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diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex index a071ae2..a112e33 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex @@ -15,6 +15,11 @@ Doch woher weiss man, dass es keine solche Funktion gibt, und was heisst überhaupt ``Stammfunktion in geschlossener Form''? In diesem Abschnitt wird daher ein algebraischer Rahmen entwickelt, in dem diese Frage sinnvoll gestellt werden kann. +Das ultimative Ziel, welches aber erst in +Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} in Angriff genommen +wird, ist ein Computer-Algorithmus, der Integrale in geschlossener +Form findet oder beweist, dass dies für einen gegebenen Integranden +nicht möglich ist. \input{chapters/060-integral/rational.tex} \input{chapters/060-integral/erweiterungen.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/diffke.tex b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex index 02e90f6..61badc8 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/diffke.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex @@ -106,6 +106,94 @@ Die Menge $C$ heisst der {\em Konstantenkörper} von $\mathscr{F}$. \index{Konstantenkörper}% % +% Ableitung algebraischer Elemente +% +\subsubsection{Ableitung und algebraische Körpererweiterungen} +Die Rechenregeln in einem Differentialkörper $\mathscr{F}$ legen auch die +Ableitung eines algebraischen Elements fest. +Sei $m(z)=m_0+m_1z+\ldots+m_{n-1}z^{n-1}+z^n$ das Minimalpolynom eines +über $\mathscr{F}$ algebraischen Elements $f$. +Aus $m(f)=0$ folgt durch Ableiten +\[ +0 += +m(f)' += +m_0' ++ +(m_1'f+m_1f') ++ +(m_2'f + m_12f'f) ++ +\ldots ++ +(m_{n-1}'f^{n-1} + m_{n-1} (n-1)f'f^{n-2}) ++ +nf'f^{n-1}. +\] +Zusammenfassen der Ableitung $f'$ auf der linken Seite liefert die +Gleichung +\[ +f'( +m_1+2m_2f+\ldots+(n-1)m_{n-1}f^{n-2}+nf^{n-1} +) += +m_0' + m_1'f + m_2'f^2 + \ldots + m_{n-1}'f^{n-1} + f^n, +\] +aus der +\[ +f' += +\frac{ +m_0' + m_1'f + m_2'f^2 + \ldots + m_{n-1}'f^{n-1} + f^n +}{ +m_1+2m_2f+\ldots+(n-1)m_{n-1}f^{n-2}+nf^{n-1} +} +\] +als Element von $\mathscr{F}(g)$ berechnet werden kann. +Die Ableitungsoperation lässt sich somit auf die Körpererweiterung +$\mathscr{F}(f)$ fortsetzen. + +\begin{beispiel} +Das über $\mathbb{Q}(x)$ algebraische Element $y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ +hat das Minimalpolynom +\[ +m(z) += +z^2 - [ax^2+bx+c] +\in +\mathbb{Q}(x)[z] +\] +mit Koeffizienten $m_0 = ax^2+bx+c,$ $m_1=0$ und $m_2=1$. +Es hat die Ableitung +\[ +y' += +\frac{m_0'}{2m_2y} += +\frac{ +2ax+b +}{ +2y +} +\in +\mathbb{Q}(x,y) +\] +wegen $m_0'=2ax+b$. +\end{beispiel} + +\begin{definition} +Eine differentielle Körpererweiterung ist eine Körpererweiterung +$\mathscr{K}\subset\mathscr{F}$ von Differentialkörpern derart, dass +die Ableitungen $D_{\mathscr{K}}$ in $\mathscr{K}$ +und $D_{\mathscr{F}}$ in $\mathscr{F}$ übereinstimmen: +\( +D_{\mathscr{K}}g= D_{\mathscr{F}} g +\) +für alle $g\in\mathscr{K}$. +\end{definition} + +% % Logarithmus und Exponantialfunktion % \subsubsection{Logarithmus und Exponentialfunktion} @@ -116,6 +204,7 @@ Sie zeichnen sich aber durch besondere Ableitungseigenschaften aus. Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen garantiert, dass eine Funktion durch eine Differentialgleichung und Anfangsbedingungen festgelegt ist. +\label{buch:integral:expundlog} Für die Exponentialfunktion und der Logarithmus haben die Ableitungseigenschaften \[ @@ -128,10 +217,19 @@ x \log'(x) = 1. In der algebraischen Beschreibung eines Funktionenkörpers gibt es das Konzept des Wertes einer Funktion an einer bestimmten Stelle nicht. Somit können keine Anfangsbedingungen vorgegeben werden. -Da die Gleichungen linear sind, sind Vielfache einer Lösung wieder -Lösungen. -Insbesondere ist mit $\exp(x)$ auch $a\exp(x)$ eine Lösung und mit -$\log(x)$ auch $a\log(x)$ für alle Konstanten $a$. +Da die Gleichung für $\exp$ linear sind, sind Vielfache einer Lösung wieder +Lösungen, +insbesondere ist mit $\exp(x)$ auch $a\exp(x)$ eine Lösung. +Die Gleichung für $\log$ ist nicht linear, aber es ist +$\log'(x) = 1/x$, $\log$ ist eine Stammfunktion von $1/x$, die +nur bis auf eine Konstante bestimmt ist. +Tatsächlich gilt +\[ +x(\log(x)+a)' += +x\log(x) + xa' = x\log(x)=1, +\] +die Funktion $\log(x)+a$ ist also auch eine Lösung für den Logarithmus. Die Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion des Logarithmus ist, lässt sich mit den Mitteln eines Differentialkörpers diff --git a/buch/chapters/060-integral/elementar.tex b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex index 854a875..fd5f051 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/elementar.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex @@ -13,3 +13,202 @@ Die Stammfunktionen verwenden dieselben Funktionen oder höchstens Erweiterungen um Logarithmen von Funktionen, die man schon im Integranden gesehen hat. +% +% Exponentielle und logarithmische Funktione +% +\subsubsection{Exponentielle und logarithmische Funktionen} +In Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:diffke} haben wir +bereits die Exponentialfunktion $e^x$ und die Logarithmusfunktion +$\log x$ charakterisiert als eine Körpererweiterung durch +Elemente, die der Differentialgleichung +\[ +\exp' = \exp +\qquad\text{und}\qquad +\log' = \frac{1}{x} +\] +genügen. +Für die Stammfunktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:logexp} +gefunden wurden, sind aber Logarithmusfunktionen nicht von +$x$ sondern von beliebigen über $\mathbb{Q}$ algebraischen Elementen +nötig. +Um zu verstehen, wie wir diese Funktion als Körpererweiterung erhalten +könnten, betrachten wir die Ableitung einer Exponentialfunktion +$\vartheta(x) = \exp(f(x))$ und eines +Logarithmus +$\psi(x) = \log(f(x))$, wie man sie mit der Kettenregel +berechnet hätte: +\begin{align*} +\vartheta'(x) +&=\exp(f(x)) \cdot f'(x) +& +\psi'(x) +&= +\frac{f'(x)}{f(x)} +\quad\Leftrightarrow\quad +f(x)\psi'(x) += +f'(x). +\end{align*} +Dies motiviert die folgende Definition + +\begin{definition} +\label{buch:integral:def:explog} +Sei $\mathscr{F}$ ein Differentialklörper und $f\in\mathscr{F}$. +Ein Exponentialfunktion von $f$ ist ein $\vartheta\in \mathscr{F}$mit +$\vartheta' = \vartheta f'$. +Ein Logarithmus von $f$ ist ein $\vartheta\in\mathscr{F}$ mit +$f\vartheta'=f'$. +\end{definition} + +Für $f=x$ mit $f'=1$ reduziert sich die +Definition~\ref{buch:integral:def:explog} +auf die Definition der Exponentialfunktion $\exp(x)$ und +Logarithmusfunktion $\log(x)$ auf Seite~\pageref{buch:integral:expundlog}. + + +% +% +% +\subsubsection{Transzendente Körpererweiterungen} +Die Wurzelfunktionen haben wir früher als algebraische Erweiterungen +eines Differentialkörpers erkannt. +Die logarithmischen und exponentiellen Elemente gemäss +Definition~\ref{buch:integral:def:explog} sind nicht algebraisch. + +\begin{definition} +\label{buch:integral:def:transzendent} +Sei $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ eine Körpererweiterung und +$\vartheta\in\mathscr{G}$. +$\vartheta$ heisst {\em transzendent}, wenn $\vartheta$ nicht +algebraisch ist. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Die Funktion $f = e^x + e^{2x} + e^{x/2}$ ist sicher transzendent, +in diesem Beispiel zeigen wir, dass es mindestens drei verschiedene +Möglichkeiten gibt, eine Körpererweiterung von $\mathbb{Q}(x)$ zu +konstruieren, die $f$ enthält. + +Erste Möglichkeit: $f=\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3$ mit +$\vartheta_1=e^x$, +$\vartheta_2=e^{2x}$ +und +$\vartheta_3=e^{x/2}$. +Jedes der Elemente $\vartheta_i$ ist exponentiell über $\mathbb{Q}(x)$ und +$f$ ist in +\[ +\mathbb{Q}(x) +\subset +\mathbb{Q}(x,\vartheta_1) +\subset +\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_2) +\subset +\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_2,\vartheta_3) +\ni +f. +\] +Jede dieser Körpererweiterungen ist transzendent. + +Zweite Möglichkeit: $\vartheta_1=e^x$ ist exponentiell über +$\mathbb{Q}(x)$ und $\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)$ enthält wegen +\[ +(\vartheta_1^2)' += +2\vartheta_1\vartheta_1' += +2\vartheta_1^2, +\] +somit ist $\vartheta_1^2=\vartheta_2$ eine Exponentialfunktion von $2x$ +über $\mathbb{Q}(x)$. +Das Element $\vartheta_3=e^{x/2}$ ist zwar auch exponentiell über +$\mathbb{Q}(x)$, es ist aber auch eine Nullstelle des Polynoms +$m(z)=z^2-[\vartheta_1]$. +Die Erweiterung +$\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)\subset\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_3)$ +ist eine algebraische Erweiterung, die +$f=\vartheta_1 + \vartheta_1^2+\vartheta_3$ enthält. + +Dritte Möglichkeit: $\vartheta_3=e^{x/2}$ ist exponentiell über +$\mathbb{Q}(x)$. +Die transzendente Körpererweiterung +\[ +\mathbb{Q}(x) \subset \mathbb{Q}(x,\vartheta_3) +\] +enthält das Element +$f=\vartheta_3^4+\vartheta_3^2 + \vartheta_3 $. +\end{beispiel} + +Das Beispiel zeigt, dass man nicht sagen kann, dass eine Funktion +ausschliesslich in einer algebraischen oder transzendenten Körpererweiterung +zu finden ist. +Vielmehr gibt es für die gleiche Funktion möglicherweise verschiedene +Körpererweiterungen, die alle die Funktion enthalten können. + +% +% Elementare Funktionen +% +\subsubsection{Elementare Funktionen} +Die Stammfunktionen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +können aufgebaut werden, indem man dem Körper $\mathbb{Q}(x)$ schrittweise +sowohl algebraische wie auch transzendente Elemente hinzufügt, +wie in der folgenden Definition, die dies für abstrakte +Differentialkörpererweiterungen formuliert. + +\begin{definition} +Eine Körpererweiterung $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ heisst +{\em transzendente elementare Erweiterung}, wenn +$\mathscr{G} = \mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ und +jedes der Element $\vartheta_i$ transzendent und logarithmisch oder +exponentiell ist über +$\mathscr{F}_{i-1}=\mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_{i-1})$. +Die Körpererweiterung $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ heisst +{\em elementare Erweiterung}, wenn +$\mathscr{G} = \mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ und +jedes Element $\vartheta_i$ ist entweder logarithmisch, exponentiell +oder algebraisch über $\mathscr{F}_{i-1}$. +\end{definition} + +Die Funktionen, die als akzeptable Stammfunktionen für das Integrationsproblem +in Betracht kommen, sind also jene, die in einer geeigneten elementaren +Erweiterung des von $\mathbb{Q}(x)$ liegen. +Ausserdem können auch noch weitere Konstanten nötig sein, sowohl +algebraische Zahlen wie auch Konstanten wie $\pi$ oder $e$. + +\begin{definition} +Sei $\mathscr{K}(x)$ der Differentialklörper der rationalen Funktionen +über dem Konstantenkörper $\mathscr{K}\supset\mathbb{Q}$, der in $\mathbb{C}$ +enthalten ist. +Ist $\mathscr{F}\supset \mathscr{K}(x)$ eine transzendente elementare +Erweiterung von $\mathscr{K}(x)$, dann heisst $\mathscr{F}$ +ein Körper von {\em transzendenten elementaren Funktionen}. +Ist $\mathscr{F}$ eine elementare Erweiterung von $\mathscr{K}(x)$, dann +heisst $\mathscr{F}$ ein Körper von {\em elementaren Funktionen}. +\end{definition} + +\subsubsection{Das Integrationsproblem} +Die elementaren Funktionen enthalten alle Funktionen, die sich mit +arithmetischen Operationen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und +damit auch mit trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen und ihren +Umkehrfunktionen aus den rationalen Zahlen, der unabhängigen Variablen $x$ +und möglicherweise einigen zusätzlichen Konstanten aufbauen lassen. +Sei also $f$ eine Funktion in einem Körper von elementaren +Funktionen +\[ +\mathscr(F) += +\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_l)(x,\vartheta_1,\dots,\vartheta_n). +\] +Eine elementare Stammfunktion ist eine Funktion $F=\int f$ in einer +elementaren Körpererweiterung +\[ +\mathscr{G} += +\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_l,\dots,\alpha_{l+k}) +(x,\vartheta_1,\dots,\vartheta_n,\dots,\vartheta_{n+m}) +\] +mit $F'=f$. +Das Ziel ist, $F$ mit Hilfe eines Algorithmus zu bestimmen. + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex index a999ebb..9138f3e 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex @@ -97,8 +97,8 @@ a_i\in K \} \label{buch:integral:eqn:algelement} \end{equation} -mit $n=\deg m(x) - 1$ der durch Adjunktion von $\alpha$ erhaltene -Erweiterungsköper. +mit $n=\deg m(x) - 1$ der durch {\em Adjunktion} oder Hinzufügen +von $\alpha$ erhaltene Erweiterungsköper. \end{definition} Wieder muss nur überprüft werden, dass jedes Produkt oder jeder @@ -151,7 +151,9 @@ Die Menge $\mathbb{Q}(i)$ ist daher eine algebraische Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$ bestehend aus den komplexen Zahlen mit rationalem Real- und Imaginärteil. +% % Transzendente Körpererweiterungen +% \subsubsection{Transzendente Erweiterungen} Nicht alle Zahlen in $\mathbb{R}$ sind algebraisch. Lindemann bewies 1882 einen allgemeinen Satz, aus dem folgt, @@ -201,7 +203,9 @@ $K\subset K(\alpha)$ ist zwar immer noch eine Körpererweiterung, aber $K(\alpha)$ ist nicht mehr ein endlichdimensionaler Vektorraum. Die Körpererweiterung $K\subset K(\alpha)$ heisst {\em transzendent}. +% % rationale Funktionen als Körpererweiterungen +% \subsubsection{Rationale Funktionen als Körpererweiterung} Die unabhängige Variable wird bei Rechnen so behandelt, dass die Potenzen alle linear unabhängig sind. @@ -209,7 +213,9 @@ Dies ist die Grundlage für den Koeffizientenvergleich. Der Körper der rationalen Funktion $K(x)$ ist also eine transzendente Körpererweiterung von $K$. +% % Erweiterungen mit algebraischen Funktionen +% \subsubsection{Algebraische Funktionen} Für das Integrationsproblem möchten wir nicht nur rationale Funktionen verwenden können, sondern auch Wurzelfunktionen. @@ -246,4 +252,92 @@ $y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ zu $K(x,y)=K(x,\sqrt{ax^2+bx+c}$ erweitert. Wurzelfunktion werden daher nicht als Zusammensetzungen, sondern als algebraische Erweiterungen eines Funktionenkörpers betrachtet. +% +% Konjugation +% +\subsubsection{Konjugation} +Die komplexen Zahlen sind die algebraische Erweiterung der reellen Zahlen +um die Nullstelle $i$ des Polynoms $m(x)=x^2+1$. +Die Zahl $-i$ ist aber auch eine Nullstelle von $m(x)$, die mit algebraischen +Mitteln nicht von $i$ unterscheidbar ist. +Die komplexe Konjugation $a+bi\mapsto a-bi$ vertauscht die beiden +\index{Konjugation, komplexe}% +\index{komplexe Konjugation}% +Nullstellen des Minimalpolynoms. + +Ähnliches gilt für die Körpererweiterung $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$. +$\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ sind beide Nullstellen des Minimalpolynoms +$m(x)=x^2-2$, die mit algebraischen Mitteln nicht unterschiedbar sind. +Sie haben zwar verschiedene Vorzeichen, doch ohne eine Ordnungsrelation +können diese nicht unterschieden werden. +\index{Ordnungsrelation}% +Eine Ordnungsrelation zwischen rationalen Zahlen lässt sich zwar +definieren, aber die Zahl $\sqrt{2}$ ist nicht rational, es braucht +also eine zusätzliche Annahme, zum Beispiel die Identifikation von +$\sqrt{2}$ mit einer reellen Zahl in $\mathbb{R}$, wo der Vergleich +möglich ist. + +Auch in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ ist die Konjugation +$a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ eine Selbstabbildung, die +die Körperoperationen respektiert. + +Das Polynom $m(x)=x^2-x-1$ hat die Nullstellen +\[ +\frac12 \pm\sqrt{\biggl(\frac12\biggr)^2+1} += +\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} += +\left\{ +\bgroup +\renewcommand{\arraystretch}{2.20} +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{lcl} +\displaystyle +\frac{1+\sqrt{5}}{2} &=& \phantom{-}\varphi \\ +\displaystyle +\frac{1-\sqrt{5}}{2} &=& \displaystyle-\frac{1}{\varphi}. +\end{array} +\egroup +\right. +\] +Sie erfüllen die gleiche algebraische Relation $x^2=x+1$. +Sie sind sowohl im Vorzeichen wie auch im absoluten Betrag +verschieden, beides verlangt jedoch eine Ordnungsrelation als +Voraussetzung, die uns fehlt. +Aus beiden kann man mit rationalen Operationen $\sqrt{5}$ gewinnen, +denn +\[ +\sqrt{5} += +4\varphi-1 += +-4\biggl(-\frac{1}{\varphi}\biggr)^2-1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\mathbb{Q}(\!\sqrt{5}) += +\mathbb{Q}(\varphi) += +\mathbb{Q}(-1/\varphi). +\] +Die Abbildung $a+b\varphi\mapsto a-b/\varphi$ ist eine Selbstabbildung +des Körpers $\mathbb{Q}(\!\sqrt{5})$, welche die beiden Nullstellen +vertauscht. + +Dieses Phänomen gilt für jede algebraische Erweiterung. +Die Nullstellen des Minimalpolynoms, welches die Erweiterung +definiert, sind grundsätzlich nicht unterscheidbar. +Mit der Adjunktion einer Nullstelle enthält der Erweiterungskörper +auch alle anderen. +Sind $\alpha_1$ und $\alpha_2$ zwei Nullstellen des Minimalpolynoms, +dann definiert die Abbildung $\alpha_1\mapsto\alpha_2$ eine Selbstabbildung, +die die Nullstellen permutiert. + +Die algebraische Körpererweiterung +$\mathbb{Q}(x)\subset \mathbb{Q}(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ +ist nicht unterscheidbar von +$\mathbb{Q}(x)\subset \mathbb{Q}(x,-\!\sqrt{ax^2+bx+c})$. +Für das Integrationsproblem bedeutet dies, dass alle Methoden so +formuliert werden müssen, dass die Wahl der Nullstellen auf die +Lösung keinen Einfluss haben. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex index 2bfe0e1..e0efab2 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue % -\subsection{Log-Exp-Notation für elementare Funktionen +\subsection{Log-Exp-Notation für trigonometrische und hyperbolische Funktionen \label{buch:integral:subsection:logexp}} Die Integration rationaler Funktionen hat bereits gezeigt, dass eine Stammfunktion nicht immer im Körper der rationalen Funktionen @@ -37,6 +37,7 @@ x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}. In der Stammfunktion treten Funktionen auf, die auf den ersten Blick nichts mit den Funktionen im Integranden zu tun haben. +\subsubsection{Trigonometrische und hyperbolische Funktionen} Die trigonometrischen und hyperbolichen Funktionen in~\eqref{buch:integration:risch:allgform} lassen sich alle durch Exponentialfunktionen ausdrücken. @@ -53,7 +54,7 @@ So gilt &\qquad& \cosh x &= \frac12\bigl( e^x + e^{-x} \bigr). \end{aligned} -\label{buch:integral:risch:trighypinv} +\label{buch:integral:risch:trighyp} \end{equation} Nach Multiplikation mit $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$ entsteht eine quadratische Gleichung in $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$. @@ -66,27 +67,27 @@ Die Rechnung ergibt &= \frac{1}{i}\log\bigl( iy\pm\sqrt{1-y^2} -\bigr) +\bigr), & &\qquad& \arccos y &= \log\bigl( y\pm \sqrt{y^2-1} -\bigr) +\bigr), \\ \operatorname{arsinh}y &= \log\bigl( y \pm \sqrt{1+y^2} -\bigr) +\bigr), & &\qquad& \operatorname{arcosh} y &= \log\bigl( y\pm \sqrt{y^2-1} -\bigr) +\bigr). \end{aligned} \label{buch:integral:risch:trighypinv} \end{equation} @@ -97,6 +98,7 @@ Man nennt dies die $\log$-$\exp$-Notation der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen. \index{logexpnotation@$\log$-$\exp$-Notation}% +\subsubsection{$\log$-$\exp$-Notation} Wendet man die Substitutionen \eqref{buch:integral:risch:trighyp} und @@ -110,7 +112,7 @@ an, entstehen die Beziehungen &= \frac12i\bigl( \log(1-ix) - \log(1+ix) -\bigr) +\bigr), \\ \int\bigl( {\textstyle\frac12} @@ -121,12 +123,12 @@ e^{-ix} \bigr) &= -{\textstyle\frac12}ie^{ix} -+{\textstyle\frac12}ie^{-ix} ++{\textstyle\frac12}ie^{-ix}, \\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &= --i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2}) +-i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2}), \\ \int \log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) &= diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex index 7b24e9f..0ca164d 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex @@ -132,7 +132,9 @@ ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) \end{align*} \end{beispiel} - +% +% Rationale Funktionen +% \subsubsection{Rationalen Funktionen} Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige @@ -174,5 +176,28 @@ zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen umwandelt. +% +% Warum rationale Zahlen? +% +\subsubsection{Warum die Beschränkung auf rationale Zahlen?} +Aus mathematischer Sicht gibt es gute Gründe, Analysis im Körper $\mathbb{R}$ +oder $\mathbb{C}$ zu betreiben. +Da Ableitung und Integral als Grenzwerte definiert sind, stellt diese +Wahl des Körpers sicher, dass die Grenzwerte auch tatsächlich existieren. +Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass über $\mathbb{C}$ +jedes Polynome in Linearfaktoren zerlegt werden kann. + +Der Einfachheit der Analyse in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ steht +die Schwierigkeit gegenüber, beliebige Elemente von $\mathbb{R}$ in +einem Computer exakt darzustellen. +Für Brüche in $\mathbb{Q}$ gibt es eine solche Darstellung durch +Paare von Ganzzahlen, wie sie die GNU Multiprecision Arithmetic Library +\cite{buch:gmp} realisiert. +Irrationale Zahlen dagegen können nur exakt gehandhabt werden, wenn +man im wesentlichen symbolisch mit ihnen rechnet. +Die Grundlage dafür wird in +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen} +gelegt. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/risch.tex b/buch/chapters/060-integral/risch.tex index 1ba746a..2080ce8 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/risch.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/risch.tex @@ -6,6 +6,18 @@ \section{Der Risch-Algorithmus \label{buch:integral:section:risch}} \rhead{Risch-Algorithmus} +Die Lösung des Integrationsproblem für $\mathbb{Q}(x)$ und für +$\mathbb{Q}(x,y)$ mit $y=\!\sqrt{ax^2+bx+c}$ hat gezeigt, dass +ein Differentialkörper genau die richtige Bühne für dieses Unterfangen +sein dürfte. +Die Stammfunktionen konnten in einem Erweiterungskörper gefunden +werden, der ein paar Logarithmen hinzugefügt worden sind. +Tatsächlich lässt sich in diesem Rahmen sogar ein Algorithmus +formulieren, der in einem noch zu definierenden Sinn ``elementare'' +Funktionen als Stammfunktionen finden kann oder beweisen kann, dass +eine solche nicht existiert. +Dieser Abschnitt soll einen Überblick darüber geben. + \input{chapters/060-integral/logexp.tex} \input{chapters/060-integral/elementar.tex} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index 0df27a7..f750a82 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -20,7 +20,9 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden. \caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli. \label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}} \end{figure} -Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung +Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades +mit der Gleichung +\index{Lemniskate von Bernoulli}% \begin{equation} (X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2). \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} @@ -161,13 +163,14 @@ Parameters $k$. Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet und hat den numerischen Wert -\[ +\begin{equation} \varpi = 2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt = 2.6220575542. -\] +\label{buch:elliptisch:eqn:varpi} +\end{equation} $\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt. \index{lemniskatische Konstante}% Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge @@ -179,7 +182,7 @@ $\varpi/2$. \subsection{Bogenlängenparametrisierung} Die Lemniskate mit der Gleichung \[ -(X^2+X^2)^2=2(X^2-X^2) +(X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2) \] (der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}) kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen @@ -332,7 +335,8 @@ Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ = s, \] -der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter. +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also +$s=t$ schreiben. Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der Gleichung @@ -355,10 +359,9 @@ y(t) \end{equation} \subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} -Der Sinus Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des +Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete die Bogenlänge zuordnet. - Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung @@ -368,6 +371,13 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. +Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in +in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde. +ist sie $\varpi/2-s$. +Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher +$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$ +Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in +Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index 17ef273..32a86ec 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -111,3 +111,10 @@ publisher = { Addison-Wesley } } +@online{buch:gmp, + title = {GNU Multiprecision Arithmetic Library}, + DAY = 26, + MONTH = 5, + YEAR = 2022, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/GNU_Multiple_Precision_Arithmetic_Library} +} diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index aafa107..8eb4481 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \section{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. -Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 5bfc1b7..3b08e8d 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -17,10 +17,9 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e16dc2a..4c52547 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -19,3 +19,4 @@ \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} + diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c239d64..36e9c99 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,49 +4,26 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -Für die Definition gilt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } - Winkel && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} - -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} - - -\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\subsection{Das Bilddreieck} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - -Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. +Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. +Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -59,8 +36,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. +Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -69,8 +46,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. -In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. +Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -83,25 +60,24 @@ In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. + Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -109,7 +85,32 @@ Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen d \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} - +\subsubsection{Eingeschaften} +Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Legende && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Eigenschaften \\ + \hline + Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ + Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ + Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ + \end{tabular} +\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 5b87303..f2e6132 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,4 +8,5 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\usepackage{amsmath}
\ No newline at end of file +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index d56d482..a1653e8 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -7,12 +7,14 @@ Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. -In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. +Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. +Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index ce367f6..aca8bd2 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,16 +1,13 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. -Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: - \subsection{Das Kugeldreieck} -Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen. -Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. +Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. -Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden. +Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). @@ -19,18 +16,6 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. -Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck. - -Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ccc} - Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ - \hline - $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ - - $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ - \end{tabular} -\end{center} \begin{figure} \begin{center} @@ -41,8 +26,11 @@ Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. + Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. + \begin{figure} \begin{center} @@ -51,7 +39,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{center} \end{figure} -\subsection{Winkelsumme} +\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} \begin{figure} \begin{center} @@ -64,9 +52,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} - \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber \end{align} -wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. +wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. \subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} @@ -77,32 +65,69 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. -\subsection{Sphärischer Sinussatz} -In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass +\subsection{Seiten und Winkelberechnung} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. +Die Approximation folgt noch. +Es gilt nämlich: +\begin{align} + \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & + \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber +\end{align} + +\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} +Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie. +So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras. +So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: +\begin{align} + \sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und} + \cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber +\end{align} +Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene: +\begin{align} + a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} + a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber +\end{align} +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. + +\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich + +\begin{align} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\ + \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + -a^2-b^2 &=-c^2\\ + a^2+b^2&=c^2 +\end{align} + +\subsubsection{Sphärischer Sinussatz} +Den sphärischen Sinussatz \begin{align} \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \end{align} -auch beim Kugeldreieck gilt. +kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren. -\subsection{Sphärische Kosinussätze} -Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz + +\subsubsection{Sphärische Kosinussätze} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \begin{align} \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz \begin{align} - \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber -\end{align} + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber +\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist. -\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} -Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: +Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} - \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & - \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\ + \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) \end{align} + +
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