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diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex index 164bc41..05061d1 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex @@ -40,8 +40,8 @@ Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbeben $w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben. Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$. $N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. -Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in den Sperrbereich. -Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung. +Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang im Sperrbereich. +Grössere $N$ erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung. Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$. Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. @@ -63,7 +63,7 @@ Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Ti \end{align} Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft. -Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. +Es scheint so, als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. In vielen Anwendung sind Filter mit einem steilen Übergang gewünscht. Da es technisch nicht möglich ist, mit einer rationalen Funktion mit begrenzter Anzahl Pole eine steile Flanke zu erreichen, während der Durchlass- und Sperrbereich flach und monoton sind, gibt es Filtertypen, die absichtlich Welligkeiten in der Frequenzantwort aufweisen. diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index dd64a3c..651d6bc 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} \begin{align} - R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ + R_N(w, \xi) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) \end{align} @@ -52,7 +52,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Fun \end{figure} Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. -Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. +Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde, z.B. $\mathrm{Im(z) = 3K^\prime}$. Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. \subsection{Gradgleichung} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 327c5e7..84095a7 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -3,17 +3,17 @@ Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \ref{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: -\begin{align} +\begin{align*} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x). -\end{align} +\end{align*} Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion \begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ - &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) + &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials2} \end{align} übereinstimmen. Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. @@ -90,7 +90,7 @@ Das gleiche Muster kommt daher periodisch vor. Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion. -In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. +In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials2} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. Die Skalierung hat zur Folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. \begin{figure} |