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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b25fc89..cc88f6a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -130,7 +130,65 @@ Lösung \] führt. -Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. +Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur +der Gleichung +\[ + X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) + = + 0 +\] +wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also +von der Form +\[ + X(x) + = + A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). +\] + +Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref) +enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also +\[ + X^{\prime}(x) + = + A \alpha \cos \left( \alpha x \right) - + B \beta \sin \left( \beta x \right) +\] +und +\[ + X^{\prime \prime}(x) + = + -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) - + B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right). +\] + +Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies +\[ + -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) - + \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) + = + 0 +\] +und durch umformen somit +\[ + \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x) + = + A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + B\beta^{2}\cos(\beta x). +\] + +Durch Koeffizientenvergleich von +\[ + \mu A\sin(\alpha x) + = + A\alpha^{2}\sin(\alpha x) +\] +\[ + \mu B\cos(\beta x) + = + B\beta^{2}\cos(\beta x) +\] +ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = \alpha^{2} = \beta^{2} $ gelten muss für +$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch +$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: |