{Bogelänge} +\subsection{Bogenlänge} Die Funktionen \begin{equation} x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, @@ -76,7 +91,7 @@ r^4 \end{align*} sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. -Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} +Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen. Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und @@ -123,11 +138,16 @@ s(r) \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} \end{equation} -\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral} +% +% Als elliptisches Integral +% +\subsection{Darstellung als elliptisches Integral} Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter -$m=-1$ ist +$k^2=-1$ oder $k=i$ ist \[ -K(r,-1) +K(r,i) += +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}} = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} = @@ -136,11 +156,209 @@ K(r,-1) s(r). \] Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des -ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des -Parameters $m$ +elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des +Parameters $k$. + +Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet +und hat den numerischen Wert +\[ +\varpi += +2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt += +2.6220575542. +\] +$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt. +\index{lemniskatische Konstante}% +Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge +$\varpi/2$. + +% +% Bogenlängenparametrisierung +% +\subsection{Bogenlängenparametrisierung} +Die Lemniskate mit der Gleichung +\[ +(X^2+X^2)^2=2(X^2-X^2) +\] +(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}) +kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen +parametrisiert werden. +Dazu schreibt man +\[ +\left. +\begin{aligned} +X(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k) +\\ +Y(t) +&= +\phantom{\sqrt{2}} +\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k) +\end{aligned} +\quad\right\} +\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$} +\] +und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der +Lemniskate. +Zunächst ist +\begin{align*} +X(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k)^2 +\\ +Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{sn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2+Y(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +\underbrace{ +\operatorname{dn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12} +\operatorname{sn}(t,k)^2 +}_{\displaystyle =1} +\bigr) +%\\ +%& += +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2-Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +- +\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +\bigr) +\\ +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^4 +\\ +\Rightarrow\qquad +(X(t)^2+Y(t)^2)^2 +&= +4\operatorname{cn}(t,k)^4 += +2(X(t)^2-Y(t)^2). +\end{align*} +Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung +der Lemniskate ist. +Dazu berechnen wir die Ableitungen +\begin{align*} +\dot{X}(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k) ++ +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k) +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2 +-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl( +1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2 +\bigr) +\\ +&= +\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k) +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +\dot{X}(t)^2 +&= +2\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr)^2 +\\ +&= +{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 +- +6\operatorname{sn}(t,k)^4 ++2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{Y}(t) +&= +\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k) ++ +\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k) +\\ +&= +-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) ++\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) +\\ +&= +\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\\ +\dot{Y}(t)^2 +&= +\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2 +\\ +&= +1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++6\operatorname{sn}(t,k)^4 +-2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2 +&= +1. +\end{align*} +Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ +\[ +\int_0^s +\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2} +\,dt += +\int_0^s\,dt += +s, +\] +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter. + +Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der +Gleichung +\[ +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2 +\] +hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit +\begin{equation} +\begin{aligned} +x(t) +&= +\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}} +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k) +\\ +y(t) +&= +\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +\end{equation} + +\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} +Der Sinus Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des +Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete +die Bogenlänge zuordnet. -\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} -Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises. Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung @@ -150,22 +368,29 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. -Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet -und hat den numerischen Wert + +Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. +Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen, +es ist \[ -\varphi +r(s)^2 = -2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt +x(s)^2 + y(s)^2 = -2.6220575542. +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +r(s) += +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k) \] -Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge -$\varpi/2$. - -Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$, -für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$ -die Länge $s$ hat. - -XXX Algebraische Beziehungen \\ -XXX Ableitungen \\ +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\caption{ +Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus +mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen +haben. +\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} +\end{figure} |