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diff --git a/buch/papers/fm/01_AM.tex b/buch/papers/fm/01_AM.tex index 714b9a0..7f032ba 100644 --- a/buch/papers/fm/01_AM.tex +++ b/buch/papers/fm/01_AM.tex @@ -6,11 +6,19 @@ \section{Amplitudenmodulation\label{fm:section:teil0}} \rhead{AM} -Das Ziel ist FM zu verstehen doch dazu wird zuerst AM erklärt welches einwenig einfacher zu verstehen ist und erst dann übertragen wir die Ideen in FM. +Das Ziel ist FM zu verstehen doch dazu wird zuerst AM erklärt, welches einwenig einfacher zu verstehen ist und erst dann übertragen wir die Ideen in FM. Nun zur Amplitudenmodulation verwenden wir das bevorzugte Trägersignal \[ x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_ct). \] +Dabei entseht wine Umhüllende kurve die unserem ursprünglichen signal \(m(t)\) entspricht. +\[ + x_c(t) = m(t) \cdot \cos(\omega_ct). +\] + +TODO: Bild Umhüllende + + Dies bringt den grossen Vorteil das, dass modulierend Signal sämtliche Anteile im Frequenzspektrum in Anspruch nimmt und das Trägersignal nur zwei komplexe Schwingungen besitzt. Dies sieht man besonders in der Eulerischen Formel @@ -21,10 +29,21 @@ Dies sieht man besonders in der Eulerischen Formel Dabei ist die negative Frequenz der zweiten komplexen Schwingung zwingend erforderlich, damit in der Summe immer ein reellwertiges Trägersignal ergibt. Nun wird der Parameter \(A_c\) durch das Modulierende Signal \(m(t)\) ersetzt, wobei so \(m(t) \leqslant |1|\) normiert wurde. -Dabei entseht wine Umhüllende kurve die unserem ursprünglichen signal \(m(t)\) entspricht. -\[ - x_c(t) = m(t) \cdot \cos(\omega_ct). -\] +\subsection{Frequenzspektrum} +\subsection{Frequenzspektrum} +Das Frequenzspektrum ist eine Darstellung von einem Signal im Frequenzbereich, das heisst man erkennt welche Frequenzen in einem Signal vorhanden sind. + +Das Frequenzspektrum zeigt uns wo welche Frequenzen sich befinden, dies ist gerade wichtig fürs Frequenzmultiplexen. +Frequenzmultiplexen braucht man um mehrere Nachrichten verteilt zu übertragen. +Dafür müsse wir \(x_c(t)\) Fourietransformieren da es nur zwei Summanden, wie \eqref{fm:eq:AM:euler} mit \(e^{+-j\omega_ct}\)gezeigt, verschiebt sich das Signal \(m(t)\) um die träger Frequenz \(\omega_ct\). +Ist zudem \(m(t) 0 \sin(\omega_m t)\) so vereinfacht sich die Darstellung auf Dirac Impulse die jeweils rechts und links vom Träger signal sind. +TODO Bild +Fürs Frequenzmultiplexen wird dann das Signal \(m(t)\) in die verschiedenen Frequenzen unterteilt um mehr Nachrichten zu übertragen. +Doch aufs Frequenzmultiplexen und weitere formen wie SSB und DSB möchte ich nicht weiter eingehen. +Diese können gerne im Nat Skript nachgelesen werden. + +Das sich unser Signal \(m(t)\) so mit dem Träger Signal verhält findet es man wieder gut beim empfangen, mit Hilfe der bandbreite weiss man was alles dazugehört. +Bei der Frequenzmodulation ist dies einwenig anders, dies sieht man auch (ref modulationsarten) \begin{figure} \centering @@ -35,13 +54,10 @@ Dabei entseht wine Umhüllende kurve die unserem ursprünglichen signal \(m(t)\) % TODO: Bilder -Hier beschrieib ich was AmplitudenModulation ist und mache dan den link zu Frequenzmodulation inkl Formel \[\cos( \cos x)\] -so wird beschrieben das daraus eigentlich \(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_i)\) wird und somit \(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c + \frac{d \varphi(t)}{dt})\). -Da \(\sin \) abgeleitet \(\cos \) ergibt, so wird aus dem \(m(t)\) ein \( \frac{d \varphi(t)}{dt}\) in der momentan frequenz. \[ \Rightarrow \cos( \cos x) \] -\subsection{Frequenzspektrum} -Das Frequenzspektrum ist eine Darstellung von einem Signal im Frequenzbereich, das heisst man erkennt welche Frequenzen in einem Signal vorhanden sind. -Dafür muss man eine Fouriertransformation vornehmen. -Wird aus dieser Gleichung \eqref{fm:eq:AM:euler}die Fouriertransformation vorggenommen, so erhält man +%Hier beschrieib ich was AmplitudenModulation ist und mache dan den link zu Frequenzmodulation inkl Formel \[\cos( \cos x)\] +%so wird beschrieben das daraus eigentlich \(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_i)\) wird und somit \(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c + \frac{d \varphi(t)}{dt})\). +%Da \(\sin \) abgeleitet \(\cos \) ergibt, so wird aus dem \(m(t)\) ein \( \frac{d \varphi(t)}{dt}\) in der momentan frequenz. \[ \Rightarrow \cos( \cos x) \] + % %Ein Ziel der Modulation besteht darin, mehrere Nachrichtensignale von verschiedenen Sendern gleichzeitig diff --git a/buch/papers/fm/02_FM.tex b/buch/papers/fm/02_FM.tex index a01fb69..a46b63c 100644 --- a/buch/papers/fm/02_FM.tex +++ b/buch/papers/fm/02_FM.tex @@ -10,58 +10,56 @@ (skript Nat ab Seite 60) Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren, bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an. -Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\) des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger. Sie ist pro- -%portional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) -%k p [rad], -%welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des -%modulierten Trägersignals abbildet: φ(t) = k p · m(t). Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersi- -%gnal: -%x PM (t) = A c · cos (ω c t + k p · m(t)) -%(5.16) -%Die modulierte Phase φ(t) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) -%ω i -%, welche wie folgt berechnet wird: -%f i = 2π -%ω i (t) = ω c + -%d φ(t) -%dt -%(5.17) -%Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen -%Kreisfrequenz ω i von der Trägerkreisfrequenz ω c proportional zum Nachrichtensignal m(t). Sie ergibt sich, -%indem m(t) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) k f [rad/s] ska- -%liert wird: ω i (t) = ω c + k f · m(t). Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz ω c -%verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase φ(t), welche wie folgt berechnet wird: -%φ(t) = -%Z t -%−∞ -%ω i (τ ) − ω c dτ = -%Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: -% -%Z t -%−∞ -%x FM (t) = A c · cos ω c t + k f -%k f · m(t) dτ -%Z t -%−∞ -% -%m(τ ) dτ -%(5.18) -%(5.19) -%Die Phase φ(t) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal x FM (t) weist keine -%Stellen auf, wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten -%Signalen – speziell auch bei digitalen FM-Signalen – von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Eng- -%lisch: continuous phase modulation). -%Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Mo- -%dulationsverfahren. Beide variieren sowohl die Phase φ wie auch die Momentanfrequenz ω i . Dadurch kann -%man leider nicht – wie vielleicht erhofft – je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersi- -%gnal unabhängig PM- und FM-modulieren, ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar -%vermischen würden. -% -%Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund -%dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. Jeweils vor der Modu- -%lation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder Integration durchgeführt wird, -%um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen. -%\subsection{Frequenzbereich} +Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\) +des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger. +Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) +\[ + k_p [rad], +\] +welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des +modulierten Trägersignals abbildet: \(\varphi(t) = k_p \cdot m(t)\). +Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal: +\[ + x_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t)) +\] +Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\) +, welche wie folgt berechnet wird: +\[ + f_i = 2\pi \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt} +\] +Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen +Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\). +Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: +\[ + \omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t). +\] +Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\) +verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\), +welche wie folgt berechnet wird: +\[ + \varphi (t) = + \int_{-\infty}^t \omega_i (\tau ) - \omega_c\, d\tau = + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m(t)\,d\tau +\] +%\intertext{Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: } +\[ + x_{FM} (t) = A_c \cdot \cos \left( \omega_c t + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m ( \tau) \,d\tau \right) +\] +Die Phase \(\varphi(t)\) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal \(x_{FM}(t)\) weist keine Stellen auf, + wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten + Signalen - speziell auch bei digitalen FM-Signalen - von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Englisch: continuous phase modulation). +Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Modulationsverfahren. +Beide variieren sowohl die Phase \(\varphi\) wie auch die Momentanfrequenz \(\omega_i.\) +Dadurch kannman leider nicht - wie vielleicht erhofft - je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersignal unabhängig PM- und FM-modulieren, + ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar vermischen würden. +Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, +dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. +Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe. +Jeweils vor der Modulation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder +Integration durchgeführt wird, um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen. +\citeauthor{fm:NAT} + +\subsection{Frequenzbereich} %Nun %TODO %Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum. |