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diff --git a/buch/Makefile b/buch/Makefile index 00fcf42..af0e1e2 100755 --- a/buch/Makefile +++ b/buch/Makefile @@ -55,13 +55,13 @@ SeminarSpezielleFunktionen.ind: SeminarSpezielleFunktionen.idx # tests: test1.pdf test2.pdf test3.pdf -test1.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben1.tex +test1.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben1.tex $(TEXFILES) $(pdflatex) common/test1.tex test2.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben2.tex $(pdflatex) common/test2.tex -test3.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben3.tex +test3.pdf: common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben3.tex $(CHAPTERFILES) $(pdflatex) common/test3.tex # diff --git a/buch/aufgaben3.tex b/buch/aufgaben3.tex index a39fc19..16288ec 100644 --- a/buch/aufgaben3.tex +++ b/buch/aufgaben3.tex @@ -4,6 +4,6 @@ % (c) 2022 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST % -%\item -%\input chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex +\item +\input chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc index a870448..5840050 100644 --- a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc @@ -4,5 +4,5 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/000-einleitung/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index a4505cb..27ccdae 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex \ chapters/010-potenzen/polynome.tex \ chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc index d6b3c7f..4d8f58b 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/020-exponential/zins.tex \ chapters/020-exponential/log.tex \ chapters/020-exponential/lambertw.tex \ diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc index 0bf775f..d4940dc 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex \ chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex \ chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex \ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index a222b1c..cd54c80 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/040-rekursion/gamma.tex \ chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex \ chapters/040-rekursion/integral.tex \ diff --git a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc index b72a275..7151c07 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/050-differential/beispiele.tex \ chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex \ chapters/050-differential/bessel.tex \ diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index e19cb0c..d85caad 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -4,13 +4,9 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ chapters/060-integral/eulertransformation.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ - chapters/060-integral/orthogonal.tex \ - chapters/060-integral/legendredgl.tex \ - chapters/060-integral/sturm.tex \ - chapters/060-integral/gaussquadratur.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc index 286ab2e..8f58489 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex \ diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index acfdb1a..2e43cec 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch = \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx = -\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i) \] für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden @@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt 0 = \sum_{i=0}^n -l_j(x_i)p(x_i) +A_il_j(x_i)p(x_i) = -\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i) += +A_jp(x_j), \] die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ sein. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index c9c9cc6..35054ab 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -375,7 +375,7 @@ automatisch für diese Funktionenfamilien. \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ -und $w(x)=0$. +und $w(x)=1$. Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen \bgroup \renewcommand{\arraycolsep}{2pt} diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc index c153dc4..a762e63 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/075-fourier/bessel.tex \ chapters/075-fourier/2d.tex \ chapters/075-fourier/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc index affaa94..779cd80 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex \ chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex \ chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex \ diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc index c64af06..5b52d27 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/090-pde/gleichung.tex \ chapters/090-pde/separation.tex \ chapters/090-pde/rechteck.tex \ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index 538db68..639cb8f 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -4,9 +4,12 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \ chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \ + chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex \ + chapters/110-elliptisch/dglsol.tex \ + chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ - chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex \ - chapters/110-geometrie/chapter.tex + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex \ + chapters/110-elliptisch/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex index e09fa53..e05f3bd 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex @@ -10,18 +10,33 @@ \rhead{} Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat -in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet werden können. Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden. +Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion +der Bogenlänge umkehrt. +Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf +die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf +eine eher geometrische Art eingeführt werden. +Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen} +wieder hergestellt. + \input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex} -\section*{Übungsaufgaben} -\rhead{Übungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} +\rhead{Übungsaufgabe} \aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex new file mode 100644 index 0000000..7eaab38 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -0,0 +1,494 @@ +% +% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +% +% Lösung von Differentialgleichungen +% +\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen +\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} +Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer +Differentialgleichungen in geschlossener Form. +Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form +\( +\dot{x}(t)^2 += +P(x(t)) +\) +mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder +\( +\ddot{x}(t) += +p(x(t)) +\) +mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. + +% +% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} +Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu +können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben +finden. +Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält +man +\[ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 += +\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. +\] +Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ +ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\bigl( +1-\operatorname{sn}(u,k)^2 +\bigr) +\bigl( +1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 +-(1+k^2) +\operatorname{sn}(u,k)^2 ++1. +\end{align*} +Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung +\begin{align*} +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) +\\ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +\\ +&= +\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 ++ +(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 ++ +k^{\prime 2} +\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\biggl( +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +\biggr)^2 +&= +\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +\bigl( +1-\operatorname{dn}(u,k)^2 +\bigr) +\bigl( +\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} +\bigr) +\\ +&= +-\operatorname{dn}(u,k)^4 ++ +(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 +-k^{\prime 2}. +\end{align*} + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{1.7} +\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) + & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) + &k^2&1+k^2&1 +\\ +\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) + &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) + & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) + &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene +nichtlineare Differentialgleichungen der Art +\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. +Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden +muss. +\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} +\end{table} + +Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle +einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. +Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. +Die Differentialgleichungen sind in der +Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. + +% +% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen +Funktionen} +Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder +durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, +dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung +genügen. +Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, +wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. +Für +$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ +$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ +und +$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ +wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass +$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung +der Form +\begin{equation} +\operatorname{pq}'(u,k)^2 += +\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma +\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +\end{equation} +erfüllt, +wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von +$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. +Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, +ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen +sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} +zusammengestellt. + +Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt +werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die +Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen +Funktion ermitteln. + +% +% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion +% +\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} +Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine +Differentialgleichung für den Kehrwert +$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ +ableiten. +Dazu rechnet man +\[ +\operatorname{qp}'(u,k) += +\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} += +\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\quad +\begin{aligned} +\operatorname{pq}(u,k) +&= +\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} +\\ +\operatorname{pq}'(u,k) +&= +\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +\end{aligned} +\right. +\] +und setzt in die Differentialgleichung ein: +\begin{align*} +\biggl( +\frac{ +\operatorname{qp}'(u,k) +}{ +\operatorname{qp}(u,k) +} +\biggr)^2 +&= +\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} ++ +\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} ++ +\gamma. +\end{align*} +Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den +folgenden Satz. + +\begin{satz} +Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung +\begin{equation} +(\operatorname{qp}'(u,k))^2 += +\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 ++ +\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 ++ +\alpha +\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{table} +\centering +\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} +\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} +\cline{1-4} +\lfn{Funktion} + & \alpha & \beta & \gamma &\\ +\hline +\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ +\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ +\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ +\hline +\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ +\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ +\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ +\hline + & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ +\cline{2-5} +\end{tabular} +\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen +elliptischen Funktionen. +Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der +ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ +vertauscht worden sind. +\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} +\end{table} + +% +% Differentialgleichung zweiter Ordnung +% +\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} +Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +\[ +2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) += +4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). +\] +Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, +bleibt die nichtlineare +Differentialgleichung +\[ +\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} += +\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. +\] +Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer +Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. + + + +% +% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +% +\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den +Zusammenhang zwischen den Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. +Die Differentialgleichungen sind alle von der Form +\begin{equation} +\biggl( +\frac{d y}{d u} +\biggr)^2 += +p(u), +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. +Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. +Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die +Wurzel +\begin{align} +\frac{dy}{du} += +\sqrt{p(y)} +\notag +\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} +\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. +\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} +\end{align} +Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite +von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und +das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. +Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. +Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +ist daher +\[ +y(u) = F^{-1}(u+C). +\] +Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +der unvollständigen elliptischen Integrale. + + +% +% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +% +\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} +Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\begin{equation} +\biggl( +\frac{dx}{dt} +\biggr)^2 += +Ax^4+Bx^2 + C +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. +Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form +\begin{equation} +x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} +\end{equation} +ist. +Die erste Ableitung von $x(t)$ ist +\[ +\dot{x}(t) += +a\operatorname{zn}'(bt,k). +\] + +Indem wir diesen Lösungsansatz in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +einsetzen, erhalten wir +\begin{equation} +a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 += +a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++C +\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} +\end{equation} +Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer +Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +erfüllt. +Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir +die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten +Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: +\[ +\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++\frac{C}{a^2b^2} += +\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++ +\gamma\operatorname{zn}(bt,k). +\] +Daraus ergeben sich die Gleichungen +\begin{align} +\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, +& +\beta &= \frac{B}{b^2} +&&\text{und} +& +\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen +Differentialgleichung} +A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} +& +B&=\beta b^2 +&&\text{und}& +C &= \gamma a^2b^2 +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +\end{align} +für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden +Funktion. + +Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die +Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie +$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert +wird, die immer positiv sind. +Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. + +In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt +es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. +Es folgt, dass die Gleichungen +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +auch $a$ und $b$ bestimmen. +Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass +\[ +b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. +\] +Damit folgt dann aus der zweiten +\[ +a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. +\] +Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. +Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer +Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. + +\begin{beispiel} +Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss +Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, +dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet +werden muss. +Die Tabelle sagt dann auch, dass +$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. +Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +folgt dann der Reihe nach +\begin{align*} +b&=\pm \sqrt{B} +\\ +a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} +\\ +k^2 +&= +\frac{AC}{B^2}. +\end{align*} +Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +erhalten kann, nämlich +\[ +\frac{AC}{B^2} += +\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} += +\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Da alle Parameter im +Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits +festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren +Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung +sind nicht von der Zeit abhängig. +Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine +Lösung der Differentialgleichung. +Die allgmeine Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +also die Form +\[ +x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), +\] +wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen +von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 46659cd..4cb2ba3 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{buch:elliptisch:section:integral}} \rhead{Elliptisches Integral} Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in -Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener Form ausdrücken liess. Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als @@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische Funktionen} -XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der +Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe. +Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als +hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperK} +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die +hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2 +\biggr) +\] +ausdrücken. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form +\begin{align} +K(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}} +%\notag +%\\ +%& += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\bigl( +1-(k\sin\vartheta)^2 +\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta. +\notag +\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen +Reihe vereinfacht werden zu} +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta +\,d\vartheta. +\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} +\end{align} +Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach +\begin{align*} +\binom{-\frac12}{n} +&= +\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!} += +(-1)^n +\cdot +\frac{1}{n!} +\cdot +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr) += +(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!} +\end{align*} +vereinfachen. +Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält +man +\begin{align*} +K(k) +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^{2n} +\cdot +(-1)^n +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta += +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +\cdot (k^2)^n. +\end{align*} +Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$ +berechnet werden. +Mit partieller Integration kann man +\begin{align*} +\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta +&= +\int +\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow} +\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow} +\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta ++ +\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta ++ +(m-1) +\int +(1-\sin^2\vartheta) +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Wegen $\sin 0=0$ und +$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral +und der zweite wird +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta +\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +- +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^m \vartheta\,d\vartheta +\\ +m +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta +\\ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{m-1}{m} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden. +Es folgt +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{2n-1}{2n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{2n-1}{2n} +\frac{2n-3}{2n-2} +\frac{2n-5}{2n-4} +\cdots +\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{ +(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12 +}{ +n! +} +\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\frac{\pi}2. +\end{align*} +Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!} += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr), +\] +dies beweist die Behauptung. +\end{proof} @@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, also $E(0)=\frac{\pi}2$. Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperE} +Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +\[ +E(k) += +\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix}; +k^2 +\biggr). +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit +Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden +werden. +\end{proof} + \subsubsection{Komplementäre Integrale} \subsubsection{Ableitung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex new file mode 100644 index 0000000..d600243 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex @@ -0,0 +1,1012 @@ +% +% elltrigo.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +% +% elliptische Funktionen als Trigonometrie +% +\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} +\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der +elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen +auf einer Ellipse. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} +\end{figure} +% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals +% https://youtu.be/DCXItCajCyo + +% +% Geometrie einer Ellipse +% +\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} +Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe +\index{Ellipse}% +der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, +den {\em Brennpunkten}, konstant ist. +\index{Brennpunkt}% +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse +mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, +die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. +Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden +Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. +Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme +haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. +Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, +also $a$ sein. +Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass +\[ +b^2+e^2=a^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +e^2 = a^2-b^2 +\] +sein muss. +Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. +Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} +der Ellipse. + +% +% Die Ellipsengleichung +% +\subsubsection{Ellipsengleichung} +Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\overline{PF_1}^2 +&= +y^2 + (x+e)^2 +\\ +\overline{PF_2}^2 +&= +y^2 + (x-e)^2 +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} +\end{equation} +von den Brennpunkten, für die +\begin{equation} +\overline{PF_1}+\overline{PF_2} += +2a +\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +\end{equation} +gelten muss. +Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung +\[ +\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 +\] +erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +erfüllt. +Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. +$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. +Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist +\[ +l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. +\] +Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine +auf die rechte Seite und quadriert. +Man muss also verifizieren, dass +\[ +(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. +\] +In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und +\[ +y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} +\] +substituieren. +Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines +Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. + +% +% Normierung +% +\subsubsection{Normierung} +Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse +von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. +Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, +kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines +Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. + +Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, +weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität +mindestens eine mit Halbeachse $1$. +Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. +Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. +Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. +In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten +zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. + +Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität +$\varepsilon$ auch mit +\[ +k += +\varepsilon += +\frac{e}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, +\] +die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. +Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen +findet man +\[ +k^2a^2 = a^2-1 +\quad\Rightarrow\quad +1=a^2(k^2-1) +\quad\Rightarrow\quad +a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. +\] + +Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist +\[ +\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 +\qquad\text{oder}\qquad +x^2(k^2-1) + y^2 = 1. +\] + +% +% Definition der elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} +\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie +an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} +\end{figure} +\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ +können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. +Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. +Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem +Radiusvektor zum Punkt $P$ +darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später +ausnützen möchten. +Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das +noch unbestimmte Argument $u$. +Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. + +Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch +vom Modulus ab. +Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen +wir das $k$-Argument weg. + +Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom +Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ +des Kreises. +Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, +die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. + +In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für +die Funktionen +\[ +\begin{aligned} +&\text{sinus amplitudinis:}& +{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ +&\text{cosinus amplitudinis:}& +{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ +&\text{delta amplitudinis:}& +{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, +\end{aligned} +\] +die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +dargestellt sind. +Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass +\[ +\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 +\] +ist. +Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu +berechnen, also gilt +\begin{equation} +r^2 += +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +x^2 + y^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. +\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +\end{equation} +Ersetzt man +$ +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +$, ergibt sich +\[ +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 ++ +\operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +\operatorname{dn}(u,k)^2 ++ +\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 += +1, +\] +woraus sich die Identität +\[ +\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 +\] +ergibt. +Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf +\[ +a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1-\operatorname{cn}(u,k)^2 += +(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1. +\] +Nach Division durch $a^2$ ergibt sich +\begin{align*} +\operatorname{dn}(u,k)^2 +- +k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +&= +\frac{1}{a^2} += +\frac{a^2-a^2+1}{a^2} += +1-k^2 =: k^{\prime 2}. +\end{align*} +Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln +\begin{equation} +\begin{aligned} +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2}. +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\end{equation} +zusammen. +So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, +ist es mit +\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch +jede anderen auszudrücken. +Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +zusammengestellt. + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +&\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{cn}(u,k) +&\operatorname{dn}(u,k)\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{sn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\operatorname{cn}(u,k) +&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) +&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich +unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +durch jede andere ausdrücken. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} +\end{table} + +% +% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen +% +\subsubsection{Ableitung} +Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich +für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die +Beziehungen +\[ +\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi +\qquad\text{und}\qquad +\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi +\] +erfüllen. +So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich +durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. +Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass +sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. + +Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in +Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche +Ableitungsformeln ergeben. +Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ +ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist +$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. +Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind +\begin{align*} +\frac{dy}{d\varphi} +&= +\cos\varphi += +\frac{1}{a} x += +\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\frac{dx}{d\varphi} +&= +-a\sin\varphi += +-a y += +-a\operatorname{sn}(u,k). +\end{align*} +Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der +elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: +\begin{align*} +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) += +\cos\varphi += +\frac{x}{a} += +\operatorname{cn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} +\operatorname{sn}(u,k) +&= +\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} += +-\sin\varphi += +-\operatorname{sn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) +&= +\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} += +\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} +%\\ +%& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} ++ +\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} +%\\ +%& += +\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) ++ +\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) +$} +\\ +& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +\frac{x}{ar}(-ay) ++ +\frac{y}{ar} \frac{x}{a} +%\rlap{$\displaystyle += +\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} +%$} +%\\ +%& += +-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} +$} +\\ +&= +-\frac{a^2-1}{ar} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%\\ +%& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +-k^2 +\frac{a}{r} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +$} +\\ +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) +\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\frac{d\varphi}{du}. +\end{align*} +Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so +wählt, dass +\[ +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{r}{a}. +\] +Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} +Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) +&= +\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} +\end{equation} +\end{satz} + +% +% Der Grenzfall $k=1$ +% +\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} +\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen +für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. +\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} +\end{figure} +Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den +Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\[ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2 +\operatorname{dn}^2(u,k) += +k^{\prime2} += +0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\operatorname{cn}^2(u,1) += +\operatorname{dn}^2(u,1), +\] +die beiden Funktionen +$\operatorname{cn}(u,k)$ +und +$\operatorname{dn}(u,k)$ +fallen also zusammen. +Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: +\begin{align*} +\operatorname{sn}'(u,1) +&= +\operatorname{cn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +\operatorname{cn}^2(u,1) += +1-\operatorname{sn}^2(u,1) +&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 +\\ +\operatorname{cn}'(u,1) +&= +- +\operatorname{sn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +- +\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) +&&\Rightarrow& +\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y +\end{align*} +Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet +die Lösung +\[ +\frac{y'}{1-y^2} += +1 +\quad\Rightarrow\quad +\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{artanh}(y) = u +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. +\] +Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: +\begin{align*} +(\log \operatorname{cn}(u,1))' +&= +\tanh u +&&\Rightarrow& +\log\operatorname{cn}(u,1) +&= +-\int\tanh u\,du += +-\log\cosh u +\\ +& +&&\Rightarrow& +\operatorname{cn}(u,1) +&= +\frac{1}{\cosh u} += +\operatorname{sech}u. +\end{align*} +Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} +dargestellt. + +% +% Das Argument u +% +\subsubsection{Das Argument $u$} +Die Gleichung +\begin{equation} +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +\end{equation} +ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch +die geometrische Bedeutung zu klären. +Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der +Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +ist, diesen nennen wir $\vartheta$. +Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist +\begin{equation} +\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta +\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} +\end{equation} + +Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, +dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also +$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. +Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist +\[ +\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} += +\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt +werden, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{d\varphi} += +\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} += +\frac{1}{a}\cdot +\frac{a^2}{r^2} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. +\] +Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{du} += +\frac{d\vartheta}{d\varphi} +\cdot +\frac{d\varphi}{du} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +\cdot +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} += +\frac{1}{a} +\cdot\frac{a}{r} += +\frac{1}{r}, +\] +wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ +verwendet haben. + +In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung +von $u$ nach $t$ berechnen als +\[ +\frac{du}{dt} += +\frac{du}{d\vartheta} +\frac{d\vartheta}{dt} += +r +\dot{\vartheta}. +\] +Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um +das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ +von $O$. +$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes +$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. +Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral +\[ +u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. +\] +Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht +auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass +$u(P)=\vartheta(P)$ ist. + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} +\caption{Die Verhältnisse der Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +udn +$\operatorname{dn}(u,k)$ +geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe +des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} +\end{figure} +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.5} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +\cdot & +\frac{1}{1} & +\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +1& +&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{sn}(u,k) & +\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& +&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) & +\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & +\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) & +\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & +\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +\end{tabular} +\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} +\end{table} + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn +lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise +die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. +Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, +$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und +$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen +die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten +Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, +der Nenner durch den Buchstaben q. +Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für +die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen +Funktionen. +Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt +man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. + +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch +geometrisch interpretiert. +Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl +mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen +Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. +Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die +Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. + +Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede +andere auszudrücken. +Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie +übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier +nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: + +\begin{beispiel} +Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ +ausgedrückt werden. +Zunächst ist +\[ +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +\] +nach Definition. +Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und +$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. +Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten +\begin{equation} +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. +\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} +\end{equation} +Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch +$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. +Aus der Definition und der +dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +erhält man +\begin{align*} +\operatorname{cd}^2(u,k) +&= +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} += +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +\\ +\Rightarrow +\qquad +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) ++ +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\operatorname{cn}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\frac{ +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} +\end{align*} +Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also +\[ +1-\operatorname{cn}^2(u,k) += +\frac{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +- +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} += +\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +\] +Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt +\begin{align*} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} +\cdot +\frac{ +\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +} += +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +}. +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + +\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der +abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. +Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. +Sie ist +\begin{align*} +\frac{d}{du} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{d}{du} +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\frac{ +\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +- +\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{ +\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) ++ +\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} += +\frac{( +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +)\operatorname{dn}(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} +\cdot +\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\operatorname{nc}(u,k) +\operatorname{dc}(u,k). +\end{align*} +Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat +der Quotientenregel zur Folge hat, dass die +beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie +die Funktion, die abgeleitet wird. + +Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen +\begin{equation} +%\small +\begin{aligned} +\operatorname{sn}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&\qquad& +\operatorname{ns}'(u,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) +\\ +\operatorname{cn}'(u,k) +&= +- +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&& +\operatorname{nc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) +\\ +\operatorname{dn}'(u,k) +&= +-k^2 +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) +&&& +\operatorname{nd}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^2 +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) +\\ +\operatorname{sc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +&&& +\operatorname{cs}'(u,k) +&= +- +\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +\\ +\operatorname{cd}'(u,k) +&= +-k^{\prime2} +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +&&& +\operatorname{dc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^{\prime2} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +\\ +\operatorname{ds}'(d,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +&&& +\operatorname{sd}'(d,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} +\end{equation} +finden. +Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen +zweiten Buchstaben haben. + +\subsubsection{TODO} +XXX algebraische Beziehungen \\ +XXX Additionstheoreme \\ +XXX Perioden +% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index 68322b6..a7c9e74 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -5,7 +5,7 @@ # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \ - sncnlimit.pdf + sncnlimit.pdf slcl.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -71,3 +71,10 @@ jacobi12.pdf: jacobi12.tex sncnlimit.pdf: sncnlimit.tex pdflatex sncnlimit.tex +slcl: slcl.cpp + g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + +slcldata.tex: slcl + ./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200 +slcl.pdf: slcl.tex slcldata.tex + pdflatex slcl.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex 88cf119..f0e6e78 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf Binary files differindex 063a3e1..9e02c3c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex index f74a81f..fe90631 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex @@ -27,13 +27,16 @@ \draw[color=red,line width=2.0pt] plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))}); -\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}]; -\draw[->] 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-a\mathstrut\sqrt{2}$}; + + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp new file mode 100644 index 0000000..8584e94 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp @@ -0,0 +1,128 @@ +/* + * slcl.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <fstream> +#include <sstream> +#include <getopt.h> +#include <vector> +#include <gsl/gsl_sf_elljac.h> + +namespace slcl { + +static struct option longopts[] { +{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' }, +{ "a", required_argument, NULL, 'a' }, +{ "b", required_argument, NULL, 'b' }, +{ "steps", required_argument, NULL, 'n' }, +{ NULL, 0, NULL, 0 } +}; + +class plot { + typedef std::pair<double, double> point_t; + typedef std::vector<point_t> curve_t; + curve_t _sl; + curve_t _cl; + double _a; + double _b; + int 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const { + return path(_sl); + } + std::string clpath() const { + return path(_cl); + } +}; + +/** + * \brief Main function for the slcl program + */ +int main(int argc, char *argv[]) { + int longindex; + int c; + double a = 0; + double b = 10; + int steps = 100; + std::ostream *out = &std::cout; + while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:", + longopts, &longindex))) + switch (c) { + case 'a': + a = std::stod(optarg); + break; + case 'b': + b = std::stod(optarg) / sqrt(2); + break; + case 'n': + steps = std::stol(optarg); + break; + case 'o': + out = new std::ofstream(optarg); + break; + } + + plot p(a, b, steps); + (*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + (*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + + out->flush(); + //out->close(); + return EXIT_SUCCESS; +} + +} // namespace slcl + +int main(int argc, char *argv[]) { + try { + return slcl::main(argc, argv); + } catch (const 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+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\input{slcldata.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here +\def\lemniscateconstant{2.6220575542} +\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant} +\xdef\scalechange{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)} +\xdef\ts{\pgfmathresult} + +\def\dx{1} +\def\dy{3} + +\draw[line width=0.3pt] + ({\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({2*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({3*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({4*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); + +\draw[color=red!40,line width=1.4pt] + 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ellpitische Funktionen als Trigonometrie -% -\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} -\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der -elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen -auf einer Ellipse. -\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} -\end{figure} -% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals -% https://youtu.be/DCXItCajCyo - -% -% Geometrie einer Ellipse -% -\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -\index{Ellipse}% -der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -\index{Brennpunkt}% -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -also $a$ sein. -Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -\[ -b^2+e^2=a^2 -\qquad\Rightarrow\qquad -e^2 = a^2-b^2 -\] -sein muss. -Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -der Ellipse. - -% -% Die Ellipsengleichung -% -\subsubsection{Ellipsengleichung} -Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -\begin{equation} -\begin{aligned} -\overline{PF_1}^2 -&= -y^2 + (x+e)^2 -\\ -\overline{PF_2}^2 -&= -y^2 + (x-e)^2 -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -\end{equation} -von den Brennpunkten, für die -\begin{equation} -\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -= -2a -\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -\end{equation} -gelten muss. -Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -\[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -\] -erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -erfüllt. -Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -\[ -l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -\] -Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -auf die rechte Seite und quadriert. -Man muss also verifizieren, dass -\[ -(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -\] -In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -\[ -y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -\] -substituieren. -Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. - -% -% Normierung -% -\subsubsection{Normierung} -Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. - -Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -mindestens eine mit Halbeachse $1$. -Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. - -Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -$\varepsilon$ auch mit -\[ -k -= -\varepsilon -= -\frac{e}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -\] -die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -findet man -\[ -k^2a^2 = a^2-1 -\quad\Rightarrow\quad -1=a^2(k^2-1) -\quad\Rightarrow\quad -a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -\] - -Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -\[ -\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -\qquad\text{oder}\qquad -x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -\] - -% -% Definition der elliptischen Funktionen -% -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -\end{figure} -\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -Radiusvektor zum Punkt $P$ -darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -ausnützen möchten. -Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -noch unbestimmte Argument $u$. -Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. - -Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -vom Modulus ab. -Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -wir das $k$-Argument weg. - -Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -des Kreises. -Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. - -In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -die Funktionen -\[ -\begin{aligned} -&\text{sinus amplitudinis:}& -{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -&\text{cosinus amplitudinis:}& -{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -&\text{delta amplitudinis:}& -{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -\end{aligned} -\] -die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -dargestellt sind. -Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -\[ -\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -\] -ist. -Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -berechnen, also gilt -\begin{equation} -r^2 -= -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -x^2 + y^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -\end{equation} -Ersetzt man -$ -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -$, ergibt sich -\[ -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -+ -\operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -\operatorname{dn}(u,k)^2 -+ -\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -= -1, -\] -woraus sich die Identität -\[ -\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -\] -ergibt. -Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -\[ -a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1. -\] -Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -\begin{align*} -\operatorname{dn}(u,k)^2 -- -k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -&= -\frac{1}{a^2} -= -\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -= -1-k^2 =: k^{\prime 2}. -\end{align*} -Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -\begin{equation} -\begin{aligned} -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2}. -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\end{equation} -zusammen. -So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -ist es mit -\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -jede anderen auszudrücken. -Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -zusammengestellt. - -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -&\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{cn}(u,k) -&\operatorname{dn}(u,k)\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{sn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\operatorname{cn}(u,k) -&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) -&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -durch jede andere ausdrücken. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -\end{table} - -% -% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -% -\subsubsection{Ableitung} -Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -Beziehungen -\[ -\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -\qquad\text{und}\qquad -\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -\] -erfüllen. -So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. - -Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -Ableitungsformeln ergeben. -Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -\begin{align*} -\frac{dy}{d\varphi} -&= -\cos\varphi -= -\frac{1}{a} x -= -\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\frac{dx}{d\varphi} -&= --a\sin\varphi -= --a y -= --a\operatorname{sn}(u,k). -\end{align*} -Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -\begin{align*} -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -= -\cos\varphi -= -\frac{x}{a} -= -\operatorname{cn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} -\operatorname{sn}(u,k) -&= -\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -= --\sin\varphi -= --\operatorname{sn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -&= -\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -= -\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -+ -\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -+ -\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -\\ -&= -\frac{x}{ar}(-ay) -+ -\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -= -\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -\\ -&= --\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -\\ -&= --\frac{a^2-1}{ar} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&=-k^2 -\frac{a}{r} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\frac{d\varphi}{du} -\end{align*} -Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -wählt, dass -\[ -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{r}{a} -\] -Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -&= -\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\end{align*} -der elliptischen Funktionen nach Jacobi. - -% -% Der Grenzfall $k=1$ -% -\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -\end{figure} -Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\[ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2 -\operatorname{dn}^2(u,k) -= -k^{\prime2} -= -0 -\qquad\Rightarrow\qquad -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -\operatorname{dn}^2(u,1), -\] -die beiden Funktionen -$\operatorname{cn}(u,k)$ -und -$\operatorname{dn}(u,k)$ -fallen also zusammen. -Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -\begin{align*} -\operatorname{sn}'(u,1) -&= -\operatorname{cn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -1-\operatorname{sn}^2(u,1) -&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -\\ -\operatorname{cn}'(u,1) -&= -- -\operatorname{sn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -- -\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -&&\Rightarrow& -\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -\end{align*} -Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -die Lösung -\[ -\frac{y'}{1-y^2} -= -1 -\quad\Rightarrow\quad -\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{artanh}(y) = u -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -\] -Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -\begin{align*} -(\log \operatorname{cn}(u,1))' -&= -\tanh u -&&\Rightarrow& -\log\operatorname{cn}(u,1) -&= --\int\tanh u\,du -= --\log\cosh u -\\ -& -&&\Rightarrow& -\operatorname{cn}(u,1) -&= -\frac{1}{\cosh u} -= -\operatorname{sech}u. -\end{align*} -Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -dargestellt. - -% -% Das Argument u -% -\subsubsection{Das Argument $u$} -Die Gleichung -\begin{equation} -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -\end{equation} -ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -die geometrische Bedeutung zu klären. -Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -\begin{equation} -\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -\end{equation} - -Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -\[ -\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -= -\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -werden, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -= -\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -= -\frac{1}{a}\cdot -\frac{a^2}{r^2} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -\] -Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{du} -= -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -\cdot -\frac{d\varphi}{du} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -\cdot -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -= -\frac{1}{a} -\cdot\frac{a}{r} -= -\frac{1}{r}, -\] -wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -verwendet haben. - -In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -von $u$ nach $t$ berechnen als -\[ -\frac{du}{dt} -= -\frac{du}{d\vartheta} -\frac{d\vartheta}{dt} -= -r -\dot{\vartheta}. -\] -Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -von $O$. -$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -\[ -u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -\] -Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -$u(P)=\vartheta(P)$ ist. - -% -% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen -% -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -udn -$\operatorname{dn}(u,k)$ -geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -\end{figure} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -\cdot & -\frac{1}{1} & -\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -1& -&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{sn}(u,k) & -\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) & -\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) & -\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -\end{tabular} -\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -\end{table} -\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -der Nenner durch den Buchstaben q. -Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -Funktionen. -Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. - -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -geometrisch interpretiert. -Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. - -Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -andere auszudrücken. -Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: - -\begin{beispiel} -Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -Zunächst ist -\[ -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -\] -nach Definition. -Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -\begin{equation} -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -\end{equation} -Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -Aus der Definition und der -dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -erhält man -\begin{align*} -\operatorname{cd}^2(u,k) -&= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -\\ -\Rightarrow -\qquad -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -+ -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\operatorname{cn}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\frac{ -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -\end{align*} -Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -\[ -1-\operatorname{cn}^2(u,k) -= -\frac{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -- -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -= -\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -\] -Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -\begin{align*} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -\cdot -\frac{ -\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -} -= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -}. -\qedhere -\end{align*} -\end{beispiel} - -\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -Sie ist -\begin{align*} -\frac{d}{du} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{d}{du} -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\frac{ -\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -- -\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{ -\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -+ -\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -= -\frac{( -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -)\operatorname{dn}(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -\cdot -\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\operatorname{nc}(u,k) -\operatorname{dc}(u,k). -\end{align*} -Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -die Funktion, die abgeleitet wird. - -Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -\begin{equation} -%\small -\begin{aligned} -\operatorname{sn}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&\qquad& -\operatorname{ns}'(u,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -\\ -\operatorname{cn}'(u,k) -&= -- -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&& -\operatorname{nc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -\\ -\operatorname{dn}'(u,k) -&= --k^2 -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -&&& -\operatorname{nd}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^2 -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -\\ -\operatorname{sc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -&&& -\operatorname{cs}'(u,k) -&= -- -\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -\\ -\operatorname{cd}'(u,k) -&= --k^{\prime2} -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -&&& -\operatorname{dc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^{\prime2} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -\\ -\operatorname{ds}'(d,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -&&& -\operatorname{sd}'(d,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -\end{equation} -finden. -Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -zweiten Buchstaben haben. - -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden -% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic - - -XXX Ableitungen \\ -XXX Werte \\ - -% -% Lösung von Differentialgleichungen -% -\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} -Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -Differentialgleichungen in geschlossener Form. -Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -\( -\ddot{x}(t) -= -p(x(t)) -\) -mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. - -% -% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen -% -\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -finden. -Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -man -\[ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -= -\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -\] -Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -\begin{align*} -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\biggl( -1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\\ -&= -k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 --(1+k^2) -\operatorname{sn}(u,k)^2 -+1. -\end{align*} -Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -\\ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -\\ -&= -\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\\ -&= --k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -- -(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+ -(1-k^2) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\biggl( -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -\biggr)^2 -&= -\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -\\ -&= -\biggl( -1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1 -\biggr) -\\ -&= --\operatorname{dn}(u,k)^4 -- -2\operatorname{dn}(u,k)^2 --k^2+1. -\end{align*} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2} -\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) - &k^2&1&1 &+&+&+ -\\ -\operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) - &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ -\\ -\operatorname{dn}(u,k) - & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2) - &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&- -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -nichtlineare Differentialgleichungen der Art -\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -muss. -\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -\end{table} - -Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen -Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, -wenn wir eine beliebige der drei Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -oder -$\operatorname{dn}(u,k)$ -meinen. -Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der -Differentialgleichung -\begin{equation} -\operatorname{zn}'(u,k)^2 -= -\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma, -\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -\end{equation} -wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von -$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. -Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als -Lösung zu verwenden. - -% -% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale -% -\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -Zusammenhang zwischen den Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -\begin{equation} -\biggl( -\frac{d y}{d u} -\biggr)^2 -= -p(u), -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -Wurzel -\begin{align} -\frac{dy}{du} -= -\sqrt{p(y)} -\notag -\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -\end{align} -Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -ist daher -\[ -y(u) = F^{-1}(u+C). -\] -Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -der unvollständigen elliptischen Integrale. - -\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -\[ -2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k) -= -4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k). -\] -Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$, -bleibt die nichtlineare -Differentialgleichung -\[ -\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2} -= -\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3. -\] -Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. - -% -% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators -% -\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -\begin{equation} -\biggl( -\frac{dx}{dt} -\biggr)^2 -= -Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -\begin{equation} -x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -\end{equation} -ist. -Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -\[ -\dot{x}(t) -= -a\operatorname{zn}'(bt,k). -\] - -Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -einsetzen, erhalten wir -\begin{equation} -a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -= -a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+C -\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -\end{equation} -Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -erfüllt. -Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -\[ -\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+\frac{C}{a^2b^2} -= -\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+ -\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -\] -Daraus ergeben sich die Gleichungen -\begin{align} -\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -& -\beta &= \frac{B}{b^2} -&&\text{und} -& -\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -Differentialgleichung} -A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -& -B&=\beta b^2 -&&\text{und}& -C &= \gamma a^2b^2 -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -\end{align} -für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -Funktion. - -Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -wird, die immer positiv sind. -Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. - -In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -Es folgt, dass die Gleichungen -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -auch $a$ und $b$ bestimmen. -Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -\[ -b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -\] -Damit folgt dann aus der zweiten -\[ -a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -\] -Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. - -\begin{beispiel} -Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -werden muss. -Die Tabelle sagt dann auch, dass -$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -folgt dann der Reihe nach -\begin{align*} -b&=\pm \sqrt{B} -\\ -a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -\\ -k^2 -&= -\frac{AC}{B^2}. -\end{align*} -Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -erhalten kann, nämlich -\[ -\frac{AC}{B^2} -= -\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -= -\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -\qedhere -\] -\end{beispiel} - -Da alle Parameter im -Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -sind nicht von der Zeit abhängig. -Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -Lösung der Differentialgleichung. -Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -also die Form -\[ -x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -\] -wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. - -% -% Das mathematische Pendel -% -\subsection{Das mathematische Pendel -\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -\caption{Mathematisches Pendel -\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -\end{figure} -Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -im Punkt $P$, -der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -verbunden ist. -Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. - -Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -\( -I=ml^2 -\). -Das Drehmoment der Schwerkraft ist -\(M=gl\sin\vartheta\). -Die Bewegungsgleichung wird daher -\[ -\begin{aligned} -\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -&= -M -= -gl\sin\vartheta -\\ -ml^2\ddot{\vartheta} -&= -gl\sin\vartheta -&&\Rightarrow& -\ddot{\vartheta} -&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -\end{aligned} -\] -Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -der elliptischen Funktionen vergleichen können. - -Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -enthält. -Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -Dies führt auf -\[ -E_{\text{kinetisch}} -+ -E_{\text{potentiell}} -= -\frac12I\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -E -\] -Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -Differentialgleichung -\[ -\dot{\vartheta}^2 -= -- -\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -+\frac{2E}{ml^2} -\] -finden. -In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -Lösung konstruieren. - -Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -$E=2lmg$. -Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -bleibt. -Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. - -% -% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen -% -\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -\] -Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. - -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac14 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\cdot -\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac14 -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{1}{4} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\end{align*} -Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -für elliptische Funktionen. -Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -$1$ sein muss. - -% -% Der Fall E < 2mgl -% -\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -\caption{% -Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -verschiedene Werte von $k^2=m$. -Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -von den trigonometrischen Funktionen ab, -es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -erreichen kann, was es für $m$ macht. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -\end{figure} - - -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -\] -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac12ml^2 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\dot{\vartheta}^2 -&= -(1-y^2) -(E -mgly^2) -\\ -\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac{1}{2} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{E}{2ml^2} -(1-y^2)\biggl( -1-\frac{2gml}{E}y^2 -\biggr). -\end{align*} -Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = 2gml/E< 1$. - -% -% Der Fall E > 2mgl -% -\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -Indem wir die Gleichung - -XXX Differentialgleichung \\ -XXX Mathematisches Pendel \\ -\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} -\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -XXX Möbius-Transformation \\ -XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index 7083b63..0df27a7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -22,23 +22,46 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden. \end{figure} Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung \begin{equation} -(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2). +(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2). \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} \end{equation} Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellt. -Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$. +Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$. +Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht +\begin{equation} +\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 ++ +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr)^2 += +2\frac{a^2}{2a^2}\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +- +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr). +\qquad +\Leftrightarrow +\qquad +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} +\end{equation} +wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben. +In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$. +Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen +Sinus und Kosinus verwendet werden soll. In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ -gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \begin{equation} r^4 = -2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) +r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) = -2a^2r^2\cos2\varphi +r^2\cos2\varphi \qquad\Rightarrow\qquad -r^2 = 2a^2\cos 2\varphi +r^2 = \cos 2\varphi \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar} \end{equation} als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung. @@ -46,15 +69,7 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke Blatt der Lemniskate. -Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung -verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$. -Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate -wird dann zu -\[ -(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2). -\] - -\subsubsection{Bogelänge} +\subsection{Bogenlänge} Die Funktionen \begin{equation} x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, @@ -76,7 +91,7 @@ r^4 \end{align*} sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. -Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} +Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen. Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und @@ -123,11 +138,16 @@ s(r) \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} \end{equation} -\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral} +% +% Als elliptisches Integral +% +\subsection{Darstellung als elliptisches Integral} Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter -$m=-1$ ist +$k^2=-1$ oder $k=i$ ist \[ -K(r,-1) +K(r,i) += +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}} = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} = @@ -136,11 +156,209 @@ K(r,-1) s(r). \] Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des -ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des -Parameters $m$ +elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des +Parameters $k$. + +Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet +und hat den numerischen Wert +\[ +\varpi += +2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt += +2.6220575542. +\] +$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt. +\index{lemniskatische Konstante}% +Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge +$\varpi/2$. + +% +% Bogenlängenparametrisierung +% +\subsection{Bogenlängenparametrisierung} +Die Lemniskate mit der Gleichung +\[ +(X^2+X^2)^2=2(X^2-X^2) +\] +(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}) +kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen +parametrisiert werden. +Dazu schreibt man +\[ +\left. +\begin{aligned} +X(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k) +\\ +Y(t) +&= +\phantom{\sqrt{2}} +\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k) +\end{aligned} +\quad\right\} +\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$} +\] +und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der +Lemniskate. +Zunächst ist +\begin{align*} +X(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k)^2 +\\ +Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{sn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2+Y(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +\underbrace{ +\operatorname{dn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12} +\operatorname{sn}(t,k)^2 +}_{\displaystyle =1} +\bigr) +%\\ +%& += +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2-Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +- +\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +\bigr) +\\ +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^4 +\\ +\Rightarrow\qquad +(X(t)^2+Y(t)^2)^2 +&= +4\operatorname{cn}(t,k)^4 += +2(X(t)^2-Y(t)^2). +\end{align*} +Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung +der Lemniskate ist. +Dazu berechnen wir die Ableitungen +\begin{align*} +\dot{X}(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k) ++ +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k) +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2 +-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl( +1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2 +\bigr) +\\ +&= +\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k) +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +\dot{X}(t)^2 +&= +2\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr)^2 +\\ +&= +{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 +- +6\operatorname{sn}(t,k)^4 ++2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{Y}(t) +&= +\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k) ++ +\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k) +\\ +&= +-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) ++\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) +\\ +&= +\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\\ +\dot{Y}(t)^2 +&= +\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2 +\\ +&= +1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++6\operatorname{sn}(t,k)^4 +-2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2 +&= +1. +\end{align*} +Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ +\[ +\int_0^s +\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2} +\,dt += +\int_0^s\,dt += +s, +\] +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter. + +Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der +Gleichung +\[ +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2 +\] +hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit +\begin{equation} +\begin{aligned} +x(t) +&= +\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}} +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k) +\\ +y(t) +&= +\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +\end{equation} + +\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} +Der Sinus Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des +Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete +die Bogenlänge zuordnet. -\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} -Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises. Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung @@ -150,22 +368,29 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. -Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet -und hat den numerischen Wert + +Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. +Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen, +es ist \[ -\varphi +r(s)^2 = -2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt +x(s)^2 + y(s)^2 = -2.6220575542. +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +r(s) += +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k) \] -Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge -$\varpi/2$. - -Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$, -für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$ -die Länge $s$ hat. - -XXX Algebraische Beziehungen \\ -XXX Ableitungen \\ +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\caption{ +Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus +mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen +haben. +\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} +\end{figure} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex new file mode 100644 index 0000000..d61bcf6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex @@ -0,0 +1,250 @@ +% +% mathpendel.tex -- Das mathematische Pendel +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\subsection{Das mathematische Pendel +\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} +\caption{Mathematisches Pendel +\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} +\end{figure} +Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte +Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ +im Punkt $P$, +der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ +verbunden ist. +Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. + +Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist +\( +I=ml^2 +\). +Das Drehmoment der Schwerkraft ist +\(M=gl\sin\vartheta\). +Die Bewegungsgleichung wird daher +\[ +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} +&= +M += +gl\sin\vartheta +\\ +ml^2\ddot{\vartheta} +&= +gl\sin\vartheta +&&\Rightarrow& +\ddot{\vartheta} +&=\frac{g}{l}\sin\vartheta +\end{aligned} +\] +Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die +wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung +der elliptischen Funktionen vergleichen können. + +Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen +enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. +In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ +enthält. +Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. +Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. +Dies führt auf +\[ +E_{\text{kinetisch}} ++ +E_{\text{potentiell}} += +\frac12I\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +E +\] +Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die +Differentialgleichung +\[ +\dot{\vartheta}^2 += +- +\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) ++\frac{2E}{ml^2} +\] +finden. +In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten +Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies +tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für +elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte +Lösung konstruieren. + +Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +$E=2lmg$. +Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +bleibt. +Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. + +% +% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +% +\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +\] +Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. + +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac14 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\cdot +\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac14 +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{1}{4} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\end{align*} +Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +für elliptische Funktionen. +Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +$1$ sein muss. + +% +% Der Fall E < 2mgl +% +\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +\caption{% +Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +verschiedene Werte von $k^2=m$. +Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +von den trigonometrischen Funktionen ab, +es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +erreichen kann, was es für $m$ macht. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +\end{figure} + + +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. +\] +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac12ml^2 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\dot{\vartheta}^2 +&= +(1-y^2) +(E -mgly^2) +\\ +\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac{1}{2} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{E}{2ml^2} +(1-y^2)\biggl( +1-\frac{2gml}{E}y^2 +\biggr). +\end{align*} +Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische +Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit $k^2 = 2gml/E< 1$. + +%% +%% Der Fall E > 2mgl +%% +%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +%Indem wir die Gleichung + + +%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} + +%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} +%XXX Möbius-Transformation \\ +%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex index 8e4b39f..694f18a 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -28,9 +28,11 @@ for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form $\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben. \item Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die -Geschwindigkeit verschwindet. +Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet. Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von -\ref{buch:1101:basic-dgl} ab. +%\ref{buch:1101:basic-dgl} +Teilaufgabe c) +ab. Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$ die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt, während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen @@ -66,13 +68,16 @@ wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen. \label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$ und -$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion -$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung -von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in -\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist. +$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für +die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung +von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt +\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}), +für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist. \item Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in -\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung, +Teilaufgabe h) +%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} +erhaltenen Differentialgleichung, um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben. \end{teilaufgaben} @@ -262,15 +267,21 @@ Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist = \alpha \dot{X}(t(\tau)) -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau} +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau} = -\dot{X}(t(\tau)). +\dot{X}(t(\tau)) +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2 += +\dot{X}(t(\tau))^2. \] Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist \[ -\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2} +\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2} +\biggl( \frac{dY}{d\tau} +\biggr)^2 = (1-Y^2)(1-k^2Y^2). \] @@ -278,7 +289,7 @@ Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man \[ \alpha^2 = -\frac{2mk^2}{\delta x_+^2} +\frac{2m}{\delta x_+^2} \] wählt. Diese Differentialgleichug hat die Lösung @@ -294,9 +305,9 @@ x(t) x_- X(t) = x_- \operatorname{sn}\biggl( -t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} } +t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} } ,k -\biggr) +\biggr). \end{align*} Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als \[ diff --git a/buch/common/macros.tex b/buch/common/macros.tex index 7c82180..bb6e9b0 100644 --- a/buch/common/macros.tex +++ b/buch/common/macros.tex @@ -23,7 +23,9 @@ \vfill\pagebreak} \newenvironment{teilaufgaben}{ \begin{enumerate} -\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi})} +%\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi} }{\end{enumerate}} % Aufgabe \newcounter{problemcounter}[chapter] diff --git a/buch/common/test-common.tex b/buch/common/test-common.tex index 289e59c..3f49701 100644 --- a/buch/common/test-common.tex +++ b/buch/common/test-common.tex @@ -30,6 +30,7 @@ \usepackage{standalone} \usepackage{environ} \usepackage{tikz} +\usepackage{xr} \input{../common/linsys.tex} \newcounter{beispiel} \newenvironment{beispiele}{ diff --git a/buch/common/test3.tex b/buch/common/test3.tex index 8b24262..22d6b63 100644 --- a/buch/common/test3.tex +++ b/buch/common/test3.tex @@ -4,6 +4,7 @@ % (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST % \input{common/test-common.tex} +\externaldocument{buch} \begin{document} {\parindent0pt\hbox to\hsize{% diff --git a/buch/papers/common/addpapers.tex b/buch/papers/common/addpapers.tex index dd2b07a..eb353d7 100644 --- a/buch/papers/common/addpapers.tex +++ b/buch/papers/common/addpapers.tex @@ -3,7 +3,6 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\input{papers/000template/main.tex} \input{papers/lambertw/main.tex} \input{papers/fm/main.tex} \input{papers/parzyl/main.tex} diff --git a/buch/papers/common/paperlist b/buch/papers/common/paperlist index d4e5c20..f607279 100644 --- a/buch/papers/common/paperlist +++ b/buch/papers/common/paperlist @@ -1,4 +1,3 @@ -000template lambertw fm parzyl diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a0d7b34 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -0,0 +1,11 @@ +# +# Makefile to build images +# +# (c) 2022 +# + +dreieck.pdf: dreieck.tex dreieckdata.tex macros.tex + pdflatex dreieck.tex + +dreieckdata.tex: pk.m + octave pk.m diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..55f6a81 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\skala{1} + +\def\punkt#1#2{ + \fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08]; +} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{dreieckdata.tex} +\input{macros.tex} + +\def\punktbeschriftung{ + \node at (A) [above] {$A$}; + \node at (B) [left] {$B$}; + \node at (C) [right] {$C$}; + \node at (P) [below] {$P$}; +} + +\winkelKappa{gray} + +\winkelAlpha{red} +\winkelGamma{blue} +\winkelBeta{darkgreen} + +\winkelOmega{gray} +\winkelBetaEins{brown} + +\seiteC{black} +\seiteB{black} +\seiteA{black} + +\seiteL{gray} +\seitePB{gray} +\seitePC{gray} + +\draw[line width=1.4pt] \kanteAB; +\draw[line width=1.4pt] \kanteAC; +\draw[color=gray] \kanteAP; +\draw[line width=1.4pt] \kanteBC; +\draw[color=gray] \kanteBP; +\draw[color=gray] \kanteCP; + +\punkt{(A)}{black}; +\punkt{(B)}{black}; +\punkt{(C)}{black}; +\punkt{(P)}{gray}; + +\punktbeschriftung + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex new file mode 100644 index 0000000..c0fb720 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +\coordinate (P) at (0.0000,0.0000); +\coordinate (A) at (1.0000,8.0000); +\coordinate (B) at (-3.0000,3.0000); +\coordinate (C) at (4.0000,4.0000); +\def\kanteAB{(1.0000,8.0000) arc (114.77514:167.90524:7.1589)} +\def\kanteBA{(-3.0000,3.0000) arc (167.90524:114.77514:7.1589)} +\def\kanteAC{(1.0000,8.0000) arc (63.43495:10.30485:5.5902)} +\def\kanteCA{(4.0000,4.0000) arc (10.30485:63.43495:5.5902)} +\def\kanteAP{(1.0000,8.0000) arc (146.30993:199.44003:9.0139)} +\def\kantePA{(0.0000,0.0000) arc (199.44003:146.30993:9.0139)} +\def\kanteBC{(-3.0000,3.0000) arc (-95.90614:-67.83365:14.5774)} +\def\kanteCB{(4.0000,4.0000) arc (-67.83365:-95.90614:14.5774)} +\def\kanteBP{(-3.0000,3.0000) arc (-161.56505:-108.43495:4.7434)} +\def\kantePB{(0.0000,0.0000) arc (-108.43495:-161.56505:4.7434)} +\def\kanteCP{(4.0000,4.0000) arc (-30.96376:-59.03624:11.6619)} +\def\kantePC{(0.0000,0.0000) arc (-59.03624:-30.96376:11.6619)} diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.tex b/buch/papers/nav/images/macros.tex new file mode 100644 index 0000000..69a620d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/macros.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +\def\winkelAlpha#1{ + \begin{scope} + \clip (A) circle[radius=1.1]; + \fill[color=#1!20] \kanteAB -- \kanteCA -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(A)+(222:0.82)$) {$\alpha$}; +} + +\def\winkelOmega#1{ + \begin{scope} + \clip (A) circle[radius=0.7]; + \fill[color=#1!20] \kanteAP -- \kanteCA -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(A)+(285:0.50)$) {$\omega$}; +} + +\def\winkelGamma#1{ + \begin{scope} + \clip (C) circle[radius=1.0]; + \fill[color=#1!20] \kanteCA -- \kanteBC -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(C)+(155:0.60)$) {$\gamma$}; +} + +\def\winkelKappa#1{ + \begin{scope} + \clip (B) circle[radius=1.2]; + \fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteAB -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(B)+(15:1.00)$) {$\kappa$}; +} + +\def\winkelBeta#1{ + \begin{scope} + \clip (B) circle[radius=0.8]; + \fill[color=#1!20] \kanteBC -- \kanteAB -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(B)+(35:0.40)$) {$\beta$}; +} + +\def\winkelBetaEins#1{ + \begin{scope} + \clip (B) circle[radius=0.8]; + \fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteCB -- cycle; + \end{scope} + \node[color=#1] at ($(B)+(330:0.60)$) {$\beta_1$}; +} + +\def\seiteC#1{ \node[color=#1] at (-1.9,5.9) {$c$}; } +\def\seiteB#1{ \node[color=#1] at (3.2,6.5) {$b$}; } +\def\seiteL#1{ \node[color=#1] at (-0.2,4.5) {$l$}; } +\def\seiteA#1{ \node[color=#1] at (2,3) {$a$}; } +\def\seitePB#1{ \node[color=#1] at (-2.1,1) {$p_b$}; } +\def\seitePC#1{ \node[color=#1] at (2.5,1.5) {$p_c$}; } diff --git a/buch/papers/nav/images/pk.m b/buch/papers/nav/images/pk.m new file mode 100644 index 0000000..6e89e9a --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/pk.m @@ -0,0 +1,55 @@ +# +# pk.m -- Punkte und Kanten für sphärisches Dreieck +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +A = [ 1, 8 ]; +B = [ -3, 3 ]; +C = [ 4, 4 ]; +P = [ 0, 0 ]; + +global fn; +fn = fopen("dreieckdata.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\coordinate (P) at (%.4f,%.4f);\n", P(1,1), P(1,2)); +fprintf(fn, "\\coordinate (A) at (%.4f,%.4f);\n", A(1,1), A(1,2)); +fprintf(fn, "\\coordinate (B) at (%.4f,%.4f);\n", B(1,1), B(1,2)); +fprintf(fn, "\\coordinate (C) at (%.4f,%.4f);\n", C(1,1), C(1,2)); + +function retval = seite(A, B, l, nameA, nameB) + global fn; + d = fliplr(B - A); + d(1, 2) = -d(1, 2); + # Zentrum + C = 0.5 * (A + B) + l * d; + # Radius: + r = hypot(C(1,1)-A(1,1), C(1,2)-A(1,2)) + # Winkel von + winkelvon = atan2(A(1,2)-C(1,2),A(1,1)-C(1,1)); + # Winkel bis + winkelbis = atan2(B(1,2)-C(1,2),B(1,1)-C(1,1)); + if (abs(winkelvon - winkelbis) > pi) + if (winkelbis < winkelvon) + winkelbis = winkelbis + 2 * pi + else + winkelvon = winkelvon + 2 * pi + end + end + # Kurve + fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n", + nameA, nameB, + A(1,1), A(1,2), winkelvon * 180 / pi, winkelbis * 180 / pi, r); + fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n", + nameB, nameA, + B(1,1), B(1,2), winkelbis * 180 / pi, winkelvon * 180 / pi, r); +endfunction + +seite(A, B, -1, "A", "B"); +seite(A, C, 1, "A", "C"); +seite(A, P, -1, "A", "P"); +seite(B, C, -2, "B", "C"); +seite(B, P, -1, "B", "P"); +seite(C, P, 2, "C", "P"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/papers/zeta/Makefile.inc b/buch/papers/zeta/Makefile.inc index 11c7697..14babe2 100644 --- a/buch/papers/zeta/Makefile.inc +++ b/buch/papers/zeta/Makefile.inc @@ -7,8 +7,7 @@ dependencies-zeta = \ papers/zeta/packages.tex \ papers/zeta/main.tex \ papers/zeta/references.bib \ - papers/zeta/teil0.tex \ - papers/zeta/teil1.tex \ - papers/zeta/teil2.tex \ - papers/zeta/teil3.tex + papers/zeta/einleitung.tex \ + papers/zeta/analytic_continuation.tex \ + papers/zeta/zeta_gamma.tex \ diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex new file mode 100644 index 0000000..bb95b92 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -0,0 +1,264 @@ +\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung} +\rhead{Analytische Fortsetzung} + +%TODO missing Text + +\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0} +Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als +\begin{equation}\label{zeta:equation:eta} + \eta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, +\end{equation} +wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist. +Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind. + +Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung. +Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt: +\begin{align} + \zeta(s) + &= + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} + \\ + \frac{1}{2^{s-1}} + \zeta(s) + &= + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2} + \\ + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) + \zeta(s) + &= + \frac{1}{1^s} + \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}} + + \frac{1}{3^s} + \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}} + \ldots + && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}} + \\ + &= \eta(s) + \\ + \zeta(s) + &= + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). +\end{align} + +\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz} +Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}. +Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als +\begin{equation} + \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) + = + \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt. +\end{equation} +Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten +\begin{align} + \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) + &= + \int_0^{\infty} + (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} + x^{\frac{s}{2}-1} + e^{-\pi n^2 x} + dx + && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} + \\ + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s} + &= + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + e^{-\pi n^2 x} + dx + && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} + \\ + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \sum_{n=1}^{\infty} + e^{-\pi n^2 x} + dx. \label{zeta:equation:integral1} +\end{align} +Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$. +%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal +Es gilt +\begin{equation}\label{zeta:equation:psi} + \psi(x) + = + - \frac{1}{2} + + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. +\end{equation} + +Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als +\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2} + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx, +\end{equation} +wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. +Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten +\begin{align} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \left( + - \frac{1}{2} + + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. + \right) + dx + \\ + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi \left( \frac{1}{x} \right) + + \frac{1}{2} + \left( + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + dx + \\ + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi \left( \frac{1}{x} \right) + dx + + \frac{1}{2} + \int_0^1 + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + dx. \label{zeta:equation:integral3} +\end{align} +Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als +\begin{equation} + \frac{1}{2} + \int_0^1 + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + dx + = + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} +Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form. +Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$. +Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$. +Dies ergibt +\begin{align} + \int_{\infty}^{1} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{-du}{u^2} + &= + \int_{1}^{\infty} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{du}{u^2} + \\ + &= + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, +\end{align} +wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen. +Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. +Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten +\begin{equation} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx + + + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} +Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich +\begin{align} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \nonumber + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{-1}{s(1-s)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{\frac{1-s}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}} + \right) + \frac{\psi(x)}{x} + dx, +\end{align} +zu erhalten. +Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird. +Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als +\begin{equation}\label{zeta:equation:functional} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + = + \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} + \zeta(1-s). +\end{equation} + diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..3b70531 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +\section{Einleitung} \label{zeta:section:einleitung} +\rhead{Einleitung} + +Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexe $s$ mit $\Re(s) > 1$ definiert als +\begin{equation}\label{zeta:equation1} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s}. +\end{equation} + diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex index 1d9e059..e0ea8e1 100644 --- a/buch/papers/zeta/main.tex +++ b/buch/papers/zeta/main.tex @@ -3,34 +3,16 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:zeta}} -\lhead{Thema} +\chapter{Riemannsche Zetafunktion\label{chapter:zeta}} +\lhead{Riemannsche Zetafunktion} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Raphael Unterer} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +%TODO Einleitung -\input{papers/zeta/teil0.tex} -\input{papers/zeta/teil1.tex} -\input{papers/zeta/teil2.tex} -\input{papers/zeta/teil3.tex} +\input{papers/zeta/einleitung.tex} +\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex} +\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/zeta/teil0.tex b/buch/papers/zeta/teil0.tex deleted file mode 100644 index 56c0b1b..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{zeta:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{zeta:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/zeta/teil1.tex b/buch/papers/zeta/teil1.tex deleted file mode 100644 index 4017ee8..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{zeta:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{zeta:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{zeta:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{zeta:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{zeta:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/zeta/teil2.tex b/buch/papers/zeta/teil2.tex deleted file mode 100644 index 9e8a96e..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{zeta:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{zeta:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/zeta/teil3.tex b/buch/papers/zeta/teil3.tex deleted file mode 100644 index 6610cc3..0000000 --- a/buch/papers/zeta/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{zeta:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{zeta:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..59c8744 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} +\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion} + +Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her. + +%TODO ref Gamma +Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion +\begin{align} + \Gamma(s) + &= + \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt + \\ + &= + \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du + && + \text{Division durch }n^s + \\ + \frac{\Gamma(s)}{n^s} + &= + \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du + && + \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} + \\ + \Gamma(s) \zeta(s) + &= + \int_0^{\infty} u^{s-1} + \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu} + du. + \label{zeta:equation:zeta_gamma1} +\end{align} +Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten +\begin{align} + \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n} + &= + \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n} + - + 1 + \\ + &= + \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1 + \\ + &= + \frac{1}{e^u - 1}. +\end{align} +Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir +\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final} + \zeta(s) + = + \frac{1}{\Gamma(s)} + \int_0^{\infty} + \frac{u^{s-1}}{e^u -1} + du. +\end{equation} diff --git a/vorlesungen/04_fresnel/common.tex b/vorlesungen/04_fresnel/common.tex index 418b7a5..f4d919b 100644 --- a/vorlesungen/04_fresnel/common.tex +++ b/vorlesungen/04_fresnel/common.tex @@ -9,8 +9,8 @@ \usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} } \beamertemplatenavigationsymbolsempty -\title[Klothoide]{Klothoide} -\author[N.~Eswararajah]{Nilakshan Eswararajah} +\title[Klothoide]{Fresnel-Integrale und Klothoide} +\author[A.~Müller]{Prof.~Dr.~Andreas Müller} \date[]{9.~Mai 2022} \newboolean{presentation} diff --git a/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex b/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex index 5a7cce2..a46fe9e 100644 --- a/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex +++ b/vorlesungen/04_fresnel/slides.tex @@ -3,4 +3,8 @@ % % (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{fresnel/test.tex} +\folie{fresnel/integrale.tex} +\folie{fresnel/numerik.tex} +\folie{fresnel/kruemmung.tex} +\folie{fresnel/klothoide.tex} +\folie{fresnel/apfel.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile new file mode 100644 index 0000000..77ad9a2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: eulerpath.tex + +eulerpath.tex: eulerspirale.m + octave eulerspirale.m diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc index c17b654..b6d11f0 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/Makefile.inc @@ -4,4 +4,8 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterfresnel = \ - ../slides/fresnel/test.tex + ../slides/fresnel/integrale.tex \ + ../slides/fresnel/kruemmung.tex \ + ../slides/fresnel/klothoide.tex \ + ../slides/fresnel/numerik.tex \ + ../slides/fresnel/apfel.tex diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..96b975d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f413852 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.png diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.tex new file mode 100644 index 0000000..090c3d5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/apfel.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% apfel.tex -- Apfelschale als Klothoide +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\input{../slides/fresnel/eulerpath.tex} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Apfelschale} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope} +\clip(-1,-1) rectangle (7,6); +\uncover<2->{ +\node at (3.1,2.2) [rotate=-3] + {\includegraphics[width=9.4cm]{../slides/fresnel/apfel.png}}; +} +\end{scope} +\draw[color=gray!50] (0,0) rectangle (4,4); +\draw[->] (-0.5,0) -- (7.5,0) coordinate[label={$C(t)$}]; +\draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.0) coordinate[label={left:$S(t)$}]; +\uncover<3->{ +\begin{scope}[scale=8] +\draw[color=red,opacity=0.5,line width=1.4pt] \fresnela; +\end{scope} +} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex index dc5d031..916a3a9 100644 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/chapter.tex @@ -3,4 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\folie{fresnel/test.tex} +\folie{fresnel/integrale.tex} +\folie{fresnel/kruemmung.tex} +\folie{fresnel/klothoide.tex} +\folie{fresnel/numerik.tex} +\folie{fresnel/apfel.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/eulerpath.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerpath.tex new file mode 100644 index 0000000..ecd0b2b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerpath.tex @@ -0,0 +1,4012 @@ +\def\fresnela{ (0,0) + -- (0.0100,0.0000) + -- (0.0200,0.0000) + -- (0.0300,0.0000) + -- (0.0400,0.0000) + -- (0.0500,0.0001) + -- (0.0600,0.0001) + -- (0.0700,0.0002) + -- (0.0800,0.0003) + -- (0.0900,0.0004) + -- (0.1000,0.0005) + -- (0.1100,0.0007) + -- (0.1200,0.0009) + -- (0.1300,0.0012) + -- (0.1400,0.0014) + -- (0.1500,0.0018) + -- (0.1600,0.0021) + -- (0.1700,0.0026) + -- (0.1800,0.0031) + -- (0.1899,0.0036) + -- (0.1999,0.0042) + -- (0.2099,0.0048) + -- (0.2199,0.0056) + -- (0.2298,0.0064) + -- (0.2398,0.0072) + -- (0.2498,0.0082) + -- (0.2597,0.0092) + -- (0.2696,0.0103) + -- (0.2796,0.0115) + -- (0.2895,0.0128) + -- (0.2994,0.0141) + -- (0.3093,0.0156) + -- (0.3192,0.0171) + -- (0.3290,0.0188) + -- (0.3389,0.0205) + -- (0.3487,0.0224) + -- (0.3585,0.0244) + -- (0.3683,0.0264) + -- (0.3780,0.0286) + -- (0.3878,0.0309) + -- (0.3975,0.0334) + -- (0.4072,0.0359) + -- (0.4168,0.0386) + -- (0.4264,0.0414) + -- (0.4359,0.0443) + -- (0.4455,0.0474) + -- (0.4549,0.0506) + -- (0.4644,0.0539) + -- (0.4738,0.0574) + -- (0.4831,0.0610) + -- (0.4923,0.0647) + -- (0.5016,0.0686) + -- (0.5107,0.0727) + -- (0.5198,0.0769) + -- (0.5288,0.0812) + -- 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({-4.9000*\dx},{-0.4351*\dy}) + -- ({-4.9100*\dx},{-0.4360*\dy}) + -- ({-4.9200*\dx},{-0.4384*\dy}) + -- ({-4.9300*\dx},{-0.4423*\dy}) + -- ({-4.9400*\dx},{-0.4476*\dy}) + -- ({-4.9500*\dx},{-0.4541*\dy}) + -- ({-4.9600*\dx},{-0.4618*\dy}) + -- ({-4.9700*\dx},{-0.4703*\dy}) + -- ({-4.9800*\dx},{-0.4795*\dy}) + -- ({-4.9900*\dx},{-0.4892*\dy}) +} + diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m new file mode 100644 index 0000000..84e3696 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/eulerspirale.m @@ -0,0 +1,61 @@ +# +# eulerspirale.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +# +global n; +n = 1000; +global tmax; +tmax = 10; +global N; +N = round(n*5/tmax); + +function retval = f(x, t) + x = pi * t^2 / 2; + retval = [ cos(x); sin(x) ]; +endfunction + +x0 = [ 0; 0 ]; +t = tmax * (0:n) / n; + +c = lsode(@f, x0, t); + +fn = fopen("eulerpath.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fclose(fn); diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex new file mode 100644 index 0000000..906aec1 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/integrale.tex @@ -0,0 +1,119 @@ +% +% integrale.tex -- Definition der Fresnel Integrale +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\input{../slides/fresnel/eulerpath.tex} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Fresnel-Integrale} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Fresnel-Integrale: +\begin{align*} +\color{red}S(t) +&= +\int_0^t \sin\biggl(\frac{\pi\tau^2}2\biggr)\,d\tau +\\ +\color{blue}C(t) +&= +\int_0^t \cos\biggl(\frac{\pi\tau^2}2\biggr)\,d\tau +\end{align*} +\uncover<3->{% +Können nicht in geschlossener Form ausgewertet werden. +} +\end{block} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Euler-Spirale} +\[ +\gamma_a(t) += +\begin{pmatrix} +C_a(t)\\S_a(t) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\displaystyle +\int_0^t \cos (a\tau^2)\,d\tau\\[8pt] +\displaystyle +\int_0^t \sin (a\tau^2)\,d\tau +\end{pmatrix} +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<2-4>{% +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=1] +\def\dx{0.6} +\def\dy{1.5} + +\begin{scope} + \draw[color=gray!50] (0,{0.5*\dy}) -- (3,{0.5*\dy}); + \draw[color=gray!50] (0,{-0.5*\dy}) -- (-3,{-0.5*\dy}); + \draw[->] (-3,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$t$}]; + \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) coordinate[label={left:$S(t)$}]; + \draw (-0.1,{0.5*\dy}) -- (0.1,{0.5*\dy}); + \node at (-0.1,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; + \draw (-0.1,{-0.5*\dy}) -- (0.1,{-0.5*\dy}); + \node at (0.1,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; + \draw[color=red,line width=1.4pt] \Splotright; + \draw[color=red,line width=1.4pt] \Splotleft; +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-3.4cm] + \draw[color=gray!50] (0,{0.5*\dy}) -- (3,{0.5*\dy}); + \draw[color=gray!50] (0,{-0.5*\dy}) -- (-3,{-0.5*\dy}); + \draw[->] (-3,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$t$}]; + \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) coordinate[label={left:$C(t)$}]; + \draw (-0.1,{0.5*\dy}) -- (0.1,{0.5*\dy}); + \node at (-0.1,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; + \draw (-0.1,{-0.5*\dy}) -- (0.1,{-0.5*\dy}); + \node at (0.1,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] \Cplotright; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] \Cplotleft; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +}}{} +\uncover<5->{% +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=3.5] + +\draw[color=gray!50] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5); + +\draw[->] (-0.8,0) -- (0.9,0) coordinate[label={$\color{blue}C(t)$}]; +\draw[->] (0,-0.8) -- (0,0.9) coordinate[label={right:$\color{red}S(t)$}]; + +\draw[color=darkgreen,line width=1.0pt] \fresnela; +\draw[color=darkgreen,line width=1.0pt] \fresnelb; + +\fill[color=orange] (0.5,0.5) circle[radius=0.02]; +\fill[color=orange] (-0.5,-0.5) circle[radius=0.02]; + +\draw (0.5,-0.02) -- (0.5,0.02); +\node at (0.5,-0.02) [below right] {$\frac12$}; + +\draw (-0.5,-0.02) -- (-0.5,0.02); +\node at (-0.5,0.02) [above left] {$-\frac12$}; + +\draw (-0.01,0.5) -- (0.02,0.5); +\node at (-0.02,0.5) [above left] {$\frac12$}; + +\draw (-0.02,-0.5) -- (0.02,-0.5); +\node at (0.02,-0.5) [below right] {$-\frac12$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex new file mode 100644 index 0000000..bf43644 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/klothoide.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% klothoide.tex -- Klothoide +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Klothoide} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Krümmung der Euler-Spirale} +\begin{align*} +\frac{d}{dt}\gamma_1(t) +&= +\dot{\gamma}_1(t) += +\begin{pmatrix} +\cos t^2\\ +\sin t^2 +\end{pmatrix} +\intertext{\uncover<2->{Bogenlänge:}} +\uncover<2->{ +|\dot{\gamma}_1(t)| +&= +\sqrt{\cos^2 t^2 + \sin^2 t^2} += +1 +} +\intertext{\uncover<3->{Polarwinkel:}} +\uncover<3->{ +\varphi&=t^2 +\intertext{\uncover<4->{Krümmung:}} +\uncover<4->{ +\frac{d\varphi}{dt} +&= +2t +} +} +\end{align*} +\uncover<5->{% +$\Rightarrow$ Krümmung ist proportional zur Bogenlänge +} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Definition} +Eine Kurve, deren Krümmung proportional zur Bogenlänge ist, heisst +{\em Klothoide} +\end{block}} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Anwendung} +\begin{itemize} +\item<8-> +Strassenbau: Um mit konstanter Geschwindigkeit auf einer +Klothoide zu fahren, muss man das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit +drehen +\item<9-> +Apfel + Sparschäler +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex new file mode 100644 index 0000000..06f6b9b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/kruemmung.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +% +% kruemmung.tex -- Kruemmung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Krümmung einer Kurve} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Krümmungsradius} +Bogen und Radius: +\[ +s=r\cdot\Delta\varphi +\uncover<2->{ +\quad +\Rightarrow +\quad +r += +\frac{s}{\Delta\varphi} +} +\] +\end{block} +\vspace*{-12pt} +\uncover<3->{ +\begin{block}{Krümmung} +Je grösser der Krümmungsradius, desto kleiner die Krümmung: +\[ +\kappa = \frac{1}{r} +\] +\end{block}} +\vspace*{-12pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Definition} +Änderungsgeschwindigkeit des Polarwinkels der Tangente +\[ +\kappa += +\frac{1}{r} +\uncover<6->{= +\frac{\Delta\varphi}{s}} +\uncover<7->{= +\frac{d\varphi}{dt}} +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\begin{scope} +\clip (-1,-1) rectangle (4,4); + +\def\r{3} +\def\winkel{30} + +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:\r) arc (0:\winkel:\r) -- cycle; +\node[color=blue] at ({0.5*\winkel}:{0.5*\r}) {$\Delta\varphi$}; + +\draw[line width=0.3pt] (0,0) circle[radius=\r]; + +\draw[->] (0,0) -- (0:\r); +\draw[->] (0,0) -- (\winkel:\r); + +\uncover<4->{ +\draw[->] (0:\r) -- ($(0:\r)+(90:0.7*\r)$); +\draw[->] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+({90+\winkel}:0.7*\r)$); +} + +\draw[color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:\winkel:\r); +\node[color=red] at ({0.5*\winkel}:\r) [left] {$s$}; +\fill[color=red] (0:\r) circle[radius=0.05]; +\fill[color=red] (\winkel:\r) circle[radius=0.05]; + +\node at (\winkel:{0.5*\r}) [above] {$r$}; +\node at (0:{0.5*\r}) [below] {$r$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\uncover<4->{% +Für $\varphi$ kann man auch den Polarwinkel des Tangentialvektors nehmen +} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex new file mode 100644 index 0000000..0bd4d5a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/fresnel/numerik.tex @@ -0,0 +1,124 @@ +% +% numerik.tex -- numerische Berechnung der Fresnel Integrale +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Numerik} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Taylor-Reihe} +\begin{align*} +\sin t^{\uncover<2->{\color<2>{red}2}} +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{ +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<1>{2k+1}}{} +\only<2->{\color<2>{red}4k+2} +} +}{ +(2k+1)! +} +\\ +%\int \sin t^2\,dt +\uncover<4->{ +S_1(t) +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{4k+3}}{(2k+1)!(4n+3)} +} +\\ +\cos t^{\uncover<3->{\color<3>{red}2}} +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{ +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<-2>{2k}}{} +\only<3->{\color<3>{red}4k}} +}{ +(2k)! +} +\\ +%\int \sin t^2\,dt +\uncover<5->{ +C_1(t) +&= +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \frac{t^{4k+1}}{(2k)!(4k+1)} +} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{ +\begin{block}{Differentialgleichung} +\[ +\dot{\gamma}_1(t) += +\begin{pmatrix} +\cos t^2\\ \sin t^2 +\end{pmatrix} +\uncover<7->{ +\; +\to +\; +\gamma_1(t) += +\begin{pmatrix} +C_1(t)\\S_1(t) +\end{pmatrix} +} +\] +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Hypergeometrische Reihen} +\begin{align*} +\uncover<9->{% +S(t) +&= +\frac{\pi z^3}{6} +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr) +} +\\ +\uncover<10->{ +C(t) +&= +z +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr)} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Komplexe Fehlerfunktion} +\[ +\left. +\begin{matrix} +S(z)\\ +C(z) +\end{matrix} +\right\} += +\frac{1\pm i}{4} +\left( +\operatorname{erf}\biggl({\frac{1+i}2}\sqrt{\pi}z\biggr) +\mp i +\operatorname{erf}\biggl({\frac{1-i}2}\sqrt{\pi}z\biggr) +\right) +\] +\end{block}} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/fresnel/test.tex b/vorlesungen/slides/fresnel/test.tex deleted file mode 100644 index 6c2f25b..0000000 --- a/vorlesungen/slides/fresnel/test.tex +++ /dev/null @@ -1,19 +0,0 @@ -% -% template.tex -- slide template -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\bgroup -\begin{frame}[t] -\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} -\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Template für Klothoide} -\vspace{-20pt} -\begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} -\end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} -\end{column} -\end{columns} -\end{frame} -\egroup diff --git a/vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf b/vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9f06bdc --- /dev/null +++ b/vorlesungsnotizen/B/8 - Integration in geschlossener Form.pdf diff --git a/vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf b/vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8537524 --- /dev/null +++ b/vorlesungsnotizen/MSE/5 - Elliptische Funktionen.pdf |
