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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex index 2d0de8d..877d1b1 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex @@ -36,6 +36,11 @@ auf der rellen Achse hinaus fortsetzen. \input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex} +\section{TODO} +\begin{itemize} +\item Aurgument-Prinzip +\end{itemize} + %\section*{Übungsaufgaben} %\rhead{Übungsaufgaben} %\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index 72cc70e..6af7836 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -21,7 +21,9 @@ trigonometrischen Funktionen auf die Geometrie von Ellipsen erweitern, dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. - +% +% ellpitische Funktionen als Trigonometrie +% \subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} \begin{figure} \centering @@ -33,6 +35,9 @@ auf einer Ellipse. \end{figure} % based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals +% +% Geometrie einer Ellipse +% \subsubsection{Geometrie einer Ellipse} Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe \index{Ellipse}% @@ -59,6 +64,9 @@ Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse. +% +% Die Ellipsengleichung +% \subsubsection{Ellipsengleichung} Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen \begin{equation} @@ -108,6 +116,9 @@ substituieren. Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. +% +% Normierung +% \subsubsection{Normierung} Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. @@ -155,6 +166,9 @@ Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist x^2(k^2-1) + y^2 = 1. \] +% +% Definition der elliptischen Funktionen +% \subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} Die elliptischen Funktionen für einen Punkt auf der Ellipse mit Modulus $k$ können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. @@ -263,6 +277,9 @@ k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 1-k^2. \end{align*} +% +% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen +% \subsubsection{Ableitung} Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die @@ -394,17 +411,18 @@ Damit haben wir die Ableitungsregeln -k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) \end{align*} -XXX als elliptische Integrale \\ XXX algebraische Beziehungen \\ XXX Additionstheoreme \\ XXX Perioden % use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic -\subsection{Elliptische Funktionen und elliptische Integrale} XXX Ableitungen \\ XXX Werte \\ +% +% Lösung von Differentialgleichungen +% \subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer Differentialgleichungen in geschlossener Form. @@ -416,6 +434,9 @@ p(x(t)) \) mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. +% +% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +% \subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben @@ -522,7 +543,7 @@ muss. \end{table} Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen -Differentialgleichung erster derselben Art. +Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, wenn wir eine beliebige der drei Funktionen @@ -546,6 +567,48 @@ vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als Lösung zu verwenden. +% +% Jacobi elliptische Funktionen und elliptische Integrale +% +\subsubsection{Jacobi elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den +Zusammenhang zwischen den Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. +Die Differentialgleichungen sind alle von der Form +\begin{equation} +\biggl( +\frac{d y}{d u} +\biggr)^2 += +p(u), +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. +Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. +Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die +Wurzel +\begin{align} +\frac{dy}{du} += +\sqrt{p(y)} +\notag +\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} +\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. +\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} +\end{align} +Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite +von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und +das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. +Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. +Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +ist daher +\[ +y(u) = F^{-1}(u+C). +\] +Die Jacobi elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +der unvollständigen elliptischen Integrale. \subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} @@ -566,6 +629,9 @@ Differentialgleichung Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. +% +% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +% \subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung \begin{equation} @@ -715,6 +781,9 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. +% +% Das mathematische Pendel +% \subsection{Das mathematische Pendel \label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} \begin{figure} @@ -805,6 +874,9 @@ Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. +% +% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +% \subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} Wir verwenden als neue Variable \[ @@ -864,6 +936,9 @@ Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme $1$ sein muss. +% +% Der Fall E < 2mgl +% \subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} \begin{figure} \centering @@ -939,6 +1014,9 @@ Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ mit $k^2 = 2gml/E< 1$. +% +% Der Fall E > 2mgl +% \subsection{Der Fall $E > 2mgl$} In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. |