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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 31 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index a493749..b25fc89 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -71,19 +71,20 @@ als Randbedingungen. % TODO: Formeln sauber in Text einbinden. Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz -die Separationsmethode verwendet. - +die Separationsmethode verwendet. Dazu wird \[ u(t,x) = T(t)X(x) \] -Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt: +in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich \[ T^{\prime}(t)X(x) = \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x) \] +als neue Form. + Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: @@ -107,6 +108,30 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: 0 \] +Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in +Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch +die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage +getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein +werden. + +Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das +charakteristische Polynom +\[ + \lambda - \kappa \mu + = + 0. +\] +Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur +Lösung +\[ + T(t) + = + e^{\kappa \mu t} +\] +führt. + +Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. + % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: \[ |