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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index 51a8254..9e88c98 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -524,7 +524,7 @@ zu gegebenen Werten von $\cos 3\alpha$ und $\sin 3 \alpha$ die Werte von $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ durch rein algebraische Operationen bestimmen. -\subsubsection{Eine Tabelle der Werte der trigonometrischen Funktionen +\subsection{Eine Tabelle der Werte der trigonometrischen Funktionen aufstellen} Die älteste Tabelle der Werte trigonometrischer Funktionen stammt aus der Feder von Hipparcos aus dem zweiten Jahrhundert BCE. diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index 714e10e..bf68f89 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -6,6 +6,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/040-rekursion/gamma.tex \ + chapters/040-rekursion/beta.tex \ chapters/040-rekursion/linear.tex \ chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex \ chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex \ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex new file mode 100644 index 0000000..24d6ac5 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -0,0 +1,550 @@ +% +% Beta-Integrale +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Die Beta-Funktion +\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}} +Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in +Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht +gerechtfertigt. +In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion +von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer +reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf +die Gamma-Funktion zurückführen lassen. +Daraus wird sich dann ein Beweis für die Integralformel für die +Gamma-Funktion ergeben. + +\begin{definition} +\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} +Das Beta-Integral ist das Integral +\[ +B(x,y) += +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +\] +für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +\end{definition} + +Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. +Für $y=1$ folgt ausserdem +\begin{equation} +B(x,1) += +\int_0^1 t^{x-1}\,dt += +\biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 += +\frac{1}{x}. +\label{buch:rekursion:gamma:betax1} +\end{equation} +Speziell gilt $B(1,1)=1$. + +\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral} +Aus der Definition folgt direkt +\begin{align*} +B(x,y+1) +&= +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt += +\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +\\ +&= +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +- +\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt +\\ +&= +B(x,y) - B(x+1,y) +\end{align*} +oder +\begin{equation} +B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1). +\label{buch:rekursion:gamma:betarek1} +\end{equation} +% +%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten +% +Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden. +Dazu berechnet man +\begin{align} +B(x,y+1) +&= +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt +\notag +\\ +&= +\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1 ++ +\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt +\notag +\\ +&= + \frac{y}x B(x+1,y). +\label{buch:rekursion:gamma:betarek2} +\end{align} +Durch Gleichsetzen +\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1} +und +\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2} +entsteht die Rekursionsformel +\[ +B(x,y)-B(x,y+1) += +B(x+1,y) += +\frac{x}{y}B(x,y+1) +\] +oder +\begin{equation} +B(x,y) += +\frac{x+y}{y}B(x,y+1). +\label{buch:rekursion:gamma:betarek3} +\end{equation} + +\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion} +Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} +kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion +durch die Gamma-Funktion zu finden. +Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} +ergibt sich zunächst +\begin{align*} +B(x,y) +&= +\frac{x+y}{y} +B(x,y+1) += +\frac{x+y}{y} +\frac{x+y+1}{y+1} +B(x,y+2) +\\ +&= +\frac{x+y}{y} +\frac{x+y+1}{y+1} +\cdot +\ldots +\cdot +\frac{x+y+n-1}{y+n-1} +B(x,y+n) += +\frac{(x+y)_n}{(y)_n} +B(x,y+n) +\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral +geschrieben werden:} +&= +\frac{(x+y)_n}{(y)_n} +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. +\end{align*} +Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest. + +\begin{lemma} +\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma} +Für $n\in\mathbb{N}$ gilt +\[ +B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y). +\] +\end{lemma} + +Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den +Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss +Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren +$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. +Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in +das Integral. +So ergibt sich +\begin{align} +B(x,y) +&= +\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. +\notag +\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral +über das Interval $[0,n]$} +&= +\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +\int_0^n +n^{x} +\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} +\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} +\,\frac{ds}{n}. +\notag +\\ +&= +\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +\int_0^n +n^{x-1} +\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} +\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} +\,ds. +\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus} +&= +\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)} +\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)} +\int_0^n +s^{x-1} +\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}} +\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1} +\,ds. +\notag +\\ +&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds. +\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +\end{align} +Das Integral im letzten Ausdruck ist die Integraldarstellung für +die Gamma-Funktion von Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma}, +die bis anhin noch nicht gerechtfertigt wurde. + +In~\eqref{buch:rekursion:gamma:betax1} ist gezeigt worden, dass +$B(x,1)=1/x$. +Andererseits zeigt \eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} für $y=1$, +dass +\begin{align} +\frac1x += +B(x,1) +&= +\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(x+1)}\int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds. +\notag +\intertext{% +Wegen $\Gamma(1)=1$ und $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ finden wir nach +Multiplikation mit $x\Gamma(x)$:} +\Gamma(x) +&= +\int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds, +\label{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} +\end{align} +was die Integraldarstellung +von Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma}, +der Gamma-Funktion beweist. +Durch Einsetzen der Integralformel im Ausdruck +\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} folgt der folgende +Satz. + +\begin{satz} +Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach +\begin{equation} +B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} +\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +\end{equation} +berechnet werden. +\end{satz} + +\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} +untersuchen wir den Fall $y=1-x$. +In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit +\begin{equation} +\Gamma(x)\Gamma(1-x) += +B(x,1-x) += +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt. +\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} +\end{equation} +Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von +\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten, +kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion +an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden +$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen. +Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach: +\[ +\Gamma({\textstyle\frac12})^2 += +\int_0^1 t^{-\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt += +\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t(1-t)}}\,dt. +\] +Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus +\[ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{1}{ +\sqrt{\sin^2s(1-\sin^2s)} +} +2\sin s\cos s +\,ds += +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} +\,ds += +\pi, +\] +wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben. +Somit folgt +\begin{equation} +\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \pi +\qquad\Rightarrow\qquad +\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi}. +\label{buch:rekursion:gamma:gamma12} +\end{equation} +Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat +sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}} +gemacht: +{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?} +Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man +$(-\frac12)!$ als Wert +\[ +(-{\textstyle\frac12})! += +\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1) += +\Gamma({\textstyle\frac12}) += +\sqrt{\pi} +\] +der Gamma-Funktion interpretiert. + +\subsubsection{Alternative Parametrisierungen} +Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt +ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. +Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative +Form zu bringen. +Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} +wird damit +\begin{align*} +B(x,y) +&= +\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +\\ +&= +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1} +\cdot \sin s\cos s\,ds +\\ +&= +2 +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds. +\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}, +die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet +man die Formel} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds +&= +\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)} +\end{align*} +für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen. + +Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral +$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab: +\begin{align} +B(x,y) +&= +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt +\notag +\\ +&= +\int_0^\infty +\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}} +\frac{1}{(s+1)^{y-1}} +\frac{ds}{(s+1)^2} +\notag +\\ +&= +\int_0^\infty +\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds, +\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} +\end{align} +wobei wir +\[ +\frac{dt}{ds} += +\frac{d}{ds} +\frac{s}{s+1} += +\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2} += +\frac{1}{(s+1)^2} +\] +verwendet haben. +Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später +% XXX Ort ergänzen +dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +herzuleiten. + +Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ +mit $dt=\frac12 ds$. +Damit wird das Beta-Integral +\begin{equation} +B(x,y) += +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt += +\frac12 +\int_{-1}^1 +\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1} +\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1} +\,ds += +2^{1-x-y} +\int_{-1}^1 +(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1} +\,ds. +\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} +\end{equation} + +\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} +Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die +Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. + +\begin{satz}[Legendre] +\[ +\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) += +2^{1-2x}\sqrt{\pi} +\Gamma(2x) +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der +Gamma-Funktion als +\[ +B(x,x) += +\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} +\] +schreibt. +Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen. + +Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm} +kann man das Beta-Integral zu +\begin{align*} +B(x,x) +&= +2^{1-2x} +\int_{-1}^1 +(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1} +\,ds += +2^{1-2x} +\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds +\end{align*} +vereinfachen. +Der Integrand ist gerade, es folgt +\[ +B(x,x) += +2^{1-2x} +\cdot 2 +\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds. +\] +Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form +eines Beta-Integrals gebracht werden: +\begin{align*} +2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds +&= +\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}} += +\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt += +B({\textstyle\frac12},x). +\end{align*} +In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$ +verwendet. +Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen +schreiben, nämlich als +\[ +B({\textstyle\frac12},x) += +\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}. +\] +Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt +\begin{align*} +\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} +&= +\frac1{2^{2x-1}} +\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})} +\\ +\Rightarrow\qquad +\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) +&= +2^{1-2x} +\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x) += +2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x), +\end{align*} +wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben. +\end{proof} + +Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man +\[ +\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1) +\qquad\Rightarrow\qquad +\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi}, +\] +in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert. + +\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} +Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als +\begin{equation} +\binom{n}{k} += +\frac{n!}{(n-k)!\,k!} += +\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} += +\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} += +\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)} +\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} +\end{equation} +geschrieben werden. +Die Rekursionsbeziehung +\[ +\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} +\] +der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, +die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die +Binomialkoeffizienten macht daraus +\[ +\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} += +\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} ++ +\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, +\] +die für ganzzahlige Argumente gilt. +Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. +\begin{align*} +\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} +&= +\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} ++ +\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +\\ +\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} +&= +\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} ++ +\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe +der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren +mit dem gemeinsamen Nenner +$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} +\Gamma(n) +&= +(k-2) +\Gamma(n-1) ++ +(n-k-1) +\Gamma(n-1) +\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf +die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen +ein Faktor +$\Gamma(n-1)$ auftritt:} +(n-1)\Gamma(n-1) +&= +(k-2)\Gamma(n-1) ++ +(n+k-1)\Gamma(n-1) +\\ +n-1 +&= +k-2 ++ +n-k-1 +\end{align*} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex index 3467a71..26fef37 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \rhead{} \input{chapters/040-rekursion/gamma.tex} +\input{chapters/040-rekursion/beta.tex} \input{chapters/040-rekursion/linear.tex} \input{chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 713215c..e3ceefe 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -22,7 +22,7 @@ Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt? -\subsection{Produktformel} +\subsection{Definition als Grenzwert} Die Fakultät $n!$ ist ein Produkt von $n$ Faktoren, es ist daher natürlich zu versuchen, auch $x!$ als ein Produkt zu schreiben. Allerdings kann es nicht möglich sein, dies mit einer endlichen @@ -237,7 +237,7 @@ ist. Die Approximation mit Hilfe der Grenzwertdefinition kann also grundsätzlich nicht mehr als zwei korrekte Nachkommastellen liefern. -\subsubsection{Produktformel} +\subsection{Produktformel} Ein möglicher Ausweg aus den numerischen Schwierigkeiten mit der Grenzwertdefinition ist, den schnell wachsenden Faktor $n!$ in den Zähler zu bringen, so dass er der Konvergenz etwas nachhilft. @@ -428,6 +428,55 @@ Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben. +\subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition} +Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung +der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} +Korrekt ist. +Dazu ist zunächgst nachzurechnen, dass mindestens ein Wert der neuen +Definition übereinstimmt mit der alten Definnition, zum Beispiel der +Wert +\[ +\Gamma(1) += +\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}\,dt += +\biggl[ -e^{-t} \biggr]_0^\infty += +1. +\] +Ausserdem muss die Funktionalgleichung erfüllt sein, also +\begin{align*} +\Gamma(z) +&= +\int_0^\infty +\underbrace{t^{z-1}}_{\displaystyle\uparrow} +\underbrace{e^{-t}}_{\displaystyle\downarrow} +\,dt += +\underbrace{\biggl[ +\frac{1}{z} t^z e^{-t} +\biggr]_0^\infty}_{\displaystyle=0} ++ +\frac{1}{z} +\int_0^\infty +t^z e^{-t} +\,dt += +\frac{1}{z}\Gamma(z+1) +\\ +\Rightarrow\qquad +z\Gamma(z)&=\Gamma(z+1). +\end{align*} +Dies beweist aber nur, dass die beiden Definitionen für positiv +ganzzahlige Argumente übereinstimmen. +Der folgende Abschnitt macht deutlich, dass es sehr viele Funktionen gibt, +die ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllen. +Eine vollständige Rechtfertigung für diese Definition wird später +in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:beta} +\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} +auf Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis} +gegeben. + \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf} @@ -437,6 +486,28 @@ die Werte der Fakultät annimmt. \label{buch:rekursion:fig:gamma}} \end{figure} +\subsubsection{Alternative Lösungen} +Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen +Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. +Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle +natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$, +erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen +die Werte der Fakultät annimmt. +Ein Beispiel einer solchen Funktion ist +\begin{equation} +z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z, +\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} +\end{equation} +die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen +Zahlen. + +In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion +in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} +in grün. +Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen +gemeinsam. + + % XXX Beweis der Integraldarstellung der Gamma-Funktion \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion} @@ -472,27 +543,6 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus \] \end{proof} -\subsubsection{Alternative Lösungen} -Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen -Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. -Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle -natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$, -erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen -die Werte der Fakultät annimmt. -Ein Beispiel einer solchen Funktion ist -\begin{equation} -z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z, -\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} -\end{equation} -die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen -Zahlen. - -In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion -in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} -in grün. -Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen -gemeinsam. - \subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$} Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt. @@ -609,511 +659,511 @@ $y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst. Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur 337 Auswertungen des Integranden. +%% +%% Beta-Integrale +%% +%\subsection{Die Beta-Funktion} % -% Beta-Integrale +%\begin{definition} +%\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} +%Das Beta-Integral ist das Integral +%\[ +%B(x,y) +%= +%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +%\] +%für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +%\end{definition} % -\subsection{Die Beta-Funktion} - -\begin{definition} -\label{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} -Das Beta-Integral ist das Integral -\[ -B(x,y) -= -\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -\] -für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. -\end{definition} - -Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. -Für $y=1$ folgt ausserdem -\[ -B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 = \frac{1}{x}. -\] -Speziell gilt $B(1,1)=1$. - -\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral} -Aus der Definition folgt direkt -\begin{align*} -B(x,y+1) -&= -\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt -= -\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -\\ -&= -\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -- -\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt -\\ -&= -B(x,y) - B(x+1,y) -\end{align*} -oder -\begin{equation} -B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1). -\label{buch:rekursion:gamma:betarek1} -\end{equation} +%Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. +%Für $y=1$ folgt ausserdem +%\[ +%B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 = \frac{1}{x}. +%\] +%Speziell gilt $B(1,1)=1$. % -%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten +%\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral} +%Aus der Definition folgt direkt +%\begin{align*} +%B(x,y+1) +%&= +%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt +%= +%\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +%\\ +%&= +%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +%- +%\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt +%\\ +%&= +%B(x,y) - B(x+1,y) +%\end{align*} +%oder +%\begin{equation} +%B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1). +%\label{buch:rekursion:gamma:betarek1} +%\end{equation} +%% +%%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten +%% +%Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden. +%Dazu berechnet man +%\begin{align} +%B(x,y+1) +%&= +%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt +%\notag +%\\ +%&= +%\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1 +%+ +%\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt +%\notag +%\\ +%&= +% \frac{y}x B(x+1,y). +%\label{buch:rekursion:gamma:betarek2} +%\end{align} +%Durch Gleichsetzen +%\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1} +%und +%\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2} +%entsteht die Rekursionsformel +%\[ +%B(x,y)-B(x,y+1) +%= +%B(x+1,y) +%= +%\frac{x}{y}B(x,y+1) +%\] +%oder +%\begin{equation} +%B(x,y) +%= +%\frac{x+y}{y}B(x,y+1). +%\label{buch:rekursion:gamma:betarek3} +%\end{equation} +% +%\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion} +%Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} +%kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion +%durch die Gamma-Funktion zu finden. +%Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} +%ergibt sich zunächst +%\begin{align*} +%B(x,y) +%&= +%\frac{x+y}{y} +%B(x,y+1) +%= +%\frac{x+y}{y} +%\frac{x+y+1}{y+1} +%B(x,y+2) +%\\ +%&= +%\frac{x+y}{y} +%\frac{x+y+1}{y+1} +%\cdot +%\ldots +%\cdot +%\frac{x+y+n-1}{y+n-1} +%B(x,y+n) +%= +%\frac{(x+y)_n}{(y)_n} +%B(x,y+n) +%\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral +%geschrieben werden:} +%&= +%\frac{(x+y)_n}{(y)_n} +%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. +%\end{align*} +%Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest. +% +%\begin{lemma} +%\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma} +%Für $n\in\mathbb{N}$ gilt +%\[ +%B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y). +%\] +%\end{lemma} +% +%Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den +%Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss +%Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren +%$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. +%Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in +%das Integral. +%So ergibt sich +%\begin{align*} +%B(x,y) +%&= +%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +%\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. +%\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral +%über das Interval $[0,n]$} +%&= +%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +%\int_0^n +%n^{x} +%\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} +%\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} +%\,\frac{ds}{n}. +%\\ +%&= +%\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} +%\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} +%\int_0^n +%n^{x-1} +%\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} +%\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} +%\,ds. +%\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus} +%&= +%\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)} +%\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)} +%\int_0^n +%s^{x-1} +%\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}} +%\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1} +%\,ds. +%\\ +%&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds +%= +%\frac{\Gamma(y)\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}. +%\end{align*} +% +%\begin{satz} +%Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach +%\begin{equation} +%B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} +%\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +%\end{equation} +%berechnet werden. +%\end{satz} +% +%\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +%Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} +%untersuchen wir den Fall $y=1-x$. +%In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit +%\begin{equation} +%\Gamma(x)\Gamma(1-x) +%= +%B(x,1-x) +%= +%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt. +%\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} +%\end{equation} +%Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von +%\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten, +%kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion +%an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden +%$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen. +%Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach: +%\[ +%\Gamma({\textstyle\frac12})^2 +%= +%\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt +%= +%\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt. +%\] +%Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus +%\[ +%\int_0^{\frac{\pi}2} +%\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}} +%2\sin s\cos s +%\,ds +%= +%2 +%\int_0^{\frac{\pi}2} +%\sin^2 s\,ds +%= +%2 +%\int_0^{\frac{\pi}2} +%\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds +%= +%\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds, +%\] +%wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben. +%Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich +%des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet +%das zweite Integral. +%Somit folgt +%\begin{equation} +%\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2} +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}. +%\label{buch:rekursion:gamma:gamma12} +%\end{equation} +%Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat +%sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}} +%gemacht: +%{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?} +%Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man +%$(-\frac12)!$ als Wert +%\[ +%(-{\textstyle\frac12})! +%= +%\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1) +%= +%\Gamma({\textstyle\frac12}) +%= +%\sqrt{\frac{\pi}2} +%\] +%der Gamma-Funktion interpretiert. +% +%\subsubsection{Alternative Parametrisierungen} +%Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt +%ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. +%Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative +%Form zu bringen. +%Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} +%wird damit +%\begin{align*} +%B(x,y) +%&= +%\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt +%\\ +%&= +%2 +%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1} +%\cdot \sin s\cos s\,ds +%\\ +%&= +%2 +%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds. +%\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}, +%die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet +%man die Formel} +%\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds +%&= +%\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)} +%\end{align*} +%für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen. +% +%Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral +%$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab: +%\begin{align} +%B(x,y) +%&= +%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt +%\notag +%\\ +%&= +%\int_0^\infty +%\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}} +%\frac{1}{(s+1)^{y-1}} +%\frac{ds}{(s+1)^2} +%\notag +%\\ +%&= +%\int_0^\infty +%\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds, +%\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} +%\end{align} +%wobei wir +%\[ +%\frac{dt}{ds} +%= +%\frac{d}{ds} +%\frac{s}{s+1} +%= +%\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2} +%= +%\frac{1}{(s+1)^2} +%\] +%verwendet haben. +%Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später +%% XXX Ort ergänzen +%dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +%herzuleiten. +% +%Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ +%mit $dt=\frac12 ds$. +%Damit wird das Beta-Integral +%\begin{equation} +%B(x,y) +%= +%\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt +%= +%\frac12 +%\int_{-1}^1 +%\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1} +%\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1} +%\,ds +%= +%2^{1-x-y} +%\int_{-1}^1 +%(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1} +%\,ds. +%\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} +%\end{equation} +% +%\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} +%Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die +%Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. +% +%\begin{satz}[Legendre] +%\[ +%\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) +%= +%2^{1-2x}\sqrt{\pi} +%\Gamma(2x) +%\] +%\end{satz} +% +%\begin{proof}[Beweis] +%Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der +%Gamma-Funktion als +%\[ +%B(x,x) +%= +%\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} +%\] +%schreibt. +%Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen. +% +%Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm} +%kann man das Beta-Integral zu +%\begin{align*} +%B(x,x) +%&= +%2^{1-2x} +%\int_{-1}^1 +%(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1} +%\,ds +%= +%2^{1-2x} +%\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds +%\end{align*} +%vereinfachen. +%Der Integrand ist gerade, es folgt +%\[ +%B(x,x) +%= +%2^{1-2x} +%\cdot 2 +%\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds. +%\] +%Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form +%eines Beta-Integrals gebracht werden: +%\begin{align*} +%2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds +%&= +%\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}} +%= +%\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt +%= +%B({\textstyle\frac12},x). +%\end{align*} +%In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$ +%verwendet. +%Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen +%schreiben, nämlich als +%\[ +%B({\textstyle\frac12},x) +%= +%\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}. +%\] +%Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt +%\begin{align*} +%\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} +%&= +%\frac1{2^{2x-1}} +%\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})} +%\\ +%\Rightarrow\qquad +%\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) +%&= +%2^{1-2x} +%\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x) +%= +%2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x), +%\end{align*} +%wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben. +%\end{proof} +% +%Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man +%\[ +%\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1) +%\qquad\Rightarrow\qquad +%\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi}, +%\] +%in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert. +% +%\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} +%Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als +%\begin{equation} +%\binom{n}{k} +%= +%\frac{n!}{(n-k)!\,k!} +%= +%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +%= +%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +%= +%\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)} +%\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} +%\end{equation} +%geschrieben werden. +%Die Rekursionsbeziehung +%\[ +%\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} +%\] +%der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, +%die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die +%Binomialkoeffizienten macht daraus +%\[ +%\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} +%= +%\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} +%+ +%\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, +%\] +%die für ganzzahlige Argumente gilt. +%Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. +%\begin{align*} +%\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} +%&= +%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} +%+ +%\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +%\\ +%\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} +%&= +%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} +%+ +%\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} +%\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe +%der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren +%mit dem gemeinsamen Nenner +%$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} +%\Gamma(n) +%&= +%(k-2) +%\Gamma(n-1) +%+ +%(n-k-1) +%\Gamma(n-1) +%\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf +%die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen +%ein Faktor +%$\Gamma(n-1)$ auftritt:} +%(n-1)\Gamma(n-1) +%&= +%(k-2)\Gamma(n-1) +%+ +%(n+k-1)\Gamma(n-1) +%\\ +%n-1 +%&= +%k-2 +%+ +%n-k-1 +%\end{align*} % -Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden. -Dazu berechnet man -\begin{align} -B(x,y+1) -&= -\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt -\notag -\\ -&= -\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1 -+ -\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt -\notag -\\ -&= - \frac{y}x B(x+1,y). -\label{buch:rekursion:gamma:betarek2} -\end{align} -Durch Gleichsetzen -\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1} -und -\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2} -entsteht die Rekursionsformel -\[ -B(x,y)-B(x,y+1) -= -B(x+1,y) -= -\frac{x}{y}B(x,y+1) -\] -oder -\begin{equation} -B(x,y) -= -\frac{x+y}{y}B(x,y+1). -\label{buch:rekursion:gamma:betarek3} -\end{equation} - -\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion} -Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} -kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion -durch die Gamma-Funktion zu finden. -Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3} -ergibt sich zunächst -\begin{align*} -B(x,y) -&= -\frac{x+y}{y} -B(x,y+1) -= -\frac{x+y}{y} -\frac{x+y+1}{y+1} -B(x,y+2) -\\ -&= -\frac{x+y}{y} -\frac{x+y+1}{y+1} -\cdot -\ldots -\cdot -\frac{x+y+n-1}{y+n-1} -B(x,y+n) -= -\frac{(x+y)_n}{(y)_n} -B(x,y+n) -\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral -geschrieben werden:} -&= -\frac{(x+y)_n}{(y)_n} -\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. -\end{align*} -Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest. - -\begin{lemma} -\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma} -Für $n\in\mathbb{N}$ gilt -\[ -B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y). -\] -\end{lemma} - -Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den -Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss -Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren -$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. -Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in -das Integral. -So ergibt sich -\begin{align*} -B(x,y) -&= -\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} -\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} -\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. -\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral -über das Interval $[0,n]$} -&= -\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} -\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} -\int_0^n -n^{x} -\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} -\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} -\,\frac{ds}{n}. -\\ -&= -\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} -\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} -\int_0^n -n^{x-1} -\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1} -\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1} -\,ds. -\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus} -&= -\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)} -\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)} -\int_0^n -s^{x-1} -\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}} -\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1} -\,ds. -\\ -&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds -= -\frac{\Gamma(y)\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}. -\end{align*} - -\begin{satz} -Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach -\begin{equation} -B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} -\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} -\end{equation} -berechnet werden. -\end{satz} - -\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} -Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} -untersuchen wir den Fall $y=1-x$. -In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit -\begin{equation} -\Gamma(x)\Gamma(1-x) -= -B(x,1-x) -= -\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt. -\label{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} -\end{equation} -Sofern man in der Lage ist, das Integral auf der rechten Seite von -\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} auszuwerten, -kann man eine einfache Beziehung zwischen zwei Werten der Gamma-Funktion -an Stellen, die durch eine Spiegelung an der Geraden -$\operatorname{Re}x=\frac12$ auseinander hervorgehen. -Für $x=\frac12$ wird der Ausdruck besonders einfach: -\[ -\Gamma({\textstyle\frac12})^2 -= -\int_0^1 t^{\frac12}(1-t)^{-\frac12}\,dt -= -\int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}}\,dt. -\] -Mit der Substition $t=\sin^2 s$ wird daraus -\[ -\int_0^{\frac{\pi}2} -\sqrt{\frac{\sin^2s}{1-\sin^2s}} -2\sin s\cos s -\,ds -= -2 -\int_0^{\frac{\pi}2} -\sin^2 s\,ds -= -2 -\int_0^{\frac{\pi}2} -\frac{1-\cos 2s}{2}\,ds -= -\frac{\pi}2-\int_0^{\frac{\pi}2}\cos 2s\,ds, -\] -wobei wir $dt = 2\sin s\cos s\,ds$ verwendet haben. -Da $\cos 2s$ eine im Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ bezüglich -des Punktes $\frac{\pi}4$ ungerade Funktion ist, verschwindet -das zweite Integral. -Somit folgt -\begin{equation} -\Gamma({\textstyle\frac12})^2 = \frac{\pi}{2} -\qquad\Rightarrow\qquad -\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}. -\label{buch:rekursion:gamma:gamma12} -\end{equation} -Matt Parker hat auf seinem Youtube-Kanal {\em Stand-up Maths} dieses Resultat -sogar zum Titel eines Videos\footnote{\url{https://youtu.be/dGnIJFzkLI4}} -gemacht: -{\em What is the factorial of $-\nicefrac{1}{2}$?} -Die Antwort ist natürlich nur möglich, indem man -$(-\frac12)!$ als Wert -\[ -(-{\textstyle\frac12})! -= -\Gamma(-{\textstyle\frac12}+1) -= -\Gamma({\textstyle\frac12}) -= -\sqrt{\frac{\pi}2} -\] -der Gamma-Funktion interpretiert. - -\subsubsection{Alternative Parametrisierungen} -Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt -ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. -Die Substition erlaubt aber auch, das Beta-Integral in eine alternative -Form zu bringen. -Aus der Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:beta-funktion} -wird damit -\begin{align*} -B(x,y) -&= -\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt -\\ -&= -2 -\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2(x-1)} s\cdot (1-\sin^2 s)^{y-1} -\cdot \sin s\cos s\,ds -\\ -&= -2 -\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds. -\intertext{Unter Verwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}, -die die Beta-Funktion durch Gamma-Funktionen auszudrücken erlaubt, findet -man die Formel} -\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2x-1}s \cos^{2y-1} s\,ds -&= -\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{2\Gamma(x+y)} -\end{align*} -für ein bestimmtes Integral von Potenzen von Sinus- und Kosinus-Funktionen. - -Die alternative Substitution $t = s/(s+1)$ verwandelt das Beta-Integral -$B(x,y)$ in ein Integral über die positive Halbachse ab: -\begin{align} -B(x,y) -&= -\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt -\notag -\\ -&= -\int_0^\infty -\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x-1}} -\frac{1}{(s+1)^{y-1}} -\frac{ds}{(s+1)^2} -\notag -\\ -&= -\int_0^\infty -\frac{s^{x-1}}{(s+1)^{x+y}}\,ds, -\label{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} -\end{align} -wobei wir -\[ -\frac{dt}{ds} -= -\frac{d}{ds} -\frac{s}{s+1} -= -\frac{(s+1)-s}{(s+1)^2} -= -\frac{1}{(s+1)^2} -\] -verwendet haben. -Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später -% XXX Ort ergänzen -dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion -herzuleiten. - -Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ -mit $dt=\frac12 ds$. -Damit wird das Beta-Integral -\begin{equation} -B(x,y) -= -\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt -= -\frac12 -\int_{-1}^1 -\biggl(\frac{1+s}2\biggr)^{x-1} -\biggl(\frac{1-s}2\biggr)^{y-1} -\,ds -= -2^{1-x-y} -\int_{-1}^1 -(1+s)^{x-1}(1-s)^{y-1} -\,ds. -\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} -\end{equation} - -\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} -Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die -Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. - -\begin{satz}[Legendre] -\[ -\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) -= -2^{1-2x}\sqrt{\pi} -\Gamma(2x) -\] -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Der Wert $\Gamma(2x)$ entsteht, wenn man $B(x,x)$ mit Hilfe der -Gamma-Funktion als -\[ -B(x,x) -= -\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} -\] -schreibt. -Das Ziel ist, $B(x,x)$ auf einem alternativen Weg zu berechnen. - -Mit Hilfe von \eqref{buch:rekursion:gamma:beta:symm} -kann man das Beta-Integral zu -\begin{align*} -B(x,x) -&= -2^{1-2x} -\int_{-1}^1 -(1+s)^{x-1}(1-s)^{x-1} -\,ds -= -2^{1-2x} -\int_{-1}^1(1-s^2)^{x-1}\,ds -\end{align*} -vereinfachen. -Der Integrand ist gerade, es folgt -\[ -B(x,x) -= -2^{1-2x} -\cdot 2 -\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds. -\] -Das Integral kann mit der Substitution $s^2=t$ wieder in die Form -eines Beta-Integrals gebracht werden: -\begin{align*} -2\int_0^1(1-s^2)^{x-1}\,ds -&= -\int_0^1 (1-t)^{x-1} \,\frac{dt}{\sqrt{t}} -= -\int_0^1 t^{\frac12-1}(1-t)^{x-1}\,dt -= -B({\textstyle\frac12},x). -\end{align*} -In der Substitution haben wir $2s\,ds = dt$ oder $2\,ds = dt/\sqrt{t}$ -verwendet. -Das letzte Beta-Integral kann man nun wieder mit Gamma-Funktionen -schreiben, nämlich als -\[ -B({\textstyle\frac12},x) -= -\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})}. -\] -Setzt man alles zusammen, erhält man jetzt -\begin{align*} -\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} -&= -\frac1{2^{2x-1}} -\frac{\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(x)}{\Gamma(x+{\textstyle\frac12})} -\\ -\Rightarrow\qquad -\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12}) -&= -2^{1-2x} -\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(2x) -= -2^{1-2x}\sqrt{\pi}\Gamma(2x), -\end{align*} -wobei wir den bekannten Wert $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ verwendet haben. -\end{proof} - -Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man -\[ -\Gamma({\textstyle\frac12})\Gamma(1) = 2^{1-2\frac12}\sqrt{\pi}\Gamma(1) -\qquad\Rightarrow\qquad -\Gamma({\textstyle\frac12}) = \sqrt{\pi}, -\] -in Übereinstimmung mit dem bereits bekannten Wert. - -\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} -Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als -\begin{equation} -\binom{n}{k} -= -\frac{n!}{(n-k)!\,k!} -= -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -= -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -= -\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)} -\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} -\end{equation} -geschrieben werden. -Die Rekursionsbeziehung -\[ -\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} -\] -der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, -die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die -Binomialkoeffizienten macht daraus -\[ -\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} -= -\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} -+ -\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, -\] -die für ganzzahlige Argumente gilt. -Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. -\begin{align*} -\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -&= -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -+ -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -\\ -\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -&= -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -+ -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe -der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren -mit dem gemeinsamen Nenner -$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} -\Gamma(n) -&= -(k-2) -\Gamma(n-1) -+ -(n-k-1) -\Gamma(n-1) -\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf -die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen -ein Faktor -$\Gamma(n-1)$ auftritt:} -(n-1)\Gamma(n-1) -&= -(k-2)\Gamma(n-1) -+ -(n+k-1)\Gamma(n-1) -\\ -n-1 -&= -k-2 -+ -n-k-1 -\end{align*} - % % diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex index 7c0aac7..2c05d60 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex @@ -21,11 +21,117 @@ In diesem Abschnitt soll daher eine Klasse von Rekursionsgleichungen näher untersucht werden, für die einfache Lösungen möglich sind. \subsection{Lineare Differenzengleichungen} +Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch die lineare Rekursionsgleichung +\begin{equation} +F_{n+1\mathstrut} = F_{n\mathstrut} + F_{n-1\mathstrut}, +\qquad +F_1=1,\quad F_0=0. +\label{buch:rekursion:eqn:fibonacci} +\end{equation} +Ganz ähnlich wie bei der Gamma-Funktion kann man auch hier die Frage +stellen, ob es eine Funktion $F(z)$ von komplexen Argument gibt derart, +dass +\begin{equation} +F(z+1) = F(z) + F(z-1), \qquad F(1)=1,\quad F(0)=0. +\label{buch:rekursion:eqn:fibonaccikomplex} +\end{equation} -\subsection{Lösung mit Polynomfunktionen} +\begin{aufgabe} +Gibt es eine Funktion +\[ +F(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k +\] +derart, dass +\[ +F(z+1) = F(z)+F(z-1)? +\] +\end{aufgabe} +Sind $F_1(z)$ und $F_2(z)$ Lösungen der Differenzengleichung, dann +sind beliebige Linearkombinationen $\lambda F_1(z) + \mu F_2(z)$ +ebenfalls Lösungen. +Ausserdem ist $e^{2k\pi i}F(z)$ eine Lösung der Differenzengleichung, +es gibt also unendlich viele linear unabhängige Lösungen. +\subsection{Lösung mit Potenzfunktionen} +Gesucht ist eine ganze Funktion, also eine Funktion +$F\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die Lösung einer +Differenzengleichung +\begin{equation} +\sum_{k=0}^n a_kF(z+n)=0, +\end{equation} +mit $a_n\ne 1$. +ist. +Ein erfolgversprechender Ansatz ist $F(z)=e^{bz}=(e^b)^z$, da die +Exponentialfunktion eine ganze Funktion ist. +Die Differenzengleichung führt auf +\[ +0 += +\sum_{k=0}^n +a_kF(z+n) += +\sum_{k=0}^n +a_k e^{b(z+n)} += +e^{bz} +\sum_{k=0}^n +a_k (e^b)^n. +\] +Gesucht ist also $a\in\mathbb{C}$ derart, dass $e^a$ eine Nullstelle +des charakteristischen Polynomes +\[ +p(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k +\] +der Differenzengleichung ist. +Die Zahl $a$ ist nicht eindeutig, denn wenn $e^a$ eine Nullstelle ist, +dann ist $e^{a+2\pi i}=e^a$ eine Nullstelle. +Dies sind die einzigen Lösungen der Differenzengleichung. +Seien also $\lambda_j$ die Nullstellen von $p(x)$ mit $1\le j\le n$. +Dann gibt es komplexe Zahlen $b_j$ +mit $-\pi < \operatorname{Im}b_j < \pi$ derart, dass $e^{b_j}=\lambda_j$. +Die Funktionen +\[ +F_{jk}(z) = e^{2k\pi i z} e^{b_jz} +\] +sind Lösungen der Differenzengleichung. + +\subsection{Komplexe Fibonacci-Zahlen} +Matt Parker vom Youtube-Kanal Stand-up Maths hat in einem +Video\footnote{\url{https://youtu.be/ghxQA3vvhsk}} die Lösungsfunktionen +für die Differenzengleichung der Fibonacci-Zahlen für beliebige +reelle und komplexe Argumente visualisiert. +Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms +\[ +\lambda^2-\lambda-1=0 +\qquad +\Rightarrow +\qquad +\lambda_\pm = \begin{cases} +\displaystyle +\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi +\\[3pt] +\displaystyle +\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1}{\varphi}, +\end{cases} +\] +dabei ist $\varphi$ das Verhältnis des goldenen Schnittes. +Die Anfangsbedingungen $F(0)=0$ und $F(1)=1$ bedeutet, dass +\[ +F(z) = \varphi^z - \frac{1}{\varphi^z} +\] +Dies ist die Funktion, die Matt Parker visualisiert hat. +Allerdings sind die Funktionen +\[ +F_{kl}(z) += +\varphi^ze^{2k\pi iz} +- +\frac{1}{\varphi^z} e^{2l\pi z} +\] +ebenfalls Lösungen der Differenzengleichung mit den gleichen +Anfangswerten. |