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diff --git a/buch/.gitignore b/buch/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..86604da --- /dev/null +++ b/buch/.gitignore @@ -0,0 +1,19 @@ +*.aux +*.bbl +*.bib +*.blg +*.idx +*.ilg +*.ind +*.log +*.out +*.rpt +buch*.pdf +*.run.xml +*.toc +.build/ +*.synctex.gz +*.DS_Store + + +*.synctex(busy)
\ No newline at end of file diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc index 5840050..2c4e046 100644 --- a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc @@ -5,4 +5,7 @@ # CHAPTERFILES += \ - chapters/000-einleitung/chapter.tex + chapters/000-einleitung/chapter.tex \ + chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex \ + chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex \ + chapters/000-einleitung/inhalt.tex diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex index 559a468..e53eafb 100644 --- a/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex @@ -7,110 +7,8 @@ \lhead{Einleitung} \rhead{} \addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung} -Eine Polynomgleichung wie etwa -\begin{equation} -p(x) = ax^2+bx+c = 0 -\label{buch:einleitung:quadratisch} -\end{equation} -kann manchmal dadurch gelöst werden, dass man die Nullstellen errät -und damit eine Faktorisierung $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ konstruiert. -Doch im Allgemeinen wird man die Lösungsformel für quadratische -Gleichungen verwenden, die auf quadratischem Ergänzen basiert. -Es erlaubt die Gleichung~\eqref{buch:einleitung:quadratisch} umzwandeln in -\[ -\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 -= --\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} -= -\frac{b^2-4ac}{4a^2}. -\] -Um diese Gleichung nach $x$ aufzulösen, muss man die inverse Funktion -der Quadratfunktion zur Verfügung haben, die Wurzelfunktion. -Dies ist wohl das älteste Beispiel einer speziellen Funktion, -die man zu dem Zweck eingeführt hat, spezielle algebraische Gleichungen -lösen zu können. -Sie liefert die bekannte Lösungsformel -\[ -x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} -\] -für die quadratische Gleichung. - -Durch die Definition der Wurzelfunktion ist das Problem der numerischen -Berechnung der Nullstelle natürlich noch nicht gelöst, aber man hat -ein handliches mathematisches Symbol gewonnen, mit dem man die Lösungen -übersichtlich beschreiben und algebraisch manipulieren kann. -Diese Idee steht hinter allen weiteren in diesem Buch diskutierten -Funktionen: wann immer ein wichtiges mathematisches Konzept sich nicht -direkt durch die bereits entwickelten Funktionen ausdrücken lässt, -erfindet man dafür eine neue Funktion oder Familie von Funktionen. -Beispielsweise hat sich die Darstellung von Zahlen $x$ als Potenzen -einer gemeinsamen Basis, zum Beispiel $x=10^y$, als sehr nützlich -herausgestellt, um Multiplikationen auf die von Hand leichter -ausführbaren Additionen zurückzuführen. -Man braucht also die Fähigkeit, die Abhängigkeit des Exponenten $y$ -von $x$ auszudrücken, mit anderen Worten, man braucht die Logarithmusfunktion. - -Spezielle Funktionen wie die Wurzelfunktion und die Logarithmusfunktion -werden also zu Bausteinen, die in der Lösung algebraischer oder auch -analytischer Probleme verwendet werden können. -Die Erfahrung zeigt, dass diese Funktionen immer wieder nützlich -sind, es lohnt sich also, ihre Berechnung zum Beispiel in einer -Bibliothek zu implementieren. -Spezielle Funktionen sind in diesem Sinn eine mathematische Form -des informatischen Prinzips des ``code reuse''. - -Die trigonometrischen Funktionen kann man als Lösungen des geometrischen -Problems der Parametrisierung eines Kreises verstehen. -Alternativ kann man $\sin x$ und $\cos x$ als spezielle Lösungen der -Differentialgleichung $y''=-y$ verstehen. -Viele andere Funktionen wie die hyperbolischen Funktionen oder die -Bessel-Funktionen sind ebenfalls Lösungen spezieller Differentialgleichungen. -Auch die Theorie der partiellen Differentialgleichungen gibt Anlass -zu interessanten Lösungsfunktionen. -Die Separation des Poisson-Problems in Kugelkoordinaten führt zum Beispiel -auf die Kugelfunktionen, mit denen sich beliebige Funktionen auf einer -Kugeloberfläche analysieren und synthetisieren lassen. - -Die Lösungen einer linearer gewöhnlicher Differentialgleichung können -oft mit Hilfe von Potenzreihen dargestellt werden. -So kann man zum Beispiel die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion -und der trigonometrischen Funktionen finden. -Die Konvergenz einer Potenzreihe wird aber durch Singularitäten -eingeschränkt. -Komplexe Potenzreihen ermöglichen aber, solche Stellen zu ``umgehen''. -Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen bildet einen -allgemeinen Rahmen, mit solchen Funktionen umzugehen und ist zum -Beispiel nötig, um die Bessel-Funktionen der zweiten Art zu konstruieren, -die ebenfalls Lösungen ger Bessel-Gleichung sind, aber bei $x=0$ -eine Singularität aufweisen. - -Die Stammfunktion $F(x)$ einer gegebenen Funktion $f(x)$ ist natürlich -auch die Lösung der besonders einfachen Differentialgleichung $F'=f$. -Ein bekanntes Beispiel ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte -\[ -\varphi(x) -= -\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\] -der Normalverteilung, für die aber keine geschlossene Darstellung -mit bekannten Funktionen bekannt ist. -Sie kann aber durch die Fehlerfunktion -\[ -\operatorname{erf}(x) -= -\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt -\] -dargestellt werden. -Mit dem Risch-Algorithmus kann man nachweisen, dass es tatsächlich -keine Möglichkeit gibt, die Stammfunktion in geschlossener Form durch -die bereits bekannten Funktionen darzustellen, die Definition einer -neuen speziellen Funktion ist also der einzige Ausweg. -Die Fehlerfunktion ist heute in der Standardbibliothek enthalten auf -gleicher Stufe wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen, -Exponentialfunktionen oder Logarithmen. - -Die nachstehenden Kapitel sollen die vielfältigen Arten illustrieren, -wie diese Prinzipien zu neuen und nützlichen speziellen Funktionen -und ihren Anwendungen führen können. +\input{chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex} +\input{chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex} +\input{chapters/000-einleitung/inhalt.tex} diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex b/buch/chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex new file mode 100644 index 0000000..e684f82 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex @@ -0,0 +1,74 @@ +% +% Der Funktionsbegriff +% +\subsection*{Der mathematische Funktionsbegriff} +Der moderne mathematische Funktionsbegriff ist die Krönungn einer +langen Entwicklung. +Erste Ansätze sind in der Darstellung voneinander abhängiger Grössen +in einem Koordinatensystem durch Nikolaus von Oresme im 14.~Jahrhundert +zu erkennen. +Dieser Ansatz, Funktionen einfach nur als Kurven zu betrachten, +war bis ins 17.~Jahrhundert verbreitet. +Der Begriff {\em Funktion} selbst geht wahrscheinlich auf Leibniz +zurück. + +Euler verwendete den Begriff oft austauschbar für zwei im Prinzip +verschiedene Vorstellungen. +Einerseits sah er jeden ``analytischen Ausdruck'' in einer Variablen +$x$ als eine Funktion an, andererseits betrachtete er eine in einem +Koordinatensystem freihändig gezeichnete Kurve als eine Funktion. +Heute unterscheiden wir zwischen der Funktion, also der Zuordnung +von $x$ zu den Funktionswerten $f(x)$ und dem Graphen, also der +von Paaren $(x,f(x))$ gebildeten Kurve in einem Koordinatensystem. +Nach letzterer Vorstellung ist auch die Wurzelfunktion, +die Umkehrfunktion der Quadratfunktion, $f(x)=x^2$ eine Funktion. +Da zu jedem Argument zwei verschiedene Werte $\pm\sqrt{x}$ +für die Wurzel möglich sind, lässt sich diese ``Funktion'' nicht +durch einen ``analytischen Ausdruck'' beschrieben. +Euler beschrieb diese Situation als {\em mehrdeutige Funktion}. + +Was ``analytische Ausdrücke'' alles umfassen sollen, ist ebenfalls +nicht scharf definiert. +Dahinter verbergen sich viele versteckte Annahmen, zum Beispiel +dass Funktionen automatisch stetig und möglicherweise sogar +differenzierbar sind. +Für Lagrange waren nur Funktionen akzeptabel, die durch Potenzreihen +definiert waren, solche Funktionen nennen wir heute {\em analytisch}. +Die Wahl von Potenzreihen zur Definition von Funktion ist einerseits +willkürlich, warum nicht Linearkombinationen von trigonometrischen +Funktionen? +Andererseits gibt es beliebig oft differenzierbare Funktionen, +deren Potenzreihe nicht gegen die Funktion konvergiert. + +Im 19.~Jahrhundert erfuhr die Analysis eine Reformierung. +Ausgehend vom nun präzis gefassten Grenzwertbegriff wurden Stetigkeit +und Differenzierbarkeit als eigenständige Eigenschaften von +Funktionen erkannt. +Eine Funktion war jetzt nur noch eine eindeutige Zuordnung +$x\mapsto f(x)$. +Stetigkeit ist die Eigenschaft, dass der Grenzwert in einem +Punkt des Definitionsbereichs existiert und mit dem Funktionswert +in diesem Punkt übereinstimmt. +Später wurden auch Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit als +Eigenschaften von Funktionen erkannt, die vorhanden sein können, +aber nicht müssen. + +Der nun präzis gefasste Funktionsbegriff ist nur selten direkt anwendbar. +In der Physik treten Funktionen als Lösungen von Differentialgleichungen +auf. +Sie sind also immer mindestens differenzierbar, haben aber typischerweise +noch viele weitere Eigenschaften. +So sind zum Beispiel die Lösungen der Differentialgleichung +$y''=-n^2 y$ auf dem Intervall $[-\pi,\pi]$ die Funktionen +$\sin(nx)$ und $\cos(nx)$ für $n\in\mathbb{N}$. +Wie Fourier herausgefunden hat, lässt sich jede stetige $2\pi$-periodische +Funktion als Linearkombination dieser Funktionen approximieren. + +Eine Familie von Differentialgleichungen, die durch wenige Parameter +charakterisiert ist, führt auch zu einer Familie von Lösungsfunktionen, die +sich durch die gleichen Parameter beschreiben lassen. +Sie ist unmittelbar nützlich, da sie jedes Anwendungsproblem löst, +welches durch diese Differentialgleichung modelliert werden kann. +In diesem Sinne ist eine solche spezielle Funktionenfamilie interessanter +als eine beliebige differenzierbare Funktion. + diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/inhalt.tex b/buch/chapters/000-einleitung/inhalt.tex new file mode 100644 index 0000000..1b9f35b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/000-einleitung/inhalt.tex @@ -0,0 +1,153 @@ +% +% Was ist zu erwarten +% +\subsection*{Was ist zu erwarten?} +Spezielle Funktionen wie die eben angedeuteten werden also zu +Bausteinen, die in der Lösung algebraischer oder auch analytischer +Probleme verwendet werden können. +Die Erfahrung zeigt, dass diese Funktionen immer wieder nützlich +sind, es lohnt sich also, ihre Berechnung zum Beispiel in einer +Bibliothek zu implementieren. +Spezielle Funktionen sind in diesem Sinn eine mathematische Form +des informatischen Prinzips des ``code reuse''. + +Die nachstehenden Kapitel sollen die vielfältigen Arten illustrieren, +wie diese Prinzipien zu neuen und nützlichen speziellen Funktionen +und ihren Anwendungen führen können. +Hier eine kurze Übersicht über ihren Inhalt. +\begin{enumerate} +\item +Potenzen und Wurzeln: Potenzen und Polynome sind die einfachsten +Funktionen, die sich unmittelbar aus den arithmetischen Operationen +konstruieren lassen. +Die zugehörigen Umkehrfunktionen sind die Wurzelfunktionen, +sie lösen gewisse algebraische Gleichungen. +Aus den Polynomen lassen sich weiter rationale Funktionen und +Potenzreihen konstruieren, die als wichtige Werkzeuge zur Konstruktion +spezieller Funktionen in späteren Kapiteln sind. +\item +Exponentialfunktion und Exponentialgleichungen. +Die Exponentialfunktion entsteht aus dem Zinsproblem durch Grenzwert, +die Jost Bürgi zur Berechnung seiner Logarithmentabelle verwendet hat. +Hier zeigt sich die Nützlichkeit spezieller Funktionen als Grundlage +für die numerische Rechnung: Logarithmentafeln waren über Jahrhunderte +das zentrale Werkzeug für die Durchführung numerischer Rechnung. +Besonders nützlich ist aber auch die Potenzreihendarstellung der +Exponentialdarstellung, die meist für die numerische Berechnung +verwendet wird. +Die Lambert-$W$-schliesslich löst gewisse Exponentialgleichungen. +\item +Spezielle Funktionen aus der Geometrie. +Dieses Kapitel startet mit der langen Geschichte der trigonometrischen +Funktionen, den wahrscheinlich wichtigsten speziellen Funktionen für +geometrische Anwendungen. +Es führt aber auch die Kegelschnitte, die hyperbolischen Funktionen +und andere Parametrisierungen der Kegelschnitte ein, die später +wichtig werden. +Es beginnt auch die Diskussion einiger geometrischer Fragestellungen +die sich oft nur durch Definition neuer spezieller Funktionen lösen +lassen, wie zum Beispiel das Problem der Kurvenlänge auf einer +Ellipse. +\item +Spezielle Funktionen und Rekursion. +Viele Probleme lassen eine Lösung in rekursiver Form zu. +Zum Beispiel lässt sich die Fakultät durch eine Rekursionsbeziehung +vollständig definieren. +Dieses Kapitel zeigt, wie sich die Fakultät zur Gamma-Funktion +$\Gamma(x)$ erweitern lässt, die für beliebige reelle $x$ +definiert ist. +Sie ist aber nur die Spitze eines Eisbergs von weiteren wichtigen +Funktionen. +Die Beta-Integrale sind ebenfalls durch Rekursionsbeziehungen +charakterisiert, lassen sich durch Gamma-Funktionen ausdrücken und +haben als Anwendung die Verteilungsfunktionen der Ordnungsstatistiken. +Lineare Differenzengleichungen sind Rekursionsgleichungen, die sich +besonders leicht mit Potenzfunktionen lösen lassen. +Alle diese Funktionen sind Speziallfälle einer sehr viel grösseren +Klasse von Funktionen, den hypergeometrischen Funktionen, die sich +durch eine Rekursionsbeziehung der Koeffizienten ihrer +Potenzreihenentwicklung auszeichnen. +Es wird sich in nächsten Kapitel zeigen, dass sie besonders gut +geeignet sind, Lösungen von linearen Differentialgleichungen zu +beschreiben. +\item +Differentialgleichungen. +Lösungsfunktionen von Differentialgleichungen sind meistens die +erste Anwendung, in der man die klassschen speziellen Funktionen +kennenlernt. +Sie entstehen mit Hilfe der Potenzreihenmethode und können daher +als hypergeometrische Funktionen geschrieben werden. +Sie sind aber von derart grosser Bedeutung für die Anwendung, +dass viele dieser Funktionen als eigenständige Funktionenfamilien +definiert worden sind. +Die Bessel-Funktionen werden in diesem Zusammenhang eingehend +behandelt. +\item +Integrale können als Lösungen sehr spezieller Differentialgleichungen +betrachtet werden. +Eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$ hat als Ableitung die +ursprüngliche Funktion: $F'(x)=f(x)$. +Während Ableiten ein einfacher, algebraischer Prozess ist, +scheint das Finden einer Stammfunktion sehr viel anspruchsvoller +zu sein. +Spezielle Funktionen sinnvoll sein, wenn eine Stammfunktion sich nicht +mit den bereits definierten Funktionen ausdrücken lässt. +Es gibt eine systematische Methode zu entscheiden, ob eine Stammfunktion +sich durch ``elementare Funktionen'' ausdrücken lässt, sie wird oft +der Risch-Algorithmus genannt. +\item +Orthogonalität. +Mit dem Integral lassen sich auch für Funktionen Skalarprodukte +definieren. +Orthogonalität zwischen Funktionen zeichnet dann Funktionen aus, die +sich besonders gut zur Darstellung beliebiger stetiger oder +integrierbarer Funktionen eignen. +Die Fourier-Theorie und ihre vielen Varianten sind ein Resultat. +Besonders einfache orthogonale Funktionenfamilien sind die orthogonalen +Polynome, die ausserdem zu ausserordentlich genauen numerischen +Integrationsverfahren führen. +\item +Integraltransformationen. +Die trigonometrischen Funktionen sind die Grundlage der Fourier-Theorie. +Doch auch andere spezielle Funktionenfamilien können ähnlich +nützliche Integraltransformationen hergeben. +Die Bessel-Funktionen stellen sich in diesem Zusammenhang als die +Polarkoordinaten-Variante der Fourier-Theorie in der Ebene heraus. +\item +Funktionentheorie. +Einige Eigenschaften der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichung +sind allein mit der reellen Analysis nicht zu bewältigen. +In der Welt der speziellen Funktionen hat man aber strengere +Anforderungen an Funktionen, sie lassen sich immer als Funktionen +einer komplexen Variablen verstehen. +Dieses Kapitel stellt die wichtigsten Eigenschaften komplex +differenzierbarer Funktionen zusammen und wendet sie zum Beispiel +auf das Problem an, weitere Lösungen der Bessel-Differentialgleichung +zu finden. +\item +Partielle Differentialgleichungen sind eine der wichtigsten Quellen +der gewöhnlichen Differentialgleichungen, die nur mit speziellen +Funktionen gelöst werden können. +So führen rotationssymmetrische Wellenprobleme in der Ebene +ganz natürlich auf die Besselsche Differentialgleichung und damit +auf die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen. +\item +Elliptische Funktionen. +Einige der in Kapitel~\ref{buch:chapter:geometrie} angesprochenen +Fragestellungen wie der Berechnung der Bogenlänge auf einer Ellipse +lassen sich mit keiner der bisher vorgestellten Technik lösen. +In diesem Kapitel werden die elliptischen Integrale und die +zugehörigen Umkehrfunktionen vorgestellt. +Die Jacobischen elliptischen Funktionen verallgemeinern +die trigonometrischen Funktionen und können gewisse nichtlineare +Differentialgleichungen lösen. +Sie finden auch Anwendungen im Design elliptischer Filter +(siehe Kapitel~\ref{chapter:ellfilter}). +\end{enumerate} + +Natürlich ist damit das weite Gebiet der speziellen Funktionen +nur ganz grob umrissen. +Weitere Aspekte und Anwendungen werden in den Artikeln im zweiten +Teil vorgestellt. +Eine Übersicht dazu findet der Leser auf Seite~\pageref{buch:uebersicht}. + diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex b/buch/chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex new file mode 100644 index 0000000..8ca71bc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex @@ -0,0 +1,150 @@ +% +% Spezielle Funktionen +% +\subsection*{Spezielle Funktionen} +Der abstrakte Funktionsbegriff auferlegt einer Funktion nur ganz wenige +Einschränkungen. +Damit lässt sich zwar eine mathematische Theorie entwickeln, die +klärt, unter welchen Umständen zusätzliche Eigenschaften wie Stetigkeit +und Differenzierbarkeit zu erwarten sind. +Allgemeine Berechnungen kann man mit diesem Begriff aber nicht durchführen, +seine Anwendbarkeit ist beschränkt. +Praktisch nützlich wird der Funktionsbegriff also erst, wenn man ihn +einschränkt auf anwendungsrelevante Eigenschaften. +Die Mathematik hat in ihrer Geschichte genau dies immer wieder +getan, wie im Folgenden kurz skizziert werden soll. + +% +% Polynome und Wurzeln +% +\subsubsection{Polynome und Wurzeln} +Eine Polynomgleichung wie etwa +\begin{equation} +p(x) = ax^2+bx+c = 0 +\label{buch:einleitung:quadratisch} +\end{equation} +kann manchmal dadurch gelöst werden, dass man die Nullstellen errät +und damit eine Faktorisierung $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ konstruiert. +Doch im Allgemeinen wird man die Lösungsformel für quadratische +Gleichungen verwenden, die auf quadratischem Ergänzen basiert. +Es erlaubt die Gleichung~\eqref{buch:einleitung:quadratisch} umzwandeln in +\[ +\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 += +-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} += +\frac{b^2-4ac}{4a^2}. +\] +Um diese Gleichung nach $x$ aufzulösen, muss man die inverse Funktion +der Quadratfunktion zur Verfügung haben, die Wurzelfunktion. +Dies ist wohl das älteste Beispiel einer speziellen Funktion, +die man zu dem Zweck eingeführt hat, spezielle algebraische Gleichungen +lösen zu können. +Sie liefert die bekannte Lösungsformel +\[ +x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} +\] +für die quadratische Gleichung. + +% +% Exponential- und Logarithmusfunktion +% +\subsubsection{Exponential- und Logarithmusfunktion} +Durch die Definition der Wurzelfunktion ist das Problem der numerischen +Berechnung der Nullstelle natürlich noch nicht gelöst, aber man hat +ein handliches mathematisches Symbol gewonnen, mit dem man die Lösungen +übersichtlich beschreiben und algebraisch manipulieren kann. +Diese Idee steht hinter allen weiteren in diesem Buch diskutierten +Funktionen: wann immer ein wichtiges mathematisches Konzept sich nicht +direkt durch die bereits entwickelten Funktionen ausdrücken lässt, +erfindet man dafür eine neue Funktion oder Familie von Funktionen. +Beispielsweise hat sich die Darstellung von Zahlen $x$ als Potenzen +einer gemeinsamen Basis, zum Beispiel $x=10^y$, als sehr nützlich +herausgestellt, um Multiplikationen auf die von Hand leichter +ausführbaren Additionen zurückzuführen. +Man braucht also die Fähigkeit, die Abhängigkeit des Exponenten $y$ +von $x$ auszudrücken, mit anderen Worten, man braucht die +Logarithmusfunktion. + +Auch die Logarithmusfunktion erlaubt nicht, die Gleichungen $xe^x=y$ +nach $x$ aufzulösen. +Solche Exponentialgleichungen treten in verschiedenster Form auch in +Anwendungen auf. +Die Lambert-$W$-Funktion, die in Abschnitt~\ref{buch:section:lambertw} +eingeführt wird, löst genau diese Aufgabe. + + +% +% Geometrisch definierte spezielle Funktionen +% +\subsubsection{Geometrisch definierte spezielle Funktionen} +Die trigonometrischen Funktionen entstanden bereits im Altertum +um das Problem der Vermessung der Himmelskugel zu lösen. +Man kann sie aber auch zur Parametrisierung eines Kreises oder +zur Beschreibung von Drehungen mit Drehmatrizen verwenden. +Sie stellen auch eine Zusammenhang zwischen der Bogenlänge +entlang eines Kreises und der zugehörigen Sehne her. +Diese Ideen lassen sich auf eine grössere Klasse von Kurven, +nämlich die Kegelschnitte verallgemeinern. +Diese werden in Kapitel~\ref{buch:chapter:geometrie} eingeführt. +Die Parametrisierungen der Hyperbeln zum Beispiel führt auf +hyperbolische Funktion und macht eine Verbindung zu Exponential- +und Logarithmusfunktion sichtbar. + +% +% Lösungen von Differentialgleichungen +% +\subsubsection{Lösungen von Differentialgleichungen} +Alternativ kann man $\sin x$ und $\cos x$ als spezielle Lösungen der +Differentialgleichung $y''=-y$ verstehen. +Viele andere Funktionen wie die hyperbolischen Funktionen oder die +Bessel-Funktionen sind ebenfalls Lösungen spezieller Differentialgleichungen. + +Auch die Theorie der partiellen Differentialgleichungen, auf die +im Kapitel~\ref{buch:chapter:pde} eingegangen wird, gibt Anlass +zu interessanten Lösungsfunktionen. +Die Separation des Poisson-Problems in Kugelkoordinaten führt zum Beispiel +auf die Kugelfunktionen, mit denen sich beliebige Funktionen auf einer +Kugeloberfläche analysieren und synthetisieren lassen. +Die Lösungen einer linearer gewöhnlicher Differentialgleichung können +oft mit Hilfe von Potenzreihen dargestellt werden. +So kann man zum Beispiel die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion +und der trigonometrischen Funktionen finden. +Die Konvergenz einer Potenzreihe wird aber durch Singularitäten +eingeschränkt. +Komplexe Potenzreihen ermöglichen aber, solche Stellen zu ``umgehen''. +Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen bildet einen +allgemeinen Rahmen, mit solchen Funktionen umzugehen und ist zum +Beispiel nötig, um die Bessel-Funktionen der zweiten Art zu konstruieren, +die ebenfalls Lösungen ger Bessel-Gleichung sind, aber bei $x=0$ +eine Singularität aufweisen. + +% +% Stammfunktionen +% +\subsubsection{Stammfunktionen} +Die Stammfunktion $F(x)$ einer gegebenen Funktion $f(x)$ ist natürlich +auch die Lösung der besonders einfachen Differentialgleichung $F'=f$. +Ein bekanntes Beispiel ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi(x) += +\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, +\] +der Normalverteilung, für die aber keine geschlossene Darstellung +mit bekannten Funktionen bekannt ist. +Sie kann aber durch die Fehlerfunktion +\[ +\operatorname{erf}(x) += +\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt +\] +dargestellt werden. +Mit dem Risch-Algorithmus kann man nachweisen, dass es tatsächlich +keine Möglichkeit gibt, die Stammfunktion in geschlossener Form durch +die bereits bekannten Funktionen darzustellen, die Definition einer +neuen speziellen Funktion ist also der einzige Ausweg. +Die Fehlerfunktion ist heute in der Standardbibliothek enthalten auf +gleicher Stufe wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen, +Exponentialfunktionen oder Logarithmen. + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index 27ccdae..87afe38 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -8,6 +8,7 @@ CHAPTERFILES += \ chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex \ chapters/010-potenzen/polynome.tex \ chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ + chapters/010-potenzen/rational.tex \ chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex \ chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex \ chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex \ diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex index 7dc30d4..a1cce60 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex @@ -18,10 +18,13 @@ Diskussion rechtfertigen. \begin{enumerate} \item Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion sind viel schwieriger zu +\index{Potenzfunktion}% berechnen und können als eine besonders einfache Art von speziellen Funktionen betrachtet werden. Die in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:loesungen} definierten Wurzelfunktionen sind der erste Schritt zur Lösung von Polynomgleichungen. +\index{Wurzelfunktion}% +\index{Polynomgleichung}% \item Es lassen sich interessante Familien von Funktionen definieren, die zum Teil aus Polynomen bestehen. @@ -32,6 +35,7 @@ Abschnitt~\ref{buch:polynome:section:tschebyscheff} vorgestellt. \item Alles speziellen Funktionen sind analytisch, sie haben eine konvergente Potenzreihenentwicklung. +\index{Potenzreihe}% Die Partialsummen einer Potenzreihenentwicklung sind Approximationen An die wichtigsten Eigenschaften von Potenzreihen wird in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert. @@ -40,6 +44,7 @@ Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert. \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex} \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex} \input{chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex} +\input{chapters/010-potenzen/rational.tex} \input{chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex} \section*{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex index 692192d..a9f273a 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex @@ -20,8 +20,22 @@ für ein Polynome $p(x)$ und eine Konstante $c\in\mathbb{C}$. % Fundamentalsatz der Algebra % \subsection{Fundamentalsatz der Algebra} +In Abschnitt~\ref{buch:polynome:subsection:faktorisierung-und-nullstellen} +wurde gezeigt, dass sich jede Nullstellen $\alpha$ eines Polynoms als +Faktor $x-\alpha$ abspalten lässt. +Jedes Polynom liess sich in ein Produkt von Linearfaktoren und +einen Faktor zerlegen, der keine Nullstellen hat. +Zum Beispiel hat das Polynom $x^2+1\in\mathbb{R}[x]$ keine +Nullstellen in $\mathbb{R}$. +Eine solche Nullstelle müsste eine Quadratwurzel von $-1$ sein. +Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ wurden genau mit dem Ziel konstruiert, +dass $i=\sqrt{-1}$ sinnvoll wird. +Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass $\mathbb{C}$ alle +Nullstellen von Polynomen enthält. \begin{satz}[Gauss] +\index{Satz!Fundamentalsatz der Algebra}% +\index{Fundamentalsatz der Algebra}% \label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz} Jedes Polynom $p(x)=a_nx^n+\dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\in\mathbb{C}[x]$ zerfällt in ein Produkt @@ -34,6 +48,7 @@ a_n für Nullstellen $\alpha_k\in\mathbb{C}$. \end{satz} + % % Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke % @@ -143,8 +158,63 @@ höheren Grades nicht mit einer Lösung durch Wurzelausdrücke rechnen kann. \begin{satz}[Abel] +\index{Satz!von Abel} \label{buch:potenzen:satz:abel} Für Polynomegleichungen vom Grad $n\ge 5$ gibt es keine allgemeine Lösung durch Wurzelausdrücke. \end{satz} + + +% +% Algebraische Zahlen +% +\subsection{Algebraische Zahlen} +Die Verwendung der komplexen Zahlen ist für numerische Rechnungen +zweckmässig. +In den Anwendungen der Computer-Algebra hingegen erwartet man zum +Beispiel exakte Formeln für eine Stammfunktion. +Nicht rationale Zahlen können nur exakt verarbeitet werden, wenn +Sie sich algebraisch in endlich vielen Schritten charakterisieren +lassen. +Dies ist zum Beispiel für rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ möglich. +Gewisse irrationale Zahlen kann man charakterisieren durch +die Eigenschaft, Nullstelle eines Polynoms $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$ +mit rationalen Koeffizienten zu sein. + +\begin{definition} +Eine Zahl $\alpha$ heisst {\em algebraisch} über $\mathbb{Q}$, +wenn es ein Polynom +\index{algebraische Zahl}% +$p(x)\in \mathbb{Q}[x]$ gibt, welches $\alpha$ als Nullstelle hat. +Eine Zahl heisst transzendent über $\mathbb{Q}$, wenn sie nicht algebraisch ist +über $\mathbb{Q}$. +\end{definition} + +Die Zahlen $i=\sqrt{-1}$ und $\sqrt{n\mathstrut}$ für $n\in\mathbb{N}$ +sind also algebraisch über $\mathbb{Z}$. +Es ist gezeigt worden, dass $\pi$ und $e$ nicht nur irrational +sind, sondern sogar transzendent. + +Eine Polynomgleichung $p(\alpha)=0$ mit $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$ +hat eine Rechenregel für $\alpha$ zur Folge. +Dazu schreibt man +\[ +p_n\alpha^n + p_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + a_1\alpha + a_0 =0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\alpha^n = -\frac{1}{p_n}\bigl( +p_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+a_1\alpha+a_0 +\bigr). +\] +Diese Regel erlaubt, jede Potenz $\alpha^k$ mit $k\ge n$ durch +Potenzen von $\alpha^l$ mit $l<n$ auszudrücken. +Die Zahlen, die sich durch arithmetische Operationen aus +$\alpha$ bilden lassen, lassen sich also sogar durch lineare +Operationen aus $1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^{n-1}$ +bilden. +Sie bilden einen endlichdimensionalen Vektorraum über $\mathbb{Q}$. +Rechnen mit algebraischen Zahlen ist also in einem CAS exakt möglich, +wie das in Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:dkoerper} +für die Berechnung von Stammfunktionen illustriert wird. + + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index 5f119e5..ce5e521 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -13,20 +13,32 @@ Operationen konstruieren lassen, sind die Polynome. \index{Polynom}% Ein {\em Polynome} vom Grad $n$ ist die Funktion \[ -p(x) = a_nx^2n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0, +p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0, \] wobei $a_n\ne 0$ sein muss. Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist. \index{normiert}% +\index{Grad eines Polynoms}% +\index{Polynom!Grad}% Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit $K[x]$ bezeichnet. \end{definition} Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$ -mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen ein -Ring mit $1$ ist. -Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$ -beschränken. +\index{Polynomring}% +mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen eine +algebraische Struktur bildet, die man einen Ring mit $1$ nennt. +\index{Ring}% +Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{R}$ +und $K=\mathbb{C}$ beschränken. + +Für den Grad eines Polynoms gelten die bekannten Rechenregeln +\begin{align*} +\deg (a(x) + b(x)) &\le \operatorname{max}(\deg a(x), \deg b(x)) +\\ +\deg (a(x)\cdot b(x)) &=\deg a(x) + \deg b(x) +\end{align*} +für beliebige Polynome $a(x),b(x)\in K[x]$. In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine @@ -35,12 +47,14 @@ Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von Differentialgleichungen finden. Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen \[ -\mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z\biggr), +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z +\biggr), \] die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist. -Polynome sind also bereits eine Vielfältige Quelle von speziellen +Polynome sind also bereits eine vielfältige Quelle von speziellen Funktionen. Viele spezielle Funktionen werden aber komplizierter sein und @@ -52,7 +66,10 @@ Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren. Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen. \begin{satz}[Weierstrass] +\index{Satz!Weierstrass}% +\index{Weierstrasse, Karl}% \label{buch:potenzen:satz:weierstrass} +\index{Weierstrass, Satz von}% Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$ lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig approximieren. @@ -60,7 +77,9 @@ approximieren. Der Satz sagt in dieser Form nichts darüber aus, wie die Approximationspolynome konstruiert werden sollen. +\index{Approximationspolynom}% Von Bernstein gibt es konstruktive Beweise dieses Satzes, +\index{Bernstein-Polynom}% welche auch explizit eine Folge von Approximationspolynomen konstruieren. In der späteren Entwicklung werden wir für die meisten @@ -69,19 +88,372 @@ ebenfalls als Approximationen dienen können. Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der numerischen Mathematik. -\subsection{Faktorisierung und Nullstellen} +Diese Betrachtungsweise von Polynomen als Funktionen trägt +aber den zusätzlichen algebraischen Eigenschaften des Polynomringes +nicht ausreichend Rechnung. +Zum Beispiel bedeutet Gleichheit von zwei reellen Funktion $f(x)$ und +$g(x)$, dass man $f(x)=g(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ nachprüfen +muss. +Für Polynome reicht es jedoch, die Funktionswerte in nur wenigen +Punkten zu vergleichen. +Dies äussert sich zum Beispiel auch im Prinzip des +Koeffizientenvergleichs von +Satz~\ref{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich}. +Im Gegensatz zu beliebigen Funktionen kann man daher Aussagen +über Polynomen immer mit endlich Algorithmen entscheiden. +Die nächsten Abschnitte sollen diese algebraischen Eigenschaften +zusammenfassen. + +% +% Polynomdivision, Teilbarkeit und ggT +% +\subsection{Polynomdivision, Teilbarkeit und grösster gemeinsamer Teiler} +Der schriftliche Divisionsalgorithmus für Zahlen funktioniert +auch für die Division von Polynomen. +\index{Polynome!Divisionsalgorithmus}% +Zu zwei beliebigen Polynomen $p(x)$ und $q(x)$ lassen sich also +immer zwei Polynome $a(x)$ und $r(x)$ finden derart, dass +$p(x) = a(x) q(x) + r(x)$. +Das Polynom $a(x)$ heisst der {\em Quotient}, $r(x)$ der {\em Rest} +der Division. +Das Polynom $p(x)$ heisst {\em teilbar} durch $q(x)$, geschrieben +\index{teilbar}% +\index{Polynome!teilbar}% +$q(x)\mid p(x)$, wenn $r(x)=0$ ist. + +% +% Grösster gemeinsamer Teiler +% +\subsubsection{Grösster gemeinsamer Teiler} +Mit dem Begriff der Teilbarkeit geht auch die Idee des grössten +gemeinsamen Teilers einher. +Ein gemeinsamer Teiler zweier Polynome $a(x)$ und $b(x)$ +\index{gemeinsamer Teiler}% +ist ein Polynom $g(x)$, welches beide Polynome teilt, also +$g(x)\mid a(x)$ und $g(x)\mid b(x)$. +\index{grösster gemeinsamer Teiler}% +\index{Polynome!grösster gemeinsamer Teiler}% +Ein Polynom $g(x)$ heisst {\em grösster gemeinsamer Teiler} von $a(x)$ +und $b(x)$, wenn jeder andere gemeinsame Teiler $f(x)$ von $a(x)$ +und $b(x)$ auch ein Teiler von $g(x)$ ist. +Man beachte, dass die skalaren Vielfachen eines grössten gemeinsamen +Teilers ebenfalls grösste gemeinsame Teiler sind, der grösste gemeinsame +Teiler ist also nicht eindeutig bestimmt. + +% +% Der euklidische Algorithmus +% +\subsubsection{Der euklidische Algorithmus} +\index{Algorithmus!euklidisch}% +\index{euklidischer Algorithmus}% +Zur Berechnung eines grössten gemeinsamen Teilers steht wie bei den +ganzen Zahlen der euklidische Algorithmus zur Verfügung. +Dazu bildet man die Folgen von Polynomen +\[ +\begin{aligned} +a_0(x)&=a(x) & b_0(x) &= b(x) +& +&\Rightarrow& +a_0(x)&=b_0(x) q_0(x) + r_0(x) && +\\ +a_1(x)&=b_0(x) & b_1(x) &= r_0(x) +& +&\Rightarrow& +a_1(x)&=b_1(x) q_1(x) + r_1(x) && +\\ +a_2(x)&=b_1(x) & b_2(x) &= r_1(x) +& +&\Rightarrow& +a_2(x)&=b_2(x) q_2(x) + r_2(x) && +\\ +&&&&&\hspace*{2mm}\vdots&& +\\ +a_{m-1}(x)&=b_{m-2}(x) & b_{m-1}(x) &= r_{m-2}(x) +& +&\Rightarrow& +a_{m-1}(x)&=b_{m-1}(x)q_{m-1}(x) + r_{m-1}(x) &\text{mit }r_{m-1}(x)&\ne 0 +\\ +a_m(x)&=b_{m-1}(x) & b_m(x)&=r_{m-1}(x) +& +&\Rightarrow& +a_m(x)&=b_m(x)q_m(x).&& +\end{aligned} +\] +Der Index $m$ ist der Index, bei dem zum ersten Mal $r_m(x)=0$ ist. +Dann ist $g(x)=r_{m-1}(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler. + +% +% Der erweiterte euklidische Algorithmus +% +\subsubsection{Der erweiterte euklidische Algorithmus} +\index{Polynome!erweiterter euklidischer Algorithmus}% +\index{erweiterter euklidischer Algorithmus}% +\index{euklidischer Algorithmus!erweitert}% +Die Konstruktion der Folgen $a_n(x)$ und $b_n(x)$ kann in Matrixform +kompakter geschrieben werden als +\[ +\begin{pmatrix} +a_k(x)\\ +b_k(x) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +b_{k-1}(x)\\ +r_{k-1}(x) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0 & 1\\ +1 & -q_{k-1}(x) +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +a_{k-1}(x)\\ +b_{k-1}(x) +\end{pmatrix}. +\] +Kürzen wir die $2\times 2$-Matrix als +\[ +Q_k(x) = \begin{pmatrix} 0&1\\1&-q_k(x)\end{pmatrix} +\] +ab, dann ergibt das Produkt der Matrizen $Q_0(x)$ bis $Q_{m}(x)$ +\[ +\begin{pmatrix} +g(x)\\ +0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +r_{m-1}(x)\\ +r_{m}(x) +\end{pmatrix} += +Q_{m}(x) +Q_{m-1}(x) +\cdots +Q_1(x) +Q_0(x) +\begin{pmatrix} +a(x)\\ +b(x) +\end{pmatrix}. +\] +Zur Berechnung des Produktes der Matrizen $Q_k(x)$ kann man rekursiv +vorgehen mit der Rekursionsformel +\[ +S_{k}(x) = Q_{k}(x) S_{k-1}(x) +\qquad\text{mit}\qquad +S_{-1}(x) += +\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. +\] +Ausgeschrieben bedeutet dies Matrixrekursionsformel +\[ +S_{k-1}(x) += +\begin{pmatrix} +c_{k-1} & d_{k-1} \\ +c_k & d_k +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +Q_{k}(x) S_{k-1}(x) += +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-q_k(x) +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +c_{k-1} & d_{k-1} \\ +c_k & d_k +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +c_k&d_k\\ +c_{k+1}&d_{k+1} +\end{pmatrix}. +\] +Daraus lässt sich für die Matrixelemente die Rekursionsformel +\[ +\begin{aligned} +c_{k+1} &= c_{k-1} - q_k(x) c_k(x) \\ +d_{k+1} &= d_{k-1} - q_k(x) d_k(x) +\end{aligned} +\quad +\bigg\} +\qquad +\text{mit Startwerten} +\qquad +\bigg\{ +\begin{aligned} +\quad +c_{-1} &= 1, & c_0 &= 0 \\ +d_{-1} &= 0, & d_0 &= 1. +\end{aligned} +\] +Wendet man die Matrix $S_m(x)$ auf den Vektor mit den Komponenten +$a(x)$ und $b(x)$, erhält man die Beziehungen +\[ +g(x) = c_{k-1}(x) a(x) + d_{k-1}(x) b(x) +\qquad\text{und}\qquad +0 = c_k(x) a(x) + d_k(x) b(x). +\] +Dieser Algorithmus heisst der erweiterte euklidische Algorithmus. +Wir fassen die Resultate zusammen im folgenden Satz. + +\begin{satz} +Zu zwei Polynomen $a(x),b(x) \in K[x]$ gibt es Polynome +$g(x),c(x),d(x)\in K[x]$ +derart, dass $g(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$ und $b(x)$ +ist, und ausserdem +\[ +g(x) = c(x)a(x)+d(x)b(x) +\] +gilt. +\end{satz} + +% +% Faktorisierung und Nullstellen +% +\subsection{Faktorisierung und Nullstellen +\label{buch:polynome:subsection:faktorisierung-und-nullstellen}} % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe % die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln +Ist $\alpha$ eine Nullstelle des Polynoms $a(x)$, also $a(\alpha)=0$. +Der Divisionsalgorithmus mit für die Polynome $a(x)$ und $b(x)=x-\alpha$ +liefert zwei Polynome $q(x)$ für den Quotienten und $r(x)$ für den Rest +mit den Eigenschaften +\[ +a(x) += +q(x) b(x) ++r(x) += +q(x)(x-\alpha)+r(x) +\qquad\text{mit}\qquad +\deg r < \deg b(x)=1. +\] +Der Rest $r(x)$ ist somit eine Konstante. +Setzt man $x=\alpha$ ein, folgt +\[ +0 += +a(\alpha) += +q(\alpha)(\alpha-\alpha)+r(\alpha) += +r(\alpha), +\] +der Rest $r(x)$ muss also verschwinden. +Für eine Nullstelle $\alpha$ von $a(x)$ ist $a(x)$ durch $(x-\alpha)$ +teilbar. +Daraus folgt auch, dass ein Polynom $a(x)$ vom Grad $n=\deg a(x)$ höchstens +$n$ verschiedene Nullstellen haben kann. + +Sind $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ alle Nullstellen von $a(x)$, dann lässt +sich $a(x)$ zerlegen in Faktoren +\[ +a(x) += +(x-\alpha_1)^{m_1} +(x-\alpha_2)^{m_2} +\cdots +(x-\alpha_k)^{m_k} +b(x). +\] +Das Polynom $b(x)\in K[x]$ hat keine Nullstellen in $K$. +Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine gemeinsame Nullstelle $\alpha$ +haben, dann ist $(x-\alpha)$ ein Teiler beider Polynome und somit auch +ein Teiler eines grössten gemeinsamer Teiler. +Insbesondere sind die Nullstellen des grössten gemeinsamen Teilers +gemeinsame Nullstellen von $a(x)$ und $b(x)$. + +% +% Koeffizienten-Vergleich +% \subsection{Koeffizienten-Vergleich} % Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen +Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ vom Grad $\le n$ die gleichen +Koeffizienten haben, dann sind sie selbstverständlich gleich. +Weniger klar ist, ob zwei Polynome, die die gleichen Werte für beliebige +$x$ haben, auch die gleichen Koeffizienten haben. +Wir nehmen also an, dass $a(x)=b(x)$ gilt für jedes $x\in K$ und +wollen daraus ableiten, dass die Koeffizienten übereinstimmen müssen. +Seien $x_1,\dots,x_n$ verschiedene Elemente in $K$, dann +hat das Polynom $p(x)=a(x)-b(x)$, welches Grad $\le n$ hat, +die $n$ Nullstellen $x_k$ für $k=1,\dots,n$. +$p(x)$ ist also durch alle Polynome $x-x_k$ teilbar. +Weil $\deg p\le n$ ist, muss +\[ +0 += +a(x)-b(x) += +p(x) += +p_n +(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n) +\] +sein. +Ist $y\in K$ verschieden von den Nullstellen $x_i$, dann ist +in $y-x_i\ne 0$ für alle $i$. +Für das Produkt gilt dann +\[ +0 += +p(y) += +p_n +(\underbrace{x-x_1}_{\displaystyle \ne 0}) +\cdots +(\underbrace{x-x_n}_{\displaystyle \ne 0}), +\] +so dass $p_n=0$ sein muss, was schliesslich dazu führt, dass alle +Koeffizienten von $a(x)-b(x)$ verschwinden. +Daraus folgt das Prinzip des Koeffizientenvergleichs: +\index{Koeffizientenvergleich}% +\index{Polynome!Koeffizientenvergleich}% + +\begin{satz}[Koeffizientenvergleich] +\index{Satz!Koeffizientenvergleich}% +\label{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich} +Zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ stimmen genau dann überein, wenn +sie die gleichen Koeffizienten haben. +\end{satz} + +Man beachte, dass dieses Prinzip nur funktioniert, wenn es genügend +viele verschiedene Elemente in $K$ gibt. +Für die endlichen Körper $\mathbb{F}_p$ gilt dies nicht, denn es gilt +\[ +a(x) += +x^p-x\equiv 0\mod p +\] +für jede Zahl $x\in\mathbb{F}_p$, das Polynom $a(x)$ mit Grad $p$ +hat also genau $p$ Nullstellen, es gibt aber keine weitere Nullstelle, +mit der man wie oben schliessen könnte, dass $a(x)$ das Nullpolynom ist. + +% +% Berechnung von Polynom-Werten +% +\subsection{Berechnung von Polynom-Werten} +Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms $p(x)$ vom Grad $n$ +beginnt mit der Berechnung der Potenzen von $x$. +Da alle Potenzen benötigt werden, wird man dazu $n-1$ Multiplikationen +benötigen. +Die Potenzen müssen anschliessend mit den Koeffizienten multipliziert +werden, dazu sind weitere $n$ Multiplikationen nötig. +Der Wert des Polynoms kann also erhalten werden mit $2n-1$ Multiplikationen +und $n$ Additionen. -\subsection{Polynom-Berechnung} -Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms beginnt mit der Berechnung -der Potenzen. -Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann minimiert werden, indem man -das Polynom als +Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann mit dem folgenden Vorgehen +reduziert werden, welches auch als das {\em Horner-Schema} bekannt ist. +\index{Horner-Schema}% +\index{Polynome!Horner-Schema}% +Statt erst am Schluss alle Terme zu addieren, addiert man so früh +wie möglich. +Zum Beispiel multipliziert man $(a_nx+a_{n-1})$ mit $x$, was auf +die Multiplikationen beider Terme mit $x$ hinausläuft. +Mit dieser Idee kann man das Polynom als \[ a_nx^n + @@ -95,10 +467,10 @@ a_0 = ((\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots )x+a_1)x+a_0 \] -schreibt. +schreiben. Beginnend bei der innersten Klammer sind genau $n$ Multiplikationen -und $n+1$ Additionen nötig, im Gegensatz zu $2n$ Multiplikationen -und $n$ Additionen bei der naiven Vorgehensweise. +und $n$ Additionen nötig, man spart mit diesem Vorgehen also +$n-1$ Multiplikationen. diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex index a003fcb..994f99f 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex @@ -105,6 +105,7 @@ Für $|z|<1$ geht $z^n\to 0$ für $n\to\infty$, die Partialsummen konvergieren und wir erhalten das Resultat des folgenden Satzes. \begin{satz} +\index{Satz!geometrische Reihe}% \label{buch:polynome:satz:geometrischereihe} Die geometrische Reihe $a+az+az^2+\dots$ konvergiert für $|z|<1$ und hat die Summe @@ -124,6 +125,7 @@ als konvergent erkannten Reihen nachweisbar. Dies ist der Inhalt des folgenden, wohlbekannten Majorantenkriteriums. \begin{satz}[Majorantenkriterium] +\index{Satz!Majorantenkriterium}% \label{buch:polynome:satz:majorantenkriterium} \index{Majorantenkriterium} Seien $a_k$ und $b_k$ die Glieder zweier unendlicher Reihen. @@ -142,6 +144,7 @@ Potenzreihen mit der geometrischen Reihe zu vergleichen und liefert damit einfach anzuwende Kriterien für die Konvergenz. \begin{satz}[Quotientenkriterium] +\index{Satz!Quotientenkriterium}% \label{buch:polynome:satz:quotientenkriterium} \index{Quotientenkriterium}% Eine Reihe @@ -175,6 +178,7 @@ die unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert. \end{proof} \begin{satz}[Wurzelkriterium] +\index{Satz!Wurzelkriterium}% \label{buch:polynome:satz:wurzelkriterium} \index{Wurzelkriterium} Falls @@ -203,6 +207,9 @@ das Reststück der Reihe ab Index $N$ ist daher wieder majorisiert durch eine konvergente geometrische Reihe. \end{proof} +% +% Konvergenzradius +% \subsubsection{Konvergenzradius} Das Quotienten- und das Wurzel-Kriterium ist auf beliebige Reihen anwendbar, es berücksichtigt nicht, dass in einer Potenzreihe @@ -224,6 +231,7 @@ um den Punkt $z_0$ ist \end{definition} \begin{satz} +\index{Satz!Konvergenzradius}% \label{buch:polynome:satz:konvergenzradius} Der Konvergenzradius $\varrho$ einer Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ ist @@ -420,7 +428,7 @@ $z_0$ ist die Summe \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k \label{buch:polynome:eqn:taylor-polynom} \end{equation} -\index{Taylor-Reihe} +\index{Taylor-Reihe}% Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe \begin{equation} \mathscr{T}_{z_0}f (z) @@ -431,7 +439,9 @@ Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe \end{equation} \end{definition} - +% +% Analytische Funktionen +% \subsubsection{Analytische Funktionen} Das Taylor-Polynom $\mathscr{T}_{z_0}^nf(z)$ hat an der Stelle $z_0$ die gleichen Funktionswerte und Ableitungen wie die Funktion $f(z)$, diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex new file mode 100644 index 0000000..f1957ac --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% rational.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Rationale Funktionen +\label{buch:polynome:section:rationale-funktionen}} +\rhead{Rationale Funktionen} +Polynome sind sehr einfach auszuwerten und können auf einem +Interval jede stetige Funktion beliebig gut approximieren. +Auf einem unbeschränkten Definitionsbereich wachsen Polynome aber +immer unbeschränkt an. +Der führende Term $a_nx^n$ dominiert das Verhalten eines Polynoms +für $x\to\infty$ wegen +\[ +\lim_{x\to\infty} a_nx^n += +\operatorname{sgn} a_n \cdot\infty +\qquad\text{und}\qquad +\lim_{x\to-\infty} a_nx^n += +(-1)^n \operatorname{sgn} a_n\cdot \infty. +\] +Insbesondere kann man nicht erwarten, dass sich eine beschränkte +Funktion wie $\sin x$ durch Polynome auf dem ganzen Definitionsbereich +gut approximieren lässt. +Der Unterschied $p(x)-\sin x$ wird für jedes beliebige Polynome $p(x)$ +für $x\to\pm\infty$ unbeschränkt anwachsen. + +Eine weitere Einschränkung ist, dass die Menge der Polynome bezüglich +der arithmetischen Operationen nicht abgeschlossen ist. +Man kann zwar Polynome addieren und multiplizieren, aber der Quotient +ist nicht notwendigerweise ein Polynom. +Abhilfe schafft nur, wenn man Quotienten von Polynomen zulässt. + +\begin{definition} +Eine Funktion $f(x)$ heisst {\em rationale Funktion}, wenn sie Quotient +\index{rationale Funktion}% +zweier Polynome ist, wenn es also Polynome $p(x), q(x)\in K[x]$ gibt mit +\[ +f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}. +\] +Die Menge der rationalen Funktione mit Koeffizienten in $K$ wird mit +$K(x)$ bezeichnet. +\end{definition} + +Polynome sind rationale Funktionen, deren Nennergrad $1$ ist. +Rationale Funktionen können ebenfalls zur Approximation von Funktionen +verwendet werden. +Da sie beschränkt sein können, haben sie das Potential, +beschränkte Funktionen besser zu approximieren, als dies mit +Polynomen allein möglich wäre. +Die Theorie der Padé-Approximation, wie sie zum Beispiel im Buch +\index{Pade-Approximation@Padé-Approximation}% +\cite{buch:pade} dargestellt ist, ist zum Beispiel auch in der +Regelungstechnik von Interesse, da sich rationale Funktionen mit +linearen Komponenten schaltungstechnisch realisieren lassen. +Weitere Anwendungen werden in Kapitel~\ref{chapter:transfer} +gezeigt. + + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex index 29d1d4b..ccc2e97 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex @@ -241,12 +241,16 @@ Die Rekursionsformel kann auch dazu verwendet werden, Werte der Tschebyscheff-Polynome sehr effizient zu berechnen. +% +% Multiplikationsformel +% \subsubsection{Multiplikationsformel} Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten. \index{Multiplikationsformel}% \begin{satz} +\index{Satz!Multiplikationsformel für Tschebyscheff-Polynome}% Es gilt \begin{align} T_m(x)T_n(x)&=\frac12\bigl(T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)\bigr) @@ -300,4 +304,82 @@ T_{mn}(x). Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen. \end{proof} +% +% Differentialgleichung +% +\subsubsection{Tschebyscheff-Differentialgleichung} +Die Ableitungen der Tschebyscheff-Polynome sind +\begin{align*} +T_n(x) +&= +\cos (ny(x)) +&& +&& +\\ +\frac{d}{dx} T_n(x) +&= +\frac{d}{dx} \cos(ny(x)) += +n\sin(ny(x)) \cdot \frac{dy}{dx} +& +&\text{mit}& +\frac{dy}{dx} +&= +-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\\ +\frac{d^2}{dx^2} T_n(x) +&= +-n^2\cos(ny(x)) \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2 + n\sin(ny(x)) \frac{d^2y}{dx^2} +& +&\text{mit}& +\frac{d^2y}{dx^2} +&= +-\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}}. +\end{align*} +Wir suchen eine verschwindende Linearkombination dieser drei Terme +mit Funktionen von $x$ als Koeffizienten. +Wir setzen daher an +\begin{align*} +0 +&= +\alpha(x) T_n''(x) ++ +\beta(x) T_n'(x) ++ +\gamma(x) T_n(x) +\\ +&= +\biggl( +-\frac{n^2\alpha(x)}{1-x^2} ++ +\gamma(x) +\biggr) +\cos(ny(x)) ++ +\biggl( +-\frac{nx\alpha(x)}{(1-x^2)^{\frac32}} +-\frac{n\beta(x)}{\sqrt{1-x^2}} +\biggr) +\sin(ny(x)) +\end{align*} +Die grossen Klammern müssen verschwinden, was nur möglich ist, wenn zu +gegebenem $\alpha(x)$ die anderen beiden Koeffizienten +\begin{align*} +\beta(x) &= -\frac{x\alpha(x)}{1-x^2} \\ +\gamma(x) &= n^2 \frac{\alpha(x)}{1-x^2} +\end{align*} +sind. +Die Koeffizienten werden besonders einfach, wenn man $\alpha(x)=1-x^2$ wählt. +Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Differentialgleichung +\begin{equation} +(1-x^2) T_n''(x) -x T_n'(x) +n^2 T_n(x) = 0. +\label{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +\end{equation} +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +heisst {\em Tschebyscheff-Differentialgleichung}. +\index{Tschebyscheff-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Tschebyscheff-}% + + + diff --git a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex index 1ab4769..eaa777d 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex @@ -12,8 +12,8 @@ \input{chapters/020-exponential/zins.tex} \input{chapters/020-exponential/log.tex} \input{chapters/020-exponential/lambertw.tex} -\input{chapters/020-exponential/dilog.tex} -\input{chapters/020-exponential/eili.tex} +%\input{chapters/020-exponential/dilog.tex} +%\input{chapters/020-exponential/eili.tex} \section*{Übungsaufgaben} \rhead{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex index 2b023cc..d78fdc3 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex @@ -17,6 +17,11 @@ der Unbekannten und der Exponentialfunktion, also $xe^x$ auftreten. Die Lambert $W$-Funktion ermöglicht, die Lösungen solcher Gleichungen darzustellen. +Als Anwendung der Theorie der Lambert-$W$-Funktion wird in +Kapitel~\ref{chapter:lambertw} +eine Parametrisierung einer Verfolgungskurve mit Hilfe von $W(x)$ +bestimmt. + % % Die Funktion xe^x % @@ -57,8 +62,10 @@ invertierbar. \begin{definition} Die inverse Funktion der Funktion $[-1,\infty)\to[-1/e,\infty):x\mapsto xe^x=y$ heisst die Lambert $W$-Funktion, geschrieben $W(y)$ oder $W_0(y)$. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Definition}% Die inverse Funktion der Funktion $(-\infty,-1)\to[-1/e,0)$ wird mit $W_{-1}$ bezeichnet. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Graph}% \end{definition} \begin{figure} @@ -78,7 +85,11 @@ erfüllen sie W(x) e^{W(x)} = x. \] +% +% Ableitung der W-Funktion +% \subsubsection{Ableitung der Funktionen $W(x)$ und $W_{-1}(x)$} +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Ableitung} Die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ einer Funktion $f(x)$ erfüllt \( f^{-1}(f(x)) = x. @@ -204,7 +215,12 @@ P_{n+1}(t) \] mit $P_1(t)=1$. +% +% Differentialgleichung und Stammfunktion +% \subsubsection{Differentialgleichung und Stammfunktion} +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!der Lambert-$W$-Funktion}% Die Ableitungsformel \eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} bedeutet auch, dass die $W$-Funktion eine Lösung der Differentialgleichung \[ @@ -223,6 +239,7 @@ Diese Gleichung kann separiert werden in \] Eine Stammfunktion +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Stammfunktion}% \[ F(y) = @@ -260,6 +277,8 @@ für die Stammfunktion von $W(y)$. \label{buch:subsection:loesung-von-exponentialgleichungen}} Die Lambert $W$-Funktion kann zur Lösung von Exponentialgleichungen verwendet werden. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Exponentialgleichungen}% +\index{Exponentialgleichungen}% \begin{aufgabe} Gesucht ist eine Lösung der Gleichung @@ -319,7 +338,10 @@ W(-cbe^{ac}) Die Gleichung hat eine Lösung wenn $-cbe^{ac} > -1/e$ ist. \end{proof} -\subsection{Numerische Berechnung +% +% Numerische Berechnung +% +\subsection{Numerische Berechnung der Lambert-$W$-Funktion \label{buch:subsection:lambertberechnung}} Die $W$-Funktionen sind nur dann nützlich, wenn man sie effizient berechnen kann. @@ -327,13 +349,19 @@ Leider ist sie nicht Teil der C- oder C++-Standardbibliothek, man muss sich also mit einer spezialisierten Bibliothek oder einer eigenen Implementation behelfen. +% +% Berechnung mit dem Newton-Algorithmus +% \subsubsection{Berechnung mit dem Newton-Algorithmus} Für $x>-1$ ist die Funktion $W(x)$ ist die Umkehrfunktion der streng monoton wachsenden und konvexen Funktion $f(x)=xe^x$. In dieser Situation konvergiert der Newton-Algorithmus zur Bestimmung +\index{Newton-Algorithmus}% +\index{Algorithmus!Newton-}% der Nullstelle $x=W_0(y)$ von $f(x)-y$ für alle Werte von $y>-1/e$. Für $W_{-1}(y)$ ist die Situation etwas komplizierter, da für $x<-1$ die Funktion $f(x)$ nicht konvex ist. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Newton-Algorithmus} Ausgehend vom Startwert $x_0$ ist die Iterationsfolge definiert durch @@ -361,12 +389,7 @@ bestimmt werden. \subsubsection{GNU scientific library} Die Lambert $W$-Funktionen $W_0(x)$ und $W_{-1}(x)$ sind auch in der GNU scientific library \cite{buch:library:gsl} implementiert. - -% -% Verfolgungskurven -% -\subsection{Verfolgungskurven -\label{buch:subsection:verfolgungskurven}} +\index{GNU scientifi library}% diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex index f3f1d39..24fc089 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex @@ -32,6 +32,7 @@ der Strahlensatz muss durch den Satz von Menelaos ersetzt werden. Es ergibt sich eine Methode, beliebige Dreiecke auf einer Kugeloberfläche ganz analog zum Vorgehen bei ebenen Dreiecken zu berechnen. Diese sphärische Trigonometrie ist die Basis der Navigation +(siehe Kapitel~\ref{chapter:nav}) und aller astrometrischer Berechnungen. Die Analysis hat die Möglichkeit geschaffen, die Länge von Kurven @@ -42,7 +43,7 @@ wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren. \input{chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex} -\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex} +%\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex} \input{chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex} \input{chapters/030-geometrie/laenge.tex} \input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex} @@ -54,5 +55,6 @@ die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren. %\uebungsaufgabe{0} \uebungsaufgabe{1} \uebungsaufgabe{2} +\uebungsaufgabe{3} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex index 72c2cb4..2938316 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex @@ -355,6 +355,7 @@ heissen der {\em hyperbolische Tangens} und der {\em hyperbolische Kotangens}. \end{definition} \begin{satz} +\index{Satz!hyperbolische Gruppe}% \label{buch:geometrie:hyperbolisch:Hparametrisierung} Die orientierungserhaltenden $2\times 2$-Matrizen, die das Minkowski-Skalarprodukt invariant lassen und die Zeitrichtung diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf Binary files differindex 0b514eb..d708377 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex index c38dc19..a194190 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex @@ -41,6 +41,7 @@ \fill[color=blue] (\a:\r) circle[radius=0.05]; \draw[color=blue,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\a)}); +\fill[color=blue] (\r,{\r*tan(\a)}) circle[radius=1.0pt]; \node[color=blue] at (\r,{0.5*\r*tan(\a)}) [right] {$\tan\alpha$}; \draw[color=blue,line width=0.4pt] ({\r*cos(\a)},0) -- (\a:\r); @@ -53,6 +54,7 @@ \draw[color=blue] (-0.1,{\r*sin(\a)}) -- (0.1,{\r*sin(\a)}); \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\a)},\r); +\fill[color=blue] ({\r/tan(\a)},\r) circle[radius=1.0pt]; \node[color=blue] at ({0.5*\r/tan(\a)},\r) [above] {$\cot\alpha$}; \draw[color=darkgreen,line width=1pt] (0,0) -- (\b:\r); @@ -61,9 +63,11 @@ \fill[color=darkgreen] (\b:\r) circle[radius=0.05]; \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\b)},\r); +\fill[color=darkgreen] ({\r/tan(\b)},\r) circle[radius=1.0pt]; \node[color=darkgreen] at ({0.5*\r/tan(\b)},\r) [above] {$\cot\beta$}; \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\b)}); +\fill[color=darkgreen] (\r,{\r*tan(\b)}) circle[radius=1.0pt]; \node[color=darkgreen] at (\r,{0.5*\r*tan(\b)}) [right] {$\tan\beta$}; \draw[color=darkgreen,line width=0.4pt] (\b:\r) -- (0,{\r*sin(\b)}); diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index dc1f46a..643c8f2 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -167,11 +167,11 @@ und umgekehrt: \[ \sin\alpha = -\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut} +\sqrt{1-{\cos\mathstrut\!}^2\,\alpha\mathstrut} \qquad\text{und}\qquad \cos\alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut} +\sqrt{1-{\sin\mathstrut\!}^2\,\alpha\mathstrut} \] Da sich alle Funktionen durch $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ ausdrücken lassen, können alle auch nur durch eine ausgedrückt werden. @@ -197,7 +197,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{\sqrt{\csc^2\alpha-1}}{\csc\alpha} \\ \cos\alpha - &\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut} + &\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut} &\cos\alpha &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} &\displaystyle\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}} @@ -205,7 +205,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{1}{\csc\alpha} \\ \tan\alpha - &\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}} + &\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}}{\cos\alpha} &\tan\alpha &\displaystyle\frac{1}{\cot\alpha} @@ -213,7 +213,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\sqrt{\csc^2\alpha-1} \\ \cot\alpha - &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha} + &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha} &\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha} &\cot\alpha @@ -229,7 +229,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{\csc\alpha}{\sqrt{\csc^2\alpha-1}} \\ \csc\alpha - &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}} + &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha} &\displaystyle\sqrt{1+\tan^2\alpha} &\displaystyle\frac{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}{\cot\alpha} @@ -394,6 +394,7 @@ D_{\alpha}D_{\beta} Aus dem Vergleich der beiden Matrizen liest man die Additionstheoreme. \begin{satz} +\index{Satz!Drehmatrizen}% Für $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gilt \begin{align*} \sin(\alpha\pm\beta) diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex new file mode 100644 index 0000000..6a501fb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex @@ -0,0 +1,169 @@ +\def\cas{\operatorname{cas}} +Die Funktion $\cas$ definiert durch +$\cas x = \cos x + \sin x$ hat einige interessante Eigenschaften. +Wie die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen $\sin x$ und $\cos x$ +ist $\cas x$ $2\pi$-periodisch. +Die Ableitung und das Additionstheorem benötigen bei den gewöhnlichen +trigonometrischen Funktionen aber beide Funktionen, im Gegensatz zu den +im folgenden hergeleiteten Formeln, die nur die Funktion $\cas x$ brauchen. +\begin{teilaufgaben} +\item +Drücken Sie die Ableitung von $\cas x$ allein durch Werte der +$\cas$-Funktion aus. +\item +Zeigen Sie, dass +\[ +\cas x += +\sqrt{2} \sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr) += +\sqrt{2} \cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr). +\] +\item +Beweisen Sie das Additionstheorem für die $\cas$-Funktion +\begin{equation} +\cas(x+y) += +\frac12\bigl( +\cas(x)\cas(y) + \cas x\cas (-y) + \cas(-x)\cas(y) -\cas(-x)\cas(-y) +\bigr) +\label{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} +\end{equation} +\end{teilaufgaben} +Youtuber Dr Barker hat die Funktion $\cas$ im Video +{\small\url{https://www.youtube.com/watch?v=bn38o3u0lDc}} vorgestellt. + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Ableitung ist +\[ +\frac{d}{dx}\cas x += +\frac{d}{dx}(\cos x + \sin x) += +-\sin x + \cos x += +\sin(-x) + \cos(-x) += +\cas(x). +\] +\item +Die Additionstheoreme angewendet auf die trigonometrischen Funktionen +auf der rechten Seite ergibt +\begin{align*} +\sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr) +&= +\sin x \cos\frac{\pi}4 + \cos x \sin\frac{\pi}4 +&&& +\cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr) +&= +\cos(x)\cos\frac{\pi}4 -\sin x \sin\biggl(-\frac{\pi}4\biggr) +\\ +&= +\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x ++ +\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x +&&& +&= +\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x ++ +\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x +\\ +&=\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x +&&& +&= +\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x. +\end{align*} +Multiplikation mit $\sqrt{2}$ ergibt die behaupteten Relationen. +\item +Substituiert man die Definition von $\cas(x)$ auf der rechten Seite von +\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} und multipliziert aus, +erhält man +\begin{align*} +\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} +&= +{\textstyle\frac12}\bigl( +(\cos x + \sin x) +(\cos y + \sin y) ++ +(\cos x + \sin x) +(\cos y - \sin y) +\\ +&\qquad ++ +(\cos x - \sin x) +(\cos y + \sin y) +- +(\cos x - \sin x) +(\cos y - \sin y) +\bigr) +\\ +&= +\phantom{-\mathstrut} +{\textstyle\frac12}\bigl( +\cos x\cos y ++ +\cos x\sin y ++ +\sin x\cos y ++ +\sin x\sin y +\\ +& +\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$} +\cos x\cos y +- +\cos x\sin y ++ +\sin x\cos y +- +\sin x\sin y +\\ +& +\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$} +\cos x\cos y ++ +\cos x\sin y +- +\sin x\cos y +- +\sin x\sin y +\bigr) +\\ +& +\phantom{=} +-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl( +\cos x\cos y +- +\cos x\sin y +- +\sin x\cos y ++ +\sin x\sin y +\bigr) +\\ +&= \cos x \cos y ++ +\cos x \sin y ++ +\sin x \cos y +- +\sin x \sin y. +\intertext{Die äussersten zwei Terme passen zum Additionstheorem für den +Kosinus, die beiden inneren Terme dagegen zum Sinus. +Fasst man sie zusammen, erhält man} +&= +(\sin x\cos y + \cos x \sin y) ++ +(\cos x\cos y - \sin x \sin y) +\\ +&= +\sin (x+y) + \cos(x+y) += +\cas(x+y). +\end{align*} +Damit ist das Additionstheorem für die Funktion $\cas$ bewiesen. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index ff59bad..20e3f0e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -8,12 +8,14 @@ Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig} -mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt. +mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} +von Bohr-Mollerup gerechtfertigt. Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, die in diesem Abschnitt dargestellt wird. -\subsection{Beta-Integral} +\subsection{Beta-Integral +\label{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}} In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf @@ -30,6 +32,7 @@ B(x,y) \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt \] für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +\index{Beta-Integral}% \end{definition} Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. @@ -231,6 +234,7 @@ Durch Einsetzen der Integralformel im Ausdruck Satz. \begin{satz} +\index{Satz!Beta-Funktion und Gamma-Funktion}% Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach \begin{equation} B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} @@ -320,6 +324,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert \] der Gamma-Funktion interpretiert. +% +% Alternative Parametrisierung +% \subsubsection{Alternative Parametrisierungen} Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. @@ -382,8 +389,10 @@ wobei wir \] verwendet haben. Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später -% XXX Ort ergänzen +in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel} dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}% +\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}% herzuleiten. Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ @@ -407,17 +416,23 @@ B(x,y) \label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} \end{equation} +% +% +% \subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. \begin{satz}[Legendre] +\index{Satz!Verdoppelungsformel@Verdoppelungsformel für $\Gamma(x)$}% \[ \Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) = 2^{1-2x}\sqrt{\pi} \Gamma(2x) \] +\index{Verdoppelungsformel}% +\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex index 979d04c..77715ca 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex @@ -280,7 +280,7 @@ folgt jetzt \begin{align*} \varphi_{X_{k:n}}(x) &= -\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x). +\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}. \intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist } \varphi_{X_{k:n}}(x) diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex index cd9cadc..57e503a 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex @@ -5,12 +5,27 @@ % \subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup \label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf} +\caption{Der Graph der Funktion $\log|\Gamma(x)|$ ist für $x>0$ konvex. +Die blau hinterlegten Bereiche zeigen an, wo die Gamma-Funktion +negative Werte annimmt. +\label{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}} +\end{figure} Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist. Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort. +Der Graph +in Abbildung~\ref{buch:rekursion:gamma:loggammaplot} +zeigt, dass die Werte der Gamma-Funktion für $x>0$ so schnell +anwachsen, dass sogar die Funktion $\log|\Gamma(x)|$ konvex ist. +Der Satz von Bohr-Mollerup besagt, dass diese Eigenschaft zur +Charakterisierung der Gamma-Funktion verwendet werden kann. + \begin{satz} \label{buch:satz:bohr-mollerup} Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften @@ -20,6 +35,8 @@ Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften \item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex \end{enumerate} ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$. +\index{Satz!von Bohr-Mollerup}% +\index{Bohr-Mollerup, Satz von}% \end{satz} Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex index 165c48e..1771200 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -8,6 +8,25 @@ \label{buch:chapter:rekursion}} \lhead{Spezielle Funktionen und Rekursion} \rhead{} +Die Fakultät $n!=1\cdot 2\cdots n$ ist eine ersten Funktionen, für die +man normalerweise auch eine rekursive Definition kennenlernt. +Rekursion ist eine besonders gut der numerischen Berechnung zugängliche +Art, spezielle Funktionen zu definieren. +In diesem Kapitel sollen daher in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma} +zunächst die Gamma-Funktion als Verallgemeinerung konstruiert +und charakterisiert werden. +Die Beta-Funktion in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:section:beta} +verallgemeinert diese Rekursionsbeziehungen. +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:linear} +erinnert an die Methoden, mit denen lineare Rekursionsgleichungen +gelöst werden können. +Erfüllten die Koeffizienten einer Potenzreihe eine spezielle +Rekursionsbeziehung, entsteht die besonders vielfältige Familie +der hypergeometrischen Funktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +eingeführt werden. \input{chapters/040-rekursion/gamma.tex} \input{chapters/040-rekursion/beta.tex} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 7d4453b..7f19637 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -20,6 +20,8 @@ für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden. \end{equation} Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} +\index{Gamma-Funktion!Funktionalgleichung}% +\index{Funktionalgleichung der Gamma-Funktion}% erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt? \subsection{Definition als Grenzwert} @@ -71,6 +73,9 @@ gilt. Der Plan ist, dies so umzuformen, dass man für $x$ eine beliebige komplexe Zahl einsetzen kann. +% +% Pochhammer-Symbol +% \subsubsection{Pochhammer-Symbol} Die spezielle Form des Nenners und des zweiten Faktors im Zähler von \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:fakultaet} @@ -113,6 +118,9 @@ x! Der erste Faktor in diesem Ausdruck enthält jetzt nur noch Dinge, die für beliebige $x\in\mathbb{C}$ definiert sind. +% +% Grenwertdefinition +% \subsubsection{Grenzwertdefinition} Der zweite Bruch in \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3} besteht aus Termen, die zwar nur für natürliches $x$ definiert sind, @@ -141,8 +149,13 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert \[ \Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}. \] +\index{Grenzwertdefinition der Gamma-Funktion}% +\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}% \end{definition} +% +% Rekursionsgleichung für Gamma(x) +% \subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$} Es ist aus der Herleitung klar, dass $\Gamma(n)=(n-1)!$ sein muss. Wir sollten dies aber auch direkt aus der @@ -195,15 +208,85 @@ x\lim_{n\to\infty} \frac{n^{x-1}}{(n+1)^{x-1}} \\ &= +x \Gamma(x) \lim_{n\to\infty} \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{x-1} = -\Gamma(x), +x\Gamma(x), \end{align*} Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist. +% +% Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol +% +\subsubsection{Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol} +Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt +\begin{align*} +\Gamma(x+n) +&= +(x+n-1) \Gamma(x+n-1) +\\ +&= +(x+n-1)(x+n-2)\Gamma(x+n-2) +\\ +&= +\underbrace{ +(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x-1)(x) +}_{\text{$n$ Faktoren}} \Gamma(x) +\\ +&=(x)_n \Gamma(x). +\end{align*} +Damit folgt + +\begin{satz} +\index{Satz!Pochhammer-Symbol@Pochhammer-Symbol und $\Gamma(x)$}% +\label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer} +Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als +\[ +\Gamma(x+n) = (x)_n \Gamma(x). +\] +Das Pochhammer-Symbol $(x)_n$ ist für alle natürlichen $n$ gegeben durch +\[ +(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}. +\] +\end{satz} + +% +% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition +% \subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition} +\begin{table} +\centering +%\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|} +\hline +\log_{10} n& n&n!n^{x-1}/(x)_n\mathstrut & \text{Fehler% +\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ +\hline +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} + 1& 10&1.\underline{7}947392559855804&0.0222854050800643\\ + 2& 100&1.\underline{77}46707942830697&0.0022169433775536\\ + 3& 1000&1.\underline{772}6754214755178&0.0002215705700017\\ + 4& 10000&1.\underline{7724}760067171375&0.0000221558116213\\ + 5& 100000&1.\underline{77245}60664742375&0.0000022155687214\\ + 6& 1000000&1.\underline{77245}40724623101&0.0000002215567940\\ + 7& 10000000&1.\underline{7724538}730613721&0.0000000221558560\\ + 8& 100000000&1.\underline{77245385}31233258&0.0000000022178097\\ + 9& 1000000000&1.\underline{77245385}11320680&0.0000000002265519\\ + 10& 10000000000&1.\underline{772453850}9261316&0.0000000000206155\\ + 11&100000000000&1.\underline{77245385}14549788&0.0000000005494627\\ + & \infty&1.\underline{7724538509055161}& +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Numerische Berechnung mit der Grenzwertdefinition +und rekursiver Berechnung von $n!/(x)_n$ mit Hilfe der Folge +\eqref{buch:rekursion:gamma:pnfolge}. +Die Konvergenz ist sehr langsam, die Anzahl korrekter Stellen +wächst logarithmisch mit $n$. +\label{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}} +\end{table} Die Grenzwertdefinition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} ist zwar zweifellos richtig, kann aber nicht für die numerische Berechnung der Gamma-Funktion verwendet werden. @@ -237,6 +320,24 @@ ist. Die Approximation mit Hilfe der Grenzwertdefinition kann also grundsätzlich nicht mehr als zwei korrekte Nachkommastellen liefern. +Den Quotienten $n!/(x)_n$ kann man mit Hilfe der Rekursionsformel +\begin{equation} +p_n = p_{n-1}\cdot \frac{n}{x+n-1},\qquad +p_0 = 0 +\label{buch:rekursion:gamma:pnfolge} +\end{equation} +etwas effizienter berechnen. +Insbesondere umgeht man damit das Problem, dass $n!$ den Wertebereich +des \texttt{double} Datentyps sprengt. +Der Wert der Gamma-Funktion kann dann durch $p_nn^{x-1}$ approximiert +werden. +Die Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung} fasst die +Resultate zusammen und zeigt, dass die Konvergenz logarithmisch ist: +die Anzahl korrekter Nachkommastellen ist $\log_{10}n$. + +% +% Produktformel +% \subsection{Produktformel} Ein möglicher Ausweg aus den numerischen Schwierigkeiten mit der Grenzwertdefinition ist, den schnell wachsenden Faktor $n!$ @@ -244,6 +345,7 @@ in den Zähler zu bringen, so dass er der Konvergenz etwas nachhilft. Wir berechnen daher den Kehrwert $1/\Gamma(x)$. \begin{satz} +\index{Satz!Produktformel@Produktformel für $\Gamma(x)$}% \label{buch:rekursion:gamma:satz:produktformel} Der Kehrwert der Gamma-Funktion kann geschrieben werden als \begin{equation} @@ -253,8 +355,10 @@ xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^\infty \biggl(1+\frac{x}k\biggr)\,e^{-\frac{x}{k}}, \label{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel} +\index{Gamma-Funktion!Produktformel}% \end{equation} wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante +\index{Euler-Mascheronische Konstante}% \[ \gamma = @@ -262,6 +366,8 @@ wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante \biggl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\biggr) \] ist. +\index{Gamma-Funktion!Produktformel}% +\index{Produktformel für die Gamma-Funkion}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -368,16 +474,20 @@ vollständig bewiesen. \begin{table} \centering -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline -k & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n) \\ +k & n & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n)% +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline -1 & 1.\underline{7}518166478 & -0.0206372031 \\ -2 & 1.\underline{77}02543372 & -0.0021995137 \\ -3 & 1.\underline{772}2324556 & -0.0002213953 \\ -4 & 1.\underline{7724}316968 & -0.0000221541 \\ -5 & 1.\underline{77245}16354 & -0.0000022156 \\ -6 & 1.\underline{772453}6293 & -0.0000002216 \\ +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} + 1& 10& 1.\underline{7}518166478& -0.0206372031 \\ + 2& 100& 1.\underline{77}02543372& -0.0021995137 \\ + 3& 1000& 1.\underline{772}2324556& -0.0002213953 \\ + 4& 10000& 1.\underline{7724}316968& -0.0000221541 \\ + 5& 100000& 1.\underline{77245}16354& -0.0000022156 \\ + 6&1000000& 1.\underline{772453}6293& -0.0000002216 \\ +\infty& & 1.\underline{7724538509}& +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline \end{tabular} \caption{Werte $\Gamma(\frac12,n)$ von $\Gamma(\frac12)$ berechnet mit @@ -385,6 +495,9 @@ $n=10^k$ Faktoren der Produktformel~\eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel} und der zugehörige Fehler. Die korrekten Nachkommastellen sind unterstrichen. +Die Konvergenz ist genau gleich langsam wie in der Berechnung mit +Hilfe der Grenzwert-Definition in +Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}. \label{buch:rekursion:gamma:gammatabelle}} \end{table} @@ -422,6 +535,8 @@ z \mapsto \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt \] +\index{Gamma-Funktion!Integraldefinition}% +\index{Integraldefinition der Gamma-Funktion}% \end{definition} Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine @@ -436,6 +551,9 @@ die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt. +% +% Funktionalgleichung für die Integraldefinition +% \subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition} Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} @@ -480,8 +598,8 @@ ganzzahlige Argumente übereinstimmen. Der folgende Abschnitt macht deutlich, dass es sehr viele Funktionen gibt, die ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllen. Eine vollständige Rechtfertigung für diese Definition wird später -in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:beta} -\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} +in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis} +in Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} auf Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} gegeben. @@ -494,9 +612,13 @@ die Werte der Fakultät annimmt. \label{buch:rekursion:fig:gamma}} \end{figure} +% +% Der Wert Gamma(1/2) +% \subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$} Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ zu berechnen. +\index{Gamma-Funktion!WertGamma12@Wert von $\Gamma(\frac12)$}% Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition der Gamma-Funktion und berechnen \begin{align} @@ -511,12 +633,16 @@ der Gamma-Funktion und berechnen \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds = \sqrt{\pi}. -\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +\label{buch:rekursion:gamma:wert12} \end{align} Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist. -\subsubsection{Alternative Lösungen} +% +% Alternative Lösungen +% +\subsubsection{Alternative Lösungen der +Funktionalgleichung~\ref{buch:rekursion:eqn:gammadef}} Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle @@ -547,6 +673,8 @@ Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat, welches hier nicht bewiesen wird. \begin{satz}[Wielandt] +\index{Satz!von Wielandt}% +\index{Wielandt, Satz von}% Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften \begin{enumerate} @@ -560,11 +688,16 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $. % XXX Gamma in the interval (1,2) %Man beachte, dass +% +% Laplace-Transformierte der Potenzfunktion +% \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion} Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen. +\index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}% \begin{satz} +\index{Satz!Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}% Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist \[ (\mathscr{L}f)(s) @@ -594,7 +727,11 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus \] \end{proof} +% +% Pol erster Ordnung bei z=0 +% \subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$} +\index{Gamma-Funktion!Pol@Pol bei $z=0$}% Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt. Der Wert für $z=1$ ist @@ -644,7 +781,12 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck \] Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. +% +% Ausdehnung auf Re(z) < 0 +% \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$} +\index{Gamma-Funktion!analytische Fortsetzung}% +\index{analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion}% Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$. Durch analytische Fortsetzung, wie sie im Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung} @@ -683,22 +825,29 @@ Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden. +% +% Numerische Berechnung +% \subsubsection{Numerische Berechnung} \begin{table} \centering -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline -k & y(10^k) & y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2}) \\ +k & n=10^k & y(n) & y(n) - \Gamma(\frac{5}{3}) +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline -1 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\ -2 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\ -3 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\ -4 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\ -5 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ -6 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt} +1 & 10 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\ +2 & 100 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\ +3 & 1000 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\ +4 & 10000 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\ +5 & 100000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ +6 & 1000000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\ + & \infty & 0.\underline{9027452929} & +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ \hline \end{tabular} -\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{2})$ mit Hilfe +\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{3})$ mit Hilfe der Differentialgleichung \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}. Die korrekten Stellen sind unterstrichen. Es sind immerhin sechs korrekte Stellen gefunden, wobei nur 337 @@ -708,19 +857,24 @@ Auswertungen des Integranden notwendig waren. Im Prinzip könnte die Integraldefinition der numerischen Berechnung entgegenkommen. Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für -$z=\frac52$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen +$z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen \begin{equation} \dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t} -\qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}. +\qquad +\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}. \label{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl} \end{equation} +\index{Gamma-Funktion!Loesung@Lösung mit Differentialgleichung} Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$. In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral} sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen -$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst. +$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{3})$ zusammengefasst. Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur 337 Auswertungen des Integranden. +Eine noch wesentlich effizientere Auswertung des $\Gamma$-Integrals +mit Hilfe der Gauss-Laguerre-Quadratur wird in Kapitel~\ref{chapter:laguerre} +von Patrick Müller dargestellt. % % diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0804e74 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile @@ -0,0 +1,11 @@ +# +# Makefile -- build gamma limit test programm +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +l: l.cpp + g++ -O2 -g -Wall `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` \ + -o l l.cpp + +test: l + ./l diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp new file mode 100644 index 0000000..7a86800 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp @@ -0,0 +1,26 @@ +/* + * l.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cmath> +#include <cstdio> + +int main(int argc, char *argv[]) { + double x = 0.5; + double g = tgamma(x); + printf("limit: %20.16f\n", g); + double p = 1; + long long N = 100000000000; + long long n = 10; + for (long long k = 1; k <= N; k++) { + p = p * k / (x + k - 1); + if (0 == k % n) { + double gval = p * pow(k, x-1); + printf("%12ld %20.16f %20.16f\n", k, gval, gval - g); + n = n * 10; + } + } + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m new file mode 100644 index 0000000..32b6442 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m @@ -0,0 +1,19 @@ +# +# l.m -- Berechnung der Gamma-Funktion +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 10000; + +function retval = gamma(x, n) + p = 1; + for k = (1:n) + p = p * k / (x + k - 1); + end + retval = p * n^(x-1); +endfunction + +for n = (100:100:N) + printf("Gamma(%4d) = %10f\n", n, gamma(0.5, n)); +end diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index d92e594..13ba3b2 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -16,22 +16,38 @@ n^3S_{n} mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben? Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber zeigen, dass -\[ +\begin{equation} S_n = \sum_{k=0}^n \binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2 -\] +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn} +\end{equation} gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}). Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die -Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$ +Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von $k$ sind. -% XXX Quotient berechnen -Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die -im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch} -in Erinnerung gerufen wird. +\begin{definition} +Ein Folge heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender +\index{hypergeometrische Folge}% +\index{Folge, hypergeometrisch}% +Terme eine rationale Funktion des Folgenindex ist. +\end{definition} + +Die Terme der Reihenentwicklungen aller bisher behandelten speziellen +Funktionen waren hypergeometrisch. +Im aktuellen Abschnitt soll daher die Klasse der sogenannten +hypergeometrischen Funktionen untersucht werden, die durch diese +Eigenschaft charakterisiert sind. + +In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten} +wird klar, dass Folgen, deren Terme aus Fakultäten und Binomialkoeffizienten +immer hypergeometrisch sind. +Die Untersuchung der geometrischen Reihe in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch} +motiviert die Namensgebung. Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen} definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt, wie sie in eine Standardform gebracht werden können. @@ -39,22 +55,101 @@ In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele} schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können. +% +% Quotienten von Binomialkoeffizienten +% +\subsection{Quotienten von Binomialkoeffizienten +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten}} +Aufeinanderfolgende Terme der Summe +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn} +sollen als Quotienten eine rationale Funktion haben. +Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Folgen, die durch Fakultäten +oder Binomialkoeffizienten definiert sind, wie die beiden folgenden +Sätze zeigen. + +\begin{satz} +\index{Satz!Quotienten von Fakultäten}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo} +Der Quotient aufeinanderfolgender Folgenglieder +der Folge $c_k=(a+bk)!$ ist der ein Polynom vom Grad $b$. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{align*} +\frac{c_{k+1}}{c_k} +&= +\frac{(a+b(k+1))!}{(a+bk)!} += +\frac{(a+bk+b)!}{(a+b)!} +\\ +&= +(a+bk+1)(a+bk+2)\cdots(a+bk+b) += +(a+bk+1)_b +\end{align*} +Das Pochhammer-Symbol hat $b$ Faktoren, es ist ein Polynom vom Grad $b$. +\end{proof} + +\begin{satz} +\index{Satz!Quotienten von Binomialkoeffizienten}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo} +Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte der Binomialkoeffizienten +\[ +f_k += +\binom{a+bk}{c+dk} +\] +ist eine rationale Funktion von $k$ mit Zähler- und Nennergrad $b$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Indem man die Binomialkoeffizienten mit Fakultäten als +\[ +\binom{a+bk}{c+dk} += +\frac{(a+bk)!}{(c+dk)!(a-c+(b-d)k)!} +\] +ausschreibt, findet man mit +Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo} +für die Quotienten +\begin{align} +\frac{f_{k+1}}{f_k} +&= +\frac{(a+bk+1)_b}{(c+dk+1)_d\cdot(a-c+(b-d)k+1)_{b-d}} +\label{buch:rekursion:eqn:binomquotient} +\end{align} +Die Pochhammer-Symbole sind Polynome vom Grad $b$, $d$ bzw.~$b-d$. +Insbesondere ist auch das Nenner-Polynom vom Grad $d+(b-d)=b$. +\end{proof} + +Aus den Sätzen~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo} +und +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo} +folgt jetzt sofort, dass auch der Quotient aufeinanderfolgender +Summanden der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn} +eine rationale Funktion von $k$ ist. + +% +% Die geometrische Reihe +% \subsection{Die geometrische Reihe \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}} -Die besonders einfache Potenzreihe +Die Reihe \[ f(q) = \sum_{k=0}^\infty aq^k \] -heisst die {\em geometrische Reihe}. +heisst die {\em geometrische Reihe} ist besonders einfache +Reihe mit einer hypergeometrischen Folge von Termen. +\index{geometrische Reihe}% +\index{Reihe!geometrische}% Die Partialsummen \[ S_n = \sum_{k=0}^n aq^k \] -kann mit der Differenz +können aus der Differenz \begin{equation} (1-q)S_n = @@ -75,8 +170,7 @@ a\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme} \end{equation} auflösen kann. - -Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert +Für $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert $S_n$ gegen \[ \sum_{k=0}^\infty aq^k @@ -97,6 +191,9 @@ Die Berechnung der Summe in beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen'' Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt. +% +% Hypergeometrische Reihen +% \subsection{Hypergeometrische Reihen \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}} Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die @@ -105,11 +202,15 @@ ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die Reihe beschriebenen Funktionen zu machen. \begin{definition} -Eine Reihe +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg} +Eine durch die Reihe \[ f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \] -heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender +definierte Funktion $f(x)$ heisst {\em hypergeometrisch}, +wenn der Quotient aufeinanderfolgender +\index{hypergeometrisch} +\index{Reihe!hypergeometrisch} Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist, wenn also \[ @@ -120,9 +221,13 @@ wenn also mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist. \end{definition} +% +% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen +% +\subsubsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen} Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe, wobei $p(k)/q(k)=1$ ist. -Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe +Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, die durch die Taylor-Reihe \[ e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \] @@ -165,7 +270,30 @@ eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$. Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass $\cos x = f(x^2)$ ist. -Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass +% +% Die hypergeometrischen Funktione pFq +% +\subsubsection{Die hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_pF_q$} +Die Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg} +einer hypergeometrischen Funktion wie auch die Verschiedenartigkeit +der Beispiele kännen den Eindruck vermitteln, dass die diese Klasse +von Funktionen unübersichtlich gross sein könnte. +Dem ist jedoch nicht so. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass alle hypergeometrischen +Funktionen durch die in +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} definierten +Funktionen $\mathstrut_pF_q$ ausgedrückt werden. +Die hypergeometrischen Funktionen können also vollständig parametrisiert +werden. + +Zu diesem Zweick sie +\[ +f(x) += +\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +\] +eine hypergeometrische Funktion und +seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}. \] @@ -201,12 +329,12 @@ Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also die Polynome als \begin{align*} -p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n) +p(k) &= s(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n) \\ q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m) \end{align*} schreiben kann. -Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht +Der Faktor $s$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht notwendigerweise normiert sind. Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment @@ -216,14 +344,14 @@ Dann ist nach \[ a_{k} = -x^{k} +s^{k} \frac{ (k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1) }{ (k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1) } = -\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k. +\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} s^k. \] Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen geschrieben werden. @@ -233,13 +361,16 @@ von der Form a_k = \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k} -x^ka_0. +s^ka_0. \] -Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form +Jede hypergeometrische Funktion kann daher in der Form \[ +f(x) += a_0 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k} +s^k x^k \] geschrieben werden. @@ -273,9 +404,10 @@ zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$ erhöht. -Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als +Die oben analysierte Summe für $f(x)$ kann mit der +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} als \[ -S +f(x) = a_0 \cdot @@ -283,11 +415,75 @@ a_0 \begin{matrix} -a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\ -b_1,-b_2,\dots,-a_m -\end{matrix}; x +\end{matrix}; sx \biggr) \] beschrieben werden. +% +% Elementare Rechenregeln +% +\subsubsection{Elementare Rechenregeln} +Die Funktionen $\mathstrut_pF_q$ sind nicht alle unabhängig. +In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} +wird gezeigt werden, dass Ableitung und Stammfunktion einer hypergeometrischen +Funktion durch Manipulation der Parameter $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden +können. +Viel einfacher sind jedoch die folgenden, aus +Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} +offensichtlichen Regeln: + +\begin{satz}[Permutationsregel] +\index{Satz!Permutationsregel für hypergeometrische Funktionen}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel} +Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine +beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist +\begin{equation} +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q +\end{matrix} +;x +\biggr) += +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)} +\end{matrix} +;x +\biggr). +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{satz}[Kürzungsformel] +\index{Satz!Kürzungsformel für hypergeometrische Funktionen}% +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel} +Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$ +überein, dann können sie weggelassen werden: +\begin{equation} +\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix} +c,a_1,\dots,a_p\\ +c,b_1,\dots,b_q +\end{matrix}; +x +\biggr) += +\mathstrut_{p}F_{q}\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix}; +x +\biggr). +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel} +\end{equation} +\end{satz} + +% +% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen +% \subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}} Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen @@ -295,6 +491,9 @@ lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken. In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben. +% +% Die geometrische Reihe +% \subsubsection{Die geometrische Reihe} In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren. @@ -312,6 +511,9 @@ a\sum_{k=0}^\infty a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x). \] +% +% Die Exponentialfunktion +% \subsubsection{Exponentialfunktion} Die Exponentialfunktion ist die Reihe \[ @@ -323,7 +525,10 @@ benötigt, es ist daher e^x = \mathstrut_0F_0(x). \] -\subsubsection{Wurzelfunktion} +% +% Wurzelfunktionen +% +\subsubsection{Wurzelfunktionen} Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe \[ @@ -412,11 +617,33 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion \sqrt{1\pm x} = \sum_{k=0}^\infty -\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!} +\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(\pm x)^k}{k!} = \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x). \] +Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe} +hergleitet wird, +kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion +\begin{align*} +(1+x)^\alpha +&= +1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots +%\\ +%& += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k += +\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr) +\end{align*} +durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken. +Dieses Resultat ist der Inhalt von +Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe} + +% +% Logarithmusfunktion +% \subsubsection{Logarithmusfunktion} Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe \[ @@ -483,8 +710,11 @@ x\cdot \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr). \] - +% +% Trigonometrische Funktionen +% \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} +\index{trigonometrische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}% Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt, im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion durchgeführt werden. @@ -509,7 +739,7 @@ x f(-x^2). Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden: -\[ +\begin{equation*} f(z) = 1 @@ -521,7 +751,7 @@ f(z) \frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!} + \dots -\] +\end{equation*} Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden. Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte @@ -561,15 +791,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren: (1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k \end{align*} Setzt man dies in die Reihe ein, wird -\[ +\begin{equation} f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k} z^k = -\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr). -\] +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4 +\biggr) += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4 +\biggr). +\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf} +\end{equation} +Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel} +von +Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel} +angewendet. Damit lässt sich die Sinus-Funktion als \begin{equation} \sin x @@ -585,28 +827,35 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \end{equation} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. +% +% Hyperbolische Funktionen +% \subsubsection{Hyperbolische Funktionen} +\index{hyperbolische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}% Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch auf die Funktion \begin{align*} \sinh x &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} -\\ -&= +%\\ +%& += x \, \biggl( 1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots \biggr) -\\ +\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion +$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf} +schreiben als} &= -xf(-x^2) -= -x\,\mathstrut_1F_2\biggl( -\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} -;\frac{x^2}{4} -\biggr) +x\,f(-x^2) +%= +%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl( +%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} +%;\frac{x^2}{4} +%\biggr) = x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix} @@ -618,18 +867,85 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$. Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als ``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen. +% +% Tschebyscheff-Polynome +% \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} +\index{Tschebyscheff-Polynome}% +Man kann zeigen, dass auch die Tschebyscheff-Polynome sich durch die +hypergeometrischen Funktionen +\begin{equation} +T_n(x) += +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-n,n\\\frac12\end{matrix} +; +\frac12(1-x) +\biggr) +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:tschebyscheff2f1} +\end{equation} +ausdrücken lassen. +Beweisen kann man diese Beziehung zum Beispiel mit Hilfe der +Differentialgleichungen, denen die Funktionen genügen. +Diese Methode wird in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} +von Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} vorgestellt. + +Die Tschebyscheff-Polynome sind nicht die einzigen Familien von Polynomen, +\index{Tschebyscheff-Polynome!als hypergeometrische Funktion} +die sich durch $\mathstrut_pF_q$ ausdrücken lassen. +Für die zahlreichen Familien von orthogonalen Polynomen, die in +Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet} untersucht werden, +trifft dies auch zu. +Ein Funktion +\[ +\mathstrut_pF_q +\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix} +;z +\biggr) +\] +ist genau dann ein Polynom, wenn mindestens einer der Parameter +$a_k$ eine negative ganze Zahl ist. +Der Grad des Polynoms ist der kleinste Betrag der negativ ganzzahligen +Werte unter den Parametern $a_k$. + +% +% Die Funktionen 0F1 +% +\subsubsection{Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf} +\caption{Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1(;\alpha;x)$ für +verschiedene Werte von $\alpha$. +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1}} +\end{figure} +Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$ sind in den Beispielen mit der +beschränkten trigonometrischen Funktion $\sin x$ und mit der +exponentiell unbeschränkten Funktion $\sinh x$ mit dem gleichen +Wert des Parameters und nur einem Wechsel des Vorzeichens des +Arguments verbunden worden. +Die Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1$, die in +Abbildung~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1} dargestellt sind, +machen dieses Verhalten plausibel. +Es wird sich später zeigen, dass $\mathstrut_0F_1$ auch mit den Bessel- +und den Airy-Funktionen verwandt sind. -TODO -\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} % % Ableitung und Stammfunktion % -\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen} +\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}} Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken. - +% +% Ableitung +% \subsubsection{Ableitung} Wir gehen aus von der Funktion \begin{equation} @@ -743,7 +1059,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als \frac{1}{(\frac12)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k = -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr) \end{align*} geschrieben werden kann. @@ -752,16 +1068,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher \frac{d}{dx} \cos x &= \frac{d}{dx} -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) = \frac{1}{\frac12} \, -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr) = -x \cdot -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \intertext{Dies stimmt mit der in \eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen @@ -771,6 +1093,9 @@ Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet} \end{align*} \end{beispiel} +% +% Stammfunktion +% \subsubsection{Stammfunktion} Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie die Ableitung finden. diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp new file mode 100644 index 0000000..24ca3f1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp @@ -0,0 +1,94 @@ +/* + * 0f1.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstring> +#include <cstdio> +#include <cstdlib> +#include <cmath> +#include <string> +#include <iostream> +#include <fstream> + +static int N = 100; +static double xmin = -50; +static double xmax = 30; +static int points = 200; + +double f(double b, double x) { + double s = 1; + double p = 1; + for (int k = 1; k < N; k++) { + p = p * x / (k * (b + k - 1.)); + s += p; + } + return s; +} + +typedef std::pair<double, double> point_t; + +point_t F(double b, double x) { + return std::make_pair(x, f(b, x)); +} + +std::string ff(double f) { + if (f > 1000) { f = 1000; } + if (f < -1000) { f = -1000; } + char b[128]; + snprintf(b, sizeof(b), "%.4f", f); + return std::string(b); +} + +std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) { + char b[128]; + out << "({" << ff(p.first) << "*\\dx},{" << ff(p.second) << "*\\dy})"; + return out; +} + +void curve(std::ostream& out, double b, const std::string& name) { + double h = (xmax - xmin) / points; + out << "\\def\\kurve" << name << "{"; + out << std::endl << "\t" << F(b, xmin); + for (int i = 1; i <= points; i++) { + double x = xmin + h * i; + out << std::endl << "\t-- " << F(b, x); + } + out << std::endl; + out << "}" << std::endl; +} + +int main(int argc, char *argv[]) { + std::ofstream out("0f1data.tex"); + + double s = 13/(xmax-xmin); + out << "\\def\\dx{" << ff(s) << "}" << std::endl; + out << "\\def\\dy{" << ff(s) << "}" << std::endl; + out << "\\def\\xmin{" << ff(s * xmin) << "}" << std::endl; + out << "\\def\\xmax{" << ff(s * xmax) << "}" << std::endl; + + curve(out, 0.5, "one"); + curve(out, 1.5, "two"); + curve(out, 2.5, "three"); + curve(out, 3.5, "four"); + curve(out, 4.5, "five"); + curve(out, 5.5, "six"); + curve(out, 6.5, "seven"); + curve(out, 7.5, "eight"); + curve(out, 8.5, "nine"); + curve(out, 9.5, "ten"); + + curve(out,-0.5, "none"); + curve(out,-1.5, "ntwo"); + curve(out,-2.5, "nthree"); + curve(out,-3.5, "nfour"); + curve(out,-4.5, "nfive"); + curve(out,-5.5, "nsix"); + curve(out,-6.5, "nseven"); + curve(out,-7.5, "neight"); + curve(out,-8.5, "nnine"); + curve(out,-9.5, "nten"); + + out.close(); + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2c35813 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex new file mode 100644 index 0000000..1bc8b87 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +% +% 0f1.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\input{0f1data.tex} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope} +\clip (\xmin,-1) rectangle (\xmax,5); +\draw[color=blue!5!red,line width=1.4pt] \kurveone; +\draw[color=blue!16!red,line width=1.4pt] \kurvetwo; +\draw[color=blue!26!red,line width=1.4pt] \kurvethree; +\draw[color=blue!37!red,line width=1.4pt] \kurvefour; +\draw[color=blue!47!red,line width=1.4pt] \kurvefive; +\draw[color=blue!57!red,line width=1.4pt] \kurvesix; +\draw[color=blue!68!red,line width=1.4pt] \kurveseven; +\draw[color=blue!78!red,line width=1.4pt] \kurveeight; +\draw[color=blue!89!red,line width=1.4pt] \kurvenine; +\draw[color=blue!100!red,line width=1.4pt] \kurveten; +\def\ds{0.4} +\begin{scope}[yshift=0.5cm] +\node[color=blue!5!red] at (\xmin,{1*\ds}) [right] {$\alpha=0.5$}; +\node[color=blue!16!red] at (\xmin,{2*\ds}) [right] {$\alpha=1.5$}; +\node[color=blue!26!red] at (\xmin,{3*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$}; +\node[color=blue!37!red] at (\xmin,{4*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$}; +\node[color=blue!47!red] at (\xmin,{5*\ds}) [right] {$\alpha=3.5$}; +\node[color=blue!57!red] at (\xmin,{6*\ds}) [right] {$\alpha=5.5$}; +\node[color=blue!68!red] at (\xmin,{7*\ds}) [right] {$\alpha=6.5$}; +\node[color=blue!78!red] at (\xmin,{8*\ds}) [right] {$\alpha=7.5$}; +\node[color=blue!89!red] at (\xmin,{9*\ds}) [right] {$\alpha=8.5$}; +\node[color=blue!100!red]at (\xmin,{10*\ds}) [right] {$\alpha=9.5$}; +\end{scope} +\node at (-1.7,4.5) {$\displaystyle +y=\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\alpha\end{matrix};x\biggr)$}; +\end{scope} + +\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$]; +\draw[->] (0,-0.5) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope}[yshift=-6.5cm] +\begin{scope} +\clip (\xmin,-5) rectangle (\xmax,5); + +\draw[color=darkgreen!5!red,line width=1.4pt] \kurvenone; +\draw[color=darkgreen!16!red,line width=1.4pt] \kurventwo; +\draw[color=darkgreen!26!red,line width=1.4pt] \kurventhree; +\draw[color=darkgreen!37!red,line width=1.4pt] \kurvenfour; +\draw[color=darkgreen!47!red,line width=1.4pt] \kurvenfive; +\draw[color=darkgreen!57!red,line width=1.4pt] \kurvensix; +\draw[color=darkgreen!68!red,line width=1.4pt] \kurvenseven; +\draw[color=darkgreen!78!red,line width=1.4pt] \kurveneight; +\draw[color=darkgreen!89!red,line width=1.4pt] \kurvennine; +\draw[color=darkgreen!100!red,line width=1.4pt] \kurventen; +\end{scope} + +\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$]; +\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}]; +\def\ds{-0.4} +\begin{scope}[yshift=-0.5cm] +\node[color=darkgreen!5!red] at (\xmax,{1*\ds}) [left] {$\alpha=-0.5$}; +\node[color=darkgreen!16!red] at (\xmax,{2*\ds}) [left] {$\alpha=-1.5$}; +\node[color=darkgreen!26!red] at (\xmax,{3*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$}; +\node[color=darkgreen!37!red] at (\xmax,{4*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$}; +\node[color=darkgreen!47!red] at (\xmax,{5*\ds}) [left] {$\alpha=-3.5$}; +\node[color=darkgreen!57!red] at (\xmax,{6*\ds}) [left] {$\alpha=-5.5$}; +\node[color=darkgreen!68!red] at (\xmax,{7*\ds}) [left] {$\alpha=-6.5$}; +\node[color=darkgreen!78!red] at (\xmax,{8*\ds}) [left] {$\alpha=-7.5$}; +\node[color=darkgreen!89!red] at (\xmax,{9*\ds}) [left] {$\alpha=-8.5$}; +\node[color=darkgreen!100!red]at (\xmax,{10*\ds}) [left] {$\alpha=-9.5$}; +\end{scope} +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile index 86dfa1e..54ed23b 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile @@ -3,7 +3,8 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf +all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf loggammaplot.pdf \ + 0f1.pdf gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex pdflatex gammaplot.tex @@ -29,4 +30,17 @@ beta.pdf: beta.tex betapaths.tex betapaths.tex: betadist.m octave betadist.m +loggammaplot.pdf: loggammaplot.tex loggammadata.tex + pdflatex loggammaplot.tex +loggammadata.tex: loggammaplot.m + octave loggammaplot.m + +0f1: 0f1.cpp + g++ -O -Wall -g -o 0f1 0f1.cpp + +0f1data.tex: 0f1 + ./0f1 + +0f1.pdf: 0f1.tex 0f1data.tex + pdflatex 0f1.tex diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m new file mode 100644 index 0000000..5456e4f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m @@ -0,0 +1,43 @@ +# +# loggammaplot.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +xmax = 10; +xmin = 0.1; +N = 500; + +fn = fopen("loggammadata.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\def\\loggammapath{\n ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + xmax, log(gamma(xmax))); +xstep = (xmax - 1) / N; +for x = (xmax:-xstep:1) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x))); +endfor +for k = (0:0.2:10) + x = exp(-k); + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x))); +endfor +fprintf(fn, "\n}\n"); + +function retval = lgp(fn, x0, name) + fprintf(fn, "\\def\\loggammaplot%s{\n", name); + fprintf(fn, "\\draw[color=red,line width=1pt] "); + for k = (-7:0.1:7) + x = x0 + 0.5 * tanh(k); + if (k > -5) + fprintf(fn, "\n\t-- "); + end + fprintf(fn, "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x))); + endfor + fprintf(fn, ";\n}\n"); +endfunction + +lgp(fn, -0.5, "zero"); +lgp(fn, -1.5, "one"); +lgp(fn, -2.5, "two"); +lgp(fn, -3.5, "three"); +lgp(fn, -4.5, "four"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a2963f2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..8ca4e1c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex @@ -0,0 +1,89 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\input{loggammadata.tex} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here + +\def\dx{1} +\def\dy{0.6} +\def\xmax{8} +\def\xmin{-4.9} +\def\ymax{8} +\def\ymin{-3.1} + +\fill[color=blue!20] ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-4*\dx},{\ymax*\dy}); +\fill[color=blue!20] ({-3*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-2*\dx},{\ymax*\dy}); +\fill[color=blue!20] ({-1*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-0*\dx},{\ymax*\dy}); + +\draw[->] ({\xmin*\dx-0.1},0) -- ({\xmax*\dx+0.3},0) + coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{\ymin*\dy-0.1}) -- (0,{\ymax*\dy+0.3}) + coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope} +\clip ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({\xmax*\dx},{\ymax*\dy}); + +\foreach \x in {-1,-2,-3,-4}{ + \draw[color=blue,line width=0.3pt] + ({\x*\dx},{\ymin*\dy}) -- ({\x*\dx},{\ymax*\dy}); +} + +\draw[color=red,line width=1pt] \loggammapath; + +\loggammaplotzero +\loggammaplotone +\loggammaplottwo +\loggammaplotthree +\loggammaplotfour + +\end{scope} + +\foreach \y in {0.1,10,100,1000,1000}{ + \draw[line width=0.3pt] + ({\xmin*\dx},{ln(\y)*\dy}) + -- + ({\xmax*\dx},{ln(\y)*\dy}) ; +} + +\foreach \x in {1,...,8}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05}); + \node at ({\x*\dx},0) [below] {$\x$}; +} + +\foreach \x in {-1,...,-4}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05}); +} +\foreach \x in {-1,...,-3}{ + \node at ({\x*\dx},0) [below right] {$\x$}; +} +\node at ({-4*\dx},0) [below left] {$-4$}; + +\def\htick#1#2{ + \draw (-0.05,{ln(#1)*\dy}) -- (0.05,{ln(#1)*\dy}); + \node at (0,{ln(#1)*\dy}) [above right] {#2}; +} + +\htick{10}{$10^1$} +\htick{100}{$10^2$} +\htick{1000}{$10^3$} +\htick{0.1}{$10^{-1}$} + +\node[color=red] at ({3*\dx},{ln(30)*\dy}) {$y=\log|\Gamma(x)|$}; + + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf Binary files differindex cc175a9..88b2b08 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex index 9a2511c..0284735 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex @@ -65,7 +65,7 @@ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; } -\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$}; +\node[color=darkgreen] at ({0.64*\dx},{0.56*\dy}) [rotate=42] {$k=7$}; \begin{scope}[yshift=-0.7cm] \def\dy{0.125} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex index f9d014e..5d76598 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex @@ -1,5 +1,5 @@ Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur -Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet. +Fakultäten und andere elementare Funktionen verwendet. \begin{loesung} Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 383c360..ac509ba 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -18,6 +18,9 @@ die sich durch bekannte Funktionen ausdrücken lassen, es ist also nötig, eine neue Familie von speziellen Funktionen zu definieren, die Bessel-Funktionen. +% +% Besselsche Differentialgleichung +% \subsection{Die Besselsche Differentialgleichung} % XXX Wo taucht diese Gleichung auf Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung @@ -25,16 +28,22 @@ Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2-\alpha^2)y = 0 \label{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} \end{equation} +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% +\index{Besselsche Differentialgleichung}% zweiter Ordnung für eine auf dem Interval $[0,\infty)$ definierte Funktion $y(x)$. Der Parameter $\alpha$ ist eine beliebige komplexe Zahl $\alpha\in \mathbb{C}$, die Lösungsfunktionen hängen daher von $\alpha$ ab. +% +% Eigenwertproblem +% \subsubsection{Eigenwertproblem} Die Besselsche Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator \index{Bessel-Operator}% +\index{Operator!Bessel-}% \begin{equation} B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2 \label{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} @@ -46,12 +55,15 @@ erfüllt \[ By = -x^2y''+xy+x^2y +x^2y''+xy'+x^2y =\alpha^2 y, \] ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert $\alpha^2$. +% +% Indexgleichung +% \subsubsection{Indexgleichung} Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Art~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} mit @@ -117,9 +129,11 @@ Nur eine Lösung kann man finden, wenn \] ist. - - -\subsection{Bessel-Funktionen erster Art} +% +% Bessel-Funktionen erster Art +% +\subsection{Bessel-Funktionen erster Art +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:bessel1steart}} Für $\alpha \ge 0$ gibt es immer mindestens eine Lösung der Besselgleichung als verallgemeinerte Potenzreihe mit $\varrho=\alpha$. Die Funktion $q(x)=x^2-\alpha^2$ ist ein Polynom, die einzigen @@ -138,6 +152,9 @@ Da $F(\varrho+1)\ne 0$ ist, folgt dass $a_1=0$ sein muss. % Fall n=1 gesondert behandeln +% +% Der allgemeine Fall +% \subsubsection{Der allgemeine Fall} Für die höheren Potenzen $n>1$ wird die Rekursionsformel für die Koeffizienten $a_n$ der verallgemeinerten Potenzreihe @@ -201,10 +218,11 @@ x^\varrho\biggl( x^\varrho \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\varrho+1)_k} \frac{(-x^2/4)}{k!} = +x^\varrho +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;\varrho+1;-\frac{x^2}{4}\biggr) \end{align*} -Falls also $\alpha$ kein ganzzahliges Vielfaches von $\frac12$ ist, finden -wir zwei Lösungsfunktionen +Wir finden also zwei Lösungsfunktionen \begin{align} y_1(x) %J_\alpha(x) @@ -214,8 +232,10 @@ x^{\alpha\phantom{-}} \frac{1}{(\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = +x^\alpha +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;\alpha+1;-\frac{x^2}{4}\biggr), -\label{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} +\label{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:erste} \\ y_2(x) %J_{-\alpha}(x) @@ -223,32 +243,50 @@ y_2(x) x^{-\alpha} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(-\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = +x^{-\alpha} +\cdot \mathstrut_0F_1\biggl(;-\alpha+1;-\frac{x^2}{4}\biggr). -\label{buch:differentialgleichunge:bessel:zweite} +\label{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:zweite} \end{align} +Man beachte, dass die zweite Lösung für ganzzahliges $\alpha>0$ nicht +definiert ist. +Man kann auch direkt nachrechnen, dass diese Funktionen Lösungen +der Besselschen Differentialgleichung sind. +% +% Bessel-Funktionen +% \subsubsection{Bessel-Funktionen} Da die Besselsche Differentialgleichung linear ist, ist auch jede Linearkombination der Funktionen -\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} +\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:erste} und -\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:zweite} +\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:eqn:zweite} eine Lösung. -Man kann zum Beispiel das Pochhammer-Symbol im Nenner loswerden, -wenn man im Nenner mit $\Gamma(\alpha+1)$ -multipliziert: +Satz~\ref{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer} +ermöglicht, das Pochhammer-Symbol durch Werte der Gamma-Funktion +wie in \[ -\frac{(1/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} +(\alpha+1)_n = \frac{\Gamma(\alpha+k+1)}{\Gamma(\alpha+1)} +\] +auszudrücken. +Damit wird +\begin{align} y_1(x) +&= +x^\alpha +\sum_{k=0}^\infty +\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} +\frac{(-x^2/4)^k}{k!} = +\Gamma(\alpha+1) 2^{\alpha} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha \sum_{k=0}^\infty -\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)} -\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k}. -\] -Dabei haben wir es durch -Multiplikation mit $(\frac12)^\alpha$ auch geschafft, die Funktion -einheitlich als Funktion von $x/2$ auszudrücken. +\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k} +\label{buch:differentialgleichungen:bessel:normierungsgleichung} +\end{align} +Nur gerade der Faktor $2^\alpha\Gamma(\alpha+1)$ ist von $k$ und $x$ +unabhängig, daher ist die folgende Definition sinnvoll: \begin{definition} \label{buch:differentialgleichungen:bessel:definition} @@ -262,12 +300,34 @@ J_{\alpha}(x) \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k} \] heisst {\em Bessel-Funktion erster Art der Ordnung $\alpha$}. +\index{Bessel-Funktion!erster Art}% \end{definition} +Die Bessel-Funktion $J_\alpha(x)$ der Ordnung $\alpha$ unterscheidet sich +nur durch einen Normierungsfaktor von der Lösung $y_1(x)$. +Dasselbe gilt für $J_{-\alpha}(x)$ und $y_2(x)$: +\begin{align*} +J_{\alpha}(x) +&= +\frac{1}{2^\alpha\Gamma(\alpha+1)} +\cdot +y_1(x) +\\ +J_{-\alpha}(x) +&= +\frac{1}{2^{-\alpha}\Gamma(-\alpha+1)} +\cdot +y_2(x). +\end{align*} + +% +% Ganzzahlige Ordnung +% +\subsubsection{Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung} Man beachte, dass diese Definition für beliebige ganzzahlige $\alpha$ funktioniert. Ist $\alpha=-n<0$, $n\in\mathbb{N}$, dann hat der Nenner Pole -an den Stellen $k=0,1,\dots,n-$. +an den Stellen $k=0,1,\dots,n-1$. Die Summe beginnt also erst bei $k=n$ oder \begin{align*} J_{-n}(x) @@ -285,7 +345,22 @@ J_{-n}(x) (-1)^n J_{n}(x). \end{align*} +Insbesondere unterscheiden sich $J_n(x)$ und $J_{-n}(x)$ nur durch +ein Vorzeichen. + +Als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung erwarten wir noch +eine zweite, linear unabhängige Lösung. +Diese kann jedoch nicht allein mit der Potenzreihenmethode, +dazu sind die Methoden der Funktionentheorie nötig. +Im Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} +wird gezeigt, wie dies möglich ist und auf +Seite~\pageref{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art} +werden die damit zu findenden Bessel-Funktionen 0-ter Ordnung und +zweiter Art vorgestellt. +% +% Erzeugende Funktione +% \subsubsection{Erzeugende Funktion} \begin{figure} \centering @@ -388,11 +463,15 @@ Die beiden Exponentialreihen sind \notag \end{align} +% +% Additionstheorem +% \subsubsection{Additionstheorem} Die erzeugende Funktion kann dazu verwendet werden, das Additionstheorem für die Besselfunktionen zu beweisen. \begin{satz} +\index{Satz!Additionstheorem für Besselfunktionen}% Für $l\in\mathbb{Z}$ und $x,y\in\mathbb{R}$ gilt \[ J_l(x+y) = \sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y). @@ -438,7 +517,9 @@ J_l(x+y) &= \sum_{m=-\infty}^\infty J_m(x)J_{l-m}(y) für alle $l$. \end{proof} - +% +% Der Fall \alpha=0 +% \subsubsection{Der Fall $\alpha=0$} Im Fall $\alpha=0$ hat das Indexpolynom eine doppelte Nullstelle, wir können daher nur eine Lösung erwarten. @@ -453,8 +534,10 @@ J_0(x) \] geschrieben werden kann. -% XXX Zweite Lösung explizit durchrechnen +% +% Der Fall \alpha=p, p\in \mathbb{N} +% \subsubsection{Der Fall $\alpha=p$, $p\in\mathbb{N}, p > 0$} In diesem Fall kann nur die erste Lösung~\eqref{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} @@ -467,8 +550,9 @@ J_p(x) \frac{(-1)^k}{k!(p+k)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{p+2k}. \] -TODO: Lösung für $\alpha=-n$ - +% +% Der Fall $\alpha=n+\frac12$ +% \subsubsection{Der Fall $\alpha=n+\frac12$, $n\in\mathbb{N}$} Obwohl $2\alpha$ eine Ganzzahl ist, sind die beiden Lösungen \label{buch:differentialgleichunge:bessel:erste} @@ -491,7 +575,7 @@ Es ist = \frac{1}{2^k}\bigl(3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2k+1)\bigr) = -\frac{(2k+1)!}{2^{2k+1}\cdot k!} +\frac{(2k+1)!}{2^{2k}\cdot k!} \\ \biggl(-\frac12 + 1\biggr)_k &= @@ -508,63 +592,181 @@ Es ist = \frac{1}{2^k}\bigl(1\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (2(k-1)+1)\bigr) = -\frac{(2k-1)!}{2^{2k}\cdot (k-1)!} +\frac{(2k-1)!}{2^{2k-1}\cdot (k-1)!} \end{align*} Damit können jetzt die Reihenentwicklungen der Lösung wie folgt umgeformt werden \begin{align*} y_1(x) &= -\sqrt{x} +x^\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = \sqrt{x} \sum_{k=0}^\infty -\frac{2^{2k+1}k!}{(2k+1)!} +\frac{2^{2k}k!}{(2k+1)!} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = \sqrt{x} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k -\frac{2\cdot x^{2k}}{(2k+1)!} +\frac{x^{2k}}{(2k+1)!} \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \sin x +\frac{1}{\sqrt{x}} \sin x \\ y_2(x) &= -\frac{1}{\sqrt{x}} +x^{-\alpha} \sum_{k=0}^\infty -\frac{2^{2k}\cdot (k-1)!}{(2k-1)!} +\frac{1}{(-\alpha+1)_k} \frac{(-x^2/4)^k}{k!} = -\frac{1}{\sqrt{x}} +x^{-\frac12} \sum_{k=0}^\infty -(-1)^k -\frac{x^{2k}}{(2k-1)!\cdot k} +\frac{2^{2k-1}\cdot (k-1)!}{(2k-1)!} +\frac{(-x^2/4)^k}{k!} \\ &= -\frac{2}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k-1)!\cdot 2k} = -\frac{2}{\sqrt{x}} \cos x. +\frac{1}{\sqrt{x}} \cos x. \end{align*} -% XXX Nachrechnen, dass diese Funktionen -% XXX Lösungen der Differentialgleichung sind - -\subsection{Analytische Fortsetzung und Bessel-Funktionen zweiter Art} - - - +Die Bessel-Funktionen verwenden aber eine andere Normierung. +Die Gleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel:normierungsgleichung} +zeigt, dass die Bessel-Funktionen durch Division +der Funktion $y_1(x)$ und $y_2(x)$ durch $2^\alpha \Gamma(\alpha+1)$ +erhalten werden können. +Dies ergibt +\begin{equation*} +\renewcommand{\arraycolsep}{1pt} +\begin{array}{rclclclcl} +J_{\frac12}(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{2^{\frac12}\Gamma(\frac12+1)} +y_1(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{2^{\frac12}\frac12\Gamma(\frac12)} +y_1(x) +&=& +\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\Gamma(\frac12)} +y_1(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\frac12)} +\sqrt{ \frac{2}{x}} +\sin x, +\\ +J_{-\frac12}(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{2^{-\frac12}\Gamma(-\frac12+1)} +y_2(x) +&=& +\displaystyle\frac{2^{\frac12}}{\Gamma(\frac12)} +y_2(x) +&=& +\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\Gamma(\frac12)} +y_2(x) +&=& +\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\frac12)} +\sqrt{\frac{2}{x}} +\cos x. +\end{array} +\end{equation*} +Wegen $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ sind die +halbzahligen Bessel-Funktionen daher +\begin{align*} +J_{\frac12}(x) +&= +\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x += +\sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{-\frac12}\sin x +& +&\text{und}& +J_{-\frac12}(x) +&= +\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x += +\sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{-\frac12}\cos x. +\end{align*} +% +% Direkte Verifikation der Lösungen +% +\subsubsection{Direkte Verifikation der Lösungen für $\alpha=\pm\frac12$} +Tatsächlich führt die Anwendung des Bessel-Operators auf die beiden +Funktionen auf +\begin{align*} +\sqrt{\frac{\pi}2} +BJ_{\frac12}(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}2} +\biggl( +x^2J_{\frac12}''(x) + xJ_{\frac12}'(x) + x^2J_{\frac12}(x) +\biggr) +\\ +&= +x^2(x^{-\frac12}\sin x)'' ++ +x(x^{-\frac12}\sin x)' ++ +x^2(x^{-\frac12}\sin x) +\\ +&= +x^2( +x^{-{\textstyle\frac12}}\cos x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\sin x +)' ++ +x( +x^{-\frac12}\cos x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\sin x +) ++ +x^{\frac32}\sin x +\\ +&= +x^2( +-x^{-\frac12}\sin x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\cos x +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac32}\cos x ++{\textstyle\frac{3}{4}}x^{-\frac52}\sin x +) ++ +x^{\frac12}\cos x ++ +x^{-\frac12}(x-{\textstyle\frac12})\sin x +\\ +&= +( +-x^{\frac32} ++{\textstyle\frac34}x^{-\frac12} ++x^{\frac32} +-{\textstyle\frac12}x^{-\frac12} +) +\sin x += +\frac14x^{-\frac12}\sin x += +\frac14 +\sqrt{\frac{\pi}2} +J_{\frac12}(x) +\\ +BJ_{\frac12}(x) +&= +\biggl(\frac12\biggr)^2 J_{\frac12}(x). +\end{align*} +Dies zeigt, dass $J_{\frac12}(x)$ tatsächlich eine Eigenfunktion +des Bessel-Operators zum Eigenwert $\alpha^2 = \frac14$ ist. +Analog kann man die Lösung $y_2(x)$ für $-\frac12$ verifizieren. diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index e187b68..2fe43c1 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -371,6 +371,7 @@ $c$ darf also kein natürliche Zahl $\ge 2$ sein. Wir fassen die Resultate dieses Abschnitts im folgenden Satz zusammen. \begin{satz} +\index{Satz!Lösung der eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung}% Die eulersche hypergeometrische Differentialgleichung \begin{equation} x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2} @@ -906,6 +907,7 @@ Funktion wohldefiniert. Wir fassen diese Resultat zusammen: \begin{satz} +\index{Satz!1f1@Differentialgleichung von $\mathstrut_1F_1$}% \label{buch:differentialgleichungen:satz:1f1-dgl-loesungen} Die Differentialgleichung \[ @@ -1591,7 +1593,7 @@ x\cdot \end{align*} als Lösungen. Die Differentialgleichung von $\mathstrut_0F_1$ sollte sich in diesem -Fall also auf die Airy-Differentialgleichung reduzieren lassen. +Fall also auf die Airy-Dif\-fe\-ren\-tial\-glei\-chung reduzieren lassen. Bei der Substition der Parameter in die Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} beachten wird, dass @@ -1757,6 +1759,7 @@ T_n(x) \biggr). \end{equation} Auch die Tschebyscheff-Polynome lassen sich also mit Hilfe einer -hypergeometrischen Funktion schreiben. +hypergeometrischen Funktion schreiben, wie schon in +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:tschebyscheff2f1} +bemerkt wurde. -%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} diff --git a/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf Binary files differindex 6c551f4..a0fa332 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf +++ b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.pdf diff --git a/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex index 01021e3..1c19363 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/images/besselgrid.tex @@ -65,7 +65,6 @@ } \end{scope} - \node at (-4.5,1.5) {$\Gamma(n+k+1)=\infty$}; } \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] @@ -75,6 +74,7 @@ \punkte \nachse{black} \kachse + \node at (-4.5,1.5) {$\Gamma(n+k+1)=\infty$}; \end{scope} \begin{scope}[yshift=-7.8cm] @@ -83,6 +83,7 @@ \punkte \draw[->] (0.3,-0.3) -- (-6.4,6.4) coordinate[label={above right:$k$}]; \draw[->] (-3.3,3) -- (6.6,3) coordinate[label={right:$m$}]; + \node at (-4.5,1.5) {$\Gamma(m+1)=\infty$}; \end{scope} \end{tikzpicture} diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index 2d95fb2..9f2e0a6 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -44,6 +44,7 @@ Tatsächlich gilt der folgende sehr viel allgemeinere Satz von Cauchy und Kowalevskaja: \begin{satz}[Cauchy-Kowalevskaja] +\index{Satz!von Cauchy-Kowalevskaja}% Eine partielle Differentialgleichung der Ordnung $k$ für eine Funktion $u(x_1,\dots,x_n,t)=u(x,t)$ in expliziter Form @@ -176,7 +177,8 @@ b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k % % Die Newtonsche Reihe % -\subsection{Die Newtonsche Reihe} +\subsection{Die Newtonsche Reihe +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}} Wir lösen die Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode. @@ -289,7 +291,7 @@ Für ganzzahliges $\alpha$ wird daraus die binomische Formel \] % -% Lösung als hypergeometrische Riehe +% Lösung als hypergeometrische Reihe % \subsubsection{Lösung als hypergeometrische Funktion} Die Newtonreihe verwendet ein absteigendes Produkt im Zähler. @@ -333,6 +335,8 @@ wir die Darstellung Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt. \begin{satz} +\index{Satz!Newtonsche Reihe}% +\label{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe} Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert \[ (1-t)^\alpha @@ -370,7 +374,7 @@ entwickeln lassen. \subsubsection{Die Potenzreihenmethode funktioniert nicht} Für die Differentialgleichung \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} -funktioniert die Potenzreihenmethod oft nicht. +funktioniert die Potenzreihenmethode oft nicht. Sind die Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ zum Beispiel Konstante $p(x)=p_0$ und $q(x)=q_0$, dann führt der Potenzreihenansatz \[ @@ -418,25 +422,43 @@ $a_k=0$ sein, die einzige Potenzreihe ist die triviale Funktion $y(x)=0$. Für Differentialgleichungen der Art \eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} ist also ein anderer Ansatz nötig. -Die Schwierigkeit bestand darin, dass die Gleichungen für die einzelnen -Koeffizienten $a_k$ voneinander unabhängig waren. -Mit einem zusätzlichen Potenzfaktor $x^\varrho$ mit nicht -notwendigerweise ganzzahligen Wert kann die nötige Flexibilität -erreicht werden. -Wir verwenden daher den Ansatz -\[ +Ursache für das Versagen des Potenzreihenansatzes ist, dass die +Koeffizienten der Differentialgleichung bei $x=0$ eine +Singularität haben. +Ist ist daher damit zu rechnen, dass auch die Lösung $y(x)$ an dieser +Stelle singuläres Verhalten zeigen wird. +Die Terme einer Potenzreihe um den Punkt $x=0$ sind nicht singulär, +können eine solche Singularität also nicht wiedergeben. +Der neue Ansatz sollte ähnlich einfach sein, aber auch gewisse ``einfache'' +Singularitäten darstellen können. +Die Potenzfunktionen $x^\varrho$ mit $\varrho<1$ erfüllen beide +Anforderungen. + +\begin{definition} +\label{buch:differentialgleichungen:def:verallpotenzreihe} +Eine {\em verallgemeinerte Potenzreihe} ist eine Funktion der Form +\begin{equation} y(x) = x^\varrho \sum_{k=0}^\infty a_kx^k = \sum_{k=0}^\infty a_k x^{\varrho+k} -\] -und versuchen nicht nur die Koeffizienten $a_k$ sondern auch den -Exponenten $\varrho$ zu bestimmen. -Durch Modifikation von $\varrho$ können wir immer erreichen, dass -$a_0\ne 0$ ist. - -Die Ableitungen von $y(x)$ mit der zugehörigen Potenz von x sind +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:verallpotenzreihe} +\end{equation} +mit $a_0\ne 0$. +\end{definition} + +Die Forderung $a_0\ne 0$ kann nötigenfalls durch Modifikation des +Exponenten $\varrho$ immer erreicht werden. + +Wir verwenden also eine verallgemeinerte Potenzreihe der Form +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:verallpotenzreihe} +als Lösungsansatz für die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}. +Wir berechnen die Ableitungen von $y(x)$ und um sie in der +Differentialgleichung einzusetzen, versehen wir sie auch gleich mit den +benötigten Potenzen von $x$. +So erhalten wir \begin{align*} xy'(x) &= @@ -451,8 +473,9 @@ x^2y''(x) \sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}. \end{align*} -Diese Ableitungen setzen wir jetzt in die Differentialgleichung ein, -die dadurch zu +Diese Ausdrücke setzen wir jetzt in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} +ein, die dadurch zu \begin{equation} \sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1) a_k x^{\varrho+k} + @@ -487,6 +510,7 @@ Ausgeschrieben geben die einzelnen Terme \bigl((\varrho +2)a_2p_0 + (\varrho+1)a_1p_1 + \varrho a_0 p_2\bigr) x^{\varrho+2} + \dots +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} \\ &+ q_0a_0x^{\varrho} @@ -683,18 +707,17 @@ Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie} dargestellt werden. \item -Fall 3: $\varrho_1-\varrho-2$ ist eine positive ganze Zahl. +Fall 3: $\varrho_1-\varrho_2$ ist eine positive ganze Zahl. In diesem Fall ist im Allgemeinen nur eine Lösung in Form einer verallgemeinerten Potenzreihe möglich. Auch hier müssen Techniken der Funktionentheorie aus Kapitel~\ref{buch:chapter:funktionentheorie} verwendet werden, um eine zweite Lösung zu finden. -\end{itemize} - Wenn $\varrho_1-\varrho_2$ eine negative ganze Zahl ist, kann man die beiden Nullstellen vertauschen. -Es folgt dann, dass es eine +\end{itemize} + diff --git a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex index a597892..65d48b2 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex @@ -93,6 +93,7 @@ Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man die folgende Integraldarstellung. \begin{satz}[Euler] +\index{Satz!Eulertransformation}% \label{buch:integrale:eulertransformation:satz} Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ kann durch das Integral @@ -219,6 +220,7 @@ Funktionen $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ durch ein Integral, dessen Integrand $\mathstrut_pF_q$ enthält, ausdrücken lässt. \begin{satz} +\index{Satz!Euler-Transformationformel}% Es gilt die sogennannte Euler-Transformationsformel \index{Euler-Transformation}% \[ diff --git a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex index 581e56a..6b87044 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex @@ -622,7 +622,9 @@ Resultat für die Laplace-Transformierte von $f(t)$, sie ist \frac1s\biggl(1-\frac12e^{-a\sqrt{s}} \biggr). \] -\begin{satz} Die Laplace-Transformierte der Fehlerfunktion mit Argument +\begin{satz} +\index{Satz!Laplace-Transformierte der Fehlerfunktion}% +Die Laplace-Transformierte der Fehlerfunktion mit Argument $a/2\sqrt{t}$ ist \begin{equation} f(t) = \operatorname{erf}\biggl(\frac{a}{2\sqrt{t}}\biggr) diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex index 3e9412a..0ef28fd 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie % -\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} +\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie +\label{buch:orthogonalitaet:section:bessel}} \rhead{Bessel-Funktionen} Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex index 4756844..fba1298 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex @@ -8,20 +8,66 @@ \label{buch:chapter:orthogonalitaet}} \lhead{Orthogonalität} \rhead{} +In der linearen Algebra lernt man, dass orthonormierte Basen für die +Lösung vektorgeometrischer Probleme, bei denen auch das Skalarprodukt +involviert ist, besonders günstig sind. +Die Zerlegung eines Vektors in einer Basis verlangt normalerweise nach +der Lösung eines linearen Gleichungssystems, für orthonormierte +Basisvektoren beschränkt sie sich auf die Berechnung von Skalarprodukten. + +Oft dienen spezielle Funktionen als Basis der Lösungen einer linearen +partiellen Differentialgleichung (siehe Kapitel~\ref{buch:chapter:pde}). +Die Randbedingungen müssen dazu in der gewählten Basis von Funktionen +zerlegt werden. +Fourier ist es gelungen, die Idee des Skalarproduktes und der Orthogonalität +auf Funktionen zu verallgemeinern und so zum Beispiel das Wärmeleitungsproblem +zu lösen. + +Der Orthonormalisierungsprozess von Gram-Schmidt wird damit auch auf +Funktionen anwendbar +(Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}), +der Nutzen führt aber noch viel weiter. +Da $K[x]$ ein Vektorraum ist, führt er von der Basis der Monome +$\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ +auf orthonormierte Polynome. +Diese haben jedoch eine ganze Reihe weiterer nützlicher Eigenschaften. +So wird in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:drei-term-rekursion} +gezeigt, dass sich die Werte aller Polynome einer solchen Familie mit +einer Rekursionsformel effizient berechnen lassen, die höchstens drei +Terme umfasst. +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues} werden +die Rodrigues-Formeln vorgeführt, die Polynome durch Anwendung eines +Differentialoperators hervorbringen. +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} +schliesslich wird gezeigt, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen +eines selbstadjungierten Operators sind. +Da man in der linearen Algebra auch lernt, dass die Eigenvektoren einer +symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind, +ist die Orthogonalität plötzlich nicht mehr überraschend. + +Die Bessel-Funktionen von +Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} +sind auch Eigenfunktionen eines Differentialoperators. +Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel} findet das zugehörige +Skalarprodukt, welches andeutet, dass auch für andere Funktionenfamilien +eine entsprechende Konstruktion möglich ist. +Das in Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} +präsentierte Sturm-Liouville-Problem führt sie durch. +Das Kapitel schliesst mit dem +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} +über die Gauss-Quadratur, welche die Eigenschaften orthogonaler Polynome +für einen besonders effizienten numerischen Integrationsalgorithmus +ausnutzt. + \input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex} -%\input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex} -%\section{TODO} -%\begin{itemize} -%\end{itemize} - -\section*{Übungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 2e43cec..a5af7d2 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Anwendung: Gauss-Quadratur % -\section{Anwendung: Gauss-Quadratur} +\section{Anwendung: Gauss-Quadratur +\label{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur}} \rhead{Gauss-Quadratur} Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. @@ -229,6 +230,7 @@ Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $n$. \begin{satz} +\index{Satz!Gaussquadratur}% \label{buch:integral:satz:gaussquadratur} Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$ orthogonal sind. @@ -284,7 +286,7 @@ $p(x)$ sein. Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das {\em Gausssche Quadraturverfahren}. -Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} +Die in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:legendre-polynome} bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz verlangte Eigenschaft, dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. @@ -306,6 +308,7 @@ Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}. \begin{satz} +\index{Satz!Gausssche Quadraturformel und Fehler}% Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$ eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare @@ -551,7 +554,7 @@ w(x)=e^{-x} \text{ und } g(x)=f(x)e^x. \] -Dann approximiert $g(x)$ man durch ein Interpolationspolynom, +Dann approximiert man $g(x)$ durch ein Interpolationspolynom, so wie man das bei der Gauss-Quadratur gemacht hat. Als Stützstellen müssen dazu die Nullstellen der Laguerre-Polynome verwendet werden. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex index de8f63f..f3dd53f 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex @@ -3,7 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen +\label{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl}} \rhead{Differentialgleichungen orthogonaler Polynome} Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten Polynomen gefunden. @@ -16,8 +17,13 @@ Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. +% +% Legendre-Differentialgleichung +% \subsection{Legendre-Differentialgleichung} Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung +\index{Differentialgleichung!Legendre-}% +\index{Legendre-Differentialgleichung}% \begin{equation} (1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0 \label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} @@ -61,7 +67,10 @@ zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen $y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. -\subsection{Potenzreihenlösung} +% +% Potenzreihenlösungen +% +\subsubsection{Potenzreihenlösung} Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und verwenden dazu den Ansatz \[ @@ -170,7 +179,10 @@ eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt. Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome orthogonal sind. -\subsection{Eigenfunktionen} +% +% Eigenfunktionen +% +\subsubsection{Eigenfunktionen} Die Differentialgleichung \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} Kann mit dem Differentialoperator @@ -198,7 +210,10 @@ des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind: D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n. \] -\subsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} +% +% Orthogonalität von P_n als Eigenfunktionen +% +\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt \[ @@ -274,7 +289,10 @@ die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$. -\subsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +% +% Legendre-Funktionen zweiter Art +% +\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} %Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} % Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der @@ -368,7 +386,7 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 verwendet werden. % -% +% Laguerre-Differentialgleichung % \subsection{Laguerre-Differentialgleichung \label{buch:orthogonal:subsection:laguerre-differentialgleichung}} @@ -427,11 +445,15 @@ schlägt eine zweite Lösung vor, im vorliegenden Fall mit $b=1$ ist die zweite Lösung jedoch identisch zu ersten, es muss daher ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden. -XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung. +%XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung. +% +% +% \subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} \index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}% \index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}% +\index{Differentialgleichung!assoziierte Laguerre-}% Die {\em assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index 677e865..df04514 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -11,9 +11,13 @@ Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals definiert sind. Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von -Differentialgleichungen. +Differentialgleichungen auf. Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen Polynome sind. +In diesem Abschnitt soll zunächst das Skalarprodukt definiert +und an Hand von Beispielen gezeigt werden, wie verschiedenartige +interessante Familien von orthogonalen Polynomen gewonnen werden +können. % % Skalarprodukt @@ -520,7 +524,7 @@ Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} dargestellt. Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, -dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. +dass die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. % @@ -634,7 +638,7 @@ Der Vektorraum $H_w$ von auf $(a,b)$ definierten Funktionen sei H_w = \biggl\{ -f:\colon(a,b) \to \mathbb{R} +f\colon(a,b) \to \mathbb{R} \;\bigg|\; \int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx \biggr\}. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex index dc5531b..3dd9de5 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex @@ -31,9 +31,20 @@ für alle $n$, $m$. \end{definition} \subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} -Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. +Die Multiplikation mit $x$ macht aus einem Polynom vom Grad $n$ ein +Polynom vom Grad $n+1$. +Das Polynom $xp_n(x)$ lässt sich daher als Linearkombination der +Polynome $p_k(x)$ mit $k\le n+1$ schreiben. +Es muss also eine lineare Beziehung zwischen den Polynomen $p_k(x)$ und +$xp_n(x)$ geben, die man nach $p_{n+1}(x)$ auflösen kann, um eine lineare +Darstellung von $p_{n+1}(x)$ durch die $p_k(x)$ und $p_n(x)$ zu +bekommen. +A priori muss man damit rechnen, dass sehr viele Summanden nötig sind. +Der folgende Satz besagt, dass $p_n(x)$ eine Rekursionsbeziehung mit +nur drei Termen erfüllt. \begin{satz} +\index{Satz!Drei-Term-Rekursion}% \label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion} Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form @@ -55,9 +66,13 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. \end{equation} \end{satz} +Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} bedeutet, +dass sich die Werte $p_n(x)$ für alle $n$ ausgehend von $p_1(x)$ und +$p_0(x)$ mit nur $O(n)$ Operationen ermitteln lassen. + \subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$} -Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann -wird sie +Man kann die Relation \eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann wird sie \begin{equation} xp_n(x) = @@ -68,9 +83,12 @@ xp_n(x) \frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x). \label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} \end{equation} -Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. +Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen, +die wir weiter unten auch $M_x$ abkürzen. Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. +Ein Beispiel dafür ist im nächsten Abschnitt in +\eqref{buch:orthogonal:eqn:Mx} \subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} @@ -84,6 +102,22 @@ T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), \] also $A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. +Die Matrixdarstellung des Multiplikationsoperators $M_x$ in der +Basis der Tschebyscheff-Polynome hat wegen +\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} die Form +\begin{equation} +M_x += +\begin{pmatrix} + 0&\frac12& 0& 0& 0&\dots \\ +\frac12& 0&\frac12& 0& 0&\dots \\ + 0&\frac12& 0&\frac12& 0&\dots \\ + 0& 0&\frac12& 0&\frac12&\dots \\ + 0& 0& 0&\frac12& 0&\dots \\ + \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots&\ddots +\end{pmatrix}. +\label{buch:orthogonal:eqn:Mx} +\end{equation} \subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex index 9fded85..4852624 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex @@ -14,7 +14,8 @@ mit der Ableitung kann man den Grad aber auch senken, man könnte daher auch nach einer Rekursionsformel fragen, die bei einem Polynom hohen Grades beginnt und mit Hilfe von Ableitungen zu geringeren Graden absteigt. -Solche Formeln heissen Rodrigues-Formeln nach dem Entdecker Olinde +Solche Formeln heissen {\em Rodrigues-Formeln} nach dem Entdecker Olinde +\index{Rodriguez, Olinde}% Rodrigues, der eine solche Formal als erster für Legendre-Polynome gefunden hat. @@ -27,12 +28,17 @@ Die Skalarprodukte sollen \] sein. +% +% Pearsonsche Differentialgleichung +% \subsection{Pearsonsche Differentialgleichung} Die {\em Pearsonsche Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} B(x) y' - A(x) y = 0, \label{buch:orthogonal:eqn:pearson} \end{equation} +\index{Differentialgleichung!Pearsonsche}% +\index{Pearsonsche Differentialgleichung}% wobei $B(x)$ ein Polynom vom Grad höchstens $2$ ist und $A(x)$ ein höchstens lineares Polynom. Die Gleichung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:pearson} @@ -45,33 +51,46 @@ Dann kann man die Gleichung umstellen in = \frac{A(x)}{B(x)} \qquad\Rightarrow\qquad -y = \exp\biggl( \int\frac{A(x)}{B(x)}\biggr)\,dx. +y += +\exp\biggl( +\int\frac{A(x)}{B(x)} +\,dx +\biggr) +. \] -Im folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass +Im Folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass an den Intervallenden \begin{equation} \lim_{x\to a+} w(x)B(x) = 0, \qquad\text{und}\qquad -\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0. +\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0 \end{equation} +gilt. + Falls $w(x)$ an den Intervallenden einen von $0$ verschiedenen Grenzwert hat, bedeutet dies, dass $B(a)=B(b)=0$ sein muss. Falls $w(x)$ am Intervallende divergiert, muss $B(x)$ dort eine Nullstelle höherer Ordnung haben, was aber für ein Polynom zweiten Grades nicht möglich ist. +% +% Rekursionsformel +% \subsection{Rekursionsformel} Multiplikation mit $B(x)$ wird den Grad eines Polynomes typischerweise um $2$ erhöhen, die Ableitung wird ihn wieder um $1$ reduzieren. Etwas formeller kann man dies wie folgt formulieren: \begin{satz} +\index{Satz!Rodrigues-Rekursionsformel}% Für alle $n\ge 0$ ist -\[ +\begin{equation} q_n(x) = \frac{1}{w(x)} \frac{d^n}{dx^n} B(x)^n w(x) -\] +\label{buch:orthogonalitaet:rodrigues:eqn:rekursion} +\end{equation} ein Polynom vom Grad höchstens $n$. \end{satz} @@ -85,51 +104,67 @@ r_0(x) B(x)^n w(x) \\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} -\bigl(r_0'(x)B(x)+ nB'(x)B(x)^{n-1}w(x) + B(x)^n w'(x) \bigr) +\bigl(r_0'(x)B(x)+ nr_0(x)B'(x)B(x)^{n-1}w(x) + r_0(x)B(x)^n w'(x) \bigr) \\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} -(r_0'(x)B(x)+nB'(x)+A(x)) B(x)^{n-1} w(x) -= +(\underbrace{r_0'(x)B(x)+nr_0(x)B'(x)+r_0(x)A(x)}_{\displaystyle = r_1(x)}) +B(x)^{n-1} w(x) +\\ +&= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} r_1(x)B^{n-1}(x) w(x). \end{align*} -Für die Funktionen $r_k$ gilt die Rekursionsformel +Iterativ lässt sich eine Folge von +Funktionen $r_k(x)$ definieren, für die Rekursionsformel \begin{equation} -r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + kB'(x) + A(x). +r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + \bigl((n+1-k)B'(x) + A(x)\bigr)r_{k-1}(x) \label{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} \end{equation} +gilt. Wenn $r_0(x)$ ein Polynom ist, dann sind alle Funktionen $r_k(x)$ ebenfalls Polynome. -Durch wiederholte Anwendung dieser Formel kann man schliessen, dass +Aus der Konstruktion kann man schliessen, dass \[ \frac{d^n}{dx^n} r_0(x) B(x)^n w(x) = r_n(x) w(x). \] -Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass man durch $w(x)$ dividieren kann -und dass $r_n(x)=q_n(x)$. +Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass die $n$-te Ableitung den +Faktor $w(x)$ enthält und dass somit $r_n(x)=q_n(x)$ ein Polynom ist. -Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen. -Dazu verwenden wir -\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} und berechnen den -Grad: +Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen, wobei wir +wieder von $r_0(x)=1$ ausgehen. +Wir behaupten, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist, und beweisen dies +mit vollständiger Induktion. +Für $k=0$ ist $\deg r_0(x) = 0 \le k$ die Induktionsverankerung. + +Wir nehmen jetzt also an, dass $\deg r_{k-1}(x)\le k-1$ ist und +verwenden +\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} um den Grad zu berechnen: \begin{equation*} \deg r_k(x) = \max \bigl( -\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle \deg r_{k-1}(x) -1 + 2} +\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle (k-1) -1 + 2} , -\underbrace{\deg(B'(x))}_{\displaystyle \le 1} +\underbrace{\deg(r_{k-1}(x)B'(x))}_{\displaystyle \le (k-1)+1} , -\underbrace{\deg(A(x))}_{\displaystyle \le 1} +\underbrace{\deg(r_{k-1}(x)A(x))}_{\displaystyle \le (k-1)+1} \bigr) -\le \max r_{k-1}(x) + 1. +\le k. \end{equation*} -Aus $\deg r_0(x)=0$ kann man jetzt ablesen, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist. -Damit ist gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. +Damit ist der Induktionsschritt und $\deg r_k(x)\le k$ bewiesen. +Damit ist auch gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. \end{proof} +Die Rodrigues-Formel~\eqref{buch:orthogonalitaet:rodrigues:eqn:rekursion} +produziert eine Folge von Polynomen aufsteigenden Grades, es ist aber +noch nicht klar, dass diese Polynome bezüglich des gewählten Skalarproduktes +orthogonal sind. +Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. + \begin{satz} +\index{Satz!Rodrigues-Formel für orthonormierte Polynome}% Es gibt Konstanten $c_n$ derart, dass \[ p_n(x) @@ -140,7 +175,7 @@ gilt. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] -Wir müssen zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen +Wir zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen von geringerem Grad. \begin{align*} \langle q_n, x^k\rangle_w @@ -148,15 +183,17 @@ von geringerem Grad. \int_a^b q_n(x)x^kw(x)\,dx \\ &= -\int_a^b \frac{1}{w(x)}\frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k w(x)\,dx +\int_a^b \frac{1}{w(x)} +\biggl(\frac{d^n}{dx^n}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr)\biggr) +x^k w(x)\,dx \\ &= -\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k \,dx +\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr) x^k \,dx \\ &= -\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x)) x^k \biggr]_a^b +\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr) x^k \biggr]_a^b - -\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x))kx^{k-1}\,dx +\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr)kx^{k-1}\,dx \end{align*} Durch $n$-fache Iteration wird das Integral auf $0$ reduziert. Es bleiben nur die eckigen Klammern stehen, doch wenn man die Produktregel @@ -164,9 +201,32 @@ auswertet, bleibt immer mindestens ein Produkt $B(x)w(x)$ stehen, nach den Voraussetzungen an den Grenzwert dieses Produktes an den Intervallenden verschwinden diese Terme alle. Damit sind die $q_n(x)$ Polynome, die $w$-orthogonal sind auf allen -$x^k$ mit $k<n$, also Vielfache der $w$-Orthgonalpolynome. +$x^k$ mit $k<n$. + +Die Polynome $q_k(x)$ mit $k< n$ haben Grad $<n$ und sind daher +Linearkombinationen von Monomen vom Grad $<n$. +Soeben wurde gezeigt, dass $q_n(x)$ orthogonal auf diesen Monomen +ist, also auch auf $q_k(x)$ mit $k<n$. +Damit ist gezeigt, dass Polynome $q_n(x)$ eine orthogonale Familie +von Polynomen bilden. +Durch Normierung müssen sich daraus die Polynome $p_n(x)$ ergeben. \end{proof} +\subsection{Differentialgleichung} +Man kann auch zeigen (siehe z.~B.~\cite{buch:pearsondgl}, +dass die orthogonalen Polynome, die die +Rodrigues-Formel liefert, einer Differentialgleichung zweiter +Ordnung genügen, deren möglicherweise nicht konstante Koeffizienten +sich direkt aus $A(x)$, $B(x)$ und $w(x)$ bestimmen lassen. + +\subsection{Beispiel} +Im folgenden zeigen wir, wie sich für viele der früher eingeführten +Gewichtsfunktionen Rodrigues-Formeln für die zugehörigen orthogonalen +Polynome konstruieren lassen. + +% +% Legendre-Polynome +% \subsubsection{Legendre-Polynome} Legendre-Polynome sind orthogonale Polynome zum Standardskalarprodukt mit $w(x)=1$. @@ -195,6 +255,9 @@ P_n(x) (x^2-1)^n. \] +% +% Hermite-Polynome +% \subsubsection{Hermite-Polynome} Die Hermite-Polynome sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert und verwenden die Gewichtsfunktion @@ -205,13 +268,13 @@ Für jedes beliebige Polynome $B(x)$, auch für höheren Grad als $2$, ist \[ \lim_{x\to-\infty} B(x) w(x) = -\lim_{x\to-\infty} B(x)^e{-x^2} +\lim_{x\to-\infty} B(x)e^{-x^2} = 0 \qquad\text{und}\qquad \lim_{x\to\infty} B(x) w(x) = -\lim_{x\to\infty} B(x)^e{-x^2} +\lim_{x\to\infty} B(x)e^{-x^2} = 0, \] @@ -222,7 +285,7 @@ Die Ableitung der Gewichtsfunktion ist \[ w'(x) = -2xe^{-x^2}. \] -Eingsetzt in die Pearsonsche Differentialgleichung findet man +Eingesetzt in die Pearsonsche Differentialgleichung findet man \[ \frac{w'(x)}{w(x)} = @@ -238,6 +301,8 @@ B(x) = 1. \] Die Gradbedingung ist also immer erfüllt und es folgt die Rodrigues-Formel für die Hermite-Polynome +\index{Hermite-Polynom}% +\index{Polynome!Hermite}% \begin{equation} H_n(x) = @@ -249,13 +314,15 @@ e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}. \label{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} \end{equation} -Die Hermite-Polynome können mit der Rodrigues-Formel berechnen, aber die -Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} ist dazu nicht gut -geeignet. -Dazu dient die Berechnung +Die Hermite-Polynome können mit der Rodrigues-Formel berechnet werden, +aber die Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} ist dazu +nicht gut geeignet. +Zur Vereinfachung dient die Berechnung \[ -\frac{d}{dx} +\bigl( e^{-x^2}f(x) +\bigr) = 2xe^{-x^2}f(x) - @@ -270,15 +337,15 @@ vertauscht werden kann, wenn er durch die grosse Klammer auf der rechten Seite ersetzt wird. Die Rodrigues-Formel bekommt daher die Form \[ -H_n(x) = \biggl(\frac{d}{dx}-2x\biggr)^n \cdot 1 +H_n(x) = \biggl(2x-\frac{d}{dx}\biggr)^n \cdot 1. \] -TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ +%TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ %\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula} % -% Jacoib-Gewichtsfunktion +% Jacobi-Gewichtsfunktion % \subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion} %(%i1) w: (1-x)^a*(1+x)^b; @@ -303,6 +370,8 @@ TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ % x - 1 % Die Jacobi-Gewichtsfunktion +\index{Jacobi-Gewichtsfunktion}% +\index{Gewichtsfunktion!Jacobi}% \[ w(x) = @@ -357,9 +426,14 @@ Die Konstanten $c_n$ werden durch die Normierung % XXX in welchem Abschnitt festgelegt. +% +% Tschebyscheff-Gewichtsfunktion +% \subsubsection{Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion} Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion ist der Spezialfall $a=b=-\frac12$ der Jacobi-Gewichtsfunktion. +\index{Tschebyscheff-Gewichtsfunktion}% +\index{Gewichtsfunktion!Tschebyscheff}% Die Rodrigues-Formel für die Tschebyscheff-Polynome lautet daher \[ T_n(x) @@ -373,8 +447,13 @@ c_n\sqrt{1-x^2} \frac{d^n}{dx^n} \] wobei wir den korrekten Wert von $c_n$ nicht nachgewiesen haben. +% +% Laguerre Gewichtsfunktion +% \subsubsection{Die Laguerre-Gewichtsfunktion} Die Laguerre-Gewichtsfunktion +\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}% +\index{Gewichtsfunktion!Laguerre}% \[ w_{\text{Laguerre}}(x) = @@ -387,6 +466,8 @@ hat die Ableitung w'(x) = -e^{-x}, \] die Pearsonsche Differentialgleichung ist daher +\index{Pearsonsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Pearsonsche}% \[ \frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{-1}{1}. \] @@ -485,6 +566,8 @@ an der Stelle $0$. Wir fassen die Resultate im folgenden Satz zusammen. \begin{satz} +\index{Satz!Laguerre-Polynome}% +\index{Polynome!Laguerre-}% Die Laguerre-Polynome vom Grad $n$ haben die Form \begin{equation} L_n(x) diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex index c667297..599d3a0 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex @@ -18,6 +18,7 @@ Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier für spätere Verwendung fest. \begin{satz} +\index{Satz!orthogonale Eigenvektoren}% Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$ zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$ orthogonal. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index 35054ab..742ec0a 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -7,10 +7,14 @@ \label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}} \rhead{Das Sturm-Liouville-Problem} Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen +\index{Bessel-Funktion}% konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden, dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. +% +% Differentialgleichungen +% \subsection{Differentialgleichung} Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem. Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung @@ -30,6 +34,9 @@ erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$ sowie die Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden. +% +% Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen +% \subsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen} Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem. @@ -51,6 +58,7 @@ Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein Optimierungsproblem reduzieren. \begin{satz} +\index{Satz!verallgemeinertes Eigenwertproblem}% Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem $B$ positiv definit. Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse @@ -121,6 +129,7 @@ Eigenwert $\lambda$ ist. \end{proof} \begin{satz} +\index{Satz!Orthogonalität verallgemeinerter Eigenvektoren}% Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$ zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$. \end{satz} @@ -147,6 +156,8 @@ dass $u^tBv=0$ sein muss. Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren. Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar. +\index{verallgemeinertes Skalarprodukt}% +\index{Skalarprodukt!verallgemeinertes}% Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes \[ \langle u,v\rangle_B = u^tBv @@ -175,6 +186,9 @@ ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$. +% +% Der Operator L_0 und die Randbedingung +% \subsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung} Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden. Dazu schreiben wir @@ -192,6 +206,7 @@ Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$ tatsächlich selbstadjungiert. Mit partieller Integration rechnet man nach: +\index{partielle Integration}% \begin{align} \langle f,L_0g\rangle &= @@ -275,6 +290,9 @@ Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung \eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} erfüllt sein muss. +% +% Skalarprodukt +% \subsection{Skalarprodukt} Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem @@ -314,6 +332,9 @@ mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden. Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im Innerend es Intervalls sein. +% +% Der Vektorraum H +% \subsection{Der Vektorraum $H$} Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden Funktionen zusammenstellen. @@ -346,17 +367,23 @@ f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\; \biggr\}. \] -\subsection{Differentialoperator} +% +% Der Sturm-Liouville-Differentialoperator +% +\subsection{Der Sturm-Liouville-Differentialoperator} Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$ bezüglich des modifizierten Skalarproduktes. Das Sturm-Liouville-Problem ist also ein Eigenwertproblem im Vektorraum $H$ mit dem Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$. Der Operator -\[ +\begin{equation} L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr) -\] +\label{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL1} +\end{equation} heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}. +\index{Sturm-Liouville-Operator}% +\index{Operator!Sturm-Liouville-}% Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart, dass \[ @@ -365,13 +392,28 @@ Ly = \lambda y, $\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert. Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt definierten Vektorraumes $H$. +Führt man die Differentiation aus, bekommt der Operator die Form +\begin{equation} +L += +-\frac{p(x)}{w(x)} \frac{d^2}{dx^2} +-\frac{p'(x)}{w(x)} \frac{d}{dx} ++\frac{q(x)}{w(x)}. +\label{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL2} +\end{equation} +% +% Beispiele +% \subsection{Beispiele} Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus. Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher automatisch für diese Funktionenfamilien. +% +% Trignometrische Funktionen +% \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ @@ -434,6 +476,9 @@ Dann ist wegen die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. +% +% Bessel-Funktionen J_n(x) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(x)$} Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} kann wie folgt in die Form eines Sturm-Liouville-Operators gebracht @@ -478,6 +523,9 @@ Es folgt damit sofort, dass die Besselfunktionen orthogonale Funktionen bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=1/x$ sind. +% +% Bessel-Funktionen J_n(sx) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(s x)$} Das Sturm-Liouville-Problem mit den Funktionen \eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} @@ -489,7 +537,10 @@ Im Folgenden sollen hingegen die Funktionen $J_n(s x)$ für konstantes $n$, aber verschiedene $s$ untersucht und als orthogonal erkannt werden. -Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Bessel-Differentialgleichung +Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Besselschen +Differentialgleichung +\index{Besselsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% \[ x^2y'' + xy' + x^2y = n^2y. \] @@ -576,6 +627,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems für den Eigenwert $\lambda = -s^2$. \begin{satz}[Orthogonalität der Bessel-Funktionen] +\index{Satz!Orthogonalität der Bessel-Funktionen}% Die Bessel-Funktionen $J_n(sx)$ für verschiedene $s$ sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=x$, d.~h. @@ -608,6 +660,9 @@ Damit sind geeignete Randbedingungen für das Sturm-Liouville-Problem gefunden. \end{proof} +% +% Laguerre-Polynome +% \subsubsection{Laguerre-Polynome} Die Laguerre-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts mit der Laguerre-Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$ und erfüllen die @@ -646,9 +701,15 @@ also die Laguerre-Differentialgleichung. Somit folgt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion. +% +% Tschebyscheff-Polynome +% \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der -Tschebyscheff-Differentialgleichung +bereits in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} hergeleiteten +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +\index{Tschebyscheff-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Tschebyscheff-}% \[ (1-x^2)y'' -xy' = n^2y \] @@ -680,19 +741,100 @@ xy'(x) \lambda y(x). \end{align*} Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind +\index{Tschebyscheff-Polynom}% bezüglich des Skalarproduktes \[ \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \] +% +% Jacobi-Polynome +% \subsubsection{Jacobi-Polynome} -TODO - +Die Jacobi-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes +\index{Jacobi-Polynome}% +\index{Polynome!Jacobi-}% +mit der Gewichtsfunktion +\[ +w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta, +\] +definiert in Definition~\ref{buch:orthogonal:def:jacobi-gewichtsfunktion}. +%Bei der Herleitung der Rodrigues-Formel für die Jacobi-Polynome wurde erkannt, +%dass $B(x)=1-x^2$ und $A(x)=\beta-\alpha-(\alpha+\beta)x$ sein muss. +Man kann zeigen, dass sie Lösungen der +{\em Jacobi-Diffe\-ren\-tial\-gleichung} +\index{Jacobi-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Jacobi}% +\begin{equation} +(1-x^2)y'' + (\beta-\alpha-(\alpha+\beta + 2)x)y' + n(n+\alpha+\beta+1)y=0 +\label{buch:orthogonal:jacobi:dgl} +\end{equation} +sind. +Es stellt sich die Frage, ob sich Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ finden lassen +derart, dass die Differentialgleichung~\eqref{buch:orthogonal:jacobi:dgl} +eine Sturm-Liouville-Gleichung wird. +Gemäss der Form~\eqref{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL2} muss +$p(x)$ so gefunden werden, dass +\begin{align*} +\frac{p(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} &= 1-x^2 \\ +\frac{p'(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} &= \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x +\end{align*} +gilt. +Der Quotient der beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung +\[ +(\log p(x))' += +\frac{p'(x)}{p(x)} += +\frac{1-x^2}{\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x} +\] +von $p(x)$, +die sich in geschlossener Form integrieren lässt. +Man findet als Stammfunktion +\[ +p(x) += +(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}. +\] +Tatsächlich ist +\begin{align*} +\frac{p(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} +&= +\frac{(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}}{(1-x)^\alpha(1+x)^\beta} += +(1-x)(1+x)=1-x^2 +\\ +\frac{p'(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} +&= +\frac{ +-(\alpha+1) +(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta+1} ++ +(\beta+1) +(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta} +}{ +(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta} +} +\\ +&= +-(\alpha+1)(1+x) + (\beta+1)(1-x) += +\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x. +\end{align*} +Damit ist +die Jacobische Differentialgleichung +als Sturm-Liouville-Differentialgleichung erkannt. +% +% Hypergeometrische Differentialgleichungen +% \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung +\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Eulersche hypergeometrische}% lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators +\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung!als Sturm-Liouville-Gleichung}% bringen. Dazu setzt man \begin{align*} diff --git a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex index 7e978f7..db7880b 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex +++ b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex @@ -454,7 +454,8 @@ Terme mit $\pm n$ können wegen \[ \left. \begin{aligned} -J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) +J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) +\label{buch:fourier:eqn:symetrie} \\ i^{-n}&=(-1)^n i^n \end{aligned} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex index 15ca2e4..08196f1 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex @@ -9,6 +9,9 @@ Holomorphe Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auch immer eine konvergente Reihenentwicklung haben, sie sind also analytisch. +% +% Definition +% \subsection{Definition} \index{Taylor-Reihe}% \index{Exponentialfunktion}% @@ -90,29 +93,29 @@ Damit ist gezeigt, dass alle Ableitungen $f^{(n)}(0)=0$ sind. Die Taylorreihe von $f(x)$ ist daher die Nullfunktion. \end{beispiel} -Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen -lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in -der folgenden Definition zusammengefasst werden. - -\index{analytisch in einem Punkt}% -\index{analytisch}% -\begin{definition} -Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion -$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt $x_0\in I$}, wenn -es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe -\[ -\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x) -\] -gibt. -Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$. -\end{definition} +%Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen +%lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in +%der folgenden Definition zusammengefasst werden. +% +%\index{analytisch in einem Punkt}% +%\index{analytisch}% +%\begin{definition} +%Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion +%$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt $x_0\in I$}, wenn +%es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe +%\[ +%\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x) +%\] +%gibt. +%Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$. +%\end{definition} -Es ist wohlbekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen, dass +Es ist bekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen +in Kapitel~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen}, dass eine analytische Funktion beliebig oft differenzierbar ist und dass die Potenzreihe im Punkt $x_0$ die Taylor-Reihe sein muss. -Ausserdem sidn Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen +Ausserdem sind Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen wieder analytisch. - Für eine komplexe Funktion lässt sich der Begriff der analytischen Funktion genau gleich definieren. @@ -131,8 +134,8 @@ Die Verwendung einer offenen Teilmenge $U\subset\mathbb{C}$ ist wesentlich, denn die Funktion $f\colon z\mapsto \overline{z}$ kann in jedem Punkt $x_0\in\mathbb{R}$ der reellen Achse $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ durch die Potenzreihe -$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden. -Es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge +$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden, +es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert. % @@ -140,7 +143,40 @@ von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert. % \subsection{Konvergenzradius \label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}} +In der Theorie der Potenzreihen, wie sie in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} +zusammengefasst wurde, wird auch untersucht, wie gross +eine Umgebung des Punktes $z_0$ ist, in der die Potenzreihe +im Punkt $z_0$ einer analytischen Funktion konvergiert. +Die Definition des Konvergenzradius gilt auch für komplexe Funktionen. -% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität +\begin{satz} +\index{Satz!Konvergenzradius}% +\label{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius} +Die Potenzreihe +\[ +f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_0(z-z_0)^k +\] +ist konvergent auf einem Kreis um $z_0$ mit Radius $\varrho$ und +\[ +\frac{1}{\varrho} += +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}. +\] +Falls $a_k\ne 0$ für alle $k$ und der folgende Grenzwert existiert, +dann gilt auch +\[ +\varrho = \lim_{n\to\infty} \biggl| \frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|. +\] +\end{satz} + +\begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:konvergenzradius} +\index{Konvergenzradius}% +Der in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius} +Radius $\varrho$ des Konvergenzkreises heisst {\em Konvergenzradius}. +\end{definition} +Man kann auch zeigen, dass der Konvergenzkreis immer so gross ist, +dass auf seinem Rand ein Wert $z$ liegt, für den die Potenzreihe nicht +konvergiert. diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex index 4cdf9be..440d2d3 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex @@ -5,6 +5,10 @@ % \section{Anwendungen \label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}} +\rhead{Anwendungen} +In diesem Abschnitt wird die Theorie der komplex differenzierbaren +Funktionen dazu verwendet, einige früher bereits verwendete oder +angedeutete Resultate herzuleiten. \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex index 1923351..41fb5e8 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex @@ -24,6 +24,8 @@ beschränkt ist und an den Stellen $z=1,2,3,\dots$ verschwindet. Dann ist $f(z)=0$. \end{satz} +\index{Satz!von Carlson}% +\index{Carlson, Satz von}% \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex index 21d8dcf..bd07a2f 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex @@ -6,6 +6,16 @@ \section{Cauchy-Integral \label{buch:funktionentheorie:section:cauchy}} \rhead{Cauchy-Integral} +In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:holomorph} hat sich +bereits gezeigt, dass komplexe Differenzierbarkeit einer komplexen +Funktion weit mehr Einschränkungen auferlegt als reelle Differenzierbarkeit. +Sowohl der Real- wie auch der Imaginärteil müssenharmonische Funktionen +sein. +In diesem Abschnitt wird die Cauchy-In\-te\-gral\-formel etabliert, die +sogar zeigt, dass eine komplex differenzierbare Funktion bereits durch +die Werte auf dem Rand eines einfach zusammenhängenden Gebietes +gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist und ausserdem immer +analytisch ist. % % Wegintegrale und die Cauchy-Formel @@ -125,6 +135,7 @@ Wie Wahl der Parametrisierung der Kurve hat keinen Einfluss auf den Wert des Wegintegrals. \begin{satz} +\index{Satz!Kurvenparametrisierung}% Seien $\gamma_1(t), t\in[a,b],$ und $\gamma_2(s),s\in[c,d]$ verschiedene Parametrisierungen \index{Parametrisierung}% diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex index b7b5325..aa1041a 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex @@ -37,11 +37,6 @@ auf der rellen Achse hinaus fortsetzen. \input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex} -\section{TODO} -\begin{itemize} -\item Aurgument-Prinzip -\end{itemize} - \section*{Übungsaufgaben} \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex index 537fd96..4a8f41f 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex @@ -12,12 +12,15 @@ die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her. \begin{satz} +\index{Satz!Spiegelungsformel für $\Gamma(x)$}% +\label{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel} Für $0<x<1$ gilt \begin{equation} \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}. \end{equation} +\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}% \end{satz} \begin{figure} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex index c87b083..b2bacae 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex @@ -83,6 +83,7 @@ Der Term $x-x_0$ und die Gleichung \eqref{komplex:abldef} sind aber auch für komplexe Argument sinnvoll, wir definieren daher \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:differenzierbar} Die komplexe Funktion $f(z)$ heisst im Punkt $z_0$ komplex differenzierbar und hat die komplexe Ableitung $f'(z_0)\in\mathbb C$, wenn \index{komplex differenzierbar}% @@ -107,10 +108,10 @@ Differenzenquotienten finden: &= \frac{z^n-z_0^n}{z-z_0} = -\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1})}{z-z_0} +\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z_0^{n-1})}{z-z_0} \\ &= -\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1} +\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z_0^{n-1} }_{\displaystyle \text{$n$ Summanden}}. \end{align*} Lassen wir jetzt $z$ gegen $z_0$ gehen, wird die rechte Seite @@ -191,6 +192,7 @@ Dies ist nur möglich, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen. Es folgt also \begin{satz} +\index{Satz!Cauchy-Riemann Differentialgleichungen}% \label{komplex:satz:cauchy-riemann} Real- und Imaginärteil $u(x,y)$ und $v(x,y)$ einer komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ @@ -258,11 +260,12 @@ Der Operator \frac{\partial^2}{\partial y^2} \] heisst der {\em Laplace-Operator} in zwei Dimensionen. - \index{Laplace-Operator}% +\index{Operator!Laplace-}% \end{definition} \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:harmonisch} Eine Funktion $h(x,y)$ von zwei Variablen heisst {\em harmonisch}, wenn sie die Gleichung \[ diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex index 71d1844..2a5c62c 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex @@ -5,6 +5,9 @@ % \newcommand*\sk{\vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf}}}} +% +% Löesung linearer Differentialgleichunge mit Singularitäten +% \subsection{Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Singularitäten \label{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}} Die Potenzreihenmethode hat ermöglicht, mindestens eine Lösung gewisser @@ -19,6 +22,9 @@ Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, warum dies nicht möglich war und wie diese Schwierigkeit mit Hilfe der analytischen Fortsetzung überwunden werden kann. +% +% Differentialgleichungen mit Singularitäten +% \subsubsection{Differentialgleichungen mit Singularitäten} Mit der Besselschen Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} @@ -76,6 +82,8 @@ in einer Umgebung von $x=0$ wieder nicht. Die Besselsche Differentialgleichung hat auch nicht die Form $y''+p(x)xy'+q(x)=0$, die der Theorie der Indexgleichung zugrunde lag. +\index{Besselsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% Daher kann es auch keine Garantie geben, dass die Methode der verallgemeinerten Potenzreihen zwei linear unabhängige Lösungen liefern kann. @@ -93,11 +101,15 @@ Klasse von Singularitäten beschreiben, aber es ist nicht klar, welche weiteren Arten von Singularitäten berücksichtigt werden sollten. Dies soll im Folgenden geklärt werden. +% +% Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung +% \subsubsection{Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung} Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen Vektorraum als Lösungsraum. \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:def:loesungsraum} Sei \begin{equation} \sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) = 0 @@ -124,8 +136,13 @@ der Lösungsraum der Differentialgleichung \eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}. Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$. +\index{Lösungsraum einer Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Lösungsraum}% \end{definition} +% +% Analytische Fortsetzung auf dem Weg um 0 +% \subsubsection{Analytische Fortsetzung auf einem Weg um $0$} Die betrachteten Differentialgleichungen haben holomorphe Koeffizienten, Lösungen der Differentialgleichung lassen sich @@ -159,11 +176,15 @@ Das Studium dieser analytischen Fortsetzung dürfte daher zusätzliche Informationen über die Lösung hervorbringen. \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:def:fortsetzungsoperator} +\index{Fortsetzungsoperator}% Der {\em Fortsetzungsoperator} $\sk$ ist der lineare Operator, der eine in einem Punkt $x\in\mathbb{R}^+$ analytische Funktion $f(x)$ entlang eines geschlossenen Weges fortsetzt, der $0$ im Gegenuhrzeigersinn umläuft. Die Einschränkung der analytischen Fortsetzung auf $\mathbb{R}^+$ wird mit $\sk f(x)$ bezeichnet. +\index{analytische Fortsetzung}% +\index{Fortsetzung, analytisch}% \end{definition} Die obengenannten Beispiele lassen sich mit dem Operator $\sk$ als @@ -186,6 +207,9 @@ e^{2\pi i\varrho} z^\varrho \] schreiben. +% +% Rechenregeln für die analytische Fortsetzung +% \subsubsection{Rechenregeln für die analytische Fortsetzung} Der Operator $\sk$ ist ein Algebrahomomorphismus, d.~h.~für zwei analytische Funktionen $f$ und $g$ gilt @@ -215,7 +239,9 @@ vertauscht, dass also \sk(f^{(n)}). \] - +% +% Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung +% \subsubsection{Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung} Wir untersuchen jetzt die Wirkung des Operators $\sk$ auf den Lösungsraum $\mathbb{L}$ einer Differentialgleichung mit @@ -258,7 +284,9 @@ geeigneten Basis in besonders einfache Form gebracht. Wir führen diese Diskussion im folgenden nur für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung $n=2$. - +% +% Fall A diagonalisierbar +% \subsubsection{Fall $A$ diagonalisierbar: verallgemeinerte Potenzreihen} In diesem Fall kann man die Lösungsfunktionen $w_1$ und $w_2$ so wählen, dass die Matrix @@ -326,6 +354,9 @@ Falls der Operator $\sk$ also diagonalisierbar ist, dann gibt es zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe. +% +% Fall $A$ nicht diagonalisierbar +% \subsubsection{Fall $A$ nicht diagonalisierbar: logarithmische Lösungen} Falls die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar ist, hat sie nur einen Eigenwert $\lambda$ und kann durch geeignete Wahl einer Basis in @@ -421,7 +452,158 @@ in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, verschwindet der $\log(z)$-Term und für die verbleibenden Koeffizienten kann die bekannte Methode des Koeffizientenvergleichs verwendet werden. -\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art} +% +% Bessel-Funktionen zweiter Art +% +\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art +\label{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art}} +Im Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:bessel1steart} +waren wir nicht in der Lage, für ganzahlige $\alpha$ zwei linear unabhängige +Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu finden. +Die vorangegangenen Ausführungen erklären dies: der Ansatz als +verallgemeinerte Potenzreihe konnte die Singularität nicht wiedergeben. +Inzwischen wissen wir, dass wir nach einer Lösung mit einer logarithmischen +Singularität suchen müssen. +Um dies nachzuprüfen, setzen wir den Ansatz +\[ +y(x) = \log(x) J_n(x) + z(x) +\] +in die Besselsche Differentialgleichung ein. +Dazu benötigen wir erst die Ableitungen von $y(x)$: +\begin{align*} +y'(x) +&= +\frac{1}{x} J_n(x) + \log(x)J_n'(x) + z'(x) +\\ +xy'(x) +&= +J_n(x) + x\log(x)J_n'(x) + xz'(x) +\\ +y''(x) +&= +-\frac{1}{x^2} J_n(x) ++\frac2x J_n'(x) ++\log(x) J_n''(x) ++z''(x) +\\ +x^2y''(x) +&= +-J_n(x) + 2xJ'_n(x)+x^2\log(x)J_n''(x) + x^2z''(x). +\end{align*} +Die Wirkung des Bessel-Operators auf $y(x)$ ist +\begin{align*} +By +&= +x^2y''+xy'+x^2y +\\ +&= +\log(x) \bigl( +\underbrace{ +x^2J_n''(x) ++xJ_n'(x) ++x^2J_n(x) +}_{\displaystyle = n^2J_n(x)} +\bigr) +-J_n(x)+2xJ_n'(x) ++J_n(x) ++ +xz'(x) ++ +x^2z''(x) +\\ +&= +n^2 \log(x)J_n(x) ++ +2xJ_n(x) ++ +x^2z(x) ++ +xz'(x) ++ +x^2z''(x) +\end{align*} +Damit $y(x)$ eine Eigenfunktion zum Eigenwert $n^2$ wird, muss +dies mit $n^2y(x)$ übereinstimmen, also +\begin{align*} +n^2 \log(x)J_n(x) ++ +2xJ_n(x) ++ +x^2z(x) ++ +xz'(x) ++ +x^2z''(x) +&= +n^2\log(x)J_n(x) + n^2z(x). +\intertext{Die logarithmischen Terme heben sich weg und es bleibt} +x^2z''(x) ++ +xz'(x) ++ +(x^2-n^2)z(x) +&= +-2xJ_n(x). +\end{align*} +Eine Lösung für $z(x)$ kann mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes +gefunden werden. +Sie ist aber nur bis auf einen Faktor festgelegt. +Tatsächlich kann man aber auch eine direkte Definition geben. + +\begin{definition} +Die Bessel-Funktionen zweiter Art der Ordnung $\alpha$ sind die Funktionen +\begin{equation} +Y_\alpha(x) += +\frac{J_\alpha(x) \cos \alpha\pi - J_{-\alpha}(x)}{\sin \alpha\pi }. +\label{buch:funktionentheorie:bessel:2teart} +\end{equation} +Für ganzzahliges $\alpha$ verschwindet der Nenner in +\eqref{buch:funktionentheorie:bessel:2teart}, +daher ist +\[ +Y_n(x) += +\lim_{\alpha\to n} Y_{\alpha}(x) += +\frac{1}{\pi}\biggl( +\frac{d}{d\alpha}J_{\alpha}(x)\bigg|_{\alpha=n} ++ +(-1)^n +\frac{d}{d\alpha}J_{\alpha}(x)\bigg|_{\alpha=-n} +\biggr). +\] +\end{definition} +Die Funktionen $Y_\alpha(x)$ sind Linearkombinationen der Lösungen +$J_\alpha(x)$ und $J_{-\alpha}(x)$ und damit automatisch auch Lösungen +der Besselschen Differentialgleichung. +Dies gilt auch für den Grenzwert im Falle ganzahliger Ordnung $\alpha$. +Da $J_{\alpha}(x)$ durch eine Reihenentwicklung definiert ist, kann man +diese Termweise nach $\alpha$ ableiten und damit auch eine +Reihendarstellung von $Y_n(x)$ finden. +Nach einiger Rechnung findet man: +\begin{align*} +Y_n(x) +&= +\frac{2}{\pi}J_n(x)\log\frac{x}2 +- +\frac1{\pi} +\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-k-1)!}{k!}\biggl(\frac{x}2\biggr)^{2k-n} +\\ +&\qquad\qquad +- +\frac1{\pi} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\,(n+k)!} +\biggl( +\frac{\Gamma'(n+k+1)}{\Gamma(n+k+1)} ++ +\frac{\Gamma'(k+1)}{\Gamma(k+1)} +\biggr) +\biggl( +\frac{x}2 +\biggr)^{2k+n} +\end{align*} +(siehe auch \cite[p.~200]{buch:specialfunctions}). diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex index 583895d..271dc44 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -6,10 +6,26 @@ \section{Gleichungen und Randbedingungen \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} \rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen} +Gewöhnliche Differentialgleichungen sind immer auf einem +Intervall als Definitionsgebiet definiert. +Partielle Differentialgleichungen sind Gleichungen, die verschiedene +partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen involvieren, +das Definitionsgebiet ist daher immer eine höherdimensionale Teilmenge +von $\mathbb{R}^n$. +Sowohl das Gebiet wie auch dessen Rand können wesentlich komplexer sein. +Eine sorgfältige Definition ist unabdingbar, um Widersprüchen vorzubeugen. +% +% Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen +% \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen} +In diesem Abschnitt sollen die Begriffe geklärt werden, die zur +korrekten Formulierung eines partiellen Differentialgleichungsproblems +notwendig sind. - +% +% Gebiete +% \subsubsection{Gebiete} Gewöhnliche Differentialgleichungen haben nur eine unabhängige Variable, die gesuchte Lösungsfunktion ist auf eine @@ -20,6 +36,7 @@ ermöglicht wesentlich vielfältigere und kompliziertere Situationen. \begin{definition} +\label{buch:pde:definition:gebiet} Ein Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$ ist eine offene Teilmenge von $\mathbb{R}^n$, d.~h.~für jeden Punkt $x\in G$ gibt es eine kleine Umgebung @@ -29,8 +46,12 @@ U_{\varepsilon}(x) \{y\in\mathbb{R}^n\mid |x-y|<\varepsilon\} \), die ebenfalls in $G$ in enthalten ist, also $U_{\varepsilon}(x)\subset G$. +\index{Gebiet}% \end{definition} +% +% Differentialoperatoren +% \subsubsection{Differentialoperatoren} Eine gewöhnliche Differentialgleichung für eine Funktion ist eine Beziehung zwischen den Werten der Funktion und ihrer @@ -66,9 +87,13 @@ schreiben. Die Koeffizienten $a$, $b_i$, $c_{ij}$ können dabei durchaus auch Funktionen der unabhängigen Variablen sein. +% +% Laplace-Operator +% \subsubsection{Laplace-Operator} -Der Laplace-Operator hat in einem karteischen Koordinatensystem die +Der {\em Laplace-Operator} hat in einem karteischen Koordinatensystem die Form +\index{Laplace-Operator}% \[ \Delta = @@ -86,28 +111,109 @@ nicht ändert. Man könnte sagen, der Laplace-Operator ist symmetrisch bezüglich aller Bewegungen des Raumes. +% +% Wellengleichung +% \subsubsection{Wellengleichung} +Da die physikalischen Gesetze invariant sein müssen unter solchen +Bewegungen, ist zu erwarten, dass der Laplace-Operator in partiellen +Differentialgleichungen +Als Beispiel betrachten wir die Ausbreitung einer Welle, welche sich +in einem Medium mit der Geschwindigkeit $c$ ausbreitet. +Ist $u(x,t)$ die Auslenkung der Welle im Punkt $x\in\mathbb{R}^n$ +zur Zeit $t\in\mathbb{R}$, dann erfüllt die Funktion $u(x,t)$ +die partielle Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{1}{c^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} += +\Delta u. +\label{buch:pde:eqn:waveequation} +\end{equation} +In dieser Gleichung treten nicht nur die partiellen Ableitungen +nach den Ortskoordinaten auf, die der Laplace-Operator miteinander +verknüpft. +Die Funktion $u(x,t)$ ist definiert auf einem Gebiet in +$\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{n+1}$ mit den Koordinaten +$(x_1,\dots,x_n,t)$. +Der Gleichung~\eqref{buch:pde:eqn:waveequation} ist daher eigentlich +die Gleichung +\[ +\square u = 0 +\qquad\text{mit}\quad +\square += +\frac{1}{c^2}\frac{^2}{\partial t^2} +- +\Delta += +\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} +- +\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +- +\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} +-\dots- +\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} +\] +wird. +Der Operator $\square$ heisst auch d'Alembert-Operator. +\index{dAlembertoperator@d'Alembert-Operator}% -\subsubsection{Eigenfunktionen} -Eine besonders einfache - -\subsubsection{Trigonometrische Funktionen} -Die trigonometrischen Funktionen - -\subsection{Orthogonalität} -In der linearen Algebra lernt man, dass die Eigenvektoren einer -symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthgonal sind. -Dies hat zur Folge, dass die Transformation in eine Eigenbasis -mit einer orthogonalen Matrix möglich ist, was wiederum die Basis -von Diagonalisierungsverfahren wie dem Jacobi-Verfahren ist. - -Das Separationsverfahren wird zeigen, wie sich das Finden einer -Lösung der Wellengleichung auf Lösungen des Eigenwertproblems -$\Delta u = \lambda u$ zurückführen lässt. -Damit stellt sich die Frage, welche Eigenschaften - +% +% Randbedingungen +% +\subsubsection{Randbedingungen} +Die Differentialgleichung oder der Differentialoperator legen die +Lösung nicht fest. +Wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ist dazu die Spezifikation +geeigneter Randbedingungen nötig. -\subsubsection{Gewöhnliche Differentialglichung} +\begin{definition} +\label{buch:pde:definition:randbedingungen} +Eine {\em Randbedingung} für das Gebiet $\Omega$ ist eine Teilmenge +$F\subset\partial\Omega$ sowie eine auf $F$ definierte Funktion +$f\colon F\to\mathbb{R}$. +Eine Funktion $u\colon \overline{\Omega} \to\mathbb{R}$ erfüllt eine +{\em Dirichlet-Randbedingung}, wenn +\index{Dirichlet-Randbedingung}% +\index{Randbedingung!Dirichlet-}% +\( +u(x) = f(x) +\) +für $x\in F$. +Sie erfüllt eine {\em Neumann-Randbedingung}, wenn +\index{Neumann-Randbedingung}% +\index{Randbedingung!Neumann-}% +\[ +\frac{\partial u}{\partial n} += +f(x)\qquad\text{für $x\in F$}. +\] +Dabei ist +\[ +\frac{\partial u}{\partial n} += +\frac{d}{dt} +u(x+tn) +\bigg|_{t=0} += +\operatorname{grad}u\cdot n +\] +\index{Normalableitung}% +die {\em Normalableitung}, die Richtungsableitung in Richtung des +Vektors $n$, der senkrecht ist auf dem Rand $\partial\Omega$ von +$\Omega$. +\end{definition} +Die Vorgabe nur von Ableitungen kann natürlich die Lösung $u(x)$ +einer linearen partiellen Differentialgleichung nicht eindeutig +festlegen, dazu ist noch mindestens ein Funktionswert notwendig. +Die Vorgabe von anderen Ableitungen in Richtungen tangential an den +Rand liefert keine neue Information, denn ausgehend von dem einen +Funktionswert auf dem Rand kann man durch Integration entlang +einer Kurve auf dem Rand eine Neumann-Randbedingung konstruieren, +die die gleiche Information beinhaltet wie Anforderungen an die +tangentialen Ableitungen. +Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen sind daher die einzigen +sinnvollen linearen Randbedingungen. -\subsubsection{$n$-dimensionaler Fall} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index 639cb8f..4e2644c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -12,4 +12,8 @@ CHAPTERFILES += \ chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex \ + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex \ + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex \ + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex \ + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex \ chapters/110-elliptisch/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile new file mode 100644 index 0000000..8dab511 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile @@ -0,0 +1,15 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: sn + +sn: sn.cpp + g++ -O -Wall -g -std=c++11 sn.cpp -o sn `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + + +agm: agm.cpp + g++ -O -Wall -g -std=c++11 agm.cpp -o agm `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + ./agm + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp new file mode 100644 index 0000000..8abb4b2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp @@ -0,0 +1,75 @@ +/* + * agm.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <gsl/gsl_sf_ellint.h> + +inline long double sqrl(long double x) { + return x * x; +} + +long double Xn(long double a, long double b, long double x) { + double long epsilon = fabsl(a - b); + if (epsilon > 0.001) { + return (a - sqrtl(sqrl(a) - sqrl(x) * (a + b) * (a - b))) + / (x * (a - b)); + } + long double d = a + b; + long double x1 = 0; + long double y2 = sqrl(x/a); + long double c = 1; + long double s = 0; + int k = 1; + while (c > 0.0000000000001) { + c *= (0.5 - (k - 1)) / k; + c *= (d - epsilon) * y2; + s += c; + c *= epsilon; + c = -c; + k++; + } + return s * a / x; +} + +int main(int argc, char *argv[]) { + long double a = 1; + long double b = sqrtl(2.)/2; + long double x = 0.7; + if (argc >= 3) { + a = std::stod(argv[1]); + b = std::stod(argv[2]); + } + if (argc >= 4) { + x = std::stod(argv[3]); + } + + { + long double an = a; + long double bn = b; + long double xn = x; + for (int i = 0; i < 10; i++) { + printf("%d %24.18Lf %24.18Lf %24.18Lf %24.18Lf\n", + i, an, bn, xn, a * asin(xn) / an); + long double A = (an + bn) / 2; + xn = Xn(an, bn, xn); + bn = sqrtl(an * bn); + an = A; + } + } + + { + double k = b/a; + k = sqrt(1 - k*k); + double K = gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE); + printf(" %24.18f %24.18f\n", k, K); + double F = gsl_sf_ellint_F(asinl(x), k, GSL_PREC_DOUBLE); + printf(" %24.18f %24.18f\n", k, F); + } + + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m new file mode 100644 index 0000000..dcb3ad8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m @@ -0,0 +1,20 @@ +# +# agm.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +format long + +n = 10; +a = 1; +b = sqrt(0.5); + +for i = (1:n) + printf("%20.16f %20.16f\n", a, b); + A = (a+b)/2; + b = sqrt(a*b); + a = A; +end + +K = pi / (2 * a) + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima new file mode 100644 index 0000000..c7facd4 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima @@ -0,0 +1,26 @@ +/* + * agm.maxima + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +S: 2*a*sin(theta1) / (a+b+(a-b)*sin(theta1)^2); + +C2: ratsimp(diff(S, theta1)^2 / (1 - S^2)); +C2: ratsimp(subst(sqrt(1-sin(theta1)^2), cos(theta1), C2)); +C2: ratsimp(subst(S, sin(theta), C2)); +C2: ratsimp(subst(sqrt(1-S^2), cos(theta), C2)); + +D2: (a^2 * cos(theta)^2 + b^2 * sin(theta)^2) + / + (a1^2 * cos(theta1)^2 + b1^2 * sin(theta1)^2); +D2: subst((a+b)/2, a1, D2); +D2: subst(sqrt(a*b), b1, D2); +D2: ratsimp(subst(1-S^2, cos(theta)^2, D2)); +D2: ratsimp(subst(S, sin(theta), D2)); +D2: ratsimp(subst(1-sin(theta1)^2, cos(theta1)^2, D2)); + +Q: D2/C2; +Q: ratsimp(subst(x, sin(theta1), Q)); + +Q: ratsimp(expand(ratsimp(Q))); diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp new file mode 100644 index 0000000..9e1b047 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp @@ -0,0 +1,52 @@ +/* + * sn.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <gsl/gsl_sf_ellint.h> +#include <gsl/gsl_sf_elljac.h> + +static const int N = 10; + +inline long double sqrl(long double x) { + return x * x; +} + +int main(int argc, char *argv[]) { + long double u = 0.6; + long double k = 0.9; + long double kprime = sqrt(1 - sqrl(k)); + + long double a[N], b[N], x[N+1]; + a[0] = 1; + b[0] = kprime; + + for (int n = 0; n < N-1; n++) { + printf("a[%d] = %22.18Lf b[%d] = %22.18Lf\n", n, a[n], n, b[n]); + a[n+1] = (a[n] + b[n]) / 2; + b[n+1] = sqrtl(a[n] * b[n]); + } + + x[N] = sinl(u * a[N-1]); + printf("x[%d] = %22.18Lf\n", N, x[N]); + + for (int n = N - 1; n >= 0; n--) { + x[n] = 2 * a[n] * x[n+1] / (a[n] + b[n] + (a[n] - b[n]) * sqrl(x[n+1])); + printf("x[%2d] = %22.18Lf\n", n, x[n]); + } + + printf("sn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24Lf\n", u, k, x[0]); + + double sn, cn, dn; + double m = sqrl(k); + gsl_sf_elljac_e((double)u, m, &sn, &cn, &dn); + printf("sn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, sn); + printf("cn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, cn); + printf("dn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, dn); + + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex index e05f3bd..21fc986 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex @@ -35,11 +35,15 @@ wieder hergestellt. \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex} -\section*{Übungsaufgabe} -\rhead{Übungsaufgabe} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} \uebungsaufgabe{1} +\uebungsaufgabe{2} +\uebungsaufgabe{3} +\uebungsaufgabe{4} +\uebungsaufgabe{5} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 7eaab38..c5b3a5c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -228,8 +228,10 @@ Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den folgenden Satz. \begin{satz} +\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}% Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +genügt, dann genügt der Kehrwert $\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung \begin{equation} (\operatorname{qp}'(u,k))^2 @@ -276,8 +278,8 @@ vertauscht worden sind. % Differentialgleichung zweiter Ordnung % \subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +Leitet man die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung \[ 2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) = @@ -339,19 +341,231 @@ y(u) = F^{-1}(u+C). Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen der unvollständigen elliptischen Integrale. +\begin{beispiel} +Die Differentialgleichung der Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ ist +\[ +(y')^2 += +(1-y^2)(1-k^2y^2). +\] +Aus \eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} folgt daher, dass +\[ +u+C += +\int\frac{dy}{(1-y^2)(1-k^2y^2)}. +\] +Das Integral ist das unvollständige elliptische Integral erster Art. +Mit der Wahl der Konstanten $C$ so, dass $y(0)=0$ ist, ist +$y(u)=\operatorname{sn}(u,k)$ daher die Umkehrfunktion von +$y\mapsto F(y,k)=u$. +\end{beispiel} + +% +% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel +% +\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel +\label{buch:elliptisch:jacobi:agm}} +\begin{table} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\begin{scope}[xshift=-2.4cm,yshift=1.2cm] +\fill[color=red!20] + (-1.0,0) -- (-1.0,-2.1) -- (-1.8,-2.1) -- (0,-3.0) + -- (1.8,-2.1) -- (1.0,-2.1) -- (1.0,0) -- cycle; +\node[color=white] at (0,-1.2) [scale=7] {\sf 1}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=2.9cm,yshift=-1.8cm] +\fill[color=blue!20] + (0.8,0) -- (0.8,2.1) -- (1.4,2.1) -- (0,3.0) -- (-1.4,2.1) + -- (-0.8,2.1) -- (-0.8,0) -- cycle; +\node[color=white] at (0,1.2) [scale=7] {\sf 2}; +\end{scope} + +\node at (0,0) { +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}l<{$}|} +\hline +n & a_n & b_n & x_n & +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +0 & 1.0000000000000000 & 0.4358898943540673 & 0.5422823228691580 & = \operatorname{sn}(u,k)% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\ +1 & 0.7179449471770336 & 0.6602195804079634 & 0.4157689781689663 & \mathstrut\\ +2 & 0.6890822637924985 & 0.6884775317911533 & 0.4017521410983242 & \mathstrut\\ +3 & 0.6887798977918259 & 0.6887798314243237 & 0.4016042867931862 & \mathstrut\\ +4 & 0.6887798646080748 & 0.6887798646080740 & 0.4016042705654757 & \mathstrut\\ +5 & 0.6887798646080744 & 0.6887798646080744 & 0.4016042705654755 & \mathstrut\\ +6 & & & 0.4016042705654755 & = \sin(a_5u) +\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\end{tabular} +}; +\end{tikzpicture} +\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2 +mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels. +In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen +\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}% +und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die +Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$. +Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels +Maschinengenauigkeit, was sich auch darin äussert, dass sich $x_5$ und +$x_6=\sin(a_5u)$ nicht unterscheiden. +\label{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}} +\end{table} +In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf +Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm} +wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit +Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann. +\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}% +\index{arithmetisch-geometrisches Mittel!Algorithmus}% +Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann +man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ +verwenden. +Dazu geht man wie folgt vor: +\begin{enumerate} +\item +$k'=\sqrt{1-k^2}$. +\item +Berechne die Folgen des arithmetisch-geometrischen Mittels +$a_n$ und $b_n$ mit $a_0=1$ und $b_0=k'$, bis zum Folgenindex $N$, +bei dem ausreichende Konvergenz eintegreten ist. +\item +Setze $x_N = \sin(a_N \cdot u)$. +\item +Berechnet für absteigende $n=N-1,N-2,\dots$ die Folge $x_n$ mit Hilfe +der Rekursionsformel +\begin{equation} +x_{n} += +\frac{2a_nx_{n+1}}{a_n+b_n+(a_n-b_n)x_{n+1}^2}, +\label{buch:elliptisch:agm:xnrek} +\end{equation} +die aus \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} +durch die Substitution $x_n = \sin t_n$ entsteht. +\item +Setze $\operatorname{sn}(u,k) = x_0$. +\end{enumerate} +Da die Formel \eqref{buch:elliptisch:agm:xnrek} nicht unter den +numerischen Stabilitätsproblemen leidet, die früher auf +Seite~\pageref{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet} +diskutiert wurden, ist die Berechnung stabil und sehr schnell. +Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung} +zeigt die Berechnung am Beispiel $u=0.6$ und $k=0.2$. + +% +% Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf} +\caption{Werte der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +und +$\operatorname{dn}(u,k)$ +in den Ecken des Rechtecks mit Ecken $(0,0)$ und $(K,K+iK')$. +Links der Definitionsbereich, rechts die Werte der drei Funktionen. +Pole sind mit einem Kreuz ($\times$) bezeichnet, Nullstellen mit einem +Kreis ($\ocircle$). +\label{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf} +\caption{Pole und Nullstellen aller Jacobischen elliptischen Funktionen +mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} +\label{buch:elliptisch:fig:ellall}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf} +\caption{Auswahl einer Jacobischen elliptischen Funktion mit bestimmten +Nullstellen und Polen. +Nullstellen und Pole können in jeder der vier Ecken des fundamentalen +Rechtecks (gelb, oberer rechter Viertel des Periodenrechtecks) liegen. +Der erste Buchstabe des Namens der gesuchten Funktion ist der Buchstabe +der Ecke der Nullstelle, der zweite Buchstabe ist der Buchstabe der +Ecke des Poles. +Im Beispiel die Funktion $\operatorname{cd}(u,k)$, welche eine +Nullstelle in $K$ hat und einen Pol in $K+iK'$. +\label{buch:elliptisch:fig:selectell}} +\end{figure} +Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung +\[ +\frac{dy}{du} += +\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}, +\] +welche mit dem unbestimmten Integral +\begin{equation} +u + C = \int\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}} +\label{buch:elliptisch:eqn:uyintegral} +\end{equation} +gelöst werden kann. +Der Wertebereich des Integrals in \eqref{buch:elliptisch:eqn:uyintegral} +wurde bereits in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral} +auf Seite~\pageref{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich} +diskutiert. +Daraus können jetzt Nullstellen und Pole der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +und mit Hilfe von Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +auch für $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +abgelesen werden: +\begin{equation} +\begin{aligned} +\operatorname{sn}(0,k)&=0 +&&\qquad& +\operatorname{cn}(0,k)&=1 +&&\qquad& +\operatorname{dn}(0,k)&=1 +\\ +\operatorname{sn}(iK',k)&=\infty +&&\qquad& +\operatorname{cn}(iK',k)&=\infty +&&\qquad& +\operatorname{dn}(iK',k)&=\infty +\\ +\operatorname{sn}(K,k)&=1 +&&\qquad& +\operatorname{cn}(K,k)&=0 +&&\qquad& +\operatorname{dn}(K,k)&=k' +\\ +\operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k} +&&\qquad& +\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik} +&&\qquad& +\operatorname{dn}(K+iK',k)&=0 +\end{aligned} +\label{buch:elliptische:eqn:eckwerte} +\end{equation} +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} zeigt diese Werte +an einer schematischen Darstellung des Definitionsbereiches auf. +Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen +elliptischen Funktionen ablesen, Pole und Nullstellen sind in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellall} +zusammengestellt. + + + + % % Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators % \subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\index{Differentialgleichung!das anharmonischen Oszillators}% \begin{equation} \biggl( \frac{dx}{dt} \biggr)^2 = Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\label{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} \end{equation} mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form @@ -368,7 +582,7 @@ a\operatorname{zn}'(bt,k). \] Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} einsetzen, erhalten wir \begin{equation} a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 @@ -478,13 +692,13 @@ Da alle Parameter im Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} ist autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung sind nicht von der Zeit abhängig. Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung. Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} hat also die Form \[ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), @@ -492,3 +706,7 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. +Die Übungsaufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:1} ist als +Lernaufgabe konzipiert, mit der die Lösung der Differentialgleichung +des harmonischen Oszillators beispielhaft durchgearbeitet +werden kann. diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 3acce2f..466aeb7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -179,6 +179,7 @@ Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. \begin{satz} +\index{Satz!vollständiges elliptisches Integral als hypergeometrische Funktion}% \label{buch:elliptisch:satz:hyperK} Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als @@ -355,9 +356,9 @@ K(k) dies beweist die Behauptung. \end{proof} - - - +% +% Umfang einer Ellipse +% \subsubsection{Umfang einer Ellipse} \begin{figure} \centering @@ -430,7 +431,7 @@ Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. \begin{satz} \label{buch:elliptisch:satz:hyperE} -Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +Das vollständige elliptische Integral $E(k)$ ist \[ E(k) = @@ -451,13 +452,331 @@ Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden werden. \end{proof} -\subsubsection{Komplementäre Integrale} +Die Darstellung von $E(k)$ als hypergeometrische Reihe ermöglicht +jetzt zum Beispiel auch die Berechnung der Ableitung nach dem +Parameter $k$ mit der Ableitungsformel für die Funktion $\mathstrut_2F_1$. + + +% +% Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel +% +\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel +\label{buch:elliptisch:subsection:agm}} +Die numerische Berechnung von elliptischer Integrale mit gewöhnlichen +numerischen Integrationsroutinen ist nicht sehr effizient. +Das in diesem Abschnitt vorgestellte arithmetisch-geometrische Mittel +\index{arithmetisch-geometrisches Mittel}% +liefert einen Algorithmus mit sehr viel besserer Konvergenz. +Die Methode lässt sich auch auf die unvollständigen elliptischen +Integrale von Abschnitt~\eqref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral} +verallgemeinern. +Sie ist ein Speziallfall der sogenannten Landen-Transformation, +\index{Landen-Transformation}% +welche ausser für die elliptischen Integrale auch für die +Jacobischen elliptischen Funktionen formuliert werden kann und +für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert +(siehe dazu auch die +Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}). +Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen +Funktionen für komplexe Argument zu berechnen. +Eine weiter Anwendung ist die Berechnung einer grossen Zahl von +Stellen der Kreiszahl $\pi$, siehe Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}. + +% +% Das arithmetisch-geometrische Mittel +% +\subsubsection{Das arithmetisch-geometrische Mittel} +Seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. +Aus $a$ und $b$ werden jetzt zwei Folgen konstruiert, deren Glieder +durch +\begin{align*} +a_0&=a &&\text{und}& a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2 &&\text{arithmetisches Mittel} +\\ +b_0&=b &&\text{und}& b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n} &&\text{geometrisches Mittel} +\end{align*} +definiert sind. + +\begin{satz} +\index{Satz!arithmetisch-geometrisches Mittel}% +Falls $a>b>0$ ist, nimmt die Folge $(a_k)_{k\ge 0}$ monoton ab und +$(b_k)_{k\ge 0}$ nimmt monoton zu. +Beide konvergieren quadratisch gegen einen gemeinsamen Grenzwert. +\end{satz} + +\begin{definition} +Der gemeinsame Grenzwert von $a_n$ und $b_n$ heisst das +{\em arithmetisch-geometrische Mittel} und wird mit +\[ +M(a,b) += +\lim_{n\to\infty} a_n += +\lim_{n\to\infty} b_n +\] +bezeichnet. +\index{arithmetisch-geometrisches Mittel}% +\end{definition} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist zu zeigen, dass die Folgen monoton sind. +Dies folgt sofort aus der Definition der Folgen: +\begin{align*} +a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}{2} \ge \frac{a_n+a_n}{2} = a_n +\\ +b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n} \ge \sqrt{b_nb_n} = b_n. +\end{align*} +Die Konvergenz folgt aus +\[ +a_{n+1}-b_{n+1} +\le +a_{n+1}-b_n += +\frac{a_n+b_n}{2}-b_n += +\frac{a_n-b_n}2 +\le +\frac{a-b}{2^{n+1}}. +\] +Dies zeigt jedoch nur, dass die Konvergenz mindestens ein +Bit in jeder Iteration ist. +Aus +\[ +a_{n+1}^2 - b_{n+1}^2 += +\frac{(a_n+b_n)^2}{4} - a_nb_n += +\frac{a_n^2 -2a_nb_n+b_n^2}{4} += +\frac{(a_n-b_n)^2}{4} +\] +folgt +\[ +a_{n+1}-b_{n+1} += +\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_{n+1}+b_{n+1})}. +\] +Da der Nenner gegen $2M(a,b)$ konvergiert, wird der Fehler für in +jeder Iteration quadriert, die Zahl korrekter Stellen verdoppelt sich +in jeder Iteration, es liegt also quadratische Konvergenz vor. +\end{proof} + +% +% Transformation des elliptischen Integrals +% +\subsubsection{Transformation des elliptischen Integrals} +In diesem Abschnitt soll das Integral +\[ +I(a,b) += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2t}} +\] +berechnet werden. +Es ist klar, dass +\[ +I(sa,sb) += +\frac{1}{s} I(a,b). +\] + +Gauss hat gefunden, dass die Substitution +\begin{equation} +\sin t += +\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin^2 t_1} +\label{buch:elliptisch:agm:subst} +\end{equation} +zu +\begin{equation} +\frac{dt}{\sqrt{a^2_{\phantom{1}}\cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}} += +\frac{dt_1}{\sqrt{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}} +\label{buch:elliptisch:agm:dtdt1} +\end{equation} +führt. +Um dies nachzuprüfen, muss man zunächst +\eqref{buch:elliptisch:agm:subst} +nach $t_1$ ableiten, was +\[ +\frac{d}{dt_1}\sin t += +\cos t +\frac{dt}{dt_1} +\qquad\Rightarrow\qquad +\biggl( +\frac{d}{dt_1}\sin t +\biggr)^2 += +(1-\sin^2t)\biggl(\frac{dt}{dt_1}\biggr)^2 +\] +ergibt. +Die Ableitung von $t$ nach $t_1$ kann auch aus +\eqref{buch:elliptisch:agm:dtdt1} +ableiten, es ist +\[ +\biggl( +\frac{dt}{dt_1} +\biggr)^2 += +\frac{a^2_{\phantom{1}} \cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}. +\] +Man muss also nachprüfen, dass +\begin{equation} +\frac{1}{1-\sin^2 t} +\frac{d}{dt_1}\sin t += +\frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}. +\label{buch:elliptisch:agm:deq} +\end{equation} +Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\!\sqrt{ab}$ setzen. +Ausserdem muss man $\cos^2 t$ durch $1-\sin^2t$ ersetzen und +$\sin t$ durch \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}. +Auch $\cos^2 t_1$ muss man durch $1-\sin^2t_1$ ersetzt werden. +Dann kann man nach einer langwierigen Rechnung, die sich am leichtesten +mit einem Computer-Algebra-System ausführen lässt finden, dass +\eqref{buch:elliptisch:agm:deq} +tatsächlich korrekt ist. + +\begin{satz} +\index{Satz!Gauss-Integrale}% +\label{buch:elliptisch:agm:integrale} +Für $a_1=(a+b)/2$ und $b_1=\sqrt{ab}$ gilt +\[ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t} += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt_1}{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}. +\] +\end{satz} + +Der Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:integrale} zeigt, dass die Ersetzung +von $a$ und $b$ durch $a_1$ und $b_1$ das Integral $I(a,b)$ nicht ändert. +Dies gilt natürlich für alle Glieder der Folge zur Bestimmung des +arithmetisch-geometrischen Mittels. + +\begin{satz} +\index{Satz!Iab@$I(a,b)$ und arithmetisch geometrisches Mittel}% +Für $a\ge b>0$ gilt +\begin{equation} +I(a,b) += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2t} += +\frac{\pi}{2M(a,b)} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst folgt aus Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:integrale}, dass +\[ +I(a,b) += +I(a_1,b_1) += +\dots += +I(a_n,b_n). +\] +Ausserdem ist $a_n\to M(a,b)$ und $b_n\to M(a,b)$, +damit wird +\[ +I(a,b) += +\frac{1}{M(a,b)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}} += +\frac{\pi}{2M(a,b)}. +\qedhere +\] +\end{proof} + +% +% Berechnung des elliptischen Integrals +% +\subsubsection{Berechnung des elliptischen Integrals} +Das elliptische Integral erster Art hat eine Form, die dem Integral +$I(a,b)$ bereits sehr ähnlich ist. +Im die Verbindung herzustellen, berechnen wir +\begin{align*} +I(a,b) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}} +\\ +&= +\frac{1}{a} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{\sqrt{1-\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \sin^2 t}} +\\ +&= +\frac{1}{a} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{dt}{\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2 t}} += +K(k) +\qquad\text{mit}\qquad +k'=\frac{b^2}{a^2},\; +k=\sqrt{1-k^{\prime 2}} +\end{align*} + +\begin{satz} +\index{Satz!vollständige elliptische Integrale und arithmetisch-geometrisches Mittel}% +\label{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} +Für $0<k\le 1$ ist +\[ +K(k) = I(1,\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} +\] +\end{satz} -\subsubsection{Ableitung} -XXX Ableitung \\ -XXX Stammfunktion \\ +% +% Numerisches Beispiel +% +\subsubsection{Numerisches Beispiel} +\begin{table} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +n& a_n & b_n & \pi/2a_n \mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}% +0 & 1.0000000000000000000 & 0.7071067811865475243 & 1.5707963267948965579 \\ +1 & 0.8535533905932737621 & 0.8408964152537145430 & 1.\underline{8}403023690212201581 \\ +2 & 0.8472249029234941526 & 0.8472012667468914603 & 1.\underline{8540}488143993356315 \\ +3 & 0.8472130848351928064 & 0.8472130847527653666 & 1.\underline{854074677}2111781089 \\ +4 & 0.8472130847939790865 & 0.8472130847939790865 & 1.\underline{854074677301371}8463 \\ +\infty& & & 1.8540746773013719184% +\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Die Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels für +$a=1$ und $b=\sqrt{2}/2$ zeigt die sehr rasche Konvergenz. +\label{buch:elliptisch:agm:numerisch}} +\end{table} +In diesem Abschnitt soll als Zahlenbeispiel $E(k)$ für $k=\sqrt{2}/2$ +berechnet werden. +In diesem speziellen Fall ist $k'=k$. +Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:numerisch} zeigt die sehr rasche +Konvergenz der Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels +von $1$ und $\sqrt{2}/2$. +Mit Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} folgt jetzt +\[ +K(\!\sqrt{2}/2) += +\frac{\pi}{2M(1,\!\sqrt{2}/2)} += +1.854074677301372. +\] +Die Berechnung hat nur 4 Mittelwerte, 4 Produkte, 4 Quadratwurzeln und +eine Division erfordert. -\subsection{Unvollständige elliptische Integrale} +% +% Unvollständige elliptische Integrale +% +\subsection{Unvollständige elliptische Integrale +\label{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}} Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein festes Intervall definiert. Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die @@ -522,12 +841,18 @@ Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale} zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene Werte des Parameters. +% +% Symmetrieeigenschaften +% \subsubsection{Symmetrieeigenschaften} Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$. Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher ungeraden Funktionen von $x$. +% +% Elliptische Integrale als komplexe Funktionen +% \subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen} Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren. @@ -538,10 +863,14 @@ Die Faktoren, die in den Integranden der unvollständigen elliptischen Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und $\pm 1/\sqrt{n}$ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Parameterkonventionen \\ +% XXX Additionstheoreme \\ +% XXX Parameterkonventionen \\ +% +% Wertebereich +% \subsubsection{Wertebereich} +\label{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich} Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen haben nur positive relle Werte. Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art @@ -631,6 +960,9 @@ l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}} \end{equation} ausgewertet werden. +% +% Komplementärmodul +% \subsubsection{Komplementärmodul} Im vorangegangen Abschnitt wurde gezeigt, dass der Wertebereicht des unvollständigen elliptischen Integrals der ersten Art als komplexe @@ -734,6 +1066,9 @@ in das blaue. \label{buch:elliptisch:fig:rechteck}} \end{figure} +% +% Reelle Argument > 1/k +% \subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$} Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann @@ -780,7 +1115,141 @@ F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr) für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte fest. -\subsection{Potenzreihe} -XXX Potenzreihen \\ -XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ -XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation +% +% AGM und Berechnung von F(x,k) +% +\subsubsection{Berechnung von $F(x,k)$ mit dem arithmetisch-geometrischen +Mittel\label{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}} +Wie das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann auch das +unvollständige elliptische Integral +\begin{align*} +F(x,k) +&= +\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^{\prime 2}\xi^2)}} += +\int_0^{\varphi} +\frac{dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}} +&&\text{mit $x=\sin\varphi$} +\\ +&= +a +\int_0^{\varphi} \frac{dt}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} +&&\text{mit $k=b/a$} +\end{align*} +mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet werden. +Dazu muss die Substitution +\eqref{buch:elliptisch:agm:subst} +verwendet werden, um auch den Winkel $\varphi_1$ zu berechnen. +Zunächst wird \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$ +aufgelöst. +Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man mit der Abkürzung +$x=\sin t$ %und $x_1=\sin t_1$ +die quadratische Gleichung +\[ +(a-b)x x_1^2 +- +2ax_1 ++ +(a+b)x += +0, +\] +mit der Lösung +\begin{equation} +x_1 += +\frac{a-\sqrt{a^2-(a^2-b^2)x^2}}{(a-b)x}. +\label{buch:elliptisch:unvollstagm:xrek} +\end{equation} +Der Algorithmus zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels +muss daher verallgemeinert werden zu +\begin{equation} +\left. +\begin{aligned} +a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2, &\qquad a_0 &= a +\\ +b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n}, & b_0 &= b +\\ +x_{n+1} &= \frac{a_n-\sqrt{a_n^2-(a_n^2-b_n^2)x_n^2}}{(a_n-b_n)x_n}, & x_0 &= x +\end{aligned} +\quad +\right\} +\label{buch:elliptisch:unvollstagm:rek} +\end{equation} +Die Folge $x_n$ konvergiert gegen einen Wert $x_{\infty} = \lim_{n\to\infty} x_n$. +Der Wert des unvollständigen elliptischen Integrals ist dann der Grenzwert +\[ +F(x,k) += +\lim_{n\to\infty} +\frac{\arcsin x_n}{M(a_n,b_n)} += +\frac{\arcsin x_{\infty}}{M(1,\sqrt{1-k^2})}. +\] + +In dieser Form ist die Berechnung allerdings nicht praktisch durchführbar. +Das Problem ist, dass die Differenz $a_n-b_n$, die in +\eqref{buch:elliptisch:unvollstagm:rek} +im Nenner vorkommt, sehr schnell gegen Null geht. +Ausserdem ist die Quadratwurzel im Zähler fast gleich gross wie +$a_n$, was zu Auslöschung und damit ungenauen Resultaten führt. +\label{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet} + +Eine Möglichkeit, das Problem zu entschärfen, ist, die Rekursionsformel +nach $\varepsilon = a-b$ zu entwickeln. +Mit $a+b=2a+\varepsilon$ kann man $b$ aus der Formel elimineren und erhält +mit Hilfe der binomischen Reihe +\begin{align*} +x_1 +&= +\frac{a}{x\varepsilon} +\left(1-\sqrt{1-\varepsilon(2a-\varepsilon)x^2/a^2}\right) +\\ +&= +\frac{a}{x\varepsilon} +\biggl( +1-\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k +\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^k(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k}}{a^{2k}} +\biggr) +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty +(-1)^{k-1} +\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^{k-1}(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k-1}}{a^{2k-1}} +\\ +&= +\frac{\frac12}{1!}(2a-\varepsilon)\frac{x}{a} +- +\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)^2\frac{x^3}{a^3} ++ +\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^3\frac{x^5}{a^5} +- +\dots +\\ +&= +x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr) +\biggl( +1 +- +\frac{\frac12-1}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2} ++ +\frac{(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^2\frac{x^4}{a^4} +- +\dots +\biggr) +\\ +&= +x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr) +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-\frac12,1\\2\end{matrix};-\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2} +\biggr). +\end{align*} +Diese Form ist wesentlich besser, aber leider kann es bei der numerischen +Rechnung passieren, dass $\varepsilon < 0$ wird. + +%\subsection{Potenzreihe} +%XXX Potenzreihen \\ +%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +%XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex index d600243..49e6686 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex @@ -18,6 +18,19 @@ auf einer Ellipse. \end{figure} % based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals % https://youtu.be/DCXItCajCyo +Die Ellipse wurde in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} +als Kegelschnitt erkannt und auf verschiedene Arten parametrisiert. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Parametrisierung +eines Kreises mit trigonometrischen Funktionen verallgemeinern kann +auf eine Parametrisierung einer Ellipse mit den drei +Funktionen $\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$, +die ähnliche Eigenschaften haben wie die trigonometrischen Funktionen. + +Die nachstehende Darstellung ist stark inspiriert von William Schwalms +sehr zielorientierten Einführung +\cite{buch:schwalm}, welche auch als Youtube-Videovorlesung +\cite{buch:schwalm-youtube} zur Verfügung steht. % % Geometrie einer Ellipse @@ -112,7 +125,7 @@ Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -mindestens eine mit Halbeachse $1$. +mindestens eine mit Halbachse $1$. Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. @@ -161,7 +174,7 @@ x^2(k^2-1) + y^2 = 1. an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. \label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} \end{figure} -\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +\subsubsection{Definition der Jacobischen elliptischen Funktionen} Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. @@ -472,6 +485,7 @@ wählt, dass Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln \begin{satz} +\index{Satz!Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen}% \label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen \begin{equation} @@ -1003,10 +1017,60 @@ finden. Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen zweiten Buchstaben haben. -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden +\subsubsection{Weitere Beziehungen} +Für die Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich eine grosse +Zahl weiterer Eigenschaften und Identitäten beweisen. +Zum Beispiel gibt es Aditionstheoreme, die im Grenzfall $k\to 0$ zu +den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen werden. +\index{Additionstheorem}% +Ebenso kann man weitere algebraische Identitäten finden. +So lässt sich zum Beispiel die einzige reelle Nullstelle von $x^5+x=w$ +mit Jacobischen elliptischen Funktionen darstellen, während es +nicht möglich ist, diese Lösung als Wurzelausdruck zu schreiben. + +Die Jacobischen elliptischen Funktionen lassen sich statt auf dem +hier gewählten trigonometrischen Weg auch mit Hilfe der Jacobischen +Theta-Funktionen definieren, die Lösungen einer Wärmeleitungsgleichung +\index{Theta-Funktionen}% +\index{Wärmeleitungs-Gleichung}% +mit geeigneten Randbedingungen sind. +Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, ziemlich direkt zu +Reihen- und Produktentwicklungen für die Funktionen zu führen. +Auch die Additionstheorem ergeben sich vergleichsweise leicht. +Dieser Zugang zu den Jacobischen elliptischen Funktionen wird in der +Standardreferenz~\cite{buch:ellfun-applications} gewählt. + +Bei anderen speziellen Funktionen waren Reihenentwicklungen ein +wichtiges Hilfsmittel zu deren numerischer Berechnung. +Bei den Jacobischen elliptischen Funktionen ist diese Methode +nicht zielführend. +Im Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen} +wird gezeigt, dass Jacobische elliptische Funktionen gewisse nichtlineare +Differentialgleichungen zu lösen ermöglichen. +Dies zeigt auch, dass Jacobischen elliptischen Funktionen +Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind, die in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} mit dem +arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet wurden. +Die dort angetroffenen numerischen Schwierigkeiten treten bei der +Berechnung der Umkehrfunktion jedoch nicht auf. + +Die grundlegende Mechanik dieser Berechnungsmethode wird auf +Seite~\pageref{buch:elliptisch:jacobi:agm} dargestellt und +und in den Übungsaufgaben +\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} bis \ref{buch:elliptisch:aufgabe:5} +etwas näher untersucht wird. + +Aus der Theorie das arithmetisch-geometrischen Mittels lässt sich +die sogenannte Landen-Trans\-formation herleiten. +\index{Landen-Transformation}% +Sie stellt eine Verbindung zwischen +den Werten der elliptischen Funktionen zu verschiedenen Moduli $k$ her. +Sie ist die Basis aller effizienten Berechnungsmethoden. + + +% algebraische Beziehungen \\ +% Additionstheoreme \\ +% Perioden % use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..13a2739 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex new file mode 100644 index 0000000..a3ae425 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% KK.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{10} +\def\dy{3} +\input{KKpath.tex} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (10.3,0) coordinate[label={$k$}]; +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,{2*\dy+0.3}) coordinate[label={right:$y$}]; + +\node at (3,{1.2*\dy}) {$\displaystyle y = \frac{K(k)}{K(\!\sqrt{1-k^2})}$}; + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle (10,{2*\dy}); +\draw[color=red,line width=1.4pt] \KKpath; +\end{scope} + +\draw[line width=0.2pt] (10,0) -- (10,{2*\dy}); + +\foreach \y in {0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}{ + \draw (-0.05,{\y*\dy}) -- (0.05,{\y*\dy}); + \node at (0,{\y*\dy}) [left] {$\y\mathstrut$}; +} + +\foreach \k in {1,...,9}{ + \draw ({\k*\dx/10},-0.05) -- ({\k*\dx/10},0.05); + \node at ({\k*\dx/10},0) [below] {$0.\k\mathstrut$}; +} +\node at (0,0) [below] {$0\mathstrut$}; +\node at (10,0) [below] {$1\mathstrut$}; + +\draw[color=blue] ({\knull*\dx},0) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy}); +\foreach \y in {1,2,3,4}{ + \draw[color=blue] + ({\knull*\dx-0.05},{\y*\KKnull*\dy/5}) + -- + ({\knull*\dx+0.05},{\y*\KKnull*\dy/5}); +} +\draw[color=black,line width=0.1pt] (0,{\KKnull*\dy}) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy}); +\draw[color=black,line width=0.1pt] (0,{\KKnull*\dy/5}) -- ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}); +\node at ({0.6*\dx},{\KKnull*\dy}) [above] {$y=1.7732$}; +\node at ({0.6*\dx},{\KKnull*\dy/5}) [above] {$y=0.3546$}; +\draw[color=blue] ({\kone*\dx},0) -- ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}); +\draw[color=blue] ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy/5}); +\fill[color=blue] ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}) circle[radius=0.05]; +\fill[color=blue] ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy/5}) circle[radius=0.05]; +\fill[color=blue] ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy}) circle[radius=0.05]; +\node[color=blue] at ({\knull*\dx},0) [left,rotate=90] {$k=0.97\mathstrut$}; +\node[color=blue] at ({\kone*\dx},0) [left,rotate=90] {$k_1=0.0477$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp new file mode 100644 index 0000000..1dcca9e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp @@ -0,0 +1,177 @@ +/* + * KN.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <fstream> +#include <sstream> +#include <getopt.h> +#include <vector> +#include <gsl/gsl_sf_elljac.h> +#include <gsl/gsl_sf_ellint.h> + +namespace KN { + +bool debug = false; + +static struct option longopts[] { +{ "debug", no_argument, NULL, 'd' }, +{ "N", required_argument, NULL, 'N' }, +{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' }, +{ "min", required_argument, NULL, 'm' }, +{ NULL, 0, NULL, 0 } +}; + +double KprimeK(double k) { + double kprime = sqrt(1-k*k); + if (debug) + printf("%s:%d: k = %f, k' = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, kprime); + double v + = + gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE) + / + gsl_sf_ellint_Kcomp(kprime, GSL_PREC_DOUBLE) + ; + if (debug) + printf("%s:%d: KprimeK(k = %f) = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, v); + return v; +} + +static const int L = 100000000; +static const double h = 1. / L; + +double Kd(double k) { + double m = 0; + if (k < h) { + m = 2 * (KprimeK(k) - KprimeK(k / 2)) / k; + } else if (k > 1-h) { + m = 2 * (KprimeK((1 + k) / 2) - KprimeK(k)) / (1 - k); + + } else { + m = L * (KprimeK(k + h) - KprimeK(k)); + } + if (debug) + printf("%s:%d: Kd(%f) = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, m); + return m; +} + +double k1(double y) { + if (debug) + printf("%s:%d: Newton for y = %f\n", __FILE__, __LINE__, y); + double kn = 0.5; + double delta = 1; + int n = 0; + while ((fabs(delta) > 0.000001) && (n < 10)) { + double yn = KprimeK(kn); + if (debug) + printf("%s:%d: k%d = %f, y%d = %f\n", __FILE__, __LINE__, n, kn, n, yn); + delta = (yn - y) / Kd(kn); + if (debug) + printf("%s:%d: delta = %f\n", __FILE__, __LINE__, delta); + double kneu = kn - delta; + if (kneu <= 0) { + kneu = kn / 4; + } + if (kneu >= 1) { + kneu = (3 + kn) / 4; + } + kn = kneu; + if (debug) + printf("%s:%d: kneu = %f, kn = %f\n", __FILE__, __LINE__, kneu, kn); + n++; + } + if (debug) + printf("%s:%d: Newton result: k = %f\n", __FILE__, __LINE__, kn); + return kn; +} + +double k1(int N, double k) { + return k1(KprimeK(k) / N); +} + +/** + * \brief Main function for the slcl program + */ +int main(int argc, char *argv[]) { + int longindex; + int c; + int N = 5; + double kmin = 0.01; + std::string outfilename; + while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "d:N:o:m:", + longopts, &longindex))) + switch (c) { + case 'd': + debug = true; + break; + case 'N': + N = std::stoi(optarg); + break; + case 'o': + outfilename = std::string(optarg); + break; + case 'm': + kmin = std::stod(optarg); + break; + } + + double d = 0.01; + if (outfilename.size() > 0) { + FILE *fn = fopen(outfilename.c_str(), "w"); + fprintf(fn, "\\def\\KKpath{ "); + double k = d; + fprintf(fn, " (0,0)"); + double k0 = k/16; + while (k0 < k) { + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", k0, KprimeK(k0)); + k0 *= 2; + } + while (k < 1-0.5*d) { + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", k, KprimeK(k)); + k += d; + } + fprintf(fn, "}\n"); + + k0 = 0.97; + fprintf(fn, "\\def\\knull{%.4f}\n", k0); + double KK = KprimeK(k0); + fprintf(fn, "\\def\\KKnull{%.4f}\n", KK); + fprintf(fn, "\\def\\kone{%.4f}\n", k1(N, k0)); + + fclose(fn); + return EXIT_SUCCESS; + } + + for (double k = kmin; k < (1 - d/2); k += d) { + if (debug) + printf("%s:%d: k = %f\n", __FILE__, __LINE__, k); + double y = KprimeK(k); + double k0 = k1(y); + double kone = k1(N, k0); + printf("g(%4.2f) = %10.6f,", k, y); + printf(" g'(%.2f) = %10.6f,", k, Kd(k)); + printf(" g^{-1} = %10.6f,", k0); + printf(" k1 = %10.6f,", kone); + printf(" g(k1) = %10.6f\n", KprimeK(kone)); + } + + return EXIT_SUCCESS; +} + +} // namespace KN + +int main(int argc, char *argv[]) { + try { + return KN::main(argc, argv); + } catch (const std::exception& e) { + std::cerr << "terminated by exception: " << e.what(); + std::cerr << std::endl; + } catch (...) { + std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl; + } + return EXIT_FAILURE; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile new file mode 100644 index 0000000..fac4fbc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile @@ -0,0 +1,15 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +# +all: KK.pdf + +KN: KN.cpp + g++ -O -Wall -std=c++11 KN.cpp -o KN `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + +KKpath.tex: KN + ./KN --outfile KKpath.tex + +KK.pdf: KK.tex KKpath.tex + pdflatex KK.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index a7c9e74..7636e65 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -5,7 +5,8 @@ # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \ - sncnlimit.pdf slcl.pdf + sncnlimit.pdf slcl.pdf torusschnitt.pdf kegelpara.pdf lemnispara.pdf \ + ellpolnul.pdf ellall.pdf ellselection.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -78,3 +79,52 @@ slcldata.tex: slcl ./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200 slcl.pdf: slcl.tex slcldata.tex pdflatex slcl.tex + +KEGELSIZE = -W256 -H256 +KEGELSIZE = -W128 -H128 +KEGELSIZE = -W1080 -H1080 +kegelpara.png: kegelpara.pov + povray +A0.1 $(KEGELSIZE) -Okegelpara.png kegelpara.pov + +kegelpara.jpg: kegelpara.png Makefile + convert -extract 1080x1040+0+0 kegelpara.png \ + -density 300 -units PixelsPerInch kegelpara.jpg + +kegelpara.pdf: kegelpara.tex kegelpara.jpg + pdflatex kegelpara.tex + +torusschnitt.png: torusschnitt.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorusschnitt.png torusschnitt.pov + +torusschnitt.jpg: torusschnitt.png Makefile + convert -extract 1640x1080+140+0 torusschnitt.png \ + -density 300 -units PixelsPerInch torusschnitt.jpg + +torusschnitt.pdf: torusschnitt.tex torusschnitt.jpg + pdflatex torusschnitt.tex + +lemnispara: lemnispara.cpp + g++ -O2 -Wall -g -o lemnispara `pkg-config --cflags gsl` \ + lemnispara.cpp `pkg-config --libs gsl` + +lemnisparadata.tex: lemnispara + ./lemnispara + +lemnispara.pdf: lemnispara.tex lemnisparadata.tex + pdflatex lemnispara.tex + +ltest: lemnispara.pdf + +ellpolnul.pdf: ellpolnul.tex ellcommon.tex + pdflatex ellpolnul.tex +ellall.pdf: ellall.tex ellcommon.tex + pdflatex ellall.tex + +rechteckpfade2.tex: rechteck Makefile + ./rechteck --outfile rechteckpfade2.tex --k 0.87 --vsteps=1 +ellselection.pdf: ellselection.tex rechteckpfade2.tex + pdflatex ellselection.tex + +rechteckpfade3.tex: rechteck + ./rechteck --outfile rechteckpfade3.tex --k 0.70710678118654752440 \ + --vsteps=4 diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fd0a5dd --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex new file mode 100644 index 0000000..b37fe12 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex @@ -0,0 +1,215 @@ +% +% ellpolnul.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\input{ellcommon.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +%\draw (-1,-1) rectangle (1,1); +%\node at (-1,-1) [below left] {$0$}; +%\node at (1,-1) [below right] {$K$}; +%\node at (1,1) [above right] {$K+iK'$}; +%\node at (-1,1) [above left] {$iK'$}; +%\node at (0,0) {$u$}; + +\fill[color=rot!10,opacity=0.5] (-5.5,-4.3) rectangle (7.3,-1.7); +\fill[color=blau!10,opacity=0.5] (-5.5,-7.3) rectangle (7.3,-4.7); +\fill[color=gruen!10,opacity=0.5] (-5.5,-10.3) rectangle (7.3,-7.7); + +\fill[color=rot!10,opacity=0.5] (-1.3,-10.5) rectangle (1.3,2.5); +\fill[color=blau!10,opacity=0.5] (1.7,-10.5) rectangle (4.3,2.5); +\fill[color=gruen!10,opacity=0.5] (4.7,-10.5) rectangle (7.3,2.5); + +\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=2cm] +\node at (0,0) {Zähler}; +\draw[<-] (-4.5,0) -- (-1,0); +\draw[->] (1,0) -- (4.5,0); +\node[color=black] at (-4.5,-0.4) {\Large n}; +\node[color=rot] at (-1.5,-0.4) {\Large s}; +\node[color=blau] at (1.5,-0.4) {\Large c}; +\node[color=gruen] at (4.5,-0.4) {\Large d}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-5.1cm,yshift=-4.5cm] +\node at (0,0) [rotate=90] {Nenner}; +\draw[<-] (0,-4.5) -- (0,-1); +\draw[->] (0,1) -- (0,4.5); +\node[color=gruen] at (0.4,-4.5) [rotate=90] {\Large d}; +\node[color=blau] at (0.4,-1.5) [rotate=90] {\Large c}; +\node[color=rot] at (0.4,1.5) [rotate=90] {\Large s}; +\node[color=black] at (0.4,4.5) [rotate=90] {\Large n}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=0cm] +\node at (0,0) {$1$}; +\draw[color=gray!20] (-1,-1) rectangle (1,1); +\end{scope} + +\definecolor{sccolor}{rgb}{0.8,0.0,1.0} +\definecolor{sdcolor}{rgb}{0.6,0.6,0.0} +\definecolor{cdcolor}{rgb}{0.0,0.6,1.0} + +\begin{scope}[xshift=0cm] +\rechteck{rot}{\operatorname{sn}(u,k)} +\nullstelle{(-1,-1)}{rot} +\pol{(-1,1)}{rot} +\node at (-1,-1) {$0$}; +\node at (1,-1) {$1$}; +\node at (1,1) {$\frac1k$}; +\node at (-1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3cm] +\rechteck{blau}{\operatorname{cn}(u,k)} +\nullstelle{(1,-1)}{blau} +\pol{(-1,1)}{blau} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (1,-1) {$0$}; +\node at (1,1) {$\frac{k'}{ik}$}; +\node at (-1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm] +\rechteck{gruen}{\operatorname{dn}(u,k)} +\nullstelle{(1,1)}{gruen} +\pol{(-1,1)}{gruen} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (1,-1) {$k'$}; +\node at (1,1) {$0$}; +\node at (-1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +% +% start row with denominator sn(u,k) +% + +\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=-3cm] +\rechteck{rot}{\operatorname{ns}(u,k)} +\pol{(-1,-1)}{rot} +\nullstelle{(-1,1)}{rot} +\node at (-1,-1) {$\infty$}; +\node at (1,-1) {$1$}; +\node at (1,1) {$k$}; +\node at (-1,1) {$0$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm] +%\rechteck{gray}{1} +\fill[color=white] (-1,-1) rectangle (1,1); +\node[color=gray] at (0,0) {$1$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-3cm] +\rechteck{sccolor}{\operatorname{cs}(u,k)} +\pol{(-1,-1)}{sccolor} +\nullstelle{(1,-1)}{sccolor} +\node at (-1,-1) {$\infty$}; +\node at (1,-1) {$0$}; +\node at (1,1) {$\frac{k'}{i}$}; +\node at (-1,1) {$ $}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm] +\rechteck{sdcolor}{\operatorname{ds}(u,k)} +\pol{(-1,-1)}{sdcolor} +\nullstelle{(1,1)}{sdcolor} +\node at (-1,-1) {$\infty$}; +\node at (1,-1) {$k'$}; +\node at (1,1) {$0$}; +\node at (-1,1) {$ $}; +\end{scope} + +% +% start row with denominator cn(u,k) +% + +\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=-6cm] +\rechteck{blau}{\operatorname{nc}(u,k)} +\pol{(1,-1)}{blau} +\nullstelle{(-1,1)}{blau} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (-1,1) {$0$}; +\node at (1,-1) {$\infty$}; +\node at (1,1) {$\frac{ik}{k'}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-6cm] +\rechteck{sccolor}{\operatorname{sc}(u,k)} +\nullstelle{(-1,-1)}{sccolor} +\pol{(1,-1)}{sccolor} +\node at (-1,-1) {$0$}; +\node at (1,-1) {$\infty$}; +\node at (-1,1) {$ $}; +\node at (1,1) {$\frac{i}{k'}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-6cm] +%\rechteck{gray}{1} +\fill[color=white] (-1,-1) rectangle (1,1); +\node[color=gray] at (0,0) {$1$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-6cm] +\rechteck{cdcolor}{\operatorname{dc}(u,k)} +\nullstelle{(1,1)}{cdcolor} +\pol{(1,-1)}{cdcolor} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (1,-1) {$\infty$}; +\node at (-1,1) {$k$}; +\node at (1,1) {$0$}; +\end{scope} + +% +% start row with denominator dn(u,k) +% + +\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=-9cm] +\rechteck{gruen}{\operatorname{nd}(u,k)} +\pol{(1,1)}{gruen} +\nullstelle{(-1,1)}{gruen} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (-1,1) {$0$}; +\node at (1,-1) {$\frac{1}{k'}$}; +\node at (1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-9cm] +\rechteck{sdcolor}{\operatorname{sd}(u,k)} +\nullstelle{(-1,-1)}{sdcolor} +\pol{(1,1)}{sdcolor} +\node at (-1,-1) {$0$}; +\node at (1,-1) {$\frac{1}{k'}$}; +\node at (-1,1) {$ $}; +\node at (1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-9cm] +\rechteck{cdcolor}{\operatorname{cd}(u,k)} +\pol{(1,1)}{cdcolor} +\nullstelle{(1,-1)}{cdcolor} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (-1,1) {$\frac1k $}; +\node at (1,-1) {$0$}; +\node at (1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-9cm] +%\rechteck{gray}{1} +\fill[color=white] (-1,-1) rectangle (1,1); +\node[color=gray] at (0,0) {$1$}; +\end{scope} + + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex new file mode 100644 index 0000000..cd3245d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex @@ -0,0 +1,24 @@ +% +% ellcommon.tex -- common macros/definitions for elliptic function +% values display +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0} +\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1} +\definecolor{gruen}{rgb}{0,0.6,0} +\def\l{0.2} + +\def\pol#1#2{ + \draw[color=#2!50,line width=3.0pt] + ($#1+(-\l,-\l)$) -- ($#1+(\l,\l)$); + \draw[color=#2!50,line width=3.0pt] + ($#1+(-\l,\l)$) -- ($#1+(\l,-\l)$); +} +\def\nullstelle#1#2{ + \draw[color=#2!50,line width=3.0pt] #1 circle[radius=\l]; +} +\def\rechteck#1#2{ + \fill[color=#1!20] (-1,-1) rectangle (1,1); + \node[color=#1] at (0,0) {$#2\mathstrut$}; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d798169 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex new file mode 100644 index 0000000..dfa04d3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% ellpolnul.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\input{ellcommon.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input rechteckpfade3.tex + +\pgfmathparse{2/\xmax} +\xdef\dx{\pgfmathresult} +\xdef\dy{\dx} + +\begin{scope}[xshift=-1cm,yshift=-1cm] +\clip (0,0) rectangle (2,2); +\netz{0.4pt} +\draw[line width=0.4pt] (-1,0) -- (1,0); +\end{scope} +\fill[color=white,opacity=0.7] (-1,-1) rectangle (1,1); +\draw (-1,-1) rectangle (1,1); +\node at (-1,-1) [below left] {$0$}; +\node at (1,-1) [below right] {$K$}; +\node at (1,1) [above right] {$K+iK'$}; +\node at (-1,1) [above left] {$iK'$}; +\node at (0,0) {$u$}; + +\begin{scope}[xshift=4cm] +\rechteck{rot}{\operatorname{sn}(u,k)} +\nullstelle{(-1,-1)}{rot} +\pol{(-1,1)}{rot} +\node at (-1,-1) {$0$}; +\node at (1,-1) {$1$}; +\node at (1,1) {$\frac1k$}; +\node at (-1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=7cm] +\rechteck{blau}{\operatorname{cn}(u,k)} +\nullstelle{(1,-1)}{blau} +\pol{(-1,1)}{blau} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (1,-1) {$0$}; +\node at (1,1) {$\frac{k'}{ik}$}; +\node at (-1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=10cm] +\rechteck{gruen}{\operatorname{dn}(u,k)} +\nullstelle{(1,1)}{gruen} +\pol{(-1,1)}{gruen} +\node at (-1,-1) {$1$}; +\node at (1,-1) {$k'$}; +\node at (1,1) {$0$}; +\node at (-1,1) {$\infty$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7c98db1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex new file mode 100644 index 0000000..d8afeb1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex @@ -0,0 +1,141 @@ +% +% ellselection.tex -- Wahl einer elliptischen Funktion +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{rechteckpfade2.tex} + +\def\l{0.45} +\pgfmathparse{\l*72/2.54} +\xdef\L{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{4.1/\xmax} +\xdef\dx{\pgfmathresult} +\xdef\dy{\dx} + +\def\sx{4.1} +\pgfmathparse{\sx*72/2.54} +\xdef\Sx{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\dx*\ymax} +\xdef\sy{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\sy*72/2.54} +\xdef\Sy{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\sx/2-\l} +\xdef\linksx{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\sy/2-\l} +\xdef\linksy{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\sx/2+2*\l} +\xdef\rechtsx{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\sy/2} +\xdef\rechtsy{\pgfmathresult} + +\begin{scope} + \clip (-\sx,-\sy) rectangle (\sx,\sy); + \begin{scope}[xshift={-\Sx}] + \hintergrund + \netz{0.7pt} + \end{scope} + \begin{scope}[xshift={\Sx}] + \hintergrund + \netz{0.7pt} + \end{scope} +\end{scope} + +\fill[color=red!14,opacity=0.7] ({-\sx},0) rectangle (\sx,\sy); +\fill[color=blue!14,opacity=0.7] ({-\sx},{-\sy}) rectangle (\sx,0); +\fill[color=yellow!40,opacity=0.5] (0,0) rectangle (\sx,\sy); + +\draw (-\sx,-\sy) rectangle (\sx,\sy); + +\draw[->] ({-1.4*\sx},0) -- ({1.4*\sx},0) coordinate[label={$\Re u$}]; +\draw[->] (0,{-\sy-1}) -- (0,{\sy+1}) coordinate[label={right:$\Im u$}]; + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\draw[->,line width=1.9pt,color=darkgreen] + (\sx,0) to[out=180,in=-79] (\linksx,\linksy); +\draw[->,line width=1.9pt,color=darkgreen] + (\sx,{\sy-\l}) to[out=-90,in=0] (\rechtsx,\rechtsy); + +\def\rect#1#2{ + \fill[color=white] (-\l,-\l) rectangle (\l,\l); + #2 + \draw (-\l,-\l) rectangle (\l,\l); + \node at (0,0) {\Huge #1\strut}; +} + +\def\kreuz{ + \begin{scope} + \clip ({-\l},{-\l}) rectangle ({\l},{\l}); + \fill[color=white] ({-2*\l},{-2*\l}) rectangle ({2*\l},{2*\l}); + \draw[color=darkgreen!30,line width=3pt] (-\l,-\l) -- (\l,\l); + \draw[color=darkgreen!30,line width=3pt] (-\l,\l) -- (\l,-\l); + \end{scope} +} + +\def\kreis{ + \begin{scope} + \clip ({-\l},{-\l}) rectangle ({\l},{\l}); + \fill[color=white] ({-2*\l},{-2*\l}) rectangle ({2*\l},{2*\l}); + \draw[color=darkgreen!30,line width=3pt] + (0,0) circle[radius={\l*(\L-1.5)/\L}]; + \end{scope} +} + +\begin{scope}[xshift={0},yshift={0}] + \rect{s}{} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift={\Sx},yshift={0}] + \rect{c}{\kreis} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift={\Sx},yshift={\Sy}] + \rect{d}{\kreuz} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift={0},yshift={\Sy}] + \rect{n}{} +\end{scope} + +\node at ({-\l+0.1},{\sy+\l-0.1}) [above left] {$iK'\mathstrut$}; +\node at ({-\l+0.1},{-\l+0.1}) [below left] {$0\mathstrut$}; +\node at ({\sx+\l-0.1},{-\l+0.1}) [below right] {$K\mathstrut$}; +\node at ({\sx+\l-0.1},{\sy+\l-0.1}) [above right] {$K+iK'\mathstrut$}; +\node at ({-\sx},0) [below left] {$-K\mathstrut$}; +\node at (0,{-\sy+0.05}) [below left] {$-iK'\mathstrut$}; +\node at ({\sx-0.1},{-\sy+0.1}) [below right] {$K-iK'\mathstrut$}; +\node at ({-\sx+0.1},{-\sy+0.1}) [below left] {$-K-iK'\mathstrut$}; +\node at ({-\sx+0.1},{\sy-0.1}) [above left] {$-K+iK'\mathstrut$}; + +\begin{scope}[xshift={-\L+0.5*\Sx},yshift={0.5*\Sy}] + \node at ({-\l},{\l-0.1}) [above] {Nullstelle\strut}; + \kreis + \node[color=darkgreen] at (0,0) {\Huge c\strut}; + \draw[line width=0.2pt] (-\l,-\l) rectangle (\l,\l); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift={\L+0.5*\Sx},yshift={0.5*\Sy}] + \node at ({\l},{\l-0.1}) [above] {Pol\strut}; + \kreuz + \node[color=darkgreen] at (0,0) {\Huge d\strut}; + \draw[line width=0.2pt] (-\l,-\l) rectangle (\l,\l); +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex f0e6e78..eb9d7f1 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2bbd428 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov new file mode 100644 index 0000000..13b66cc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov @@ -0,0 +1,329 @@ +// +// kegelpara.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +#declare O = <0,0,0>; + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.08; + +camera { + location <28, 20, -40> + look_at <0, 0.1, 0> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <30, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + + +// +// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with +// color <c> +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +arrow(<-2.6,0,0>,<2.5,0,0>,0.02,White) +arrow(<0,-2,0>,<0,2.3,0>,0.02,White) +arrow(<0,0,-3.2>,<0,0,3.7>,0.02,White) + +#declare epsilon = 0.0001; +#declare l = 1.5; + +#macro Kegel(farbe) +union { + difference { + cone { O, 0, <l, 0, 0>, l } + cone { O + <epsilon, 0,0>, 0, <l+epsilon, 0, 0>, l } + } + difference { + cone { O, 0, <-l, 0, 0>, l } + cone { O + <-epsilon, 0, 0>, 0, <-l-epsilon, 0, 0>, l } + } + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Kegelpunkt(xx, phi) + < xx, xx * sin(phi), xx * cos(phi) > +#end + +#macro Kegelgitter(farbe, r) +union { + #declare s = 0; + #declare smax = 2 * pi; + #declare sstep = pi / 6; + #while (s < smax - sstep/2) + cylinder { Kegelpunkt(l, s), Kegelpunkt(-l, s), r } + #declare s = s + sstep; + #end + #declare phimax = 2 * pi; + #declare phisteps = 100; + #declare phistep = phimax / phisteps; + #declare xxstep = 0.5; + #declare xxmax = 2; + #declare xx = xxstep; + #while (xx < xxmax - xxstep/2) + #declare phi = 0; + #while (phi < phimax - phistep/2) + cylinder { + Kegelpunkt(xx, phi), + Kegelpunkt(xx, phi + phistep), + r + } + sphere { Kegelpunkt(xx, phi), r } + cylinder { + Kegelpunkt(-xx, phi), + Kegelpunkt(-xx, phi + phistep), + r + } + sphere { Kegelpunkt(-xx, phi), r } + #declare phi = phi + phistep; + #end + #declare xx = xx + xxstep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro F(w, r) + <r * cos(w), r * r/sqrt(2), r * sin(w) > +#end + +#macro Paraboloid(farbe) +mesh { + #declare phi = 0; + #declare phimax = 2 * pi; + #declare phisteps = 100; + #declare phistep = pi / phisteps; + #declare rsteps = 100; + #declare rmax = 1.5; + #declare rstep = rmax / rsteps; + #while (phi < phimax - phistep/2) + #declare r = rstep; + #declare h = r * r / sqrt(2); + triangle { + O, F(phi, r), F(phi + phistep, r) + } + #while (r < rmax - rstep/2) + // ring + triangle { + F(phi, r), + F(phi + phistep, r), + F(phi + phistep, r + rstep) + } + triangle { + F(phi, r), + F(phi + phistep, r + rstep), + F(phi, r + rstep) + } + #declare r = r + rstep; + #end + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Paraboloidgitter(farbe, gr) +union { + #declare phi = 0; + #declare phimax = 2 * pi; + #declare phistep = pi / 6; + + #declare rmax = 1.5; + #declare rsteps = 100; + #declare rstep = rmax / rsteps; + + #while (phi < phimax - phistep/2) + #declare r = rstep; + #while (r < rmax - rstep/2) + cylinder { F(phi, r), F(phi, r + rstep), gr } + sphere { F(phi, r), gr } + #declare r = r + rstep; + #end + #declare phi = phi + phistep; + #end + + #declare rstep = 0.2; + #declare r = rstep; + + #declare phisteps = 100; + #declare phistep = phimax / phisteps; + #while (r < rmax) + #declare phi = 0; + #while (phi < phimax - phistep/2) + cylinder { F(phi, r), F(phi + phistep, r), gr } + sphere { F(phi, r), gr } + #declare phi = phi + phistep; + #end + #declare r = r + rstep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare a = sqrt(2); +#macro G(phi,sg) + < a*sg*sqrt(cos(2*phi))*cos(phi), a*cos(2*phi), a*sqrt(cos(2*phi))*sin(phi)> +#end + +#macro Lemniskate3D(s, farbe) +union { + #declare phi = -pi / 4; + #declare phimax = pi / 4; + #declare phisteps = 100; + #declare phistep = phimax / phisteps; + #while (phi < phimax - phistep/2) + sphere { G(phi,1), s } + cylinder { G(phi,1), G(phi+phistep,1), s } + sphere { G(phi,-1), s } + cylinder { G(phi,-1), G(phi+phistep,-1), s } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare a = sqrt(2); +#macro G2(phi,sg) + a * sqrt(cos(2*phi)) * < sg * cos(phi), 0, sin(phi)> +#end + +#macro Lemniskate(s, farbe) +union { + #declare phi = -pi / 4; + #declare phimax = pi / 4; + #declare phisteps = 100; + #declare phistep = phimax / phisteps; + #while (phi < phimax - phistep/2) + sphere { G2(phi,1), s } + cylinder { G2(phi,1), G2(phi+phistep,1), s } + sphere { G2(phi,-1), s } + cylinder { G2(phi,-1), G2(phi+phistep,-1), s } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Projektion(s, farbe) +union { + #declare phistep = pi / 16; + #declare phi = -pi / 4 + phistep; + #declare phimax = pi / 4; + #while (phi < phimax - phistep/2) + cylinder { G(phi, 1), G2(phi, 1), s } + cylinder { G(phi, -1), G2(phi, -1), s } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare kegelfarbe = rgbf<0.2,0.6,0.2,0.2>; +#declare kegelgitterfarbe = rgb<0.2,0.8,0.2>; +#declare paraboloidfarbe = rgbf<0.2,0.6,1.0,0.2>; +#declare paraboloidgitterfarbe = rgb<0.4,1,1>; + +//intersection { +// union { + Paraboloid(paraboloidfarbe) + Paraboloidgitter(paraboloidgitterfarbe, 0.004) + + Kegel(kegelfarbe) + Kegelgitter(kegelgitterfarbe, 0.004) +// } +// plane { <0, 0, -1>, 0.6 } +//} + + +Lemniskate3D(0.02, rgb<0.8,0.0,0.8>) +Lemniskate(0.02, Red) +Projektion(0.01, Yellow) diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex new file mode 100644 index 0000000..8fcefbf --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex @@ -0,0 +1,41 @@ +% +% kegelpara.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{kegelpara.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (4.1,-1.4) {$X$}; +\node at (0.2,3.8) {$Z$}; +\node at (4.0,1.8) {$Y$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp new file mode 100644 index 0000000..6f4d55d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp @@ -0,0 +1,126 @@ +/* + * lemnispara.cpp -- Display parametrisation of the lemniskate + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdio> +#include <cstdlib> +#include <cmath> +#include <gsl/gsl_sf_elljac.h> +#include <iostream> +#include <fstream> +#include <map> +#include <string.h> +#include <string> + +const static double s = sqrt(2); +const static double k = 1 / s; +const static double m = k * k; + +typedef std::pair<double, double> point_t; + +point_t operator*(const point_t& p, double s) { + return point_t(s * p.first, s * p.second); +} + +static double norm(const point_t& p) { + return hypot(p.first, p.second); +} + +static point_t normalize(const point_t& p) { + return p * (1/norm(p)); +} + +static point_t normal(const point_t& p) { + return std::make_pair(p.second, -p.first); +} + +class lemniscate : public point_t { + double sn, cn, dn; +public: + lemniscate(double t) { + gsl_sf_elljac_e(t, m, &sn, &cn, &dn); + first = s * cn * dn; + second = cn * sn; + } + point_t tangent() const { + return std::make_pair(-s * sn * (1.5 - sn * sn), + dn * (1 - 2 * sn * sn)); + } + point_t unittangent() const { + return normalize(tangent()); + } + point_t normal() const { + return ::normal(tangent()); + } + point_t unitnormal() const { + return ::normal(unittangent()); + } +}; + +std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) { + char b[1024]; + snprintf(b, sizeof(b), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", p.first, p.second); + out << b; + return out; +} + +int main(int argc, char *argv[]) { + std::ofstream out("lemnisparadata.tex"); + + // the curve + double tstep = 0.01; + double tmax = 4.05; + out << "\\def\\lemnispath{ "; + out << lemniscate(0); + for (double t = tstep; t < tmax; t += tstep) { + out << std::endl << "\t" << "-- " << lemniscate(t); + } + out << std::endl; + out << "}" << std::endl; + + out << "\\def\\lemnispathmore{ "; + out << lemniscate(tmax); + double tmax2 = 7.5; + for (double t = tmax + tstep; t < tmax2; t += tstep) { + out << std::endl << "\t" << "-- " << lemniscate(t); + } + out << std::endl; + out << "}" << std::endl; + + // individual points + tstep = 0.2; + int i = 0; + char name[3]; + strcpy(name, "L0"); + for (double t = 0; t <= tmax; t += tstep) { + char c = 'A' + i++; + char buffer[128]; + lemniscate l(t); + name[0] = 'L'; + name[1] = c; + out << "\\coordinate (" << name << ") at "; + out << l << ";" << std::endl; + name[0] = 'T'; + out << "\\coordinate (" << name << ") at "; + out << l.unittangent() << ";" << std::endl; + name[0] = 'N'; + out << "\\coordinate (" << name << ") at "; + out << l.unitnormal() << ";" << std::endl; + name[0] = 'C'; + out << "\\def\\" << name << "{ "; + out << "\\node[color=red] at ($(L" << c << ")+0.06*(N" << c << ")$) "; + out << "[rotate={"; + double w = 180 * atan2(l.unitnormal().second, + l.unitnormal().first) / M_PI; + snprintf(buffer, sizeof(buffer), "%.1f", w); + out << buffer; + out << "-90}]"; + snprintf(buffer, sizeof(buffer), "%.1f", t); + out << " {$\\scriptstyle " << buffer << "$};" << std::endl; + out << "}" << std::endl; + } + + out.close(); + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..16731d3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex new file mode 100644 index 0000000..c6e32d7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% +% lemnispara.tex -- parametrization of the lemniscate +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] +\def\dx{4} +\def\dy{4} +\input{lemnisparadata.tex} + +% add image content here +\draw[color=red!20,line width=1.4pt] \lemnispathmore; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \lemnispath; + +\draw[->] ({-1.6*\dx},0) -- ({1.8*\dx},0) coordinate[label={$X$}]; +\draw[->] (0,{-0.7*\dy}) -- (0,{0.7*\dy}) coordinate[label={right:$Y$}]; + +\draw ({1.5*\dx},-0.05) -- ({1.5*\dx},0.05); +\draw ({\dx},-0.05) -- ({\dx},0.05); +\draw ({0.5*\dx},-0.05) -- ({0.5*\dx},0.05); +\draw ({-0.5*\dx},-0.05) -- ({-0.5*\dx},0.05); +\draw ({-\dx},-0.05) -- ({-\dx},0.05); +\draw ({-1.5*\dx},-0.05) -- ({-1.5*\dx},0.05); +\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy}); +\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy}); + +\node at ({\dx},0) [above] {$1$}; +\node at ({-\dx},0) [above] {$-1$}; +\node at ({-0.5*\dx},0) [above] {$-\frac12$}; +\node at ({0.5*\dx},0) [above] {$\frac12$}; +\node at (0,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; +\node at (0,{-0.5*\dy}) [left] {$-\frac12$}; + +\def\s{0.02} + +\draw[color=red] ($(LA)-\s*(NA)$) -- ($(LA)+\s*(NA)$); +\draw[color=red] ($(LB)-\s*(NB)$) -- ($(LB)+\s*(NB)$); +\draw[color=red] ($(LC)-\s*(NC)$) -- ($(LC)+\s*(NC)$); +\draw[color=red] ($(LD)-\s*(ND)$) -- ($(LD)+\s*(ND)$); +\draw[color=red] ($(LE)-\s*(NE)$) -- ($(LE)+\s*(NE)$); +\draw[color=red] ($(LF)-\s*(NF)$) -- ($(LF)+\s*(NF)$); +\draw[color=red] ($(LG)-\s*(NG)$) -- ($(LG)+\s*(NG)$); +\draw[color=red] ($(LH)-\s*(NH)$) -- ($(LH)+\s*(NH)$); +\draw[color=red] ($(LI)-\s*(NI)$) -- ($(LI)+\s*(NI)$); +\draw[color=red] ($(LJ)-\s*(NJ)$) -- ($(LJ)+\s*(NJ)$); +\draw[color=red] ($(LK)-\s*(NK)$) -- ($(LK)+\s*(NK)$); +\draw[color=red] ($(LL)-\s*(NL)$) -- ($(LL)+\s*(NL)$); +\draw[color=red] ($(LM)-\s*(NM)$) -- ($(LM)+\s*(NM)$); +\draw[color=red] ($(LN)-\s*(NN)$) -- ($(LN)+\s*(NN)$); +\draw[color=red] ($(LO)-\s*(NO)$) -- ($(LO)+\s*(NO)$); +\draw[color=red] ($(LP)-\s*(NP)$) -- ($(LP)+\s*(NP)$); +\draw[color=red] ($(LQ)-\s*(NQ)$) -- ($(LQ)+\s*(NQ)$); +\draw[color=red] ($(LR)-\s*(NR)$) -- ($(LR)+\s*(NR)$); +\draw[color=red] ($(LS)-\s*(NS)$) -- ($(LS)+\s*(NS)$); +\draw[color=red] ($(LT)-\s*(NT)$) -- ($(LT)+\s*(NT)$); +\draw[color=red] ($(LU)-\s*(NU)$) -- ($(LU)+\s*(NU)$); + +\CB +\CC +\CD +\CE +\CF +\CG +\CH +\CI +\CJ +\CK +\CL +\CM +\CN +\CO +\CP +\CQ +\CR +\CS +\CT +\CU + +\fill[color=blue] (LA) circle[radius=0.07]; +\node[color=blue] at (LA) [above right] {$S$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp index c65ae0f..b5ad0ec 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp @@ -163,7 +163,7 @@ curvetracer::curve_t curvetracer::trace(const std::complex<double>& startz, } catch (const toomanyiterations& x) { std::cerr << "iterations exceeded after "; std::cerr << result.size(); - std::cerr << " points"; + std::cerr << " points" << std::endl; maxsteps = 0; } } @@ -230,7 +230,7 @@ void curvedrawer::operator()(const curvetracer::curve_t& curve) { double first = true; for (auto z : curve) { if (first) { - *_out << "\\draw[color=" << _color << "] "; + *_out << "\\draw[color=" << _color << ",line width=#1] "; first = false; } else { *_out << std::endl << " -- "; @@ -244,6 +244,7 @@ static struct option longopts[] = { { "outfile", required_argument, NULL, 'o' }, { "k", required_argument, NULL, 'k' }, { "deltax", required_argument, NULL, 'd' }, +{ "vsteps", required_argument, NULL, 'v' }, { NULL, 0, NULL, 0 } }; @@ -252,7 +253,8 @@ static struct option longopts[] = { */ int main(int argc, char *argv[]) { double k = 0.625; - double deltax = 0.2; + double Deltax = 0.2; + int vsteps = 4; int c; int longindex; @@ -261,7 +263,7 @@ int main(int argc, char *argv[]) { &longindex))) switch (c) { case 'd': - deltax = std::stod(optarg); + Deltax = std::stod(optarg); break; case 'o': outfilename = std::string(optarg); @@ -269,6 +271,9 @@ int main(int argc, char *argv[]) { case 'k': k = std::stod(optarg); break; + case 'v': + vsteps = std::stoi(optarg); + break; } double kprime = integrand::kprime(k); @@ -293,15 +298,21 @@ int main(int argc, char *argv[]) { curvetracer ct(f); // fill + (*cdp->out()) << "\\def\\hintergrund{" << std::endl; (*cdp->out()) << "\\fill[color=red!10] ({" << (-xmax) << "*\\dx},0) " << "rectangle ({" << xmax << "*\\dx},{" << ymax << "*\\dy});" << std::endl; (*cdp->out()) << "\\fill[color=blue!10] ({" << (-xmax) << "*\\dx},{" << (-ymax) << "*\\dy}) rectangle ({" << xmax << "*\\dx},0);" << std::endl; + (*cdp->out()) << "}" << std::endl; + + // macro for grid + (*cdp->out()) << "\\def\\netz#1{" << std::endl; // "circles" std::complex<double> dir(0.01, 0); + double deltax = Deltax; for (double im = deltax; im < 3; im += deltax) { std::complex<double> startz(0, im); std::complex<double> startw = ct.startpoint(startz); @@ -316,9 +327,9 @@ int main(int argc, char *argv[]) { } // imaginary axis - (*cdp->out()) << "\\draw[color=red] (0,0) -- (0,{" << ymax + (*cdp->out()) << "\\draw[color=red,line width=#1] (0,0) -- (0,{" << ymax << "*\\dy});" << std::endl; - (*cdp->out()) << "\\draw[color=blue] (0,0) -- (0,{" << (-ymax) + (*cdp->out()) << "\\draw[color=blue,line width=#1] (0,0) -- (0,{" << (-ymax) << "*\\dy});" << std::endl; // arguments between 0 and 1 @@ -353,7 +364,8 @@ int main(int argc, char *argv[]) { // arguments between 1 and 1/k { - for (double x0 = 1 + deltax; x0 < 1/k; x0 += deltax) { + deltax = (1/k - 1) / vsteps; + for (double x0 = 1 + deltax; x0 < 1/k + 0.00001; x0 += deltax) { double y0 = sqrt(1-1/(x0*x0))/kprime; //std::cout << "y0 = " << y0 << std::endl; double y = gsl_sf_ellint_F(asin(y0), kprime, @@ -389,8 +401,9 @@ int main(int argc, char *argv[]) { // arguments larger than 1/k { + deltax = Deltax; dir = std::complex<double>(0, 0.01); - double x0 = 1; + double x0 = 1/k; while (x0 <= 1/k + 0.0001) { x0 += deltax; } for (; x0 < 4; x0 += deltax) { std::complex<double> startz(x0); @@ -407,6 +420,8 @@ int main(int argc, char *argv[]) { } } + (*cdp->out()) << "}" << std::endl; + // border (*cdp->out()) << "\\def\\xmax{" << xmax << "}" << std::endl; (*cdp->out()) << "\\def\\ymax{" << ymax << "}" << std::endl; diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf Binary files differindex 6209897..46f2376 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex index 622a9e9..12535ba 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex @@ -18,6 +18,8 @@ \def\dy{3} \input{rechteckpfade.tex} +\hintergrund +\netz{0.7pt} \begin{scope} \clip ({-\xmax*\dx},{-\ymax*\dy}) rectangle ({\xmax*\dx},{\ymax*\dy}); diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf Binary files differindex c15051b..71645e3 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9b64ab2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov new file mode 100644 index 0000000..e5602df --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov @@ -0,0 +1,308 @@ +// +// kegelpara.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +#declare O = <0,0,0>; + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.060; + +camera { + location <28, 20, -40> + look_at <0, 0.55, 0> + right (16/9) * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <30, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + + +// +// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with +// color <c> +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + + +#macro Ticks(tl, tr) +union { + #declare s = 1; + #while (s <= 3.1) + cylinder { <-0.5*s-tl, 0, 0>, <-0.5*s+tl, 0, 0>, tr } + cylinder { < 0.5*s-tl, 0, 0>, < 0.5*s+tl, 0, 0>, tr } + #declare s = s + 1; + #end + + #declare s = 1; + #while (s <= 4.1) + cylinder { <0, 0.5*s-tl, 0>, <0, 0.5*s+tl, 0>, tr } + #declare s = s + 1; + #end + #declare s = 1; + #while (s <= 2.1) + cylinder { <0,-0.5*s-tl, 0>, <0,-0.5*s+tl, 0>, tr } + #declare s = s + 1; + #end + + #declare s = 1; + #while (s <= 4) + cylinder { <0, 0, 0.5*s-tl>, <0, 0, 0.5*s+tl>, tr } + #declare s = s + 1; + #end + #declare s = 1; + #while (s <= 3) + cylinder { <0, 0, -0.5*s-tl>, <0, 0, -0.5*s+tl>, tr } + #declare s = s + 1; + #end + + pigment { + color White + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare epsilon = 0.001; +#declare l = 1.5; + +#declare a = sqrt(2); +#macro G2(phi,sg) + a * sqrt(cos(2*phi)) * < sg * cos(phi), 0, sin(phi)> +#end + +#macro Lemniskate(s, farbe) +union { + #declare phi = -pi / 4; + #declare phimax = pi / 4; + #declare phisteps = 100; + #declare phistep = phimax / phisteps; + #while (phi < phimax - phistep/2) + sphere { G2(phi,1), s } + cylinder { G2(phi,1), G2(phi+phistep,1), s } + sphere { G2(phi,-1), s } + cylinder { G2(phi,-1), G2(phi+phistep,-1), s } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Projektion(s, farbe) +union { + #declare phistep = pi / 16; + #declare phi = -pi / 4 + phistep; + #declare phimax = pi / 4; + #while (phi < phimax - phistep/2) + cylinder { G(phi, 1), G2(phi, 1), s } + cylinder { G(phi, -1), G2(phi, -1), s } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Ebene(l, b, farbe) +mesh { + triangle { <-l, 0, -b>, < l, 0, -b>, < l, 0, b> } + triangle { <-l, 0, -b>, < l, 0, b>, <-l, 0, b> } + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Ebenengitter(l, b, s, r, farbe) +union { + #declare lmax = floor(l / s); + #declare ll = -lmax; + #while (ll <= lmax) + cylinder { <ll * s, 0, -b>, <ll * s, 0, b>, r } + #declare ll = ll + 1; + #end + #declare bmax = floor(b / s); + #declare bb = -bmax; + #while (bb <= bmax) + cylinder { <-l, 0, bb * s>, <l, 0, bb * s>, r } + #declare bb = bb + 1; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare b = 0.5; +#macro T(phi, theta) + b * < (2 + cos(theta)) * cos(phi), (2 + cos(theta)) * sin(phi) + 1, sin(theta) > +#end + +#macro breitenkreis(theta, r) + #declare phi = 0; + #declare phimax = 2 * pi; + #declare phisteps = 200; + #declare phistep = phimax / phisteps; + #while (phi < phimax - phistep/2) + cylinder { T(phi, theta), T(phi + phistep, theta), r } + sphere { T(phi, theta), r } + #declare phi = phi + phistep; + #end +#end + +#macro laengenkreis(phi, r) + #declare theta = 0; + #declare thetamax = 2 * pi; + #declare thetasteps = 200; + #declare thetastep = thetamax / thetasteps; + #while (theta < thetamax - thetastep/2) + cylinder { T(phi, theta), T(phi, theta + thetastep), r } + sphere { T(phi, theta), r } + #declare theta = theta + thetastep; + #end +#end + +#macro Torusgitter(farbe, r) +union { + #declare phi = 0; + #declare phimax = 2 * pi; + #declare phistep = pi / 6; + #while (phi < phimax - phistep/2) + laengenkreis(phi, r) + #declare phi = phi + phistep; + #end + #declare thetamax = pi; + #declare thetastep = pi / 6; + #declare theta = thetastep; + #while (theta < thetamax - thetastep/2) + breitenkreis(theta, r) + breitenkreis(thetamax + theta, r) + #declare theta = theta + thetastep; + #end + breitenkreis(0, 1.5 * r) + breitenkreis(pi, 1.5 * r) + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Torus(farbe) +mesh { + #declare phi = 0; + #declare phimax = 2 * pi; + #declare phisteps = 200; + #declare phistep = phimax/phisteps; + #while (phi < phimax - phistep/2) + #declare theta = 0; + #declare thetamax = 2 * pi; + #declare thetasteps = 200; + #declare thetastep = thetamax / thetasteps; + #while (theta < thetamax - thetastep/2) + triangle { + T(phi, theta), + T(phi + phistep, theta), + T(phi + phistep, theta + thetastep) + } + triangle { + T(phi, theta), + T(phi + phistep, theta + thetastep), + T(phi, theta + thetastep) + } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare torusfarbe = rgbt<0.2,0.6,0.2,0.2>; +#declare ebenenfarbe = rgbt<0.2,0.6,1.0,0.2>; + +arrow(<-2,0,0>,<2,0,0>,0.02,White) +arrow(<0,-1.1,0>,<0,2.2,0>,0.02,White) +arrow(<0,0,-1.7>,<0,0,2.4>,0.02,White) +Ticks(0.007,0.036) + +Lemniskate(0.02, Red) +Ebene(1.8, 1.6, ebenenfarbe) +Ebenengitter(1.8, 1.6, 0.5, 0.005, rgb<0.4,1,1>) +Torus(torusfarbe) +Torusgitter(Yellow, 0.005) + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex new file mode 100644 index 0000000..63351ad --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex @@ -0,0 +1,41 @@ +% +% torusschnitt.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{6} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=11.98cm]{torusschnitt.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (4.4,-2.4) {$X$}; +\node at (3.5,0.6) {$Y$}; +\node at (0.3,3.8) {$Z$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index f750a82..04c137d 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -12,14 +12,11 @@ veröffentlich hat. In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen elliptischen Funktionen hergestellt werden. +% +% Lemniskate +% \subsection{Lemniskate \label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf} -\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli. -\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}} -\end{figure} Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung \index{Lemniskate von Bernoulli}% @@ -29,19 +26,26 @@ mit der Gleichung \end{equation} Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellt. -Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$. +Der Fall $a=1/\!\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung +\[ +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, +\] +wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}. + +\subsubsection{Scheitelpunkte} +Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\!\sqrt{2}$. Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht \begin{equation} \biggl( -\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2 + -\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2 \biggr)^2 = 2\frac{a^2}{2a^2}\biggl( -\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2 - -\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2 \biggr). \qquad \Leftrightarrow @@ -49,11 +53,19 @@ Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \end{equation} -wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben. -In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$. +wobei wir $x=X/a\!\sqrt{2}$ und $y=Y/a\!\sqrt{2}$ gesetzt haben. +In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel +bei $\pm 1$. Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen Sinus und Kosinus verwendet werden soll. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf} +\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli. +\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}} +\end{figure} +\subsubsection{Polarkoordinaten} In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \begin{equation} @@ -71,12 +83,180 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke Blatt der Lemniskate. +% +% Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid +% +\subsubsection{Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid} +\begin{figure} +\center +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf} +\caption{Leminiskate (rot) als Projektion (gelb) der Schnittkurve (pink) +eines geraden +Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau). +\label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}} +\end{figure}% +\index{Kegel}% +\index{Paraboloid}% +Schreibt man in der Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +für die Klammer auf der rechten Seite $Z^2 = X^2 - Y^2$, dann wird die +Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittkurve der Flächen, +die durch die Gleichungen +\begin{equation} +X^2-Y^2 = Z^2 +\qquad\text{und}\qquad +(X^2+Y^2) = R^2 = \!\sqrt{2}aZ +\label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt} +\end{equation} +beschrieben wird. +Die linke Gleichung in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt} +beschreibt einen geraden Kreiskegel, die rechte ist ein Rotationsparaboloid. +Die Schnittkurve ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara} +dargestellt. + +\subsubsection{Schnitt eines Torus mit einer Ebene} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf} +\caption{Die Schnittkurve (rot) eines Torus (grün) +mit einer zur Torusachse parallelen Ebene (blau), +die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate. +\label{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}} +\end{figure} +\index{Torus}% +Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus +parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}, +entsteht ebenfalls eine Lemniskate, wie in diesem Abschnitt nachgewiesen +werden soll. + +Der in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt} +dargestellte Torus mit den Radien $2$ und $1$ hat als Achse die +um eine Einheit in $Z$-Richtung verschobene $Y$-Achse und die +$X$-$Z$-Ebene als Äquatorebene. +Der Torus kann mit +\[ +(u,v) +\mapsto +\begin{pmatrix} +(2+\cos u) \cos v \\ + \sin u \\ +(2+\cos u) \sin v + 1 +\end{pmatrix} +\] +parametrisiert werden, die $u$- und $v$-Koordinatenlinien sind +in der Abbildung gelb eingezeichnet. +Die $v$-Koordinatenlinien sind Breitenkreise um die Achse des Torus. +Aus $u=0$ und $u=\pi$ ergeben sich die Äquatoren des Torus. + +Die Gleichung $Z=0$ beschreibt eine achsparallele Ebene, die den +inneren Äquator berührt. +Die Schnittkurve erfüllt daher +\[ +(2+\cos u)\sin v + 1 = 0, +\] +was wir auch als $2 +\cos u = -1/\sin v$ schreiben können. +Wir müssen nachprüfen, dass die Koordinaten +$X=(2+\cos u)\cos v$ und $Y=\sin u$ die Gleichung einer Lemniskate +erfüllen. + +Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch +$\sin v$ ausdrücken und erhalten +\begin{equation} +X += +(2+\cos u) \cos v += +-\frac{1}{\sin v}\cos v += +-\frac{\cos v}{\sin v} +\qquad\Rightarrow\qquad +X^2 += +\frac{\cos^2v}{\sin^2 v} += +\frac{1-\sin^2v}{\sin^2 v}. +\label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin} +\end{equation} +Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $v$ ausdrücken, +nämlich +\begin{equation} +Y^2=\sin^2 u = 1-\cos^2 u += +1- +\biggl( +\frac{1}{\sin v} +-2 +\biggr)^2 += +\frac{-3\sin^2 v+4\sin v-1}{\sin^2 v}. +\label{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin} +\end{equation} +Die Gleichungen +\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin} +und +\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin} +zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin v$ +parametrisieren kann. +Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin v$ +und erhalten zusammenfassend +\begin{equation} +\begin{aligned} +X^2 +&= +\frac{1-S^2}{S^2} +\\ +Y^2 +&= +\frac{-3S^2+4S-1}{S^2}. +\end{aligned} +\end{equation} +Daraus kann man jetzt die Summen und Differenzen der Quadrate +berechnen, sie sind +\begin{equation} +\begin{aligned} +X^2+Y^2 +&= +\frac{-4S^2+4S}{S^2} += +\frac{4S(1-S)}{S^2} += +\frac{4(1-S)}{S} += +4\frac{1-S}{S} +\\ +X^2-Y^2 +&= +\frac{2-4S+2S^2}{S^2} += +\frac{2(1-S)^2}{S^2} += +2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2. +\end{aligned} +\end{equation} +Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt die Gleichung +\[ +(X^2+Y^2)^2 += +16 +\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2 += +8 \cdot 2 +\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2 += +2\cdot 2^2\cdot (X^2-Y^2). +\] +Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$. + +% +% Bogenlänge der Lemniskate +% \subsection{Bogenlänge} Die Funktionen \begin{equation} -x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, +x(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, \quad -y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2} +y(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2} \label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} \end{equation} erfüllen @@ -91,7 +271,7 @@ r^4 = (x(r)^2 + y(r)^2)^2, \end{align*} -sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. +sie stellen also eine Parametrisierung der Standard-Lemniskate dar. Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} @@ -101,9 +281,9 @@ Kettenregel berechnen kann: \begin{align*} \dot{x}(r) &= -\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}} +\frac{\!\sqrt{1+r^2}}{\!\sqrt{2}} + -\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}} +\frac{r^2}{\!\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}} &&\Rightarrow& \dot{x}(r)^2 &= @@ -111,13 +291,13 @@ Kettenregel berechnen kann: \\ \dot{y}(r) &= -\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}} +\frac{\!\sqrt{1-r^2}}{\!\sqrt{2}} - \frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}} &&\Rightarrow& \dot{y}(r)^2 &= -\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)} +\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}. \end{align*} Die Summe der Quadrate ist \begin{align*} @@ -136,7 +316,7 @@ Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man s(r) = \int_0^r -\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt. +\frac{1}{\!\sqrt{1-t^4}}\,dt. \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} \end{equation} @@ -149,11 +329,11 @@ $k^2=-1$ oder $k=i$ ist \[ K(r,i) = -\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}} +\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}} = -\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} +\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} = -\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} +\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{1-t^4}} = s(r). \] @@ -180,6 +360,13 @@ $\varpi/2$. % Bogenlängenparametrisierung % \subsection{Bogenlängenparametrisierung} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf} +\caption{Parametrisierung der Lemniskate mit Jacobischen elliptischen +Funktion wie in \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn} +\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara}} +\end{figure} Die Lemniskate mit der Gleichung \[ (X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2) @@ -188,7 +375,7 @@ Die Lemniskate mit der Gleichung kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen parametrisiert werden. Dazu schreibt man -\[ +\begin{equation} \left. \begin{aligned} X(t) @@ -201,11 +388,23 @@ Y(t) \operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k) \end{aligned} \quad\right\} -\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$} -\] -und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der -Lemniskate. -Zunächst ist +\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.$} +\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn} +\end{equation} +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die +Parametrisierung. +Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt +$S=(\!\sqrt{2},0)$ der Lemniskate. + +% +% Lemniskatengleichung +% +\subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung} +Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn} +tatsächlich eine Parametrisierung ist, kann dadurch nachgewiesen werden, +dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der +Lemniskate berechnet. +Zunächst sind die Quadrate von $X(t)$ und $Y(t)$ \begin{align*} X(t)^2 &= @@ -215,8 +414,8 @@ X(t)^2 Y(t)^2 &= \operatorname{cn}(t,k)^2 -\operatorname{sn}(t,k)^2 -\\ +\operatorname{sn}(t,k)^2. +\intertext{Für Summe und Differenz der Quadrate findet man jetzt} X(t)^2+Y(t)^2 &= 2\operatorname{cn}(t,k)^2 @@ -248,54 +447,49 @@ X(t)^2-Y(t)^2 \bigr) \\ &= -2\operatorname{cn}(t,k)^4 -\\ +2\operatorname{cn}(t,k)^4. +\intertext{Beide lassen sich also durch $\operatorname{cn}(t,k)^2$ +ausdrücken. +Zusammengefasst erhält man} \Rightarrow\qquad (X(t)^2+Y(t)^2)^2 &= 4\operatorname{cn}(t,k)^4 = -2(X(t)^2-Y(t)^2). +2(X(t)^2-Y(t)^2), \end{align*} +eine Lemniskaten-Gleichung. + +% +% Berechnung der Bogenlänge +% +\subsubsection{Berechnung der Bogenlänge} Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung der Lemniskate ist. Dazu berechnen wir die Ableitungen \begin{align*} \dot{X}(t) &= -\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k) +\!\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k) + -\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k) +\!\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k) \\ &= --\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2 +-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2 -\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2 \\ &= --\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl( +-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl( 1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2 -+{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2 ++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2 \bigr) \\ &= -\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k) +\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k) \bigl( {\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 \bigr) \\ -\dot{X}(t)^2 -&= -2\operatorname{sn}(t,k)^2 -\bigl( -{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 -\bigr)^2 -\\ -&= -{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 -- -6\operatorname{sn}(t,k)^4 -+2\operatorname{sn}(t,k)^6 -\\ \dot{Y}(t) &= \operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k) @@ -310,6 +504,19 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen \\ &= \operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\intertext{und davon die Quadrate} +\dot{X}(t)^2 +&= +2\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr)^2 +\\ +&= +{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 +- +6\operatorname{sn}(t,k)^4 ++2\operatorname{sn}(t,k)^6 \\ \dot{Y}(t)^2 &= @@ -319,25 +526,28 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen &= 1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 +6\operatorname{sn}(t,k)^4 --2\operatorname{sn}(t,k)^6 -\\ +-2\operatorname{sn}(t,k)^6. +\intertext{Für das Bogenlängenintegral wird die Quadratsumme der Ableitungen +benötigt, diese ist} \dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2 &= 1. -\end{align*} -Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ -\[ -\int_0^s -\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2} -\,dt -= -\int_0^s\,dt +\intertext{Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den +Parameterwerten $0$ und $t$} +\int_0^t +\sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2} +\,d\tau +&= +\int_0^s\,d\tau = -s, -\] -der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also -$s=t$ schreiben. +t, +\end{align*} +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter. +% +% Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate +% +\subsubsection{Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate} Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der Gleichung \[ @@ -345,19 +555,31 @@ Gleichung \] hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit \begin{equation} +\left. \begin{aligned} x(t) &= -\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}} -\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k) +\phantom{\frac{1}{\!\sqrt{2}}} +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k) \\ y(t) &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k) +\frac{1}{\!\sqrt{2}} +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k) \end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad +\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\!\sqrt{2}}.$} \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} \end{equation} +Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate. +Der Parameter misst also die Bogenlänge entlang der Lemniskate ausgehend +vom Scheitel. +% +% der lemniskatische Sinus und Kosinus +% \subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete @@ -365,42 +587,100 @@ die Bogenlänge zuordnet. Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung -$r=\operatorname{sl} s$. +\index{lemniskatischer Sinus}% +\index{Sinus, lemniskatischer}% +$r=r(s)=\operatorname{sl} s$. +\index{komplementäre Bogenlänge} +% +% die komplementäre Bogenlänge +% +\subsubsection{Die komplementäre Bogenlänge} Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine -komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen -dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. -Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in -in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde. -ist sie $\varpi/2-s$. +komplementäre Bogenlänge $t$ definieren, nämlich die Bogenlänge +zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$. +Dies ist der Parameter der Parametrisierung +\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +des vorangegangenen Abschnittes. +Die Bogenlänge zwischen $O=(0,0)$ und $S=(1,0)$ wurde in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet, +sie ist $\varpi/2$. +Damit folgt für die beiden Parameter $s$ und $t$ die Beziehung +$t = \varpi/2 - s$. + +\subsubsection{Der lemniskatische Kosinus} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\caption{ +Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus +mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die +gleichen Nullstellen haben. +\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} +\end{figure} Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher -$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$ +$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$. Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in -Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. -Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} -eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. -Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen, -es ist +Die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +ist eine Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate. +Man kann sie verwenden, um $r(t)$ zu berechnen. +Es ist \[ -r(s)^2 +r(t)^2 = -x(s)^2 + y(s)^2 +x(t)^2 + y(t)^2 += +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2 +\biggl( +\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)^2 ++ +\frac12 +\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)^2 +\biggr) += +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2. +\] +Die Wurzel ist +\[ +r(t) += +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\!\sqrt{2}}}) +. +\] +Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von +$s=\varpi/2-t$ mittels +\[ +\operatorname{sl}s = -\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2 -\qquad\Rightarrow\qquad r(s) = -\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k) +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2 \] +definiert. +Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus +\index{lemniskatischer Kosinus}% +\index{Kosinus, lemniskatischer}% +der komplementären Bogenlänge, also +\[ +\operatorname{cl}(s) += +\operatorname{sl}(\varpi/2-s) += +\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)^2. +\] +Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind +in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. +Sie sind beide $2\varpi$-periodisch. +Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$ +und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind. + +Die Darstellung des lemniskatischen Sinus und Kosinus durch die +Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)$ +zeigt einmal mehr den Nutzen der Jacobischen elliptischen Funktionen. + + + -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} -\caption{ -Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus -mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen -haben. -\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} -\end{figure} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex index d61bcf6..e029ffd 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex @@ -53,7 +53,7 @@ enthält. Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. Dies führt auf -\[ +\begin{equation} E_{\text{kinetisch}} + E_{\text{potentiell}} @@ -66,8 +66,9 @@ mgl(1-\cos\vartheta) + mgl(1-\cos\vartheta) = -E -\] +E. +\label{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung} +\end{equation} Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die Differentialgleichung \[ @@ -94,72 +95,155 @@ Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. + % % Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen % \subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ +\begin{align} +y +&= +\sin\frac{\vartheta}2 +&&\Rightarrow& +\cos^2\frac{\vartheta}2 +&= +1-y^2. +\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydef} +\intertext{Die Ableitung ist} +\dot{y} +&= +\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta} +&&\Rightarrow& +\dot{y}^2 +&= +\frac14\cos^2\frac{\vartheta}2\cdot\dot{\vartheta}^2. +\label{buch:elliptisch:mathpendel:yabl} +\intertext{% +Man beachte, dass die Koordinate senkrecht zur $x$-Achse in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} die Auslenkung +$l\sin\vartheta$ ist, $y$ ist also nicht die Auslenkung senkrecht +zur $x$-Achse! +Aus den Halbwinkelformeln finden wir ausserdem +} \cos\vartheta -= +&= 1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 = -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -\] -Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. +1-2y^2 +&&\Rightarrow& +1-\cos\vartheta +&= +2y^2. +\label{buch:elliptisch:mathpendel:halbwinkel} +\end{align} +Die Grösse $1-\cos\vartheta$ haben wir in der Energiegleichung +\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung} +bereits angetroffen. -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +Die Identitäten +\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:halbwinkel} +%und +%\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydef} +können wir jetzt in die +Energiegleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung} +einsetzen und erhalten +\begin{align} +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + 2mgly^2 +&= +E +\intertext{und nach Division durch $2ml^2$} +\frac14 \dot{\vartheta}^2 +&= +\frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{l}y^2. +\label{buch:elliptisch:mathpendel:thetadgl} +\end{align} +%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. +Durch Multiplizieren mit der rechten Gleichung von +\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydef} erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:mathpendel:yabl} als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. Wir erhalten -\begin{align*} -\frac14 +\begin{align} +\underbrace{\frac14 \cos^2\frac{\vartheta}2 \cdot -\dot{\vartheta}^2 +\dot{\vartheta}^2}_{\displaystyle=\dot{y}^2} &= -\frac14 (1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +\notag \\ \dot{y}^2 &= -\frac{1}{4} (1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\end{align*} +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl} +\end{align} Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung für elliptische Funktionen. -Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -$1$ sein muss. +Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der relativen +Grösse der Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. % -% Der Fall E < 2mgl +% Zeittransformation zur Elimination des konstanten Faktors % -\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +\subsubsection{Zeittransformation} +Die Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl} kann auch in +die Form +\begin{equation} +\frac{2ml^2}{E}\dot{y}^2 += +(1-y^2)\biggl(1-\frac{2mgl}{E}y^2\biggr) +\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl2} +\end{equation} +gebracht werden. +Der konstante Faktor auf der linken Seite kann wie in der Diskussion +des anharmonischen Oszillators durch eine lineare +Transformation der Zeit zum Verschwinden gebracht werden. +Dazu setzt man $z(t) = y(bt)$ und bekommt +\[ +\frac{d}{dt}z(t) += +\frac{d}{dt}y(bt) \frac{d\,bt}{dt} += +b\,\dot{y}(bt). +\] +Die Zeit muss also mit dem Faktor $\sqrt{2ml^2/E}$ skaliert werden. + +% +% Nullstellen der rechten Seite der Differentialgleichung +% +\subsubsection{Nullstellen der rechten Seite} +Die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl2} +hat die beiden Nullstellen $1$ und +\begin{equation} +y_0=\sqrt{\frac{E}{2mgl}}. +\label{buch:elliptisch:mathpendel:y0} +\end{equation} +Die Differentialgleichung kann damit als +\begin{equation} +\dot{y}^2 += +(1-y^2)\biggl(1-\frac{1}{y_0^2}y^2\biggr) +\label{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl} +\end{equation} +geschrieben werden. +Da die linke Seite $\ge 0$ sein muss, muss +\( +y\le \min(1,y_0) +\) +sein. +Damit ergeben sich zwei Fälle. +Wenn $y_0<1$ ist, dann schwingt das Pendel. +Der Fall $y_0>1$ entspricht einer Bewegung, bei der das Pendel +um den Punkt $O$ rotiert. +In den folgenden zwei Abschnitten werden die beiden Fälle ausführlicher +diskutiert. + + \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} @@ -179,72 +263,63 @@ erreichen kann, was es für $m$ macht. \label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} \end{figure} - -Wir verwenden als neue Variable +\subsubsection{Der Fall $E>2mgl$} +In diesem Fall ist die zweite Nullstelle $y_0>1$ oder $1/y_0^2 < 1$. +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl} +sieht ganz ähnlich aus wie die Differentialgleichung der +Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$, tatsächlich wird sie zur +Differentialgleichung von $\operatorname{sn}(u,k)$ wenn man \[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta +k^2 = -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 +1/y_0^2 = -1-2y^2. +\frac{2mgl}{E} \] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -\] -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac12ml^2 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\dot{\vartheta}^2 -&= -(1-y^2) -(E -mgly^2) -\\ -\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac{1}{2} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -\\ +wählt. +In diesem Fall ist also $y=\operatorname{sn}(u,1/y_0)$ eine Lösung +der Differentialgleichung, wobei $u$ eine lineare Funktion der Zeit +ist. + +Wenn $y_0 \gg 1$ ist, dann ist $k\approx 0$ und die Bewegung ist +entspricht einer gleichförmigen Kreisbewegung. +Je näher $y_0$ an $1$ liegt, desto näher an $1$ ist auch $k$ und +desto grösser wird die Verlangsamung der Bewgung in der Nähe des +Scheitels, das Pendel verweilt sehr lange. +Dies äussert sich in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobiplots} +durch die lange Verweildauer der Funktion nahe der Extrema. + +% +% Der Fall E < 2mgl +% +\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +In diesem Fall ist $y_0<1$ und die +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl} +sieht zwar immer noch wie eine Differentialgleichung für +$\operatorname{sn}(u,k)$ aus, aber die Lage der Nullstellen +der rechten Seite ist verkehrt. +Indem wir $y=y_0z$ schreiben, erhalten wir +\begin{equation} \dot{y}^2 -&= -\frac{E}{2ml^2} -(1-y^2)\biggl( -1-\frac{2gml}{E}y^2 -\biggr). -\end{align*} -Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = 2gml/E< 1$. - -%% -%% Der Fall E > 2mgl -%% -%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -%Indem wir die Gleichung - - -%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} - -%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -%XXX Möbius-Transformation \\ -%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen += +y_0^2 \dot{z}^2 += +(1-y_0^2z^2)(1-z^2). +\end{equation} +Wieder kann durch eine lineare Transformation der Zeit der Faktor $y_0^2$ +auf der linken Seite zum Verschwinden gebracht werden, es bleibt +die Differentialgleichung der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit $k=y_0$. +Daraus liest man ab, dass $y_0\operatorname{sn}(u,k)$ die Bewegung +des Pendels im oszillatorischen Fall beschreibt, wobei $u$ wieder +eine lineare Funktion der Zeit ist. + +Wenn $y_0\ll 1$ ist, dann ist auch $k$ sehr klein und die lineare +Näherung ist sehr gut, das Pendel verhält sich wie ein harmonischer +Oszillator mit einer Sinus-Schwingung als Lösung. +Für $y_0=k$ nahe an $1$ dagegen erreicht die Schwingung fast den +die maximale Höhe und wird dort sehr langsam. +Dies äussert sich in Abbildung~ +Dies äussert sich in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobiplots} +wiederum durch die lange Verweildauer der Funktion nahe der Extrema. + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex index 694f18a..af094c6 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +\label{buch:elliptisch:aufgabe:1} In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz \[ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex new file mode 100644 index 0000000..dbf184a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex @@ -0,0 +1,65 @@ +\label{buch:elliptisch:aufgabe:2}% +Die Landen-Transformation basiert auf der Iteration +\begin{equation} +\begin{aligned} +k_{n+1} +&= +\frac{1-k_n'}{1+k_n'} +& +&\text{und}& +k_{n+1}' +&= +\sqrt{1-k_{n+1}^2} +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration} +\end{equation} +mit den Startwerten $k_0 = k$ und $k_0' = \sqrt{1-k_0^2}$. +Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz. + +\begin{loesung} +\begin{table} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +n & k & k'% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}% +\\ +\hline +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}% +0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\ +1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\ +2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\ +3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\ +4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000% +\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$ +gemäss \eqref{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration} +mit $k_0=0.2$ +\label{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch}} +\end{table} +Es ist klar, dass $k'_n\to 1$ folgt, wenn man zeigen kann, dass +$k_n\to 0$ gilt. +Wir berechnen daher +\begin{align*} +k_{n+1} +&= +\frac{1-k_n'}{1+k_n'} += +\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}} +\intertext{und erweitern mit dem Nenner $1+\sqrt{1-k_n^2}$ um} +&= +\frac{1-(1-k_n^2)}{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2} += +\frac{ k_n^2 }{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2} +\le +k_n^2 +\end{align*} +zu erhalten. +Daraus folgt jetzt sofort die quadratische Konvergenz von $k_n$ gegen $0$. + +Ein einfaches numerisches Experiment (siehe +Tabelle~\ref{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch}) +bestätigt die quadratische Konvergenz der Folgen. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex new file mode 100644 index 0000000..a5d118f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex @@ -0,0 +1,135 @@ +\label{buch:elliptisch:aufgabe:3}% +Aus der in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} konstruierten Folge +$k_n$ kann zu einem vorgegebenen $u$ ausserdem die Folge $u_n$ +mit der Rekursionsformel +\[ +u_{n+1} = \frac{u_n}{1+k_{n+1}} +\] +und Anfangswert $u_0=u$ konstruiert werden. +Die Landen-Transformation (siehe \cite[80]{buch:ellfun-applications}) +\index{Landen-Transformation}% +führt auf die folgenden Formeln für die Jacobischen elliptischen Funktionen: +\begin{equation} +\left.\qquad +\begin{aligned} +\operatorname{sn}(u_n,k_n) +&= +\frac{ +(1+k_{n+1})\operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1}) +}{ +1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2 +} +\\ +\operatorname{cn}(u_n,k_n) +&= +\frac{ +\operatorname{cn}(u_{n+1},k_{n+1}) +\operatorname{dn}(u_{n+1},k_{n+1}) +}{ +1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2 +} +\\ +\operatorname{dn}(u_n,k_n) +&= +\frac{ +1 - k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2 +}{ +1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2 +} +\end{aligned} +\qquad\right\} +\label{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss} +\end{equation} +Die Transformationsformeln +\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss} +sind auch als Gauss-Transformation bekannt. +\index{Gauss-Transformation}% +Konstruieren Sie daraus einen numerischen Algorithmus, mit dem sich +gleichzeitig die Werte aller drei Jacobischen elliptischen Funktionen +für vorgegebene Parameterwerte $u$ und $k$ berechnen lassen. + +\begin{loesung} +In der ersten Phase des Algorithmus werden die Folgen $k_n$ und $k_n'$ +sowie $u_n$ bis zum Folgenindex $N$ berechnet, bis $k_N\approx 0$ +angenommen werden darf. +Dann gilt +\begin{align*} +\operatorname{sn}(u_N, k_N) &= \operatorname{sn}(u_N,0) = \sin u_N +\\ +\operatorname{cn}(u_N, k_N) &= \operatorname{cn}(u_N,0) = \cos u_N +\\ +\operatorname{dn}(u_N, k_N) &= \operatorname{dn}(u_N,0) = 1. +\end{align*} +In der zweiten Phase des Algorithmus können für absteigende +$n$ jeweils die Formeln~\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss} +angewendet werden um nacheinander die Werte der Jacobischen +elliptischen Funktionen für Argument $u_n$ und Parameter $k_n$ +für $n=N-1,N-2,\dots,0$ zu bekommen. +\end{loesung} +\begin{table} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\pfeil#1#2{ + \fill[color=#1!30] (-0.5,1) -- (-0.5,-1) -- (-0.8,-1) + -- (0,-1.5) -- (0.8,-1) -- (0.5,-1) -- (0.5,1) -- cycle; + \node[color=white] at (0,-0.2) [scale=5] {\sf #2\strut}; +} +\begin{scope}[xshift=-4.9cm,yshift=0.2cm] +\pfeil{red}{1} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-2.3cm,yshift=0.2cm] +\pfeil{red}{1} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=0.35cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1] +\pfeil{blue}{2} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=2.92cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1] +\pfeil{blue}{2} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=5.60cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1] +\pfeil{blue}{2} +\end{scope} + +\node at (0,0) { +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +n & k_n & u_n & \operatorname{sn}(u_n,k_n) & \operatorname{cn}(u_n,k_n) & \operatorname{dn}(u_n,k_n)% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ +\hline +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}% +%\small +0 & 0.90000000000 & 0.60000000000 & 0.54228232286 & 0.84019633556 & 0.87281338478 \\ +1 & 0.39286445838 & 0.43076696830 & 0.41576897816 & 0.90947026163 & 0.98656969610 \\ +2 & 0.04188568608 & 0.41344935827 & 0.40175214109 & 0.91574844642 & 0.99985840483 \\ +3 & 0.00043898784 & 0.41326793867 & 0.40160428679 & 0.91581329801 & 0.99999998445 \\ +4 & 0.00000004817 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000 \\ +5 & 0.00000000000 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000 \\ +%N & 0.00000000000 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000% +N & & 0.41326791876 & \sin u_N & \cos u_N & 1% +%0 & 0.900000000000000 & 0.600000000000000 & 0.542282322869158 & 0.840196335569032 & 0.872813384788490 \\ +%1 & 0.392864458385019 & 0.430766968306220 & 0.415768978168966 & 0.909470261631645 & 0.986569696107075 \\ +%2 & 0.041885686080039 & 0.413449358275499 & 0.401752141098324 & 0.915748446421239 & 0.999858404836479 \\ +%3 & 0.000438987841605 & 0.413267938675096 & 0.401604286793186 & 0.915813298019491 & 0.999999984459261 \\ +%4 & 0.000000048177586 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\ +%5 & 0.000000000000001 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\ +%N & 0.000000000000000 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\ +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\ +\hline +\end{tabular} +}; +\end{tikzpicture} +\caption{Durchführung des auf der Landen-Transformation basierenden +Algorithmus zur Berechnung der Jacobischen elliptischen Funktionen +für $u=0.6$ und $k=0.9$. +Die erste Phase (rot) berechnet die Folgen $k_n$ und $u_n$, die zweite +(blau) +transformiert die Wert der trigonometrischen Funktionen in die Werte +der Jacobischen elliptischen Funktionen. +\label{buch:elliptisch:aufgabe:3:resultate}} +\end{table} + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex new file mode 100644 index 0000000..8814090 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +\label{buch:elliptisch:aufgabe:4} +Es ist bekannt, dass $\operatorname{sn}(K+iK', k) = 1/k$ gilt. +Verwenden Sie den Algorithmus von Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3}, +um dies für $k=\frac12$ nachzurechnen. + +\begin{loesung} +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\tabcolsep}{5pt} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + n & k_n & u_n & \operatorname{sn}(u_n,k_n)% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}% +\\ +\hline +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}% + 0 & 0.500000000000000 & 1.685750354812596 + 2.156515647499643i & 2.000000000000000 \\ + 1 & 0.071796769724491 & 1.572826493259468 + 2.012056490946491i & 3.732050807568877 \\ + 2 & 0.001292026239995 & 1.570796982340579 + 2.009460215619685i & 3.796651109009551 \\ + 3 & 0.000000417333300 & 1.570796326794965 + 2.009459377005374i & 3.796672364209438 \\ + 4 & 0.000000000000044 & 1.570796326794897 + 2.009459377005286i & 3.796672364211658 \\ + N & 0.000000000000000 & 1.570796326794897 + 2.009459377005286i & 3.796672364211658% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}% +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(K+iK',k)=1/k$ mit Hilfe der Landen-Transformation. +Konvergenz der Folge $k_n$ ist bei $N=5$ eintegreten. +\label{buch:elliptisch:aufgabe:4:table}} +\end{table} +Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen +Mittels +\[ +K(k) +\approx +1.685750354812596 +\qquad\text{und}\qquad +K(k') +\approx +2.156515647499643 +\] +berechnen. +Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert +$N=5$ Iterationen konvergiert. +Sie führt auf +\[ +u_N += +\frac{\pi}2 + 2.009459377005286i += +\frac{\pi}2 + bi. +\] +Jetzt muss der Sinus von $u_N$ berechnet werden. +Dazu verwenden wir die komplexe Darstellung: +\[ +\sin u_N += +\frac{e^{i\frac{\pi}2-b} - e^{-i\frac{\pi}2+b}}{2i} += +\frac{ie^{-b}+ie^{b}}{2i} += +\cosh b += +3.796672364211658. +\] +Da der Wert $\operatorname{sn}(u_N,k_N) = \sin u_N$ reell ist, wird auch +die daraus wie in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3} +konstruierte Folge $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ reell sein. +Die Werte von $\operatorname{cn}(u_n,k_n)$ und $\operatorname{dn}(u_n,k_n)$ +werden für die Iterationsformeln~\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss} +für $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ nicht benötigt. +Die Berechnung ist in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4:table} +zusammengefasst. +Man liest ab, dass $\operatorname{sn}(K+iK',k)=2 = 1/k$, wie erwartet. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex new file mode 100644 index 0000000..fa018ca --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +\label{buch:elliptisch:aufgabe:5} +Die sehr schnelle Konvergenz des arithmetisch-geometrische Mittels +kann auch dazu ausgenutzt werden, eine grosse Zahl von Stellen der +Kreiszahl $\pi$ zu berechnen. +Almkvist und Berndt haben gezeigt \cite{buch:almkvist-berndt}, dass +\[ +\pi += +\frac{4 M(1,\!\sqrt{2}/2)^2}{ +\displaystyle 1-\sum_{n=1}^\infty 2^{n+1}(a_n^2-b_n^2) +}. +\] +Verwenden Sie diese Formel, um Approximationen von $\pi$ zu berechnen. + +\begin{loesung} +\begin{table} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +n & a_n & b_n & \pi_n% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}% +0 & 1.000000000000000 & 0.707106781186548 & +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\ +1 & 0.853553390593274 & 0.840896415253715 & 3.\underline{1}87672642712106 \\ +2 & 0.847224902923494 & 0.847201266746892 & 3.\underline{141}680293297648 \\ +3 & 0.847213084835193 & 0.847213084752765 & 3.\underline{141592653}895451 \\ +4 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}822 \\ +5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871% +\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\infty & & & 3.141592653589793% +\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Approximationen der Kreiszahl $\pi$ mit Hilfe des Algorithmus +des arithmetisch-geometrischen Mittels. +In nur 4 Schritten werden 12 Stellen Genauigkeit erreicht. +\label{buch:elliptisch:aufgabe:5:table}} +\end{table} +Wir schreiben +\[ +\pi_n += +\frac{4 a_k^2}{ +\displaystyle +1-\sum_{k=1}^\infty 2^{k+1}(a_k^2-b_k^2) +} +\] +für die Approximationen von $\pi$, +wobei $a_k$ und $b_k$ die Folgen der arithmetischen und geometrischen +Mittel von $1$ und $\!\sqrt{2}/2$ sind. +Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5:table} zeigt die Resultat. +In nur 4 Schritten können 12 Stellen Genauigkeit erreicht werden, +dann beginnen jedoch bereits Rundungsfehler das Resultat zu beinträchtigen. +Für die Berechnung einer grösseren Zahl von Stellen muss daher mit +grösserer Präzision gerechnet werden. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m new file mode 100644 index 0000000..bba5549 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m @@ -0,0 +1,60 @@ +# +# landen.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +N = 10; + +function retval = M(a,b) + for i = (1:10) + A = (a+b)/2; + b = sqrt(a*b); + a = A; + endfor + retval = a; +endfunction; + +function retval = EllipticKk(k) + retval = pi / (2 * M(1, sqrt(1-k^2))); +endfunction + +k = 0.5; +kprime = sqrt(1-k^2); + +EK = EllipticKk(k); +EKprime = EllipticKk(kprime); + +u = EK + EKprime * i; + +K = zeros(N,3); +K(1,1) = k; +K(1,2) = kprime; +K(1,3) = u; + +format long + +for n = (2:N) + K(n,1) = (1-K(n-1,2)) / (1+K(n-1,2)); + K(n,2) = sqrt(1-K(n,1)^2); + K(n,3) = K(n-1,3) / (1 + K(n,1)); +end + +K(:,[1,3]) + +pi / 2 + +scd = zeros(N,3); +scd(N,1) = sin(K(N,3)); +scd(N,2) = cos(K(N,3)); +scd(N,3) = 1; + +for n = (N:-1:2) + nenner = 1 + K(n,1) * scd(n, 1)^2; + scd(n-1,1) = (1+K(n,1)) * scd(n, 1) / nenner; + scd(n-1,2) = scd(n, 2) * scd(n, 3) / nenner; + scd(n-1,3) = (1 - K(n,1) * scd(n,1)^2) / nenner; +end + +scd(:,1) + +cosh(2.009459377005286) diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex index bee4416..52b18a0 100644 --- a/buch/chapters/part1.tex +++ b/buch/chapters/part1.tex @@ -35,6 +35,7 @@ %\end{appendices} \vfill \pagebreak + \ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi \lhead{Literatur} \rhead{} diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index 32a86ec..d14a3d2 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -118,3 +118,55 @@ YEAR = 2022, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/GNU_Multiple_Precision_Arithmetic_Library} } +@article{buch:pearsondgl, + title = {Orthogonal matrix polynomials, scalar-type Rordigues' formulas and Pearson equations}, + author = { Antonio J. Dur\'an and F. Alberto Grünbaum }, + year = 2005, + journal = { Journal of Approximation theory }, + volume = 134, + pages = {267-280} +} + +@book{buch:specialfunctions, + author = { George E. Andrews and Richard Askey and Ranjan Roy }, + title = { Special Functions }, + series = { Encyclopedia of Mathematics and its applications }, + volume = { 71 }, + publisher = { Cambridge University Press }, + ISBN = { 0-521-78988-5 }, + year = 2004 +} + +@book{buch:ellfun-applications, + author = { Derek F. Lawden }, + title = { Elliptic Functions and Applications }, + series = { Applied Mathematical Sciences }, + volume = { 80 }, + publisher = { Springer-Verlag }, + year = 2010, + ISBN = { 978-1-4419-3090-3 } +} + +@article{buch:almkvist-berndt, + author = { Gert Almkvist und Bruce Berndt }, + title = { Gauss, Landen, Ramanjujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses $\pi$, and the {\em Ladies Diary} }, + journal = { The American Mathematical Monthly }, + volume = { 95 }, + pages = { 585--608 }, + year = 1988 +} + +@book{buch:schwalm, + author = { William A. Schwalm }, + title = { Lectures on Selected Topics in Mathematical Physics: Elliptic Functions and Elliptic Integrals }, + publisher = { IOP Science }, + year = 2015, + ISBN = { 978-1-6817-4166-6 } +} + +@misc{buch:schwalm-youtube, + author = { William A. Schwalm }, + title = { Elliptic Functions and Elliptic Integrals }, + howpublished = { \url{https://youtu.be/DCXItCajCyo} }, + year = 2018 +} diff --git a/buch/common/macros.tex b/buch/common/macros.tex index bb6e9b0..e37698e 100644 --- a/buch/common/macros.tex +++ b/buch/common/macros.tex @@ -111,6 +111,10 @@ \newtheorem{forderung}{Forderung}[chapter] \newtheorem{konsequenz}[satz]{Konsequenz} \newtheorem{algorithmus}[satz]{Algorithmus} + +% English variants +\newtheorem{theorem}[satz]{Theorem} + \renewcommand{\floatpagefraction}{0.7} \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} diff --git a/buch/common/packages.tex b/buch/common/packages.tex index 2ab2ad8..eef17c1 100644 --- a/buch/common/packages.tex +++ b/buch/common/packages.tex @@ -43,6 +43,7 @@ \usepackage{wasysym} \usepackage{environ} \usepackage{appendix} +\usepackage{wrapfig} \usepackage{placeins} \usepackage[all]{xy} \usetikzlibrary{calc,intersections,through,backgrounds,graphs,positioning,shapes,arrows,fit,math} diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex index c14790a..c1408cb 100644 --- a/buch/common/teilnehmer.tex +++ b/buch/common/teilnehmer.tex @@ -11,20 +11,20 @@ Fabian Dünki%, % E \\ %Robin Eberle, % E Enez Erdem, % B -Nilakshan Eswararajah, % B -Réda Haddouche%, % E -\\ +%Nilakshan Eswararajah, % B +Réda Haddouche, % E David Hugentobler, % E -Alain Keller, % E -Yanik Kuster, % E -Marc Kühne%, % B +Alain Keller%, % E \\ +Yanik Kuster, % E +Marc Kühne, % B Erik Löffler, % E -Kevin Meili, % M-I -Andrea Mozzini Vellen%, % E +Kevin Meili%, % M-I \\ +Andrea Mozzini Vellen, % E Patrik Müller, % MSE -Naoki Pross, % E +Naoki Pross%, % E +\\ Thierry Schwaller, % E Tim Tönz % E diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..206cd3a --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..03b2ba1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2e45129 --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf diff --git a/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..13dea39 --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c new file mode 100644 index 0000000..d897b8f --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c @@ -0,0 +1,53 @@ +/**
+ * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)
+ * @param b0 in 0F1(;b0;z)
+ * @param z in 0F1(;b0;z)
+ * @param n number of itertions (precision)
+ * @return Result
+ */
+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)
+{
+ //declaration
+ double a = 0.0;
+ double b = 0.0;
+ double Ak = 0.0;
+ double Bk = 0.0;
+ double Ak_1 = 0.0;
+ double Bk_1 = 0.0;
+ double Ak_2 = 0.0;
+ double Bk_2 = 0.0;
+
+ for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)
+ {
+ if (k == 0)
+ {
+ a = 1.0; //a0
+ //recursion fomula for A0, B0
+ Ak = a;
+ Bk = 1.0;
+ }
+ else if (k == 1)
+ {
+ a = 1.0; //a1
+ b = z/c; //b1
+ //recursion fomula for A1, B1
+ Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;
+ Bk = a * Bk_1;
+ }
+ else
+ {
+ a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak
+ b = -(z / (k * ((k - 1) + c))); //bk
+ //recursion fomula for Ak, Bk
+ Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;
+ Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;
+ }
+ //save old values
+ Ak_2 = Ak_1;
+ Bk_2 = Bk_1;
+ Ak_1 = Ak;
+ Bk_1 = Bk;
+ }
+ //approximation fraction
+ return Ak/Bk;
+}
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c new file mode 100644 index 0000000..3caaf43 --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c @@ -0,0 +1,27 @@ +/**
+ * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)
+ * @param c in 0F1(;c;z)
+ * @param z in 0F1(;c;z)
+ * @param k number of itertions (precision)
+ * @return Result
+ */
+static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)
+{
+ //declaration
+ double a = 0.0;
+ double b = 0.0;
+ double abk = 0.0;
+ double temp = 0.0;
+
+ for (; k > 0; --k)
+ {
+ abk = z / (k * ((k - 1) + c)); //abk = ak, bk
+
+ a = k > 1 ? (1 + abk) : 1; //a0, a1
+ b = k > 1 ? -abk : abk; //b1
+
+ temp = b / (a + temp); //bk / (ak + last result)
+ }
+
+ return a + temp; //a0 + temp
+}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c new file mode 100644 index 0000000..23fdfea --- /dev/null +++ b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c @@ -0,0 +1,69 @@ +#include <math.h>
+
+/**
+ * @brief Calculates pochhammer
+ * @param (a+n-1)!
+ * @return Result
+ */
+static double pochhammer(const double x, double n)
+{
+ double temp = x;
+
+ if (n > 0)
+ {
+ while (n > 1)
+ {
+ temp *= (x + n - 1);
+ --n;
+ }
+
+ return temp;
+ }
+ else
+ {
+ return 1;
+ }
+}
+
+/**
+ * @brief Calculates the Factorial
+ * @param n!
+ * @return Result
+ */
+static double fac(int n)
+{
+ double temp = n;
+
+ if (n > 0)
+ {
+ while (n > 1)
+ {
+ --n;
+ temp *= n;
+ }
+ return temp;
+ }
+ else
+ {
+ return 1;
+ }
+}
+
+/**
+ * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)
+ * @param c in 0F1(;c;z)
+ * @param z in 0F1(;c;z)
+ * @param n number of itertions (precision)
+ * @return Result
+ */
+static double powerseries(const double c, const double z, unsigned int n)
+{
+ double temp = 0.0;
+
+ for (unsigned int k = 0; k < n; ++k)
+ {
+ temp += pow(z, k) / (factorial(k) * pochhammer(c, k));
+ }
+
+ return temp;
+}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/0f1/main.tex b/buch/papers/0f1/main.tex index 264ad56..0b1020f 100644 --- a/buch/papers/0f1/main.tex +++ b/buch/papers/0f1/main.tex @@ -1,36 +1,24 @@ -% -% main.tex -- Paper zum Thema <0f1> -% -% (c) 2020 Hochschule Rapperswil -% -\chapter{Thema\label{chapter:0f1}} -\lhead{Thema} -\begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - -\input{papers/0f1/teil0.tex} -\input{papers/0f1/teil1.tex} -\input{papers/0f1/teil2.tex} -\input{papers/0f1/teil3.tex} - -\printbibliography[heading=subbibliography] -\end{refsection} +%
+% main.tex -- Paper zum Thema <0f1>
+%
+% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
+%
+%
+
+
+
+\chapter{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$\label{chapter:0f1}}
+\lhead{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$}
+\begin{refsection}
+\chapterauthor{Fabian Dünki}
+
+
+
+
+\input{papers/0f1/teil0.tex}
+\input{papers/0f1/teil1.tex}
+\input{papers/0f1/teil2.tex}
+\input{papers/0f1/teil3.tex}
+
+\printbibliography[heading=subbibliography]
+\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/0f1/references.bib b/buch/papers/0f1/references.bib index fb9cd8b..47555da 100644 --- a/buch/papers/0f1/references.bib +++ b/buch/papers/0f1/references.bib @@ -4,32 +4,82 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{0f1:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} -} - -@book{0f1:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{0f1:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +@online{0f1:library-gsl, + title = {GNU Scientific Library}, + url ={https://www.gnu.org/software/gsl/}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} } +@online{0f1:wiki-airyFunktion, + title = {Airy-Funktion}, + url ={https://de.wikipedia.org/wiki/Airy-Funktion}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} +} + +@online{0f1:wiki-kettenbruch, + title = {Kettenbruch}, + url ={https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {25} +} + +@online{0f1:double, + title = {C - Data Types}, + url ={https://www.tutorialspoint.com/cprogramming/c_data_types.htm}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} +} + +@online{0f1:wolfram-0f1, + title = {Hypergeometric 0F1}, + url ={https://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Hypergeometric0F1}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} +} + +@online{0f1:wiki-fraction, + title = {Gauss continued fraction}, + url ={https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_continued_fraction}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} +} + +@online{0f1:code, + title = {Vollständiger C-Code}, + url ={https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen/tree/master/buch/papers/0f1/listings}, + date = {2022-07-07}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {7} +} + +@book{0f1:SeminarNumerik, + title = {Mathematisches Seminar Numerik}, + author = {Andreas Müller et al}, + publisher = {Andreas Müller}, + year = {2022}, +} + +@article{0f1:kettenbrueche, + author = { Benjamin Bouhafs-Keller }, + title = { Kettenbrüche }, + journal = { Mathematisches Seminar Numerik }, + year = 2020, + volume = 13, + pages = {363--376}, + url = {https://github.com/AndreasFMueller/SeminarNumerik} +} diff --git a/buch/papers/0f1/teil0.tex b/buch/papers/0f1/teil0.tex index 9087808..adccac7 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil0.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil0.tex @@ -1,22 +1,15 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{0f1:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{0f1:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - +%
+% einleitung.tex -- Einleitung
+%
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}
+\rhead{Ausgangslage}
+Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt,
+zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen.
+In der GNU Scientific Library \cite{0f1:library-gsl}
+ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden.
+Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception.
+Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht.
+So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.
+Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.
diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index aca84d2..2ca9647 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -1,55 +1,101 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{0f1:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{0f1:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{0f1:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{0f1:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{0f1:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - +%
+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
+%
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Mathematischer Hintergrund
+\label{0f1:section:mathHintergrund}}
+\rhead{Mathematischer Hintergrund}
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+beschrieben.
+
+\subsection{Hypergeometrische Funktion
+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
+
+\begin{definition}
+ \label{0f1:math:qFp:def}
+ Die hypergeometrische Funktion
+ $\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
+ \[
+ \mathstrut_pF_q
+ \biggl(
+ \begin{matrix}
+ a_1,\dots,a_p\\
+ b_1,\dots,b_q
+ \end{matrix}
+ ;
+ x
+ \biggr)
+ =
+ \mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
+ =
+ \sum_{k=0}^\infty
+ \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
+ \]
+\end{definition}
+
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
+
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:0f1:eq}
+ \mathstrut_0F_1
+ \biggl(
+ \begin{matrix}
+ \\
+ b_1
+ \end{matrix}
+ ;
+ x
+ \biggr)
+ =
+ \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
+ =
+ \sum_{k=0}^\infty
+ \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
+\end{equation}
+
+
+
+
+\subsection{Airy Funktion
+\label{0f1:subsection:airy}}
+Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+
+\begin{definition}
+ \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
+ Die Differentialgleichung
+ $y'' - xy = 0$
+ heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+\end{definition}
+
+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
+
+\begin{align}
+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+Ai(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\\
+Bi(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
+\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\qedhere
+\end{align}
+
+In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
+
+
diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 804d11b..9269961 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -1,40 +1,172 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{0f1:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{0f1:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - +%
+% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen
+%
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Umsetzung
+\label{0f1:section:teil2}}
+\rhead{Umsetzung}
+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt.\cite{0f1:code} Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
+Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.
+
+\subsection{Potenzreihe
+\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt. \cite{0f1:double}
+
+\begin{align}
+ \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
+ \mathstrut_0F_1(;c;z)
+ &=
+ \sum_{k=0}^\infty
+ \frac{z^k}{(c)_k \cdot k!}
+ &=
+ \frac{1}{c}
+ +\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
+ + \cdots
+ + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
+\end{align}
+
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
+
+\subsection{Kettenbruch
+\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
+Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form
+\begin{equation*}
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
+\end{equation*}
+in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.
+Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist
+\begin{equation*}
+ a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots
+\end{equation*}
+und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.
+\cite{0f1:wiki-kettenbruch}
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies\cite{0f1:wiki-fraction}:
+\begin{equation*}
+ \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
+\end{equation*}
+Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
+ \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
+\end{equation}
+der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde.
+\cite{0f1:wolfram-0f1}
+
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
+
+\subsection{Rekursionsformel
+\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}
+
+\subsubsection{Herleitung}
+Ein Näherungsbruch in der Form
+\begin{align*}
+ \cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}
+\end{align*}
+lässt sich zu
+\begin{align*}
+ \cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
+\end{align*}
+umformen.
+Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
+\begin{equation*}
+ \begin{pmatrix}
+ A_k\\
+ B_k
+ \end{pmatrix}
+ = \begin{pmatrix}
+ b_{k+1} \cdot q\\
+ a_{k+1} \cdot q + p
+ \end{pmatrix}
+ =\begin{pmatrix}
+ 0& b_{k+1}\\
+ 1& a_{k+1}
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ p \\
+ q
+ \end{pmatrix}.
+ %\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
+\end{equation*}
+Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
+\begin{equation*}
+ \frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
+\end{equation*}
+an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
+
+\begin{align*}
+ \begin{pmatrix}
+ A_k\\
+ B_k
+ \end{pmatrix}
+ &=
+ \begin{pmatrix}
+ 1& a_0\\
+ 0& 1
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ 0& b_1\\
+ 1& a_1
+ \end{pmatrix}
+ \cdots
+ \begin{pmatrix}
+ 0& b_{k-1}\\
+ 1& a_{k-1}
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ b_k\\
+ a_k
+ \end{pmatrix}
+\end{align*}
+Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:matrix:ende:eq}
+ \begin{pmatrix}
+ A_{k}\\
+ B_{k}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ A_{k-2}& A_{k-1}\\
+ B_{k-2}& B_{k-1}
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ b_k\\
+ a_k
+ \end{pmatrix}.
+\end{equation}
+Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch
+\[
+\frac{Ak}{Bk}
+\]
+berechnet werden.
+
+
+\subsubsection{Lösung}
+Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}
+\begin{itemize}
+\item Startbedingungen:
+\begin{align*}
+A_{-1} &= 0 & A_0 &= a_0 \\
+B_{-1} &= 1 & B_0 &= 1
+\end{align*}
+\item Schritt $k\to k+1$:
+\[
+\begin{aligned}
+\label{0f1:math:loesung:eq}
+k &\rightarrow k + 1:
+&
+A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\
+&&
+B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
+\end{aligned}
+\]
+\item
+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$
+\end{itemize}
+
+Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
+
+%Code
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 25472cb..2855e26 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -1,40 +1,64 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{0f1:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{0f1:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - +%
+% teil3.tex -- Resultate und Ausblick
+%
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Auswertung
+\label{0f1:section:teil3}}
+\rhead{Resultate}
+Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt,
+das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
+So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.
+Ebenso kann festgestellt werden,dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1}
+
+\subsection{Konvergenz
+\label{0f1:subsection:konvergenz}}
+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
+
+Erst wenn mehrere Durchläufe gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen.
+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.
+\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}
+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen.\ref{0f1:math:loesung:eq} Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
+
+Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.
+Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
+
+\subsection{Stabilität
+\label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
+Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
+
+Wohingegen die Potenzreihe \ref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
+Die Rekursionformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
+
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Fakultät im Nenner, was zum Phänomen der Auslöschung führt.\cite{0f1:SeminarNumerik} Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
+
+
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}
+ \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$.
+ \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
+ \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+ \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
+ \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+ \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
+ \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.
+ \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
+\end{figure}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/main.tex b/buch/papers/dreieck/main.tex index 75ba410..d7bc769 100644 --- a/buch/papers/dreieck/main.tex +++ b/buch/papers/dreieck/main.tex @@ -3,19 +3,21 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Dreieckstest und Beta-Funktion\label{chapter:dreieck}} -\lhead{Dreieckstest und Beta-Funktion} +\chapter{$\int P(t) e^{-t^2} \,dt$ in geschlossener Form? +\label{chapter:dreieck}} +\lhead{Integrierbarkeit in geschlossener Form} \begin{refsection} \chapterauthor{Andreas Müller} \noindent -Mit dem Dreieckstest kann man feststellen, wie gut ein Geruchs- -oder Geschmackstester verschiedene Gerüche oder Geschmäcker -unterscheiden kann. -Seine wahrscheinlichkeitstheoretische Erklärung benötigt die Beta-Funktion, -man kann die Beta-Funktion als durchaus als die mathematische Grundlage -der Weindegustation -bezeichnen. +Der Risch-Algorithmus erlaubt, eine definitive Antwort darauf zu geben, +\index{Risch-Algorithmus}% +\index{elementare Stammfunktion}% +ob eine elementare Funktion eine Stammfunktion in geschlossener Form hat. +Der Algorithmus ist jedoch ziemlich kompliziert. +In diesem Kapitel soll ein spezieller Fall mit Hilfe der Theorie der +orthogonale Polynome, speziell der Hermite-Polynome, behandelt werden, +wie er in der Arbeit \cite{dreieck:polint} untersucht wurde. \input{papers/dreieck/teil0.tex} \input{papers/dreieck/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib index d2bbe08..47bd865 100644 --- a/buch/papers/dreieck/references.bib +++ b/buch/papers/dreieck/references.bib @@ -4,32 +4,12 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{dreieck:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} +@article{dreieck:polint, + author = { George Stoica }, + title = { Polynomials and Integration in Finite Terms }, + journal = { Amer. Math. Monthly }, + volume = 129, + year = 2022, + number = 1, + pages = {80--81} } - -@book{dreieck:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{dreieck:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} -} - diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex index bcf2cf8..f9affe7 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil0.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex @@ -3,7 +3,48 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Testprinzip\label{dreieck:section:testprinzip}} -\rhead{Testprinzip} +\section{Problemstellung\label{dreieck:section:problemstellung}} +\rhead{Problemstellung} +Es ist bekannt, dass das Fehlerintegral +\[ +\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2\sigma}}\,dt +\] +nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann. +Mit der in Kapitel~\ref{buch:chapter:integral} skizzierten Theorie von +Liouville und dem Risch-Algorithmus kann dies strengt gezeigt werden. +Andererseits gibt es durchaus Integranden, die $e^{-t^2}$ enthalten, +für die eine Stammfunktion in geschlossener Form gefunden werden kann. +Zum Beispiel folgt aus der Ableitung +\[ +\frac{d}{dt} e^{-t^2} += +-2te^{-t^2} +\] +die Stammfunktion +\[ +\int te^{-t^2}\,dt += +-\frac12 e^{-t^2}. +\] +Leitet man $e^{-t^2}$ zweimal ab, erhält man +\[ +\frac{d^2}{dt^2} e^{-t^2} += +(4t^2-2) e^{-t^2} +\qquad\Rightarrow\qquad +\int (t^2-{\textstyle\frac12}) e^{-t^2}\,dt += +{\textstyle\frac14} +e^{-t^2}. +\] +Es gibt also viele weitere Polynome $P(t)$, für die der Integrand +$P(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener Form hat. +Damit stellt sich jetzt das folgende allgemeine Problem. + +\begin{problem} +\label{dreieck:problem} +Für welche Polynome $P(t)$ hat der Integrand $P(t)e^{-t^2}$ +eine elementare Stammfunktion? +\end{problem} diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex index 4abe2e1..45c1a23 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex @@ -3,9 +3,92 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion -\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}} -\rhead{} +\section{Hermite-Polynome +\label{dreieck:section:hermite-polynome}} +\rhead{Hermite-Polyome} +In Abschnitt~\ref{dreieck:section:problemstellung} hat sich schon angedeutet, +dass die Polynome, die man durch Ableiten von $e^{-t^2}$ erhalten +kann, bezüglich des gestellten Problems besondere Eigenschaften +haben. +Zunächst halten wir fest, dass die Ableitung einer Funktion der Form +$P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ +\begin{equation} +\frac{d}{dt} P(t)e^{-t^2} += +P'(t)e^{-t^2} -2tP(t)e^{-t^2} += +(P'(t)-2tP(t)) e^{-t^2} +\label{dreieck:eqn:ableitung} +\end{equation} +ist. +Insbesondere hat die Ableitung wieder die Form $Q(t)e^{-t^2}$ +mit einem Polynome $Q(t)$, welches man auch als +\[ +Q(t) += +e^{t^2}\frac{d}{dt}P(t)e^{-t^2} +\] +erhalten kann. +Die Polynome, die man aus der Funktion $H_0(t)=e^{-t^2}$ durch +Ableiten erhalten kann, wurden bereits in +Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues} +bis auf ein Vorzeichen hergeleitet, sie heissen die Hermite-Polynome +\index{Hermite-Polynome}% +und es gilt +\[ +H_n(t) += +(-1)^n +e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} e^{-t^2}. +\] +Das Vorzeichen dient dazu sicherzustellen, dass der Leitkoeffizient +immer $1$ ist. +Das Polynom $H_n(t)$ hat den Grad $n$. + +In Abschnitt wurde auch gezeigt, dass die Polynome $H_n(t)$ +bezüglich des Skalarproduktes +\[ +\langle f,g\rangle_{w} += +\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t)e^{-t^2}\,dt, +\qquad +w(t)=e^{-t^2}, +\] +orthogonal sind. +Ausserdem folgt aus \eqref{dreieck:eqn:ableitung} +die Rekursionsbeziehung +\begin{equation} +H_{n}(t) += +2tH_{n-1}(t) +- +H_{n-1}'(t) +\label{dreieck:eqn:rekursion} +\end{equation} +für $n>0$. + +Im Hinblick auf die Problemstellung ist jetzt die Frage interessant, +ob die Integranden $H_n(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener +Form haben. +Mit Hilfe der Rekursionsbeziehung~\eqref{dreieck:eqn:rekursion} +kann man für $n>0$ unmittelbar verifizieren, dass +\begin{align*} +\int H_n(t)e^{-t^2}\,dt +&= +\int \bigl( 2tH_{n-1}(t) - H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt +\\ +&= +-\int \bigl( \exp'(-t^2) H_{n-1}(t) + H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt +\\ +&= +-\int \bigl( e^{-t^2}H_{n-1}(t)\bigr)' \,dt += +-e^{-t^2}H_{n-1}(t) +\end{align*} +ist. +Für $n>0$ hat also $H_n(t)e^{-t^2}$ eine elementare Stammfunktion. +Die Hermite-Polynome sind also Lösungen für das +Problem~\ref{dreieck:problem}. diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex index 83ea3cb..8e89f6a 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil2.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex @@ -3,7 +3,113 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Wahrscheinlichkeiten im Dreieckstest -\label{dreieck:section:wahrscheinlichkeiten}} -\rhead{Wahrscheinlichkeiten} +\section{Beliebige Polynome +\label{dreieck:section:beliebig}} +\rhead{Beliebige Polynome} +Im Abschnitt~\ref{dreieck:section:hermite-polynome} wurden die +Hermite-Polynome $H_n(t)$ mit $n>0$ als Lösungen des gestellten +Problems erkannt. +Eine Linearkombination von solchen Polynomen hat natürlich +ebenfalls eine elementare Stammfunktion. +Das Problem kann daher neu formuliert werden: + +\begin{problem} +\label{dreieck:problem2} +Welche Polynome $P(t)$ lassen sich aus den Hermite-Polynomen +$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren? +\end{problem} + +Sei also +\[ +P(t) = p_0 + p_1t + \ldots + p_{n-1}t^{n-1} + p_nt^n +\] +ein beliebiges Polynom vom Grad $n$. +Eine elementare Stammfunktion von $P(t)e^{-t^2}$ existiert sicher, +wenn sich $P(t)$ aus den Funktionen $H_n(t)$ mit $n>0$ linear +kombinieren lässt. +Gesucht ist also zunächst eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination +von Hermite-Polynomen. + +\begin{lemma} +Jedes Polynome $P(t)$ vom Grad $n$ lässt sich auf eindeutige Art und +Weise als Linearkombination +\begin{equation} +P(t) = a_0H_0(t) + a_1H_1(t) + \ldots + a_nH_n(t) += +\sum_{k=0}^n a_nH_n(t) +\label{dreieck:lemma} +\end{equation} +von Hermite-Polynomen schreiben. +\end{lemma} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst halten wir fest, dass aus der +Rekursionsformel~\eqref{dreieck:eqn:rekursion} +folgt, dass der Leitkoeffizient bei jedem Rekursionsschnitt +mit $2$ multipliziert wird. +Der Leitkoeffizient von $H_n(t)$ ist also $2^n$. + +Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion. +Für $n=0$ ist $P(t)=p_0 = p_0 H_0(t)$ als Linearkombination von +Hermite-Polynomen darstellbar, dies ist die Induktionsverankerung. + +Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an, +dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als +Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$ schreiben +lässt und untersuchen ein Polynom $P(t)$ vom Grad $n$. +Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist zerlegen +wir +\[ +P(t) += +\underbrace{\biggl(P(t) - \frac{p_n}{2^n} H_n(t)\biggr)}_{\displaystyle = Q(t)} ++ +\frac{p_n}{2^n} H_n(t). +\] +Das Polynom $Q(t)$ hat Grad $n-1$, besitzt also nach Induktionsannahme +eine Darstellung +\[ +Q(t) = a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) +\] +als Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$. +Somit ist +\[ +P(t) += a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) + +\frac{p_n}{2^n} H_n(t) +\] +eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination der Polynome +$H_0(t),\dots,H_n(t)$. +Damit ist der Induktionsschritt vollzogen und das Lemma für alle +$n$ bewiesen. +\end{proof} + +\begin{satz} +\label{dreieck:satz1} +Die Funktion $P(t)e^{-t^2}$ hat genau dann eine elementare Stammfunktion, +wenn in der Darstellung~\eqref{dreieck:lemma} +von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen $a_0=0$ gilt. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Es ist +\begin{align*} +\int P(t)e^{-t^2}\,dt +&= +a_0\int e^{-t^2}\,dt ++ +\int +\sum_{k=1} a_kH_k(t)\,dt +\\ +&= +a_0 +\frac{\sqrt{\pi}}2 +\operatorname{erf}(t) ++ +\sum_{k=1} a_k\int H_k(t)\,dt. +\end{align*} +Da die Integrale in der Summe alle elementar darstellbar sind, +ist das Integral genau dann elementar, wenn $a_0=0$ ist. +\end{proof} + diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex index e2dfd6b..c0c046a 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex @@ -3,8 +3,75 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Erweiterungen -\label{dreieck:section:erweiterungen}} -\rhead{Erweiterungen} +\section{Integralbedingung +\label{dreieck:section:integralbedingung}} +\rhead{Lösung} +Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das +Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} in einer besonders attraktiven +Integralform zu formulieren. + +Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die +\index{orthogonale Polynome}% +\index{Polynome, orthogonale}% +orthonormierten Polynome +\[ +\tilde{H}_n(t) += +\frac{1}{\| H_n\|_w} H_n(t) +\qquad\text{mit}\quad +\|H_n\|_w^2 += +\int_{-\infty}^\infty H_n(t)e^{-t^2}\,dt +\] +bilden. +Da diese Polynome eine orthonormierte Basis des Vektorraums der Polynome +bilden, kann die gesuchte Zerlegung eines Polynoms $P(t)$ auch mit +Hilfe des Skalarproduktes gefunden werden: +\begin{align*} +P(t) +&= +\sum_{k=1}^n +\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w +\tilde{H}_k(t) += +\sum_{k=1}^n +\biggl\langle \frac{H_k}{\|H_k\|_w}, P\biggr\rangle_w +\frac{H_k(t)}{\|H_k\|_w} += +\sum_{k=1}^n +\underbrace{ +\frac{ \langle H_k, P\rangle_w }{\|H_k\|_w^2} +}_{\displaystyle =a_k} +H_k(t). +\end{align*} +Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen +hat somit die Koeffizienten +\[ +a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}. +\] +Aus dem Kriterium $a_0=0$ dafür, dass eine elementare Stammfunktion +von $P(t)e^{-t^2}$ existiert, wird daher die Bedingung, dass +$\langle H_0,P\rangle_w=0$ ist. +Da $H_0(t)=1$ ist, folgt als Bedingung +\[ +a_0 += +\langle H_0,P\rangle_w += +\int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2}\,dt += +0. +\] + +\begin{satz} +Ein Integrand der Form $P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ +hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn +\[ +\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 +\] +ist. +\end{satz} + + diff --git a/buch/papers/ellfilter/Makefile.inc b/buch/papers/ellfilter/Makefile.inc index 8f20278..97e4089 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/Makefile.inc +++ b/buch/papers/ellfilter/Makefile.inc @@ -3,12 +3,11 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -dependencies-ellfilter = \ - papers/ellfilter/packages.tex \ - papers/ellfilter/main.tex \ - papers/ellfilter/references.bib \ - papers/ellfilter/teil0.tex \ - papers/ellfilter/teil1.tex \ - papers/ellfilter/teil2.tex \ - papers/ellfilter/teil3.tex - +dependencies-ellfilter = \ + papers/ellfilter/packages.tex \ + papers/ellfilter/main.tex \ + papers/ellfilter/references.bib \ + papers/ellfilter/einleitung.tex \ + papers/ellfilter/tschebyscheff.tex \ + papers/ellfilter/jacobi.tex \ + papers/ellfilter/elliptic.tex diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..37fd89f --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +\section{Einleitung} + +% Lineare filter + +% Filter, Signalverarbeitung + + +Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter. +Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen. + +% Bei der Implementierung von Filtern + +In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}). +Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen. +Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen. + + +\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} + | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p} +\end{equation} + +$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz + + +% Linear filter +Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen. + +$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. + +Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren. +Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$. +Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf} + \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.} + \label{ellfilter:fig:butterworth} +\end{figure} + +wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof? + +\begin{align} + F_N(w) & = + \begin{cases} + w^N & \text{Butterworth} \\ + T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\ + [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\ + R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\ + \end{cases} +\end{align} + +Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. +Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete. +Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. +Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. +Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex new file mode 100644 index 0000000..88bfbfe --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -0,0 +1,92 @@ +\section{Elliptische rationale Funktionen} + +Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen +\begin{align} + R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \\ + &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ + &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) +\end{align} + + +sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} +Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. +Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. +Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht. + + + +Sinus entspricht $\sn$ + +Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden. + +Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex} + \caption{ + $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$. + Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch. + } + \label{ellfilter:fig:cd} +\end{figure} +Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben. + +Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jaccobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden. +Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex} + \caption{ + Fundamentales Rechteck der inversen Jaccobi elliptischen Funktionen. + } + \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} +\end{figure} + +Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. +Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$. +Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. + + + +Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex} + \caption{ + $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen passiert. + } + \label{ellfilter:fig:cd2} +\end{figure} +% Da die $\cd^{-1}$-Funktion + + + +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf} + \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.} + \label{ellfilter:fig:elliptic} +\end{figure} + +\subsection{Degree Equation} + +Der $\cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $\cd$-Funktion die Nullstellen und Pole trifft. +Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist. + +\begin{equation} + N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} +\end{equation} + + +Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial. +Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. + + +\subsection{Polynome?} + +Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. +Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole. +Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. + +Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex new file mode 100644 index 0000000..6a208fa --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex @@ -0,0 +1,189 @@ +\section{Jacobische elliptische Funktionen} + +%TODO $z$ or $u$ for parameter? + +Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht. +Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. + +Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen. +Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$. +Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter. +Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert. +Zum andern das Winkelargument $z$. +Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das. +Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft. +Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden. +Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art +\begin{equation} + z + = + F(\phi, k) + = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + } + = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + dt + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + } %TODO which is right? are both functions from phi? +\end{equation} +mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt. + +Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden. +Beim vollständigen Integral +\begin{equation} + K(k) + = + \int_{0}^{\pi / 2} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + } +\end{equation} +wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung. +Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant. +Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch. + +Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$. +Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen. +Insgesamt sind es die zwölf Funktionen +\begin{equation*} + \sn \quad + \ns \quad + \scelliptic \quad + \sd \quad + \cn \quad + \nc \quad + \cs \quad + \cd \quad + \dn \quad + \nd \quad + \ds \quad + \dc. +\end{equation*} + +Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des kompletten elliptischen Integrals erster Art +\begin{equation} + \phi = F^{-1}(z, k) +\end{equation} +definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion invertiert wird, also +\begin{equation} + z = F(\phi, k) + \Leftrightarrow + \phi = F^{-1}(z, k). +\end{equation} +Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden: +\begin{equation} + \sin(\phi) + = + \sin \left( F^{-1}(z, k) \right) + = + \sn(z, k) + = + w +\end{equation} + +\begin{equation} + \phi + = + F^{-1}(z, k) + = + \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) + = + \sin^{-1} ( w ) +\end{equation} + +\begin{equation} + F(\phi, k) + = + z + = + F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k) + = + F( \sin^{-1} ( w ), k) +\end{equation} + +\begin{equation} + \sn^{-1}(w, k) + = + F(\phi, k), + \quad + \phi = \sin^{-1}(w) +\end{equation} + +\begin{align} + \sn^{-1}(w, k) + & = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + }, + \quad + \phi = \sin^{-1}(w) + \\ + & = + \int_{0}^{w} + \frac{ + dt + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + } +\end{align} + +Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert. +Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. +Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. +Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. +\begin{equation} + \frac{ + 1 + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + } + \in \mathbb{R} + \quad \forall \quad + -1 \leq t \leq 1 +\end{equation} +Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist. + + + + +Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch + +In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch. + + + +%TODO sn^{-1} grafik + +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex} + \caption{ + $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$. + Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch. + } + % \label{ellfilter:fig:cd2} +\end{figure} diff --git a/buch/papers/ellfilter/main.tex b/buch/papers/ellfilter/main.tex index 26aaec1..c58dfa7 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/main.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/main.tex @@ -8,29 +8,10 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Nicolas Tobler} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - -\input{papers/ellfilter/teil0.tex} -\input{papers/ellfilter/teil1.tex} -\input{papers/ellfilter/teil2.tex} -\input{papers/ellfilter/teil3.tex} +\input{papers/ellfilter/einleitung.tex} +\input{papers/ellfilter/tschebyscheff.tex} +\input{papers/ellfilter/jacobi.tex} +\input{papers/ellfilter/elliptic.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/ellfilter/packages.tex b/buch/papers/ellfilter/packages.tex index c94db34..9a550e2 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/packages.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/packages.tex @@ -8,3 +8,20 @@ % following example %\usepackage{packagename} +% \usepackage[dvipsnames]{xcolor} + +\usetikzlibrary{trees,shapes,decorations} + +\DeclareMathOperator{\sn}{\mathrm{sn}} +\DeclareMathOperator{\ns}{\mathrm{ns}} +\DeclareMathOperator{\scelliptic}{\mathrm{sc}} +\DeclareMathOperator{\sd}{\mathrm{sd}} +\DeclareMathOperator{\cn}{\mathrm{cn}} +\DeclareMathOperator{\nc}{\mathrm{nc}} +\DeclareMathOperator{\cs}{\mathrm{cs}} +\DeclareMathOperator{\cd}{\mathrm{cd}} +\DeclareMathOperator{\dn}{\mathrm{dn}} +\DeclareMathOperator{\nd}{\mathrm{nd}} +\DeclareMathOperator{\ds}{\mathrm{ds}} +\DeclareMathOperator{\dc}{\mathrm{dc}} + diff --git a/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex b/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..7fdb864 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex @@ -0,0 +1,413 @@ +\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer} + +% style +\mode<presentation>{ + \usetheme{Frankfurt} +} +%packages +\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-} +\usepackage[english]{babel} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{array} + +\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\usepackage{ragged2e} + +\usepackage{bm} % bold math +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{multirow} % multi row in tables +\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables +\usepackage{scrextend} +\usepackage{textgreek} +\usepackage[rgb]{xcolor} + +\usepackage{ marvosym } % \Lightning + +\usepackage{multimedia} % embedded videos + +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgf} +\usepackage{pgfplots} + +\usepackage{algorithmic} + +%citations +\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + + +%math font +\usefonttheme[onlymath]{serif} + +%Beamer Template modifications +%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink +\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink +\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green + +%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue +\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette 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Jaccobi elliptischen Funktionen} +\author{Nicolas Tobler} +% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule} +% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}} +\date{\today} + +\input{../packages.tex} + +\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}% + +\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}} +\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}} +\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}} +\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + + +\makeatletter +\newcount\my@repeat@count +\newcommand{\myrepeat}[2]{% + \begingroup + \my@repeat@count=\z@ + \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}% + \endgroup +} +\makeatother + +\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings} + +\begin{document} + + \begin{frame} + \titlepage + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Content} + \tableofcontents + \end{frame} + + \section{Linear Filter} + + \begin{frame} + \frametitle{Lineare Filter} + + + \begin{equation} + | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p} + \end{equation} + + \pause + + \begin{equation} + F_N(w) = w^N + \end{equation} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Beispiel: Butterworth Filter} + + \begin{equation} + F_N(w) = w^N + \end{equation} + + \begin{center} + \input{../python/F_N_butterworth.pgf} + \end{center} + + \end{frame} + + + \begin{frame} + \frametitle{Arten von linearen filtern} + + \begin{align*} + F_N(w) & = + \begin{cases} + w^N & \text{Butterworth} \\ + T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\ + [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\ + R_N(w,\xi) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\ + \end{cases} + \end{align*} + + \end{frame} + + \section{Tschebycheff Filter} + + \begin{frame} + \frametitle{Tschebyscheff-Polynome} + + + \begin{columns} + \begin{column}[T]{0.35\textwidth} + + \begin{align*} + T_{0}(x)&=1\\ + T_{1}(x)&=x\\ + T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ + T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ + T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x) + \end{align*} + + \end{column} + \begin{column}[T]{0.65\textwidth} + + \begin{center} + \resizebox{\textwidth}{!}{ + \input{../python/F_N_chebychev2.pgf} + } + \end{center} + + \end{column} + \end{columns} + + + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Tschebyscheff-Filter} + + \begin{equation*} + | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 T_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p} + \end{equation*} + + \begin{center} + \scalebox{0.9}{ + \input{../python/F_N_chebychev.pgf} + } + \end{center} + + \end{frame} + + + \begin{frame} + \frametitle{Tschebyscheff-Filter} + + Darstellung mit trigonometrischen Funktionen: + + \begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} + T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ + &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) + \end{align} + + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Tschebyscheff-Filter} + + \begin{equation*} + z = \cos^{-1}(w) + \end{equation*} + + \begin{center} + \scalebox{0.85}{ + \input{../tikz/arccos.tikz.tex} + } + \end{center} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Tschebyscheff-Filter} + + \begin{equation*} + z_1 = N~\cos^{-1}(w) + \end{equation*} + + \begin{center} + \scalebox{0.85}{ + \input{../tikz/arccos2.tikz.tex} + } + \end{center} + + \end{frame} + + + \section{Jaccobi elliptische Funktionen} + + \begin{frame} + \frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen} + + + \begin{equation} + z + = + F(\phi, k) + = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + } + = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + dt + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + } + \end{equation} + + \begin{equation} + K(k) + = + \int_{0}^{\pi / 2} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + } + \end{equation} + + + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen} + + \begin{equation*} + z = \sn^{-1}(w, k) + \end{equation*} + + \begin{center} + \scalebox{0.7}{ + \input{../tikz/sn.tikz.tex} + } + \end{center} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Fundamentales Rechteck} + + Nullstelle beim ersten Buchstabe, Polstelle beim zweiten Buchstabe + + \begin{center} + \scalebox{0.8}{ + \input{../tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex} + } + \end{center} + + \end{frame} + + + \begin{frame} + \frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen} + + \begin{equation*} + z = \cd^{-1}(w, k) + \end{equation*} + + \begin{center} + \scalebox{0.7}{ + \input{../tikz/cd.tikz.tex} + + } + \end{center} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Periodizität in realer und imaginärer Richtung} + + \begin{center} + \input{../python/k.pgf} + \end{center} + + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Elliptisches Filter} + + \begin{equation*} + z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k) + \end{equation*} + + \begin{center} + \scalebox{0.8}{ + \input{../tikz/cd2.tikz.tex} + } + \end{center} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Elliptisches Filter} + + \begin{columns} + + \begin{column}[T]{0.5\textwidth} + + \begin{center} + \resizebox{\textwidth}{!}{ + \input{../python/F_N_elliptic.pgf} + } + \end{center} + + \end{column} + \begin{column}[T]{0.5\textwidth} + + \begin{center} + \resizebox{\textwidth}{!}{ + \input{../python/elliptic.pgf} + } + \end{center} + + \end{column} + \end{columns} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Gradgleichung} + + \begin{equation} + N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} + \end{equation} + + \end{frame} + + \end{document} diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf new file mode 100644 index 0000000..857e363 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf @@ -0,0 +1,1083 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% 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+\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.144219in,y=1.886060in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=2\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.172549,0.627451,0.172549}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.755330in}{1.740998in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.894219in}{1.740998in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.033108in}{1.740998in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.144219in,y=1.692387in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=3\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.839216,0.152941,0.156863}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.755330in}{1.547325in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.894219in}{1.547325in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.033108in}{1.547325in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.144219in,y=1.498714in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=4\)}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfpicture}% +\makeatother% +\endgroup% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf new file mode 100644 index 0000000..72d5834 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf @@ -0,0 +1,1066 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.727004in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.727004in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.630330in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetfillopacity{0.200000}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.200000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.694779in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.694779in}{1.425362in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.630330in}{1.425362in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetfillopacity{0.200000}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.200000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.694779in}{1.425362in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.727004in}{1.425362in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.727004in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.694779in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.694779in}{1.425362in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.630330in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{0.630330in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=0.630330in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.00}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.146442in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.146442in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{1.146442in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.146442in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.25}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.662555in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.662555in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{1.662555in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.662555in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.50}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.178667in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.178667in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{2.178667in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=2.178667in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.75}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.694779in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.694779in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{2.694779in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=2.694779in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.00}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.096674in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% 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+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.630330in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.727004in}{0.548769in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.630330in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.727004in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetfillopacity{0.800000}% +\pgfsetlinewidth{1.003750pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.800000,0.800000,0.800000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.800000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.803974in}{0.618213in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.629782in}{0.618213in}}% +\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{3.657560in}{0.618213in}}{\pgfqpoint{3.657560in}{0.645991in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.657560in}{1.406793in}}% +\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{3.657560in}{1.434571in}}{\pgfqpoint{3.629782in}{1.434571in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.803974in}{1.434571in}}% +\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{2.776196in}{1.434571in}}{\pgfqpoint{2.776196in}{1.406793in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.776196in}{0.645991in}}% +\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{2.776196in}{0.618213in}}{\pgfqpoint{2.803974in}{0.618213in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.803974in}{0.618213in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{stroke,fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.831751in}{1.330404in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.970640in}{1.330404in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.109529in}{1.330404in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.220640in,y=1.281793in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=1\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.498039,0.054902}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.831751in}{1.136732in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.970640in}{1.136732in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.109529in}{1.136732in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.220640in,y=1.088120in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=2\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.172549,0.627451,0.172549}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.831751in}{0.943059in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.970640in}{0.943059in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.109529in}{0.943059in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.220640in,y=0.894448in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=3\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.839216,0.152941,0.156863}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.831751in}{0.749386in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.970640in}{0.749386in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.109529in}{0.749386in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.220640in,y=0.700775in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=4\)}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfpicture}% +\makeatother% +\endgroup% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf new file mode 100644 index 0000000..43ebb91 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf @@ -0,0 +1,1023 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{5.500000in}{2.500000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.500000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.500000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.350000in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.350000in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{4.732046in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.012292in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.012292in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{1.012292in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.012292in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {\ensuremath{-}1.0}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{4.732046in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.998134in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.998134in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{1.998134in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.998134in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {\ensuremath{-}0.5}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{4.732046in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.983977in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.983977in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{2.983977in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=2.983977in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{4.732046in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.969820in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.969820in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{3.969820in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.969820in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{4.732046in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% 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+\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.131843in,y=1.886060in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=6\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.172549,0.627451,0.172549}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.742954in}{1.740998in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.881843in}{1.740998in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.020732in}{1.740998in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.131843in,y=1.692387in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=11\)}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfpicture}% +\makeatother% +\endgroup% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf new file mode 100644 index 0000000..03084c6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf @@ -0,0 +1,847 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% 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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.802975in}{2.024949in}}% +\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{0.802975in}{1.997171in}}{\pgfqpoint{0.830753in}{1.997171in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.830753in}{1.997171in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{stroke,fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.003750pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.858531in}{2.128344in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.997420in}{2.128344in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.136309in}{2.128344in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.247420in,y=2.079733in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=5, k=0.1\)}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfpicture}% +\makeatother% +\endgroup% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/chebychef.py b/buch/papers/ellfilter/python/chebychef.py new file mode 100644 index 0000000..254ad4b --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/chebychef.py @@ -0,0 +1,66 @@ +# %% + +import matplotlib.pyplot as plt +import scipy.signal +import numpy as np + + +order = 5 +passband_ripple_db = 1 +omega_c = 1000 + +a, b = scipy.signal.cheby1( + order, + passband_ripple_db, + omega_c, + btype='low', + analog=True, + output='ba', + fs=None, +) + +w, mag, phase = scipy.signal.bode((a, b), w=np.linspace(0,2000,256)) +f, axs = plt.subplots(2,1, sharex=True) +axs[0].plot(w, 10**(mag/20)) +axs[0].set_ylabel("$|H(\omega)| /$ db") +axs[0].grid(True, "both") +axs[1].plot(w, phase) +axs[1].set_ylabel(r"$arg H (\omega) / $ deg") +axs[1].grid(True, "both") +axs[1].set_xlim([0, 2000]) +axs[1].set_xlabel("$\omega$") +plt.show() + + +# %% Cheychev filter F_N plot + +w = np.linspace(-1.1,1.1, 1000) +plt.figure(figsize=(5.5,2.5)) +for N in [3,6,11]: + # F_N = np.cos(N * np.arccos(w)) + F_N = scipy.special.eval_chebyt(N, w) + plt.plot(w, F_N, label=f"$N={N}$") +plt.xlim([-1.2,1.2]) +plt.ylim([-2,2]) +plt.grid() +plt.xlabel("$w$") +plt.ylabel("$T_N(w)$") +plt.legend() +plt.tight_layout() +plt.savefig("F_N_chebychev2.pgf") +plt.show() + +# %% Build Chebychev polynomials + +N = 11 + +zeros = (np.arange(N)+0.5) * np.pi +zeros = np.cos(zeros/N) + +x = np.linspace(-1.2,1.2,1000) +y = np.prod(x[:, None] - zeros[None, :], axis=-1)*2**(N-1) + +plt.plot(x, y) +plt.ylim([-1,1]) +plt.grid() +plt.show() diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf new file mode 100644 index 0000000..31b77d4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf @@ -0,0 +1,709 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetfillopacity{0.200000}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.200000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.788459in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{1.788459in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{3.541645in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{3.541645in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.788459in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetfillopacity{0.200000}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.200000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.724087in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.724087in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{1.788459in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{1.788459in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.724087in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetfillopacity{0.200000}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.200000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.777315in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.777315in}{0.724087in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.724087in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.548769in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{0.617954in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=0.617954in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.403865in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.403865in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{1.403865in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=1.403865in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{2.189776in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=2.189776in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.975686in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.975686in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}% +\pgfusepath{stroke,fill}% +}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsys@transformshift{2.975686in}{0.548769in}% +\pgfsys@useobject{currentmarker}{}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=2.975686in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.5}\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% 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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}% +\pgfusepath{stroke}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfpicture}% +\makeatother% +\endgroup% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py new file mode 100644 index 0000000..b3336a1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py @@ -0,0 +1,356 @@ + +# %% + +import scipy.special +import scipyx as spx +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +from matplotlib.patches import Rectangle + +import plot_params + +def last_color(): + return plt.gca().lines[-1].get_color() + +# define elliptic functions + +def ell_int(k): + """ Calculate K(k) """ + m = k**2 + return scipy.special.ellipk(m) + +def sn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[0] + +def cn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[1] + +def dn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[2] + +def cd(z, k): + sn, cn, dn, ph = spx.ellipj(z, k**2) + return cn / dn + +# https://mathworld.wolfram.com/JacobiEllipticFunctions.html eq 3-8 + +def sn_inv(z, k): + m = k**2 + return scipy.special.ellipkinc(np.arcsin(z), m) + +def cn_inv(z, k): + m = k**2 + return scipy.special.ellipkinc(np.arccos(z), m) + +def dn_inv(z, k): + m = k**2 + x = np.sqrt((1-z**2) / k**2) + return scipy.special.ellipkinc(np.arcsin(x), m) + +def cd_inv(z, k): + m = k**2 + x = np.sqrt(((m - 1) * z**2) / (m*z**2 - 1)) + return scipy.special.ellipkinc(np.arccos(x), m) + + +k = 0.8 +z = 0.5 + +assert np.allclose(sn_inv(sn(z ,k), k), z) +assert np.allclose(cn_inv(cn(z ,k), k), z) +assert np.allclose(dn_inv(dn(z ,k), k), z) +assert np.allclose(cd_inv(cd(z ,k), k), z) + + +# %% Buttwerworth filter F_N plot + +w = np.linspace(0,1.5, 100) +plt.figure(figsize=(4,2.5)) + +for N in range(1,5): + F_N = w**N + plt.plot(w, F_N**2, label=f"$N={N}$") +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (0, 0), + 1, 1, + fc ='green', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (1, 1), + 0.5, 1, + fc ='orange', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) +plt.xlim([0,1.5]) +plt.ylim([0,2]) +plt.grid() +plt.xlabel("$w$") +plt.ylabel("$F^2_N(w)$") +plt.legend() +plt.tight_layout() +plt.savefig("F_N_butterworth.pgf") +plt.show() + +# %% Cheychev filter F_N plot + +w = np.linspace(0,1.5, 100) + +plt.figure(figsize=(4,2.5)) +for N in range(1,5): + # F_N = np.cos(N * np.arccos(w)) + F_N = scipy.special.eval_chebyt(N, w) + plt.plot(w, F_N**2, label=f"$N={N}$") +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (0, 0), + 1, 1, + fc ='green', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (1, 1), + 0.5, 1, + fc ='orange', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) +plt.xlim([0,1.5]) +plt.ylim([0,2]) +plt.grid() +plt.xlabel("$w$") +plt.ylabel("$F^2_N(w)$") +plt.legend() +plt.tight_layout() +plt.savefig("F_N_chebychev.pgf") +plt.show() + + +# %% plot arcsin + +def lattice(a1, b1, c1, a2, b2, c2): + r1 = np.logspace(a1, b1, c1) + x1 = np.concatenate((-np.flip(r1), [0], r1), axis=0) + x1 = x1.astype(np.complex128) + r2 = np.logspace(a2, b2, c2) + x2 = np.concatenate((-np.flip(r2), [0], r2), axis=0) + x2 = x2.astype(np.complex128) + x = (x1[:, None] + (x2[None, :] * 1j)) + return x + +plt.figure(figsize=(12,12)) +y = np.arcsin(lattice(-1,6,1000, -1,5,10)) +plt.plot(np.real(y), np.imag(y), "-", color="red", lw=0.5) +y = np.arcsin(lattice(-1,6,10, -1,5,100)).T +plt.plot(np.real(y), np.imag(y), "-", color="red", lw=0.5) +y = np.arcsin(lattice(-1,6,10, -1,5,10)) +plt.plot(np.real(y), np.imag(y), ".", color="red", lw=0.5) +plt.show() + +# %% plot cd^-1 TODO complex cd^-1 missing + + +r = np.logspace(-1,8, 50) + + + +x = np.concatenate((-np.flip(r), [0], r), axis=0) +y = cd_inv(x, 0.99) + +plt.figure(figsize=(12,12)) +plt.plot(np.real(y), np.imag(y), "-") +plt.show() + +# %%plot cd +plt.figure(figsize=(10,6)) +z = np.linspace(-4,4, 500) +for k in [0, 0.9, 0.99, 0.999, 0.99999]: + w = cd(z*ell_int(k), k) + plt.plot(z, w, label=f"$k={k}$") +plt.grid() +plt.legend() +# plt.xlim([-4,4]) +plt.xlabel("$u$") +plt.ylabel("$cd(uK, k)$") +plt.show() + +# %% Test ???? + +N = 5 +k = 0.9 +k1 = k**N + +assert np.allclose(k**(-N), k1**(-1)) + +K = ell_int(k) +Kp = ell_int(np.sqrt(1-k**2)) + +K1 = ell_int(k1) +Kp1 = ell_int(np.sqrt(1-k1**2)) + +print(Kp * (K1 / K) * N, Kp1) + + +# %% + + +k = 0.9 +k_prim = np.sqrt(1 - k**2) +K = ell_int(k) +Kp = ell_int(k_prim) + +print(K, Kp) + +zs = [ + 0 + (K + 0j) * np.linspace(0,1,25), + K + (Kp*1j) * np.linspace(0,1,25), + (K + Kp*1j) + (-K) * np.linspace(0,1,25), +] + + +for z in zs: + plt.plot(np.real(z), np.imag(z)) +plt.show() + + + +for z in zs: + w = cd(z, k) + plt.plot(np.real(w), np.imag(w)) +plt.show() + + + + + +# %% + +for i in range(10): + x = np.linspace(i*1,i*1+1,10, dtype=np.complex64) + w = np.arccos(x) + + x2 = np.cos(w) + x4 = np.cos(w+ 2*np.pi) + x3 = np.cos(np.conj(w)) + + assert np.allclose(x2, x4, rtol=0.001, atol=1e-5) + + assert np.allclose(x2, x3) + assert np.allclose(x2, x, rtol=0.001, atol=1e-5) + + plt.plot(np.real(w), np.imag(w), ".-") + +for i in range(10): + x = -np.linspace(i*1,i*1+1,100, dtype=np.complex64) + w = np.arccos(x) + plt.plot(np.real(w), np.imag(w), ".-") + +plt.grid() +plt.show() + + + + +# %% + +plt.plot(omega, np.abs(G)) +plt.show() + + +def cd_inv(u, m): + return K(1/2) - F(np.arcsin()) + +def K(m): + return scipy.special.ellipk(m) + +def L(n, xi): + return 1 #TODO + +def R(n, xi, x): + cn(n*K(1/L(n, xi))/K(1/xi) * cd_inv(x, 1/xi, 1/L(n, xi))) + +epsilon = 0.1 +n = 3 +omega = np.linspace(0, np.pi, 1000) +omega_0 = 1 +xi = 1.1 + +G = 1 / np.sqrt(1 + epsilon**2 * R(n, xi, omega/omega_0)**2) + + +plt.plot(omega, np.abs(G)) +plt.show() + + + +# %% Chebychef + +epsilon = 0.5 +omega = np.linspace(0, np.pi, 1000) +omega_0 = 1 +n = 4 + +def chebychef_poly(n, x): + x = x.astype(np.complex64) + y = np.cos(n* np.arccos(x)) + return np.real(y) + +F_omega = chebychef_poly + +for n in (1,2,3,4): + plt.plot(omega, F_omega(n, omega/omega_0)**2) +plt.ylim([0,5]) +plt.xlim([0,1.5]) +plt.grid() +plt.show() + +for n in (1,2,3,4): + G = 1 / np.sqrt(1 + epsilon**2 * F_omega(n, omega/omega_0)**2) + plt.plot(omega, np.abs(G)) +plt.grid() +plt.show() + + + + +# %% + + +k = np.concatenate(([0.00001,0.0001,0.001], np.linspace(0,1,101)[1:-1], [0.999,0.9999, 0.99999]), axis=0) +K = ell_int(k) +K_prime = ell_int(np.sqrt(1-k**2)) + + +f, axs = plt.subplots(1,2, figsize=(5,2.5)) +axs[0].plot(k, K, linewidth=0.1) +axs[0].text(k[30], K[30]+0.1, f"$K$") +axs[0].plot(k, K_prime, linewidth=0.1) +axs[0].text(k[30], K_prime[30]+0.1, f"$K^\prime$") +axs[0].set_xlim([0,1]) +axs[0].set_ylim([0,4]) +axs[0].set_xlabel("$k$") + +axs[1].axvline(x=np.pi/2, color="gray", linewidth=0.5) +axs[1].axhline(y=np.pi/2, color="gray", linewidth=0.5) +axs[1].text(0.1, np.pi/2 + 0.1, "$\pi/2$") +axs[1].text(np.pi/2+0.1, 0.1, "$\pi/2$") +axs[1].plot(K, K_prime, linewidth=1) + +k = np.array([0.1,0.2,0.4,0.6,0.9,0.99]) +K = ell_int(k) +K_prime = ell_int(np.sqrt(1-k**2)) + +axs[1].plot(K, K_prime, '.', color=last_color(), markersize=2) +for x, y, n in zip(K, K_prime, k): + axs[1].text(x+0.1, y+0.1, f"$k={n:.2f}$", rotation_mode="anchor") +axs[1].set_ylabel("$K^\prime$") +axs[1].set_xlabel("$K$") +axs[1].set_xlim([0,6]) +axs[1].set_ylim([0,5]) +plt.tight_layout() +plt.savefig("k.pgf") +plt.show() + +print(K[0], K[-1]) diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py new file mode 100644 index 0000000..29c6f47 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py @@ -0,0 +1,149 @@ +# %% + +import matplotlib.pyplot as plt +import scipy.signal +import numpy as np +import matplotlib +from matplotlib.patches import Rectangle + +import plot_params + +def ellip_filter(N): + + order = N + passband_ripple_db = 3 + stopband_attenuation_db = 20 + omega_c = 1 + + a, b = scipy.signal.ellip( + order, + passband_ripple_db, + stopband_attenuation_db, + omega_c, + btype='low', + analog=True, + output='ba', + fs=None + ) + + w, mag_db, phase = scipy.signal.bode((a, b), w=np.linspace(0*omega_c,2*omega_c, 4000)) + + mag = 10**(mag_db/20) + + passband_ripple = 10**(-passband_ripple_db/20) + epsilon2 = (1/passband_ripple)**2 - 1 + + FN2 = ((1/mag**2) - 1) + + return w/omega_c, FN2 / epsilon2, mag, a, b + + +plt.figure(figsize=(4,2.5)) + +for N in [5]: + w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N) + plt.semilogy(w, FN2, label=f"$N={N}, k=0.1$", linewidth=1) + +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (0, 0), + 1, 1, + fc ='green', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (1, 1), + 0.01, 1e2-1, + fc ='orange', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) + +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (1.01, 100), + 1, 1e6, + fc ='red', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) + +zeros = [0,0.87,1] +poles = [1.01,1.155] + +import matplotlib.transforms +plt.plot( # mark errors as vertical bars + zeros, + np.zeros_like(zeros), + "o", + mfc='none', + color='black', + transform=matplotlib.transforms.blended_transform_factory( + plt.gca().transData, + plt.gca().transAxes, + ), +) +plt.plot( # mark errors as vertical bars + poles, + np.ones_like(poles), + "x", + mfc='none', + color='black', + transform=matplotlib.transforms.blended_transform_factory( + plt.gca().transData, + plt.gca().transAxes, + ), +) + +plt.xlim([0,2]) +plt.ylim([1e-4,1e6]) +plt.grid() +plt.xlabel("$w$") +plt.ylabel("$F^2_N(w)$") +plt.legend() +plt.tight_layout() +plt.savefig("F_N_elliptic.pgf") +plt.show() + + + +plt.figure(figsize=(4,2.5)) +plt.plot(w, mag, linewidth=1) + +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (0, np.sqrt(2)/2), + 1, 1, + fc ='green', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (1, 0.1), + 0.01, np.sqrt(2)/2 - 0.1, + fc ='orange', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) + +plt.gca().add_patch(Rectangle( + (1.01, 0), + 1, 0.1, + fc ='red', + alpha=0.2, + lw = 10, +)) + +plt.grid() +plt.xlim([0,2]) +plt.ylim([0,1]) +plt.xlabel("$w$") +plt.ylabel("$|H(w)|$") +plt.tight_layout() +plt.savefig("elliptic.pgf") +plt.show() + +print("zeros", a) +print("poles", b) + + + + diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf new file mode 100644 index 0000000..95d61d4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf @@ -0,0 +1,1157 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{5.000000in}{2.500000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetstrokeopacity{0.000000}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.316407in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.256930in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.256930in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.316407in}{2.301955in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.316407in}{0.548769in}}% +\pgfpathclose% +\pgfusepath{fill}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetroundjoin% +\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetfillcolor{currentfill}% +\pgfsetlinewidth{0.803000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% 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+\pgftext[x=3.420452in,y=1.641394in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.20\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.437636in,y=1.411078in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.40\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.473456in,y=1.283460in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.60\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.644803in,y=1.164003in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.90\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% +\pgfsetstrokecolor{textcolor}% +\pgfsetfillcolor{textcolor}% +\pgftext[x=3.992820in,y=1.137383in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.99\)}% +\end{pgfscope}% +\end{pgfpicture}% +\makeatother% +\endgroup% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/plot_params.py b/buch/papers/ellfilter/python/plot_params.py new file mode 100644 index 0000000..4ddd1d8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/plot_params.py @@ -0,0 +1,9 @@ +import matplotlib + +matplotlib.rcParams.update({ + "pgf.texsystem": "pdflatex", + 'font.family': 'serif', + 'font.size': 9, + 'text.usetex': True, + 'pgf.rcfonts': False, +}) diff --git a/buch/papers/ellfilter/references.bib b/buch/papers/ellfilter/references.bib index 81b3577..8f21971 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/references.bib +++ b/buch/papers/ellfilter/references.bib @@ -4,32 +4,19 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{ellfilter:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} -} - -@book{ellfilter:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{ellfilter:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +@online{ellfilter:bib:orfanidis, + author = { Sophocles J. Orfanidis}, + title = { LECTURE NOTES ON ELLIPTIC FILTER DESIGN }, + year = 2006, + url = {https://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ece521/notes.pdf} } +% Schwalm +% https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_rational_functions +% https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_function +% https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions +% https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisches_Integral +% https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Polynom +% https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_filter +% https://mathworld.wolfram.com/JacobiEllipticFunctions.html +% https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html diff --git a/buch/papers/ellfilter/teil0.tex b/buch/papers/ellfilter/teil0.tex deleted file mode 100644 index fd04ba9..0000000 --- a/buch/papers/ellfilter/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{ellfilter:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{ellfilter:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/ellfilter/teil1.tex b/buch/papers/ellfilter/teil1.tex deleted file mode 100644 index 7e62a2f..0000000 --- a/buch/papers/ellfilter/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{ellfilter:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{ellfilter:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{ellfilter:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{ellfilter:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{ellfilter:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/ellfilter/teil2.tex b/buch/papers/ellfilter/teil2.tex deleted file mode 100644 index 71fdc6d..0000000 --- a/buch/papers/ellfilter/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{ellfilter:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{ellfilter:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/ellfilter/teil3.tex b/buch/papers/ellfilter/teil3.tex deleted file mode 100644 index 79a5f3d..0000000 --- a/buch/papers/ellfilter/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{ellfilter:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{ellfilter:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..2772620 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \draw[gray, ->] (0,-2) -- (0,2) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; + \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; + + \begin{scope}[xscale=0.6] + + \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2); + + \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,1.5); + \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0); + \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0); + \draw[thick, ->, blue] (2,1.5) -- (2, 0); + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \begin{scope}[opacity=0.5, xshift=\i*4cm] + \draw[->, orange] (-1, 0) -- (0,0); + \draw[->, darkgreen] (0, 0) -- (0,1.5); + \draw[->, darkgreen] (0, 0) -- (0,-1.5); + \draw[->, orange] (1, 0) -- (0,0); + \draw[->, red] (2, 0) -- (1,0); + \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0); + \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0); + \draw[->, red] (2, 0) -- (3,0); + + \node[zero] at (1,0) {}; + \node[zero] at (3,0) {}; + \end{scope} + } + + \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (-2,0) {$-\pi$}; + % \node[gray, anchor=north] at (0,0) {$0$}; + \node[gray, anchor=north] at (2,0) {$\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (4,0) {$2\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (6,0) {$3\pi$}; + + \node[gray, anchor=east] at (0,-1.5) {$-\infty$}; + % \node[gray, anchor=south east] at (0, 0) {$0$}; + \node[gray, anchor=east] at (0, 1.5) {$\infty$}; + + \end{scope} + + \begin{scope}[yshift=-2.5cm] + + \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$}; + + \draw[thick, ->, blue] (-4, 0) -- (-2, 0); + \draw[thick, ->, red] (-2, 0) -- (0, 0); + \draw[thick, ->, orange] (0, 0) -- (2, 0); + \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (4, 0); + + \node[anchor=south] at (-4,0) {$-\infty$}; + \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$}; + \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + \node[anchor=south] at (4,0) {$\infty$}; + + \end{scope} + + +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..3fc3cc6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=0.5] + + \draw[gray, ->] (0,-2) -- (0,2) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$}; + \draw[gray, ->] (-10,0) -- (10,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$}; + + \begin{scope} + + \draw[>->, line width=0.05, thick, blue] (2, 1.5) -- (2,0.05) -- node[anchor=south, pos=0.5]{$N=1$} (0.1,0.05) -- (0.1,1.5); + \draw[>->, line width=0.05, thick, orange] (4, 1.5) -- (4,0) -- node[anchor=south, pos=0.25]{$N=2$} (0,0) -- (0,1.5); + \draw[>->, line width=0.05, thick, red] (6, 1.5) node[anchor=north west]{$-\infty$} -- (6,-0.05) node[anchor=west]{$-1$} -- node[anchor=north]{$0$} node[anchor=south, pos=0.1666]{$N=3$} (-0.1,-0.05) node[anchor=east]{$1$} -- (-0.1,1.5) node[anchor=north east]{$\infty$}; + + + \node[zero] at (-7,0) {}; + \node[zero] at (-5,0) {}; + \node[zero] at (-3,0) {}; + \node[zero] at (-1,0) {}; + \node[zero] at (1,0) {}; + \node[zero] at (3,0) {}; + \node[zero] at (5,0) {}; + \node[zero] at (7,0) {}; + + + \end{scope} + + \node[gray, anchor=north] at (-8,0) {$-4\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (-2,0) {$-\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (2,0) {$\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (4,0) {$2\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (6,0) {$3\pi$}; + \node[gray, anchor=north] at (8,0) {$4\pi$}; + + + \node[gray, anchor=east] at (0,-1.5) {$-\infty$}; + \node[gray, anchor=east] at (0, 1.5) {$\infty$}; + + \end{scope} + +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..7155a85 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex @@ -0,0 +1,87 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=1, yscale=2] + + \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; + \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; + + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; + + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + + \begin{scope} + + \begin{scope}[xshift=0cm] + + \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); + + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + + + \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0); + \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0); + \draw[thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[thick, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5); + + + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, orange] (1, 0) -- (0,0); + \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (1,0); + \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[opacity=0.5, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0,1) -- (0,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 1); + \draw[opacity=0.5, ->, purple] (3, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (4, 0.5) -- (3,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (3,0); + \draw[opacity=0.5, ->, orange] (3, 0) -- (4,0); + + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + + \end{scope} + } + } + + \end{scope} + + \end{scope} + + \end{scope} + + \begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=0.75] + + \draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$}; + + \draw[thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0); + \draw[thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0); + \draw[thick, ->, red] (-2, 0) -- (0, 0); + \draw[thick, ->, orange] (0, 0) -- (2, 0); + \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (3, 0); + \draw[thick, ->, cyan] (3, 0) -- (5, 0); + + \node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$}; + \node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$}; + \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$}; + \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$}; + \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$}; + + \end{scope} + +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..0743f7d --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] + + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=2.5] + + \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$}; + \draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$}; + + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$}; + \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime_1$}; + + \begin{scope} + + \clip(-1.5,-0.75) rectangle (6.8,1.25); + + % \draw[>->, line width=0.05, thick, blue] (1, 0.45) -- (2, 0.45) -- (2, 0.05) -- ( 0.1, 0.05) -- ( 0.1,0.45) -- (1, 0.45); + % \draw[>->, line width=0.05, thick, orange] (2, 0.5 ) -- (4, 0.5 ) -- (4, 0 ) -- ( 0 , 0 ) -- ( 0 ,0.5 ) -- (2, 0.5 ); + % \draw[>->, line width=0.05, thick, red] (3, 0.55) -- (6, 0.55) -- (6,-0.05) -- (-0.1,-0.05) -- (-0.1,0.55) -- (3, 0.55); + % \node[blue] at (1, 0.25) {$N=1$}; + % \node[orange] at (3, 0.25) {$N=2$}; + % \node[red] at (5, 0.25) {$N=3$}; + + + + % \draw[line width=0.1cm, fill, red!50] (0,0) rectangle (3, 0.5); + % \draw[line width=0.05cm, fill, orange!50] (0,0) rectangle (2, 0.5); + % \fill[yellow!50] (0,0) rectangle (1, 0.5); + % \node[] at (0.5, 0.25) {\small $N=1$}; + % \node[] at (1.5, 0.25) {\small $N=2$}; + % \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$}; + + \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$}; + + + \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm] + (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK$} + (0,0.5) node(t_k_opt_unten){}; + + \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, xshift=0.1cm] + (5,0) node(t_k_unten){} -- node[right, xshift=0.1cm]{$K^\prime \frac{K_1N}{K} = K^\prime_1$} + (5,0.5) node(t_k_opt_unten){}; + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + + \end{scope} + } + } + + + + + \draw[thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0); + \draw[thick, ->, orange] (-0, 0) -- node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5); + \draw[thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.5cm]{Sperrbereich} (5, 0.5); + + \draw (4,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $1$}; + \draw (2,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $-1$}; + \draw (0,0 ) node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$}; + \draw (0,0.5) node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$}; + \draw (2,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $-1/k$}; + \draw (4,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $1/k$}; + + + + \end{scope} + + + \end{scope} + +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..921dbfa --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=2, yscale=2] + + \draw[gray, ->] (0,-0.25) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; + \draw[gray, ->] (-0.25,0) -- (1.5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; + + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; + + \draw[gray] (0, 1) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + \fill[yellow!50] (0,0) rectangle (1, 1); + + \node[anchor=south east] at ( 1,0) {$c$}; + \node[anchor=north east] at ( 1,1) {$d$}; + \node[anchor=north west] at ( 0,1) {$n$}; + \node[anchor=south west] at ( 0,0) {$s$}; + + \end{scope} + + +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..87c63c0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=1, yscale=2] + + \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; + \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; + + \begin{scope} + + \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); + + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + + \begin{scope}[xshift=-1cm] + + \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0); + \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0); + \draw[thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[thick, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5); + + + \foreach \i in {-2,...,2} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, orange] (1, 0) -- (0,0); + \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (1,0); + \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[opacity=0.5, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0,1) -- (0,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 1); + \draw[opacity=0.5, ->, purple] (3, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (4, 0.5) -- (3,0.5); + \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (3,0); + \draw[opacity=0.5, ->, orange] (3, 0) -- (4,0); + + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + + \end{scope} + } + } + + \end{scope} + + \end{scope} + + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + + + \end{scope} + + \begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=0.75] + + \draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$}; + + \draw[thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0); + \draw[thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0); + \draw[thick, ->, red] (-2, 0) -- (0, 0); + \draw[thick, ->, orange] (0, 0) -- (2, 0); + \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (3, 0); + \draw[thick, ->, cyan] (3, 0) -- (5, 0); + + \node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$}; + \node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$}; + \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$}; + \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$}; + \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$}; + + \end{scope} + + +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex new file mode 100644 index 0000000..7d426b6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -0,0 +1,133 @@ +\section{Tschebyscheff-Filter} + +Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter. +Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon. + +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind: +\begin{align} + T_{0}(x)&=1\\ + T_{1}(x)&=x\\ + T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ + T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ + T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x). +\end{align} +Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion +\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} + T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ + &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) +\end{align} +übereinstimmt. +Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf} + \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.} + \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} +\end{figure} +Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt. +Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$. +Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter. +Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf} + \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.} + \label{ellfiter:fig:chebychef} +\end{figure} + + +Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. +Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. + +Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. +Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden: +\begin{align} + \cos^{-1}(x) + &= + \int_{x}^{1} + \frac{ + dz + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + }\\ + &= + \int_{0}^{x} + \frac{ + -1 + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } + ~dz + + \frac{\pi}{2} +\end{align} +Der Integrand oder auch die Ableitung +\begin{equation} + \frac{ + -1 + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } +\end{equation} +bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft. +Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. +Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. +Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. +Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. +Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} + \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} + \label{ellfilter:fig:arccos} +\end{figure} +Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen. +% \begin{equation} +% \frac{ +% 1 +% }{ +% \sqrt{ +% 1-z^2 +% } +% } +% \in \mathbb{R} +% \quad +% \forall +% \quad +% -1 \leq z \leq 1 +% \end{equation} +% \begin{equation} +% \frac{ +% 1 +% }{ +% \sqrt{ +% 1-z^2 +% } +% } +% = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R} +% \quad +% \forall +% \quad +% z \leq -1 \cup z \geq 1 +% \end{equation} + +Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} + \caption{ + $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. + Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. + } + \label{ellfilter:fig:arccos2} +\end{figure} +Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. diff --git a/buch/papers/fm/.gitignore b/buch/papers/fm/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..eae2913 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/.gitignore @@ -0,0 +1 @@ +standalone
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/fm/.vscode/settings.json b/buch/papers/fm/.vscode/settings.json new file mode 100644 index 0000000..5125289 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/.vscode/settings.json @@ -0,0 +1,3 @@ +{ + "notebook.cellFocusIndicator": "border" +}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/fm/00_modulation.tex b/buch/papers/fm/00_modulation.tex new file mode 100644 index 0000000..e2ba39f --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/00_modulation.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\subsection{Modulationsarten\label{fm:section:modulation}} + +Das sinusförmige Trägersignal hat die übliche Form: +\(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c(t)+\varphi)\). +Wobei die konstanten Amplitude \(A_c\) und Phase \(\varphi\) vom Nachrichtensignal \(m(t)\) verändert wird. +Der Parameter \(\omega_c\), die Trägerkreisfrequenz bzw. die Trägerfrequenz \(f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}\), +steht nicht für die modulation zur verfügung, statt dessen kann durch ihn die Frequenzachse frei gewählt werden. +\newblockpunct +Jedoch ist das für die Vielfalt der Modulationsarten keine Einschrenkung. +Ein Nachrichtensignal kann auch über die Momentanfrequenz (instantenous frequency) \(\omega_i\) eines trägers verändert werden. +Mathematisch wird dann daraus +\[ + \omega_i = \omega_c + \frac{d \varphi(t)}{dt} +\] +mit der Ableitung der Phase\cite{fm:NAT}. +Mit diesen drei Parameter ergeben sich auch drei Modulationsarten, die Amplitudenmodulation, welche \(A_c\) benutzt, +die Phasenmodulation \(\varphi\) und dann noch die Momentankreisfrequenz \(\omega_i\): +\begin{itemize} + \item AM + \item PM + \item FM +\end{itemize} + +To do: Bilder jeder Modulationsart + + + diff --git a/buch/papers/fm/01_AM.tex b/buch/papers/fm/01_AM.tex new file mode 100644 index 0000000..21927f5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/01_AM.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Amplitudenmodulation\label{fm:section:teil0}} +\rhead{AM} + +Das Ziel ist FM zu verstehen doch dazu wird zuerst AM erklärt welches einwenig einfacher zu verstehen ist und erst dann übertragen wir die Ideen in FM. +Nun zur Amplitudenmodulation verwenden wir das bevorzugte Trägersignal +\[ + x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_ct). +\] +Dies bringt den grossen Vorteil das, dass modulierend Signal sämtliche Anteile im Frequenzspektrum inanspruch nimmt +und das Trägersignal nur zwei komplexe Schwingungen besitzt. +Dies sieht man besonders in der Eulerischen Formel +\[ + x_c(t) = \frac{A_c}{2} \cdot e^{j\omega_ct}\;+\;\frac{A_c}{2} \cdot e^{-j\omega_ct}. +\] +Dabei ist die negative Frequenz der zweiten komplexen Schwingung zwingend erforderlich, damit in der Summe immer ein reellwertiges Trägersignal ergibt. +Nun wird der Parameter \(A_c\) durch das Modulierende Signal \(m(t)\) ersetzt, wobei so \(m(t) \leqslant |1|\) normiert wurde. +\newline +\newline +TODO: +Hier beschrieib ich was AmplitudenModulation ist und mache dan den link zu Frequenzmodulation inkl Formel \[\cos( \cos x)\] +so wird beschrieben das daraus eigentlich \(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_i)\) wird und somit \(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c + \frac{d \varphi(t)}{dt})\). +Da \(\sin \) abgeleitet \(\cos \) ergibt, so wird aus dem \(m(t)\) ein \( \frac{d \varphi(t)}{dt}\) in der momentan frequenz. \[ \Rightarrow \cos( \cos x) \] + +\subsection{Frequenzspektrum}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/fm/02_FM.tex b/buch/papers/fm/02_FM.tex new file mode 100644 index 0000000..fedfaaa --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/02_FM.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{FM +\label{fm:section:teil1}} +\rhead{FM} +\subsection{Frequenzspektrum} +TODO +Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum. +%Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem +%accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa +%quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae +%dicta sunt explicabo. +%Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit +%aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione +%voluptatem sequi nesciunt +%\begin{equation} +%\int_a^b x^2\, dx +%= +%\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b +%= +%\frac{b^3-a^3}3. +%\label{fm:equation1} +%\end{equation} +%Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, +%consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora +%incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. +% +%Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis +%suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? +%Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit +%esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum +%fugiat quo voluptas nulla pariatur? +% +%\subsection{De finibus bonorum et malorum +%\label{fm:subsection:finibus}} +%At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui +%blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos +%dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non +%provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia +%animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. +% +%Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio +%\ref{fm:section:loesung}. +%Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil +%impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis +%voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus +%\ref{fm:section:folgerung}. +%Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum +%necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et +%molestiae non recusandae. +%Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis +%voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus +%asperiores repellat. diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex new file mode 100644 index 0000000..5f85dc6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -0,0 +1,212 @@ +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{FM und Bessel-Funktion +\label{fm:section:proof}} +\rhead{Herleitung} +Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich. +Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist. +Somit haben wir unser \(x_c\) welches +\[ +\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) +\] +ist. + +\subsection{Herleitung} +Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken: +\begin{align} + x_c(t) + = + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + &= + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) + \label{fm:eq:proof} +\end{align} + +\subsubsection{Hilfsmittel} +Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme +\begin{align} + \cos(A + B) + &= + \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) + \label{fm:eq:addth1} + \\ + 2\cos (A)\cos (B) + &= + \cos(A-B)+\cos(A+B) + \label{fm:eq:addth2} + \\ + 2\sin(A)\sin(B) + &= + \cos(A-B)-\cos(A+B) + \label{fm:eq:addth3} +\end{align} +und die drei Bessel-Funktionsindentitäten, +\begin{align} + \cos(\beta\sin\phi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) + \label{fm:eq:besselid1} + \\ + \sin(\beta\sin\phi) + &= + 2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) + \label{fm:eq:besselid2} + \\ + J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) + \label{fm:eq:besselid3} +\end{align} +welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet. + +\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem} +Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal +\[ + x_c(t) + = + \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) + = + \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). + \label{fm:eq:start} +\] +%----------------------------------------------------------------------------------------------------------- +\subsubsection{Cos-Teil} +Zu beginn wird der Cos-Teil +\begin{align*} + c(t) + &= + \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt)) +\end{align*} +mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum +\begin{align*} + c(t) + &= + \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] + \\ + &= + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}} +\end{align*} +%intertext{} Funktioniert nicht. +wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden. +\begin{align*} + c(t) + &= + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} + \\ + &= + \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} + \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m) + \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) +\end{align*} +wird. +Das Minus im Ersten Term wird zur negativen Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) ersetzt. +Da \(2k\) immer gerade ist, wird es durch alle negativen und positiven Ganzzahlen \(n\) ersetzt: +\begin{align*} + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t), + \label{fm:eq:gerade} +\end{align*} +%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +\subsubsection{Sin-Teil} +Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil +\begin{align*} + s(t) + &= + -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)). +\end{align*} +Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu +\begin{align*} + s(t) + &= + -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] + \\ + &= + \sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t). +\end{align*} +Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt. +Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt: +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}. +\end{align*} +Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), +somit wird daraus: +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \} + \\ + &= + \sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)} + \,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\end{align*} +Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln. +Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\). +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t) + \underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\end{align*} +Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, +jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann: +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t) + \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\end{align*} +Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht +\[ + s(t) + = + \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). + \label{fm:eq:ungerade} +\] +schreiben. +%------------------------------------------------------------------------------------------ +\subsubsection{Summe Zusammenführen} +Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade +\[ + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\] +und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade +\[ + \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\] +ergeben zusammen +\[ + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t). +\] +Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. +\newpage +%----------------------------------------------------------------------------------------- +\subsection{Bessel und Frequenzspektrum} +Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Bessel-Funktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf} + \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} + \label{fig:bessel} +\end{figure} +TODO Grafik einfügen, +\newline +Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt + +TODO +Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. +\begin{itemize} + \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Bessel-Funktion + \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. + \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. +\end{itemize} + + +%\subsection{De finibus bonorum et malorum +%\label{fm:subsection:bonorum}} + + + diff --git a/buch/papers/fm/04_fazit.tex b/buch/papers/fm/04_fazit.tex new file mode 100644 index 0000000..8d5eca4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/04_fazit.tex @@ -0,0 +1,12 @@ +% +% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Fazit +\label{fm:section:fazit}} +\rhead{Zusamenfassend} + +TODO Anwendungen erklären und Sinn des Ganzen. + + diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/FM_presentation.pdf b/buch/papers/fm/FM presentation/FM_presentation.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..496e35e --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/FM_presentation.pdf diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/FM_presentation.tex b/buch/papers/fm/FM presentation/FM_presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..2801e69 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/FM_presentation.tex @@ -0,0 +1,125 @@ +%% !TeX root = .tex + +\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{lmodern} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{tikz} +\usetheme{Hannover} + +\begin{document} + \author{Joshua Bär} + \title{FM - Bessel} + \subtitle{} + \logo{} + \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule} + \date{16.5.2022} + \subject{Mathematisches Seminar - Spezielle Funktionen} + %\setbeamercovered{transparent} + \setbeamercovered{invisible} + \setbeamertemplate{navigation symbols}{} + \begin{frame}[plain] + \maketitle + \end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- +\section{Einführung} + \begin{frame} + \frametitle{Frequenzmodulation} + + \visible<1->{ + \begin{equation} \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) + \end{equation}} + + \only<2>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/fm_in_time.png}} + \only<3>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/fm_frequenz.png}} + \only<4>{\includegraphics[scale= 0.7]{images/bessel_frequenz.png}} + + + \end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- +\section{Proof} +\begin{frame} + \frametitle{Bessel} + + \visible<1->{\begin{align} + \cos(\beta\sin\varphi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{m=1}^\infty J_{2m}(\beta) \cos(2m\varphi) + \\ + \sin(\beta\sin\varphi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{m=1}^\infty J_{2m}(\beta) \cos(2m\varphi) + \\ + J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) + \end{align}} + \visible<2->{\begin{align} + \cos(A + B) + &= + \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) + \\ + 2\cos (A)\cos (B) + &= + \cos(A-B)+\cos(A+B) + \\ + 2\sin(A)\sin(B) + &= + \cos(A-B)-\cos(A+B) + \end{align}} +\end{frame} + +%------------------------------------------------------------------------------- +\begin{frame} + \frametitle{Prof->Done} + \begin{align} + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + &= + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) + \end{align} + \end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- + \begin{frame} + \begin{figure} + \only<1>{\includegraphics[scale = 0.75]{images/fm_frequenz.png}} + \only<2>{\includegraphics[scale = 0.75]{images/bessel_frequenz.png}} + \end{figure} + \end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- +\section{Input Parameter} + \begin{frame} + \frametitle{Träger-Frequenz Parameter} + \onslide<1->{\begin{equation}\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}} + \only<1>{\includegraphics[scale=0.75]{images/100HZ.png}} + \only<2>{\includegraphics[scale=0.75]{images/200HZ.png}} + \only<3>{\includegraphics[scale=0.75]{images/300HZ.png}} + \only<4>{\includegraphics[scale=0.75]{images/400HZ.png}} + \end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- +\begin{frame} +\frametitle{Modulations-Frequenz Parameter} +\onslide<1->{\begin{equation}\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))\end{equation}} +\only<1>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_3Hz.png}} +\only<2>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_5Hz.png}} +\only<3>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_7Hz.png}} +\only<4>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_10Hz.png}} +\only<5>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_20Hz.png}} +\only<6>{\includegraphics[scale=0.75]{images/fm_30Hz.png}} +\end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- +\begin{frame} +\frametitle{Beta Parameter} + \onslide<1->{\begin{equation}\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)\end{equation}} + \only<1>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.001.png}} + \only<2>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.1.png}} + \only<3>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_0.5.png}} + \only<4>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_1.png}} + \only<5>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_2.png}} + \only<6>{\includegraphics[scale=0.7]{images/beta_3.png}} + \only<7>{\includegraphics[scale=0.7]{images/bessel.png}} +\end{frame} +%------------------------------------------------------------------------------- +\begin{frame} + \includegraphics[scale=0.5]{images/beta_1.png} + \includegraphics[scale=0.5]{images/bessel.png} +\end{frame} +\end{document} diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/README.txt b/buch/papers/fm/FM presentation/README.txt new file mode 100644 index 0000000..65f390d --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/README.txt @@ -0,0 +1 @@ +Dies ist die Presentation des FM - Bessel
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/100HZ.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/100HZ.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..371b9bf --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/100HZ.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/200HZ.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/200HZ.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f6836bd --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/200HZ.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/300HZ.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/300HZ.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6762c1a --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/300HZ.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/400HZ.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/400HZ.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..236c428 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/400HZ.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f4c83ea --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel2.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel2.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ccda3f9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel2.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel_beta1.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel_beta1.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1f5c47e --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel_beta1.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel_frequenz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel_frequenz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4f228b9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM 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b/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_1.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_2.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_2.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6930eae --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_2.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_3.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_3.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c6df82c --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/beta_3.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_10Hz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_10Hz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..51bddc7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_10Hz.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_20hz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_20hz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..126ecf3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_20hz.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_30Hz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_30Hz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..371b9bf --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_30Hz.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_3Hz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_3Hz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d4098af --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_3Hz.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_40Hz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_40Hz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4cf11d4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_40Hz.png diff --git a/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_5Hz.png b/buch/papers/fm/FM presentation/images/fm_5Hz.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e495b5c --- /dev/null +++ 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Dr Andreas Mueller # -images: - @echo "no images to be created in fm" +SOURCES := \ + 00_modulation.tex \ + 01_AM.tex \ + 02_FM.tex \ + 03_bessel.tex \ + 04_fazit.tex \ + main.tex +#TIKZFIGURES := \ + tikz/atoms-grid-still.tex \ + +#FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) + +all: images standalone + +.PHONY: images +images: $(FIGURES) + +#figures/%.pdf: tikz/%.tex +# mkdir -p figures +# pdflatex --output-directory=figures $< + +.PHONY: standalone +standalone: standalone.tex $(SOURCES) $(FIGURES) + mkdir -p standalone + cd ../..; \ + pdflatex \ + --halt-on-error \ + --shell-escape \ + --output-directory=papers/fm/standalone \ + papers/fm/standalone.tex; + cd standalone; \ + bibtex standalone; \ + makeindex standalone;
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/fm/Makefile.inc b/buch/papers/fm/Makefile.inc index 0f144b6..40f23b1 100644 --- a/buch/papers/fm/Makefile.inc +++ b/buch/papers/fm/Makefile.inc @@ -6,9 +6,10 @@ dependencies-fm = \ papers/fm/packages.tex \ papers/fm/main.tex \ - papers/fm/references.bib \ - papers/fm/teil0.tex \ - papers/fm/teil1.tex \ - papers/fm/teil2.tex \ - papers/fm/teil3.tex + papers/fm/00_modulation.tex \ + papers/fm/01_AM.tex \ + papers/fm/02_FM.tex \ + papers/fm/03_bessel.tex \ + papers/fm/04_fazit.tex \ + papers/fm/references.bib diff --git a/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.ipynb b/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.ipynb new file mode 100644 index 0000000..74f1011 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.ipynb @@ -0,0 +1,217 @@ +{ + "cells": [ + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 4, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "import numpy as np\n", + "from scipy import signal\n", + "from scipy.fft import fft, ifft, fftfreq\n", + "import scipy.special as sc\n", + "import scipy.fftpack\n", + "import matplotlib as mpl\n", + "# Use the pgf backend (must be set before pyplot imported)\n", + "mpl.use('pgf')\n", + "import matplotlib.pyplot as plt\n", + "from matplotlib.widgets import Slider\n", + "def fm(beta):\n", + " # Number of samplepoints\n", + " N = 600\n", + " # sample spacing\n", + " T = 1.0 / 1000.0\n", + " fc = 100.0\n", + " fm = 30.0\n", + " x = np.linspace(0.01, N*T, N)\n", + " #beta = 1.0\n", + " y_old = np.sin(fc * 2.0*np.pi*x+beta*np.sin(fm * 2.0*np.pi*x))\n", + " y = 0*x;\n", + " xf = fftfreq(N, 1 / 400)\n", + " for k in range (-4, 4):\n", + " y = sc.jv(k,beta)*np.sin((fc+k*fm) * 2.0*np.pi*x)\n", + " yf = fft(y)/(fc*np.pi)\n", + " plt.plot(xf, np.abs(yf))\n", + " plt.xlim(-150, 150)\n", + " plt.show()\n", + " #yf_old = fft(y_old)\n", + " #plt.plot(xf, np.abs(yf_old))\n", + " #plt.show()\n", + " \n" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": 114, + 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+ "text/plain": [ + "<Figure size 432x288 with 1 Axes>" + ] + }, + "metadata": { + "needs_background": "light" + }, + "output_type": "display_data" + } + ], + "source": [ + "\n", + "x = np.linspace(0,0.1,1000)\n", + "y = np.sin(100 * 2.0*np.pi*x+1.5*np.sin(30 * 2.0*np.pi*x))\n", + "plt.plot(x, y, '-')\n", + "plt.show()" + ] + } + ], + "metadata": { + "interpreter": { + "hash": "916dbcbb3f70747c44a77c7bcd40155683ae19c65e1c03b4aa3499c5328201f1" + }, + "kernelspec": { + "display_name": "Python 3.8.10 64-bit", + "language": "python", + "name": "python3" + }, + "language_info": { + "codemirror_mode": { + "name": "ipython", + "version": 3 + }, + "file_extension": ".py", + "mimetype": "text/x-python", + "name": "python", + "nbconvert_exporter": "python", + "pygments_lexer": "ipython3", + "version": "3.8.10" + }, + "orig_nbformat": 4 + }, + "nbformat": 4, + "nbformat_minor": 2 +} diff --git a/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.py b/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.py new file mode 100644 index 0000000..cf30e16 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Python animation/Bessel-FM.py @@ -0,0 +1,42 @@ +import numpy as np +from scipy import signal +from scipy.fft import fft, ifft, fftfreq +import scipy.special as sc +import scipy.fftpack +import matplotlib.pyplot as plt +from matplotlib.widgets import Slider + +# Number of samplepoints +N = 600 +# sample spacing +T = 1.0 / 800.0 +x = np.linspace(0.01, N*T, N) +beta = 1.0 +y_old = np.sin(100.0 * 2.0*np.pi*x+beta*np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x)) +y = 0*x; +xf = fftfreq(N, 1 / 400) +for k in range (-5, 5): + y = sc.jv(k,beta)*np.sin((100.0+k*50) * 2.0*np.pi*x) + yf = fft(y) + plt.plot(xf, np.abs(yf)) + +axbeta =plt.axes([0.25, 0.1, 0.65, 0.03]) +beta_slider = Slider( +ax=axbeta, +label="Beta", +valmin=0.1, +valmax=3, +valinit=beta, +) + +def update(val): + line.set_ydata(fm(beta_slider.val)) + fig.canvas.draw_idle() + + +beta_slider.on_changed(update) +plt.show() + +yf_old = fft(y_old) +plt.plot(xf, np.abs(yf_old)) +plt.show()
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/fm/Python animation/bessel.pgf b/buch/papers/fm/Python animation/bessel.pgf new file mode 100644 index 0000000..cc7af1e --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Python animation/bessel.pgf @@ -0,0 +1,2057 @@ +%% Creator: Matplotlib, PGF backend +%% +%% To include the figure in your LaTeX document, write +%% \input{<filename>.pgf} +%% +%% Make sure the required packages are loaded in your preamble +%% \usepackage{pgf} +%% +%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance, +%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font. +%% \usepackage{lmodern} +%% +%% Figures using additional raster images can only be included by \input if +%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures +%% from other directories you can use the `import` package +%% \usepackage{import} +%% +%% and then include the figures with +%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf} +%% +%% Matplotlib used the following preamble +%% \usepackage{fontspec} +%% \setmainfont{DejaVuSerif.ttf}[Path=\detokenize{/home/joshua/.local/lib/python3.8/site-packages/matplotlib/mpl-data/fonts/ttf/}] +%% \setsansfont{DejaVuSans.ttf}[Path=\detokenize{/home/joshua/.local/lib/python3.8/site-packages/matplotlib/mpl-data/fonts/ttf/}] +%% \setmonofont{DejaVuSansMono.ttf}[Path=\detokenize{/home/joshua/.local/lib/python3.8/site-packages/matplotlib/mpl-data/fonts/ttf/}] +%% +\begingroup% +\makeatletter% +\begin{pgfpicture}% +\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{6.000000in}{4.000000in}}% +\pgfusepath{use as bounding box, clip}% +\begin{pgfscope}% +\pgfsetbuttcap% +\pgfsetmiterjoin% +\pgfsetlinewidth{0.000000pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}% 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Bessel \(\displaystyle J_n(\beta)\)}% +\end{pgfscope}% +\begin{pgfscope}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.750000in}{0.500000in}}{\pgfqpoint{4.650000in}{3.020000in}}% +\pgfusepath{clip}% +\pgfsetrectcap% +\pgfsetroundjoin% +\pgfsetlinewidth{1.505625pt}% +\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}% +\pgfsetstrokecolor{currentstroke}% +\pgfsetdash{}{0pt}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.736111in}{2.087558in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.753026in}{2.089238in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.773506in}{2.088244in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.793986in}{2.083946in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.814467in}{2.076349in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.834947in}{2.065480in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.855428in}{2.051393in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.881029in}{2.029378in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.906629in}{2.002657in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.932230in}{1.971486in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.962950in}{1.928646in}}% 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+\endgroup% diff --git a/buch/papers/fm/Quellen/A2-14.pdf b/buch/papers/fm/Quellen/A2-14.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7348cca --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Quellen/A2-14.pdf diff --git a/buch/papers/fm/Quellen/FM_presentation.pdf b/buch/papers/fm/Quellen/FM_presentation.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..496e35e --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Quellen/FM_presentation.pdf diff --git a/buch/papers/fm/Quellen/Frequency modulation (FM) and Bessel functions.pdf b/buch/papers/fm/Quellen/Frequency modulation (FM) and Bessel functions.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a6e701c --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Quellen/Frequency modulation (FM) and Bessel functions.pdf diff --git a/buch/papers/fm/Quellen/Seydel2022_Book_HöhereMathematikImAlltag.pdf b/buch/papers/fm/Quellen/Seydel2022_Book_HöhereMathematikImAlltag.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2a0bddd --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/Quellen/Seydel2022_Book_HöhereMathematikImAlltag.pdf diff --git a/buch/papers/fm/main.tex b/buch/papers/fm/main.tex index 1e75235..731f56f 100644 --- a/buch/papers/fm/main.tex +++ b/buch/papers/fm/main.tex @@ -1,36 +1,42 @@ +% !TeX root = ../../buch.tex % % main.tex -- Paper zum Thema <fm> % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil -% -\chapter{Thema\label{chapter:fm}} -\lhead{Thema} +% + +\chapter{FM Bessel\label{chapter:fm}} +\lhead{FM} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - -\input{papers/fm/teil0.tex} -\input{papers/fm/teil1.tex} -\input{papers/fm/teil2.tex} -\input{papers/fm/teil3.tex} + +\chapterauthor{Joshua Bär} + +Die Frequenzmodulation ist eine Modulation die man auch schon im alten Radio findet. +Falls du dich an die Zeit erinnerst, konnte man zwischen \textit{FM-AM} Umschalten, +dies bedeutete so viel wie: \textit{F}requenz-\textit{M}odulation und \textit{A}mplituden-\textit{M}odulation. +Durch die Modulation wird ein Nachrichtensignal \(m(t)\) auf ein Trägersignal (z.B. ein Sinus- oder Rechtecksignal) abgebildet (kombiniert). +Durch dieses Auftragen vom Nachrichtensignal \(m(t)\) kann das modulierte Signal in einem gewünschten Frequenzbereich übertragen werden. +Der ursprünglich Frequenzbereich des Nachrichtensignal \(m(t)\) erstreckt sich typischerweise von 0 Hz bis zur Bandbreite \(B_m\). +\newline +Beim Empfänger wird dann durch Demodulation das ursprüngliche Nachrichtensignal \(m(t)\) so originalgetreu wie möglich zurückgewonnen. +\newline +Beim Trägersignal \(x_c(t)\) handelt es sich um ein informationsloses Hilfssignal. +Durch die Modulation mit dem Nachrichtensignal \(m(t)\) wird es zum modulierten zu übertragenden Signal. +Für alle Erklärungen wird ein sinusförmiges Trägersignal benutzt, jedoch kann auch ein Rechtecksignal, +welches Digital einfach umzusetzten ist, +genauso als Trägersignal genutzt werden kann. +Zuerst wird erklärt was \textit{FM-AM} ist, danach wie sich diese im Frequenzspektrum verhalten. +Erst dann erklär ich dir wie die Besselfunktion mit der Frequenzmodulation( acro?) zusammenhängt. +Nun zur Modulation im nächsten Abschnitt.\cite{fm:NAT} + + +\input{papers/fm/00_modulation.tex} +\input{papers/fm/01_AM.tex} +\input{papers/fm/02_FM.tex} +\input{papers/fm/03_bessel.tex} +\input{papers/fm/04_fazit.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} + + diff --git a/buch/papers/fm/packages.tex b/buch/papers/fm/packages.tex index 4cba2b6..7bbbe35 100644 --- a/buch/papers/fm/packages.tex +++ b/buch/papers/fm/packages.tex @@ -7,4 +7,5 @@ % if your paper needs special packages, add package commands as in the % following example %\usepackage{packagename} - +\usepackage{xcolor} +\usepackage{pgf} diff --git a/buch/papers/fm/references.bib b/buch/papers/fm/references.bib index 76eb265..21b910b 100644 --- a/buch/papers/fm/references.bib +++ b/buch/papers/fm/references.bib @@ -23,6 +23,17 @@ volume = {2} } +@book{fm:NAT, + title = {Nachrichtentechnik 1 + 2}, + author = {Thomas Kneubühler}, + publisher = {None}, + year = {2021}, + isbn = {}, + inseries = {Script for students}, + volume = {} +} + + @article{fm:mendezmueller, author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, diff --git a/buch/papers/fm/standalone.tex b/buch/papers/fm/standalone.tex new file mode 100644 index 0000000..c161ed5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/standalone.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\documentclass{book} + +\def\IncludeBookCover{0} +\input{common/packages.tex} + +% additional packages used by the individual papers, add a line for +% each paper +\input{papers/common/addpackages.tex} + +% workaround for biblatex bug +\makeatletter +\def\blx@maxline{77} +\makeatother +\addbibresource{chapters/references.bib} + +% Bibresources for each article +\input{papers/common/addbibresources.tex} + +% make sure the last index starts on an odd page +\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} +\makeindex + +%\pgfplotsset{compat=1.12} +\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning +\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} + +\begin{document} + \input{common/macros.tex} + \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} + \input{papers/fm/main.tex} +\end{document} diff --git a/buch/papers/fm/teil0.tex b/buch/papers/fm/teil0.tex deleted file mode 100644 index 55697df..0000000 --- a/buch/papers/fm/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{fm:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{fm:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/fm/teil1.tex b/buch/papers/fm/teil1.tex deleted file mode 100644 index 6f9edf1..0000000 --- a/buch/papers/fm/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{fm:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{fm:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fm:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{fm:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{fm:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/fm/teil2.tex b/buch/papers/fm/teil2.tex deleted file mode 100644 index 6ab6fa0..0000000 --- a/buch/papers/fm/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{fm:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fm:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/fm/teil3.tex b/buch/papers/fm/teil3.tex deleted file mode 100644 index 3bcfc4d..0000000 --- a/buch/papers/fm/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{fm:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fm:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kreismembran/main.tex b/buch/papers/kreismembran/main.tex index e63a118..f6000a1 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/main.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/main.tex @@ -3,8 +3,8 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Schwingungen einer kreisförmligen Membran\label{chapter:kreismembran}} -\lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran} +\chapter{Schwingungen einer kreisförmigen Membran\label{chapter:kreismembran}} +\lhead{Schwingungen einer kreisförmigen Membran} \begin{refsection} \chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz} @@ -12,6 +12,7 @@ \input{papers/kreismembran/teil1.tex} \input{papers/kreismembran/teil2.tex} \input{papers/kreismembran/teil3.tex} +\input{papers/kreismembran/teil4.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib index 0b6a683..acf8f90 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/references.bib +++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib @@ -4,6 +4,25 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % +@online{kreismembran:Duden:Membran, + title = {Duden:Membran}, + url = {https://www.duden.de/rechtschreibung/Membran}, + date = {2022-07-20}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {20} +} + +@online{kreismembran:wellengleichung_herleitung, + title = {Derivation of the 2D Wave Equation}, + author = {Dr. Christopher Lum}, + url = {https://www.youtube.com/watch?v=KAS7JBztw8E&t=0s}, + date = {2022-07-20}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {20} +} + @online{kreismembran:bibtex, title = {BibTeX}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, @@ -24,7 +43,7 @@ } @article{kreismembran:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, + author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, year = 2019, @@ -33,3 +52,33 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@book{lokenath_debnath_integral_2015, + edition = {Third Edition}, + title = {Integral Tansforms and Their Applications}, + publisher = {{CRC} Press}, + author = {{Lokenath Debnath} and Dambaru Bhatta}, + date = {2015}, +} + +@thesis{nishanth_p_vibrations_2018, + title = {Vibrations of a Circular Membrane - Some Undergraduadte Exercises}, + type = {phdthesis}, + author = {{Nishanth P.} and {Udayanandan K. M.}}, + date = {2018}, +} + +@thesis{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013, + title = {Kreisförmige Membranen}, + institution = {{ETHZ}}, + type = {phdthesis}, + author = {{Prof. Dr. Horst Knörrer}}, + date = {2013}, +} + +@thesis{kreismembran:membrane_vs_thin_plate, + title = {Modeling and Control of SPIDER Satellite Components}, + institution = {{faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University}}, + type = {Dissertation}, + author = {{Eric John Ruggiero Doctor of Philosophy In Mechanical Engineering}}, + date = {2005}, +}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 1552259..bb8188d 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -4,7 +4,79 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} +\rhead{Membran} +Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...". +Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften auf, wie ein gespanntes Stück Papier. +Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. +Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. +Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. +Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. +Sie besteht herkömmlicher weise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. +Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. +Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. +Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der Folgenden Arbeit Diskutiert. +\paragraph{Annahmen} +Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. +Das untersuchte Modell einer Membrane Erfüllt folgende Eigenschaften: +\begin{enumerate}[i] + \item Die Membran ist homogen. + Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. + Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. + \item Die Membran ist perfekt flexibel. + Daraus folgt, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. + \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken. + Auslenkungen in der ebene der Membran sind nicht möglich. + \item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. + Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. + Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein. + +\end{enumerate} + +\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. +Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. +Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. +%Wie analog zur Membran kann eine Saite erst unter Spannung schwingen. + +Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. +Wie für die Membran ist die Annahme iii gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. +Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte +\begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} + T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T +\end{equation} +gleichgesetzt werden. +Das dynamische verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz +\begin{equation*} + \sum F = m \cdot a +\end{equation*} +befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedrückt, die Masse als Funktion der Dichte $ \rho $ und die Beschleunigung in Form der zweiten Ableitung als +\begin{equation*} + T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} . +\end{equation*} +Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann +\begin{equation*} + \frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} +\end{equation*} +vereinfacht als +\begin{equation*} + \tan \beta - \tan \alpha = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} +\end{equation*} +geschrieben werden. +Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $. +Die Gleichung wird dadurch zu +\begin{equation*} + \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Durch die Division mit $ dx $ entsteht +\begin{equation*} + \frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Auf der Linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervall-Länge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird mit $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. Somit resultiert die, in der Literatur gebräuchliche Form +\begin{equation} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. +\end{equation} +In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. Für den Fall einer Membran muss lediglich die Ableitung in zwei Dimensionen gerechnet werden.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index aef5b79..39ca598 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -7,13 +7,14 @@ \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode \label{kreismembran:section:teil1}} \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode} -An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmetode gelöst. +An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst. -Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: +\subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}} +Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. \end{equation*} -Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt: +Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator \begin{equation*} \Delta = @@ -23,78 +24,98 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r 2} - \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. + \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \label{buch:pde:kreis:laplace} \end{equation*} +ergibt. -Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. +Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. -Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran. +Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran. Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: \begin{align*} u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ (r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t) \end{align*} -Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt: +Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} \cite{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013} \begin{equation*} - u\big|_{\Gamma} = 0 + u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0 \end{equation*} +gilt. + Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: \begin{align*} u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\ - \frac{\partial}{\partial t} u(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi) + u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi). \end{align*} + +\subsection{Lösung\label{sub:lösung1}} +\subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}} Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: \begin{equation*} u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t) \end{equation*} -Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetz in der Differenzialgleichung ergibt: +Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich: \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} + \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. \end{equation*} -Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Grunden suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: -\begin{gather*} - T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0\\ - r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 = - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} -\end{gather*} +Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: +\begin{align*} + T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\ + r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. +\end{align*} In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das: -\begin{gather*} - r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \\ - G''(\varphi) = \nu G(\varphi) -\end{gather*} -$G$ kann in einer Fourierreihe entwickelt werden, so dass man sieht, dass $\nu$ die Form $n^2$ mit einer positiven ganzen Zahl sein muss, also: +\begin{align*} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) &= 0 \\ + G''(\varphi) &= \nu G(\varphi). +\end{align*} + +\subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}} +Da für die Zweite Gelichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt die gemeinsame Konstante als $-\nu^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also: \begin{equation*} G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi) + \label{eq:cos_sin_überlagerung} \end{equation*} -Die Gleichung $F$ hat die Gestalt -\begin{equation*} - r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \quad (*) -\end{equation*} -Wir bereits in der Vorlesung von Prof. Müller gezeigt, sind die Besselfunktionen + +\subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}} +Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt +\begin{align} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 + \label{eq:2nd_degree_PDE} +\end{align} +Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Besselfunktionen \begin{equation*} J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} \end{equation*} -Lösungen der "Besselschen Differenzialgleichung" +Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung \begin{equation*} x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0 \end{equation*} -Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung $(*)$. Die +Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}. Die Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion $J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich viele Nullstellen \begin{equation*} \alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ... \end{equation*} -haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergit sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass +haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergibt sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass \begin{equation*} - F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad mit \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} + F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad \text{mit} \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} \end{equation*} -Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung -\begin{equation} - u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)\cos(n\varphi)[a_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+b_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)] -\end{equation} -Dabei sind m und n ganze Zahlen, wobei m für die Anzahl der Knotenkreise und n -für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei kmn die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. -An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche und Diskussion mit Prof. Müller wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. +\subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}} +Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. + +\subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}} +Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung +\begin{align} + u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)[a_{mn}\cos(n\varphi) + b_{mn}\sin(n\varphi)](n\varphi)[c_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+d_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)] + \label{eq:lösung_endliche_generelle} +\end{align} + +Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$ +für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. + + +An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 8afe817..6efda49 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -5,95 +5,98 @@ \section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}} \rhead{Die Hankel Transformation} -Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. -Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. -Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. -Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. -In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. - - -Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: +Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist. +Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen. +Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. +In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. + +\subsubsection{Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}} +Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: \begin{align} - \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ - \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) \; dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} \end{align} -wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problemen am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: \begin{align} - F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi. \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} \end{align} Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: \begin{align} - F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha, \label{equation:F_ohne_bessel} \end{align} wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. -Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n -\begin{align} - J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha +Unter Verwendung der Integraldarstellung der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} +\begin{equation*} + J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha \label{equation:bessel_n_ordnung} -\end{align} +\end{equation*} \eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: \begin{align} - F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ + F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr \nonumber \\ &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), \label{equation:F_mit_bessel_step_2} \end{align} -wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: +wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: \begin{align} - \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. + \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr. \label{equation:hankel} \end{align} +\subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}} Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}: -\begin{align} - e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, -\end{align} +\begin{align*} + e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) \; d\phi \\ + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} \; d\phi, +\end{align*} was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, -\begin{align} - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ - &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} -\end{align} +\begin{align*} + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} \; d\alpha \\ + &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa, +\end{align*} -Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: +von \eqref{equation:bessel_n_ordnung} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert: \begin{align} - \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. + \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa. \label{equation:inv_hankel} \end{align} -Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. -Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, +Alternativ kann auch die berühmte Hankel-Transformationsformel verwendet werden, -\begin{align} - f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, +\begin{align*} + f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp, \label{equation:hankel_integral_formula} -\end{align} -um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. -Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. - -\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. +\end{align*} +um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. -\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}} -Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: +\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel-Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. -\begin{equation*} - \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. -\end{equation*} +\begin{satz}{Skalierung:} + Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + + \begin{equation*} + \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. + \end{equation*} +\end{satz} -\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} +\begin{satz}{Persevalsche Relation (Skalarprodukt bleibt erhalten):} Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: \begin{equation*} - \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. + \int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa. \end{equation*} +\end{satz} -\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} +\begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:} Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: \begin{align*} @@ -101,13 +104,13 @@ Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), \end{align*} bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$. +\end{satz} -\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}} +\begin{satz} Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: \begin{equation*} \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), \end{equation*} -bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$. - - +bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$. +\end{satz} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index bef8b5f..7d5648a 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -6,7 +6,10 @@ \section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode \label{kreismembran:section:teil3}} \rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode} -Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: +Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. + +\subsubsection{Transformation und Reduktion auf eine algebraische Gleichung\label{subsub:transf_reduktion}} +Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: \begin{equation*} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = @@ -18,16 +21,15 @@ Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwen \end{equation*} \begin{align} - u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty + u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty \label{eq:PDE_inf_membane_RB} \end{align} Mit Anwendung der Hankel-Transformation nullter Ordnung in Abhängigkeit von $r$ auf die Gleichungen \eqref{eq:PDE_inf_membane} und \eqref{eq:PDE_inf_membane_RB}: \begin{align} - \tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) dr, + \tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) \; dr, \end{align} - bekommt man: \begin{equation*} @@ -36,43 +38,47 @@ bekommt man: \begin{equation*} \tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad - \frac{\partial}{\partial t}\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa). + \tilde{u}_t(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa). \end{equation*} - -Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie schon gesehen, wie folgt +Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie in Gleighung \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt \begin{equation*} \tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t). \end{equation*} - Wendet man an nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung \begin{align} - u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) d\kappa. + u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) \; d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) \; d\kappa. \label{eq:formale_lösung} \end{align} -Es wird daher davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird +\subsubsection{Erfüllung der Anfangsbedingungen\label{subsub:erfüllung_AB}} +Es wird in Folgenden davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird \begin{equation*} - u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d}{dt}(r,0)=g(r)=0 + u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad u_t(r,0)=g(r)=0 \end{equation*} - so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und - \begin{equation*} - \tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa} + \tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa} \end{equation*} - Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also \begin{align*} - u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t)dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r)dk\\ + u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk\\ &=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}} \end{align*} +Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung mit Summationen, + +\begin{align} + u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)] + \label{eq:lösung_unendliche_generelle} +\end{align} +kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen. -\subsection{Vergleich der Lösungen +\subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen \label{kreismembran:vergleich}} -Hier kommt noch der Vergleich der Lösungen ;) +Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist. +Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der $0$-ter Ordnung. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..c124354 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Lösungsmethode 3: Simulation + \label{kreismembran:section:teil4}} +\paragraph{TODO Einleitung} + +Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden. +Die Membran wird hier in Form der Matrix $ A $ digitalisiert. +Jedes Element $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. +Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt. +Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $. + +\paragraph{title}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kugel/applications.tex b/buch/papers/kugel/applications.tex new file mode 100644 index 0000000..b2f227e --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/applications.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +% vim:ts=2 sw=2 et spell: + +\section{Applications} + +\subsection{Electroencephalography (EEG)} + +\subsection{Measuring Gravitational Fields} + +\subsection{Quantisation of Angular Momentum} diff --git a/buch/papers/kugel/introduction.tex b/buch/papers/kugel/introduction.tex new file mode 100644 index 0000000..5b09e9c --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/introduction.tex @@ -0,0 +1,35 @@ +% vim:ts=2 sw=2 et spell tw=78: + +\section{Introduction} + +This chapter of the book is devoted to the sef of functions called +\emph{spherical harmonics}. However, before we dive into the topic, we want to +make a few preliminary remarks to avoid ``upsetting'' a certain type of +reader. Specifically, we would like to specify that the authors of this +chapter not mathematicians but engineers, and therefore the text will not be +always complete with sound proofs after every claim. Instead we will go +through the topic in a more intuitive way including rigorous proofs only if +they are enlightening or when they are very short. Where no proofs are given +we will try to give an intuition for why it is true. + +That being said, when talking about spherical harmonics one could start by +describing their name. The latter may be a cause of some confusion because of +the misleading translations in other languages. In German the name for this +set of functions is ``Kugelfunktionen'', which puts the emphasis only on the +spherical context, whereas the English name ``spherical harmonics'' also +contains the \emph{harmonic} part hinting at Fourier theories and harmonic +analysis in general. + +The structure of this chapter is organized in the following way. First, we +will quickly go through some fundamental linear algebra and Fourier theory to +refresh a few important concepts. In principle, we could have written the +whole thing starting from a much more abstract level without much preparation, +but then we would have lost some of the beauty that comes from the +appreciation of the power of some surprisingly simple ideas. Then once the +basics are done, we can explore the main topic of spherical harmonics which as +we will see arises from the eigenfunctions of the Laplacian operator in +spherical coordinates. Finally, after studying what we think are the most +beautiful and interesting properties of the spherical harmonics, to conclude +this journey we will present a few real-world applications, which are of +course most of interest for engineers. + diff --git a/buch/papers/kugel/main.tex b/buch/papers/kugel/main.tex index 06368af..98d9cb2 100644 --- a/buch/papers/kugel/main.tex +++ b/buch/papers/kugel/main.tex @@ -1,39 +1,20 @@ -% +% vim:ts=2 sw=2 et: % main.tex -- Paper zum Thema <kugel> % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Recurrence Relations for Spherical Harmonics in Quantum Mechanics\label{chapter:kugel}} -\lhead{Recurrence Relations in Quantum Mechanics} +\begin{otherlanguage}{english} +\chapter{Spherical Harmonics\label{chapter:kugel}} +\lhead{Spherical Harmonics} \begin{refsection} \chapterauthor{Manuel Cattaneo, Naoki Pross} -\begin{verbatim} - -Ideas and current research goals --------------------------------- - -- Recurrence relations for spherical harmonics -- Associated Legendre polynomials -- Rodrigues' type formula aka Rodrigues' formula -- Applications: - * Quantization of angular momentum - * Gravitational field measurements (NASA ebb and flow, ESA goce) - * Literally anything that needs basis functions on the surface of a sphere - -Literature ----------- - -- Nichtkommutative Bildverarbeitung, T. Mendez, p57+ -- Linear Algebra Done Right, S. Axler, p212,221,231,237 -- Introduction to Quantum Mechanics, D. J. Griffith, p201+ -- Seminar Quantenmechanik, A. Müller, p101,106,114,121 -- Introduction to Partial Differential Equations, J. Oliver, p510+ -- Partial Differential Equations in Engineering Problems, K. Miller, p175,190 - -\end{verbatim} - +\input{papers/kugel/introduction} +\input{papers/kugel/preliminaries} +\input{papers/kugel/spherical-harmonics} +\input{papers/kugel/applications} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} +\end{otherlanguage} diff --git a/buch/papers/kugel/preliminaries.tex b/buch/papers/kugel/preliminaries.tex new file mode 100644 index 0000000..03cd421 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/preliminaries.tex @@ -0,0 +1,346 @@ +% vim:ts=2 sw=2 et spell tw=78: + +\section{Preliminaries} + +The purpose of this section is to dust off some concepts that will become +important later on. This will enable us to be able to get a richer and more +general view of the topic than just liming ourselves to a specific example. + +\subsection{Vectors and inner product spaces} + +We shall start with a few fundamentals of linear algebra. We will mostly work +with complex numbers, but for the sake of generality we will do what most +textbook do, and write \(\mathbb{K}\) instead of \(\mathbb{C}\) since the +theory works the same when we replace \(\mathbb{K}\) with the real +numbers \(\mathbb{R}\). + +\begin{definition}[Vector space] + \label{kugel:def:vector-space} \nocite{axler_linear_2014} + A \emph{vector space} over a field \(\mathbb{K}\) is a set \(V\) with an + addition on \(V\) and a multiplication on \(V\) such that the following + properties hold: + \begin{enumerate}[(a)] + \item (Commutativity) \(u + v = v + u\) for all \(u, v \in V\); + \item (Associativity) \((u + v) + w = u + (v + w)\) and \((ab)v = a(bv)\) + for all \(u, v, w \in V\) and \(a, b \in \mathbb{K}\); + \item (Additive identity) There exists an element \(0 \in V\) such that + \(v + 0 = v\) for all \(v \in V\); + \item (Additive inverse) For every \(v \in V\), there exists a \(w \in V\) + such that \(v + w = 0\); + \item (Multiplicative identity) \(1 v = v\) for all \(v \in V\); + \item (Distributive properties) \(a(u + v) = au + av\) and \((a + b)v = av + + bv\) for all \(a, b \in \mathbb{K}\) and all \(u,v \in V\). + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition}[Dot product] + \label{kugel:def:dot-product} + In the vector field \(\mathbb{K}^n\) the scalar or dot product between two + vectors \(u, v \in \mathbb{K}^n\) is + \( + u \cdot v + = u_1 \overline{v}_1 + u_2 \overline{v}_2 + \cdots + u_n \overline{v}_n + = \sum_{i=1}^n u_i \overline{v}_i. + \) +\end{definition} + +\texttt{TODO: Text here.} + +\begin{definition}[Span] +\end{definition} + +\texttt{TODO: Text here.} + +\begin{definition}[Linear independence] +\end{definition} + + +\texttt{TODO: Text here.} + +\begin{definition}[Basis] +\end{definition} + +\texttt{TODO: Text here.} + +\begin{definition}[Inner product] + \label{kugel:def:inner-product} \nocite{axler_linear_2014} + The \emph{inner product} on \(V\) is a function that takes each ordered pair + \((u, v)\) of elements of \(V\) to a number \(\langle u, v \rangle \in + \mathbb{K}\) and has the following properties: + \begin{enumerate}[(a)] + \item (Positivity) \(\langle v, v \rangle \geq 0\) for all \(v \in V\); + \item (Definiteness) \(\langle v, v \rangle = 0\) iff \(v = 0\); + \item (Additivity) \( + \langle u + v, w \rangle = + \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle + \) for all \(u, v, w \in V\); + \item (Homogeneity) \( + \langle \lambda u, v \rangle = + \lambda \langle u, v \rangle + \) for all \(\lambda \in \mathbb{K}\) and all \(u, v \in V\); + \item (Conjugate symmetry) + \(\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}\) for all + \(u, v \in V\). + \end{enumerate} +\end{definition} + +This newly introduced inner product is thus a generalization of the scalar +product that does not explicitly depend on rows or columns of vectors. This +has the interesting consequence that anything that behaves according to the +rules given in definition \ref{kugel:def:inner-product} \emph{is} an inner +product. For example if we say that the vector space \(V = \mathbb{R}^n\), +then the dot product defined in definition \ref{kugel:def:dot-product} +\( + u \cdot v = u_1 \overline{v}_1 + u_2 \overline{v}_2 + \cdots + u_n \overline{v}_n +\) +is an inner product in \(V\), and the two are said to form an \emph{inner +product space}. + +\begin{definition}[Inner product space] + \nocite{axler_linear_2014} + An inner product space is a vector space \(V\) equipped with an inner + product on \(V\). +\end{definition} + +How about a more interesting example: the set of continuous complex valued +functions on the interval \([0; 1]\) can behave like vectors. Functions can +be added, subtracted, multiplied with scalars, are associative and there is +even the identity element (zero function \(f(x) = 0\)), so we can create an +inner product +\[ + \langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x) \overline{g(x)} \, dx, +\] +which will indeed satisfy all of the rules for an inner product (in fact this +is called the Hermitian inner product\nocite{allard_mathematics_2009}). If +this last step sounds too good to be true, you are right, because it is not +quite so simple. The problem that we have swept under the rug here is +convergence, which any student who took an analysis class will know is a +rather hairy question. We will not need to go too much into the details since +formally discussing convergence is definitely beyond the scope of this text, +however, for our purposes we will still need to dig a little deeper for a few +more paragraph. + +\subsection{Convergence} + +In the last section we hinted that we can create ``infinite-dimensional'' +vector spaces using functions as vectors, and inner product spaces by +integrating the product of two functions of said vector space. However, there +is a problem with convergence which twofold: the obvious problem is that the +integral of the inner product may not always converge, while the second is a +bit more subtle and will be discussed later. The inner product that does +not converge is a problem because we want a \emph{norm}. + +\begin{definition}[\(L^2\) Norm] + \nocite{axler_linear_2014} + The norm of a vector \(v\) of an inner product space is a number + denoted as \(\| v \|\) that is computed by \(\| v \| = \sqrt{\langle v, v + \rangle}\). +\end{definition} + +In \(\mathbb{R}^n\) with the dot product (Euclidian space) the norm is the +geometric length of a vector, while in a more general inner product space the +norm can be thought of as a more abstract measure of ``length''. In any case +it is rather important that the expression \(\sqrt{\langle v, v \rangle}\), +which when using functions \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) becomes +\[ + \sqrt{\langle f, f \rangle} = + \sqrt{\int_\mathbb{R} f(x) \overline{f(x)} \, dx} = + \sqrt{\int_\mathbb{R} |f(x)|^2 \, dx}, +\] +always exists. So, to fix this problems we do what mathematicians do best: +make up the solution. Since the integrand under the square root is always the +square of the magnitude, we can just specify that the functions must be +\emph{absolutely square integrable}. To be more compact it is common to just +write \(f \in L^2\), where \(L^2\) denotes the set of absolutely square +integrable functions. + +Now we can tackle the second (much more difficult) problem of convergence +mentioned at the beginning. Using the technical jargon, we need that our inner +product space is what is called a \emph{complete metric space}, which just +means that we can measure distances. For the more motivated readers although +not really necessary we can also give a more formal definition, the others can +skip to the next section. + +\begin{definition}[Metric space] + \nocite{tao_analysis_2016} + A metric space \((X, d)\) is a space \(X\) of objects (called points), + together with a distance function or metric \(d: X \times X \to [0, + +\infty)\), which associates to each pair \(x, y\) of points in \(X\) a + non-negative real number \(d(x, y) \geq 0\). Furthermore, the metric must + satisfy the following four axioms: + \begin{enumerate}[(a)] + \item For any \(x\in X\), we have \(d(x, x) = 0\). + \item (Positivity) For any \emph{distinct} \(x, y \in X\), we have + \(d(x,y) > 0\). + \item (Symmetry) For any \(x,y \in X\), we have \(d(x, y) = d(y, x)\). + \item (Triangle inequality) For any \(x, y, z \in X\) we have + \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\). + \end{enumerate} +\end{definition} + +As is seen in the definition metric spaces are a very abstract concept and +rely on rather weak statements, which makes them very general. Now, the more +intimidating part is the \emph{completeness} which is defined as follows. + +\begin{definition}[Complete metric space] + \label{kugel:def:complete-metric-space} + A metric space \((X, d)\) is said to be \emph{complete} iff every Cauchy + sequence in \((X, d)\) is convergent in \((X, d)\). +\end{definition} + +To fully explain definition \ref{kugel:def:complete-metric-space} it would +take a few more pages, which would get a bit too heavy. So instead we will +give an informal explanation through an counterexample to get a feeling of +what is actually happening. Cauchy sequences is a rather fancy name for a +sequence for example of numbers that keep changing, but in a such a way that +at some point the change keeps getting smaller (the infamous +\(\varepsilon-\delta\) definition). For example consider the sequence of +numbers +\[ + 1, + 1.4, + 1.41, + 1.414, + 1.4142, + 1.41421, + \ldots +\] +in the metric space \((\mathbb{Q}, d)\) with \(d(x, y) = |x - y|\). Each +element of this sequence can be written with some fraction in \(\mathbb{Q}\), +but in \(\mathbb{R}\) the sequence is converging towards the number +\(\sqrt{2}\). However, \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). Since we can find a +sequence of fractions whose distance's limit is not in \(\mathbb{Q}\), the +metric space \((\mathbb{Q}, d)\) is \emph{not} complete. Conversely, +\((\mathbb{R}, d)\) is a complete metric space since \(\sqrt{2} \in +\mathbb{R}\). + +Of course the analogy above also applies to vectors, i.e. if in an inner +product space \(V\) over a field \(\mathbb{K}\) all sequences of vectors have +a distance that is always in \(\mathbb{K}\), then \(V\) is also a complete +metric space. In the jargon, this particular case is what is known as a +Hilbert space, after the incredibly influential German mathematician David +Hilbert. + +\begin{definition}[Hilbert space] + A Hilbert space is a vector space \(H\) with an inner product \(\langle f, g + \rangle\) and a norm \(\sqrt{\langle f, f \rangle}\) defined such that \(H\) + turns into a complete metric space. +\end{definition} + +\subsection{Orthogonal basis and Fourier series} + +Now we finally have almost everything we need to get into the domain of +Fourier theory from the perspective of linear algebra. However, we still need +to briefly discuss the matter of orthogonality\footnote{See chapter +\ref{buch:chapter:orthogonalitaet} for more on orthogonality.} and +periodicity. Both should be very straightforward and already well known. + +\begin{definition}[Orthogonality and orthonormality] + \label{kugel:def:orthogonality} + In an inner product space \(V\) two vectors \(u, v \in V\) are said to be + \emph{orthogonal} if \(\langle u, v \rangle = 0\). Further, if both \(u\) + and \(v\) are of unit length, i.e. \(\| u \| = 1\) and \(\| v \| = 1\), then + they are said to be ortho\emph{normal}. +\end{definition} + +\begin{definition}[1-periodic function and \(C(\mathbb{R}/\mathbb{Z}; \mathbb{C})\)] + A function is said to be 1-periodic if \(f(x + 1) = f(x)\). The set of + 1-periodic function from the real to the complex + numbers is denoted by \(C(\mathbb{R}/\mathbb{Z}; \mathbb{C})\). +\end{definition} + +In the definition above the notation \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) was borrowed +from group theory, and is what is known as a quotient group; Not really +relevant for our discussion but still a ``good to know''. More importantly, it +is worth noting that we could have also defined more generally \(L\)-periodic +functions with \(L\in\mathbb{R}\), however, this would introduce a few ugly +\(L\)'s everywhere which are not really necessary (it will always be possible +to extend the theorems to \(\mathbb{R} / L\mathbb{Z}\)). Thus, we will +continue without the \(L\)'s, and to simplify the language unless specified +otherwise ``periodic'' will mean 1-periodic. Having said that, we can +officially begin with the Fourier theory. + +\begin{lemma} + The subset of absolutely square integrable functions in + \(C(\mathbb{R}/\mathbb{Z}; \mathbb{C})\) together with the Hermitian inner + product + \[ + \langle f, g \rangle = \int_{[0; 1)} f(x) \overline{g(x)} \, dx + \] + form a Hilbert space. +\end{lemma} +\begin{proof} + It is not too difficult to show that the functions in \(C(\mathbb{R} / + \mathbb{Z}; \mathbb{C})\) are well behaved and form a vector space. Thus, + what remains is that the norm needs to form a complete metric space. + However, this follows from the fact that we defined the functions to be + absolutely square integrable\footnote{For the curious on why, it is because + \(L^2\) is what is known as a \emph{compact metric space}, and compact + metric spaces are always complete (see \cite{eck_metric_2022, + tao_analysis_2016}). To explain compactness and the relationship between + compactness and completeness is definitely beyond the goals of this text.}. +\end{proof} + +This was probably not a very satisfactory proof since we brushed off a lot of +details by referencing other theorems. However, the main takeaway should be +that we have ``constructed'' this new Hilbert space of functions in a such a +way that from now on we will not have to worry about the details of +convergence. + +\begin{lemma} + \label{kugel:lemma:exp-1d} + The set of functions \(E_n(x) = e^{i2\pi nx}\) on the interval + \([0; 1)\) with \(n \in \mathbb{Z} \) are orthonormal. +\end{lemma} +\begin{proof} + We need to show that \(\langle E_m, E_n \rangle\) equals 1 when \(m = n\) + and zero otherwise. This is a straightforward computation: We start by + unpacking the notation to get + \[ + \langle E_m, E_n \rangle + = \int_0^1 e^{i2\pi mx} e^{- i2\pi nx} \, dx + = \int_0^1 e^{i2\pi (m - n)x} \, dx, + \] + then inside the integrand we can see that when \(m = n\) we have \(e^0 = 1\) and + thus \( \int_0^1 dx = 1, \) while when \(m \neq n\) we can just say that we + have a new non-zero integer + \(k := m - n\) and + \[ + \int_0^1 e^{i2\pi kx} \, dx + = \frac{e^{i2\pi k} - e^{0}}{i2\pi k} + = \frac{1 - 1}{i2\pi k} + = 0 + \] + as desired. \qedhere +\end{proof} + +\begin{definition}[Spectrum] +\end{definition} + +\begin{theorem}[Fourier Theorem] + \[ + \lim_{N \to \infty} \left \| + f(x) - \sum_{n = -N}^N \hat{f}(n) E_n(x) + \right \|_2 = 0 + \] +\end{theorem} + +\begin{lemma} + The set of functions \(E_{m, n}(\xi, \eta) = e^{i2\pi m\xi}e^{i2\pi n\eta}\) + on the square \([0; 1)^2\) with \(m, n \in \mathbb{Z} \) are orthonormal. +\end{lemma} +\begin{proof} + The proof is almost identical to lemma \ref{kugel:lemma:exp-1d}, with the + only difference that the inner product is given by + \[ + \langle E_{m,n}, E_{m', n'} \rangle + = \iint_{[0;1)^2} + E_{m, n}(\xi, \eta) \overline{E_{m', n'} (\xi, \eta)} + \, d\xi d\eta + .\qedhere + \] +\end{proof} + +\subsection{Laplacian operator} + +\subsection{Eigenvalue Problem} diff --git a/buch/papers/kugel/references.bib b/buch/papers/kugel/references.bib index 013da60..b74c5cd 100644 --- a/buch/papers/kugel/references.bib +++ b/buch/papers/kugel/references.bib @@ -1,35 +1,195 @@ -% -% references.bib -- Bibliography file for the paper kugel -% -% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil -% - -@online{kugel:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} -} - -@book{kugel:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{kugel:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} + +@article{carvalhaes_surface_2015, + title = {The surface Laplacian technique in {EEG}: Theory and methods}, + volume = {97}, + issn = {01678760}, + url = {https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0167876015001749}, + doi = {10.1016/j.ijpsycho.2015.04.023}, + shorttitle = {The surface Laplacian technique in {EEG}}, + pages = {174--188}, + number = {3}, + journaltitle = {International Journal of Psychophysiology}, + shortjournal = {International Journal of Psychophysiology}, + author = {Carvalhaes, Claudio and de Barros, J. Acacio}, + urldate = {2022-05-16}, + date = {2015-09}, + langid = {english}, + file = {Submitted Version:/Users/npross/Zotero/storage/SN4YUNQC/Carvalhaes and de Barros - 2015 - The surface Laplacian technique in EEG Theory and.pdf:application/pdf}, +} + +@video{minutephysics_better_2021, + title = {A Better Way To Picture Atoms}, + url = {https://www.youtube.com/watch?v=W2Xb2GFK2yc}, + abstract = {Thanks to Google for sponsoring a portion of this video! +Support {MinutePhysics} on Patreon: http://www.patreon.com/minutephysics + +This video is about using Bohmian trajectories to visualize the wavefunctions of hydrogen orbitals, rendered in 3D using custom python code in Blender. + +{REFERENCES} +A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden" Variables. I +David Bohm, Physical Review, Vol 85 No. 2, January 15, 1952 + +Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics +J. S. Bell + +Trajectory construction of Dirac evolution +Peter Holland + +The de Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics and its Application to some Simple Systems by Caroline Colijn + +Bohmian Trajectories as the Foundation of Quantum Mechanics +http://arxiv.org/abs/0912.2666v1 + +The Pilot-Wave Perspective on Quantum Scattering and Tunneling +http://arxiv.org/abs/1210.7265v2 + +A Quantum Potential Description of One-Dimensional Time-Dependent Scattering From Square Barriers and Square Wells +Dewdney, Foundations of Physics, {VoL} 12, No. 1, 1982 + +Link to Patreon Supporters: http://www.minutephysics.com/supporters/ + +{MinutePhysics} is on twitter - @minutephysics +And facebook - http://facebook.com/minutephysics + +Minute Physics provides an energetic and entertaining view of old and new problems in physics -- all in a minute! + +Created by Henry Reich}, + author = {{minutephysics}}, + urldate = {2022-05-19}, + date = {2021-05-19}, +} + +@article{ries_role_2013, + title = {Role of the lateral prefrontal cortex in speech monitoring}, + volume = {7}, + issn = {1662-5161}, + url = {http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fnhum.2013.00703/abstract}, + doi = {10.3389/fnhum.2013.00703}, + journaltitle = {Frontiers in Human Neuroscience}, + shortjournal = {Front. Hum. 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The treatment discusses and applies the techniques of Fourier analysis to these equations and extends the discussion to the Fourier integral. Final chapters discuss Legendre, Bessel, and Mathieu functions and the general structure of differential operators"--}, + publisher = {Dover Publications, Inc}, + author = {Miller, Kenneth S.}, + date = {2020}, + keywords = {Differential equations, Partial}, +} + +@book{asmar_complex_2018, + location = {Cham}, + title = {Complex analysis with applications}, + isbn = {978-3-319-94062-5}, + series = {Undergraduate texts in mathematics}, + pagetotal = {494}, + publisher = {Springer}, + author = {Asmar, Nakhlé H. and Grafakos, Loukas}, + date = {2018}, + doi = {10.1007/978-3-319-94063-2}, + file = {Table of Contents PDF:/Users/npross/Zotero/storage/G2Q2RDFU/Asmar and Grafakos - 2018 - Complex analysis with applications.pdf:application/pdf}, +} + +@book{adkins_ordinary_2012, + location = {New York}, + title = {Ordinary differential equations}, + isbn = {978-1-4614-3617-1}, + series = {Undergraduate texts in mathematics}, + pagetotal = {799}, + publisher = {Springer}, + author = {Adkins, William A. and Davidson, Mark G.}, + date = {2012}, + keywords = {Differential equations}, +} + +@book{griffiths_introduction_2015, + title = {Introduction to electrodynamics}, + isbn = {978-93-325-5044-5}, + author = {Griffiths, David J}, + date = {2015}, + note = {{OCLC}: 965197645}, +} + +@book{tao_analysis_2016, + title = {Analysis 2}, + isbn = {978-981-10-1804-6}, + url = {https://doi.org/10.1007/978-981-10-1804-6}, + author = {Tao, Terence}, + urldate = {2022-07-25}, + date = {2016}, + note = {{OCLC}: 965325026}, +} + +@book{axler_linear_2015, + location = {Cham}, + title = {Linear Algebra Done Right}, + isbn = {978-3-319-11079-0 978-3-319-11080-6}, + url = {https://link.springer.com/10.1007/978-3-319-11080-6}, + series = {Undergraduate Texts in Mathematics}, + publisher = {Springer International Publishing}, + author = {Axler, Sheldon}, + urldate = {2022-07-25}, + date = {2015}, + langid = {english}, + doi = {10.1007/978-3-319-11080-6}, + file = {Submitted Version:/Users/npross/Zotero/storage/3Y8MX74N/Axler - 2015 - Linear Algebra Done Right.pdf:application/pdf}, } +@online{eck_metric_2022, + title = {Metric Spaces: Completeness}, + url = {https://math.hws.edu/eck/metric-spaces/completeness.html}, + titleaddon = {Math 331: Foundations of Analysis}, + author = {Eck, David J.}, + urldate = {2022-08-01}, + date = {2022}, + file = {Metric Spaces\: Completeness:/Users/npross/Zotero/storage/5JYEE8NF/completeness.html:text/html}, +}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex new file mode 100644 index 0000000..6b23ce5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex @@ -0,0 +1,13 @@ +% vim:ts=2 sw=2 et spell: + +\section{Spherical Harmonics} + +\subsection{Eigenvalue Problem in Spherical Coordinates} + +\subsection{Properties} + +\subsection{Recurrence Relations} + +\section{Series Expansions in \(C(S^2)\)} + +\nocite{olver_introduction_2013} diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile b/buch/papers/laguerre/Makefile index 0f0985a..85a1b83 100644 --- a/buch/papers/laguerre/Makefile +++ b/buch/papers/laguerre/Makefile @@ -3,9 +3,42 @@ # # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller # +IMGFOLDER := images +PRESFOLDER := presentation -images: images/laguerre_polynomes.pdf +FIGURES := \ + images/targets.pdf \ + images/rel_error_complex.pdf \ + images/estimates.pdf \ + images/integrand.pdf \ + images/integrand_exp.pdf \ + images/laguerre_poly.pdf \ + images/rel_error_mirror.pdf \ + images/rel_error_range.pdf \ + images/rel_error_shifted.pdf \ + images/rel_error_simple.pdf \ + images/gammaplot.pdf -images/laguerre_polynomes.pdf: scripts/laguerre_plot.py - python3 scripts/laguerre_plot.py +.PHONY: all +all: images presentation +.PHONY: images +images: $(FIGURES) + +.PHONY: presentation +presentation: $(PRESFOLDER)/presentation.pdf + +images/%.pdf images/%.pgf: scripts/%.py scripts/gamma_approx.py + python3 $< + +images/gammaplot.pdf: images/gammaplot.tex images/gammapaths.tex + cd $(IMGFOLDER) && latexmk -quiet -pdf gammaplot.tex + +$(PRESFOLDER)/%.pdf: $(PRESFOLDER)/%.tex $(FIGURES) + cd $(PRESFOLDER) && latexmk -quiet -pdf $(<F) + +.PHONY: clean +clean: + rm $(FIGURES) + cd $(IMGFOLDER) && latexmk -C + cd $(PRESFOLDER) && latexmk -C
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc index 12b0935..39b5d6f 100644 --- a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc +++ b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc @@ -10,6 +10,4 @@ dependencies-laguerre = \ papers/laguerre/definition.tex \ papers/laguerre/eigenschaften.tex \ papers/laguerre/quadratur.tex \ - papers/laguerre/gamma.tex - - + papers/laguerre/gamma.tex diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index d111f6f..61549e0 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -3,35 +3,58 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Definition +\section{Herleitung% + % \section{Einleitung + % \section{Definition \label{laguerre:section:definition}} -\rhead{Definition} -Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch +\rhead{Definition}% +In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome +aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten. +Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten. +Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden. + +\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} +Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch \begin{align} x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) = 0 , \quad -n \in \mathbb{N}_0 +n \in \mathbb{N} , \quad x \in \mathbb{R} -. \label{laguerre:dgl} +. \end{align} +Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung +zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, +aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. -Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, -weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, -aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. -Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen -Potenzreihenansatz. -Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, -erscheint dieser Ansatz sinnvoll. -Setzt man nun den Ansatz + +\subsection{Potenzreihenansatz% +\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}} +Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, +weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. +Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. +Wir stellen die Vermutung auf, +dass die Lösungen orthogonale Polynome sind. +Die Orthogonalität der Lösung werden wir im +Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen. +Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund +der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz. +Der Potenzreihenansatz ist gegeben als +% Da wir bereits wissen, +% dass die Lösung orthogonale Polynome sind, +% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. \begin{align*} y(x) & = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k -\\ +% \\ +. +\end{align*} +Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir +\begin{align*} y'(x) & = \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} @@ -43,8 +66,16 @@ y''(x) \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2} = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} +. \end{align*} -in die Differentialgleichung ein, erhält man: + +\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung} +Setzt man nun den Potenzreihenansatz in +\eqref{laguerre:dgl} +%die Differentialgleichung +ein, +% erhält man +resultiert \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k + @@ -61,18 +92,21 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 0. \end{align*} Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung -\begin{align*} +\begin{align} a_{k+1} & = \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k -\end{align*} +\label{laguerre:rekursion} +\end{align} ableiten. Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$, denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$. -Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, +Aus %der Rekursionsbeziehung +\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich, dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann. -Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ +Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten +% $a_1, a_2, a_3$ \begin{align*} a_1 = @@ -102,8 +136,10 @@ k & >n: & a_k & = -0. +0 +. \end{align*} +Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen. Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome \begin{align} L_n(x) @@ -111,29 +147,45 @@ L_n(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k \label{laguerre:polynom} \end{align} -und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome +und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome \begin{align} L_n^\nu(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. \label{laguerre:allg_polynom} \end{align} +Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in +Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. +\begin{figure} +\centering +% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} +\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf} +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\label{laguerre:fig:polyeval} +\end{figure} \subsection{Analytische Fortsetzung} -Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der -Differentialgleichung mit der Form +Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der +Differentialgleichung erhalten. +Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung +die Form \begin{align*} \Xi_n(x) = -L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +. \end{align*} -Nach einigen mühsamen Rechnungen, -die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, +Eine Herleitung dazu lässt sich im +Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} +im ersten Teil des Buches finden. +Nach einigen aufwändigen Rechnungen, +% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, +die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden, erhalten wir \begin{align*} \Xi_n = -L_n(x) \ln(x) +L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k @@ -142,16 +194,5 @@ L_n(x) \ln(x) \end{align*} wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$, $\forall k \in \mathbb{N}$. -Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in -Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=0.7\textwidth]{% - papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf% -} -\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} -\label{laguerre:fig:polyeval} -\end{figure} - % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index b0cc3a3..b007c2d 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,36 +3,83 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Eigenschaften - \label{laguerre:section:eigenschaften}} -{ -\large \color{red} -TODO: -Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur -benötigt wird. -} - -Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften -\rhead{Eigenschaften} - -\subsection{Orthogonalität - \label{laguerre:subsection:orthogonal}} -Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, -dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +\subsection{Orthogonalität% +\label{laguerre:subsection:orthogonal}} +\rhead{Orthogonalität}% +Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz} +haben wir die Behauptung aufgestellt, +dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. -Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein -Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich -bei -den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe -Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). -Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form +% +Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen, +bieten sich folgende Möglichkeiten an: +\begin{enumerate} +\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes +mit einem selbstadjungierten Operator. +Dafür muss aber zuerst bewiesen werden, +dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist. +Die Theorie dazu findet sich in den +Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und +\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}. +\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der +Sturm-Liouville-Differentialgleichung, +denn für dieses verallgemeinerte Problem +ist die Orthogonalität bereits bewiesen. +Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}. +\end{enumerate} + +% \subsubsection{Plan} +\subsubsection{Idee} +Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten +wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden. +% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl} +% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen. +Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung +in die richtige Form bringen, +sondern den Laguerre-Operator +\begin{align} +\Lambda += +x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +\label{laguerre:lagop} +. +\end{align} +Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt, +kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator \begin{align} S = \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). \label{laguerre:slop} \end{align} -Aus der Beziehung +bewiesen werden. +Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen. + +% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein +% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich +% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe +% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). +% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator +% \begin{align} +% S +% = +% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). +% \label{laguerre:slop} +% \end{align} +% und den Laguerre-Operator +% \begin{align} +% \Lambda +% = +% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +% \end{align} +% erhalten werden, +% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. + +\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator} +% Aus der Beziehung von +Setzen wir nun +\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop} +einander gleich \begin{align} S & = @@ -43,45 +90,52 @@ S & = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx} \label{laguerre:sl-lag} +, \end{align} lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$. Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung \begin{align*} x \frac{dp}{dx} = --(\nu + 1 - x) p, +(\nu + 1 - x) p \end{align*} erfüllen muss. Durch Separation erhalten wir dann \begin{align*} \int \frac{dp}{p} & = --\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx +\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx += +\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx \\ \log p & = --\log \nu + 1 - x + C +(\nu + 1)\log x - x + c \\ p(x) & = --C x^{\nu + 1} e^{-x} +C x^{\nu + 1} e^{-x} +. \end{align*} -Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir +Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} \frac{C}{w(x)} \left( -x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} + +-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} - (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx} \right) = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}. \end{align*} -Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu -e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$. -Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an, -deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den -Definitionsbereich $(0, \infty)$. -Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen, +Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, +dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$. +Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an. +Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$, +daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den +Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet. + +\subsubsection{Randbedingungen} +Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen \begin{align} k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0) & = @@ -94,10 +148,12 @@ k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty) \label{laguerre:sllag_randb} \end{align} mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind. -Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 = -0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden, +% +Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und +$h_0 = 1$ verwendet werden, was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben. -Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) + +Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb} \begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x) & = @@ -106,14 +162,27 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion -$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. - - -\subsection{Rodrigues-Formel} - -\subsection{Drei-Terme Rekursion} -\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} +% Somit können wir schlussfolgern: +\begin{satz} +Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$) +\eqref{laguerre:polynom} +% \begin{align*} +% L_n(x) +% = +% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k +% \end{align*} +sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes +im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$. +\end{satz} +\begin{satz} +Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom} +% \begin{align*} +% L_n^\nu(x) +% = +% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. +% \end{align*} +sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes +im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$. +\end{satz} diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex index e3838b0..0cf17b9 100644 --- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -3,74 +3,605 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion +\section{Anwendung: Berechnung der + Gamma-Funktion% \label{laguerre:section:quad-gamma}} +\rhead{Approximation der Gamma-Funktion}% Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden, -um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu -berechnen. -Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden -Abschnitten sehen werden. +um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich~$(0, \infty)$ +zu berechnen. +Dabei bietet sich zum Beispiel die Gamma-Funktion hervorragend an, +wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden. -\subsection{Gamma-Funktion} +Im ersten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gamma} möchten wir noch einmal +die wichtigsten Eigenschaften der Gamma-Funktion betrachten, +bevor wir dann im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma} +diese Eigenschaften nutzen werden, +damit wir die Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion +markant verbessern können. +% damit wir sie dann in einem nächsten Schritt verwenden können, +% um unsere Approximationsmethode zu verbessern +% Im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma} +% wenden wir dann die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion und +% erweitern die Methode + +\subsection{Gamma-Funktion% +\label{laguerre:subsection:gamma}} Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe Zahlenmenge. +Mehr Informationen zur Gamma-Funktion lassen sich im +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma} finden. Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als Integral der Form \begin{align} \Gamma(z) & = -\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx , \quad -\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$} -, +\text{wobei } \operatorname{Re}(z) > 0 \label{laguerre:gamma} +. \end{align} -welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur -berechnet zu werden. +Der Term $e^{-x}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen +genau die Bedingungen der Gauss-Laguerre-Integration. +% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und +% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren. +Weiter zu erwähnen ist, dass für die assoziierte Gauss-Laguerre-Integration die +Gewichtsfunktion $x^\nu e^{-x}$ exakt dem Integranden +für $\nu = z - 1$ entspricht. \subsubsection{Funktionalgleichung} -Die Funktionalgleichung besagt +Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät, +nämlich \begin{align} -z \Gamma(z) = \Gamma(z+1). +\Gamma(z+1) += +z \Gamma(z) +\quad +\text{mit } +\Gamma(1) += +1 +. \label{laguerre:gamma_funktional} \end{align} -Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten, -geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden, -um das gewünschte Resultat zu erhalten. -\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur} +\subsubsection{Reflektionsformel} +Die Reflektionsformel +\begin{align} +\Gamma(z) \Gamma(1 - z) += +\frac{\pi}{\sin \pi z} +,\quad +\text{für } +z \notin \mathbb{Z} +\label{laguerre:gamma_refform} +\end{align} +stellt eine Beziehung zwischen den zwei Punkten, +die aus der Spiegelung an der Geraden $\real z = 1/2$ hervorgehen, +her. +Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene +leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt. -Fehlerterm: +\subsection{Berechnung mittels +Gauss-Laguerre-Quadratur% +\label{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}} +In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen, +dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur +\begin{align*} +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx += +\int_0^\infty f(x) w(x) \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\end{align*} +eignet. +Nun bieten sich uns zwei Optionen, +diese zu berechnen: +\begin{enumerate} +\item Wir verwenden die assoziierten Laguerre-Polynome $L_n^\nu(x)$ mit +$w(x) = x^\nu e^{-x}$, $\nu = z - 1$ und $f(x) = 1$. +% $f(x)=1$. +% \begin{align*} +% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +% = +% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx +% \quad +% \text{mit } +% w(x) +% = +% x^\nu e^{-x}, +% \nu +% = +% z - 1 +% \text{ und } +% f(x) = 1 +% . +% \end{align*} +\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ mit +$w(x) = e^{-x}$ und $f(x) = x^{z - 1}$. +% $f(x)=x^{z-1}$ +% \begin{align*} +% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +% = +% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx +% \quad +% \text{mit } +% w(x) +% = +% e^{-x} +% \text{ und } +% f(x) = x^{z - 1} +% . +% \end{align*} +\end{enumerate} +Die erste Variante wäre optimal auf das Problem angepasst, +allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$ +neu berechnet werden, +da sie per Definition von $z$ abhängen. +Dazu kommt, +dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach +\cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA} \begin{align*} +A_i += +\frac{ +\Gamma(n) \Gamma(n+\nu) +} +{ +(n+\nu) +\left[L_{n-1}^{\nu}(x_i)\right]^2 +} +\end{align*} +Evaluationen der Gamma-Funktion benötigen. +Somit ist diese Methode eindeutig nicht geeignet für unser Vorhaben. + +Bei der zweiten Variante benötigen wir keine Neuberechung der Gewichte +und Nullstellen für unterschiedliche $z$. +In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich, +dass die Gewichte einfach zu berechnen sind. +Auch die Nullstellen können vorgängig, +mittels eines geeigneten Verfahrens, +aus den Polynomen bestimmt werden. +Als problematisch könnte sich höchstens +die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen. +Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte, +die zweite Variante weiterzuverfolgen. + +\subsubsection{Direkter Ansatz} +% +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der +Laguerre-Polynome}% +\label{laguerre:fig:rel_error_simple} +\end{figure} +%. +Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus +\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion +\eqref{laguerre:gamma} an, +ergibt sich +\begin{align} +\Gamma(z) +\approx +\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i +\label{laguerre:naive_lag} +. +\end{align} +Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden, +möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen. +Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung +der zu integrierenden Funktion $f(\xi)$ benötigt. +Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also +\begin{align*} +\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} f(\xi) + & = +\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} \xi^{z-1} +\\ + & = +(z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1} +. +\end{align*} +Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert +\begin{align} R_n = (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1} -\end{align*} +, +\label{laguerre:gamma_err_simple} +\end{align} +wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Intervall $(0, \infty)$ ist +und $n$ der Grad des verwendeten Laguerre-Polynoms. +Eine Fehlerabschätzung mit dem Fehlerterm stellt sich als unnütz heraus, +da $R_n$ für $z < 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow 0$ eine Singularität aufweist +und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert. +Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$ +wäre eine Fehlerabschätzung plausibel. -\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle} +Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur +auf die Gamma-Funktion an. +Dazu benötigen wir die Gewichte nach +\eqref{laguerre:quadratur_gewichte} +und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$. +Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein +Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}. +Man kann sehen, +wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$. +Laut der Theorie der Gauss-Quadratur ist das auch zu erwarten, +da die Approximation via Gauss-Quadratur +exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ und +der Integrand $x^{z-1}$ wird für $z \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ +zu einem Polynom . +% Hinzukommt, dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten. +Es ist ersichtlich, +dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Intervall gibt, +in dem der relative Fehler minimal ist. +Links steigt der relative Fehler besonders stark an, +während er auf der rechten Seite zu konvergieren scheint. + +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +\label{laguerre:fig:rel_error_mirror} +\end{figure} + +Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen, +könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden. +Spiegelt man nun $z$ mit negativem Realteil mittels der Reflektionsformel, +ergibt sich ein stabilerer Fehler in der linken Hälfte, +wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_mirror}. +Die Spiegelung bringt nur für wenige Werte einen, +für praktische Anwendungen geeigneten, +relativen Fehler. +Wie wir aber in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple} sehen konnten, +gibt es für jeden Polynomgrad $n$ ein Intervall $[a(n), a(n) + 1]$, +$a(n) \in \mathbb{Z}$, +in welchem der relative Fehler minimal ist. +Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion \eqref{laguerre:gamma_funktional} +könnte uns hier helfen, +das Problem in den Griff zu bekommen. + +\subsubsection{Analyse des Integranden} +Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, +scheint der Integrand problematisch. +Darum möchten wir ihn jetzt analysieren, +damit wir ihn besser verstehen können. +Dies sollte es uns ermöglichen, +anschliessend geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln. + +% Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen, +% wieso der Integrand so problematisch ist. +% Was das heisst sollte in Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} +% und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden. +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/integrand.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\label{laguerre:fig:integrand} +\end{figure} + +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $x^z$ für +unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt. +Dies entspricht der zu integrierenden Funktion $f(x)$ +der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion. +Man erkennt, +dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt +und auch für grosse $z$ wächst der Integrand sehr schnell an. +Das heisst, +die Ableitungen im Fehlerterm divergieren noch schneller +und das wirkt sich negativ auf die Genauigkeit der Approximation aus. +Somit lässt sich hier sagen, +dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten. + +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\label{laguerre:fig:integrand_exp} +\end{figure} + +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} fügen wir +die Dämpfung der Gewichtsfunktion $w(x)$ +der Gauss-Laguerre-Quadratur wieder hinzu +und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z} e^{-x}$ +der Gamma-Funktion. +Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten, +wenn $x \rightarrow 0$. +Um $x = 1$ wächst der Term $x^z$ für positive $z$ +schneller als die Dämpfung $e^{-x}$, +aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$. +Das führt zu glockenförmigen Kurven, +die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen. +Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch. +Kleine positive $z$ scheinen nun aber auch zulässig zu sein. +Damit formulieren wir die Vermutung, +dass $a(n)$, +welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert, +in dem der relative Fehler minimal ist, +grösser als $0$ und kleiner als $2n-1$ ist. + +\subsubsection{Ansatz mit Verschiebungsterm} +% Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} +% kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Intervall $z \in [a,a+1]$, +% in dem der relative Fehler minimal ist, +% evaluiert werden und dann mit der Funktionalgleichung zurückverschoben werden. Nun stellt sich die Frage, ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann, -wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und -dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung. -Dazu wollen wir den Fehlerterm in -Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren. -Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren. -Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$ -ist. -Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt +wenn man das Problem in einem geeigneten Intervall $[a(n), a(n)+1]$, +$a(n) \in \mathbb{Z}$, +evaluiert und dann mit der +Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} zurückverschiebt. +Für dieses Vorhaben führen wir einen Verschiebungsterm $m \in \mathbb{Z}$ ein. +Passen wir \eqref{laguerre:naive_lag} +mit dem Verschiebungsterm $m$ +%,der $z$ and die Stelle $z_m = z + m$ verschiebt, +an, +ergibt sich +\begin{align} +\Gamma(z) +\approx +s(z, m) \sum_{i=1}^n x_i^{z + m - 1} A_i +% && +% \text{mit } +% s(z, m) +% = +% \begin{cases} +% \displaystyle +% \frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0\\ +% (z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0 +% \end{cases} +% . +\label{laguerre:shifted_lag} +\end{align} +mit \begin{align*} -R_n +s(z, m) = -\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1} +\begin{cases} +\displaystyle +\frac{1}{(z)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\ +(z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0 +\end{cases} . \end{align*} -{ -\large \color{red} -TODO: -Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich -bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen. -} +\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle} +Um die optimale Stelle $z^*(n) \in \left[a(n), a(n) + 1\right]$, +$z^*(n) \in \mathbb{R}$, +zu finden, +erweitern wir denn Fehlerterm \eqref{laguerre:gamma_err_simple} +und erhalten +\begin{align} +R_{n,m}(\xi) += +s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1} +,\quad +\text{für } +\xi \in (0, \infty) +\label{laguerre:gamma_err_shifted} +. +\end{align} +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf} +% %\vspace{-12pt} +\caption{$m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\label{laguerre:fig:targets} +\end{figure} +% +Daraus formulieren wir das Optimierungproblem +\begin{align*} +m^* += +\operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi) +. +\end{align*} +Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und +hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes. +Dazu müssten wir $\xi$ versuchen, +unter Kontrolle zu bringen, +was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint. +Da die Gauss-Quadratur aber sowieso +nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist, +können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden. + +Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch +für $n = 1,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$, +da $z$ sowieso mit den Term $m$ verschoben wird, +reicht es, +die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren. +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:targets} sind die empirisch bestimmten $m^*$ +abhängig von $z$ und $n$ dargestellt. +In $n$-Richtung lässt sich eine klare lineare Abhängigkeit erkennen und +die Beziehung zu $z$ ist negativ, +d.h. wenn $z$ grösser ist, wird $m^*$ kleiner. +Allerdings ist die genaue Beziehung zu $z$ +aus dieser Grafik nicht offensichtlich, +aber sie scheint regelmässig zu sein. +Es lässt die Vermutung aufkommen, +dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht. +Wir versuchen, +dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben. +Den linearen Regressor +\begin{align*} +\hat{m} += +\alpha n + \beta +\end{align*} +machen wir nur abhängig von $n$, +in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen. + +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/estimates.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/estimates.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler} +\label{laguerre:fig:schaetzung} +\end{figure} + +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate +der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34154$ und $\beta = +0.848786$. +Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen. +Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit +\begin{align*} +m^* +\approx +\lceil \hat{m} - z \rceil += +\lceil \alpha n + \beta - z \rceil +\end{align*} +% kann nun mit dem linearen Regressor und $z$ +gefunden werden. + +\subsubsection{Evaluation des Schätzers} +In einem ersten Schritt möchten wir analysieren, +wie gut die Abschätzung des optimalen Verschiebungsterms ist. +Dazu bestimmen wir den relativen Fehler für verschiedene Verschiebungsterme $m$ +in der Nähe von $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$. +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler +der Approximation dargestellt. +Man kann deutlich sehen, +dass der relative Fehler anwächst, +je weiter der Verschiebungsterm vom idealen Wert abweicht. +Zudem scheint der Schätzer den optimalen Verschiebungsterm gut zu bestimmen, +da der Schätzer zuerst der grünen Linie folgt und +dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt. +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$. +Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$. +$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.} +\label{laguerre:fig:rel_error_shifted} +\end{figure} + +\subsubsection{Resultate} +Das Verfahren scheint für den Grad $n=8$ und $z \in (0,1)$ gut zu funktioneren. +Es stellt sich nun die Frage, +wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält. +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für +unterschiedliche $n$ dargestellt. +Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen +für ganzzahlige $z$. +Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber, +wie zu erwarten war, +ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$. +Zudem lässt sich erkennen, +dass der Fehler abhängig von der Ordnung $n$ +des verwendeten Laguerre-Polynoms ist. +Wenn der Grad $n$ um $1$ erhöht wird, +verbessert sich die Genauigkeit des Resultats um etwa eine signifikante Stelle. + +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_complex} +ist der Betrag des relativen Fehlers in der komplexen Ebene dargestellt. +Je stärker der Imaginäranteil von $z$ von $0$ abweicht, +umso schlechter wird die Genauigkeit der Approximation. +Das erstaunt nicht weiter, +da die Gauss-Quadratur eigentlich nur für reelle Zahlen definiert ist. +Wenn der Imaginäranteil von $z$ ungefähr $0$ ist, +lässt sich das gleiche Bild beobachten wie in +Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}. + +\begin{figure} +\centering +% \input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf} +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$} +\label{laguerre:fig:rel_error_range} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf} +%\vspace{-12pt} +\caption{Absolutwert des relativen Fehlers in der komplexen Ebene} +\label{laguerre:fig:rel_error_complex} +\end{figure} + +\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode} +Nun stellt sich die Frage, +wie das in diesem Abschnitt beschriebene Approximationsverfahren +der Gamma-Funktion sich gegenüber den üblichen Approximationsverfahren schlägt. +Eine häufig verwendete Methode ist die Lanczos-Approximation, +welche gegeben ist durch +\begin{align} +\Gamma(z + 1) +\approx +\sqrt{2\pi} \left( z + \sigma + \frac{1}{2} \right)^{z + 1/2} +e^{-(z + \sigma + 1/2)} \sum_{k=0}^n g_k H_k(z) +, +\end{align} +wobei +\begin{align*} +g_k = \frac{e^\sigma \varepsilon_k (-1)^k}{\sqrt{2\pi}} +\sum_{r=0}^k (-1)^r \, \binom{k}{r} \, (k)_r +\left( \frac{e}{r + \sigma + \frac{1}{2}}\right)^{r + 1/2} +, +\end{align*} +\begin{align*} +\varepsilon_k += +\begin{cases} +1 & \text{für } k = 0 \\ +2 & \text{sonst} +\end{cases} +\quad \text{und}\quad +H_k(z) += +\frac{(-1)^k (-z)_k}{(z+1)_k} +\end{align*} +mit $H_0 = 1$ und $\sum_0^n g_k = 1$ (siehe \cite{laguerre:lanczos}). +Diese Methode wurde zum Beispiel in +{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und +{\em musl} implementiert. +Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise eine Genauigkeit von $13$ +korrekten, signifikanten Stellen für reelle Argumente. +Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ +eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen +für reelle Argumente. -\subsection{Resultate} +\subsubsection{Fazit} +% Das Resultat ist etwas enttäuschend, +Die Genauigkeit der vorgestellten Methode schneidet somit schlechter ab +als die Lanczos-Methode. +Dieser Erkenntnis kommt nicht ganz unerwartet, +% aber nicht unerwartet, +da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und +unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist. +Allerdings besticht die vorgestellte Methode +durch ihre stark reduzierte Komplexität. % und Rechenaufwand. +% Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht, +% ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender, +% weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen, +% wenigen Multiplikationen und Additionen besteht. +Was den Rechenaufwand angeht, +benötigt die vorgestellte Methode, +für eine Genauigkeit von $n-1$ signifikanten Stellen, +nur $n$ Funktionsevaluationen +und wenige zusätzliche Multiplikationen und Additionen. +Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung +und/oder knappen Energieressourcen finden. +Die vorgestellte Methode ist ein weiteres Beispiel dafür, +wie Verfahren durch die Kenntnis der Eigenschaften einer Funktion +verbessert werden können.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fe48f47 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex b/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex new file mode 100644 index 0000000..efa0863 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex @@ -0,0 +1,1024 @@ +\def\gammaplus{({\dx*0.0190},{\dy*52.0728}) + -- ({\dx*0.0200},{\dy*49.4422}) + -- ({\dx*0.0400},{\dy*24.4610}) + -- ({\dx*0.0600},{\dy*16.1457}) + -- ({\dx*0.0800},{\dy*11.9966}) + -- ({\dx*0.1000},{\dy*9.5135}) + -- ({\dx*0.1200},{\dy*7.8633}) + -- ({\dx*0.1400},{\dy*6.6887}) + -- ({\dx*0.1600},{\dy*5.8113}) + -- ({\dx*0.1800},{\dy*5.1318}) + -- ({\dx*0.2000},{\dy*4.5908}) + -- ({\dx*0.2200},{\dy*4.1505}) + -- ({\dx*0.2400},{\dy*3.7855}) + -- ({\dx*0.2600},{\dy*3.4785}) + -- ({\dx*0.2800},{\dy*3.2169}) + -- ({\dx*0.3000},{\dy*2.9916}) + -- ({\dx*0.3200},{\dy*2.7958}) + -- ({\dx*0.3400},{\dy*2.6242}) + -- ({\dx*0.3600},{\dy*2.4727}) + -- ({\dx*0.3800},{\dy*2.3383}) + -- ({\dx*0.4000},{\dy*2.2182}) + -- ({\dx*0.4200},{\dy*2.1104}) + -- ({\dx*0.4400},{\dy*2.0132}) + -- ({\dx*0.4600},{\dy*1.9252}) + -- ({\dx*0.4800},{\dy*1.8453}) + -- ({\dx*0.5000},{\dy*1.7725}) + -- ({\dx*0.5200},{\dy*1.7058}) + -- ({\dx*0.5400},{\dy*1.6448}) + -- ({\dx*0.5600},{\dy*1.5886}) + -- ({\dx*0.5800},{\dy*1.5369}) + -- ({\dx*0.6000},{\dy*1.4892}) + -- ({\dx*0.6200},{\dy*1.4450}) + -- ({\dx*0.6400},{\dy*1.4041}) + -- ({\dx*0.6600},{\dy*1.3662}) + -- ({\dx*0.6800},{\dy*1.3309}) + -- ({\dx*0.7000},{\dy*1.2981}) + -- ({\dx*0.7200},{\dy*1.2675}) + -- ({\dx*0.7400},{\dy*1.2390}) + -- ({\dx*0.7600},{\dy*1.2123}) + -- ({\dx*0.7800},{\dy*1.1875}) + -- ({\dx*0.8000},{\dy*1.1642}) + -- ({\dx*0.8200},{\dy*1.1425}) + -- ({\dx*0.8400},{\dy*1.1222}) + -- ({\dx*0.8600},{\dy*1.1031}) + -- ({\dx*0.8800},{\dy*1.0853}) + -- ({\dx*0.9000},{\dy*1.0686}) + -- ({\dx*0.9200},{\dy*1.0530}) + -- ({\dx*0.9400},{\dy*1.0384}) + -- ({\dx*0.9600},{\dy*1.0247}) + -- ({\dx*0.9800},{\dy*1.0119}) + -- ({\dx*1.0000},{\dy*1.0000}) + -- ({\dx*1.0200},{\dy*0.9888}) + -- ({\dx*1.0400},{\dy*0.9784}) + -- ({\dx*1.0600},{\dy*0.9687}) + -- ({\dx*1.0800},{\dy*0.9597}) + -- ({\dx*1.1000},{\dy*0.9514}) + -- ({\dx*1.1200},{\dy*0.9436}) + -- ({\dx*1.1400},{\dy*0.9364}) + -- ({\dx*1.1600},{\dy*0.9298}) + -- ({\dx*1.1800},{\dy*0.9237}) + -- ({\dx*1.2000},{\dy*0.9182}) + -- ({\dx*1.2200},{\dy*0.9131}) + -- ({\dx*1.2400},{\dy*0.9085}) + -- ({\dx*1.2600},{\dy*0.9044}) + -- ({\dx*1.2800},{\dy*0.9007}) + -- ({\dx*1.3000},{\dy*0.8975}) + -- ({\dx*1.3200},{\dy*0.8946}) + -- ({\dx*1.3400},{\dy*0.8922}) + -- ({\dx*1.3600},{\dy*0.8902}) + -- ({\dx*1.3800},{\dy*0.8885}) + -- ({\dx*1.4000},{\dy*0.8873}) + -- ({\dx*1.4200},{\dy*0.8864}) + -- ({\dx*1.4400},{\dy*0.8858}) + -- ({\dx*1.4600},{\dy*0.8856}) + -- ({\dx*1.4800},{\dy*0.8857}) + -- ({\dx*1.5000},{\dy*0.8862}) + -- ({\dx*1.5200},{\dy*0.8870}) + -- ({\dx*1.5400},{\dy*0.8882}) + -- ({\dx*1.5600},{\dy*0.8896}) + -- ({\dx*1.5800},{\dy*0.8914}) + -- ({\dx*1.6000},{\dy*0.8935}) + -- ({\dx*1.6200},{\dy*0.8959}) + -- ({\dx*1.6400},{\dy*0.8986}) + -- ({\dx*1.6600},{\dy*0.9017}) + -- ({\dx*1.6800},{\dy*0.9050}) + -- ({\dx*1.7000},{\dy*0.9086}) + -- ({\dx*1.7200},{\dy*0.9126}) + -- ({\dx*1.7400},{\dy*0.9168}) + -- ({\dx*1.7600},{\dy*0.9214}) + -- ({\dx*1.7800},{\dy*0.9262}) + -- ({\dx*1.8000},{\dy*0.9314}) + -- ({\dx*1.8200},{\dy*0.9368}) + -- ({\dx*1.8400},{\dy*0.9426}) + -- ({\dx*1.8600},{\dy*0.9487}) + -- ({\dx*1.8800},{\dy*0.9551}) + -- ({\dx*1.9000},{\dy*0.9618}) + -- ({\dx*1.9200},{\dy*0.9688}) + -- ({\dx*1.9400},{\dy*0.9761}) + -- ({\dx*1.9600},{\dy*0.9837}) + -- ({\dx*1.9800},{\dy*0.9917}) + -- ({\dx*2.0000},{\dy*1.0000}) + -- ({\dx*2.0200},{\dy*1.0086}) + -- ({\dx*2.0400},{\dy*1.0176}) + -- ({\dx*2.0600},{\dy*1.0269}) + -- ({\dx*2.0800},{\dy*1.0365}) + -- ({\dx*2.1000},{\dy*1.0465}) + -- ({\dx*2.1200},{\dy*1.0568}) + -- ({\dx*2.1400},{\dy*1.0675}) + -- ({\dx*2.1600},{\dy*1.0786}) + -- ({\dx*2.1800},{\dy*1.0900}) + -- ({\dx*2.2000},{\dy*1.1018}) + -- ({\dx*2.2200},{\dy*1.1140}) + -- ({\dx*2.2400},{\dy*1.1266}) + -- ({\dx*2.2600},{\dy*1.1395}) + -- ({\dx*2.2800},{\dy*1.1529}) + -- ({\dx*2.3000},{\dy*1.1667}) + -- ({\dx*2.3200},{\dy*1.1809}) + -- ({\dx*2.3400},{\dy*1.1956}) + -- ({\dx*2.3600},{\dy*1.2107}) + -- ({\dx*2.3800},{\dy*1.2262}) + -- ({\dx*2.4000},{\dy*1.2422}) + -- ({\dx*2.4200},{\dy*1.2586}) + -- ({\dx*2.4400},{\dy*1.2756}) + -- ({\dx*2.4600},{\dy*1.2930}) + -- ({\dx*2.4800},{\dy*1.3109}) + -- ({\dx*2.5000},{\dy*1.3293}) + -- ({\dx*2.5200},{\dy*1.3483}) + -- ({\dx*2.5400},{\dy*1.3678}) + -- ({\dx*2.5600},{\dy*1.3878}) + -- ({\dx*2.5800},{\dy*1.4084}) + -- ({\dx*2.6000},{\dy*1.4296}) + -- ({\dx*2.6200},{\dy*1.4514}) + -- ({\dx*2.6400},{\dy*1.4738}) + -- ({\dx*2.6600},{\dy*1.4968}) + -- ({\dx*2.6800},{\dy*1.5204}) + -- ({\dx*2.7000},{\dy*1.5447}) + -- ({\dx*2.7200},{\dy*1.5696}) + -- ({\dx*2.7400},{\dy*1.5953}) + -- ({\dx*2.7600},{\dy*1.6216}) + -- ({\dx*2.7800},{\dy*1.6487}) + -- ({\dx*2.8000},{\dy*1.6765}) + -- ({\dx*2.8200},{\dy*1.7051}) + -- ({\dx*2.8400},{\dy*1.7344}) + -- ({\dx*2.8600},{\dy*1.7646}) + -- ({\dx*2.8800},{\dy*1.7955}) + -- ({\dx*2.9000},{\dy*1.8274}) + -- ({\dx*2.9200},{\dy*1.8600}) + -- ({\dx*2.9400},{\dy*1.8936}) + -- ({\dx*2.9600},{\dy*1.9281}) + -- ({\dx*2.9800},{\dy*1.9636}) + -- ({\dx*3.0000},{\dy*2.0000}) + -- ({\dx*3.0200},{\dy*2.0374}) + -- ({\dx*3.0400},{\dy*2.0759}) + -- ({\dx*3.0600},{\dy*2.1153}) + -- ({\dx*3.0800},{\dy*2.1559}) + -- ({\dx*3.1000},{\dy*2.1976}) + -- ({\dx*3.1200},{\dy*2.2405}) + -- ({\dx*3.1400},{\dy*2.2845}) + -- ({\dx*3.1600},{\dy*2.3297}) + -- ({\dx*3.1800},{\dy*2.3762}) + -- ({\dx*3.2000},{\dy*2.4240}) + -- ({\dx*3.2200},{\dy*2.4731}) + -- ({\dx*3.2400},{\dy*2.5235}) + -- ({\dx*3.2600},{\dy*2.5754}) + -- ({\dx*3.2800},{\dy*2.6287}) + -- ({\dx*3.3000},{\dy*2.6834}) + -- ({\dx*3.3200},{\dy*2.7397}) + -- ({\dx*3.3400},{\dy*2.7976}) + -- ({\dx*3.3600},{\dy*2.8571}) + -- ({\dx*3.3800},{\dy*2.9183}) + -- ({\dx*3.4000},{\dy*2.9812}) + -- ({\dx*3.4200},{\dy*3.0459}) + -- ({\dx*3.4400},{\dy*3.1124}) + -- ({\dx*3.4600},{\dy*3.1807}) + -- ({\dx*3.4800},{\dy*3.2510}) + -- ({\dx*3.5000},{\dy*3.3234}) + -- ({\dx*3.5200},{\dy*3.3977}) + -- ({\dx*3.5400},{\dy*3.4742}) + -- ({\dx*3.5600},{\dy*3.5529}) + -- ({\dx*3.5800},{\dy*3.6338}) + -- ({\dx*3.6000},{\dy*3.7170}) + -- ({\dx*3.6200},{\dy*3.8027}) + -- ({\dx*3.6400},{\dy*3.8908}) + -- ({\dx*3.6600},{\dy*3.9814}) + -- ({\dx*3.6800},{\dy*4.0747}) + -- ({\dx*3.7000},{\dy*4.1707}) + -- ({\dx*3.7200},{\dy*4.2694}) + -- ({\dx*3.7400},{\dy*4.3711}) + -- ({\dx*3.7600},{\dy*4.4757}) + -- ({\dx*3.7800},{\dy*4.5833}) + -- ({\dx*3.8000},{\dy*4.6942}) + -- ({\dx*3.8200},{\dy*4.8083}) + -- ({\dx*3.8400},{\dy*4.9257}) + -- ({\dx*3.8600},{\dy*5.0466}) + -- ({\dx*3.8800},{\dy*5.1711}) + -- ({\dx*3.9000},{\dy*5.2993}) + -- ({\dx*3.9200},{\dy*5.4313}) + -- ({\dx*3.9400},{\dy*5.5673}) + -- ({\dx*3.9600},{\dy*5.7073}) + -- ({\dx*3.9800},{\dy*5.8515}) + -- ({\dx*4.0000},{\dy*6.0000}) + -- ({\dx*4.0200},{\dy*6.1530}) + -- ({\dx*4.0400},{\dy*6.3106}) + -- ({\dx*4.0600},{\dy*6.4730}) + -- ({\dx*4.0800},{\dy*6.6403}) + -- ({\dx*4.0810},{\dy*6.6488})} +\def\gammaone{({\dx*-0.9810},{\dy*-53.0814}) + -- ({\dx*-0.9800},{\dy*-50.4512}) + -- ({\dx*-0.9600},{\dy*-25.4802}) + -- ({\dx*-0.9400},{\dy*-17.1763}) + -- ({\dx*-0.9200},{\dy*-13.0397}) + -- ({\dx*-0.9000},{\dy*-10.5706}) + -- ({\dx*-0.8800},{\dy*-8.9355}) + -- ({\dx*-0.8600},{\dy*-7.7775}) + -- ({\dx*-0.8400},{\dy*-6.9182}) + -- ({\dx*-0.8200},{\dy*-6.2583}) + -- ({\dx*-0.8000},{\dy*-5.7386}) + -- ({\dx*-0.7800},{\dy*-5.3211}) + -- ({\dx*-0.7600},{\dy*-4.9809}) + -- ({\dx*-0.7400},{\dy*-4.7006}) + -- ({\dx*-0.7200},{\dy*-4.4678}) + -- ({\dx*-0.7000},{\dy*-4.2737}) + -- ({\dx*-0.6800},{\dy*-4.1114}) + -- ({\dx*-0.6600},{\dy*-3.9760}) + -- ({\dx*-0.6400},{\dy*-3.8636}) + -- ({\dx*-0.6200},{\dy*-3.7714}) + -- ({\dx*-0.6000},{\dy*-3.6969}) + -- ({\dx*-0.5800},{\dy*-3.6386}) + -- ({\dx*-0.5600},{\dy*-3.5950}) + -- ({\dx*-0.5400},{\dy*-3.5652}) + -- ({\dx*-0.5200},{\dy*-3.5487}) + -- ({\dx*-0.5000},{\dy*-3.5449}) + -- ({\dx*-0.4800},{\dy*-3.5538}) + -- ({\dx*-0.4600},{\dy*-3.5756}) + -- ({\dx*-0.4400},{\dy*-3.6105}) + -- ({\dx*-0.4200},{\dy*-3.6594}) + -- ({\dx*-0.4000},{\dy*-3.7230}) + -- ({\dx*-0.3800},{\dy*-3.8027}) + -- ({\dx*-0.3600},{\dy*-3.9004}) + -- ({\dx*-0.3400},{\dy*-4.0181}) + -- ({\dx*-0.3200},{\dy*-4.1590}) + -- ({\dx*-0.3000},{\dy*-4.3269}) + -- ({\dx*-0.2800},{\dy*-4.5267}) + -- ({\dx*-0.2600},{\dy*-4.7652}) + -- ({\dx*-0.2400},{\dy*-5.0514}) + -- ({\dx*-0.2200},{\dy*-5.3976}) + -- ({\dx*-0.2000},{\dy*-5.8211}) + -- ({\dx*-0.1800},{\dy*-6.3472}) + -- ({\dx*-0.1600},{\dy*-7.0135}) + -- ({\dx*-0.1400},{\dy*-7.8795}) + -- ({\dx*-0.1200},{\dy*-9.0442}) + -- ({\dx*-0.1000},{\dy*-10.6863}) + -- ({\dx*-0.0800},{\dy*-13.1627}) + -- ({\dx*-0.0600},{\dy*-17.3067}) + -- ({\dx*-0.0400},{\dy*-25.6183}) + -- ({\dx*-0.0200},{\dy*-50.5974}) + -- ({\dx*-0.0190},{\dy*-53.2279})} +\def\gammatwo{({\dx*-1.9810},{\dy*26.7952}) + -- ({\dx*-1.9800},{\dy*25.4804}) + -- ({\dx*-1.9600},{\dy*13.0001}) + -- ({\dx*-1.9400},{\dy*8.8538}) + -- ({\dx*-1.9200},{\dy*6.7915}) + -- ({\dx*-1.9000},{\dy*5.5635}) + -- ({\dx*-1.8800},{\dy*4.7529}) + -- ({\dx*-1.8600},{\dy*4.1815}) + -- ({\dx*-1.8400},{\dy*3.7599}) + -- ({\dx*-1.8200},{\dy*3.4386}) + -- ({\dx*-1.8000},{\dy*3.1881}) + -- ({\dx*-1.7800},{\dy*2.9894}) + -- ({\dx*-1.7600},{\dy*2.8301}) + -- ({\dx*-1.7400},{\dy*2.7015}) + -- ({\dx*-1.7200},{\dy*2.5976}) + -- ({\dx*-1.7000},{\dy*2.5139}) + -- ({\dx*-1.6800},{\dy*2.4473}) + -- ({\dx*-1.6600},{\dy*2.3952}) + -- ({\dx*-1.6400},{\dy*2.3559}) + -- ({\dx*-1.6200},{\dy*2.3280}) + -- ({\dx*-1.6000},{\dy*2.3106}) + -- ({\dx*-1.5800},{\dy*2.3029}) + -- ({\dx*-1.5600},{\dy*2.3045}) + -- ({\dx*-1.5400},{\dy*2.3151}) + -- ({\dx*-1.5200},{\dy*2.3346}) + -- ({\dx*-1.5000},{\dy*2.3633}) + -- ({\dx*-1.4800},{\dy*2.4012}) + -- ({\dx*-1.4600},{\dy*2.4490}) + -- ({\dx*-1.4400},{\dy*2.5073}) + -- ({\dx*-1.4200},{\dy*2.5770}) + -- ({\dx*-1.4000},{\dy*2.6593}) + -- ({\dx*-1.3800},{\dy*2.7556}) + -- ({\dx*-1.3600},{\dy*2.8679}) + -- ({\dx*-1.3400},{\dy*2.9986}) + -- ({\dx*-1.3200},{\dy*3.1508}) + -- ({\dx*-1.3000},{\dy*3.3283}) + -- ({\dx*-1.2800},{\dy*3.5365}) + -- ({\dx*-1.2600},{\dy*3.7819}) + -- ({\dx*-1.2400},{\dy*4.0737}) + -- ({\dx*-1.2200},{\dy*4.4243}) + -- ({\dx*-1.2000},{\dy*4.8510}) + -- ({\dx*-1.1800},{\dy*5.3790}) + -- ({\dx*-1.1600},{\dy*6.0461}) + -- ({\dx*-1.1400},{\dy*6.9118}) + -- ({\dx*-1.1200},{\dy*8.0752}) + -- ({\dx*-1.1000},{\dy*9.7148}) + -- ({\dx*-1.0800},{\dy*12.1877}) + -- ({\dx*-1.0600},{\dy*16.3271}) + -- ({\dx*-1.0400},{\dy*24.6330}) + -- ({\dx*-1.0200},{\dy*49.6053}) + -- ({\dx*-1.0190},{\dy*52.2354})} +\def\gammathree{({\dx*-2.9810},{\dy*-8.9887}) + -- ({\dx*-2.9800},{\dy*-8.5505}) + -- ({\dx*-2.9600},{\dy*-4.3919}) + -- ({\dx*-2.9400},{\dy*-3.0115}) + -- ({\dx*-2.9200},{\dy*-2.3259}) + -- ({\dx*-2.9000},{\dy*-1.9184}) + -- ({\dx*-2.8800},{\dy*-1.6503}) + -- ({\dx*-2.8600},{\dy*-1.4621}) + -- ({\dx*-2.8400},{\dy*-1.3239}) + -- ({\dx*-2.8200},{\dy*-1.2194}) + -- ({\dx*-2.8000},{\dy*-1.1386}) + -- ({\dx*-2.7800},{\dy*-1.0753}) + -- ({\dx*-2.7600},{\dy*-1.0254}) + -- ({\dx*-2.7400},{\dy*-0.9859}) + -- ({\dx*-2.7200},{\dy*-0.9550}) + -- ({\dx*-2.7000},{\dy*-0.9311}) + -- ({\dx*-2.6800},{\dy*-0.9132}) + -- ({\dx*-2.6600},{\dy*-0.9004}) + -- ({\dx*-2.6400},{\dy*-0.8924}) + -- ({\dx*-2.6200},{\dy*-0.8886}) + -- ({\dx*-2.6000},{\dy*-0.8887}) + -- ({\dx*-2.5800},{\dy*-0.8926}) + -- ({\dx*-2.5600},{\dy*-0.9002}) + -- ({\dx*-2.5400},{\dy*-0.9115}) + -- ({\dx*-2.5200},{\dy*-0.9264}) + -- ({\dx*-2.5000},{\dy*-0.9453}) + -- ({\dx*-2.4800},{\dy*-0.9682}) + -- ({\dx*-2.4600},{\dy*-0.9955}) + -- ({\dx*-2.4400},{\dy*-1.0276}) + -- ({\dx*-2.4200},{\dy*-1.0649}) + -- ({\dx*-2.4000},{\dy*-1.1080}) + -- ({\dx*-2.3800},{\dy*-1.1578}) + -- ({\dx*-2.3600},{\dy*-1.2152}) + -- ({\dx*-2.3400},{\dy*-1.2815}) + -- ({\dx*-2.3200},{\dy*-1.3581}) + -- ({\dx*-2.3000},{\dy*-1.4471}) + -- ({\dx*-2.2800},{\dy*-1.5511}) + -- ({\dx*-2.2600},{\dy*-1.6734}) + -- ({\dx*-2.2400},{\dy*-1.8186}) + -- ({\dx*-2.2200},{\dy*-1.9929}) + -- ({\dx*-2.2000},{\dy*-2.2050}) + -- ({\dx*-2.1800},{\dy*-2.4674}) + -- ({\dx*-2.1600},{\dy*-2.7991}) + -- ({\dx*-2.1400},{\dy*-3.2298}) + -- ({\dx*-2.1200},{\dy*-3.8091}) + -- ({\dx*-2.1000},{\dy*-4.6261}) + -- ({\dx*-2.0800},{\dy*-5.8595}) + -- ({\dx*-2.0600},{\dy*-7.9258}) + -- ({\dx*-2.0400},{\dy*-12.0750}) + -- ({\dx*-2.0200},{\dy*-24.5571}) + -- ({\dx*-2.0190},{\dy*-25.8719})} +\def\gammafour{({\dx*-3.9950},{\dy*8.3966}) + -- ({\dx*-3.9800},{\dy*2.1484}) + -- ({\dx*-3.9600},{\dy*1.1091}) + -- ({\dx*-3.9400},{\dy*0.7643}) + -- ({\dx*-3.9200},{\dy*0.5933}) + -- ({\dx*-3.9000},{\dy*0.4919}) + -- ({\dx*-3.8800},{\dy*0.4253}) + -- ({\dx*-3.8600},{\dy*0.3788}) + -- ({\dx*-3.8400},{\dy*0.3448}) + -- ({\dx*-3.8200},{\dy*0.3192}) + -- ({\dx*-3.8000},{\dy*0.2996}) + -- ({\dx*-3.7800},{\dy*0.2845}) + -- ({\dx*-3.7600},{\dy*0.2727}) + -- ({\dx*-3.7400},{\dy*0.2636}) + -- ({\dx*-3.7200},{\dy*0.2567}) + -- ({\dx*-3.7000},{\dy*0.2516}) + -- ({\dx*-3.6800},{\dy*0.2481}) + -- ({\dx*-3.6600},{\dy*0.2460}) + -- ({\dx*-3.6400},{\dy*0.2452}) + -- ({\dx*-3.6200},{\dy*0.2455}) + -- ({\dx*-3.6000},{\dy*0.2469}) + -- ({\dx*-3.5800},{\dy*0.2493}) + -- ({\dx*-3.5600},{\dy*0.2529}) + -- ({\dx*-3.5400},{\dy*0.2575}) + -- ({\dx*-3.5200},{\dy*0.2632}) + -- ({\dx*-3.5000},{\dy*0.2701}) + -- ({\dx*-3.4800},{\dy*0.2782}) + -- ({\dx*-3.4600},{\dy*0.2877}) + -- ({\dx*-3.4400},{\dy*0.2987}) + -- ({\dx*-3.4200},{\dy*0.3114}) + -- ({\dx*-3.4000},{\dy*0.3259}) + -- ({\dx*-3.3800},{\dy*0.3425}) + -- ({\dx*-3.3600},{\dy*0.3617}) + -- ({\dx*-3.3400},{\dy*0.3837}) + -- ({\dx*-3.3200},{\dy*0.4091}) + -- ({\dx*-3.3000},{\dy*0.4385}) + -- ({\dx*-3.2800},{\dy*0.4729}) + -- ({\dx*-3.2600},{\dy*0.5133}) + -- ({\dx*-3.2400},{\dy*0.5613}) + -- ({\dx*-3.2200},{\dy*0.6189}) + -- ({\dx*-3.2000},{\dy*0.6891}) + -- ({\dx*-3.1800},{\dy*0.7759}) + -- ({\dx*-3.1600},{\dy*0.8858}) + -- ({\dx*-3.1400},{\dy*1.0286}) + -- ({\dx*-3.1200},{\dy*1.2209}) + -- ({\dx*-3.1000},{\dy*1.4923}) + -- ({\dx*-3.0800},{\dy*1.9024}) + -- ({\dx*-3.0600},{\dy*2.5901}) + -- ({\dx*-3.0400},{\dy*3.9720}) + -- ({\dx*-3.0200},{\dy*8.1315}) + -- ({\dx*-3.0050},{\dy*33.1259})} +\def\gammafive{({\dx*-4.9990},{\dy*-8.3476}) + -- ({\dx*-4.9800},{\dy*-0.4314}) + -- ({\dx*-4.9600},{\dy*-0.2236}) + -- ({\dx*-4.9400},{\dy*-0.1547}) + -- ({\dx*-4.9200},{\dy*-0.1206}) + -- ({\dx*-4.9000},{\dy*-0.1004}) + -- ({\dx*-4.8800},{\dy*-0.0872}) + -- ({\dx*-4.8600},{\dy*-0.0779}) + -- ({\dx*-4.8400},{\dy*-0.0712}) + -- ({\dx*-4.8200},{\dy*-0.0662}) + -- ({\dx*-4.8000},{\dy*-0.0624}) + -- ({\dx*-4.7800},{\dy*-0.0595}) + -- ({\dx*-4.7600},{\dy*-0.0573}) + -- ({\dx*-4.7400},{\dy*-0.0556}) + -- ({\dx*-4.7200},{\dy*-0.0544}) + -- ({\dx*-4.7000},{\dy*-0.0535}) + -- ({\dx*-4.6800},{\dy*-0.0530}) + -- ({\dx*-4.6600},{\dy*-0.0528}) + -- ({\dx*-4.6400},{\dy*-0.0528}) + -- ({\dx*-4.6200},{\dy*-0.0531}) + -- ({\dx*-4.6000},{\dy*-0.0537}) + -- ({\dx*-4.5800},{\dy*-0.0544}) + -- ({\dx*-4.5600},{\dy*-0.0555}) + -- ({\dx*-4.5400},{\dy*-0.0567}) + -- ({\dx*-4.5200},{\dy*-0.0582}) + -- ({\dx*-4.5000},{\dy*-0.0600}) + -- ({\dx*-4.4800},{\dy*-0.0621}) + -- ({\dx*-4.4600},{\dy*-0.0645}) + -- ({\dx*-4.4400},{\dy*-0.0673}) + -- ({\dx*-4.4200},{\dy*-0.0704}) + -- ({\dx*-4.4000},{\dy*-0.0741}) + -- ({\dx*-4.3800},{\dy*-0.0782}) + -- ({\dx*-4.3600},{\dy*-0.0830}) + -- ({\dx*-4.3400},{\dy*-0.0884}) + -- ({\dx*-4.3200},{\dy*-0.0947}) + -- ({\dx*-4.3000},{\dy*-0.1020}) + -- ({\dx*-4.2800},{\dy*-0.1105}) + -- ({\dx*-4.2600},{\dy*-0.1205}) + -- ({\dx*-4.2400},{\dy*-0.1324}) + -- ({\dx*-4.2200},{\dy*-0.1467}) + -- ({\dx*-4.2000},{\dy*-0.1641}) + -- ({\dx*-4.1800},{\dy*-0.1856}) + -- ({\dx*-4.1600},{\dy*-0.2129}) + -- ({\dx*-4.1400},{\dy*-0.2485}) + -- ({\dx*-4.1200},{\dy*-0.2963}) + -- ({\dx*-4.1000},{\dy*-0.3640}) + -- ({\dx*-4.0800},{\dy*-0.4663}) + -- ({\dx*-4.0600},{\dy*-0.6380}) + -- ({\dx*-4.0400},{\dy*-0.9832}) + -- ({\dx*-4.0200},{\dy*-2.0228}) + -- ({\dx*-4.0010},{\dy*-41.6040})} +\def\gammasix{({\dx*-5.9998},{\dy*6.9470}) + -- ({\dx*-5.9800},{\dy*0.0721}) + -- ({\dx*-5.9600},{\dy*0.0375}) + -- ({\dx*-5.9400},{\dy*0.0260}) + -- ({\dx*-5.9200},{\dy*0.0204}) + -- ({\dx*-5.9000},{\dy*0.0170}) + -- ({\dx*-5.8800},{\dy*0.0148}) + -- ({\dx*-5.8600},{\dy*0.0133}) + -- ({\dx*-5.8400},{\dy*0.0122}) + -- ({\dx*-5.8200},{\dy*0.0114}) + -- ({\dx*-5.8000},{\dy*0.0108}) + -- ({\dx*-5.7800},{\dy*0.0103}) + -- ({\dx*-5.7600},{\dy*0.0099}) + -- ({\dx*-5.7400},{\dy*0.0097}) + -- ({\dx*-5.7200},{\dy*0.0095}) + -- ({\dx*-5.7000},{\dy*0.0094}) + -- ({\dx*-5.6800},{\dy*0.0093}) + -- ({\dx*-5.6600},{\dy*0.0093}) + -- ({\dx*-5.6400},{\dy*0.0094}) + -- ({\dx*-5.6200},{\dy*0.0095}) + -- ({\dx*-5.6000},{\dy*0.0096}) + -- ({\dx*-5.5800},{\dy*0.0098}) + -- ({\dx*-5.5600},{\dy*0.0100}) + -- ({\dx*-5.5400},{\dy*0.0102}) + -- ({\dx*-5.5200},{\dy*0.0105}) + -- ({\dx*-5.5000},{\dy*0.0109}) + -- ({\dx*-5.4800},{\dy*0.0113}) + -- ({\dx*-5.4600},{\dy*0.0118}) + -- ({\dx*-5.4400},{\dy*0.0124}) + -- ({\dx*-5.4200},{\dy*0.0130}) + -- ({\dx*-5.4000},{\dy*0.0137}) + -- ({\dx*-5.3800},{\dy*0.0145}) + -- ({\dx*-5.3600},{\dy*0.0155}) + -- ({\dx*-5.3400},{\dy*0.0166}) + -- ({\dx*-5.3200},{\dy*0.0178}) + -- ({\dx*-5.3000},{\dy*0.0192}) + -- ({\dx*-5.2800},{\dy*0.0209}) + -- ({\dx*-5.2600},{\dy*0.0229}) + -- ({\dx*-5.2400},{\dy*0.0253}) + -- ({\dx*-5.2200},{\dy*0.0281}) + -- ({\dx*-5.2000},{\dy*0.0316}) + -- ({\dx*-5.1800},{\dy*0.0358}) + -- ({\dx*-5.1600},{\dy*0.0413}) + -- ({\dx*-5.1400},{\dy*0.0483}) + -- ({\dx*-5.1200},{\dy*0.0579}) + -- ({\dx*-5.1000},{\dy*0.0714}) + -- ({\dx*-5.0800},{\dy*0.0918}) + -- ({\dx*-5.0600},{\dy*0.1261}) + -- ({\dx*-5.0400},{\dy*0.1951}) + -- ({\dx*-5.0200},{\dy*0.4029}) + -- ({\dx*-5.0002},{\dy*41.6525})} +\def\gammasinplus{({\dx*0.0190},{\dy*52.1325}) + -- ({\dx*0.0200},{\dy*49.5050}) + -- ({\dx*0.0400},{\dy*24.5863}) + -- ({\dx*0.0600},{\dy*16.3331}) + -- ({\dx*0.0800},{\dy*12.2453}) + -- ({\dx*0.1000},{\dy*9.8225}) + -- ({\dx*0.1200},{\dy*8.2314}) + -- ({\dx*0.1400},{\dy*7.1145}) + -- ({\dx*0.1600},{\dy*6.2930}) + -- ({\dx*0.1800},{\dy*5.6676}) + -- ({\dx*0.2000},{\dy*5.1786}) + -- ({\dx*0.2200},{\dy*4.7879}) + -- ({\dx*0.2400},{\dy*4.4701}) + -- ({\dx*0.2600},{\dy*4.2074}) + -- ({\dx*0.2800},{\dy*3.9874}) + -- ({\dx*0.3000},{\dy*3.8006}) + -- ({\dx*0.3200},{\dy*3.6401}) + -- ({\dx*0.3400},{\dy*3.5005}) + -- ({\dx*0.3600},{\dy*3.3776}) + -- ({\dx*0.3800},{\dy*3.2680}) + -- ({\dx*0.4000},{\dy*3.1692}) + -- ({\dx*0.4200},{\dy*3.0790}) + -- ({\dx*0.4400},{\dy*2.9955}) + -- ({\dx*0.4600},{\dy*2.9173}) + -- ({\dx*0.4800},{\dy*2.8433}) + -- ({\dx*0.5000},{\dy*2.7725}) + -- ({\dx*0.5200},{\dy*2.7039}) + -- ({\dx*0.5400},{\dy*2.6369}) + -- ({\dx*0.5600},{\dy*2.5709}) + -- ({\dx*0.5800},{\dy*2.5055}) + -- ({\dx*0.6000},{\dy*2.4402}) + -- ({\dx*0.6200},{\dy*2.3748}) + -- ({\dx*0.6400},{\dy*2.3090}) + -- ({\dx*0.6600},{\dy*2.2425}) + -- ({\dx*0.6800},{\dy*2.1752}) + -- ({\dx*0.7000},{\dy*2.1071}) + -- ({\dx*0.7200},{\dy*2.0380}) + -- ({\dx*0.7400},{\dy*1.9679}) + -- ({\dx*0.7600},{\dy*1.8969}) + -- ({\dx*0.7800},{\dy*1.8249}) + -- ({\dx*0.8000},{\dy*1.7520}) + -- ({\dx*0.8200},{\dy*1.6783}) + -- ({\dx*0.8400},{\dy*1.6039}) + -- ({\dx*0.8600},{\dy*1.5289}) + -- ({\dx*0.8800},{\dy*1.4534}) + -- ({\dx*0.9000},{\dy*1.3776}) + -- ({\dx*0.9200},{\dy*1.3017}) + -- ({\dx*0.9400},{\dy*1.2258}) + -- ({\dx*0.9600},{\dy*1.1501}) + -- ({\dx*0.9800},{\dy*1.0747}) + -- ({\dx*1.0000},{\dy*1.0000}) + -- ({\dx*1.0200},{\dy*0.9261}) + -- ({\dx*1.0400},{\dy*0.8531}) + -- ({\dx*1.0600},{\dy*0.7814}) + -- ({\dx*1.0800},{\dy*0.7110}) + -- ({\dx*1.1000},{\dy*0.6423}) + -- ({\dx*1.1200},{\dy*0.5755}) + -- ({\dx*1.1400},{\dy*0.5106}) + -- ({\dx*1.1600},{\dy*0.4480}) + -- ({\dx*1.1800},{\dy*0.3879}) + -- ({\dx*1.2000},{\dy*0.3304}) + -- ({\dx*1.2200},{\dy*0.2757}) + -- ({\dx*1.2400},{\dy*0.2240}) + -- ({\dx*1.2600},{\dy*0.1754}) + -- ({\dx*1.2800},{\dy*0.1302}) + -- ({\dx*1.3000},{\dy*0.0885}) + -- ({\dx*1.3200},{\dy*0.0503}) + -- ({\dx*1.3400},{\dy*0.0159}) + -- ({\dx*1.3600},{\dy*-0.0146}) + -- ({\dx*1.3800},{\dy*-0.0412}) + -- ({\dx*1.4000},{\dy*-0.0638}) + -- ({\dx*1.4200},{\dy*-0.0822}) + -- ({\dx*1.4400},{\dy*-0.0965}) + -- ({\dx*1.4600},{\dy*-0.1065}) + -- ({\dx*1.4800},{\dy*-0.1123}) + -- ({\dx*1.5000},{\dy*-0.1138}) + -- ({\dx*1.5200},{\dy*-0.1110}) + -- ({\dx*1.5400},{\dy*-0.1039}) + -- ({\dx*1.5600},{\dy*-0.0926}) + -- ({\dx*1.5800},{\dy*-0.0772}) + -- ({\dx*1.6000},{\dy*-0.0575}) + -- ({\dx*1.6200},{\dy*-0.0339}) + -- ({\dx*1.6400},{\dy*-0.0062}) + -- ({\dx*1.6600},{\dy*0.0254}) + -- ({\dx*1.6800},{\dy*0.0607}) + -- ({\dx*1.7000},{\dy*0.0996}) + -- ({\dx*1.7200},{\dy*0.1421}) + -- ({\dx*1.7400},{\dy*0.1879}) + -- ({\dx*1.7600},{\dy*0.2368}) + -- ({\dx*1.7800},{\dy*0.2888}) + -- ({\dx*1.8000},{\dy*0.3436}) + -- ({\dx*1.8200},{\dy*0.4010}) + -- ({\dx*1.8400},{\dy*0.4609}) + -- ({\dx*1.8600},{\dy*0.5229}) + -- ({\dx*1.8800},{\dy*0.5869}) + -- ({\dx*1.9000},{\dy*0.6527}) + -- ({\dx*1.9200},{\dy*0.7201}) + -- ({\dx*1.9400},{\dy*0.7887}) + -- ({\dx*1.9600},{\dy*0.8584}) + -- ({\dx*1.9800},{\dy*0.9289}) + -- ({\dx*2.0000},{\dy*1.0000}) + -- ({\dx*2.0200},{\dy*1.0714}) + -- ({\dx*2.0400},{\dy*1.1429}) + -- ({\dx*2.0600},{\dy*1.2142}) + -- ({\dx*2.0800},{\dy*1.2852}) + -- ({\dx*2.1000},{\dy*1.3555}) + -- ({\dx*2.1200},{\dy*1.4249}) + -- ({\dx*2.1400},{\dy*1.4933}) + -- ({\dx*2.1600},{\dy*1.5603}) + -- ({\dx*2.1800},{\dy*1.6258}) + -- ({\dx*2.2000},{\dy*1.6896}) + -- ({\dx*2.2200},{\dy*1.7514}) + -- ({\dx*2.2400},{\dy*1.8111}) + -- ({\dx*2.2600},{\dy*1.8685}) + -- ({\dx*2.2800},{\dy*1.9234}) + -- ({\dx*2.3000},{\dy*1.9757}) + -- ({\dx*2.3200},{\dy*2.0253}) + -- ({\dx*2.3400},{\dy*2.0719}) + -- ({\dx*2.3600},{\dy*2.1155}) + -- ({\dx*2.3800},{\dy*2.1560}) + -- ({\dx*2.4000},{\dy*2.1932}) + -- ({\dx*2.4200},{\dy*2.2272}) + -- ({\dx*2.4400},{\dy*2.2578}) + -- ({\dx*2.4600},{\dy*2.2851}) + -- ({\dx*2.4800},{\dy*2.3089}) + -- ({\dx*2.5000},{\dy*2.3293}) + -- ({\dx*2.5200},{\dy*2.3463}) + -- ({\dx*2.5400},{\dy*2.3599}) + -- ({\dx*2.5600},{\dy*2.3701}) + -- ({\dx*2.5800},{\dy*2.3770}) + -- ({\dx*2.6000},{\dy*2.3807}) + -- ({\dx*2.6200},{\dy*2.3812}) + -- ({\dx*2.6400},{\dy*2.3786}) + -- ({\dx*2.6600},{\dy*2.3731}) + -- ({\dx*2.6800},{\dy*2.3647}) + -- ({\dx*2.7000},{\dy*2.3537}) + -- ({\dx*2.7200},{\dy*2.3402}) + -- ({\dx*2.7400},{\dy*2.3242}) + -- ({\dx*2.7600},{\dy*2.3062}) + -- ({\dx*2.7800},{\dy*2.2861}) + -- ({\dx*2.8000},{\dy*2.2643}) + -- ({\dx*2.8200},{\dy*2.2409}) + -- ({\dx*2.8400},{\dy*2.2162}) + -- ({\dx*2.8600},{\dy*2.1903}) + -- ({\dx*2.8800},{\dy*2.1637}) + -- ({\dx*2.9000},{\dy*2.1364}) + -- ({\dx*2.9200},{\dy*2.1087}) + -- ({\dx*2.9400},{\dy*2.0810}) + -- ({\dx*2.9600},{\dy*2.0535}) + -- ({\dx*2.9800},{\dy*2.0264}) + -- ({\dx*3.0000},{\dy*2.0000}) + -- ({\dx*3.0200},{\dy*1.9746}) + -- ({\dx*3.0400},{\dy*1.9505}) + -- ({\dx*3.0600},{\dy*1.9280}) + -- ({\dx*3.0800},{\dy*1.9072}) + -- ({\dx*3.1000},{\dy*1.8886}) + -- ({\dx*3.1200},{\dy*1.8723}) + -- ({\dx*3.1400},{\dy*1.8587}) + -- ({\dx*3.1600},{\dy*1.8480}) + -- ({\dx*3.1800},{\dy*1.8404}) + -- ({\dx*3.2000},{\dy*1.8362}) + -- ({\dx*3.2200},{\dy*1.8356}) + -- ({\dx*3.2400},{\dy*1.8390}) + -- ({\dx*3.2600},{\dy*1.8464}) + -- ({\dx*3.2800},{\dy*1.8581}) + -- ({\dx*3.3000},{\dy*1.8744}) + -- ({\dx*3.3200},{\dy*1.8954}) + -- ({\dx*3.3400},{\dy*1.9213}) + -- ({\dx*3.3600},{\dy*1.9523}) + -- ({\dx*3.3800},{\dy*1.9885}) + -- ({\dx*3.4000},{\dy*2.0301}) + -- ({\dx*3.4200},{\dy*2.0773}) + -- ({\dx*3.4400},{\dy*2.1301}) + -- ({\dx*3.4600},{\dy*2.1886}) + -- ({\dx*3.4800},{\dy*2.2530}) + -- ({\dx*3.5000},{\dy*2.3234}) + -- ({\dx*3.5200},{\dy*2.3997}) + -- ({\dx*3.5400},{\dy*2.4821}) + -- ({\dx*3.5600},{\dy*2.5706}) + -- ({\dx*3.5800},{\dy*2.6652}) + -- ({\dx*3.6000},{\dy*2.7660}) + -- ({\dx*3.6200},{\dy*2.8729}) + -- ({\dx*3.6400},{\dy*2.9859}) + -- ({\dx*3.6600},{\dy*3.1051}) + -- ({\dx*3.6800},{\dy*3.2303}) + -- ({\dx*3.7000},{\dy*3.3616}) + -- ({\dx*3.7200},{\dy*3.4989}) + -- ({\dx*3.7400},{\dy*3.6421}) + -- ({\dx*3.7600},{\dy*3.7911}) + -- ({\dx*3.7800},{\dy*3.9459}) + -- ({\dx*3.8000},{\dy*4.1064}) + -- ({\dx*3.8200},{\dy*4.2724}) + -- ({\dx*3.8400},{\dy*4.4440}) + -- ({\dx*3.8600},{\dy*4.6209}) + -- ({\dx*3.8800},{\dy*4.8030}) + -- ({\dx*3.9000},{\dy*4.9903}) + -- ({\dx*3.9200},{\dy*5.1826}) + -- ({\dx*3.9400},{\dy*5.3799}) + -- ({\dx*3.9600},{\dy*5.5819}) + -- ({\dx*3.9800},{\dy*5.7887}) + -- ({\dx*4.0000},{\dy*6.0000}) + -- ({\dx*4.0200},{\dy*6.2158}) + -- ({\dx*4.0400},{\dy*6.4359}) + -- ({\dx*4.0600},{\dy*6.6603}) + -- ({\dx*4.0800},{\dy*6.8889}) + -- ({\dx*4.0810},{\dy*6.9005})} +\def\gammasinone{({\dx*-0.9810},{\dy*-53.1410}) + -- ({\dx*-0.9800},{\dy*-50.5140}) + -- ({\dx*-0.9600},{\dy*-25.6055}) + -- ({\dx*-0.9400},{\dy*-17.3637}) + -- ({\dx*-0.9200},{\dy*-13.2884}) + -- ({\dx*-0.9000},{\dy*-10.8796}) + -- ({\dx*-0.8800},{\dy*-9.3036}) + -- ({\dx*-0.8600},{\dy*-8.2033}) + -- ({\dx*-0.8400},{\dy*-7.3999}) + -- ({\dx*-0.8200},{\dy*-6.7941}) + -- ({\dx*-0.8000},{\dy*-6.3263}) + -- ({\dx*-0.7800},{\dy*-5.9586}) + -- ({\dx*-0.7600},{\dy*-5.6655}) + -- ({\dx*-0.7400},{\dy*-5.4296}) + -- ({\dx*-0.7200},{\dy*-5.2384}) + -- ({\dx*-0.7000},{\dy*-5.0827}) + -- ({\dx*-0.6800},{\dy*-4.9557}) + -- ({\dx*-0.6600},{\dy*-4.8523}) + -- ({\dx*-0.6400},{\dy*-4.7685}) + -- ({\dx*-0.6200},{\dy*-4.7012}) + -- ({\dx*-0.6000},{\dy*-4.6480}) + -- ({\dx*-0.5800},{\dy*-4.6072}) + -- ({\dx*-0.5600},{\dy*-4.5773}) + -- ({\dx*-0.5400},{\dy*-4.5573}) + -- ({\dx*-0.5200},{\dy*-4.5467}) + -- ({\dx*-0.5000},{\dy*-4.5449}) + -- ({\dx*-0.4800},{\dy*-4.5519}) + -- ({\dx*-0.4600},{\dy*-4.5677}) + -- ({\dx*-0.4400},{\dy*-4.5928}) + -- ({\dx*-0.4200},{\dy*-4.6279}) + -- ({\dx*-0.4000},{\dy*-4.6740}) + -- ({\dx*-0.3800},{\dy*-4.7325}) + -- ({\dx*-0.3600},{\dy*-4.8052}) + -- ({\dx*-0.3400},{\dy*-4.8944}) + -- ({\dx*-0.3200},{\dy*-5.0033}) + -- ({\dx*-0.3000},{\dy*-5.1359}) + -- ({\dx*-0.2800},{\dy*-5.2972}) + -- ({\dx*-0.2600},{\dy*-5.4942}) + -- ({\dx*-0.2400},{\dy*-5.7359}) + -- ({\dx*-0.2200},{\dy*-6.0350}) + -- ({\dx*-0.2000},{\dy*-6.4089}) + -- ({\dx*-0.1800},{\dy*-6.8830}) + -- ({\dx*-0.1600},{\dy*-7.4952}) + -- ({\dx*-0.1400},{\dy*-8.3052}) + -- ({\dx*-0.1200},{\dy*-9.4124}) + -- ({\dx*-0.1000},{\dy*-10.9953}) + -- ({\dx*-0.0800},{\dy*-13.4114}) + -- ({\dx*-0.0600},{\dy*-17.4941}) + -- ({\dx*-0.0400},{\dy*-25.7436}) + -- ({\dx*-0.0200},{\dy*-50.6602}) + -- ({\dx*-0.0190},{\dy*-53.2876})} +\def\gammasintwo{({\dx*-1.9810},{\dy*26.8549}) + -- ({\dx*-1.9800},{\dy*25.5432}) + -- ({\dx*-1.9600},{\dy*13.1254}) + -- ({\dx*-1.9400},{\dy*9.0411}) + -- ({\dx*-1.9200},{\dy*7.0402}) + -- ({\dx*-1.9000},{\dy*5.8725}) + -- ({\dx*-1.8800},{\dy*5.1211}) + -- ({\dx*-1.8600},{\dy*4.6073}) + -- ({\dx*-1.8400},{\dy*4.2416}) + -- ({\dx*-1.8200},{\dy*3.9745}) + -- ({\dx*-1.8000},{\dy*3.7759}) + -- ({\dx*-1.7800},{\dy*3.6268}) + -- ({\dx*-1.7600},{\dy*3.5146}) + -- ({\dx*-1.7400},{\dy*3.4305}) + -- ({\dx*-1.7200},{\dy*3.3681}) + -- ({\dx*-1.7000},{\dy*3.3229}) + -- ({\dx*-1.6800},{\dy*3.2916}) + -- ({\dx*-1.6600},{\dy*3.2715}) + -- ({\dx*-1.6400},{\dy*3.2607}) + -- ({\dx*-1.6200},{\dy*3.2578}) + -- ({\dx*-1.6000},{\dy*3.2616}) + -- ({\dx*-1.5800},{\dy*3.2715}) + -- ({\dx*-1.5600},{\dy*3.2868}) + -- ({\dx*-1.5400},{\dy*3.3072}) + -- ({\dx*-1.5200},{\dy*3.3327}) + -- ({\dx*-1.5000},{\dy*3.3633}) + -- ({\dx*-1.4800},{\dy*3.3993}) + -- ({\dx*-1.4600},{\dy*3.4412}) + -- ({\dx*-1.4400},{\dy*3.4896}) + -- ({\dx*-1.4200},{\dy*3.5456}) + -- ({\dx*-1.4000},{\dy*3.6103}) + -- ({\dx*-1.3800},{\dy*3.6854}) + -- ({\dx*-1.3600},{\dy*3.7727}) + -- ({\dx*-1.3400},{\dy*3.8749}) + -- ({\dx*-1.3200},{\dy*3.9951}) + -- ({\dx*-1.3000},{\dy*4.1374}) + -- ({\dx*-1.2800},{\dy*4.3070}) + -- ({\dx*-1.2600},{\dy*4.5109}) + -- ({\dx*-1.2400},{\dy*4.7583}) + -- ({\dx*-1.2200},{\dy*5.0617}) + -- ({\dx*-1.2000},{\dy*5.4387}) + -- ({\dx*-1.1800},{\dy*5.9148}) + -- ({\dx*-1.1600},{\dy*6.5279}) + -- ({\dx*-1.1400},{\dy*7.3376}) + -- ({\dx*-1.1200},{\dy*8.4433}) + -- ({\dx*-1.1000},{\dy*10.0238}) + -- ({\dx*-1.0800},{\dy*12.4364}) + -- ({\dx*-1.0600},{\dy*16.5145}) + -- ({\dx*-1.0400},{\dy*24.7583}) + -- ({\dx*-1.0200},{\dy*49.6681}) + -- ({\dx*-1.0190},{\dy*52.2951})} +\def\gammasinthree{({\dx*-2.9810},{\dy*-9.0483}) + -- ({\dx*-2.9800},{\dy*-8.6133}) + -- ({\dx*-2.9600},{\dy*-4.5173}) + -- ({\dx*-2.9400},{\dy*-3.1989}) + -- ({\dx*-2.9200},{\dy*-2.5746}) + -- ({\dx*-2.9000},{\dy*-2.2274}) + -- ({\dx*-2.8800},{\dy*-2.0184}) + -- ({\dx*-2.8600},{\dy*-1.8878}) + -- ({\dx*-2.8400},{\dy*-1.8057}) + -- ({\dx*-2.8200},{\dy*-1.7552}) + -- ({\dx*-2.8000},{\dy*-1.7264}) + -- ({\dx*-2.7800},{\dy*-1.7127}) + -- ({\dx*-2.7600},{\dy*-1.7099}) + -- ({\dx*-2.7400},{\dy*-1.7149}) + -- ({\dx*-2.7200},{\dy*-1.7255}) + -- ({\dx*-2.7000},{\dy*-1.7401}) + -- ({\dx*-2.6800},{\dy*-1.7575}) + -- ({\dx*-2.6600},{\dy*-1.7768}) + -- ({\dx*-2.6400},{\dy*-1.7972}) + -- ({\dx*-2.6200},{\dy*-1.8183}) + -- ({\dx*-2.6000},{\dy*-1.8397}) + -- ({\dx*-2.5800},{\dy*-1.8612}) + -- ({\dx*-2.5600},{\dy*-1.8825}) + -- ({\dx*-2.5400},{\dy*-1.9036}) + -- ({\dx*-2.5200},{\dy*-1.9245}) + -- ({\dx*-2.5000},{\dy*-1.9453}) + -- ({\dx*-2.4800},{\dy*-1.9663}) + -- ({\dx*-2.4600},{\dy*-1.9877}) + -- ({\dx*-2.4400},{\dy*-2.0099}) + -- ({\dx*-2.4200},{\dy*-2.0335}) + -- ({\dx*-2.4000},{\dy*-2.0591}) + -- ({\dx*-2.3800},{\dy*-2.0876}) + -- ({\dx*-2.3600},{\dy*-2.1200}) + -- ({\dx*-2.3400},{\dy*-2.1578}) + -- ({\dx*-2.3200},{\dy*-2.2024}) + -- ({\dx*-2.3000},{\dy*-2.2561}) + -- ({\dx*-2.2800},{\dy*-2.3216}) + -- ({\dx*-2.2600},{\dy*-2.4024}) + -- ({\dx*-2.2400},{\dy*-2.5032}) + -- ({\dx*-2.2200},{\dy*-2.6303}) + -- ({\dx*-2.2000},{\dy*-2.7928}) + -- ({\dx*-2.1800},{\dy*-3.0032}) + -- ({\dx*-2.1600},{\dy*-3.2809}) + -- ({\dx*-2.1400},{\dy*-3.6556}) + -- ({\dx*-2.1200},{\dy*-4.1772}) + -- ({\dx*-2.1000},{\dy*-4.9351}) + -- ({\dx*-2.0800},{\dy*-6.1082}) + -- ({\dx*-2.0600},{\dy*-8.1132}) + -- ({\dx*-2.0400},{\dy*-12.2003}) + -- ({\dx*-2.0200},{\dy*-24.6199}) + -- ({\dx*-2.0190},{\dy*-25.9316})} +\def\gammasinfour{({\dx*-3.9950},{\dy*8.4124}) + -- ({\dx*-3.9800},{\dy*2.2112}) + -- ({\dx*-3.9600},{\dy*1.2344}) + -- ({\dx*-3.9400},{\dy*0.9517}) + -- ({\dx*-3.9200},{\dy*0.8420}) + -- ({\dx*-3.9000},{\dy*0.8009}) + -- ({\dx*-3.8800},{\dy*0.7935}) + -- ({\dx*-3.8600},{\dy*0.8045}) + -- ({\dx*-3.8400},{\dy*0.8265}) + -- ({\dx*-3.8200},{\dy*0.8550}) + -- ({\dx*-3.8000},{\dy*0.8874}) + -- ({\dx*-3.7800},{\dy*0.9219}) + -- ({\dx*-3.7600},{\dy*0.9573}) + -- ({\dx*-3.7400},{\dy*0.9926}) + -- ({\dx*-3.7200},{\dy*1.0272}) + -- ({\dx*-3.7000},{\dy*1.0607}) + -- ({\dx*-3.6800},{\dy*1.0925}) + -- ({\dx*-3.6600},{\dy*1.1223}) + -- ({\dx*-3.6400},{\dy*1.1500}) + -- ({\dx*-3.6200},{\dy*1.1752}) + -- ({\dx*-3.6000},{\dy*1.1979}) + -- ({\dx*-3.5800},{\dy*1.2179}) + -- ({\dx*-3.5600},{\dy*1.2351}) + -- ({\dx*-3.5400},{\dy*1.2496}) + -- ({\dx*-3.5200},{\dy*1.2612}) + -- ({\dx*-3.5000},{\dy*1.2701}) + -- ({\dx*-3.4800},{\dy*1.2763}) + -- ({\dx*-3.4600},{\dy*1.2798}) + -- ({\dx*-3.4400},{\dy*1.2810}) + -- ({\dx*-3.4200},{\dy*1.2800}) + -- ({\dx*-3.4000},{\dy*1.2769}) + -- ({\dx*-3.3800},{\dy*1.2723}) + -- ({\dx*-3.3600},{\dy*1.2665}) + -- ({\dx*-3.3400},{\dy*1.2600}) + -- ({\dx*-3.3200},{\dy*1.2534}) + -- ({\dx*-3.3000},{\dy*1.2475}) + -- ({\dx*-3.2800},{\dy*1.2434}) + -- ({\dx*-3.2600},{\dy*1.2423}) + -- ({\dx*-3.2400},{\dy*1.2458}) + -- ({\dx*-3.2200},{\dy*1.2563}) + -- ({\dx*-3.2000},{\dy*1.2768}) + -- ({\dx*-3.1800},{\dy*1.3117}) + -- ({\dx*-3.1600},{\dy*1.3676}) + -- ({\dx*-3.1400},{\dy*1.4544}) + -- ({\dx*-3.1200},{\dy*1.5890}) + -- ({\dx*-3.1000},{\dy*1.8013}) + -- ({\dx*-3.0800},{\dy*2.1511}) + -- ({\dx*-3.0600},{\dy*2.7775}) + -- ({\dx*-3.0400},{\dy*4.0974}) + -- ({\dx*-3.0200},{\dy*8.1943}) + -- ({\dx*-3.0050},{\dy*33.1416})} +\def\gammasinfive{({\dx*-4.9990},{\dy*-8.3507}) + -- ({\dx*-4.9800},{\dy*-0.4942}) + -- ({\dx*-4.9600},{\dy*-0.3489}) + -- ({\dx*-4.9400},{\dy*-0.3421}) + -- ({\dx*-4.9200},{\dy*-0.3693}) + -- ({\dx*-4.9000},{\dy*-0.4094}) + -- ({\dx*-4.8800},{\dy*-0.4553}) + -- ({\dx*-4.8600},{\dy*-0.5037}) + -- ({\dx*-4.8400},{\dy*-0.5530}) + -- ({\dx*-4.8200},{\dy*-0.6021}) + -- ({\dx*-4.8000},{\dy*-0.6502}) + -- ({\dx*-4.7800},{\dy*-0.6969}) + -- ({\dx*-4.7600},{\dy*-0.7418}) + -- ({\dx*-4.7400},{\dy*-0.7846}) + -- ({\dx*-4.7200},{\dy*-0.8249}) + -- ({\dx*-4.7000},{\dy*-0.8626}) + -- ({\dx*-4.6800},{\dy*-0.8973}) + -- ({\dx*-4.6600},{\dy*-0.9291}) + -- ({\dx*-4.6400},{\dy*-0.9577}) + -- 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+ -- ({\dx*-5.5000},{\dy*1.0109}) + -- ({\dx*-5.4800},{\dy*1.0094}) + -- ({\dx*-5.4600},{\dy*1.0039}) + -- ({\dx*-5.4400},{\dy*0.9947}) + -- ({\dx*-5.4200},{\dy*0.9816}) + -- ({\dx*-5.4000},{\dy*0.9648}) + -- ({\dx*-5.3800},{\dy*0.9443}) + -- ({\dx*-5.3600},{\dy*0.9203}) + -- ({\dx*-5.3400},{\dy*0.8929}) + -- ({\dx*-5.3200},{\dy*0.8621}) + -- ({\dx*-5.3000},{\dy*0.8283}) + -- ({\dx*-5.2800},{\dy*0.7914}) + -- ({\dx*-5.2600},{\dy*0.7519}) + -- ({\dx*-5.2400},{\dy*0.7098}) + -- ({\dx*-5.2200},{\dy*0.6655}) + -- ({\dx*-5.2000},{\dy*0.6193}) + -- ({\dx*-5.1800},{\dy*0.5717}) + -- ({\dx*-5.1600},{\dy*0.5230}) + -- ({\dx*-5.1400},{\dy*0.4741}) + -- ({\dx*-5.1200},{\dy*0.4260}) + -- ({\dx*-5.1000},{\dy*0.3804}) + -- ({\dx*-5.0800},{\dy*0.3405}) + -- ({\dx*-5.0600},{\dy*0.3135}) + -- ({\dx*-5.0400},{\dy*0.3204}) + -- ({\dx*-5.0200},{\dy*0.4657}) + -- ({\dx*-5.0002},{\dy*41.6531})} diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdf b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7c195f2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..5a68f0a --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex @@ -0,0 +1,73 @@ +% +% gammaplot.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\input{gammapaths.tex} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink + +\draw[->] (-6.1,0) -- (5.3,0) coordinate[label={$z$}]; +\draw[->] (0,-5.1) -- (0,6.4) coordinate[label={right:$\Gamma(z)$}]; + +\foreach \x in {-1,-2,-3,-4,-5,-6}{ + \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1); + \draw[line width=0.1pt] (\x,-5) -- (\x,6.2); +} +\foreach \x in {1,2,3,4,5}{ + \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1); + \node at (\x,0) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{ + \draw (-0.1,\y) -- (0.1,\y); +} +\foreach \y in {1,2,3,4,5,6}{ + \node at (0,\y) [left] {$\y$}; +} +\foreach \y in {-1,-2,-3,-4,-5}{ + \node at (0,\y) [right] {$\y$}; +} +\foreach \x in {-1,-3,-5}{ + \node at (\x,0) [below left] {$\x$}; +} +\foreach \x in {-2,-4,-6}{ + \node at (\x,0) [above left] {$\x$}; +} + +\def\dx{1} +\def\dy{1} + +\begin{scope} +\clip (-6.1,-5) rectangle (4.3,6.2); + +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinplus; +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinone; +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasintwo; +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinthree; +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfour; +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfive; +% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinsix; + +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammaplus; +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammaone; +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammatwo; +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammathree; +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammafour; +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammafive; +\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammasix; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf b/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..76be412 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf b/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5fe7a7b --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f31d81d --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index 3976bc7..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf +++ /dev/null diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c7bb37a --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8a27d41 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..bb8a2d7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b7e72dc --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0072d28 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf b/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..dc61c88 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex index 00e3b43..133d686 100644 --- a/buch/papers/laguerre/main.tex +++ b/buch/papers/laguerre/main.tex @@ -8,7 +8,28 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Patrik Müller} -{\large \color{red} TODO: Einleitung} +{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome, +benannt nach Edmond Laguerre (1834 -- 1886), +sind Lösungen der ebenfalls nach %Laguerre +ihm +benannten Differentialgleichung. +Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden +für das Integral +% $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $ +\begin{align*} +\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx +\end{align*} +suchte. +Darum möchten wir uns in diesem Kapitel, +ganz im Sinne des Entdeckers, +den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit +exponentiell abfallenden Funktionen widmen. +Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und +der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu +finden. + +Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil +der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf. \input{papers/laguerre/definition} \input{papers/laguerre/eigenschaften} diff --git a/buch/papers/laguerre/packages.tex b/buch/papers/laguerre/packages.tex index 4ebc172..a80d091 100644 --- a/buch/papers/laguerre/packages.tex +++ b/buch/papers/laguerre/packages.tex @@ -6,4 +6,4 @@ % if your paper needs special packages, add package commands as in the % following example -\usepackage{derivative} +\DeclareMathOperator{\real}{Re}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..3db69f5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex @@ -0,0 +1,134 @@ +\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer} + +% style +\mode<presentation>{ + \usetheme{Frankfurt} +} +%packages +\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{array} + +\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\usepackage{ragged2e} + +\usepackage{bm} % bold math +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{multirow} % multi row in tables +\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables +\usepackage{scrextend} +\usepackage{textgreek} +\usepackage[rgb]{xcolor} + +\usepackage{ marvosym } % \Lightning + +\usepackage{multimedia} % embedded videos + +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgf} +\usepackage{pgfplots} + +\usepackage{algorithmic} + +%citations +\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + + +%math font +\usefonttheme[onlymath]{serif} + +%Beamer Template modifications +%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink +\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink +\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green + +%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue +\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red} +\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic +\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points) +\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections +\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered] +\setbeamertemplate{subsection in toc}{% + \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par} + +\setbeamertemplate{itemize items}[circle] +\setbeamertemplate{description item}[circle] +\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true] +\beamertemplatenavigationsymbolsempty + +\setbeamercolor{footline}{fg=gray} +\setbeamertemplate{footline}{% + \hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols} + \hspace{0.5cm} + \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm} +} + +\usepackage{caption} +\captionsetup{labelformat=empty} + +%Title Page +\title{Laguerre-Polynome} +\subtitle{Anwendung: Approximation der Gamma-Funktion} +\author{Patrik Müller} +% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule} +% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}} +\date{\today} + +\input{../packages.tex} + +\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}% + +\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}} +\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}} +\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}} +\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + + +\makeatletter +\newcount\my@repeat@count +\newcommand{\myrepeat}[2]{% + \begingroup + \my@repeat@count=\z@ + \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}% + \endgroup +} +\makeatother + +\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings} + +\begin{document} + +\begin{frame} + \titlepage +\end{frame} + +\begin{frame}{Inhaltsverzeichnis} + \tableofcontents +\end{frame} + +\input{sections/laguerre} + +\input{sections/gaussquad} + +\input{sections/gamma} + +\input{sections/gamma_approx} + +\appendix +\begin{frame} + % \centering + % \Large + % \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit} +\end{frame} + +\end{document} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..7dca39b --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\section{Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Gamma-Funktion} +\begin{columns} + +\begin{column}{0.55\textwidth} +\begin{figure}[h] +\vspace{-16pt} +\centering +% \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}} +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf} +% \caption{Gamma-Funktion} +\end{figure} +\end{column} + +\begin{column}{0.45\textwidth} +Verallgemeinerung der Fakultät +\begin{align*} +\Gamma(n) = (n-1)! +\end{align*} + +Integralformel +\begin{align*} +\Gamma(z) += +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +,\quad +\operatorname{Re} z > 0 +\end{align*} + +Funktionalgleichung +\begin{align*} +z \Gamma(z) += +\Gamma(z + 1) +\end{align*} + +Reflektionsformel +\begin{align*} +\Gamma(z) \Gamma(1 - z) += +\frac{\pi}{\sin \pi z} +, \quad +\text{für } +z \notin \mathbb{Z} +\end{align*} + +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex new file mode 100644 index 0000000..b5e1131 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -0,0 +1,201 @@ +\section{Approximieren der Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$} + +\begin{align*} +\Gamma(z) + & = +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\uncover<2->{ +\approx +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i +} +\uncover<3->{ += +\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +} +\\\\ +\uncover<4->{ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehlerabschätzung} +\begin{align*} +R_n(\xi) + & = +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +\\ + & = +(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1} +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} + +% \textbf{Probleme:} +\begin{itemize} +\item Funktion ist unbeschränkt +\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an +\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Einfacher Ansatz} + +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte +von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +\end{figure} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?} + +\textbf{Beobachtungen} +\begin{itemize} +\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$ +\item Gewisse Periodizität zu erkennen +\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler +\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler +\item $a$ ist abhängig von $n$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Ursache?} +\begin{itemize} +\item Vermutung: Integrand ist problematisch +} +\uncover<3->{ +\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden +} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{$f(x) = x^z$} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Neuer Ansatz?} + +\textbf{Vermutung} +\begin{itemize} +\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal +ist +\item $a(n) > 0$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Idee} +\begin{itemize} +\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann +mit Funktionalgleichung zurückverschieben +\end{itemize} +} + +\uncover<3->{ +\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?} +\begin{itemize} +\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm +} +\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} +\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, +da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Verschiebungsterm} +\begin{columns} +\begin{column}{0.625\textwidth} +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.375\textwidth} +\begin{align*} +\Gamma(z) +\approx +\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\end{align*} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame}{Schätzen von $m^*$} +\begin{columns} +\begin{column}{0.65\textwidth} +\begin{figure} +\centering +\vspace{-12pt} +% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} +\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.34\textwidth} +\begin{align*} +\hat{m} +&= +\alpha n + \beta +\\ +&\approx +1.34154 n + 0.848786 +\\ +m^* +&= +\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil +\end{align*} +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode} +Maximaler relativer Fehler für $n=6$ +\begin{itemize} + \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$ + \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ +\end{itemize} +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex new file mode 100644 index 0000000..4d973b8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +\section{Gauss-Quadratur} + +\begin{frame}{Gauss-Quadratur} +\textbf{Idee} +\begin{itemize}[<+->] +\item Polynome können viele Funktionen approximieren +\item Wenn Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen funktionieren +\item Integrieren eines Interpolationspolynom +\item Interpolationspolynom ist durch Funktionswerte $f(x_i)$ bestimmt +$\Rightarrow$ Integral kann durch Funktionswerte berechnet werden +\item Evaluation der Funktionswerte an geeigneten Stellen +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Gauss-Quadratur} +\begin{align*} +\int_{-1}^{1} f(x) \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\end{align*} + +\begin{itemize}[<+->] +\item Exakt für Polynome mit Grad $2n-1$ +\item Interpolationspolynome müssen orthogonal sein +\item Stützstellen $x_i$ sind Nullstellen des Polynoms +\item Fehler: +\begin{align*} +E += +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} l(x)^2 \, dx +,\quad +\text{wobei } +l(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) +\end{align*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Gauss-Laguerre-Quadratur} +\begin{itemize}[<+->] +\item Erweiterung des Integrationsintervall von $[-1, 1]$ auf $(a, b)$ +\item Hinzufügen einer Gewichtsfunktion +\item Bei uneigentlichen Integralen muss Gewichtsfunktion schneller als jedes +Integrationspolynom gegen $0$ gehen +\item[$\Rightarrow$] Für Laguerre-Polynome haben wir den Definitionsbereich +$(0, \infty)$ und die Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ +\begin{align*} +\int_0^\infty & f(x) e^{-x} \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\\ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +\end{align*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehler der Gauss-Laguerre-Quadratur} +\begin{align*} +R_n += +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex new file mode 100644 index 0000000..f99214e --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +\section{Laguerre-Polynome} + +\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung} + +\begin{itemize} +\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886) +\item Aus Artikel von 1879, +in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte +\end{itemize} + +\begin{align*} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + & = +0 +, \quad +n \in \mathbb{N}_0 +, \quad +x \in \mathbb{R} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung} + +\begin{align*} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + & = +0 +\\ +\end{align*} + +\uncover<2->{ +\centering +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +%% use here too +\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to +node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8); +\end{tikzpicture} +} + +\begin{align*} +\uncover<3->{ +L_n(x) + & = +\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k +} +\end{align*} +\uncover<4->{ +\begin{itemize} + \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome +\end{itemize} +} +\end{frame} + +\begin{frame} +\begin{figure}[h] +\centering +% \resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}} +\includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/laguerre_poly.pdf} +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Orthogonalität} +\begin{itemize}[<+->] +\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper) +\begin{alignat*}{5} +((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x) +&= +\lambda &w(x) &y(x) +\\ +((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x) +&= +n &e^{-x} &y(x) +\end{alignat*} +\item Definitionsbereich $(0, \infty)$ +\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ +\end{itemize} + +\uncover<4->{ +\begin{align*} +\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx += +0 +,\quad +n \neq m +,\quad +n, m \in \mathbb{N} +\end{align*} +} +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 60fad7f..0e32012 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -3,37 +3,96 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Gauss-Quadratur +\section{Gauss-Quadratur% \label{laguerre:section:quadratur}} - {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur} +\rhead{Gauss-Quadratur}% +Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, +welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet. +Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden. +Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, +dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, +verwendet. +Stellt man also sicher, +dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern. +Es wird ein Interpolationspolynom verwendet, +welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ +die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. +Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form \begin{align} -\int_a^b f(x) w(x) +\int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx -\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i \label{laguerre:gaussquadratur} \end{align} +berechnet werden. +Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$, +wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde. -\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur +\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur% \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}} -Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen -ausgeweitet werden. -In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome -$L_n$ ausweiten. -Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich -der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. -Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren: +Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung +von uneigentlichen Integralen erweitern, +spezifisch auf das Intervall~$(0, \infty)$. +Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich. +% Mit einer Transformation +% \begin{align*} +% x +% = +% % a + +% \frac{1 - t}{t} +% \end{align*} +% die das unendliche Intervall~$(0, \infty)$ +% auf das Intervall~$[0, 1]$ transformiert, +% kann dies behoben werden. +% % Für unseren Fall gilt $a = 0$. +Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent. +Es ist also nötig, +den Integranden durch Funktionen zu approximieren, +die genügend schnell gegen $0$ gehen. +Man kann Polynome beliebigen Grades verwenden, +wenn sie mit einer Funktion multipliziert werden, +die schneller gegen $0$ geht als jedes Polynom. +Damit stellen wir sicher, +dass das Integral immer noch konvergiert. +% Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren, +% die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, +% damit das Integral immer noch konvergiert. +Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe, +da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller +gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. +% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome +% $L_n$ ausweiten. +% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich +% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. +Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu +berechen, +formt man das Integral wie folgt um: +\begin{align*} +\int_0^\infty g(x) \, dx += +\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx +\end{align*} +Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom +wie bei der Gauss-Quadratur. +% Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt +% umformulieren: +Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also +für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx \approx -\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i \label{laguerre:laguerrequadratur} +. \end{align} \subsubsection{Stützstellen und Gewichte} Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen -des verwendeten Polynoms genommen werden. -Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und -als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. +des Approximationspolynoms genommen werden. +Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und +als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden. Dabei sind \begin{align*} l_i(x_j) @@ -41,39 +100,117 @@ l_i(x_j) \delta_{ij} = \begin{cases} -1 & i=j \\ -0 & \text{sonst.} +1 & i=j \\ +0 & \text{sonst} \end{cases} +% . \end{align*} -Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also -\begin{align} +die Lagrangeschen Interpolationspolynome. +Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit +\begin{align*} +A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)} +\end{align*} +berechnet werden. +$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$ +des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und +\begin{align*} +\gamma_n += +\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx +\end{align*} +dem Normalisierungsfaktor. + +Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und +nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten +(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom}) +aus, +damit erhalten wir +\begin{align*} A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)} +\\ + & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\end{align*} +Für Laguerre-Polynome gilt +\begin{align*} +\frac{C_n}{C_{n-1}} = -\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} +-\frac{1}{n} +\quad \text{und} \quad +\gamma_n += +1 +. +\end{align*} +Daraus folgt +\begin{align} +A_i + & = +- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +\label{laguerre:gewichte_lag_temp} +. +\end{align} +Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome +\cite{laguerre:hildebrand2013introduction} +% (siehe \cite{laguerre:hildebrand2013introduction}) +\begin{align*} +x L'_n(x) + & = +n L_n(x) - n L_{n-1}(x) +\\ + & = (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x) +\end{align*} +umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind, +vereinfacht sich die Gleichung zu +\begin{align*} +x_i L'_n(x_i) + & = +- n L_{n-1}(x_i) +\\ + & = +(n + 1) L_{n+1}(x_i) +. +\end{align*} +Setzen wir diese Beziehung nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein, +ergibt sich +\begin{align} +\nonumber +A_i + & = +\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2} +\\ + & = +\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} . \label{laguerre:quadratur_gewichte} \end{align} \subsubsection{Fehlerterm} +Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale +von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt. +Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden. Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation \begin{align*} -\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx +\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx = \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n \end{align*} -un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als +und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als \begin{align} R_n -= + & = +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx +\\ + & = \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) ,\quad 0 < \xi < \infty -\label{lagurre:lag_error} +\label{laguerre:lag_error} \end{align} an. - -{ -\large \color{red} -TODO: -Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten -} +Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung +der zu integrierenden Funktion. diff --git a/buch/papers/laguerre/references.bib b/buch/papers/laguerre/references.bib index 6956ade..1a4a903 100644 --- a/buch/papers/laguerre/references.bib +++ b/buch/papers/laguerre/references.bib @@ -3,13 +3,20 @@ % % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % +@book{laguerre:hildebrand2013introduction, + title={Introduction to Numerical Analysis: Second Edition}, + author={Hildebrand, F.B.}, + isbn={9780486318554}, + series={Dover Books on Mathematics}, + year={2013}, + publisher={Dover Publications}, + pages = {389-392} +} -@book{abramowitz+stegun, +@book{laguerre:abramowitz+stegun, added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, address = {New York}, author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.}, - biburl = {https://www.bibsonomy.org/bibtex/223ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f/a_olympia}, - description = {BibTeX - Wikipedia, the free encyclopedia}, edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing}, interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c}, intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f}, @@ -19,4 +26,23 @@ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, year = 1972 +} + +@article{laguerre:Cassity1965AbcissasCA, + title={Abcissas, coefficients, and error term for the generalized Gauss-Laguerre quadrature formula using the zero ordinate}, + author={C. Ronald Cassity}, + journal={Mathematics of Computation}, + year={1965}, + volume={19}, + pages={287-296} +} + +@online{laguerre:lanczos, + title = {Lanczos Approximation}, + author={Eric W. Weisstein}, + url = {https://mathworld.wolfram.com/LanczosApproximation.html}, + date = {2022-07-18}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {18} }
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py new file mode 100644 index 0000000..1acd7f7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py @@ -0,0 +1,49 @@ +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + + import gamma_approx as ga + import targets + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + N = 200 + ns = np.arange(1, 13) + step = 1 / (N - 1) + x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1) + + bests = targets.find_best_loc(N, ns=ns) + mean_m = np.mean(bests, -1) + + intercept, bias = np.polyfit(ns, mean_m, 1) + fig, axs = plt.subplots( + 2, num=1, sharex=True, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4.5, 3.6) + ) + xl = np.array([ns[0] - 0.5, ns[-1] + 0.5]) + axs[0].plot(xl, intercept * xl + bias, label=r"$\hat{m}$") + axs[0].plot(ns, mean_m, "x", label=r"$\overline{m}$") + axs[1].plot( + ns, ((intercept * ns + bias) - mean_m), "-x", label=r"$\hat{m} - \overline{m}$" + ) + axs[0].set_xlim(*xl) + axs[0].set_xticks(ns) + axs[0].set_yticks(np.arange(np.floor(mean_m[0]), np.ceil(mean_m[-1]) + 0.1, 2)) + # axs[0].set_title("Schätzung von Mittelwert") + # axs[1].set_title("Fehler") + axs[-1].set_xlabel(r"$n$") + for ax in axs: + ax.grid(1) + ax.legend() + # fig.savefig(f"{ga.img_path}/estimates.pgf") + fig.savefig(f"{ga.img_path}/estimates.pdf") + + print(f"Intercept={intercept:.6g}, Bias={bias:.6g}") + predicts = np.ceil(intercept * ns[:, None] + bias - np.real(x)) + print(f"Error: {np.mean(np.abs(bests - predicts))}") diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.ipynb b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.ipynb deleted file mode 100644 index 44f3abd..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.ipynb +++ /dev/null @@ -1,395 +0,0 @@ -{ - "cells": [ - { - "cell_type": "markdown", - "metadata": {}, - 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# for zi,ezi in zip(z[0], ez):\n", - " # print(f\"{m+zi}: {ezi}\")\n", - " # ax.semilogy(xi, e, color=color)\n", - " lines = ax.loglog(xi, e, label=str(n))\n", - " ax.axhline(err, color=lines[0].get_color())\n", - " # ax.set_xticks(np.arange(xi[-1] + 1))\n", - " # ax.set_ylim(1e-8, 1e5)\n", - "_ = ax.legend()\n", - "# _ = ax.legend([f\"z={zi}\" for zi in z[0]])\n", - "# _ = [ax.axvline(x) for x in zeros]\n" - ] - } - ], - "metadata": { - "interpreter": { - "hash": "767d51c1340bd893661ea55ea3124f6de3c7a262a8b4abca0554b478b1e2ff90" - }, - "kernelspec": { - "display_name": "Python 3.8.10 64-bit", - "language": "python", - "name": "python3" - }, - "language_info": { - "codemirror_mode": { - "name": "ipython", - "version": 3 - }, - "file_extension": ".py", - "mimetype": "text/x-python", - "name": "python", - "nbconvert_exporter": "python", - "pygments_lexer": "ipython3", - "version": "3.8.10" - }, - "orig_nbformat": 4 - }, - "nbformat": 4, - "nbformat_minor": 2 -} diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py new file mode 100644 index 0000000..5b09e59 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py @@ -0,0 +1,116 @@ +from pathlib import Path + +import numpy as np +import scipy.special + +EPSILON = 1e-7 +root = str(Path(__file__).parent) +img_path = f"{root}/../images" +fontsize = "medium" +cmap = "plasma" + + +def _prep_zeros_and_weights(x, w, n): + if x is None or w is None: + return np.polynomial.laguerre.laggauss(n) + return x, w + + +def drop_imag(z): + if abs(z.imag) <= EPSILON: + z = z.real + return z + + +def pochhammer(z, n): + return np.prod(z + np.arange(n)) + + +def find_optimal_shift(z, n): + mhat = 1.34093 * n + 0.854093 + steps = int(np.floor(mhat - np.real(z))) + return steps + + +def get_shifting_factor(z, steps): + factor = 1.0 + if steps > 0: + factor = 1 / pochhammer(z, steps) + elif steps < 0: + factor = pochhammer(z + steps, -steps) + return factor + + +def laguerre_gamma_shifted(z, x=None, w=None, n=8, target=11): + x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n) + n = len(x) + + z += 0j + steps = int(np.floor(target - np.real(z))) + z_shifted = z + steps + correction_factor = get_shifting_factor(z, steps) + + res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w) + res *= correction_factor + res = drop_imag(res) + return res + + +def laguerre_gamma_opt_shifted(z, x=None, w=None, n=8): + if z == 0.0: + return np.infty + x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n) + n = len(x) + + z += 0j + opt_shift = find_optimal_shift(z, n) + correction_factor = get_shifting_factor(z, opt_shift) + z_shifted = z + opt_shift + + res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w) + res *= correction_factor + res = drop_imag(res) + return res + + +def laguerre_gamma_simple(z, x=None, w=None, n=8): + if z == 0.0: + return np.infty + x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n) + z += 0j + res = np.sum(x ** (z - 1) * w) + res = drop_imag(res) + return res + + +def laguerre_gamma_mirror(z, x=None, w=None, n=8): + if z == 0.0: + return np.infty + x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n) + z += 0j + if z.real < 1e-3: + return np.pi / ( + np.sin(np.pi * z) * laguerre_gamma_simple(1 - z, x, w) + ) # Reflection formula + return laguerre_gamma_simple(z, x, w) + + +def eval_laguerre_gamma(z, x=None, w=None, n=8, func="simple", **kwargs): + x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n) + if func == "simple": + f = laguerre_gamma_simple + elif func == "mirror": + f = laguerre_gamma_mirror + elif func == "optimal_shifted": + f = laguerre_gamma_opt_shifted + else: + f = laguerre_gamma_shifted + return np.array([f(zi, x, w, n, **kwargs) for zi in z]) + + +def calc_rel_error(x, y): + mask = np.abs(x) != np.infty + rel_error = np.zeros_like(y) + rel_error[mask] = (y[mask] - x[mask]) / x[mask] + rel_error[~mask] = 0.0 + return rel_error diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py new file mode 100644 index 0000000..e970721 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py @@ -0,0 +1,42 @@ +#!/usr/bin/env python3 +# -*- coding:utf-8 -*- +"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms.""" + +if __name__ == "__main__": + import os + from pathlib import Path + + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + EPSILON = 1e-12 + xlims = np.array([-3, 3]) + + root = str(Path(__file__).parent) + img_path = f"{root}/../images" + os.makedirs(img_path, exist_ok=True) + + t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None] + + z = np.array([-4.5, -2, -1, -0.5, 0.0, 0.5, 1, 2, 4.5]) + r = t ** z + + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4, 2.4)) + ax.semilogx(t, r) + ax.set_xlim(*(10.0 ** xlims)) + ax.set_ylim(1e-3, 40) + ax.set_xlabel(r"$x$") + # ax.set_ylabel(r"$x^z$") + ax.grid(1, "both") + labels = [f"$z={zi: 3.1f}$" for zi in np.squeeze(z)] + ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left", fontsize="small") + fig.savefig(f"{img_path}/integrand.pdf") diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py new file mode 100644 index 0000000..e649b26 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py @@ -0,0 +1,46 @@ +#!/usr/bin/env python3 +# -*- coding:utf-8 -*- +"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms.""" + +if __name__ == "__main__": + import os + from pathlib import Path + + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + EPSILON = 1e-12 + xlims = np.array([-3, 3]) + + root = str(Path(__file__).parent) + img_path = f"{root}/../images" + os.makedirs(img_path, exist_ok=True) + + t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None] + + z = np.array([-1, -0.5, 0.0, 0.5, 1, 2, 3, 4, 4.5]) + e = np.exp(-t) + r = t ** z * e + + fig, ax = plt.subplots(num=2, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4, 2.4)) + ax.semilogx(t, r) + # ax.plot(t,np.exp(-t)) + ax.set_xlim(10 ** (-2), 20) + ax.set_ylim(1e-3, 10) + ax.set_xlabel(r"$x$") + # ax.set_ylabel(r"$x^z e^{-x}$") + ax.grid(1, "both") + labels = [f"$z={zi: 3.1f}$" for zi in np.squeeze(z)] + ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left", fontsize="small") + # fig.savefig(f"{img_path}/integrand_exp.pgf") + fig.savefig(f"{img_path}/integrand_exp.pdf") + # plt.show() diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_plot.py b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_plot.py deleted file mode 100644 index b9088d0..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_plot.py +++ /dev/null @@ -1,100 +0,0 @@ -#!/usr/bin/env python3 -# -*- coding:utf-8 -*- -"""Some plots for Laguerre Polynomials.""" - -import os -from pathlib import Path - -import matplotlib.pyplot as plt -import numpy as np -import scipy.special as ss - - -def get_ticks(start, end, step=1): - ticks = np.arange(start, end, step) - return ticks[ticks != 0] - - -N = 1000 -step = 5 -t = np.linspace(-1.05, 10.5, N)[:, None] -root = str(Path(__file__).parent) -img_path = f"{root}/../images" -os.makedirs(img_path, exist_ok=True) - - -# fig = plt.figure(num=1, clear=True, tight_layout=True, figsize=(5.5, 3.7)) -# ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero) -fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4)) -for n in np.arange(0, 8): - k = np.arange(0, n + 1)[None] - L = np.sum((-1) ** k * ss.binom(n, k) / ss.factorial(k) * t ** k, -1) - ax.plot(t, L, label=f"n={n}") - -ax.set_xticks(get_ticks(int(t[0]), t[-1]), minor=True) -ax.set_xticks(get_ticks(0, t[-1], step)) -ax.set_xlim(t[0], t[-1] + 0.1 * (t[1] - t[0])) -ax.set_xlabel(r"$x$", x=1.0, labelpad=-10, rotation=0, fontsize="large") - -ylim = 13 -ax.set_yticks(np.arange(-ylim, ylim), minor=True) -ax.set_yticks(np.arange(-step * (ylim // step), ylim, step)) -ax.set_ylim(-ylim, ylim) -ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-18, rotation=0, fontsize="large") - -ax.legend(ncol=2, loc=(0.125, 0.01), fontsize="large") - -# set the x-spine -ax.spines[["left", "bottom"]].set_position("zero") -ax.spines[["right", "top"]].set_visible(False) -ax.xaxis.set_ticks_position("bottom") -hlx = 0.4 -dx = t[-1, 0] - t[0, 0] -dy = 2 * ylim -hly = dy / dx * hlx -dps = fig.dpi_scale_trans.inverted() -bbox = ax.get_window_extent().transformed(dps) -width, height = bbox.width, bbox.height - -# manual arrowhead width and length -hw = 1.0 / 60.0 * dy -hl = 1.0 / 30.0 * dx -lw = 0.5 # axis line width -ohg = 0.0 # arrow overhang - -# compute matching arrowhead length and width -yhw = hw / dy * dx * height / width -yhl = hl / dx * dy * width / height - -# draw x and y axis -ax.arrow( - t[-1, 0] - hl, - 0, - hl, - 0.0, - fc="k", - ec="k", - lw=lw, - head_width=hw, - head_length=hl, - overhang=ohg, - length_includes_head=True, - clip_on=False, -) - -ax.arrow( - 0, - ylim - yhl, - 0.0, - yhl, - fc="k", - ec="k", - lw=lw, - head_width=yhw, - head_length=yhl, - overhang=ohg, - length_includes_head=True, - clip_on=False, -) - -fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_polynomes.pdf") diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py new file mode 100644 index 0000000..05db5d3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py @@ -0,0 +1,108 @@ +import numpy as np + + +def get_ticks(start, end, step=1): + ticks = np.arange(start, end, step) + return ticks[ticks != 0] + + +if __name__ == "__main__": + import os + from pathlib import Path + + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import scipy.special as ss + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + N = 1000 + step = 5 + t = np.linspace(-1.05, 10.5, N)[:, None] + root = str(Path(__file__).parent) + img_path = f"{root}/../images" + os.makedirs(img_path, exist_ok=True) + + # fig = plt.figure(num=1, clear=True, tight_layout=True, figsize=(5.5, 3.7)) + # ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero) + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4)) + for n in np.arange(0, 8): + k = np.arange(0, n + 1)[None] + L = np.sum((-1) ** k * ss.binom(n, k) / ss.factorial(k) * t ** k, -1) + ax.plot(t, L, label=f"$n={n}$") + + ax.set_xticks(get_ticks(int(t[0]), t[-1]), minor=True) + ax.set_xticks(get_ticks(0, t[-1], step)) + ax.set_xlim(t[0], t[-1] + 0.1 * (t[1] - t[0])) + ax.set_xlabel(r"$x$", x=1.0, labelpad=-10, rotation=0, fontsize="large") + + ylim = 13 + ax.set_yticks(get_ticks(-ylim, ylim), minor=True) + ax.set_yticks(get_ticks(-step * (ylim // step), ylim, step)) + ax.set_ylim(-ylim, ylim) + ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-14, rotation=0, fontsize="large") + + ax.legend(ncol=2, loc=(0.125, 0.01), fontsize="large") + + # set the x-spine + ax.spines[["left", "bottom"]].set_position("zero") + ax.spines[["right", "top"]].set_visible(False) + ax.xaxis.set_ticks_position("bottom") + hlx = 0.4 + dx = t[-1, 0] - t[0, 0] + dy = 2 * ylim + hly = dy / dx * hlx + dps = fig.dpi_scale_trans.inverted() + bbox = ax.get_window_extent().transformed(dps) + width, height = bbox.width, bbox.height + + # manual arrowhead width and length + hw = 1.0 / 60.0 * dy + hl = 1.0 / 30.0 * dx + lw = 0.5 # axis line width + ohg = 0.0 # arrow overhang + + # compute matching arrowhead length and width + yhw = hw / dy * dx * height / width + yhl = hl / dx * dy * width / height + + # draw x and y axis + ax.arrow( + t[-1, 0] - hl, + 0, + hl, + 0.0, + fc="k", + ec="k", + lw=lw, + head_width=hw, + head_length=hl, + overhang=ohg, + length_includes_head=True, + clip_on=False, + ) + + ax.arrow( + 0, + ylim - yhl, + 0.0, + yhl, + fc="k", + ec="k", + lw=lw, + head_width=yhw, + head_length=yhl, + overhang=ohg, + length_includes_head=True, + clip_on=False, + ) + + # fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_poly.pgf") + fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_poly.pdf") + # plt.show() diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py new file mode 100644 index 0000000..4a714fa --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py @@ -0,0 +1,43 @@ +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + import scipy.special + + import gamma_approx as ga + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + xmax = 4 + vals = np.linspace(-xmax + ga.EPSILON, xmax, 100) + x, y = np.meshgrid(vals, vals) + mesh = x + 1j * y + input = mesh.flatten() + + lanczos = scipy.special.gamma(mesh) + lag = ga.eval_laguerre_gamma(input, n=8, func="optimal_shifted").reshape(mesh.shape) + rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(lanczos, lag)) + + fig, ax = plt.subplots(clear=True, constrained_layout=True, figsize=(3.5, 2.1)) + _c = ax.pcolormesh( + x, y, rel_error, shading="gouraud", cmap=ga.cmap, norm=mpl.colors.LogNorm() + ) + cbr = fig.colorbar(_c, ax=ax) + cbr.minorticks_off() + # ax.set_title("Relative Error") + ax.set_xlabel("Re($z$)") + ax.set_ylabel("Im($z$)") + minor_ticks = np.arange(-xmax, xmax + ga.EPSILON) + ticks = np.arange(-xmax, xmax + ga.EPSILON, 2) + ax.set_xticks(ticks) + ax.set_xticks(minor_ticks, minor=True) + ax.set_yticks(ticks) + ax.set_yticks(minor_ticks, minor=True) + fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_complex.pdf") + # plt.show() diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py new file mode 100644 index 0000000..7348d5e --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py @@ -0,0 +1,38 @@ +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + import scipy.special + + import gamma_approx as ga + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + xmin = -15 + xmax = 15 + ns = np.arange(2, 12, 2) + ylim = np.array([-11, 1]) + x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400) + gamma = scipy.special.gamma(x) + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.5)) + for n in ns: + gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="mirror") + rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag) + ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$") + ax.set_xlim(x[0], x[-1]) + ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim)) + ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 5)) + ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax), minor=True) + ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2)) + ax.set_xlabel(r"$z$") + # ax.set_ylabel("Relativer Fehler") + ax.legend(ncol=1, loc="upper left", fontsize=ga.fontsize) + ax.grid(1, "both") + # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_mirror.pgf") + fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_mirror.pdf") diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py new file mode 100644 index 0000000..ece3b6d --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py @@ -0,0 +1,41 @@ +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + import scipy.special + + import gamma_approx as ga + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + N = 1201 + xmax = 6 + xmin = -xmax + ns = np.arange(2, 12, 2) + ylim = np.array([-11, -1.2]) + + x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, N) + gamma = scipy.special.gamma(x) + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2)) + for n in ns: + gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="optimal_shifted") + rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag) + ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$") + ax.set_xlim(x[0], x[-1]) + ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim)) + ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 2)) + ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON), minor=True) + ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2)) + ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 1), "", minor=True) + ax.set_xlabel(r"$z$") + # ax.set_ylabel("Relativer Fehler") + ax.legend(ncol=1, loc="upper left", fontsize=ga.fontsize) + ax.grid(1, "both") + # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_range.pgf") + fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_range.pdf") + # plt.show() diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py new file mode 100644 index 0000000..f53c89b --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py @@ -0,0 +1,40 @@ +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + import scipy.special + + import gamma_approx as ga + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + n = 8 # order of Laguerre polynomial + N = 200 # number of points in interval + + step = 1 / (N - 1) + x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1) + targets = np.arange(10, 14) + gamma = scipy.special.gamma(x) + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.1)) + for target in targets: + gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, target=target, n=n, func="shifted") + rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)) + ax.semilogy(x, rel_error, label=f"$m={target}$", linewidth=3) + gamma_lgo = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="optimal_shifted") + rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lgo)) + ax.semilogy(x, rel_error, "m", linestyle=":", label="$m^*$", linewidth=3) + ax.set_xlim(x[0], x[-1]) + ax.set_ylim(5e-9, 5e-8) + ax.set_xlabel(r"$z$") + ax.set_xticks(np.linspace(0, 1, 6)) + ax.set_xticks(np.linspace(0, 1, 11), minor=True) + ax.grid(1, "both") + ax.legend(ncol=1, fontsize=ga.fontsize) + # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_shifted.pgf") + fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_shifted.pdf") + # plt.show() diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py new file mode 100644 index 0000000..e1ea36a --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py @@ -0,0 +1,41 @@ +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + import numpy as np + import scipy.special + + import gamma_approx as ga + + # mpl.rc("text", usetex=True) + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + # mpl.rcParams.update({"font.family": "serif", "font.serif": "TeX Gyre Termes"}) + + # Simple / naive + xmin = -5 + xmax = 25 + ns = np.arange(2, 12, 2) + ylim = np.array([-11, 6]) + x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400) + gamma = scipy.special.gamma(x) + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.5)) + for n in ns: + gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n) + rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag) + ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$") + ax.set_xlim(x[0], x[-1]) + ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim)) + ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 5)) + ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax), minor=True) + ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2)) + ax.set_xlabel(r"$z$") + # ax.set_ylabel("Relativer Fehler") + ax.legend(ncol=3, fontsize=ga.fontsize) + ax.grid(1, "both") + # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_simple.pgf") + fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_simple.pdf") diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py new file mode 100644 index 0000000..69f94ba --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py @@ -0,0 +1,58 @@ +import numpy as np +import scipy.special + +import gamma_approx as ga + + +def find_best_loc(N=200, a=1.375, b=0.5, ns=None): + if ns is None: + ns = np.arange(2, 13) + bests = [] + step = 1 / (N - 1) + x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1) + gamma = scipy.special.gamma(x) + for n in ns: + zeros, weights = np.polynomial.laguerre.laggauss(n) + est = np.ceil(b + a * n) + targets = np.arange(max(est - 2, 0), est + 3) + rel_error = [] + for target in targets: + gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, target=target, x=zeros, w=weights, func="shifted") + rel_error.append(np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag))) + rel_error = np.stack(rel_error, -1) + best = np.argmin(rel_error, -1) + targets[0] + bests.append(best) + return np.stack(bests, 0) + + +if __name__ == "__main__": + import matplotlib as mpl + import matplotlib.pyplot as plt + + mpl.rcParams.update( + { + "mathtext.fontset": "stix", + "font.family": "serif", + "font.serif": "TeX Gyre Termes", + } + ) + + N = 200 + ns = np.arange(1, 13) + + bests = find_best_loc(N, ns=ns) + + fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(3.5, 2.1)) + v = ax.imshow(bests, cmap=ga.cmap, aspect="auto", interpolation="nearest") + plt.colorbar(v, ax=ax, label=r"$m^*$") + ticks = np.arange(0, N + 1, N // 5) + ax.set_xlim(0, 1) + ax.set_xticks(ticks) + ax.set_xticklabels([f"{v:.2f}" for v in ticks / N]) + ax.set_xticks(np.arange(0, N + 1, N // 20), minor=True) + ax.set_yticks(np.arange(len(ns))) + ax.set_yticklabels(ns) + ax.set_xlabel(r"$z$") + ax.set_ylabel(r"$n$") + # fig.savefig(f"{ga.img_path}/targets.pgf") + fig.savefig(f"{ga.img_path}/targets.pdf") diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py new file mode 100644 index 0000000..d787c34 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py @@ -0,0 +1,18 @@ +# -*- coding: utf-8 -*- +""" +Created on Sat Jul 30 23:09:33 2022 + +@author: yanik +""" + +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +phi = np.pi/2 +t = np.linspace(0, 10, 10**5) +x0 = 1 + +def D(t): + return np.sqrt(x0**2+2*x0*t*np.cos(phi)+2*t**2-2*t**2*np.sin(phi)) + +plt.plot(t, D(t)) diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..739b02b --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b5428f5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e78abd3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.png diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py new file mode 100644 index 0000000..975e248 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py @@ -0,0 +1,53 @@ +# -*- coding: utf-8 -*- +""" +Created on Fri Jul 29 09:40:11 2022 + +@author: yanik +""" +import pylatex + +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +N = np.array([0, 0]) +V = np.array([1, 4]) +Z = np.array([5, 5]) +VZ = Z-V +vzScale = 0.4 + + +a = [N, N, V] +b = [V, Z, vzScale*VZ] + +X = np.array([i[0] for i in a]) +Y = np.array([i[1] for i in a]) +U = np.array([i[0] for i in b]) +W = np.array([i[1] for i in b]) + +xlim = 6 +ylim = 6 +fig, ax = plt.subplots(1,1) +ax.set_xlim([0, xlim]) #<-- set the x axis limits +ax.set_ylim([0, ylim]) #<-- set the y axis limits +#plt.figure(figsize=(xlim, ylim)) +ax.quiver(X, Y, U, W, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, headwidth=5, headlength=7, headaxislength=5.5) + +ax.plot([V[0], (VZ+V)[0]], [V[1], (VZ+V)[1]], 'k--') +ax.plot(np.vstack([V, Z])[:, 0], np.vstack([V, Z])[:,1], 'bo', markersize=10) +ax.set_xlabel("x", size=20) +ax.set_ylabel("y", size=20) + +ax.text(2.5, 4.5, "Visierlinie", size=20, rotation=10) + +plt.rcParams.update({ + "text.usetex": True, + "font.family": "serif", + "font.serif": ["New Century Schoolbook"], +}) + +ax.text(1.6, 4.3, r"$\dot{v}$", size=20) +ax.text(0.65, 3.9, r"$V$", size=20, c='b') +ax.text(5.15, 4.85, r"$Z$", size=20, c='b') + + + diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg new file mode 100644 index 0000000..30f9f22 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg @@ -0,0 +1,790 @@ +<?xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="no"?> +<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN" + "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd"> +<!-- Created with matplotlib (https://matplotlib.org/) --> +<svg height="345.6pt" version="1.1" viewBox="0 0 460.8 345.6" width="460.8pt" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"> + <metadata> + <rdf:RDF xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" 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</g> + <g id="text_3"> + <!-- $\mathdefault{2}$ --> + <g transform="translate(174.149332 321.976201)scale(0.1 -0.1)"> + <defs> + <path d="M 41.703125 15.46875 +L 39.90625 15.46875 +C 38.90625 8.390625 38.09375 7.1875 37.703125 6.59375 +C 37.203125 5.796875 30 5.796875 28.59375 5.796875 +L 9.40625 5.796875 +C 13 9.6875 20 16.765625 28.5 24.9375 +C 34.59375 30.71875 41.703125 37.5 41.703125 47.390625 +C 41.703125 59.1875 32.296875 66 21.796875 66 +C 10.796875 66 4.09375 56.296875 4.09375 47.296875 +C 4.09375 43.390625 7 42.890625 8.203125 42.890625 +C 9.203125 42.890625 12.203125 43.484375 12.203125 46.984375 +C 12.203125 50.09375 9.59375 51 8.203125 51 +C 7.59375 51 7 50.890625 6.59375 50.6875 +C 8.5 59.1875 14.296875 63.390625 20.40625 63.390625 +C 29.09375 63.390625 34.796875 56.5 34.796875 47.390625 +C 34.796875 38.703125 29.703125 31.21875 24 24.734375 +L 4.09375 2.296875 +L 4.09375 0 +L 39.296875 0 +z +" id="CMR17-50"/> + </defs> + <use transform="scale(0.996264)" 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</g> + </g> + </g> + <g id="ytick_2"> + <g id="line2d_9"> + <g> + <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="263.232"/> + </g> + </g> + <g id="text_9"> + <!-- $\mathdefault{1}$ --> + <g transform="translate(45.618665 266.928101)scale(0.1 -0.1)"> + <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-49"/> + </g> + </g> + </g> + <g id="ytick_3"> + <g id="line2d_10"> + <g> + <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="218.88"/> + </g> + </g> + <g id="text_10"> + <!-- $\mathdefault{2}$ --> + <g transform="translate(45.618665 222.576101)scale(0.1 -0.1)"> + <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-50"/> + </g> + </g> + </g> + <g id="ytick_4"> + <g id="line2d_11"> + <g> + <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="174.528"/> + </g> + </g> + <g id="text_11"> + <!-- $\mathdefault{3}$ --> + <g transform="translate(45.618665 178.224101)scale(0.1 -0.1)"> + <use 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b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e6e7c1e --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py new file mode 100644 index 0000000..dac99a7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py @@ -0,0 +1,20 @@ +# -*- coding: utf-8 -*- +""" +Created on Sun Jul 31 14:34:13 2022 + +@author: yanik +""" + +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +t = 0 +phi = np.linspace(np.pi/2, 3*np.pi/2, 10**5) +x0 = 1 +y0 = -2 + +def D(t): + return (x0+t*np.cos(phi))*np.cos(phi)+(y0+t*(np.sin(phi)-1))*(np.sin(phi)-1)/(np.sqrt((x0+t*np.cos(phi))**2+(y0+t*(np.sin(phi)-1))**2)) + + +plt.plot(phi, D(t))
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py new file mode 100644 index 0000000..3a90afa --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py @@ -0,0 +1,58 @@ +# -*- coding: utf-8 -*- +""" +Created on Sun Jul 31 13:32:53 2022 + +@author: yanik +""" + +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +import scipy.special as sci + +W = sci.lambertw + + +t = np.linspace(0, 1.2, 1000) +x0 = 1 +y0 = 1 + +r0 = np.sqrt(x0**2+y0**2) +chi = (r0+y0)/(r0-y0) + +x = x0*np.sqrt(1/chi*W(chi*np.exp(chi-4*t/(r0-y0)))) +eta = (x/x0)**2 +y = 1/4*((y0+r0)*eta+(y0-r0)*np.log(eta)-r0+3*y0) + +ymin= (min(y)).real +xmin = (x[np.where(y == ymin)][0]).real + + +#Verfolger +plt.plot(x, y, 'r--') +plt.plot(xmin, ymin, 'bo', markersize=10) + +#Ziel +plt.plot(np.zeros_like(t), t, 'g--') +plt.plot(0, ymin, 'bo', markersize=10) + + +plt.plot([0, xmin], [ymin, ymin], 'k--') +#plt.xlim(-0.1, 1) +#plt.ylim(1, 2) +plt.ylabel("y") +plt.xlabel("x") +plt.grid(True) +plt.quiver(xmin, ymin, -0.2, 0, scale=1) + +plt.text(xmin+0.1, ymin-0.1, "Verfolgungskurve", size=20, rotation=20, color='r') +plt.text(0.01, 0.02, "Fluchtkurve", size=20, rotation=90, color='g') + +plt.rcParams.update({ + "text.usetex": True, + "font.family": "serif", + "font.serif": ["New Century Schoolbook"], +}) + +plt.text(xmin-0.11, ymin-0.08, r"$\dot{v}$", size=20) +plt.text(xmin-0.02, ymin+0.05, r"$V$", size=20, c='b') +plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b')
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggb b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggb Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3fb3a78 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggb diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg new file mode 100644 index 0000000..d91e5e1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg @@ -0,0 +1 @@ +<svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2172" height="1315" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1"><defs><clipPath id="aUbphlusyTbL"><path fill="none" stroke="none" d="M 0 0 L 2172 0 L 2172 1315 L 0 1315 L 0 0 Z" /></clipPath></defs><g clip-path="url("#aUbphlusyTbL")" transform="scale(1)"><g><rect fill="rgb(255, 255, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" x="0" y="0" width="2172" height="1315" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1600" y="1288">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1600" y="1288">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1600" y="1288">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" 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text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="967">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="967">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="967">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="605">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="605">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="605">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="554">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="554">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="554">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="502">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="502">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="502">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="450">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="450">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="450">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" 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\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3c4500b --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..932d9d9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f41dffe --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg new file mode 100644 index 0000000..0c4a11d --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg @@ -0,0 +1 @@ +<svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1082" y="1190">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1158" y="1190">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1158" y="1190">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="875">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="875">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="799">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" 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\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/lambertw/main.log b/buch/papers/lambertw/main.log new file mode 100644 index 0000000..754563d --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/main.log @@ -0,0 +1,139 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (MiKTeX 21.8) (preloaded format=pdflatex 2021.9.21) 20 JUL 2022 18:38 +entering extended mode +**./main.tex +(main.tex +LaTeX2e <2021-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2021-08-27> +! Undefined control sequence. +l.6 \chapter + {Verfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! 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Emergency stop. +<read *> + +l.30 \input{papers/lambertw/teil0.tex} + +*** (cannot \read from terminal in nonstop modes) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 22 strings out of 478927 + 609 string characters out of 2852535 + 290175 words of memory out of 3000000 + 17980 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 403430 words of font info for 27 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 16i,0n,26p,94b,28s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/lambertw/main.tex b/buch/papers/lambertw/main.tex index c125c33..394963f 100644 --- a/buch/papers/lambertw/main.tex +++ b/buch/papers/lambertw/main.tex @@ -3,34 +3,35 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:lambertw}} -\lhead{Thema} +\chapter{Verfolgungskurven\label{chapter:lambertw}} +\lhead{Verfolgungskurven} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - +\chapterauthor{David Hugentobler und Yanik Kuster} +% +%Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes +%\begin{itemize} +%\item +%Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. +%Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. +%\item +%Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende +%Optionen werden gelöscht. +%Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. +%\item +%Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. +%Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen +%in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt +%anzuwenden. +%\item +%Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren +%Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. +%\end{itemize} +% \input{papers/lambertw/teil0.tex} +%\input{papers/lambertw/teil2.tex} +%\input{papers/lambertw/teil3.tex} +\input{papers/lambertw/teil4.tex} \input{papers/lambertw/teil1.tex} -\input{papers/lambertw/teil2.tex} -\input{papers/lambertw/teil3.tex} - +% \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/lambertw/packages.tex b/buch/papers/lambertw/packages.tex index 6581a5a..366de78 100644 --- a/buch/papers/lambertw/packages.tex +++ b/buch/papers/lambertw/packages.tex @@ -8,3 +8,5 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{float}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.log b/buch/papers/lambertw/teil0.log new file mode 100644 index 0000000..f5b3f0d --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/teil0.log @@ -0,0 +1,3656 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (MiKTeX 21.8) (preloaded format=pdflatex 2021.9.21) 19 JUL 2022 16:20 +entering extended mode +**./teil0.tex +(teil0.tex +LaTeX2e <2021-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2021-08-27> +! Undefined control sequence. +l.6 \section + {Was sind Verfolgungskurven? +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.6 \section{W + as sind Verfolgungskurven? +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no W in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no ? in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.8 \rhead + {Teil 0} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no 0 in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--9 +[] + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.10 V + erfolgungskurven tauchen oft auf bei fragen wie, welchen Pfad begeht e... + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no , in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no P in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no H in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +LaTeX Font Info: Trying to load font information for +cmr on input line 10. +LaTeX Font Info: No file cmr.fd. on input line 10. + +LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined +(Font) using `/cmr/m/n' instead on input line 10. + +! Corrupted NFSS tables. +wrong@fontshape ...message {Corrupted NFSS tables} + error@fontshape else let f... +l.10 ...agen wie, welchen Pfad begeht ein Hund wä + hrend er einer Katze nachr... +This error message was generated by an \errmessage +command, so I can't give any explicit help. +Pretend that you're Hercule Poirot: Examine all clues, +and deduce the truth by order and method. + + +LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined +(Font) using `OT1/cmr/m/n' instead on input line 10. + +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! 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+Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no , in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no , in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no P in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no , in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +[] + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +\/cmr/m/n/10 a + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +\/cmr/m/n/10 a + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +\/cmr/m/n/10 o + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +\/cmr/m/n/10 a + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +\/cmr/m/n/10 o + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 13--16 +\/cmr/m/n/10 o + [] + + +! LaTeX Error: Environment table undefined. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.17 \begin{table} + +Your command was ignored. +Type I <command> <return> to replace it with another command, +or <return> to continue without it. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 \begin{tabular} + {|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <7> on input line 18. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <5> on input line 18. + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! 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LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +! LaTeX Error: Illegal character in array arg. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.18 ...|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +! Undefined control sequence. +<recently read> \text + +l.20 \text + {}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +! Undefined control sequence. +l.20 \text{}&\text + {Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.20 \text{}&\text{Geschwindigkeit}&\text + {Abstand}&\text{Richtung}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no A in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.20 ...text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text + {Richtung}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no R in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +! Undefined control sequence. +<recently read> \text + +l.22 \text + {Strategie 1} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no 1 in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.23 & \text + {konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.23 & \text{konstant} & \text + {-} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no - in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.23 & \text{konstant} & \text{-} & \text + {direkt auf Ziel hinzu}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no Z in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.25 \text + {Strategie 2} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no 2 in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.26 & \text + {-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no - in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.26 & \text{-} & \text + {konstant} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.26 & \text{-} & \text{konstant} & \text + {direkt auf Ziel hinzu}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no Z in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.28 \text + {Strategie 3} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no 3 in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.29 & \text + {konstant} & \text{-} & \text{etwas voraus Zielen}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.29 & \text{konstant} & \text + {-} & \text{etwas voraus Zielen}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no - in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.29 & \text{konstant} & \text{-} & \text + {etwas voraus Zielen}\\ +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no Z in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! + +! LaTeX Error: \begin{document} ended by \end{table}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.33 \end{table} + +Your command was ignored. +Type I <command> <return> to replace it with another command, +or <return> to continue without it. + + +Overfull \hbox (20.00006pt too wide) in paragraph at lines 18--34 +[][] + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.42 I + n der Tabelle \eqref{lambertw:Strategien} sind drei mögliche Strategi... + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no I in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.42 In der Tabelle \eqref + {lambertw:Strategien} sind drei mögliche Strategi... +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no : in font nullfont! +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! 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+Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no I in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.45 In der Grafik \eqref + {lambertw:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt. +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no : in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +Missing character: There is no 2 in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no P in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! 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Undefined control sequence. +l.51 \quad|A\in\mathbb + {R}>0 +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +Overfull \hbox (122.89459pt too wide) detected at line 52 +\OMS/cmsy/m/n/10 j[]j \/cmr/m/n/10 = \OML/cmm/m/it/10 konst \/cmr/m/n/10 = \OML +/cmm/m/it/10 A \OMS/cmsy/m/n/10 j\OML/cmm/m/it/10 A \OMS/cmsy/m/n/10 2 \OML/cmm +/m/it/10 R > \/cmr/m/n/10 0 + [] + +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! 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+Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! + +! LaTeX Error: Environment align undefined. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.65 \begin{align} + +Your command was ignored. +Type I <command> <return> to replace it with another command, +or <return> to continue without it. + +Missing character: There is no - in font nullfont! +! Missing $ inserted. +<inserted text> + $ +l.67 ...}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|} + \cdot +I've inserted a begin-math/end-math symbol since I think +you left one out. Proceed, with fingers crossed. + +! Extra }, or forgotten $. +\frac #1#2->{\begingroup #1\endgroup \over #2} + +l.67 ...}{|\overrightarrow{Z}-\overrightarrow{V}|} + \cdot +I've deleted a group-closing symbol because it seems to be +spurious, as in `$x}$'. But perhaps the } is legitimate and +you forgot something else, as in `\hbox{$x}'. In such cases +the way to recover is to insert both the forgotten and the +deleted material, e.g., by typing `I$}'. + +! Misplaced alignment tab character &. +l.69 & + = +I can't figure out why you would want to use a tab mark +here. If you just want an ampersand, the remedy is +simple: Just type `I\&' now. But if some right brace +up above has ended a previous alignment prematurely, +you're probably due for more error messages, and you +might try typing `S' now just to see what is salvageable. + +! Misplaced alignment tab character &. +l.73 & + = +I can't figure out why you would want to use a tab mark +here. If you just want an ampersand, the remedy is +simple: Just type `I\&' now. But if some right brace +up above has ended a previous alignment prematurely, +you're probably due for more error messages, and you +might try typing `S' now just to see what is salvageable. + + +! LaTeX Error: \begin{document} ended by \end{align}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.75 \end{align} + +Your command was ignored. +Type I <command> <return> to replace it with another command, +or <return> to continue without it. + +! Missing $ inserted. +<inserted text> + $ +l.75 \end{align} + +I've inserted something that you may have forgotten. +(See the <inserted text> above.) +With luck, this will get me unwedged. But if you +really didn't forget anything, try typing `2' now; then +my insertion and my current dilemma will both disappear. + +! Missing } inserted. +<inserted text> + } +l.75 \end{align} + +I've inserted something that you may have forgotten. +(See the <inserted text> above.) +With luck, this will get me unwedged. But if you +really didn't forget anything, try typing `2' now; then +my insertion and my current dilemma will both disappear. + +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no K in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! 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Undefined control sequence. +l.79 \subsection + {Ziel +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.79 \subsection{Z + iel +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no Z in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no A in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! 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Emergency stop. +<*> ./teil0.tex + +*** (job aborted, no legal \end found) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 34 strings out of 478927 + 671 string characters out of 2852535 + 298175 words of memory out of 3000000 + 17993 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 403430 words of font info for 27 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 23i,13n,32p,801b,95s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex index 2b83d59..6632eca 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex @@ -3,20 +3,130 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{lambertw:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{lambertw:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Was sind Verfolgungskurven? +\label{lambertw:section:Was_sind_Verfolgungskurven}} +\rhead{Was sind Verfolgungskurven?} +% +Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie ``Welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt?''. +Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel. +Der Verfolger verfolgt sein Ziel, das versucht zu entkommen. +Der Pfad, den der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt. +Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als Differentialgleichung formuliert werden. +Diese Differentialgleichung entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers. +% +\subsection{Verfolger und Verfolgungsstrategie +\label{lambertw:subsection:Verfolger}} +Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert. +Wir nehmen an, dass sich der Verfolger stur an eine Verfolgungsstrategie hält. +Dabei gibt es viele mögliche Strategien, die der Verfolger wählen könnte. +Die möglichen Strategien entstehen durch Festlegung einzelner Parameter, die der Verfolger kontrollieren kann. +Der Verfolger hat nur einen direkten Einfluss auf seinen Geschwindigkeitsvektor. +Mit diesem kann er neben Richtung und Betrag auch den Abstand zwischen Verfolger und Ziel kontrollieren. +Wenn zwei dieser drei Parameter durch die Strategie definiert werden, ist der dritte nicht mehr frei. +Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um den Verfolger komplett zu beschreiben. +% +\begin{table} + \centering + \begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} + \hline + \text{Strategie}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\ + \hline + \text{Jagd} + & \text{konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel zu}\\ + + \text{Beschattung} + & \text{-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel zu}\\ + + \text{Vorhalt} + & \text{konstant} & \text{-} & \text{etwas voraus Zielen}\\ + \hline + \end{tabular} + \caption{mögliche Verfolgungsstrategien} + \label{lambertw:table:Strategien} +\end{table} +% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.6]{./papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf} + \caption{Vektordarstellung Jagdstrategie} + \label{lambertw:grafic:pursuerDGL2} +\end{figure} +% +In der Tabelle \ref{lambertw:table:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt. +Im Folgenden wird nur noch auf die Jagdstrategie eingegangen. +Bei dieser Strategie ist die Geschwindigkeit konstant und der Verfolger bewegt sich immer direkt auf sein Ziel zu. +Der Verfolger und sein Ziel werden als Punkte $V$ und $Z$ modelliert. +In der Abbildung \ref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt, +wobei $v$ der Ortsvektor des Verfolgers, $z$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{v}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist. +Der Geschwindigkeitsvektor entspricht dem Richtungsvektors des Verfolgers. +Die konstante Geschwindigkeit kann man mit +% +\begin{equation} + |\dot{v}| + = \operatorname{const} = A + \text{,}\quad A\in\mathbb{R}^+ +\end{equation} +% +darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor muss auf das Ziel zeigen, woraus folgt +\begin{equation} + \dot{v} + \quad||\quad + z-v + \text{.} +\end{equation} +Um den Richtungsvektor zu konstruieren kann der Einheitsvektor parallel zu $z-v$ um $|\dot{v}|$ gestreckt werden, was zu +\begin{equation} + \dot{v} + = + |\dot{v}|\cdot e_{z-v} +\end{equation} +führt. Dies kann noch ausgeschrieben werden zu +\begin{equation} + \dot{v} + = + |\dot{v}|\cdot\frac{z-v}{|z-v|} + \text{.} + \label{lambertw:richtungsvektor} +\end{equation} +% +Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist. +Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial. + +Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergibt sich +\begin{align} + \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v} + &= + |\dot{v}|^2 +\end{align} +was algebraisch zu +\begin{align} + \label{lambertw:pursuerDGL} + \frac{z-v}{|z-v|}\cdot \frac{\dot{v}}{|\dot{v}|} + &= + 1 +\end{align} +umgeformt werden kann. +Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, sofern der Verfolger die Jagdstrategie verwendet. +% +\subsection{Ziel +\label{lambertw:subsection:Ziel}} +Als nächstes gehen wir auf das Ziel ein. +Wie der Verfolger wird auch unser Ziel sich strikt an eine Fluchtstrategie halten, welche von Anfang an bekannt ist. +Als Strategie eignet sich eine definierte Fluchtkurve oder ähnlich wie beim Verfolger ein Verhalten, das vom Verfolger abhängig ist. +Ein vom Verfolger abhängiges Verhalten führt zu einem gekoppeltem DGL-System, das schwierig zu lösen sein wird. +Eine definierte Fluchtkurve kann mit einer Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden. +Zum Beispiel könnte ein Ziel auf einer Geraden flüchten, welches auf einer Ebene mit der Parametrisierung +% +\begin{equation} + z(t) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) +\end{equation} +% +beschrieben werden könnte. +Mit dieser Gleichung ist das Ziel auch schon vollumfänglich definiert. +Für die Fluchtkurve kann eine beliebige Form gewählt werden, jedoch wird die zu lösende Differentialgleichung für die Verfolgungskurve komplexer. + -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.log b/buch/papers/lambertw/teil1.log new file mode 100644 index 0000000..d2eb5c6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/teil1.log @@ -0,0 +1,3259 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (MiKTeX 21.8) (preloaded format=pdflatex 2021.9.21) 5 APR 2022 23:32 +entering extended mode +**./teil1.tex +(teil1.tex +LaTeX2e <2021-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2021-08-27> +! Undefined control sequence. +l.6 \section + {Beispiel () +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.6 \section{B + eispiel () +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no B in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no ( in font nullfont! +Missing character: There is no ) in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.8 \rhead + {Problemstellung} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no P in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--9 +[] + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.20 J + e nach Verfolgungsstrategie die der Verfolger verwendet, entsteht eine... + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no J in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no , in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no F in font nullfont! +LaTeX Font Info: Trying to load font information for +cmr on input line 21. +LaTeX Font Info: No file cmr.fd. on input line 21. + +LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined +(Font) using `/cmr/m/n' instead on input line 21. + +! Corrupted NFSS tables. +wrong@fontshape ...message {Corrupted NFSS tables} + error@fontshape else let f... +l.21 Fü + r dieses konkrete Beispiel wird einfachheitshalber die simpelste Str... +This error message was generated by an \errmessage +command, so I can't give any explicit help. +Pretend that you're Hercule Poirot: Examine all clues, +and deduce the truth by order and method. + + +LaTeX Font Warning: Font shape `/cmr/m/n' undefined +(Font) using `OT1/cmr/m/n' instead on input line 21. + +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! 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+Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 20--24 +[] + [] + + +Overfull \hbox (10.55559pt too wide) in paragraph at lines 20--24 +\/cmr/m/n/10 u + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 20--24 +\/cmr/m/n/10 a + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.25 U + m die DGL dieses Problems herzuleiten wird der Sachverhalt in der Graf... + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no U in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no P in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.25 ... wird der Sachverhalt in der Grafik \eqref + {pursuer_grafik1} aufgezeigt. +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +! Missing $ inserted. +<inserted text> + $ +l.25 ... Sachverhalt in der Grafik \eqref{pursuer_ + grafik1} aufgezeigt. +I've inserted a begin-math/end-math symbol since I think +you left one out. Proceed, with fingers crossed. + +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <7> on input line 25. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <5> on input line 25. +! Extra }, or forgotten $. +l.25 ...halt in der Grafik \eqref{pursuer_grafik1} + aufgezeigt. +I've deleted a group-closing symbol because it seems to be +spurious, as in `$x}$'. But perhaps the } is legitimate and +you forgot something else, as in `\hbox{$x}'. In such cases +the way to recover is to insert both the forgotten and the +deleted material, e.g., by typing `I$}'. + +! Missing $ inserted. +<inserted text> + $ +l.27 + +I've inserted a begin-math/end-math symbol since I think +you left one out. Proceed, with fingers crossed. + + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 25--27 +[] + [] + + +Overfull \hbox (332.97824pt too wide) in paragraph at lines 25--27 +[]\OML/cmm/m/it/10 rafik\/cmr/m/n/10 1\OML/cmm/m/it/10 aufgezeigt:DerPunktPistd +erVerfolgerundderPunktAistseinZiel:$ + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.28 U + m dies mathematisch beschreiben zu können, wird der Richtungsvektor +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no U in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no , in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no R in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 28--29 +[] + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 28--29 +\/cmr/m/n/10 o + [] + + +Overfull \hbox (64.58458pt too wide) detected at line 33 +[] \/cmr/m/n/10 = [] + [] + +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! 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+Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no k in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! 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+ +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 33--38 +\/cmr/m/n/10 o + [] + + +Overfull \hbox (15.71458pt too wide) in paragraph at lines 33--38 +[]$ + [] + + +Overfull \hbox (15.40556pt too wide) in paragraph at lines 33--38 +[]$ + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 33--38 +\/cmr/m/n/10 a + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 33--38 +\/cmr/m/n/10 a + [] + + +Overfull \hbox (5.00002pt too wide) in paragraph at lines 33--38 +\/cmr/m/n/10 o + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.39 N + un wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um... + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no N in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! 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+Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no K in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! 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+Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! 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+Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no Z in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no z in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.49 \subsection + {Beispiel} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.49 \subsection{B + eispiel} +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no B in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no V in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no w in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! 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+Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no v in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! 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+Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.50 ...ieses Problem wurde bereits die DGL \eqref + {eq:PursuerDGL} hergeleitet. +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no q in font nullfont! +Missing character: There is no : in font nullfont! +Missing character: There is no P in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no G in font nullfont! +Missing character: There is no L in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no A in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no g in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 49--52 +[] + [] + + +Overfull \hbox (5.55557pt too wide) in paragraph at lines 49--52 +\/cmr/m/n/10 u + [] + + +Overfull \hbox (5.55557pt too wide) in paragraph at lines 49--52 +\/cmr/m/n/10 u + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.53 \begin{equation} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 53--53 +[] + [] + + +Overfull \hbox (135.67946pt too wide) detected at line 57 +[]\/cmr/m/n/10 (\OML/cmm/m/it/10 t\/cmr/m/n/10 )[][] = [][][] + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.59 \begin{equation} + +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 59--59 +[] + [] + + +Overfull \hbox (61.57726pt too wide) detected at line 65 +[] \OMS/cmsy/m/n/10 [] \/cmr/m/n/10 = 1 = \OML/cmm/m/it/10 v[] + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.79 S + ed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem +You're in trouble here. 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Undefined control sequence. +l.104 \subsection + {De finibus bonorum et malorum +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.104 \subsection{D + e finibus bonorum et malorum +You're in trouble here. 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Undefined control sequence. +l.110 animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref + {000tempmlate:equation1}. +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no 0 in font nullfont! +Missing character: There is no 0 in font nullfont! +Missing character: There is no 0 in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no : in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no q in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no 1 in font nullfont! +Missing character: There is no . in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 104--111 +[] + [] + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.112 E + t harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no E in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no q in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no x in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +! 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Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +LaTeX Warning: Reference `lambertw:section:loesung' on page undefined on input + line 113. + +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no N in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! 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Undefined control sequence. +<write> ...tw:section:folgerung' on page \thepage + \space undefined\on@line . +l.117 \ref{lambertw:section:folgerung} + . +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +LaTeX Warning: Reference `lambertw:section:folgerung' on page undefined on inp +ut line 117. + +Missing character: There is no . in font nullfont! +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! 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Emergency stop. +<*> ./teil1.tex + +*** (job aborted, no legal \end found) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 35 strings out of 478927 + 720 string characters out of 2852535 + 294175 words of memory out of 3000000 + 17993 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 403738 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 23i,12n,32p,307b,98s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex index 7b545c3..e8eca2c 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex @@ -3,53 +3,347 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 -\label{lambertw:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{lambertw:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{lambertw:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. +\section{Wird das Ziel erreicht? +\label{lambertw:section:Wird_das_Ziel_erreicht}} +\rhead{Wird das Ziel erreicht?} +% +Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird. +Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird. +Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird. +Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und am Beispiel aus \ref{lambertw:section:teil4} betrachtet. +Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{lambertw:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{lambertw:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird. +Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen. +Somit gilt es +% +\begin{equation} + z(t_1)=v(t_1) + \label{bedingung_treffer} +\end{equation} +% +zu lösen. +Die Parametrisierung von $z(t)$ ist im Beispiel definiert als +\begin{equation} + z(t) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)\text{.} +\end{equation} +% +Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb wird die Bedingung \eqref{bedingung_treffer} jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert. +% +\subsection{Anfangsbedingung im ersten Quadranten} +% +Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche +\begin{align} + x\left(t\right) + &= + x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\ + y(t) + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\ + \chi + &= + \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad + \eta + = + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad + r_0 + = + \sqrt{x_0^2+y_0^2} + \text{.} +\end{align} +% +Der Verfolger ist durch +\begin{equation} + v(t) + = + \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) + \text{.} +\end{equation} +% +parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$. +Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher die Bedingungen +% +\begin{align} + 0 + &= + x(t) + = + x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)} + \\ + t + &= + y(t) + = + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,} +\end{align} +% +welche beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde. +Zuerst wird die Bedingung der $x$-Koordinate betrachtet. +Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ kann +\begin{equation} + 0 + = + x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)} +\end{equation} +algebraisch zu +\begin{equation} + 0 + = + W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) +\end{equation} +umgeformt werden. +Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Mit der einzigen Nullstelle der Lambert W-Funktion bei +\begin{equation*} + W(0)=0 + \text{,} +\end{equation*} +kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu +\begin{equation} + 0 + = + \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) + \text{.} +\end{equation} +Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste, damit ein Einholen möglich wäre. +Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden. +% +% +% +%Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt +%\begin{equation} +% 0 +% = +% W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) +% \text{.} +%5\end{equation} +% +%Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +%Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +% +%\begin{equation*} +% W(0)=0 +%\end{equation*} +% +%besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu +% +%\begin{equation} +% 0 +% = +% \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) +% \text{.} +%\end{equation} +% +%Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +%Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +%Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre. +%Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden. +% +\subsection{Anfangsbedingung $y_0<0$} +Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolger niemals das Ziel einholen. +Dies kann veranschaulicht werden anhand +% +\begin{equation} + v(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) + \leq + z(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) + = + 1\text{.} +\end{equation} +% +Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen. +% +\subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse} +Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels. +Dies führt dazu, dass der Verfolger und das Ziel sich direkt aufeinander zu bewegen, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt. +Die Folge ist, dass das Ziel zwingend erreicht wird. +Um $t_1$ zu bestimmen, kann die Verfolgungskurve in diesem Fall mit +% +\begin{equation} + v(t) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ y_0-t \end{array} \right) +\end{equation} +% +parametrisiert werden. +Nun kann der Abstand zwischen Verfolger und Ziel leicht bestimmt und nach 0 aufgelöst werden. +Woraus folgt +% +\begin{equation} + 0 + = + |v(t_1)-z(t_1)| + = + y_0-2t_1\text{,} +\end{equation} +% +was aufgelöst zu +% +\begin{equation} + t_1 + = + \frac{y_0}{2} +\end{equation} +% +führt. +Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet. +\subsection{Fazit} +Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen im ersten und zweiten Quadranten zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt. +Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen. +Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden. +Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann. +Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius. +Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert. +Mathematisch kann dies mit +% +\begin{equation} + |v-z|<a_{\text{min}} \text{,}\quad a_{\text{min}}\in\mathbb{R}^+ +\end{equation} +% +beschrieben werden, wobei $a_{\text{min}}$ dem Trefferradius entspricht. +Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit +% +\begin{equation} + |v-z|^2<a_{\text{min}}^2 \text{,}\quad a_{\text{min}}\in \mathbb{R}^+ + \label{lambertw:minimumAbstand} +\end{equation} +% +die neue Bedingung ist. +Da sowohl der Betrag als auch $a_{\text{min}}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert. +% +\subsection{trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch +In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine Mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde. +Als erste Intuition für den Punkt bei dem $|v-z|$ minimal ist bietet sich der tiefste Punkt der Verfolgungskurve an, bei dem der y-Anteil des Richtungsvektors null entspricht. +Es kann argumentiert werden, dass weil die Geschwindigkeiten gleich gross sind und $\dot{v}$ sich aus einem $y$- als auch einem $x$-Anteil zusammensetzt und $\dot{z}$ nur ein $y$-Anteil besitzt, der Abstand nur grösser werden kann, wenn $e_y\cdot z>e_y\cdot v$. +Aus diesem Argument würde folgen, dass beim tiefsten Punkt der Verfolgungskurve im Beispiel den minimalen Abstand befindet. +% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.4]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf} + \caption{Intuition} + \label{lambertw:grafic:intuition} +\end{figure} +% +Dieses Argument kann leicht überprüft werden, indem lokal alle relevanten benachbarten Punkte betrachtet und das Vorzeichen der Änderung des Abstandes überprüft wird. +Dafür wird ein Ausdruck benötigt, der den Abstand und die benachbarten Punkte beschreibt. +Der Richtungsvektor wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$ +Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit +\begin{align} + v + &= + t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right) + \\ + z + &= + \left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right) +\end{align} +beschrieben werden. Der Verfolger wurde allgemein für jede Richtung $\alpha$ definiert, um alle unmittelbar benachbarten Punkte beschreiben zu können. +Da der Abstand +\begin{equation} + a + = + |v-z| + \geq + 0 +\end{equation} +ist, kann durch quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu +\begin{equation} + a^2 + = + |v-z|^2 + = + (t\cdot\cos(\alpha)+x_0)^2+t^2(\sin(\alpha)-1)^2 + \text{.} +\end{equation} +Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist +\begin{equation} + \frac{d a^2}{d t} + = + 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2 + \text{.} +\end{equation} +Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in +\begin{align} + \frac{d a^2}{d t} + &= + 2x_0\cos(\alpha) + \\ + \frac{d a^2}{d t} + &< + 0\Leftrightarrow\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) + \\ + \frac{d a^2}{d t} + &> + 0\Leftrightarrow\alpha\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) + \\ + \frac{d a^2}{d t} + &= + 0\Leftrightarrow\alpha\in\left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\} +\end{align} +unterteilt werden. +Von Interesse ist lediglich das Intervall $\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, da der Verfolger sich stets in die negative $y$-Richtung bewegt. +In diesem Intervall ist die Ableitung negativ, woraus folgt, dass jeglicher unmittelbar benachbarte Punkt, den der Verfolger als nächstes begehen könnte, stets näher am Ziel ist als zuvor. +Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Verfolgungskurve nie ein lokales Minimum bezüglich des Abstandes sein kann. +% +\subsection{Wo ist der Abstand minimal?} +Damit der Verfolger das Ziel erreicht muss die Bedingung \eqref{lambertw:minimumAbstand} erfüllt sein. +Somit ist es ausreichend zu zeigen, dass +\begin{equation} + \operatorname{min}(|z-v|)<a_\text{min} + \label{lambertw:Bedingung:abstandMinimal} +\end{equation} +erfüllt ist. +Für folgende Betrachtung wurde für den Verfolger die Jagdstrategie mit $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ gewählt. +Das Minimum des Abstandes kann mit +\begin{equation} + 0=\frac{d|z-v|}{dt} +\end{equation} +gefunden werden. +Mithilfe $(z-v)(z-v)=|z-v|^2$ kann die Gleichung umgeformt werden zu +\begin{equation} + 0=\frac{d(\sqrt{(z-v)(z-v)})}{dt} + \text{.} +\end{equation} +Jetzt kann die Ableitung leicht ausgeführt werden, womit +\begin{equation} + 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{z-v}{\sqrt{(z-v)(z-v)}} +\end{equation} +entsteht. +In dieser Gleichung kann $(z-v)(z-v)=|z-v|^2$ nochmals angewendet werden, wodurch die Gleichung zu +\begin{equation} + 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{z-v}{|z-v|} +\end{equation} +umgeformt werden kann. +Nun ist die Struktur der Gleichung \eqref{lambertw:richtungsvektor} erkennbar. +Wird dies ausgenutzt folgt +\begin{equation} + 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{\dot{v}}{|\dot{v}|} + \text{.} +\end{equation} +Durch algebraische Umwandlung kann die Gleichung in die Form +\begin{equation} + \dot{z}\dot{v}=|\dot{v}|^2 +\end{equation} +gebracht werden. +Da $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ folgt +\begin{equation} + \cos(\alpha)=1 + \text{,} +\end{equation} +wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist. +Mit $|\dot{z}|=|\dot{v}|=1$ entsteht +\begin{equation} + \cos(\alpha)=1 + \text{,} +\end{equation} +woraus folgt, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann. +$\alpha=0$ bedeutet, dass $\dot{v}=\dot{z}$ sein muss. +Da die Richtungsvektoren bei $t\rightarrow\infty$ immer in die gleiche Richtung zeigen ist dort die Bedingung immer erfüllt. +Dies entspricht gerade dem einen Rand von $t$, der andere Rand bei $t=0$ muss auch auf lokales bzw. globales Minimum untersucht werden. +Daraus folgt, dass die Bedingung \eqref{lambertw:Bedingung:abstandMinimal} lediglich für den Abstand bei $t=\{0, \infty\}$ überprüft werden muss.
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Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{lambertw:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\subsection{Strategie 1 +\label{lambertw:subsection:Strategie1}} + + +\subsection{Strategie 2 +\label{lambertw:subsection:Strategie2}} diff --git a/buch/papers/lambertw/teil3.log b/buch/papers/lambertw/teil3.log new file mode 100644 index 0000000..018dcba --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/teil3.log @@ -0,0 +1,1580 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.23 (MiKTeX 21.8) (preloaded format=pdflatex 2021.9.21) 5 APR 2022 21:53 +entering extended mode +**./teil3.tex +(teil3.tex +LaTeX2e <2021-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2021-08-27> +! Undefined control sequence. +l.6 \section + {Teil 3 +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.6 \section{T + eil 3 +You're in trouble here. Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no 3 in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.8 \rhead + {Teil 3} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no l in font nullfont! +Missing character: There is no 3 in font nullfont! +Missing character: There is no S in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no d in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no p in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no c in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! 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Try typing <return> to proceed. +If that doesn't work, type X <return> to quit. + +Missing character: There is no D in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no f in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no i in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no b in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no o in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! 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Undefined control sequence. +l.24 \subsection + {De finibus bonorum et malorum +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H <return> for immediate help. + ... + +l.24 \subsection{D + e finibus bonorum et malorum +You're in trouble here. 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Emergency stop. +<*> teil4.tex + +*** (job aborted, no legal \end found) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 16 strings out of 478371 + 382 string characters out of 5852527 + 296836 words of memory out of 5000000 + 18226 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 403430 words of font info for 27 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 13i,0n,12p,83b,18s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..1053dd1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex @@ -0,0 +1,437 @@ +% +% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Beispiel einer Verfolgungskurve +\label{lambertw:section:teil4}} +\rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve} +In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden. + +\subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen + \label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}} +Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden: +\begin{equation} + Z + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ |\dot{z}| \cdot t \end{array} \right) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) + ,\: + V + = + \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) + \:\text{und}\:\: + |\dot{v}| + = + 1. + \label{lambertw:Anfangsbed} +\end{equation} +Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt. +Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich der Ausdruck +\begin{equation} + \frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}} + \cdot + \left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right) + = + 1. + \label{lambertw:eqMitAnfangsbed} +\end{equation} + +\subsection{Differentialgleichung vereinfachen + \label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}} +Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden. + +Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers träge machen würden, werden wir uns hier nur auf die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können. + +\subsubsection{Skalarprodukt auflösen + \label{lambertw:subsubsection:SkalProdAufl}} +Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine viel handlichere Differentialgleichung erhalten. Dies führt zu +\begin{equation} + -x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y} + = \sqrt{x^2 + (t-y)^2}. + \label{lambertw:eqOhneSkalarprod} +\end{equation} +Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\)- und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist. + +\subsubsection{Quadrieren und Gruppieren + \label{lambertw:subsubsection:QuadUndGrup}} +Mit der Quadratwurzel in \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf die Form +\begin{equation} + \left(\dot{x}^2-1\right) \cdot x^2 -2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \left(\dot{y}^2-1\right) \cdot \left(t-y\right)^2 + =0 + \label{lambertw:eqOhneWurzel} +\end{equation} +gebracht werden. +Diese Form mag auf den ersten Blick nicht gerade nützlich sein, aber man kann sie mit einer Substitution weiter vereinfachen. + +\subsubsection{Wichtige Substitution + \label{lambertw:subsubsection:WichtSubst}} +Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann ergibt sich die Beziehung +\begin{equation} + \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + = 1. + \label{lambertw:eqGeschwSubst} +\end{equation} +Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Wenn man sie ersetzt, erhält man +\begin{equation} + \dot{y}^2 \cdot x^2 +2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \dot{x}^2 \cdot \left(t-y\right)^2 + =0. + \label{lambertw:eqGeschwSubstituiert} +\end{equation} +Diese unscheinbare Substitution führt dazu, dass weitere Vereinfachungen durchgeführt werden können. + +\subsubsection{Binom erkennen und vereinfachen + \label{lambertw:subsubsection:BinomVereinfach}} +Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, wobei +\begin{equation} + (x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2 + = 0 + \label{lambertw:eqAlgVerinfacht} +\end{equation} +die faktorisierte Darstellung davon ist. +Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL +\begin{equation} + x \dot{y} + (t-y) \dot{x} + = 0 + \label{lambertw:eqGanzVerinfacht} +\end{equation} +führt. +Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. + +Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen. + +\subsection{Zeitabhängigkeit loswerden + \label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}} +Der nächste logische Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können. + +\subsubsection{Zeitliche Ableitungen loswerden + \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}} +Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\) ist, die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig durch \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist: +\begin{equation} + x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}} + = 0. + \label{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} +\end{equation} +Der Grund dafür ist, dass +\begin{equation} + \frac{\displaystyle\dot{y}}{\displaystyle\dot{x}} + = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} + = \frac{dy}{dx} + = y^{\prime}, + \label{lambertw:eqQuotZeitAbleit} +\end{equation} +und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden. +Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht die neue Gleichung +\begin{equation} + x y^{\prime} + t - y + = 0. + \label{lambertw:DGLmitT} +\end{equation} + +\subsubsection{Variable \(t\) eliminieren + \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}} +Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte, aber wie? +Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er in der Zeit \(t\) die Strecke \(1\cdot t = t\) zurück. Längen und Strecken können auch mit der Bogenlänge repräsentiert werden, somit kann Zeit und zurückgelegte Strecke in der Gleichung +\begin{equation} + s + = + |\dot{v}| \cdot t + = + 1 \cdot t + = + t + = + \int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx + \label{lambertw:eqZuBogenlaenge} +\end{equation} +verbunden werden. + +Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. + +Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich der neue Ausdruck +\begin{equation} + x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y + = 0. + \label{lambertw:DGLohneT} +\end{equation} +Um das Integral los zu werden, leitet man \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhält die DGL zweiter Ordnung +\begin{align} + y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime} + &= 0, \\ + xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} + &= 0. + \label{lambertw:DGLohneInt} +\end{align} +Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist. + +\subsection{Differentialgleichung lösen + \label{lambertw:subsection:DGLloes}} +Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in die DGL +\begin{equation} + xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2} + = 0 + \label{lambertw:DGLmitU} +\end{equation} +erster Ordnung umgewandelt werden. +Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separierten Form +\begin{equation} + \int{\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\:du} + = + \int{\frac{1}{x}\:dx}, +\end{equation} +lässt sich die Gleichung mittels einer Integrationstabelle sehr rasch lösen. +Das Ergebnis ist +\begin{align} + \operatorname{arsinh}(u) + &= + \operatorname{ln}(x) + C, \\ + u + &= + \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C). + \label{lambertw:loesDGLmitU} +\end{align} +Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man die DGL +\begin{equation} + y^{\prime} + = + \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C) + \label{lambertw:loesDGLmitY} +\end{equation} +erster Ordnung, die bereits separiert ist. +Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung +\begin{equation} + y + = + C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2} +\end{equation} +für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}. + +Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist. + +\subsection{Lösung analysieren + \label{lambertw:subsection:LoesAnalys}} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png} + \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht. + \label{lambertw:BildFunkLoes} + } +\end{figure} + +Das Resultat, wie ersichtlich, ist die Funktion +\begin{equation} + {\color{red}{y(x)}} + = + C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}, + \label{lambertw:funkLoes} +\end{equation} +für welche die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden: +\begin{itemize} + \item + Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant. + \item + Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\)- aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen. + In diesem Punkt findet ein Monotoniewechsel in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} statt, was zu einem Minimum führt. + \item + Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn, da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger ihm nachgeht. +\end{itemize} +Alle diese Eigenschaften stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde. + +\subsection{Anfangswertproblem + \label{lambertw:subsection:AllgLoes}} +In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe ist ein Anfangswertproblem für \(y(x)\). + +Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Analysis, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen. + +\subsubsection{Anfangswerte bestimmen + \label{lambertw:subsubsection:Anfangswerte}} +Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte +\begin{equation} + y(x)\big \vert_{t=0} + = + y(x_0) + = + y_0 + \label{lambertw:eq1Anfangswert} +\end{equation} +und +\begin{equation} + \frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0} + = + y^{\prime}(x_0) + = + \frac{y_0}{x_0} + \label{lambertw:eq2Anfangswert} +\end{equation} +zu definieren. +Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\). + +\subsubsection{Gleichungssystem aufstellen und lösen + \label{lambertw:subsubsection:GlSys}} +Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich das Gleichungssystem +\begin{subequations} + \label{lambertw:eqGleichungssystem} + \begin{align} + y_0 + &= + C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\ + \frac{y_0}{x_0} + &= + 2 \cdot C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}. + \end{align} +\end{subequations} +Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen +\begin{subequations} + \begin{align} + \label{lambertw:eqKoeff1} + C_1 + &= + \frac{2\cdot\operatorname{ln}(x_0)\left(\sqrt{x_0^2 + y_0^2} - y_0 \right) - \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + 3 y_0}{4}, \\ + \label{lambertw:eqKoeff2} + C_2 + &= + \frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2} + \end{align} +\end{subequations} +des Gleichungssystems gewählt. +\subsubsection{Gesuchte Parameterfunktion aufstellen + \label{lambertw:subsubsection:ParamFunk}} +Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich beim Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion +\begin{equation} + y(x) + = + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right). + \label{lambertw:eqAllgLoes} +\end{equation} +Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert: +\begin{equation} + \eta + = + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 + \:\:\text{und}\:\: + r_0 + = + \sqrt{x_0^2+y_0^2}. +\end{equation} +Diese neue allgemeine Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorher hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf. Sie enthält einerseits einen quadratischen Teil, der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird. + +Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Wir können aber einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen. + +\subsection{Funktion nach der Zeit + \label{lambertw:subsection:FunkNachT}} +In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde. + +\subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen + \label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}} +Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL +\begin{equation} + x y^{\prime} + t - y + = 0 + \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} +\end{equation} +aus dem Abschnitt \eqref{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wurde. +Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren Ableitung \(y^{\prime}\) benötigt, diese sind: +\begin{subequations} + \label{lambertw:eqFunkUndAbleit} + \begin{align} + \label{lambertw:eqFunkUndAbleit1} + y + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\ + y^\prime + &= + \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\right). + \end{align} +\end{subequations} + +Wenn man diese Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich der Ausdruck +\begin{equation} + -4t + = + \left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right). + \label{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} +\end{equation} + +\subsubsection{Umformungen die zur Funktion nach der Zeit führen + \label{lambertw:subsubsection:UmformBisZumZiel}} +Mit dem Ausdruck \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}, welcher Terme mit \(x\) und \(t\) verbindet, kann nun nach der gesuchten Variable \(x\) aufgelöst werden. + +In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponenziert, sodass man +\begin{equation} + -4t+\left(y_0+r_0\right) + = + \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right) +\end{equation} +und anschliessend +\begin{equation} + e^{\displaystyle -4t+\left(y_0+r_0\right)} + = + e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)} + \label{lambertw:eqMitExp} +\end{equation} +erhält. +Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. + +Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren: +\begin{equation} + \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right) + = + \eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right). + \label{lambertw:eqOhnePotenz} +\end{equation} +Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution +\begin{equation} + \chi + = + \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0} + \label{lambertw:eqChiSubst} +\end{equation} +gelöst werden. +Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B. +\[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\] +die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir die Gleichung +\begin{equation} + \chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) + = + \chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}. + \label{lambertw:eqNachSubst} +\end{equation} +Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir den Ausdruck +\begin{equation} + W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) + = + \chi\eta. +\end{equation} +Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar besteht also aus den Gleichungen +\begin{subequations} + \label{lambertw:eqFunktionenNachT} + \begin{align} + \label{lambertw:eqFunkXNachT} + x(t) + &= + x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}{\chi}}, \\ + \label{lambertw:eqFunkYNachT} + y(x(t)) + = + y(t) + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right). + \end{align} +\end{subequations} +Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren. + +\subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion + \label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}} +Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird. +Nun, der Grund dafür ist die Struktur +\begin{equation} + y + = + p(x) +\operatorname{ln}(x), + \label{lambertw:eqEinsatzLambW} +\end{equation} +bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt. + +Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oft vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt new file mode 100644 index 0000000..b8716fc --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -0,0 +1,24 @@ +Datum: 28. 5. 2022 +Zeit: 15:29:49 UTC +Sternzeit: 7h 54m 26.593s 7.90738694h + +Deneb + +RA 20h 42m 12.14s 20.703372h +DEC 45 21' 40.3" 45.361194 + +H 50g 15' 17.1" 50.254750 +Azi 59g 36' 02.0" 59.600555 + +Spica + +RA 13h 26m 23.44s 13.439844h +DEC -11g 16' 46.8" 11.279666 + +H 18g 27' 30.0" 18.458333 +Azi 240g 23' 52.5" 240.397916 + +Position: + +l = 140 14' 00.01" E 140.233336 E +b = 35 43' 00.02" N 35.716672 N diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1f91809 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4b28f2f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ba7755f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3333dd4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fae0b85 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ac80c46 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..afe120e --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg Binary files differindex 53dd784..472e61f 100644 --- a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg +++ b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex new file mode 100644 index 0000000..ff01828 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -0,0 +1,182 @@ +\section{Beispielrechnung} +\rhead{Beispielrechnung} + +\subsection{Einführung} +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. +\subsection{Vorgehen} + +\begin{center} + \begin{tabular}{l l l} + 1. & Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen \\ + 2. & Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften\\ + 3. & Dreieck ABC bestimmmen\\ + 4. & Dreieck BPC bestimmen \\ + 5. & Dreieck ABP bestimmen \\ + 6. & Geographische Breite bestimmen \\ + 7. & Geographische Länge bestimmen \\ + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{Ausgangslage} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf} + \caption{Ausgangslage} +\end{wrapfigure} +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: +\[ Stunden \cdot 15 = Grad\]. +Dies wurde hier bereits gemacht. +\begin{center} + \begin{tabular}{l l l} + Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\ + Deneb&\\ + & Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\ + & Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\ + & Höhe $h_c$ & $50.256027^\circ$ \\ + Arktur &\\ + & Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\ + & Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\ + & Höhe $h_b$ & $47.427444^\circ$ \\ + \end{tabular} +\end{center} +\subsection{Koordinaten der Bildpunkte} +Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. +$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. +\begin{align} +\delta_{Deneb}&=DEC_{Deneb} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{Deneb}&=RA_{Deneb} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}} \nonumber \\ +\delta_{Arktur}&=DEC_{Arktur} = \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{Arktur}&=RA_{Arktur} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}} \nonumber +\end{align} + + +\subsection{Dreiecke definieren} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf} + \caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar} +\end{center} +\end{figure} +Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. +Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. +Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. +In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht. +Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. +Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ (vgl. Abbildung 21.11) und man müsste trigonometrisch anders vorgehen. + +\subsection{Dreieck $ABC$} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf} + \caption{Dreieck ABC} +\end{wrapfigure} +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align} + b=90^\circ-DEC_{Deneb} = 90^\circ - 45.361194^\circ = \underline{\underline{44.638806^\circ}}\nonumber \\ + c=90^\circ-DEC_{Arktur} = 90^\circ - 19.063222^\circ = \underline{\underline{70.936778^\circ}} \nonumber +\end{align} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel \[\alpha= RA_{Deneb} - RA_{Arktur} = 310.55058^\circ -214.17558^\circ = \underline{\underline{96.375^\circ}}.\] +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \nonumber \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \nonumber \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \nonumber +\end{align} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \nonumber \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \nonumber +\end{align} + + \begin{align} + \gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber +\end{align} +\subsection{Dreieck $BPC$} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf} + \caption{Dreieck BPC} +\end{wrapfigure} +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align} + h_b&=90^\circ - h_b \nonumber \\ + &= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + h_c &= 90^\circ - h_c \nonumber \\ + &= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber +\end{align} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf} + \caption{Dreieck ABP} +\end{wrapfigure} +Als erster müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: +\begin{align} + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber +\end{align} +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align} + l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \nonumber \\ + &= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\ + &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber +\end{align} +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber +\end{align} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align} + \delta &= 90^\circ - l \nonumber \\ + &= 90^\circ - 54.2833404 \nonumber \\ + &= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \nonumber \\ + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber +\end{align} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. + + + + diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex new file mode 100644 index 0000000..8d9083b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -0,0 +1,236 @@ +\section{Beispielrechnung} +\rhead{Beispielrechnung} + +\subsection{Einführung} +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. +Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. +\subsection{Vorgehen} +Unser Vorgehen erschliesst sich aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. +\begin{compactenum} +\item +Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen +\item +Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften +\item +Dreieck ABC bestimmmen +\item +Dreieck BPC bestimmen +\item +Dreieck ABP bestimmen +\item +Geographische Breite bestimmen +\item +Geographische Länge bestimmen +\end{compactenum} + +\subsection{Ausgangslage} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm} +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regel in Stunden angegeben. +Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: +\[ +\text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}. +\] +Dies wurde hier bereits gemacht. +\begin{center} +\begin{tabular}{l l >{$}l<{$}} +Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\ +Deneb &\\ + & Rektaszension $RA_{\text{Deneb}}$ & 310.55058^\circ\\ + & Deklination $DEC_{\text{Deneb}}$ & \phantom{0}45.361194^\circ \\ + & Höhe $h_c$ & \phantom{0}50.256027^\circ \\ +Arktur &\\ + & Rektaszension $RA_{\text{Arktur}}$& 214.17558^\circ \\ + & Deklination $DEC_{\text{Arktur}}$ & \phantom{0}19.063222^\circ \\ + & Höhe $h_b$ & \phantom{0}47.427444^\circ \\ +\end{tabular} +\end{center} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}}% +} +\medskip + +\subsection{Koordinaten der Bildpunkte} +Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. +$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. +\begin{align} +\delta_{\text{Deneb}}&=DEC_{\text{Deneb}} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{\text{Deneb}}&=RA_{\text{Deneb}} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}} \nonumber \\ +\delta_{\text{Arktur}}&=DEC_{\text{Arktur}} = \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{\text{Arktur}}&=RA_{\text{Arktur}} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}} \nonumber +\end{align} + + +\subsection{Dreiecke definieren} +\begin{figure} +\hbox{% +\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}% +\hfill% +\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}} +\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar +\label{nav:beispiele}} +\end{figure} +Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. +Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. +Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. +In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht. +Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. +Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ +(vgl. Abbildung\ref{nav:beispiele}) und man müsste trigonometrisch +anders vorgehen. + +\subsection{Dreieck $ABC$} +\vspace*{-3mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die +Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align*} +b +&= +90^\circ-DEC_{\text{Deneb}} += +90^\circ - 45.361194^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{44.638806^\circ}} +\\ +c +&= +90^\circ-DEC_{\text{Arktur}} += +90^\circ - 19.063222^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{70.936778^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.4cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}}% +} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel +\begin{align*} +\alpha +&= +RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} += +310.55058^\circ -214.17558^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{96.375^\circ}}. +\end{align*} +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align*} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ) + \sin(44.638806^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ) \cdot \cos(96.375^\circ)) \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} +\end{align*} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align*} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} +\\ +\gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778^\circ)-\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(80.8707801^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(44.638806^\circ)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} +\end{align*} + + + +\subsection{Dreieck $BPC$} +\vspace*{-4mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_B$, $h_B$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align*} +h_B&=90^\circ - pbb + = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} +\\ + h_C &= 90^\circ - pc + = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% +} +\begin{align*} +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_B)}{\sin(a) \cdot \sin(h_B)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} +\\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_C)}{\sin(a) \cdot \sin(h_C)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(39.743973^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(39.743973^\circ)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +\vspace*{-2mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: +\begin{align*} + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_B$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align*} +l +&= +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_B) + + \sin(c) \cdot \sin(h_B) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +&= +\cos^{-1}(\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)\\ +&\qquad + \sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ) \cdot \cos(57.5326442^\circ)) \\ +&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.0cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}}% +} + +\medskip + +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align*} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_B)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align*} +\delta &= 90^\circ - l & + \lambda &= \lambda_{\text{Arktur}} + \omega \\ +&= 90^\circ - 54.2833404 & + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\ +&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} & + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} +\end{align*} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt \ref{sta} scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt $P$ sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt $P$ ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Wegen dieser Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt \ref{sta} abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. + + + + diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 8eb4481..c778d5c 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \section{Einleitung} +\rhead{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 3b08e8d..9745cdc 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -1,11 +1,12 @@ \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - +\rhead{Warum ist die Erde nicht flach?} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} + \label{merc} \end{center} \end{figure} @@ -17,7 +18,7 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung \ref{merc} dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. diff --git a/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4d55da8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile index da4defa..39bfbcf 100644 --- a/buch/papers/nav/images/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -51,73 +51,80 @@ DREIECKE3D = \ dreieck3d5.pdf \ dreieck3d6.pdf \ dreieck3d7.pdf \ - dreieck3d8.pdf + dreieck3d8.pdf dreiecke3d: $(DREIECKE3D) POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080 #POVRAYOPTIONS = -W480 -H480 -dreieck3d1.png: dreieck3d1.pov common.inc +dreieck3d1.png: dreieck3d1.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d1.png dreieck3d1.pov dreieck3d1.jpg: dreieck3d1.png convert dreieck3d1.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d1.jpg dreieck3d1.pdf: dreieck3d1.tex dreieck3d1.jpg pdflatex dreieck3d1.tex -dreieck3d2.png: dreieck3d2.pov common.inc +dreieck3d2.png: dreieck3d2.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d2.png dreieck3d2.pov dreieck3d2.jpg: dreieck3d2.png convert dreieck3d2.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d2.jpg dreieck3d2.pdf: dreieck3d2.tex dreieck3d2.jpg pdflatex dreieck3d2.tex -dreieck3d3.png: dreieck3d3.pov common.inc +dreieck3d3.png: dreieck3d3.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d3.png dreieck3d3.pov dreieck3d3.jpg: dreieck3d3.png convert dreieck3d3.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d3.jpg dreieck3d3.pdf: dreieck3d3.tex dreieck3d3.jpg pdflatex dreieck3d3.tex -dreieck3d4.png: dreieck3d4.pov common.inc +dreieck3d4.png: dreieck3d4.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d4.png dreieck3d4.pov dreieck3d4.jpg: dreieck3d4.png convert dreieck3d4.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d4.jpg dreieck3d4.pdf: dreieck3d4.tex dreieck3d4.jpg pdflatex dreieck3d4.tex -dreieck3d5.png: dreieck3d5.pov common.inc +dreieck3d5.png: dreieck3d5.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d5.png dreieck3d5.pov dreieck3d5.jpg: dreieck3d5.png convert dreieck3d5.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d5.jpg dreieck3d5.pdf: dreieck3d5.tex dreieck3d5.jpg pdflatex dreieck3d5.tex -dreieck3d6.png: dreieck3d6.pov common.inc +dreieck3d6.png: dreieck3d6.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d6.png dreieck3d6.pov dreieck3d6.jpg: dreieck3d6.png convert dreieck3d6.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d6.jpg dreieck3d6.pdf: dreieck3d6.tex dreieck3d6.jpg pdflatex dreieck3d6.tex -dreieck3d7.png: dreieck3d7.pov common.inc +dreieck3d7.png: dreieck3d7.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d7.png dreieck3d7.pov dreieck3d7.jpg: dreieck3d7.png convert dreieck3d7.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d7.jpg dreieck3d7.pdf: dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg pdflatex dreieck3d7.tex -dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc +dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov dreieck3d8.jpg: dreieck3d8.png convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg dreieck3d8.pdf: dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg pdflatex dreieck3d8.tex -dreieck3d9.png: dreieck3d9.pov common.inc +dreieck3d9.png: dreieck3d9.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov dreieck3d9.jpg: dreieck3d9.png convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg dreieck3d9.pdf: dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg pdflatex dreieck3d9.tex +dreieck3d10.png: dreieck3d10.pov common.inc macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d10.png dreieck3d10.pov +dreieck3d10.jpg: dreieck3d10.png + convert dreieck3d10.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d10.jpg +dreieck3d10.pdf: dreieck3d10.tex dreieck3d10.jpg macros.inc + pdflatex dreieck3d10.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4d55da8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile new file mode 100644 index 0000000..9546c8e --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile @@ -0,0 +1,38 @@ +# +# Makefile to build images +# +# (c) 2022 +# +all: beispiele + +POSITION = \ + beispiele1.pdf \ + beispiele2.pdf \ + beispiele3.pdf + +beispiele: $(POSITION) + +POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080 +#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480 + +beispiele1.png: beispiele1.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele1.png beispiele1.pov +beispiele1.jpg: beispiele1.png + convert beispiele1.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele1.jpg +beispiele1.pdf: beispiele1.tex common.tex beispiele1.jpg + pdflatex beispiele1.tex + +beispiele2.png: beispiele2.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele2.png beispiele2.pov +beispiele2.jpg: beispiele2.png + convert beispiele2.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele2.jpg +beispiele2.pdf: beispiele2.tex common.tex beispiele2.jpg + pdflatex beispiele2.tex + +beispiele3.png: beispiele3.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele3.png beispiele3.pov +beispiele3.jpg: beispiele3.png + convert beispiele3.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele3.jpg +beispiele3.pdf: beispiele3.tex common.tex beispiele3.jpg + pdflatex beispiele3.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1f91809 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov new file mode 100644 index 0000000..7fb3de2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// beispiele1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +#declare Stern1 = Deneb; +#declare Stern2 = Arktur; + +#include "geometrie.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex new file mode 100644 index 0000000..0dfae2f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% beispiele1.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele1.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelP +\labelDeneb +\labelArktur +\labelhDeneb +\labelhArktur +\labellone +\labeldDeneb +\labeldArktur + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4b28f2f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov new file mode 100644 index 0000000..b69f0f9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// beispiele1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +#declare Stern1 = Altair; +#declare Stern2 = Spica; + +#include "geometrie.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex new file mode 100644 index 0000000..04c1e4d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% beispiele2.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele2.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelP +\labelAltair +\labelSpica +\labelhAltair +\labelhSpica +\labelltwo +\labeldAltair +\labeldSpica + + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..049ccdf --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov new file mode 100644 index 0000000..af9a468 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// beispiele1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +#declare Stern1 = Deneb; +#declare Stern2 = Altair; + +#include "geometrie.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex new file mode 100644 index 0000000..2573199 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% beispiele3.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele3.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelP +\labelDeneb +\labelAltair +\labelhDeneb +\labelhAltair +\labellone +%\labeldDeneb +%\labeldAltair + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc new file mode 100644 index 0000000..51fbd1f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc @@ -0,0 +1,50 @@ +// +// common.inc -- 3d Darstellung +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" +#include "../macros.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.034; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <30, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +erde(0) +achse(fein, White) +koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001) + +union { + punkt(Sakura, fett) + pigment { + color rot + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex new file mode 100644 index 0000000..81dc037 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% common.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};} + +\def\labelSpica{ + \node at (-3.6,-2.8) {Spica}; +} +\def\labelAltair{ + \node at (3.0,-2.3) {Altair}; +} +\def\labelArktur{ + \node at (-3.3,-0.7) {Arktur}; +} +\def\labelDeneb{ + \node at (3.4,0.9) {Deneb}; +} + +\def\labelP{\node at (0,-0.2) {$P$};} + +\def\labellone{\node at (0.1,1.9) {$l$};} +\def\labelltwo{\node at (0.1,2.0) {$l$};} + +\def\labelhSpica{ + \coordinate (Spica) at (-1.8,-0.3); + \node at (Spica) {$h_{\text{Spica}}\mathstrut$}; +} +\def\labelhAltair{ + \coordinate (Altair) at (1.1,-1.0); + \node at (Altair) {$h_{\text{Altair}}\mathstrut$}; +} +\def\labelhArktur{ + \coordinate (Arktur) at (-1.3,-0.3); + \node at (Arktur) {$h_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; +} +\def\labelhDeneb{ + \coordinate (Deneb) at (1.6,0.45); + \node at (Deneb) {$h_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; +} + +\def\labeldSpica{ + \coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dSpica)+(-1.8,0.13)$) + rectangle + ($(dSpica)+(-0.06,0.60)$); + \node at (dSpica) [above left] + {$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$}; +} +\def\labeldAltair{ + \coordinate (dAltair) at (2.0,2.1); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dAltair)+(0.10,0.10)$) + rectangle + ($(dAltair)+(2.0,0.60)$); + \node at (dAltair) [above right] + {$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$}; +} +\def\labeldArktur{ + \coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dArktur)+(-1.8,0.10)$) + rectangle + ($(dArktur)+(-0.06,0.55)$); + \node at (dArktur) [above left] + {$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; +} +\def\labeldDeneb{ + \coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dDeneb)+(0.05,0.60)$) + rectangle + ($(dDeneb)+(1.87,0.10)$); + \node at (dDeneb) [above right] + {$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; +} diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc new file mode 100644 index 0000000..2f6084e --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc @@ -0,0 +1,41 @@ +union { + punkt(A, fett) + punkt(Stern1, fein) + punkt(Stern2, fein) + seite(Stern1, Stern2, fein) + pigment { + color kugelfarbe + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + +union { + seite(A, Stern1, fein) + seite(A, Stern2, fein) + seite(Stern1, Sakura, fein) + seite(Stern2, Sakura, fein) + winkel(A, Stern1, Stern2, 0.5*fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + +union { + seite(A, Sakura, fein) + winkel(A, Sakura, Stern1, 0.5*fett, klein) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc index 2c0ae6e..7b861de 100644 --- a/buch/papers/nav/images/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/common.inc @@ -5,6 +5,7 @@ // #version 3.7; #include "colors.inc" +#include "macros.inc" global_settings { assumed_gamma 1 @@ -12,12 +13,6 @@ global_settings { #declare imagescale = 0.034; -#declare O = <0, 0, 0>; -#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>); -#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>); -#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>); -#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>); - camera { location <40, 20, -20> look_at <0, 0.24, -0.20> @@ -26,7 +21,7 @@ camera { } light_source { - <10, 10, -40> color White + <30, 10, -40> color White area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 adaptive 1 jitter @@ -38,150 +33,3 @@ sky_sphere { } } -// -// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with -// color <c> -// -#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) -#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); -#declare arrowlength = vlength(to - from); -union { - sphere { - from, 1.1 * arrowthickness - } - cylinder { - from, - from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, - arrowthickness - } - cone { - from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, - 2 * arrowthickness, - to, - 0 - } - pigment { - color c - } - finish { - specular 0.9 - metallic - } -} -#end - -#macro grosskreis(normale, staerke) -union { - #declare v1 = vcross(normale, <normale.x, normale.z, normale.y>); - #declare v1 = vnormalize(v1); - #declare v2 = vnormalize(vcross(v1, normale)); - #declare phisteps = 100; - #declare phistep = pi / phisteps; - #declare phi = 0; - #declare p1 = v1; - #while (phi < 2 * pi - phistep/2) - sphere { p1, staerke } - #declare phi = phi + phistep; - #declare p2 = v1 * cos(phi) + v2 * sin(phi); - cylinder { p1, p2, staerke } - #declare p1 = p2; - #end -} -#end - -#macro seite(p, q, staerke) - #declare n = vcross(p, q); - intersection { - grosskreis(n, staerke) - plane { -vcross(n, q) * vdot(vcross(n, q), p), 0 } - plane { -vcross(n, p) * vdot(vcross(n, p), q), 0 } - } -#end - -#macro winkel(w, p, q, staerke, r) - #declare n = vnormalize(w); - #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); - #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); - intersection { - sphere { O, 1 + staerke } - cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } - plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } - plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } - } -#end - -#macro punkt(p, staerke) - sphere { p, 1.5 * staerke } -#end - -#macro dreieck(p, q, r, farbe) - #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); - #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); - #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); - intersection { - plane { n1, 0 } - plane { n2, 0 } - plane { n3, 0 } - sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } - pigment { - color farbe - } - finish { - metallic - specular 0.4 - } - } -#end - -#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe) - #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); - #declare np = vnormalize(-vcross(p, n)); - #declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n)); -// arrow(a, a + n, 0.02, White) -// arrow(a, a + np, 0.01, Red) -// arrow(a, a + nq, 0.01, Blue) - intersection { - cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r } - plane { np, vdot(np, a) } - plane { nq, vdot(nq, a) } - pigment { - farbe - } - finish { - metallic - specular 0.5 - } - } -#end - -#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe) - #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); -// arrow(a, a + n, 0.015, Orange) - #declare m = vnormalize(-vcross(q, n)); -// arrow(a, a + m, 0.015, Pink) - ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe) -#end - -#declare fett = 0.015; -#declare fein = 0.010; - -#declare klein = 0.3; -#declare gross = 0.4; - -#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; -#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; -#declare gruen = rgb<0,0.6,0>; -#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>; - -#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>; -#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; - -#macro kugel(farbe) -sphere { - <0, 0, 0>, 1 - pigment { - color farbe - } -} -#end - diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf Binary files differindex 015bce7..fecaece 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov index e491075..336161c 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov @@ -3,8 +3,11 @@ // // (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule // +#version 3.7; #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(B, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov new file mode 100644 index 0000000..2dd7c79 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov @@ -0,0 +1,46 @@ +// +// dreiecke3d10.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +erde() + +#declare Stern1 = Deneb; +#declare Stern2 = Spica; + +koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001) + +union { + seite(A, Stern1, 0.5*fein) + seite(A, Stern2, 0.5*fein) + seite(A, Sakura, 0.5*fein) + seite(Stern1, Sakura, 0.5*fein) + seite(Stern2, Sakura, 0.5*fein) + seite(Stern1, Stern2, 0.5*fein) + + punkt(A, fein) + punkt(Sakura, fett) + punkt(Deneb, fein) + punkt(Spica, fein) + punkt(Altair, fein) + punkt(Arktur, fein) + pigment { + color Red + } +} + +//arrow(<-1.3,0,0>, <1.3,0,0>, fein, White) +arrow(<0,-1.3,0>, <0,1.3,0>, fein, White) +//arrow(<0,0,-1.3>, <0,0,1.3>, fein, White) + +#declare imagescale = 0.044; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf Binary files differindex 6b3f09d..28af5fe 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov index c0625ce..9e57d22 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(B, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf Binary files differindex 7d79455..4fc4fc1 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov index b6f64d5..bde780b 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(B, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf Binary files differindex e1ea757..0d57fc2 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov index b6f17e3..08f266b 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugelfarbe) + union { seite(A, B, fein) seite(A, C, fein) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf Binary files differindex 0c86d36..a5dd0ae 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov index 188f181..1aac0dc 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fein) seite(A, C, fein) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov index 191a1e7..6bbd1a9 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(A, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov index aae5c6c..45dc5d6 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, C, fett) seite(A, P, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg Binary files differindex 52bd25e..f24ea33 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf Binary files differindex 9d630aa..da3b110 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov index 9e9921a..dae7f67 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov @@ -93,4 +93,5 @@ object { dreieck(A, B, C, White) +kugel(kugeldunkel) diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.inc b/buch/papers/nav/images/macros.inc new file mode 100644 index 0000000..20cb2ff --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/macros.inc @@ -0,0 +1,345 @@ +// +// macros.inc -- 3d Darstellung +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +// +// Dimensions +// +#declare fett = 0.015; +#declare fein = 0.010; + +#declare klein = 0.3; +#declare gross = 0.4; + +// +// colors +// +#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; +#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; +#declare gruen = rgb<0,0.6,0>; +#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>; + +#declare bekannt = rgb<0.2,0.6,1>; +#declare unbekannt = rgb<1.0,0.6,0.8>; + +#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>; +#declare kugeldunkel = rgb<0.4,0.4,0.4>; +#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; + +#declare gitterfarbe = rgb<0.2,0.6,1>; +#declare gitterfarbe = rgb<1.0,0.8,0>; + +// +// Points Points +// +#declare O = <0, 0, 0>; +#declare Nordpol = vnormalize(< 0, 1, 0>); +#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>); +#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>); +#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>); +#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>); + +// +// \brief convert spherical coordinates to recctangular coordinates +// +// \param phi +// \param theta +// +#macro kugelpunkt(phi, theta) + < sin(theta) * cos(phi - pi), cos(theta), sin(theta) * sin(phi - pi) > +#end + +#declare Sakura = kugelpunkt(radians(140.2325498), radians(90 - 35.71548014)); +#declare Deneb = kugelpunkt(radians(191.9397759), radians(90 - 45.361194)); +#declare Spica = kugelpunkt(radians(82.9868559), radians(90 - (-11.279666))); +#declare Altair = kugelpunkt(radians(179.3616609), radians(90 - 8.928416)); +#declare Arktur = kugelpunkt(radians(95.5647759), radians(90 - 19.063222)); + +// +// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with +// color <c> +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare ntsteps = 100; + +// +// \brief Draw a circle +// +// \param b1 basis vector for a coordinate system of the plane containing +// the circle +// \param b2 the other basis vector +// \param o center of the circle +// \param thick diameter of the circular tube +// +#macro kreis(b1, b2, o, thick, maxwinkel) + #declare tpstep = pi / ntsteps; + #declare tp = tpstep; + #declare p1 = b1 + o; + sphere { p1, thick } + #declare tpstep = pi/ntsteps; + #while (tp < (maxwinkel - tpstep/2)) + #declare p2 = cos(tp) * b1 + sin(tp) * b2 + o; + cylinder { p1, p2, thick } + sphere { p2, thick } + #declare p1 = p2; + #declare tp = tp + tpstep; + #end + #if ((tp - tpstep) < maxwinkel) + #declare p2 = cos(maxwinkel) * b1 + sin(maxwinkel) * b2 + o; + cylinder { p1, p2, thick } + sphere { p2, thick } + #end +#end + +// +// \brief Draw a great circle +// +// \param normale the normal of the plane containing the great circle +// \param thick diameter +// +#macro grosskreis(normale, thick) + #declare other = < normale.y, -normale.x, normale.z >; + #declare b1 = vnormalize(vcross(other, normale)); + #declare b2 = vnormalize(vcross(normale, b1)); + kreis(b1, b2, <0,0,0>, thick, 2*pi) +#end + +// +// \brief Draw a circle of latitude +// +// \param theta latitude +// \param thick diameter +// +#macro breitenkreis(theta, thick) + #declare b1 = sin(theta) * kugelpunkt(0, pi/2); + #declare b2 = sin(theta) * kugelpunkt(pi/2, pi/2); + #declare o = < 0, cos(theta), 0 >; + kreis(b1, b2, o, thick, 2*pi) +#end + +// +// \brief Draw the great circle connecting the two points +// +// \param p first point +// \param q second point +// \param staerke diameter +// + +#macro seite(p, q, staerke) + #declare s1 = vnormalize(p); + #declare s2 = vnormalize(q); + #declare w = acos(vdot(s1, s2)); + #declare n = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare s2 = vnormalize(vcross(n, s1)); + kreis(s1, s2, O, staerke, w) +#end + +// +// \brief Draw an angle +// +// \param w the edge where the angle is located +// \param p point on the first leg +// \param q point on the second leg +// \param r diameter of the angle +// +#macro winkel(w, p, q, staerke, r) + #declare n = vnormalize(w); + #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); + #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); + intersection { + sphere { O, 1 + staerke } + cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } + plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } + plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } + } +#end + +// +// \brief Draw a point on the sphere as a circle +// +// \param p the point +// \param staerke the diameter of the point +// +#macro punkt(p, staerke) + sphere { p, 1.5 * staerke } +#end + +// +// \brief Draw a circle as a part of the differently colored cutout from +// the sphere +// +// \param p first point of the triangle +// \param q second point of the triangle +// \param r third point of the triangle +// \param farbe color +// +#macro dreieck(p, q, r, farbe) + #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); + #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); + intersection { + plane { n1, 0 } + plane { n2, 0 } + plane { n3, 0 } + sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } + pigment { + color farbe + } + finish { + metallic + specular 0.4 + } + } +#end + +// +// \brief +// +// \param a axis of the angle +// \param p first leg +// \param q second leg +// \param s thickness of the angle disk +// \param r radius of the angle disk +// \param farbe color +// +#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); + #declare np = vnormalize(-vcross(p, n)); + #declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + n, 0.02, White) +// arrow(a, a + np, 0.01, Red) +// arrow(a, a + nq, 0.01, Blue) + intersection { + cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r } + plane { np, vdot(np, a) } + plane { nq, vdot(nq, a) } + pigment { + farbe + } + finish { + metallic + specular 0.5 + } + } +#end + +// +// \brief Show the complement angle +// +// +#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); +// arrow(a, a + n, 0.015, Orange) + #declare m = vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + m, 0.015, Pink) + ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe) +#end + +// +// \brief Show a coordinate grid on the sphere +// +// \param farbe the color of the grid +// \param thick the line thickness +// +#macro koordinatennetz(farbe, netzschritte, thick) +union { + // circles of latitude + #declare theta = pi/(2*netzschritte); + #declare thetastep = pi/(2*netzschritte); + #while (theta < pi - thetastep/2) + breitenkreis(theta, thick) + #declare theta = theta + thetastep; + #end + // cirles of longitude + #declare phi = 0; + #declare phistep = pi/(2*netzschritte); + #while (phi < pi-phistep/2) + grosskreis(kugelpunkt(phi, pi/2), thick) + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +// +// \brief Display a color of given color +// +// \param farbe the color +// +#macro kugel(farbe) +sphere { + <0, 0, 0>, 1 + pigment { + color farbe + } +} +#end + +// +// \brief Display the earth +// +#macro erde(winkel) +sphere { + <0, 0, 0>, 1 + pigment { + image_map { + png "2k_earth_daymap.png" gamma 1.0 + map_type 1 + } + } + rotate <0,winkel,0> +} +#end + +// +// achse +// +#macro achse(durchmesser, farbe) + cylinder { + < 0, -1.2, 0 >, <0, 1.2, 0 >, durchmesser + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } + } +#end diff --git a/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4d55da8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png diff --git a/buch/papers/nav/images/position/Makefile b/buch/papers/nav/images/position/Makefile new file mode 100644 index 0000000..eed2e56 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/Makefile @@ -0,0 +1,69 @@ +# +# Makefile to build images +# +# (c) 2022 +# +all: position + +POSITION = \ + position1.pdf position1-small.pdf \ + position2.pdf position2-small.pdf \ + position3.pdf position3-small.pdf \ + position4.pdf position4-small.pdf \ + position5.pdf position5-small.pdf + +position: $(POSITION) + +POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080 +#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480 + +position1.png: position1.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition1.png position1.pov +position1.jpg: position1.png + convert position1.png -density 300 -units PixelsPerInch position1.jpg +position1.pdf: position1.tex common.tex position1.jpg + pdflatex position1.tex + +position2.png: position2.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition2.png position2.pov +position2.jpg: position2.png + convert position2.png -density 300 -units PixelsPerInch position2.jpg +position2.pdf: position2.tex common.tex position2.jpg + pdflatex position2.tex + +position3.png: position3.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition3.png position3.pov +position3.jpg: position3.png + convert position3.png -density 300 -units PixelsPerInch position3.jpg +position3.pdf: position3.tex common.tex position3.jpg + pdflatex position3.tex + +position4.png: position4.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition4.png position4.pov +position4.jpg: position4.png + convert position4.png -density 300 -units PixelsPerInch position4.jpg +position4.pdf: position4.tex common.tex position4.jpg + pdflatex position4.tex + +position5.png: position5.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition5.png position5.pov +position5.jpg: position5.png + convert position5.png -density 300 -units PixelsPerInch position5.jpg +position5.pdf: position5.tex common.tex position5.jpg + pdflatex position5.tex + +position1-small.pdf: position1-small.tex common.tex position1.jpg + pdflatex position1-small.tex +position2-small.pdf: position2-small.tex common.tex position2.jpg + pdflatex position2-small.tex +position3-small.pdf: position3-small.tex common.tex position3.jpg + pdflatex position3-small.tex +position4-small.pdf: position4-small.tex common.tex position4.jpg + pdflatex position4-small.tex +position5-small.pdf: position5-small.tex common.tex position5.jpg + pdflatex position5-small.tex + +test: test.pdf + +test.pdf: test.tex $(POSITION) + pdflatex test.tex diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex new file mode 100644 index 0000000..9430608 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% common.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};} +\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};} +\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};} +\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};} + +\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};} +\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};} +\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};} + +\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};} +\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};} +\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};} + +\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};} +\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};} +\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};} +\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};} + +\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};} +\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};} +\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};} +\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};} + +\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};} +\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.inc b/buch/papers/nav/images/position/common.inc new file mode 100644 index 0000000..56e2836 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/common.inc @@ -0,0 +1,39 @@ +// +// common.inc -- 3d Darstellung +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" +#include "../macros.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.034; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <30, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +//kugel(kugeldunkel) +erde(-100) +koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001) +achse(fein, White) diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.tex b/buch/papers/nav/images/position/common.tex new file mode 100644 index 0000000..9430608 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/common.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% common.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};} +\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};} +\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};} +\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};} + +\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};} +\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};} +\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};} + +\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};} +\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};} +\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};} + +\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};} +\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};} +\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};} +\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};} + +\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};} +\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};} +\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};} +\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};} + +\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};} +\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ba7755f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex new file mode 100644 index 0000000..05fad44 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex @@ -0,0 +1,55 @@ +% +% position1-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position1.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC +\labelP + +\labelc +\labela +\labelb +\labell + +\labelhb +\labelhc + +\labelalpha +\labelomega + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fc4f760 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pov b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov new file mode 100644 index 0000000..a79a9f1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov @@ -0,0 +1,71 @@ +// +// position1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +union { + seite(B, C, fett) + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, P, fett) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + +union { + seite(A, B, fett) + seite(A, C, fett) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, P, C, fett, klein) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex new file mode 100644 index 0000000..d6c21c3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex @@ -0,0 +1,55 @@ +% +% dreieck3d1.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position1.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC +\labelP + +\labelc +\labela +\labelb +\labell + +\labelhb +\labelhc + +\labelalpha +\labelomega + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3333dd4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex new file mode 100644 index 0000000..e5c33cf --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +% +% position2-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position2.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC + +\labelc +\labela +\labelb + +\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm] +\labelalpha +\end{scope} +\labelbeta +\labelgamma + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..dbd2ea9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pov b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov new file mode 100644 index 0000000..2abcd94 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov @@ -0,0 +1,70 @@ +// +// position3.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(A, B, C, kugelfarbe) + +union { + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, B, fett) + seite(A, C, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(B, C, fett) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + winkel(B, C, A, fein, gross) + winkel(C, A, B, fein, gross) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2.tex new file mode 100644 index 0000000..339592c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +% +% position2.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position2.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC + +\labelc +\labela +\labelb + +\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm] +\labelalpha +\end{scope} +\labelbeta +\labelgamma + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fae0b85 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex new file mode 100644 index 0000000..4f7b0e9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% position3-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position3.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelB +\labelC +\labelP + +\labela + +\labelhb +\labelhc + +\labelbetaone +\labelgammaone + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2c940d2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pov b/buch/papers/nav/images/position/position3.pov new file mode 100644 index 0000000..f6823eb --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.pov @@ -0,0 +1,48 @@ +// +// position3.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(B, P, C, kugelfarbe) + +union { + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(B, C, fett) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } 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+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelB +\labelC +\labelP + +\labela + +\labelhb +\labelhc + +\labelbetaone +\labelgammaone + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ac80c46 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex new file mode 100644 index 0000000..e06523b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% position4-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position4.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelP + +\labelc +\labell +\labelhb + +\labelomegalinks +\labelbetatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8eeeaac --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pov b/buch/papers/nav/images/position/position4.pov new file mode 100644 index 0000000..80628f9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.pov @@ -0,0 +1,69 @@ +// +// position4.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(A, B, P, kugelfarbe) + +union { + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, P, fett) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + +union { + seite(A, B, fett) + seite(B, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, A, fein, 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Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position5.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelC +\labelP + +\labelb +\labell +\labelhc + +\labelomegarechts +\labelgammatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..05a64cb --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pov b/buch/papers/nav/images/position/position5.pov new file mode 100644 index 0000000..7ed33c5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position5.pov @@ -0,0 +1,69 @@ +// +// position5.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(A, P, C, kugelfarbe) + +union { + punkt(A, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, P, fett) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + +union { + seite(A, C, fett) + seite(C, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(C, P, A, fein, 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Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelC +\labelP + +\labelb +\labell +\labelhc + +\labelomegarechts +\labelgammatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/test.tex b/buch/papers/nav/images/position/test.tex new file mode 100644 index 0000000..3247ed1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/test.tex @@ -0,0 +1,135 @@ +% +% test.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{etex} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{wrapfig} +\begin{document} + +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} +\includegraphics{position1-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. +Aenean +commodo ligula eget dolor. +Aenean massa. +Cum sociis natoque penatibus +et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. +Donec quam +felis, ultricies nec, pellentesque eu, pretium quis, sem. +Nulla +consequat massa quis enim. +Donec pede justo, fringilla vel, aliquet +nec, vulputate eget, arcu. +In enim justo, rhoncus ut, imperdiet a, +venenatis vitae, justo. +Nullam dictum felis eu pede mollis pretium. +Integer tincidunt. +Cras dapibus. +Vivamus elementum semper nisi. +Aenean vulputate eleifend tellus. +Aenean leo ligula, porttitor eu, +consequat vitae, eleifend ac, enim. +Aliquam lorem ante, dapibus in, +viverra quis, feugiat a, tellus. + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position2-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Maecenas tempus, tellus eget condimentum rhoncus, sem quam semper +libero, sit amet adipiscing sem neque sed ipsum. Nam quam nunc, +blandit vel, luctus pulvinar, hendrerit id, lorem. Maecenas nec +odio et ante tincidunt tempus. Donec vitae sapien ut libero venenatis +faucibus. Nullam quis ante. Etiam sit amet orci eget eros faucibus +tincidunt. Duis leo. Sed fringilla mauris sit amet nibh. Donec +sodales sagittis magna. Sed consequat, leo eget bibendum sodales, +augue velit cursus nunc, quis gravida magna mi a libero. Fusce +vulputate eleifend sapien. Vestibulum purus quam, scelerisque ut, +mollis sed, nonummy id, metus. Nullam accumsan lorem in dui. Cras +ultricies mi eu turpis hendrerit fringilla. Vestibulum ante ipsum +primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; + +\pagebreak + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position3-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Integer ante arcu, accumsan a, consectetuer eget, posuere ut, mauris. +Praesent adipiscing. Phasellus ullamcorper ipsum rutrum nunc. Nunc +nonummy metus. Vestibulum volutpat pretium libero. Cras id dui. +Aenean ut eros et nisl sagittis vestibulum. Nullam nulla eros, +ultricies sit amet, nonummy id, imperdiet feugiat, pede. Sed lectus. +Donec mollis hendrerit risus. Phasellus nec sem in justo pellentesque +facilisis. Etiam imperdiet imperdiet orci. Nunc nec neque. Phasellus +leo dolor, tempus non, auctor et, hendrerit quis, nisi. Curabitur +ligula sapien, tincidunt non, euismod vitae, posuere imperdiet, +leo. Maecenas malesuada. Praesent congue erat at massa. Sed cursus +turpis vitae tortor. Donec posuere vulputate arcu. Phasellus accumsan +cursus velit. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus +et ultrices posuere cubilia Curae; Sed aliquam, nisi quis porttitor +congue, elit erat euismod orci, ac placerat dolor lectus quis orci. +Phasellus consectetuer vestibulum elit. + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position4-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Aenean tellus metus, bibendum sed, posuere ac, mattis non, nunc. +Vestibulum fringilla pede sit amet augue. In turpis. Pellentesque +posuere. Praesent turpis. Aenean posuere, tortor sed cursus feugiat, +nunc augue blandit nunc, eu sollicitudin urna dolor sagittis lacus. +Donec elit libero, sodales nec, volutpat a, suscipit non, turpis. +Nullam sagittis. Suspendisse pulvinar, augue ac venenatis condimentum, +sem libero volutpat nibh, nec pellentesque velit pede quis nunc. +Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices +posuere cubilia Curae; Fusce id purus. Ut varius tincidunt libero. +Phasellus dolor. Maecenas vestibulum mollis diam. Pellentesque ut +neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et +malesuada fames ac turpis egestas. In dui magna, posuere eget, +vestibulum et, tempor auctor, justo. In ac felis quis tortor malesuada +pretium. Pellentesque auctor neque nec urna. + +\pagebreak + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position5-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Proin sapien ipsum, porta a, auctor quis, euismod ut, mi. Aenean +viverra rhoncus pede. Pellentesque habitant morbi tristique senectus +et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Ut non enim eleifend +felis pretium feugiat. Vivamus quis mi. Phasellus a est. Phasellus +magna. In hac habitasse platea dictumst. Curabitur at lacus ac velit +ornare lobortis. Curabitur a felis in nunc fringilla tristique. +Morbi mattis ullamcorper velit. Phasellus gravida semper nisi. +Nullam vel sem. Pellentesque libero tortor, tincidunt et, tincidunt +eget, semper nec, quam. Sed hendrerit. Morbi ac felis. 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Etiam +ut purus mattis mauris + +\end{document} diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 4c52547..f993559 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} +\input{papers/nav/bsp2.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36e9c99..32d1b8b 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,10 +1,11 @@ \section{Das Nautische Dreieck} +\rhead{Das nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Als Gestirne kommen Sterne und Planeten in Frage, zu welchen in diversen Jahrbüchern die für die Navigation nötigen Daten publiziert sind. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung \ref{naut} sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. @@ -13,21 +14,24 @@ Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astrono \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} + \label{naut} \end{center} \end{figure} Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. +Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +\label{sta} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt \ref{ephe} erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d1} \end{center} \end{figure} @@ -39,15 +43,16 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. -\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt von $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. -Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung \ref{d1}. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. -Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. +\label{ephe} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeridentabellen. +Diese Tabellen enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -63,20 +68,19 @@ Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Die Lösung ist die Sternzeit $\theta$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen. +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet und $\theta=0$ ist. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] +\[\theta = 6^h 41^m 50^s.54841 + 8640184^s.812866 \cdot T + 0^s.093104 \cdot T^2 - 0^s.0000062 \cdot T^3.\] Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand vom Horizont zum Gestirn gemessen. Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} @@ -85,49 +89,24 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Eingeschaften} -Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Legende && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Eigenschaften \\ - \hline - Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ - Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ - Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ - \end{tabular} -\end{center} -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} \label{p} +Wir nehmen die Abbildung \ref{d2} zur Hilfe. Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. +Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d2} \end{center} \end{figure} - \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $A$ && Nordpol \\ @@ -137,19 +116,17 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig \end{center} Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt: -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. -Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. -Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - -Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. -Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\begin{enumerate} + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$, dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + \item Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$, dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\end{enumerate} mit \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ @@ -166,12 +143,9 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. -Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. -Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\]. -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -180,12 +154,11 @@ Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. \subsubsection{Dreieck $ABP$} -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Nun muss man eine Verbindungslinie des Standorts zwischen $P$ und $A$ ziehen. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] und @@ -193,8 +166,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. -Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +Für die geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg]\] berechnen und bekommen schlussendlich die geographische Länge +\[\lambda=\lambda_1 - \omega,\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index f2e6132..bedaccd 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -9,4 +9,4 @@ %\usepackage{packagename} \usepackage{amsmath} -\usepackage{cancel}
\ No newline at end of file +\usepackage{cancel} diff --git a/buch/papers/nav/references.bib b/buch/papers/nav/references.bib index 236323b..c67aaac 100644 --- a/buch/papers/nav/references.bib +++ b/buch/papers/nav/references.bib @@ -32,4 +32,10 @@ pages = {607--627}, url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@online{nav:winkel, + editor={Unbekannt}, + title = {Sphärische Trigonometrie}, + year={2022}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Sphärische_Trigonometrie} +} diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index a1653e8..b64d100 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -2,18 +2,19 @@ \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} -Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. +\rhead{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. +Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom namens Hipparchos. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chordfunktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. +Die Definition der trigonometrischen Funktionen aus Griechenland ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. -Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. -Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index aca8bd2..483b612 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,5 +1,7 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} +\rhead{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. @@ -7,46 +9,49 @@ Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Sch Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. -$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). - Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist. Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). + \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=3.5cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} + \label{kugel} \end{center} \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. +Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} - \caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck} + \includegraphics[width=5cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} + \caption[Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck]{Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck} + \label{recht} \end{center} \end{figure} \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} -\begin{figure} +\label{trigo} +%\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht! - \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} - \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} - \end{center} -\end{figure} +% \begin{center} +% \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} +% \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} +% \end{center} +%\end{figure} Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. @@ -64,16 +69,17 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt -\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\] +In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden. \subsection{Seiten und Winkelberechnung} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. -Die Approximation folgt noch. +Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck. +Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Form des Satzes des Pythagoras sehen kann. Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & - \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber \end{align} \subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} @@ -87,20 +93,22 @@ So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärisch Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene: \begin{align} a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} - a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber + \frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber \end{align} -Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} -Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich -\begin{align} - \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ - \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\ - \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} +\begin{align*} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c), \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. + \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} + \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ - a^2+b^2&=c^2 -\end{align} + a^2+b^2&=c^2. +\end{align*} +Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras. \subsubsection{Sphärischer Sinussatz} Den sphärischen Sinussatz @@ -116,7 +124,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz - \begin{align} \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber \end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist. @@ -124,9 +131,9 @@ und den Winkelkosinussatz Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ - 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\ - \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} - a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} + \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\ + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha). \end{align} diff --git a/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png b/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3ee582d --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index ff21c9f..528a2e2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -8,29 +8,11 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} + \input{papers/parzyl/teil0.tex} \input{papers/parzyl/teil1.tex} \input{papers/parzyl/teil2.tex} -\input{papers/parzyl/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 09b4024..4b251db 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -3,20 +3,239 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{parzyl:section:teil0}} +\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} \rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{parzyl:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +\subsection{Laplace Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung +\begin{equation} + \Delta f = 0 +\end{equation} +ist als Laplace-Gleichung bekannt. +Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +\begin{equation} + \Delta f = g +\end{equation} +mit g als beliebige Funktion. +In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten +verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +\begin{equation} + \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +\label{parzyl:eq:max1} +\end{equation} +besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem +Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. +Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +Potentials +\begin{equation} + \nabla \phi = E. +\end{equation} +Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +\begin{equation} + \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +\end{equation} +was eine Possion-Gleichung ist. +An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. +\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten +\label{parzyl:subsection:finibus}} +Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +\begin{align} + x & = \sigma \tau \\ + \label{parzyl:coordRelationsa} + y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ + z & = z. + \label{parzyl:coordRelationse} +\end{align} +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +\begin{equation} + y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) +\end{equation} +und +\begin{equation} + y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). +\end{equation} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} + \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein + konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} + \label{parzyl:fig:cordinates} +\end{figure} + +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der +Ebene gezogen werden. + +Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. + +\dots + +Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet +kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + + \left(dz\right)^2 + \label{parzyl:eq:ds} +\end{equation} +ausgedrückt werden. +Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 +\label{parzyl:eq:dspara} +\end{equation} +gilt. +Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen +von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als +\begin{align} + dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = d \tilde{z} \\ +\end{align} +substituiert. +Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} +geschrieben, resultiert +\begin{equation} + \left(d s\right)^2 = + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 + + \left(d \tilde{z}\right)^2. +\end{equation} +Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren +\begin{align} + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{z} &= 1. +\end{align} +\subsection{Differentialgleichung} +Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen +Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +mitgerechnet werden. +Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +\begin{equation} + \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left( + \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} + \right) + + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} +\end{equation} +\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} +Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen +%, wie bereits erwähnt, +dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) +\end{equation} +im parabolischen Zylinderkoordinatensystem +\begin{equation} + \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) +\end{equation} +gelöst wird. +%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als +%\begin{equation} +% \Delta +% = +% \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} +% \left ( +% \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} +% + +% \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} +% \right ) +% + +% \frac{\partial^2}{\partial z^2}. +%\end{equation} +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(\sigma, \tau, z) + = + \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left ( + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2} + \right ) + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2} + = + \lambda f(\sigma,\tau,z). +\end{equation} +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +\begin{equation} + f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) +\end{equation} +gesetzt. +Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} + g''(\sigma) + - + \left ( + \lambda\sigma^2 + + + \mu + \right ) + g(\sigma) + = + 0, +\end{equation} +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2} + h''(\tau) + - + \left ( + \lambda\tau^2 + - + \mu + \right ) + h(\tau) + = + 0 +\end{equation} +und +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3} + i''(z) + + + \left ( + \lambda + + + \mu + \right ) + i(\tau) + = + 0 +\end{equation} +führt. +Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} +\end{equation} +ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 9ea60e2..f297189 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -3,53 +3,26 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 +\section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{parzyl:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution +in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +\begin{definition} + Die Funktion + \begin{equation*} + W_{k,m}(z) = + e^{-z/2} z^{m+1/2} \, + {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z) + \end{equation*} + heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung + von + \begin{equation} + \frac{d^2W}{d z^2} + + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \end{equation} +\end{definition} -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{parzyl:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{parzyl:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{parzyl:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +Lösung Folgt\dots diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 75ba259..3f890d0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,38 +3,89 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 +\section{Anwendung in der Physik \label{parzyl:section:teil2}} \rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum + +\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte \label{parzyl:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. +Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist. +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass +\begin{equation} + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. +\end{equation} +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\nabla^2U(x,y)=0} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\nabla^2V(x,y) = 0}. +\end{equation} +Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind. +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet. +Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes. +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +\begin{equation} + F(z) + = + \sqrt{z} + = + \sqrt{x + iy}. +\end{equation} +Dies kann umgeformt werden zu +\begin{equation} + F(z) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt, +\begin{equation} + \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}, +\end{equation} +und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} + \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann +\begin{equation} + x = \sigma \tau, +\end{equation} +\begin{equation} + y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ) +\end{equation} + + + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 72c23ca..4e44bd6 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -6,35 +6,3 @@ \section{Teil 3 \label{parzyl:section:teil3}} \rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{parzyl:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/cover/backcover.jpg b/cover/backcover.jpg Binary files differindex fbde01f..b1736d1 100644 --- a/cover/backcover.jpg +++ b/cover/backcover.jpg diff --git a/cover/backcover.png b/cover/backcover.png Binary files differindex 6425910..c604266 100644 --- a/cover/backcover.png +++ b/cover/backcover.png diff --git a/cover/buchcover.jpg b/cover/buchcover.jpg Binary files differindex 52d17d1..158c6a4 100644 --- a/cover/buchcover.jpg +++ b/cover/buchcover.jpg diff --git a/cover/buchcover.png b/cover/buchcover.png Binary files differindex 02590e0..96f5123 100644 --- a/cover/buchcover.png +++ b/cover/buchcover.png diff --git a/cover/buchcover.tex b/cover/buchcover.tex index 49519af..d6ad7ec 100644 --- a/cover/buchcover.tex +++ b/cover/buchcover.tex @@ -88,35 +88,35 @@ \sf \fontsize{13}{5}\selectfont %Robin Eberle, % E Enez Erdem, % B - Nilakshan Eswararajah, % B - Réda Haddouche%, % E + %Nilakshan Eswararajah, % B + Réda Haddouche, % E + David Hugentobler, % E + Alain Keller%, % E }}; \node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},17.1) [color=white,scale=1] {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont - David Hugentobler, % E - Alain Keller, % E Yanik Kuster, % E - Marc Kühne%, % B + Marc Kühne, % B + Erik Löffler, % E + Kevin Meili%, % M-I }}; \node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},16.45) [color=white,scale=1] {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont - Erik Löffler, % E - Kevin Meili, % M-I - Andrea Mozzini Vellen%, % E + Andrea Mozzini Vellen, % E + Patrick Müller, % MSE + Naoki Pross%, % E }}; \node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},15.8) [color=white,scale=1] {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont - Patrick Müller, % MSE - Naoki Pross, % E Thierry Schwaller, % E Tim Tönz% % E % diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex index 9414e42..1be1b4f 100644 --- a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex +++ b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} } \beamertemplatenavigationsymbolsempty -\title[Dreieckstest]{Dreieckstest} +\title[Ordnungsstatistik]{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} \author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller} \date[]{30.~Mai 2022} \newboolean{presentation} diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex index 211a105..19b7417 100644 --- a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex +++ b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex @@ -6,3 +6,7 @@ \folie{dreieck/stichprobe.tex} \folie{dreieck/minmax.tex} \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex} +\folie{dreieck/dichte.tex} +\folie{dreieck/orderplot.tex} +\folie{dreieck/beta.tex} +\folie{dreieck/betaplot.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc index 0575397..bbc19b6 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc @@ -4,6 +4,11 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterdreieck = \ + ../slides/dreieck/stichprobe.tex \ ../slides/dreieck/minmax.tex \ ../slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex \ + ../slides/dreieck/orderplot.tex \ + ../slides/dreieck/dichte.tex \ + ../slides/dreieck/beta.tex \ + ../slides/dreieck/betaplot.tex \ ../slides/dreieck/test.tex diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex new file mode 100644 index 0000000..fc3606a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +% +% beta.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beta-Verteilung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Ordnungsstatistik} +\begin{align*} +\varphi(x) +&= +{\color{blue}N} x^{k-1} (1-x)^{n-k} +\\ +&\uncover<8->{ += +\beta_{k,n-k+1}(x) +} +\end{align*} +\end{block} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Risch-Algorithmus} +Die Beta-Verteilungen haben ausser in Spezialfällen +keine Stammfunktion in geschlossener Form. +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.56\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{definition} +Beta-Verteilung +\[ +\beta_{a,b}(x) += +\begin{cases} +\displaystyle +\uncover<7->{ +{\color{blue} +\frac{1}{B(a,b)} +} +} +x^{a-1}(1-x)^{b-1} +&0\le x\le 1 +\\ +0&\text{sonst} +\end{cases} +\] +\end{definition}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Normierung} +\begin{align*} +{\color{blue}\frac{1}{{N}}} +&\uncover<4->{= +\int_{-\infty}^\infty \beta_{a,b}(x)\,dx} +\\ +&\uncover<5->{= +\int_{0}^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx} +\\ +&\uncover<6->{= +B(a,b)} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..ee932e8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% +% betaplot.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beta-Verteilungen} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex] + +\only<1>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,-6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\only<2>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,-0) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\only<3>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex index 2c91eb5..0f58c4c 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex @@ -6,3 +6,6 @@ \folie{dreieck/test.tex} \folie{dreieck/minmax.tex} \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex} +\folie{dreieck/dichte.tex} +\folie{dreieck/beta.tex} +\folie{dreieck/betaplot.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex new file mode 100644 index 0000000..168523a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +% +% dichte.tex -- Wahrscheinlichkeitsdichte +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wahrscheinlichkeitsdichte} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\[ +\varphi_{X_{k:n}}(x) += +\frac{d}{dx} F_{X_{k:n}}(x) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.60\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Gleichverteilung} +\[ +{\color{darkgreen}F(x)}=\begin{cases} +0&x \le 0\\ +x&0\le x \le 1,\\ +1&x\ge 1 +\end{cases} +\quad +\uncover<5->{ +{\color{red}\varphi(x)} += +\begin{cases} +1&0\le x \le 1\\ +0&\text{sonst} +\end{cases}} +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Ordnungsstatistik} +nach einiger Rechnung: +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +{\color<3->{red}\varphi_X(x)}\,k\binom{n}{k}{\color<3->{darkgreen}F_X(x)}^{k-1} +(1-{\color<3->{darkgreen}F_X(x)})^{n-k} +\intertext{\uncover<4->{für Gleichverteilung}} +\uncover<6->{ +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\begin{cases} +\displaystyle +{\color<7->{blue}k\binom{n}{k}}{\color{darkgreen}x}^{k-1}(1-{\color{darkgreen}x})^{n-k} +&0\le x \le 1\\ +0&\text{sonst} +\end{cases} +\qquad\uncover<7->{\text{({\color{blue}Normierung})}} +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex index 9ef8d1a..ff3a231 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex @@ -17,48 +17,66 @@ Verteilungsfunktion von Z=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \] \begin{align*} +\uncover<3->{ F_Z(x) &= -P(Z\le x) +P(Z\le x)} \\ +\uncover<4->{ &= P(X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n\le x) +} \\ +\uncover<5->{ &= P(X_1\le x)\cdot \ldots\cdot P(X_n\le x) +} \\ +\uncover<6->{ &= F_X(x)^n +} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Minimum} Verteilungsfunktion von \[ Z=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \] \begin{align*} +\uncover<7->{ F_Z(x) &= P(Z\le x) +} \\ +\uncover<8->{ &=P(\overline{ X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n \le x }) +} \\ +\uncover<9->{ &= 1-P( X_1> x\wedge\dots\wedge X_n > x ) +} \\ +\uncover<10->{ &= 1-(P(X_1>x)\cdot\ldots\cdot P(X_n>x)) +} \\ +\uncover<11->{ &= 1-(1-F_X(x))^n +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex new file mode 100644 index 0000000..7cf10c6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +% +% orderplot.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace*{-18pt} +\begin{center} +\includegraphics[width=10cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex index 6346953..c968e79 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex @@ -8,11 +8,76 @@ \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Angeordnete Stichprobe} +\[ +X_{1:n} +\le +X_{2:n} +\le +\dots +\le +X_{(n-1):n} +\le +X_{n:n} +\] +$X_{k:n} = \mathstrut$der $k$-te von $n$ Werten +\end{block} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.44\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Verteilungsfunktion} +\begin{align*} +F_{X_{k:n}}(x) +&= +P(X_{k:n} \le x) +\\ +&\uncover<3->{= +P\bigl( +|\{i\;|\; {\color<4>{red}X_i\le x}\}| \ge k +\bigr)} +\\ +&\uncover<5->{= +P(\text{Anzahl $A_i$}\ge k)} +\\ +&\uncover<9->{= +P(K\ge k)} +\\ +\uncover<6->{ +F_{X_i}(x)&= P(X_i\le x)}\uncover<7->{ = P(A_i)}\uncover<10->{ = p} +} +\end{align*} +\uncover<4->{$A_i=\{X_i\le x\}$}\uncover<7->{ ist ein Beroulli- Experiment +\uncover<10->{mit Eintretens- wahrscheinlichkeit $p$} +\end{block}} \end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Wiederholtes Bernoulli-Experiment} +$K=\mathstrut$Anzahl $k$, für die $A$ eingetreten +ist\only<11->{, ist binomialverteilt:} +\begin{align*} +\uncover<12->{P(K=k) +&= +\phantom{\sum_{i=k}^n\mathstrut} +\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} +} +\\ +\uncover<13->{ +P(K\ge k) +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} +} +\\ +\uncover<14->{ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} +} +\end{align*} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex index da3a20e..4b2eff0 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex @@ -12,21 +12,22 @@ \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Zufallsvariable} -Gegeben eine Zufallsvariable $X$ mit +Gegeben eine Zufallsvariable $X$ \uncover<5->{mit Verteilungsfunktion \[ F_X(x) = P(X\le x) -\] -und +\]} +\uncover<6->{und Wahrscheinlichkeitsdichte \[ \varphi_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) -\] +\]} \end{block} +\uncover<7->{% \begin{block}{Gleichverteilung} \[ F(x) = \begin{cases} @@ -34,6 +35,7 @@ F(x) = \begin{cases} x&\qquad 0\le x \le 1\\ 1&\qquad 1<x \end{cases} +\uncover<8->{ \qquad\Rightarrow\qquad \varphi(x) = @@ -41,19 +43,21 @@ x&\qquad 0\le x \le 1\\ 1&\qquad 0\le x \le 1\\ 0&\qquad\text{sonst}. \end{cases} +} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Stichprobe} $n$ Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$ \begin{itemize} -\item +\item<3-> alle $X_i$ haben die gleiche Verteilung wie $X$ -\item +\item<4-> die $X_i$ sind unabhängig \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex index e1ced30..5f6e1c9 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex @@ -17,6 +17,7 @@ P(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n \] +\uncover<2->{% als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben: \begin{align*} P(x) @@ -38,10 +39,11 @@ a_0\cdot 1 &\quad\;\;\vdots \\ &\quad + a_n(2^nx^n + \dots) -\end{align*} +\end{align*}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Koeffizientenvergleich} führt auf ein Gleichungssystem \begin{center} @@ -58,11 +60,12 @@ a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\ \hline \end{tabular} \end{center} -Dreiecksmatrix, Diagonalelement -$\ne 0$ -$\Rightarrow$ -$\exists$ eindeutige Lösung -\end{block} +\uncover<4->{% +Dreiecksmatrix}\uncover<5->{, Diagonalelement +$\ne 0$} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ +$\exists$ eindeutige Lösung} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex index 7d4741f..68ee32e 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex @@ -20,36 +20,45 @@ P(t)e^{-\frac{t^2}2} \] in geschlossener Form angeben? \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{``Hermite-Antwort''} \[ \int H_n(x)e^{-x^2}\,dx \] kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Allgemein} \begin{align*} \int P(x)e^{-x^2}\,dx -&= -\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx +&\uncover<4->{= +\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx} \\ +\uncover<5->{ &= \sum_{k=0}^n a_k \int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<6->{ &= a_0\operatorname{erf}(x) + C +} \\ +\uncover<6->{ &\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<7->{% \begin{theorem} Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn $a_0=0$ -\end{theorem} +\end{theorem}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex index 16a314c..98721dc 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -19,6 +19,7 @@ H_n(x) \] \end{block} \vspace{-10pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Orthogonalität} $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. \begin{align*} @@ -37,8 +38,9 @@ $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. = \delta_{mn} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<3->{% \begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren} Rekursionsformel: \[ @@ -46,33 +48,46 @@ H_n(x) = 2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Stammfunktion} \begin{align*} -\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx -&= -\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x) +\uncover<4->{ +\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx} +&\uncover<5->{= +\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)} \\ +\uncover<5->{ &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<6->{ {\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)} &= {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx +} \\ +\uncover<6->{ &\qquad - \int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<7->{ \text{\color{gray}(Produktregel)} &= \int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx +} \\ +\uncover<8->{ \text{\color{gray}(Ableitung)} &= e^{-x^2}H_{n-1}(x) +} \end{align*} +\uncover<9->{% ausser für $n=0$: \[ \int @@ -80,8 +95,8 @@ H_0(x)e^{-x^2}\,dx = \int e^{-x^2}\,dx -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex index 88abbe8..32333cd 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex @@ -20,12 +20,14 @@ P(t)e^{-t^2} \] in geschlossener Form angeben? \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Allgemeine Antwort} Satz von Liouville und Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Negativbeispiel} $P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral \[ @@ -34,7 +36,8 @@ F(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt \] ist nicht elementar darstellbar. -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Positivbeispiel} $P(t)=t$. Wegen \begin{align*} @@ -47,7 +50,7 @@ $P(t)=t$. Wegen -e^{-x^2}+C \end{align*} elementar darstellbar. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex index 32b933f..a51e9f6 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex @@ -18,6 +18,7 @@ Orthogonale $H_k$ normalisieren: \] mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{``Hermite''-Analyse} \begin{align*} P(x) @@ -26,46 +27,55 @@ P(x) = \sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x) \\ +\uncover<3->{ \tilde{a}_k &= \| H_k\|_w\, a_k +} \\ +\uncover<4->{ a_k &= \frac{1}{\|H_k\|} \langle \tilde{H}_k, P\rangle_w -= +}\uncover<5->{= \frac{1}{\|H_k\|^2} \langle H_k, P\rangle_w +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Integrationsproblem} Bedingung: \begin{align*} a_0=0 +\uncover<7->{% \qquad\Leftrightarrow\qquad \langle H_0,P\rangle_w &= -0 +0} \\ +\uncover<8->{% \int_{-\infty}^\infty P(t) w(t) \,dt +}\uncover<9->{% = \int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2} \,dt &= -0 +0} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{theorem} Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar genau dann, wenn \[ \int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 \] -\end{theorem} +\end{theorem}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |
