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| -rw-r--r-- | buch/papers/fm/02_FM.tex | 60 |
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diff --git a/buch/papers/fm/02_FM.tex b/buch/papers/fm/02_FM.tex index 3b4fdfd..a46b63c 100644 --- a/buch/papers/fm/02_FM.tex +++ b/buch/papers/fm/02_FM.tex @@ -10,7 +10,6 @@ (skript Nat ab Seite 60) Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren, bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an. -Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe. Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\) des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger. Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) @@ -18,20 +17,20 @@ Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit de k_p [rad], \] welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des -modulierten Trägersignals abbildet: φ(t) = k p · m(t). Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal: +modulierten Trägersignals abbildet: \(\varphi(t) = k_p \cdot m(t)\). +Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal: \[ - x_PM (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t)) + x_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t)) \] Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\) , welche wie folgt berechnet wird: \[ - f_i = 2\pi - \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt} + f_i = 2\pi \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt} \] Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\). - Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: - \[ +Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: +\[ \omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t). \] Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\) @@ -39,35 +38,28 @@ verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\), welche wie folgt berechnet wird: \[ \varphi (t) = - \int_{-\infty}^0 -%ω i (τ ) − ω c dτ = -%Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: -% -%Z t -%−∞ -%x FM (t) = A c · cos ω c t + k f -%k f · m(t) dτ -%Z t -%−∞ -% -%m(τ ) dτ + \int_{-\infty}^t \omega_i (\tau ) - \omega_c\, d\tau = + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m(t)\,d\tau +\] +%\intertext{Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: } +\[ + x_{FM} (t) = A_c \cdot \cos \left( \omega_c t + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m ( \tau) \,d\tau \right) \] +Die Phase \(\varphi(t)\) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal \(x_{FM}(t)\) weist keine Stellen auf, + wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten + Signalen - speziell auch bei digitalen FM-Signalen - von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Englisch: continuous phase modulation). +Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Modulationsverfahren. +Beide variieren sowohl die Phase \(\varphi\) wie auch die Momentanfrequenz \(\omega_i.\) +Dadurch kannman leider nicht - wie vielleicht erhofft - je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersignal unabhängig PM- und FM-modulieren, + ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar vermischen würden. +Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, +dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. +Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe. +Jeweils vor der Modulation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder +Integration durchgeführt wird, um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen. +\citeauthor{fm:NAT} -%Die Phase φ(t) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal x FM (t) weist keine -%Stellen auf, wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten -%Signalen – speziell auch bei digitalen FM-Signalen – von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Eng- -%lisch: continuous phase modulation). -%Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Mo- -%dulationsverfahren. Beide variieren sowohl die Phase φ wie auch die Momentanfrequenz ω i . Dadurch kann -%man leider nicht – wie vielleicht erhofft – je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersi- -%gnal unabhängig PM- und FM-modulieren, ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar -%vermischen würden. -% -%Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund -%dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. Jeweils vor der Modu- -%lation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder Integration durchgeführt wird, -%um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen. -%\subsection{Frequenzbereich} +\subsection{Frequenzbereich} %Nun %TODO %Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum. |