diff options
Diffstat (limited to '')
| -rw-r--r-- | buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex | 239 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/dreieck/main.tex | 18 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/dreieck/references.bib | 36 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/dreieck/teil0.tex | 45 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/dreieck/teil1.tex | 88 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/dreieck/teil2.tex | 109 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/dreieck/teil3.tex | 70 |
7 files changed, 542 insertions, 63 deletions
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index 5f119e5..981e444 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -13,20 +13,30 @@ Operationen konstruieren lassen, sind die Polynome. \index{Polynom}% Ein {\em Polynome} vom Grad $n$ ist die Funktion \[ -p(x) = a_nx^2n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0, +p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0, \] wobei $a_n\ne 0$ sein muss. Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist. \index{normiert}% +\index{Grad eines Polynoms}% Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit $K[x]$ bezeichnet. \end{definition} Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$ -mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen ein -Ring mit $1$ ist. -Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$ -beschränken. +mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen eine +algebraische Struktur bildet, die man einen Ring mit $1$ nennt. +\index{Ring}% +Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{R}$ +und $K=\mathbb{C}$ beschränken. + +Für den Grad eines Polynoms gelten die bekannten Rechenregeln +\begin{align*} +\deg (a(x) + b(x)) &\le \operatorname{max}(\deg a(x), \deg b(x)) +\\ +\deg (a(x)\cdot b(x)) &=\deg a(x) + \deg b(x) +\end{align*} +für beliebige Polynome $a(x),b(x)\in K[x]$. In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine @@ -35,12 +45,14 @@ Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von Differentialgleichungen finden. Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen \[ -\mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z\biggr), +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z +\biggr), \] die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist. -Polynome sind also bereits eine Vielfältige Quelle von speziellen +Polynome sind also bereits eine vielfältige Quelle von speziellen Funktionen. Viele spezielle Funktionen werden aber komplizierter sein und @@ -53,6 +65,7 @@ Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen. \begin{satz}[Weierstrass] \label{buch:potenzen:satz:weierstrass} +\index{Weierstrass, Satz von}% Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$ lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig approximieren. @@ -69,6 +82,189 @@ ebenfalls als Approximationen dienen können. Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der numerischen Mathematik. +\subsection{Polynomdivision, Teilbarkeit und grösster gemeinsamer Teiler} +Der schriftliche Divisionsalgorithmus für Zahlen funktioniert +auch für die Division von Polynomen. +Zu zwei beliebigen Polynomen $p(x)$ und $q(x)$ lassen sich also +immer zwei Polynome $a(x)$ und $r(x)$ finden derart, dass +$p(x) = a(x) q(x) + r(x)$. +Das Polynom $a(x)$ heisst der {\em Quotient}, $r(x)$ der {\em Rest} +der Division. +Das Polynom $p(x)$ heisst {\em teilbar} durch $q(x)$, geschrieben +$q(x)\mid p(x)$, wenn $r(x)=0$ ist. + +\subsubsection{Grösster gemeinsamer Teiler} +Mit dem Begriff der Teilbarkeit geht auch die Idee des grössten +gemeinsamen Teilers einher. +Ein gemeinsamer Teiler zweier Polynome $a(x)$ und $b(x)$ +ist ein Polynom $g(x)$, welches beide Polynome teilt, also +$g(x)\mid a(x)$ und $g(x)\mid b(x)$. +\index{grösster gemeinsamer Teiler}% +Ein Polynome $g(x)$ heisst grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$ +und $b(x)$, wenn jeder andere gemeinsame Teiler $f(x)$ von $a(x)$ +und $b(x)$ auch ein Teiler von $g(x)$ ist. +Man beachte, dass die skalaren Vielfachen eines grössten gemeinsamen +Teilers ebenfalls grösste gemeinsame Teiler sind, der grösste gemeinsame +Teiler ist also nicht eindeutig bestimmt. + +\subsubsection{Der euklidische Algorithmus} +Zur Berechnung eines grössten gemeinsamen Teilers steht wie bei den +ganzen Zahlen der euklidische Algorithmus zur Verfügung. +Dazu bildet man die Folgen von Polynomen +\[ +\begin{aligned} +a_0(x)&=a(x) & b_0(x) &= b(x) +& +&\Rightarrow& +a_0(x)&=b_0(x) q_0(x) + r_0(x) && +\\ +a_1(x)&=b_0(x) & b_1(x) &= r_0(x) +& +&\Rightarrow& +a_1(x)&=b_1(x) q_1(x) + r_1(x) && +\\ +a_2(x)&=b_1(x) & b_2(x) &= r_1(x) +& +&\Rightarrow& +a_2(x)&=b_2(x) q_2(x) + r_2(x) && +\\ +&&&&&\hspace*{2mm}\vdots&& +\\ +a_{m-1}(x)&=b_{m-2}(x) & b_{m-1}(x) &= r_{m-2}(x) +& +&\Rightarrow& +a_{m-1}(x)&=b_{m-1}(x)q_{m-1}(x) + r_{m-1}(x) &\text{mit }r_{m-1}(x)&\ne 0 +\\ +a_m(x)&=b_{m-1}(x) & b_m(x)&=r_{m-1}(x) +& +&\Rightarrow& +a_m(x)&=b_m(x)q_m(x).&& +\end{aligned} +\] +Der Index $m$ ist der Index, bei dem zum ersten Mal $r_m(x)=0$ ist. +Dann ist $g(x)=r_{m-1}(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler. + +\subsubsection{Der erweiterte euklidische Algorithmus} +Die Konstruktion der Folgen $a_n(x)$ und $b_n(x)$ kann in Matrixform +kompakter geschrieben werden als +\[ +\begin{pmatrix} +a_k(x)\\ +b_k(x) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +b_{k-1}(x)\\ +r_{k-1}(x) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0 & 1\\ +1 & -q_{k-1}(x) +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +a_{k-1}(x)\\ +b_{k-1}(x) +\end{pmatrix}. +\] +Kürzen wir die $2\times 2$-Matrix als +\[ +Q_k(x) = \begin{pmatrix} 0&1\\1&-q_k(x)\end{pmatrix} +\] +ab, dann ergibt das Produkt der Matrizen $Q_0(x)$ bis $Q_{m}(x)$ +\[ +\begin{pmatrix} +g(x)\\ +0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +r_{m-1}(x)\\ +r_{m}(x) +\end{pmatrix} += +Q_{m}(x) +Q_{m-1}(x) +\cdots +Q_1(x) +Q_0(x) +\begin{pmatrix} +a(x)\\ +b(x) +\end{pmatrix}. +\] +Zur Berechnung des Produktes der Matrizen $Q_k(x)$ kann man rekursiv +vorgehen mit der Rekursionsformel +\[ +S_{k}(x) = Q_{k}(x) S_{k-1}(x) +\qquad\text{mit}\qquad +S_{-1}(x) += +\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. +\] +Ausgeschrieben bedeutet dies Matrixrekursionsformel +\[ +S_{k-1}(x) += +\begin{pmatrix} +c_{k-1} & d_{k-1} \\ +c_k & d_k +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +Q_{k}(x) S_{k-1}(x) += +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-q_k(x) +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +c_{k-1} & d_{k-1} \\ +c_k & d_k +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +c_k&d_k\\ +c_{k+1}&d_{k+1} +\end{pmatrix}. +\] +Daraus lässt sich für die Matrixelemente die Rekursionsformel +\[ +\begin{aligned} +c_{k+1} &= c_{k-1} - q_k(x) c_k(x) \\ +d_{k+1} &= d_{k-1} - q_k(x) d_k(x) +\end{aligned} +\quad +\bigg\} +\qquad +\text{mit Startwerten} +\qquad +\bigg\{ +\begin{aligned} +\quad +c_{-1} &= 1, & c_0 &= 0 \\ +d_{-1} &= 0, & d_0 &= 1. +\end{aligned} +\] +Wendet man die Matrix $S_m(x)$ auf den Vektor mit den Komponenten +$a(x)$ und $b(x)$, erhält man die Beziehungen +\[ +g(x) = c_{k-1}(x) a(x) + d_{k-1}(x) b(x) +\qquad\text{und}\qquad +0 = c_k(x) a(x) + d_k(x) b(x). +\] +Dieser Algorithmus heisst der erweiterte euklidische Algorithmus. +Wir fassen die Resultate zusammen im folgenden Satz. + +\begin{satz} +Zu zwei Polynomen $a(x),b(x) \in K[x]$ gibt es Polynome +$g(x),c(x),d(x)\in K[x]$ +derart, dass $g(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$ und $b(x)$ +ist, und ausserdem +\[ +g(x) = c(x)a(x)+d(x)b(x) +\] +gilt. +\end{satz} + \subsection{Faktorisierung und Nullstellen} % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe % die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln @@ -77,11 +273,24 @@ numerischen Mathematik. % Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen -\subsection{Polynom-Berechnung} -Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms beginnt mit der Berechnung -der Potenzen. -Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann minimiert werden, indem man -das Polynom als +\subsection{Berechnung von Polynom-Werten} +Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms $p(x)$ vom Grad $n$ +beginnt mit der Berechnung der Potenzen von $x$. +Da alle Potenzen benötigt werden, wird man dazu $n-1$ Multiplikationen +benötigen. +Die Potenzen müssen anschliessend mit den Koeffizienten multipliziert +werden, dazu sind weitere $n$ Multiplikationen nötig. +Der Wert des Polynoms kann also erhalten werden mit $2n-1$ Multiplikationen +und $n$ Additionen. + +Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann mit dem folgenden Vorgehen +reduziert werden, welches auch als das {\em Horner-Schema} bekannt ist. +\index{Horner-Schema}% +Statt erst am Schluss alle Terme zu addieren, addiert man so früh +wie möglich. +Zum Beispiel multipliziert man $(a_nx+a_{n-1})$ mit $x$, was auf +die Multiplikationen beider Terme mit $x$ hinausläuft. +Mit dieser Idee kann man das Polynom als \[ a_nx^n + @@ -95,10 +304,10 @@ a_0 = ((\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots )x+a_1)x+a_0 \] -schreibt. +schreiben. Beginnend bei der innersten Klammer sind genau $n$ Multiplikationen -und $n+1$ Additionen nötig, im Gegensatz zu $2n$ Multiplikationen -und $n$ Additionen bei der naiven Vorgehensweise. +und $n$ Additionen nötig, man spart mit diesem Vorgehen also +$n-1$ Multiplikationen. diff --git a/buch/papers/dreieck/main.tex b/buch/papers/dreieck/main.tex index 75ba410..b9f8c3b 100644 --- a/buch/papers/dreieck/main.tex +++ b/buch/papers/dreieck/main.tex @@ -3,19 +3,19 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Dreieckstest und Beta-Funktion\label{chapter:dreieck}} -\lhead{Dreieckstest und Beta-Funktion} +\chapter{$\int P(t) e^{-t^2} \,dt$ in geschlossener Form? +\label{chapter:dreieck}} +\lhead{Integrierbarkeit in geschlossener Form} \begin{refsection} \chapterauthor{Andreas Müller} \noindent -Mit dem Dreieckstest kann man feststellen, wie gut ein Geruchs- -oder Geschmackstester verschiedene Gerüche oder Geschmäcker -unterscheiden kann. -Seine wahrscheinlichkeitstheoretische Erklärung benötigt die Beta-Funktion, -man kann die Beta-Funktion als durchaus als die mathematische Grundlage -der Weindegustation -bezeichnen. +Der Risch-Algorithmus erlaubt, eine definitive Antwort darauf zu geben, +ob eine elementare Funktion eine Stammfunktion in geschlossener Form hat. +Der Algorithmus ist jedoch ziemlich kompliziert. +In diesem Kapitel soll ein spezieller Fall mit Hilfe der Theorie der +orthogonale Polynome, speziell der Hermite-Polynome, behandelt werden, +wie er in der Arbeit \cite{dreieck:polint} behandelt wurde. \input{papers/dreieck/teil0.tex} \input{papers/dreieck/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib index d2bbe08..47bd865 100644 --- a/buch/papers/dreieck/references.bib +++ b/buch/papers/dreieck/references.bib @@ -4,32 +4,12 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{dreieck:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} +@article{dreieck:polint, + author = { George Stoica }, + title = { Polynomials and Integration in Finite Terms }, + journal = { Amer. Math. Monthly }, + volume = 129, + year = 2022, + number = 1, + pages = {80--81} } - -@book{dreieck:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{dreieck:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} -} - diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex index bcf2cf8..584f12b 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil0.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex @@ -3,7 +3,48 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Testprinzip\label{dreieck:section:testprinzip}} -\rhead{Testprinzip} +\section{Problemstellung\label{dreieck:section:problemstellung}} +\rhead{Problemstellung} +Es ist bekannt, dass das Fehlerintegral +\[ +\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2\sigma}}\,dt +\] +nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann. +Mit der in Kapitel~\ref{buch:chapter:integral} skizzierten Theorie von +Liouville und dem Risch-Algorithmus kann dies strengt gezeigt werden. +Andererseits gibt es durchaus Integranden, die $e^{-t^2}$ enthalten, +für die eine Stammfunktion in geschlossener Form gefunden werden kann. +Zum Beispiel folgt aus der Ableitung +\[ +\frac{d}{dt} e^{-t^2} += +-2te^{-t^2} +\] +die Stammfunktion +\[ +\int te^{-t^2}\,dt += +-\frac12 e^{-t^2}. +\] +Leitet man $e^{-t^2}$ zweimal ab, erhält man +\[ +\frac{d^2}{dt^2} e^{-t^2} += +(4t^2-2) e^{-t^2} +\qquad\Rightarrow\qquad +\int (t^2-\frac12) e^{-t^2}\,dt += +\frac14 +e^{-t^2}. +\] +Es gibt also eine viele weitere Polynome $P(t)$, für die der Integrand +$P(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener Form hat. +Damit stellt sich jetzt das folgende allgemeine Problem. + +\begin{problem} +\label{dreieck:problem} +Für welche Polynome $P(t)$ hat der Integrand $P(t)e^{-t^2}$ +eine elementare Stammfunktion? +\end{problem} diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex index 4abe2e1..f03c425 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex @@ -3,9 +3,91 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion -\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}} -\rhead{} +\section{Hermite-Polynome +\label{dreieck:section:hermite-polynome}} +\rhead{Hermite-Polyome} +In Abschnitt~\ref{dreieck:section:problemstellung} hat sich schon angedeutet, +dass die Polynome, die man durch Ableiten von $e^{-t^2}$ erhalten +kann, bezüglich des gestellten Problems besondere Eigenschaften +haben. +Zunächst halten wir fest, dass die Ableitung einer Funktion der Form +$P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ +\begin{equation} +\frac{d}{dt} P(t)e^{-t^2} += +P'(t)e^{-t^2} -2tP(t)e^{-t^2} += +(P'(t)-2tP(t)) e^{-t^2} +\label{dreieck:eqn:ableitung} +\end{equation} +ist. +Insbesondere hat die Ableitung wieder die Form $Q(t)e^{-t^2}$ +mit einem Polynome $Q(t)$, welches man auch als +\[ +Q(t) += +e^{t^2}\frac{d}{dt}P(t)e^{-t^2} +\] +erhalten kann. +Die Polynome, die man aus der Funktion $H_0(t)=e^{-t^2}$ durch +Ableiten erhalten kann, wurden bereits in +Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues} +bis auf ein Vorzeichen hergeleitet, sie heissen die Hermite-Polynome +und es gilt +\[ +H_n(t) += +(-1)^n +e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} e^{-t^2}. +\] +Das Vorzeichen dient dazu sicherzustellen, dass der Leitkoeffizient +immer $1$ ist. +Das Polynom $H_n(t)$ hat den Grad $n$. + +In Abschnitt wurde auch gezeigt, dass die Polynome $H_n(t)$ +bezüglich des Skalarproduktes +\[ +\langle f,g\rangle_{w} += +\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t)e^{-t^2}\,dt, +\qquad +w(t)=e^{-t^2}, +\] +orthogonal sind. +Ausserdem folgt aus \eqref{dreieck:eqn:ableitung} +die Rekursionsbeziehung +\begin{equation} +H_{n}(t) += +2tH_{n-1}(t) +- +H_{n-1}'(t) +\label{dreieck:eqn:rekursion} +\end{equation} +für $n>0$. + +Im Hinblick auf die Problemstellung ist jetzt die Frage interessant, +ob die Integranden $H_n(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener +Form haben. +Mit Hilfe der Rekursionsbeziehung~\eqref{dreieck:eqn:rekursion} +kann man für $n>0$ unmittelbar verifizieren, dass +\begin{align*} +\int H_n(t)e^{-t^2}\,dt +&= +\int \bigl( 2tH_{n-1}(t) - H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt +\\ +&= +-\int \bigl( \exp'(-t^2) H_{n-1}(t) + H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt +\\ +&= +-\int \bigl( e^{-t^2}H_{n-1}(t)\bigr)' \,dt += +-e^{-t^2}H_{n-1}(t) +\end{align*} +ist. +Für $n>0$ hat also $H_n(t)e^{-t^2}$ eine elementare Stammfunktion. +Die Hermite-Polynome sind also Lösungen für das +Problem~\ref{dreieck:problem}. diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex index 83ea3cb..c5a2826 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil2.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex @@ -3,7 +3,110 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Wahrscheinlichkeiten im Dreieckstest -\label{dreieck:section:wahrscheinlichkeiten}} -\rhead{Wahrscheinlichkeiten} +\section{Beliebige Polynome +\label{dreieck:section:beliebig}} +\rhead{Beliebige Polynome} +Im Abschnitt~\ref{dreieck:section:hermite-polynome} wurden die +Hermite-Polynome $H_n(t)$ mit $n>0$ als Lösungen des gestellten +Problems erkannt. +Eine Linearkombination von solchen Polynomen hat natürlich +ebenfalls eine elementare Stammfunktion. +Das Problem kann daher neu formuliert werden: + +\begin{problem} +\label{dreieck:problem2} +Welche Polynome $P(t)$ lassen sich aus den Hermite-Polynomen +$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren. +\end{problem} + +Sei jetzt +\[ +P(t) = p_0 + p_1t + \ldots + p_{n-1}t^{n-1} + p_nt^n +\] +ein beliebiges Polynom vom Grad $n$. +Eine elementare Stammfunktion von $P(t)e^{-t^2}$ existiert sicher, +wenn sich $P(t)$ aus den Funktionen $H_n(t)$ mit $n>0$ linear +kombinieren lässt. +Gesucht ist also zunächst eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination +von Hermite-Polynomen. + +\begin{lemma} +Jedes Polynome $P(t)$ vom Grad $n$ lässt sich auf eindeutige Art und +Weise als Linearkombination +\begin{equation} +P(t) = a_0H_0(t) + a_1H_1(t) + \ldots + a_nH_n(t) += +\sum_{k=0}^n a_nH_n(t) +\label{dreieck:lemma} +\end{equation} +von Hermite-Polynomen schreiben. +\end{lemma} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst halten wir fest, dass aus der +Rekursionsformel~\eqref{dreieck:rekursion} +folgt, dass der Leitkoeffizient bei jedem Rekursionsschnitt +mit $2$ multipliziert wird. +Der Leitkoeffizient von $H_n(t)$ ist also $2^n$. + +Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion. +Für $n=0$ ist $P(t)=p_0 = p_0 H_0(t)$ als Linearkombination von +Hermite-Polynomen darstellbar, dies ist die Induktionsverankerung. + +Nehmen wir jetzt an, dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als +Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$ schreiben +lässt und untersuchen wir $P(t)$ vom Grad $n$. +Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist +\[ +P(t) += +\underbrace{\biggl(P(t) - \frac{p_n}{2^n} H_n(t)\biggr)}_{\displaystyle = Q(t)} ++ +\frac{p_n}{2^n} H_n(t). +\] +Das Polynom $Q(t)$ hat Grad $n-1$, besitzt also nach Induktionsannahme +eine Darstellung +\[ +Q(t) = a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) +\] +als Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$. +Somit ist +\[ +P(t) += a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) + +\frac{p_n}{2^n} H_n(t) +\] +eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination der Polynome +$H_0(t),\dots,H_n(t)$. +Damit ist der Induktionsschritt vollzogen und das Lemma für alle +$n$ bewiesen. +\end{proof} + +\begin{satz} +\label{dreieck:satz1} +Die Funktion $P(t)e^{-t^2}$ hat genau dann eine elementare Stammfunktion, +wenn in der Darstellung~\eqref{dreieck:lemma} +von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynome $a_0=0$ gilt. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Es ist +\begin{align*} +\int P(t)e^{-t^2}\,dt +&= +a_0\int e^{-t^2}\,dt ++ +\int +\sum_{k=1} a_kH_k(t)\,dt +\\ +&= +\frac{\sqrt{\pi}}2 +\operatorname{erf}(t) ++ +\sum_{k=1} a_k\int H_k(t)\,dt. +\end{align*} +Da die Integrale in der Summe alle elementar darstellbar sind, +ist das Integral genau dann elementar, wenn $a_0=0$ ist. +\end{proof} + diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex index e2dfd6b..888ceb6 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex @@ -3,8 +3,72 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Erweiterungen -\label{dreieck:section:erweiterungen}} -\rhead{Erweiterungen} +\section{Integralbedingung +\label{dreieck:section:integralbedingung}} +\rhead{Lösung} +Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das +Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} etwas anders zu formulieren. + +Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die +orthonormierten Polynome +\[ +\tilde{H}_n(t) += +\frac{1}{\| H_n\|_w} H_n(t) +\qquad\text{mit}\quad +\|H_n\|_w^2 += +\int_{-\infty}^\infty H_n(t)e^{-t^2}\,dt +\] +bilden. +Da diese Polynome eine orthonormierte Basis des Vektorraums der Polynome +bilden, kann die gesuchte Zerlegung eines Polynoms $P(t)$ auch mit +Hilfe des Skalarproduktes gefunden werden: +\begin{align*} +P(t) +&= +\sum_{k=1}^n +\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w +\tilde{H}_k(t) += +\sum_{k=1}^n +\biggl\langle \frac{H_k}{\|H_k\|_w}, P\biggr\rangle_w +\frac{H_k(t)}{\|H_k\|_w} += +\sum_{k=1}^n +\underbrace{ +\frac{ \langle H_k, P\rangle_w }{\|H_k\|_w^2} +}_{\displaystyle =a_k} +H_k(t). +\end{align*} +Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen +hat die Koeffizienten +\[ +a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}. +\] +Aus dem Kriterium $a_0=0$ dafür, dass eine elementare Stammfunktion +von $P(t)e^{-t^2}$ existiert, wird daher die Bedingung, dass +$\langle H_0,P\rangle_w=0$ ist. +Da $H_0(t)=1$ ist, folgt als Bedingung +\[ +a_0 += +\langle H_0,P\rangle_w += +\int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2}\,dt += +0. +\] + +\begin{satz} +Ein Integrand der Form $P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ +hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn +\[ +\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 +\] +ist. +\end{satz} + + |