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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex77
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex32
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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index ab3056b..f6e63d4 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -43,8 +43,10 @@ Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koor
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
x & = \sigma \tau \\
+ \label{parzyl:coordRelationsa}
y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
z & = z.
+ \label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
\begin{equation}
@@ -60,26 +62,65 @@ und
\includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
\caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein
konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
- \label{fig:cordinates}
+ \label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
-Abbildung \ref{fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
-\subsection{Differnetialgleichung}
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+Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei
+Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind.
+Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
+kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+\begin{equation}
+ \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 +
+ \left(dz\right)^2
+ \label{parzyl:eq:ds}
+\end{equation}
+ausgedrückt werden.
+Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+\begin{equation}
+ \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 +
+ \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
+\label{parzyl:eq:dspara}
+\end{equation}
+gilt.
+Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen
+von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
+\begin{align}
+ dx &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma +
+ \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau +
+ \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z}
+ = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+ dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma +
+ \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau +
+ \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z}
+ = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+ dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma +
+ \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau +
+ \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z}
+ = d \tilde{z} \\
+\end{align}
+substituiert.
+Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
+geschrieben, resultiert
+\begin{equation}
+ \left(d s\right)^2 =
+ \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 +
+ \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 +
+ \left(d \tilde{z}\right)^2.
+\end{equation}
+Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren
+\begin{align}
+ h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+ h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+ h_{z} &= 1.
+\end{align}
+\subsection{Differentialgleichung}
+Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen
+Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
+mitgerechnet werden.
+\dots
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 7d5c1a4..b7e906c 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,36 +6,4 @@
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Problemstellung}
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{parzyl:equation1}
-\end{equation}
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