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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/main.tex5
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex110
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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex2
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diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex
index 0996007..528a2e2 100644
--- a/buch/papers/parzyl/main.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/main.tex
@@ -8,10 +8,7 @@
\begin{refsection}
\chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller}
-Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
-Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gliechung im
-parabolischen Zyplinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+
\input{papers/parzyl/teil0.tex}
\input{papers/parzyl/teil1.tex}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index a77398d..4b251db 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -3,21 +3,24 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Problem\label{parzyl:section:teil0}}
+\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
\rhead{Teil 0}
-
+Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im
+parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
\subsection{Laplace Gleichung}
Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
\Delta f = 0
\end{equation}
-ist als Laplace Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der poisson Gleichung
+ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
\begin{equation}
\Delta f = g
\end{equation}
mit g als beliebige Funktion.
-In der Physik hat die Laplace Gleichung in verschieden Gebieten
+In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten
verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen
\begin{equation}
@@ -35,11 +38,11 @@ Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
\begin{equation}
\nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
\end{equation}
-was eine Possion gleichung ist.
+was eine Possion-Gleichung ist.
An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
\label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
x & = \sigma \tau \\
@@ -48,7 +51,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt
z & = z.
\label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
+Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln
\begin{equation}
y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
@@ -68,10 +71,12 @@ und
Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
+
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
-Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei
-Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind.
+
+\dots
+
Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
\begin{equation}
@@ -90,21 +95,21 @@ gilt.
Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen
von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
\begin{align}
- dx &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma +
- \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau +
- \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z}
+ dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma +
+ \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau +
+ \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
= \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
- dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma +
- \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau +
- \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z}
+ dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma +
+ \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
+ \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
= \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
- dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma +
- \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau +
- \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z}
+ dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma +
+ \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
+ \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
= d \tilde{z} \\
\end{align}
substituiert.
-Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
+Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
geschrieben, resultiert
\begin{equation}
\left(d s\right)^2 =
@@ -120,11 +125,22 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
\end{align}
\subsection{Differentialgleichung}
Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen
-Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
-mitgerechnet werden.
-\dots
-\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
-Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren
+mitgerechnet werden.
+Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als
+\begin{equation}
+ \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+ \left(
+ \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
+ \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
+ \right)
+ + \frac{\partial^2 f}{\partial z}.
+ \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
+\end{equation}
+\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen
+%, wie bereits erwähnt,
+dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung
\begin{equation}
\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z)
\end{equation}
@@ -133,22 +149,22 @@ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z)
\end{equation}
gelöst wird.
-Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
-\begin{equation}
- \nabla
- =
- \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
- \left (
- \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}
- +
- \frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
- \right )
- +
- \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
-\end{equation}
-Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
-\begin{equation}
- \nabla f(\sigma, \tau, z)
+%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+%\begin{equation}
+% \Delta
+% =
+% \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+% \left (
+% \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}
+% +
+% \frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+% \right )
+% +
+% \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+%\end{equation}
+Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+ \Delta f(\sigma, \tau, z)
=
\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
\left (
@@ -159,7 +175,7 @@ Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
+
\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
=
- \lambda f(\sigma,\tau,z)
+ \lambda f(\sigma,\tau,z).
\end{equation}
Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird
\begin{equation}
@@ -167,7 +183,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd
\end{equation}
gesetzt.
Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
g''(\sigma)
-
\left (
@@ -179,7 +195,7 @@ Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
=
0,
\end{equation}
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2}
h''(\tau)
-
\left (
@@ -192,7 +208,7 @@ Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
0
\end{equation}
und
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3}
i''(z)
+
\left (
@@ -205,7 +221,7 @@ und
0
\end{equation}
führt.
-Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
+Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
\begin{equation}
i(z)
=
@@ -219,7 +235,7 @@ Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
\sqrt{\lambda + \mu}z
\right )}
\end{equation}
-ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 1ae7bfd..f297189 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Problemstellung}
-Die Differentialgleichung aus \dots kann mit einer Substitution
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution
in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
\begin{definition}
Die Funktion
@@ -23,4 +23,6 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
\end{equation}
\end{definition}
+Lösung Folgt\dots
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 59f8b94..3f890d0 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Physik sache
+\section{Anwendung in der Physik
\label{parzyl:section:teil2}}
\rhead{Teil 2}