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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 7a37b2b..a72c562 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -20,7 +20,7 @@ die partielle Differentialgleichung \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} -wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. +wobei der Stab in diesem Fall auf der $X$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise @@ -35,7 +35,7 @@ Tempreatur gehalten werden. Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. -Es folgen nun +Es folgt nun \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) @@ -52,7 +52,7 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} -Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und +Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. @@ -187,7 +187,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -473,7 +473,7 @@ berechnet: \\ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& - a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + a_0 \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] @@ -487,7 +487,7 @@ berechnet: Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass nahezu alle Terme verschwinden, denn \[ - \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx = 0, \] @@ -528,10 +528,10 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi} \\ &= - a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + + a_m\frac{l}{m\pi}\biggl(\frac{m\pi}{2} + \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - \frac{-m\pi}{2} - - \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right) + \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\biggr) \\ &= a_m l |