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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index c0a6e8f..82046ba 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -3,12 +3,3 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Beispiele -\label{sturmliouville:sec:examples}} -\rhead{Beispiele} - -% Fourier: Erik work -\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} - -% Tschebyscheff -\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 6c5fb59..9912595 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -36,7 +36,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + + \frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) + \lambda w(x)) y = 0 @@ -49,12 +49,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer -Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index a36e85a..9d4ce96 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -23,12 +23,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind. -\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" -\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} +\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} + %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems -\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex} -%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome +\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} + +% Fourier: Erik work +\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} + +% Tschebyscheff +\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index dfc6798..d5c2dc6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff-Polynome +\section{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der @@ -14,7 +14,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. -\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} +\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} @@ -25,8 +25,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + - (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + \frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) + + \biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y = 0 \end{equation} @@ -34,7 +34,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. -\subsubsection*{Randwertproblem} +\subsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, @@ -61,7 +61,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} +\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -89,14 +89,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu illustriert. Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. + \int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0. \] Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= - \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + \biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\ &= 0. \end{aligned} \] diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 356e259..f888d02 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems +\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems (Wärmeleitung)} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab @@ -34,7 +34,7 @@ Tempreatur gehalten werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen % -\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene @@ -54,7 +54,7 @@ als Randbedingungen. % Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden % -\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} +\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab @@ -80,7 +80,7 @@ als Randbedingungen. % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation % -\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} +\subsection{Lösung der Differenzialgleichung} Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz die Separationsmethode verwendet. @@ -191,7 +191,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -360,10 +360,10 @@ wie auch mit isolierten Enden \end{equation} % TODO: infinite base vectors and fourier series -\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} +\subsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} % TODO: check ease of reading -\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} +\subsection{Berechnung der Koeffizienten} % TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection @@ -625,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom @@ -656,7 +656,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. % TODO: elaborate -\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} u(t,x) @@ -670,7 +670,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. \end{aligned} \] -\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} +\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} \[ \begin{aligned} u(t,x) |