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diff --git a/buch/SeminarSpezielleFunktionen.tex b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.tex new file mode 100644 index 0000000..4ee1900 --- /dev/null +++ b/buch/SeminarSpezielleFunktionen.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +% +% buch.tex -- Buch zum mathematischen Seminar Spezielle Funktionen +% +% (c) 2022 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\def\IncludeBookCover{1} +\input{common/content.tex} diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp index e4df8e1..eb5c6be 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp +++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp @@ -44,8 +44,8 @@ double h0f1(double c, double x) { double f1(double x) { // unfortunately, gsl_sf_hyperg_0F1 does not work if c<1, because // it uses a relation to the bessel functions - //return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.); - return h0f1(2./3., x*x*x/9.); + return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.); + //return h0f1(2./3., x*x*x/9.); } double f2(double x) { diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index d85caad..e0dfc21 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -8,5 +8,12 @@ CHAPTERFILES += \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ chapters/060-integral/eulertransformation.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ + chapters/060-integral/rational.tex \ + chapters/060-integral/erweiterungen.tex \ + chapters/060-integral/diffke.tex \ + chapters/060-integral/irat.tex \ + chapters/060-integral/sqratrat.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ + chapters/060-integral/logexp.tex \ + chapters/060-integral/elementar.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex index f41d3ba..a071ae2 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex @@ -1,1953 +1,24 @@ % -% differentialalgebren.tex +% differentialkoerper.tex % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville +\section{Differentialkörper und das Integrationsproblem \label{buch:integrale:section:dkoerper}} -\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville} -Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener -Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man -als ``geschlossene Form'' akzeptieren will. -Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von -Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar} -bilden dafür den theoretischen Rahmen. -Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine -Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist. -Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville} -löst das Problem. - -\subsection{Eine Analogie -\label{buch:integrale:section:analogie}} -% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen -% XXX Stammfunktion als elementare Funktion -Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum -wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden. -Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man -aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis -lernen kann. - -Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$ -mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige -komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen. -Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind -beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen. - -Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. -Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt, -erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede -beliebige Funktion abzuleiten. -Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen -symbolisch zu berechnen. - -Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen -wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$ -genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt. -Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese -Lösungen finden kann. -In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt -es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann. -Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das -Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau -bestimmen kann. - -Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige -Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig -bestimmt ist. -Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die -Stammfunktion finden kann. -In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer -beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende -Funktion anzugeben. -Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der -Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit -finden kann. - -Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend, -als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von -den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen. -Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung -stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit. -Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine -einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen. -Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel, -in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen. -Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt, -Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden -im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden. -Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine -Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert. -Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, -stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit -von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar. - -Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit -Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden -nur schwer möglich sind. -Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion, -die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential- -und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen -sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen. -Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' -dargestellt haben. -Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts -von Joseph Liouville genauer untersucht worden. -Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert, -die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen. -Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer -ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben. -Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ -eine elementare Stammfunktion hat. -Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht -mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann. - -Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS) -wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell. -Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die -Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle -Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems -darstellt. -Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis -einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden, -ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese -gegebenenfalls auch zu finden. -Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus -in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System -Axiom. - -Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt -eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen. -Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem. -Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die -Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem -aber grundsätzlich nicht vollständig lösen. -Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das -Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen, -die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS -gesetzt werden. - -Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen -die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden -und der Satz von Liouvill vorgestellt werden. -An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt -einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist. -Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden. - -\subsection{Elementare Funktionen -\label{buch:integrale:section:elementar}} -Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich -in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen'' -ausdrücken lassen. -Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist -ziemlich willkürlich. -Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion, -aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen. -Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen -rechnen. -So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen -will. - -In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt -Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen. -Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen. -Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine -differentielle Algebra. -Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) -liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion -eine elementare Stammfunktion hat. -Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine -elementare Stammfunktion möglich. - -In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra -der elementaren Funktionen konstruiert werden. - -\subsubsection{Körper} -Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir -für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen -$\mathbb{C}$ -zu Grunde legen wollen. -Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen -Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass -nicht durch $0$ dividiert werden darf. -Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}. -\index{Körper}% -\label{buch:integrale:def:koerper} - -\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen} -Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von -Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation -von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen -uneingeschränkt möglich ist. -Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit -$\mathbb{C}[z]$. - -Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche -zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind. -Die Menge -\[ -\mathbb{C}(z) -= -\biggl\{ -\frac{p(z)}{q(z)} -\;\bigg|\; -p,q\in \mathbb{C}[z] -\biggr\} -\] -heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}. -\label{buch:integrale:def:rationalefunktion} -\index{Funktion, rationale}% -\index{rationale Funktion}% -In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar -ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion. -Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper. - -Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper -bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt -werden kann. -Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst -die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$ -in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$ -gebildet werden. -So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem -wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten -Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$ -einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$. - -Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften -Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet. -\index{Funktionenkörper}% - -\subsubsection{Ableitungsoperation} -In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation -mit berücksichtigt werden. -In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die -Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen -Eigenschaften wichtig. -Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:derivation} -Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra -$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung -\[ -\frac{d}{dz} -\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D} -: -f \mapsto \frac{df}{dz} = f', -\] -die zusätzlich die Produktregel -\begin{equation} -\frac{d}{dz} (fg) -= -\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz} -\qquad\Leftrightarrow\qquad -(fg)' = f' g + fg' -\label{buch:integrale:eqn:produktregel} -\end{equation} -\index{Produktregel}% -erfüllt. -Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung} -von $f\in\mathscr{D}$. -\index{Derivation}% -\index{Ableitungsoperator}% -\index{Ableitung}% -\end{definition} - -Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel -zur Folge. -Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit -Hilfe der Produktregel ab: -\[ -\frac{d}{dz}f -= -\frac{d}{dz} -\biggl( -\frac{f}{g}\cdot g -\biggr) -= -{\color{darkred} -\frac{d}{dz} -\biggl( -\frac{f}{g} -\biggr)} -\cdot g -+ -\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g. -\] -Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten -auf und erhalten -\begin{equation} -\biggl(\frac{f}{g}\biggr)' -= -\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr) -= -\frac1g\biggl( -\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g -\biggr) -= -\frac{1}{g} -\biggl( -f'-\frac{fg'}{g} -\biggr) -= -\frac{f'g-fg'}{g^2}. -\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel} -\end{equation} -Dies ist die Quotientenregel. - -Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel -für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, -sie lautet: -\begin{equation} -\frac{d}{dz} f^n -= -\underbrace{ -f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f' -}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}} -= -nf^{n-1}f'. -\label{buch:integrale:eqn:potenzregel} -\end{equation} -In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die -Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also -die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt. -Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft -$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel. - -\begin{definition} -Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator -$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}. -\index{differentielle Algebra}% -\index{Algebra, differentielle}% -In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen -Ableitungsregeln. -\end{definition} - -Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} -geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$. -Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in -unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die -Rolle von $z$ hat. -Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt. - -\begin{beispiel} -Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen -in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen. -Diese Menge bezeichnen wir mit -$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ -Der Ableitungsoperator ist -\begin{align*} -\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x -\\ -\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x. -\end{align*} -Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche, -deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind. -Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für -$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in -$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine -differentielle Algebra. -\end{beispiel} - -Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle. -Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer -Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und -die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen -wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen -Weg gehen. -In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen, -deren Ableitung $0$ ist. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:konstante} -Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen -{\em Konstante} in $\mathscr{D}$. -\index{Konstante}% -\end{definition} - -Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} -vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten -zu definieren versuchen. -$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein. -Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten -und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für -die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie -$z$. -Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen -nur bis auf eine Konstante bestimmt sind. -Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der -Eigenschaft $z'=1$ enthalten. - -\begin{beispiel} -In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$. -Ein solches wäre von der Form -\[ -x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}. -\] -Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten, -dass -\[ -\frac{\pi}4 -= -\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}. -\] -Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen -Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht. -So ein Ausdruck kann immer in die Form -\[ -\pi -= -4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d} -= -\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2} -= -r\sqrt{2}+s -\] -gebracht werden. -Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle -des quadratischen Polynoms -\[ -p(x) -= -(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s) -= -x^2 --2sx --2r^2+s^2 -\] -mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die -quadratische Gleichung nachprüfen kann. -Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle -eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. -Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$ -vorkommen kann. -\end{beispiel} - -In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der -Existenz einer Stammfunktion gestellt werden. - -\begin{aufgabe} -\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} -Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element -$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ -gibt mit der Eigenschaft $F'=f$. -Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$. -\end{aufgabe} - -\begin{satz} -In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$ -hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$ -ein Stammfunktion, nämlich -\[ -F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}. -\] -\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die -Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel -\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten -gilt. -Man erhält -\begin{align*} -n+1&>0\colon -& -\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1} -&= -\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1} -= -z^n, -\\ -n+1&<0\colon -& -\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}} -&= -\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}} -\\ -&& -&= -\frac{1}{n+1} -\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}} -\\ -&& -&= -\frac{1}{z^{-n}}=z^n. -\end{align*} -Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die -algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel -verwendet wurden. -\end{proof} - -\subsubsection{Wurzeln} -Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen -erlaubt sein. -Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ -ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden. -Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden. -Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen, -vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische -Weise bestimmen. - -Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab. -Dabei ergibt sich nach der Potenzregel -\[ -\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1 -\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}. -\] -Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit -der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern. -Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist -\begin{equation} -\frac{d}{dz}g^n -= -ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1 -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}. -\end{equation} -Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer -$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$ -zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen -erfüllt sind. - -\subsubsection{Algebraische Elemente} -Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten -algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die -nachfolgenden Untersuchengen geeignet. -Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:algebraisches-element} -Seien $K\subset L$ zwei Körper. -Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, -wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten -in $K$ ist. -\index{algebraisch}% -\end{definition} - -Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle -von $X-\alpha\in K[X]$ ist. -Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch, -da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind. -Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren. -Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber -Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben -lassen. -Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der -Begriff der Wurzel. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen} -Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit -Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat. -\end{definition} - -Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem -Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz} -der Algebra algebraisch abgeschlossen. -Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln -von Funktionen finden können. -Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt. - -\begin{beispiel} -Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die -die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt. -Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein -muss. -Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte -$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte -für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden. -\end{beispiel} - -Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem -Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche -Flächen. -Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen. -Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich -immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle -des Polynoms ist. - -Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in -$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen. -Zunächst leitet man $p(f)$ ab: -\begin{align} -0&= -\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0) -\notag -\\ -&= -a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' -+ -na_nf^{n-1}f' -+ -(n-1)a_nf^{n-2}f' -+ -\ldots -+ -a_2ff' -+ -a_1f' -\notag -\\ -&= -a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' -+ -( -na_nf^{n-1} -+ -(n-1)a_nf^{n-2} -+ -\ldots -+ -a_2f -+ -a_1 -)f' -\notag -\\ -\Rightarrow -\qquad -f'&=\frac{ -a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0' -}{ -na_nf^{n-1} -+ -(n-1)a_nf^{n-2} -+ -\dots -+ -a_1 -}. -\label{buch:integrale:eqn:algabl} -\end{align} -Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls -verschwindet. -Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das -sogenannte Minimalpolynom verwendet. - -\begin{definition} -Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist -das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt. -\end{definition} - -Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner -von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl}, -der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden. -Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig. -Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$, -dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen -Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein. -Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$ -kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms. -Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um -einen skalaren Faktor. - -\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm} -% Konjugation, Spur und Norm -Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht -eindeutig bestimmt. -Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das -Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. -Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$. -Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$ -nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation -ermöglicht, sie zu unterscheiden. - -Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom -$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat. -Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man -die beiden Nullstellen unterscheiden könnte. -In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in -allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt. - -Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$. -Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als -Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom. -Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen -\[ -\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2} -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}. -\] -Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ -auseinander hervor. -Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$, -dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da -$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$ -als Nullstelle hat. -Indem man -\[ -m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X) -\] -rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$ -und $\alpha_-$. -Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper -abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von -$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine -algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des -Minimalpolynoms zu unterscheiden. - -Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$ -erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren. -Durch Ausmultiplizieren -\[ -(X-\alpha_+)(X-\alpha_-) -= -X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_- -\] -und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen -Formeln -\[ -\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2} -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}. -\] -Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl -der Nullstellen. - -Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten. -Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$. -Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht -unterscheidbaren Nullstellen -\[ -\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3}, -\quad -\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3} -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}. -\] -Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$ -und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder -schliessen, dass die Relationen -\[ -\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0 -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_0(z) \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z -\] -gelten. - -Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen -eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder -Produkt. - -\begin{definition} -\index{buch:integrale:def:spur-und-norm} -Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen -Elements und -\[ -m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0. -\] -Dann heissen -\[ -\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1} -\qquad\text{und}\qquad -\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0 -\] -die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$. -\index{Spur eines algebraischen Elementes}% -\index{Norm eines algebraischen Elementes}% -\end{definition} - -Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix -verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der -Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber -für unsere Zwecke zu weit. - -\begin{hilfssatz} -Die Ableitungen von Spur und Norm sind -\[ -\operatorname{Tr}(\alpha)' -= -\operatorname{Tr}(\alpha') -\qquad\text{und}\qquad -\operatorname{Norm}(\alpha)' -= -\operatorname{Tr}(\alpha)' -\] -XXX Wirklich? -\end{hilfssatz} - -\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen} -Die Funktion $z^{-1}$ musste im -Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} -ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$. -Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ -eine Stammfunktion ist. -Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$ -einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$ -sollen ebenfalls elementare Funktionen sein. -Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen -wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:logexp} -Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$. -Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus} -von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt. -$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn -$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt. -\end{definition} - -Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist -die bekannte Kettenregel -\begin{equation} -\vartheta' -= -\frac{d}{dz} e^f -= -e^f \cdot \frac{d}{dz} f -= -\vartheta \cdot f'. -\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} -\end{equation} -Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von -Exponentialfunktionen sein sollen, -muss die definierende Gleichung genau wie -\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} -aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$, -also -\begin{equation} -\vartheta' = \vartheta\cdot f' -\qquad -\rightarrow -\qquad -f' = f\cdot \vartheta' -\;\Leftrightarrow\; -\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}. -\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung} -\end{equation} -Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische -Ableitung. - -Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen -also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden. - -\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen} -Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen -sollten natürlich auch elementare Funktionen sein. -Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion -als -\[ -\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2 -\qquad\text{und}\qquad -\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i} -\] -schreiben lassen. -Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und -$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen -Funktionen. -Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen -Funktionen speziell zu untersuchen. - -\subsubsection{Elementare Funktionen} -Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion -genau zu fassen. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion} -Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und -$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine -neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente -von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden -Bedingungen erfüllt ist: -\begin{enumerate} -\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$ -ist eine ``Wurzel''. -\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$, -d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$ -(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). -\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$, -d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$ -(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). -\end{enumerate} -\end{definition} - -Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer -differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen -Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt. -So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist -damit noch nicht möglich. -Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren -Schritten aufbauen kann. - -\begin{definition} -Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle -Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$. -$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach, -wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt -derart, dass -\[ -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\begin{array}{ccccccccccccc} -\mathscr{D} -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1) -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) -&\subset& -\; -\cdots -\; -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1}) -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n) -&=& -\mathscr{F} -\\ -\| -&& -\| -&& -\| -&& -&& -\| -&& -\| -&& -\\ -\mathscr{F}_0 -&\subset& -\mathscr{F}_1 -&\subset& -\mathscr{F}_2 -&\subset& -\cdots -&\subset& -\mathscr{F}_{n-1} -&\subset& -\mathscr{F}_{n\mathstrut} -&& -\end{array} -\] -gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über -$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$. -\end{definition} - -In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ -nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner -Funktionen hinzufügt. -Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann -jetzt so formuliert werden. - -\begin{aufgabe} -\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} -Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine -Funktion $f\in \mathscr{D}$. -Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion -$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass -$F'=f$. -\end{aufgabe} - -Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere -Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion -zu kommen. -Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung -in der weiteren Entwicklung zukommen wird. - -\begin{beispiel} -\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} -Es soll eine Stammfunktion der Funktion -\[ -f(z) -= -\frac{z}{(az+b)(cz+d)} -\in -\mathbb{C}(z) -\] -gefunden werden. -In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der -Partialbruchzerlegung -\[ -\frac{z}{(az+b)(cz+d)} -= -\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d} -= -\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)} -\quad\Rightarrow\quad -\left\{ -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\begin{array}{rcrcr} -cA_1&+&aA_2&=&1\\ -dA_1&+&bA_2&=&0 -\end{array} -\right. -\] -bestimmt werden. -Die Lösung des Gleichungssystems ergibt -$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$. -Die Stammfunktion kann dann aus -\begin{align*} -\int f(z)\,dz -&= -\int\frac{A_1}{az+b}\,dz -+ -\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz -= -\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz -+ -\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz -\end{align*} -bestimmt werden. -In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die -Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$. -Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf. -Die Stammfunktion ist jetzt -\[ -F(z) -= -\int f(z)\,dz -= -\frac{A_1}{a}\log(az+b) -+ -\frac{A_2}{c}\log(cz+d) -= -\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)} -+ -\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}. -\] -Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen -ineinander überführen. -Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden. -\[ -\left. -\begin{aligned} -\vartheta_1&=\log(az+b)\\ -\vartheta_2&=\log(cz+d) -\end{aligned} -\quad -\right\} -\qquad\Rightarrow\qquad -F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2). -\] -Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion, -aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion. -\end{beispiel} - -\subsection{Partialbruchzerlegung -\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}} -Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt, -wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion -zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann. -Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} -ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen -Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}. -Schliesslich hat das Beispiel auf -Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} -gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer -elementaren Stammfunktion zu gelangen. -Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung. -In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden. - -In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen -Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die -Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren -$\mathbb{C}$ sind. - -\subsubsection{Monome} -Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$, -die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer -Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits -bekannte Summanden aufspalten. -Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:monom} -Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht -algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die -gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$. -\end{definition} - -\begin{beispiel} -Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ -und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten -$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$. -Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es -gibt keinen Ausdruck -\[ -a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0. -\] -Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist. -Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der -Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion -$e^z$ hinzu. -Gäbe es eine Beziehung -\[ -b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0 -\] -mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$, -dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation -\[ -b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0, -\] -die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist. -Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist. -Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$ -der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu -und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$. -Gäbe es das Minimalpolynom -\begin{equation} -b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0 -\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} -\end{equation} -mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem -gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte -eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit -Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$. -Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man -\[ -b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0. -\] -Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller -anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite -konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$. -Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$. -Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar -nicht das Minimalpolynom. -Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über -$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend -an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt -algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet. -Gäbe es aber eine minimale Relation wie -\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} -mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form -\[ -P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0, -\] -wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist. -Die Ableitung wäre dann -\[ -Q(z,e^z) -= -mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z) -= -(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z) -=0, -\] -wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist. -Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation, -in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat. -Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die -Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} -war also gar nicht minimal. -Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist, -verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen -Algebra. -}. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$ -erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$ -hinzufügen können. -Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$. -Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also -auch noch $\psi$ hinzufügen. -Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen, -dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt -$\mathbb{Q}(2\pi i)$. -Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}, -dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also -verletzt. - -Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus -dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne -der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. -In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen, -da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind. -\end{beispiel} - -Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer -differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils -genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch -ist oder nicht. - -\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen} -Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt -sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen -Monomen sagen. -Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung -nützlich sein. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} -Sei -\[ -P -= -A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0 -\in\mathscr{D}[X] -\] -ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ -und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$. -Dann gilt -\begin{enumerate} -\item -\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} -Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein -Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$ -nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$. -\item -\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp} -Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom -in $\vartheta$ vom Grad $n$. -\end{enumerate} -\end{satz} - -Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines -Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert. - -\begin{proof}[Beweis] -Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung -fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu. -Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung -\[ -(A_k\vartheta^k) -= -A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' -= -A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f' -= -(A'_k + kA_k f)\vartheta^k. -\] -Damit wird die Ableitung des Polynoms -\begin{equation} -P(\vartheta)' -= -\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'} -+ -(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1} -+ \dots + -(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'. -\label{buch:integrale:ableitung:polynom} -\end{equation} -Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist. -Dies bedeutet aber wegen -\( -(A_n\vartheta^n)' -= -0 -\), dass $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist. -Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass -\[ -\vartheta^n=\frac{c}{A_n} -\qquad\Rightarrow\qquad -\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0, -\] -also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom. -Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann. - -Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms -\[ -(A_k\vartheta^k)' -= -A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' -= -A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f} -= -\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}. -\] -Die Ableitung des Polynoms ist daher -\[ -P(\vartheta)' -= -A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots -\] -Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von -$P(\vartheta)'$ ist $n$. -Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste -Koeffizient nicht verschwinden kann. -Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung -\[ -(nA_n\vartheta+A_{n-1})' -= -nA_n\vartheta'+A'_{n-1} -= -nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1} -= -0, -\] -d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante. -Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch -\[ -\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D} -\] -sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom. -\end{proof} - -Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in -$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung} -welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$. -\begin{enumerate} -\item -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} -Ist $\vartheta=\log f$, dann ist -$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$ -hat Grad $n-1$. -\item -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} -Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass -$(\log P(\vartheta))' -= -P(\vartheta)'/P(\vartheta) -= -N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$ -ist. -Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$ -ein Polynom vom Grad $<n$. -\end{enumerate} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die -Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage -des Grades von $P(\vartheta)'$. -Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde, -folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} -aus -Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} -von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}. - -Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} -beachten wir wieder die -Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom} -und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist. -Da $A_n'=0$ ist, wird -\begin{align*} -P(\vartheta)' -&= -nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}. -\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom -Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als} -&= -nf' -P(\vartheta) -+ -\underbrace{ -\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}. -\end{align*} -Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel. - -Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und -$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta) -= -\vartheta f'/\vartheta -= -nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$. -\end{proof} - -\subsubsection{Partialbruchzerlegungen} -Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne -der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine -unabhängige Variable verhalten. -Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer -Variablen $x$ verwendet -man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu -erhalten. -Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die -Monome $\vartheta_i$ zu verwenden. -Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung -vorkommen können. - -Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen -aus Brüchen der Form -\begin{equation} -g(X) -= -\frac{P(X)}{Q(X)^r}, -\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} -\end{equation} -wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom -vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. - -Ist der Grad von $P(X)$ -im Quotienten -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} -grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von -$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} -erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben. -Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser -der Grad des Zählers ist. -Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} -Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges -Polynom vom Grad $p < (k+1)q$. -Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart, -dass -\begin{equation} -\frac{P(X)}{Q(X)^r} -= -\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}. -\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest} -\end{equation} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden. - -Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$. -Insbesondere ist dann $kq\le p$. -Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$ -gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass -\[ -P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X) -\] -mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$. -Es folgt -\[ -\frac{ P(X)}{Q(X)^r} -= -\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}} -+ -\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}. -\] -Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings -mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist. -Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten -erhält man die Form -Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle -von $P(X)$ angewendet werden, erhalt man den Ausdruck -\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}. -\end{proof} - -In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt -auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher -Terme. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} -Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und -seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome, -wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$ -ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. -Dann ist die Ableitung -\begin{equation} -g(\vartheta)' -= -\biggl( -\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} -\biggr)' -= --r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}} -+ -\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}. -\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} -\end{equation} -Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und -$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ -die Form -\begin{equation} -g(\vartheta)' -= -\frac{ -{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f} -}{ -\vartheta^{r} -}. -\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} -\end{equation} -Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion -hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form -\[ -g(\vartheta)' -= -\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} -\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}. -\] -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als -$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus -Produkt- und Potenzregel -\[ -g(\vartheta)' -= -P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r} -+ -P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)' -= -\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}} --r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}, -\] -dies ist -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}. -Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können -jetzt die Sätze -\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, -\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -und -\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} -angewendet werden. -Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung -im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner -$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen. - -Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom -Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} -\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} -und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$. -Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht -durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel -ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$ -teilen, aber beide haben zu geringen Grad. - -Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom -Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$. -Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher -werden nach -Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} -keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten. -Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes -von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt. -Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss -$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein. -Für -\[ -Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots -\] -ist die Ableitung -\[ -Q(\vartheta)' -= -q\vartheta^q f' -+ -\dots -\] -und damit -\[ -\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)} -= -qf'. -\] -Andererseits ist in der -Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} -von -Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$, -und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein. -Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} -annimmt. -\end{proof} - -Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme -der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen -Form sind. - -\subsection{Der Satz von Liouville -\label{buch:integrale:section:liouville}} -Die Funktion -\[ -f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D} -\] -kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung -\[ -f(z) -= -\frac{1}{z-1} -+ -\frac{4}{(z-1)^2} -+ -\frac{4}{(z-1)^3} -\] -integriert werden. -Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel -integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss -der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden. -Die Stammfunktion -\[ -\int f(z)\,dz -= -\int -\frac{1}{z-1} -\,dz -+ -\int -\frac{4}{(z-1)^2} -\,dz -+ -\int -\frac{4}{(z-1)^3} -\,dz -= -\log(z-1) -- -\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}} -\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F} -\] -hat eine sehr spezielle Form. -Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus -einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$. - -\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen} -Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt, -dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion -eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer -Funktionen ist. -Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden. - -\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome] -\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} -Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ -mit $g'\in\mathscr{D}$. -Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und -$c_1\in\mathbb{C}$. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die -Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$ -über $\mathscr{D}$ ist. -Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung -\[ -g -= -H(\vartheta) -+ -\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j} -\] -mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und -Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$. -Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom. -Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein. -Zu ihrer Berechnung können die Sätze -\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, -\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -und -\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} -verwendet werden. -Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der -Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden. -Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit -$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst -vorkommen. -$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein. -Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom -$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom -Grad $1$ sein. -Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein, -das Polynom hat also genau die behauptete Form. -\end{proof} - -\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente] -\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} -Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und -$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$. -\end{satz} - -\subsubsection{Elementare Stammfunktionen} -Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen -in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} -und -\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt -in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren -und zu beweisen. - -\begin{satz}[Liouville] -Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über -$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$. -Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist, -also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und -$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass -\begin{equation} -g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i -\qquad\Rightarrow\qquad -g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f -\label{buch:integrale:satz:liouville-fform} -\end{equation} -gilt. -\end{satz} - -Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ -nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form -\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} -schreiben lässt. -Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} -lässt sich damit jetzt lösen. - - -\begin{proof}[Beweis] -Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form -\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe -wird nicht benötigt. - -Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$ -hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper -$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren, -der $g$ enthält. -Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die -Induktionsannahme auf die Erweiterung -\[ -\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) -\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F} -\] -anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente -$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den -Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält. -Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als -\[ -g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i -\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.} -\] -Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt -in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}. - -Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung -\[ -H(\vartheta_1) -+ -\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j} -\] -in der Variablen $\vartheta_1$. - -Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner -von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben: -\[ -w_i -= -\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}} -}{ -N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}} -} -\] -Der Logarithmus hat die Form -\begin{align*} -\log w_i -&= \log h_i + -s_{i1} -\log Z_{i1}(\vartheta_1) -+ -\cdots -+ -s_{im(i)} -\log Z_{im(i)} -- -t_{i1} -\log -N_{i1}(\vartheta_1) -- -\cdots -- -t_{in(i)} -\log -N_{in(i)}(\vartheta_1). -\end{align*} -$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen, -wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen -normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$. - -Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim -Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten. -Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist. -\begin{enumerate} -\item -Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des -Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren, -dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und -$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss. -Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm -mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden -müssen. -Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist -$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss -$c_1=0$ sein. -Ist $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann -kommen nur noch Terme der in -\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} -erlaubten Form vor. - -\item -Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist -\[ -g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f. -\] -Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$. -Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente -ersetzt und alle summiert, dann ist -\[ -mf -= -\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i). -\] -Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass -\[ -f -= -\underbrace{\frac{1}{m} -\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0} -+ -\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i} -\log -\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i} -= -v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i -\] -die verlangte Form hat. -\qedhere -\end{enumerate} -\end{proof} - -\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion -\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}} -% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4} -Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass -die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist. -Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} -Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann -ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine -elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die -Lösung der Differentialgleichung -\[ -r'(x) + g'(x)r(x)=f(x) -\] -ist. -\end{satz} - -\begin{satz} -Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. -\label{buch:iintegrale:satz:expx2} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} -auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale -Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die -Lösung der Differentialgleichung -\begin{equation} -r'(x) -2xr(x)=1 -\label{buch:integrale:expx2dgl} -\end{equation} -ist. - -Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. -Wäre nämlich -\[ -r(x) -= -a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n -= -\sum_{k=0}^n a_kx^k -\quad\Rightarrow\quad -r'(x) -= -a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1} -= -\sum_{k=1}^n -ka_kx^{k-1} -\] -ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung -\begin{align*} -1 -&= -r'(x)-2xr(x) -\\ -&= -a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1} -\\ -&\qquad -- -2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1} -\\ -& -\hspace{0.7pt} -\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt} -\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr} -=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n }x^{n-1}& & & & \\ - & &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-& 2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1} -\end{array} -\\ -&= -a_1 -+ -(2a_2-2a_0)x -+ -(3a_3-2a_1)x^2 -%+ -%(4a_4-2a_2)x^3 -+ -\dots -+ -(na_n-2a_{n-2})x^{n-1} -- -2a_{n-1}x^n -- -2a_nx^{n+1}. -\end{align*} -Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss. -Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich -ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen. -Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass -$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten -verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$. -Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$. -Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. - -Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle -$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als -\[ -r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n}, -\] -wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat. -Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: -\[ -1 -= -r'(x) -2xr(x) -= -\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n} --n -\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}} -- -\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}. -\] -Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt -\[ -(x-\alpha)^{n+1} -= -s'(x)(x-\alpha) -- -ns(x) -- -2xs(x)(x-\alpha) -\] -Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren -auf der rechten Seite, es bleibt -\[ -ns(\alpha) = 0. -\] -Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die -$\alpha$ keine Nullstelle ist. - -Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und -die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. -\end{proof} - -Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung -der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion, -mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann. - - - +\rhead{Differentialkörper} +Die Einführung einer neuen Funktion $\operatorname{erf}(x)$ wurde +durch die Behauptung gerechtfertigt, dass es für den Integranden +$e^{-x^2}$ keine Stammfunktion in geschlossener Form gäbe. +Die Fehlerfunktion ist bei weitem nicht die einzige mit dieser +Eigenschaft. +Doch woher weiss man, dass es keine solche Funktion gibt, und +was heisst überhaupt ``Stammfunktion in geschlossener Form''? +In diesem Abschnitt wird daher ein algebraischer Rahmen entwickelt, +in dem diese Frage sinnvoll gestellt werden kann. + +\input{chapters/060-integral/rational.tex} +\input{chapters/060-integral/erweiterungen.tex} +\input{chapters/060-integral/diffke.tex} +\input{chapters/060-integral/iproblem.tex} +\input{chapters/060-integral/irat.tex} +\input{chapters/060-integral/sqrat.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex new file mode 100644 index 0000000..f41d3ba --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex @@ -0,0 +1,1953 @@ +% +% differentialalgebren.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville +\label{buch:integrale:section:dkoerper}} +\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville} +Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener +Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man +als ``geschlossene Form'' akzeptieren will. +Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von +Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar} +bilden dafür den theoretischen Rahmen. +Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine +Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist. +Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville} +löst das Problem. + +\subsection{Eine Analogie +\label{buch:integrale:section:analogie}} +% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen +% XXX Stammfunktion als elementare Funktion +Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum +wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden. +Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man +aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis +lernen kann. + +Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$ +mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige +komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen. +Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind +beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen. + +Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. +Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt, +erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede +beliebige Funktion abzuleiten. +Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen +symbolisch zu berechnen. + +Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen +wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$ +genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt. +Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese +Lösungen finden kann. +In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt +es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann. +Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das +Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau +bestimmen kann. + +Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige +Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig +bestimmt ist. +Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die +Stammfunktion finden kann. +In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer +beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende +Funktion anzugeben. +Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der +Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit +finden kann. + +Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend, +als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von +den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen. +Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung +stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit. +Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine +einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen. +Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel, +in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen. +Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt, +Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden +im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden. +Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine +Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert. +Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, +stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit +von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar. + +Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit +Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden +nur schwer möglich sind. +Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion, +die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential- +und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen +sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen. +Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' +dargestellt haben. +Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts +von Joseph Liouville genauer untersucht worden. +Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert, +die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen. +Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer +ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben. +Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ +eine elementare Stammfunktion hat. +Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht +mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann. + +Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS) +wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell. +Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die +Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle +Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems +darstellt. +Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis +einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden, +ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese +gegebenenfalls auch zu finden. +Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus +in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System +Axiom. + +Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt +eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen. +Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem. +Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die +Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem +aber grundsätzlich nicht vollständig lösen. +Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das +Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen, +die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS +gesetzt werden. + +Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen +die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden +und der Satz von Liouvill vorgestellt werden. +An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt +einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist. +Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden. + +\subsection{Elementare Funktionen +\label{buch:integrale:section:elementar}} +Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich +in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen'' +ausdrücken lassen. +Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist +ziemlich willkürlich. +Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion, +aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen. +Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen +rechnen. +So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen +will. + +In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt +Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen. +Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen. +Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine +differentielle Algebra. +Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) +liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion +eine elementare Stammfunktion hat. +Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine +elementare Stammfunktion möglich. + +In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra +der elementaren Funktionen konstruiert werden. + +\subsubsection{Körper} +Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir +für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen +$\mathbb{C}$ +zu Grunde legen wollen. +Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen +Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass +nicht durch $0$ dividiert werden darf. +Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}. +\index{Körper}% +\label{buch:integrale:def:koerper} + +\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen} +Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von +Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation +von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen +uneingeschränkt möglich ist. +Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit +$\mathbb{C}[z]$. + +Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche +zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind. +Die Menge +\[ +\mathbb{C}(z) += +\biggl\{ +\frac{p(z)}{q(z)} +\;\bigg|\; +p,q\in \mathbb{C}[z] +\biggr\} +\] +heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}. +\label{buch:integrale:def:rationalefunktion} +\index{Funktion, rationale}% +\index{rationale Funktion}% +In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar +ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion. +Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper. + +Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper +bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt +werden kann. +Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst +die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$ +in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$ +gebildet werden. +So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem +wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten +Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$ +einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$. + +Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften +Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet. +\index{Funktionenkörper}% + +\subsubsection{Ableitungsoperation} +In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation +mit berücksichtigt werden. +In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die +Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen +Eigenschaften wichtig. +Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:derivation} +Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra +$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung +\[ +\frac{d}{dz} +\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D} +: +f \mapsto \frac{df}{dz} = f', +\] +die zusätzlich die Produktregel +\begin{equation} +\frac{d}{dz} (fg) += +\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz} +\qquad\Leftrightarrow\qquad +(fg)' = f' g + fg' +\label{buch:integrale:eqn:produktregel} +\end{equation} +\index{Produktregel}% +erfüllt. +Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung} +von $f\in\mathscr{D}$. +\index{Derivation}% +\index{Ableitungsoperator}% +\index{Ableitung}% +\end{definition} + +Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel +zur Folge. +Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit +Hilfe der Produktregel ab: +\[ +\frac{d}{dz}f += +\frac{d}{dz} +\biggl( +\frac{f}{g}\cdot g +\biggr) += +{\color{darkred} +\frac{d}{dz} +\biggl( +\frac{f}{g} +\biggr)} +\cdot g ++ +\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g. +\] +Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten +auf und erhalten +\begin{equation} +\biggl(\frac{f}{g}\biggr)' += +\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr) += +\frac1g\biggl( +\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g +\biggr) += +\frac{1}{g} +\biggl( +f'-\frac{fg'}{g} +\biggr) += +\frac{f'g-fg'}{g^2}. +\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel} +\end{equation} +Dies ist die Quotientenregel. + +Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel +für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, +sie lautet: +\begin{equation} +\frac{d}{dz} f^n += +\underbrace{ +f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f' +}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}} += +nf^{n-1}f'. +\label{buch:integrale:eqn:potenzregel} +\end{equation} +In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die +Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also +die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt. +Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft +$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel. + +\begin{definition} +Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator +$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}. +\index{differentielle Algebra}% +\index{Algebra, differentielle}% +In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen +Ableitungsregeln. +\end{definition} + +Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} +geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$. +Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in +unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die +Rolle von $z$ hat. +Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt. + +\begin{beispiel} +Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen +in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen. +Diese Menge bezeichnen wir mit +$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ +Der Ableitungsoperator ist +\begin{align*} +\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x +\\ +\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x. +\end{align*} +Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche, +deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind. +Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für +$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in +$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine +differentielle Algebra. +\end{beispiel} + +Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle. +Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer +Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und +die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen +wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen +Weg gehen. +In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen, +deren Ableitung $0$ ist. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:konstante} +Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen +{\em Konstante} in $\mathscr{D}$. +\index{Konstante}% +\end{definition} + +Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} +vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten +zu definieren versuchen. +$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein. +Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten +und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für +die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie +$z$. +Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen +nur bis auf eine Konstante bestimmt sind. +Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der +Eigenschaft $z'=1$ enthalten. + +\begin{beispiel} +In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$. +Ein solches wäre von der Form +\[ +x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}. +\] +Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten, +dass +\[ +\frac{\pi}4 += +\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}. +\] +Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen +Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht. +So ein Ausdruck kann immer in die Form +\[ +\pi += +4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d} += +\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2} += +r\sqrt{2}+s +\] +gebracht werden. +Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle +des quadratischen Polynoms +\[ +p(x) += +(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s) += +x^2 +-2sx +-2r^2+s^2 +\] +mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die +quadratische Gleichung nachprüfen kann. +Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle +eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. +Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$ +vorkommen kann. +\end{beispiel} + +In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der +Existenz einer Stammfunktion gestellt werden. + +\begin{aufgabe} +\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} +Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element +$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ +gibt mit der Eigenschaft $F'=f$. +Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$. +\end{aufgabe} + +\begin{satz} +In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$ +hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$ +ein Stammfunktion, nämlich +\[ +F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}. +\] +\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die +Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel +\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten +gilt. +Man erhält +\begin{align*} +n+1&>0\colon +& +\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1} +&= +\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1} += +z^n, +\\ +n+1&<0\colon +& +\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}} +&= +\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}} +\\ +&& +&= +\frac{1}{n+1} +\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}} +\\ +&& +&= +\frac{1}{z^{-n}}=z^n. +\end{align*} +Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die +algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel +verwendet wurden. +\end{proof} + +\subsubsection{Wurzeln} +Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen +erlaubt sein. +Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ +ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden. +Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden. +Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen, +vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische +Weise bestimmen. + +Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab. +Dabei ergibt sich nach der Potenzregel +\[ +\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1 +\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}. +\] +Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit +der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern. +Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist +\begin{equation} +\frac{d}{dz}g^n += +ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}. +\end{equation} +Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer +$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$ +zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen +erfüllt sind. + +\subsubsection{Algebraische Elemente} +Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten +algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die +nachfolgenden Untersuchengen geeignet. +Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:algebraisches-element} +Seien $K\subset L$ zwei Körper. +Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, +wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten +in $K$ ist. +\index{algebraisch}% +\end{definition} + +Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle +von $X-\alpha\in K[X]$ ist. +Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch, +da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind. +Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren. +Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber +Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben +lassen. +Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der +Begriff der Wurzel. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen} +Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit +Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat. +\end{definition} + +Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem +Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz} +der Algebra algebraisch abgeschlossen. +Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln +von Funktionen finden können. +Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt. + +\begin{beispiel} +Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die +die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt. +Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein +muss. +Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte +$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte +für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden. +\end{beispiel} + +Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem +Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche +Flächen. +Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen. +Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich +immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle +des Polynoms ist. + +Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in +$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen. +Zunächst leitet man $p(f)$ ab: +\begin{align} +0&= +\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0) +\notag +\\ +&= +a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' ++ +na_nf^{n-1}f' ++ +(n-1)a_nf^{n-2}f' ++ +\ldots ++ +a_2ff' ++ +a_1f' +\notag +\\ +&= +a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' ++ +( +na_nf^{n-1} ++ +(n-1)a_nf^{n-2} ++ +\ldots ++ +a_2f ++ +a_1 +)f' +\notag +\\ +\Rightarrow +\qquad +f'&=\frac{ +a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0' +}{ +na_nf^{n-1} ++ +(n-1)a_nf^{n-2} ++ +\dots ++ +a_1 +}. +\label{buch:integrale:eqn:algabl} +\end{align} +Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls +verschwindet. +Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das +sogenannte Minimalpolynom verwendet. + +\begin{definition} +Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist +das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt. +\end{definition} + +Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner +von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl}, +der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden. +Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig. +Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$, +dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen +Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein. +Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$ +kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms. +Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um +einen skalaren Faktor. + +\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm} +% Konjugation, Spur und Norm +Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht +eindeutig bestimmt. +Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das +Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. +Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$. +Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$ +nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation +ermöglicht, sie zu unterscheiden. + +Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom +$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat. +Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man +die beiden Nullstellen unterscheiden könnte. +In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in +allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt. + +Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$. +Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als +Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom. +Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen +\[ +\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2} +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}. +\] +Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ +auseinander hervor. +Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$, +dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da +$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$ +als Nullstelle hat. +Indem man +\[ +m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X) +\] +rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$ +und $\alpha_-$. +Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper +abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von +$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine +algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des +Minimalpolynoms zu unterscheiden. + +Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$ +erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren. +Durch Ausmultiplizieren +\[ +(X-\alpha_+)(X-\alpha_-) += +X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_- +\] +und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen +Formeln +\[ +\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2} +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}. +\] +Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl +der Nullstellen. + +Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten. +Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$. +Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht +unterscheidbaren Nullstellen +\[ +\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3}, +\quad +\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3} +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}. +\] +Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$ +und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder +schliessen, dass die Relationen +\[ +\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0 +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_0(z) \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z +\] +gelten. + +Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen +eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder +Produkt. + +\begin{definition} +\index{buch:integrale:def:spur-und-norm} +Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen +Elements und +\[ +m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0. +\] +Dann heissen +\[ +\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1} +\qquad\text{und}\qquad +\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0 +\] +die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$. +\index{Spur eines algebraischen Elementes}% +\index{Norm eines algebraischen Elementes}% +\end{definition} + +Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix +verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der +Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber +für unsere Zwecke zu weit. + +\begin{hilfssatz} +Die Ableitungen von Spur und Norm sind +\[ +\operatorname{Tr}(\alpha)' += +\operatorname{Tr}(\alpha') +\qquad\text{und}\qquad +\operatorname{Norm}(\alpha)' += +\operatorname{Tr}(\alpha)' +\] +XXX Wirklich? +\end{hilfssatz} + +\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen} +Die Funktion $z^{-1}$ musste im +Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} +ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$. +Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ +eine Stammfunktion ist. +Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$ +einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$ +sollen ebenfalls elementare Funktionen sein. +Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen +wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:logexp} +Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$. +Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus} +von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt. +$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn +$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt. +\end{definition} + +Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist +die bekannte Kettenregel +\begin{equation} +\vartheta' += +\frac{d}{dz} e^f += +e^f \cdot \frac{d}{dz} f += +\vartheta \cdot f'. +\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} +\end{equation} +Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von +Exponentialfunktionen sein sollen, +muss die definierende Gleichung genau wie +\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} +aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$, +also +\begin{equation} +\vartheta' = \vartheta\cdot f' +\qquad +\rightarrow +\qquad +f' = f\cdot \vartheta' +\;\Leftrightarrow\; +\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}. +\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung} +\end{equation} +Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische +Ableitung. + +Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen +also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden. + +\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen} +Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen +sollten natürlich auch elementare Funktionen sein. +Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion +als +\[ +\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2 +\qquad\text{und}\qquad +\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i} +\] +schreiben lassen. +Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und +$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen +Funktionen. +Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen +Funktionen speziell zu untersuchen. + +\subsubsection{Elementare Funktionen} +Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion +genau zu fassen. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion} +Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und +$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine +neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente +von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden +Bedingungen erfüllt ist: +\begin{enumerate} +\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$ +ist eine ``Wurzel''. +\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$, +d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$ +(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). +\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$, +d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$ +(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). +\end{enumerate} +\end{definition} + +Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer +differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen +Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt. +So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist +damit noch nicht möglich. +Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren +Schritten aufbauen kann. + +\begin{definition} +Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle +Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$. +$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach, +wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt +derart, dass +\[ +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{ccccccccccccc} +\mathscr{D} +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1) +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) +&\subset& +\; +\cdots +\; +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1}) +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n) +&=& +\mathscr{F} +\\ +\| +&& +\| +&& +\| +&& +&& +\| +&& +\| +&& +\\ +\mathscr{F}_0 +&\subset& +\mathscr{F}_1 +&\subset& +\mathscr{F}_2 +&\subset& +\cdots +&\subset& +\mathscr{F}_{n-1} +&\subset& +\mathscr{F}_{n\mathstrut} +&& +\end{array} +\] +gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über +$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$. +\end{definition} + +In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ +nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner +Funktionen hinzufügt. +Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann +jetzt so formuliert werden. + +\begin{aufgabe} +\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} +Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine +Funktion $f\in \mathscr{D}$. +Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion +$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass +$F'=f$. +\end{aufgabe} + +Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere +Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion +zu kommen. +Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung +in der weiteren Entwicklung zukommen wird. + +\begin{beispiel} +\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} +Es soll eine Stammfunktion der Funktion +\[ +f(z) += +\frac{z}{(az+b)(cz+d)} +\in +\mathbb{C}(z) +\] +gefunden werden. +In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der +Partialbruchzerlegung +\[ +\frac{z}{(az+b)(cz+d)} += +\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d} += +\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)} +\quad\Rightarrow\quad +\left\{ +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{rcrcr} +cA_1&+&aA_2&=&1\\ +dA_1&+&bA_2&=&0 +\end{array} +\right. +\] +bestimmt werden. +Die Lösung des Gleichungssystems ergibt +$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$. +Die Stammfunktion kann dann aus +\begin{align*} +\int f(z)\,dz +&= +\int\frac{A_1}{az+b}\,dz ++ +\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz += +\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz ++ +\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz +\end{align*} +bestimmt werden. +In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die +Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$. +Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf. +Die Stammfunktion ist jetzt +\[ +F(z) += +\int f(z)\,dz += +\frac{A_1}{a}\log(az+b) ++ +\frac{A_2}{c}\log(cz+d) += +\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)} ++ +\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}. +\] +Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen +ineinander überführen. +Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden. +\[ +\left. +\begin{aligned} +\vartheta_1&=\log(az+b)\\ +\vartheta_2&=\log(cz+d) +\end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2). +\] +Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion, +aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion. +\end{beispiel} + +\subsection{Partialbruchzerlegung +\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}} +Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt, +wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion +zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann. +Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} +ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen +Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}. +Schliesslich hat das Beispiel auf +Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} +gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer +elementaren Stammfunktion zu gelangen. +Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung. +In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden. + +In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen +Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die +Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren +$\mathbb{C}$ sind. + +\subsubsection{Monome} +Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$, +die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer +Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits +bekannte Summanden aufspalten. +Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:monom} +Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht +algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die +gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ +und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten +$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$. +Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es +gibt keinen Ausdruck +\[ +a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0. +\] +Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist. +Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der +Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion +$e^z$ hinzu. +Gäbe es eine Beziehung +\[ +b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0 +\] +mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$, +dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation +\[ +b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0, +\] +die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist. +Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist. +Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$ +der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu +und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$. +Gäbe es das Minimalpolynom +\begin{equation} +b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0 +\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} +\end{equation} +mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem +gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte +eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit +Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$. +Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man +\[ +b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0. +\] +Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller +anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite +konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$. +Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$. +Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar +nicht das Minimalpolynom. +Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über +$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend +an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt +algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet. +Gäbe es aber eine minimale Relation wie +\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} +mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form +\[ +P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0, +\] +wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist. +Die Ableitung wäre dann +\[ +Q(z,e^z) += +mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z) += +(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z) +=0, +\] +wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist. +Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation, +in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat. +Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die +Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} +war also gar nicht minimal. +Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist, +verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen +Algebra. +}. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$ +erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$ +hinzufügen können. +Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$. +Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also +auch noch $\psi$ hinzufügen. +Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen, +dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt +$\mathbb{Q}(2\pi i)$. +Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}, +dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also +verletzt. + +Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus +dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne +der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. +In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen, +da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind. +\end{beispiel} + +Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer +differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils +genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch +ist oder nicht. + +\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen} +Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt +sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen +Monomen sagen. +Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung +nützlich sein. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} +Sei +\[ +P += +A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0 +\in\mathscr{D}[X] +\] +ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ +und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$. +Dann gilt +\begin{enumerate} +\item +\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} +Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein +Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$ +nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$. +\item +\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp} +Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom +in $\vartheta$ vom Grad $n$. +\end{enumerate} +\end{satz} + +Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines +Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert. + +\begin{proof}[Beweis] +Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung +fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu. +Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung +\[ +(A_k\vartheta^k) += +A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' += +A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f' += +(A'_k + kA_k f)\vartheta^k. +\] +Damit wird die Ableitung des Polynoms +\begin{equation} +P(\vartheta)' += +\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'} ++ +(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1} ++ \dots + +(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'. +\label{buch:integrale:ableitung:polynom} +\end{equation} +Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist. +Dies bedeutet aber wegen +\( +(A_n\vartheta^n)' += +0 +\), dass $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist. +Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass +\[ +\vartheta^n=\frac{c}{A_n} +\qquad\Rightarrow\qquad +\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0, +\] +also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom. +Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann. + +Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms +\[ +(A_k\vartheta^k)' += +A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' += +A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f} += +\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}. +\] +Die Ableitung des Polynoms ist daher +\[ +P(\vartheta)' += +A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots +\] +Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von +$P(\vartheta)'$ ist $n$. +Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste +Koeffizient nicht verschwinden kann. +Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung +\[ +(nA_n\vartheta+A_{n-1})' += +nA_n\vartheta'+A'_{n-1} += +nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1} += +0, +\] +d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante. +Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch +\[ +\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D} +\] +sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom. +\end{proof} + +Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in +$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung} +welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$. +\begin{enumerate} +\item +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} +Ist $\vartheta=\log f$, dann ist +$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$ +hat Grad $n-1$. +\item +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} +Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass +$(\log P(\vartheta))' += +P(\vartheta)'/P(\vartheta) += +N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$ +ist. +Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$ +ein Polynom vom Grad $<n$. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die +Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage +des Grades von $P(\vartheta)'$. +Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde, +folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} +aus +Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} +von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}. + +Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} +beachten wir wieder die +Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom} +und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist. +Da $A_n'=0$ ist, wird +\begin{align*} +P(\vartheta)' +&= +nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}. +\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom +Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als} +&= +nf' +P(\vartheta) ++ +\underbrace{ +\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}. +\end{align*} +Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel. + +Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und +$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta) += +\vartheta f'/\vartheta += +nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$. +\end{proof} + +\subsubsection{Partialbruchzerlegungen} +Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne +der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine +unabhängige Variable verhalten. +Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer +Variablen $x$ verwendet +man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu +erhalten. +Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die +Monome $\vartheta_i$ zu verwenden. +Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung +vorkommen können. + +Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen +aus Brüchen der Form +\begin{equation} +g(X) += +\frac{P(X)}{Q(X)^r}, +\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} +\end{equation} +wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom +vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. + +Ist der Grad von $P(X)$ +im Quotienten +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} +grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von +$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} +erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben. +Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser +der Grad des Zählers ist. +Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} +Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges +Polynom vom Grad $p < (k+1)q$. +Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart, +dass +\begin{equation} +\frac{P(X)}{Q(X)^r} += +\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}. +\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden. + +Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$. +Insbesondere ist dann $kq\le p$. +Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$ +gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass +\[ +P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X) +\] +mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$. +Es folgt +\[ +\frac{ P(X)}{Q(X)^r} += +\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}} ++ +\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}. +\] +Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings +mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist. +Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten +erhält man die Form +Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle +von $P(X)$ angewendet werden, erhalt man den Ausdruck +\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}. +\end{proof} + +In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt +auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher +Terme. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} +Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und +seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome, +wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$ +ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. +Dann ist die Ableitung +\begin{equation} +g(\vartheta)' += +\biggl( +\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} +\biggr)' += +-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}} ++ +\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}. +\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} +\end{equation} +Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und +$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ +die Form +\begin{equation} +g(\vartheta)' += +\frac{ +{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f} +}{ +\vartheta^{r} +}. +\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} +\end{equation} +Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion +hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form +\[ +g(\vartheta)' += +\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} +\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}. +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als +$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus +Produkt- und Potenzregel +\[ +g(\vartheta)' += +P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r} ++ +P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)' += +\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}} +-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}, +\] +dies ist +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}. +Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können +jetzt die Sätze +\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, +\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +und +\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} +angewendet werden. +Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung +im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner +$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen. + +Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom +Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} +\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} +und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$. +Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht +durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel +ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$ +teilen, aber beide haben zu geringen Grad. + +Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom +Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$. +Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher +werden nach +Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} +keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten. +Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes +von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt. +Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss +$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein. +Für +\[ +Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots +\] +ist die Ableitung +\[ +Q(\vartheta)' += +q\vartheta^q f' ++ +\dots +\] +und damit +\[ +\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)} += +qf'. +\] +Andererseits ist in der +Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} +von +Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$, +und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein. +Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} +annimmt. +\end{proof} + +Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme +der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen +Form sind. + +\subsection{Der Satz von Liouville +\label{buch:integrale:section:liouville}} +Die Funktion +\[ +f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D} +\] +kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung +\[ +f(z) += +\frac{1}{z-1} ++ +\frac{4}{(z-1)^2} ++ +\frac{4}{(z-1)^3} +\] +integriert werden. +Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel +integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss +der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden. +Die Stammfunktion +\[ +\int f(z)\,dz += +\int +\frac{1}{z-1} +\,dz ++ +\int +\frac{4}{(z-1)^2} +\,dz ++ +\int +\frac{4}{(z-1)^3} +\,dz += +\log(z-1) +- +\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}} +\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F} +\] +hat eine sehr spezielle Form. +Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus +einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$. + +\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen} +Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt, +dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion +eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer +Funktionen ist. +Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden. + +\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome] +\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} +Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ +mit $g'\in\mathscr{D}$. +Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und +$c_1\in\mathbb{C}$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die +Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$ +über $\mathscr{D}$ ist. +Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung +\[ +g += +H(\vartheta) ++ +\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j} +\] +mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und +Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$. +Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom. +Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein. +Zu ihrer Berechnung können die Sätze +\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, +\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +und +\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} +verwendet werden. +Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der +Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden. +Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit +$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst +vorkommen. +$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein. +Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom +$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom +Grad $1$ sein. +Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein, +das Polynom hat also genau die behauptete Form. +\end{proof} + +\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente] +\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} +Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und +$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$. +\end{satz} + +\subsubsection{Elementare Stammfunktionen} +Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen +in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} +und +\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt +in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren +und zu beweisen. + +\begin{satz}[Liouville] +Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über +$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$. +Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist, +also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und +$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass +\begin{equation} +g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i +\qquad\Rightarrow\qquad +g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f +\label{buch:integrale:satz:liouville-fform} +\end{equation} +gilt. +\end{satz} + +Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ +nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form +\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} +schreiben lässt. +Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} +lässt sich damit jetzt lösen. + + +\begin{proof}[Beweis] +Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form +\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe +wird nicht benötigt. + +Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$ +hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper +$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren, +der $g$ enthält. +Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die +Induktionsannahme auf die Erweiterung +\[ +\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) +\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F} +\] +anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente +$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den +Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält. +Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als +\[ +g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i +\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.} +\] +Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt +in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}. + +Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung +\[ +H(\vartheta_1) ++ +\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j} +\] +in der Variablen $\vartheta_1$. + +Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner +von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben: +\[ +w_i += +\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}} +}{ +N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}} +} +\] +Der Logarithmus hat die Form +\begin{align*} +\log w_i +&= \log h_i + +s_{i1} +\log Z_{i1}(\vartheta_1) ++ +\cdots ++ +s_{im(i)} +\log Z_{im(i)} +- +t_{i1} +\log +N_{i1}(\vartheta_1) +- +\cdots +- +t_{in(i)} +\log +N_{in(i)}(\vartheta_1). +\end{align*} +$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen, +wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen +normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$. + +Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim +Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten. +Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist. +\begin{enumerate} +\item +Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des +Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren, +dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und +$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss. +Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm +mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden +müssen. +Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist +$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss +$c_1=0$ sein. +Ist $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann +kommen nur noch Terme der in +\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} +erlaubten Form vor. + +\item +Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist +\[ +g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f. +\] +Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$. +Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente +ersetzt und alle summiert, dann ist +\[ +mf += +\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i). +\] +Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass +\[ +f += +\underbrace{\frac{1}{m} +\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0} ++ +\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i} +\log +\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i} += +v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i +\] +die verlangte Form hat. +\qedhere +\end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion +\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}} +% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4} +Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass +die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist. +Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} +Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann +ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine +elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die +Lösung der Differentialgleichung +\[ +r'(x) + g'(x)r(x)=f(x) +\] +ist. +\end{satz} + +\begin{satz} +Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. +\label{buch:iintegrale:satz:expx2} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} +auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale +Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die +Lösung der Differentialgleichung +\begin{equation} +r'(x) -2xr(x)=1 +\label{buch:integrale:expx2dgl} +\end{equation} +ist. + +Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. +Wäre nämlich +\[ +r(x) += +a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n += +\sum_{k=0}^n a_kx^k +\quad\Rightarrow\quad +r'(x) += +a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1} += +\sum_{k=1}^n +ka_kx^{k-1} +\] +ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung +\begin{align*} +1 +&= +r'(x)-2xr(x) +\\ +&= +a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1} +\\ +&\qquad +- +2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1} +\\ +& +\hspace{0.7pt} +\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt} +\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr} +=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n }x^{n-1}& & & & \\ + & &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-& 2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1} +\end{array} +\\ +&= +a_1 ++ +(2a_2-2a_0)x ++ +(3a_3-2a_1)x^2 +%+ +%(4a_4-2a_2)x^3 ++ +\dots ++ +(na_n-2a_{n-2})x^{n-1} +- +2a_{n-1}x^n +- +2a_nx^{n+1}. +\end{align*} +Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss. +Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich +ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen. +Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass +$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten +verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$. +Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$. +Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. + +Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle +$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als +\[ +r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n}, +\] +wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat. +Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: +\[ +1 += +r'(x) -2xr(x) += +\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n} +-n +\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}} +- +\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}. +\] +Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt +\[ +(x-\alpha)^{n+1} += +s'(x)(x-\alpha) +- +ns(x) +- +2xs(x)(x-\alpha) +\] +Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren +auf der rechten Seite, es bleibt +\[ +ns(\alpha) = 0. +\] +Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die +$\alpha$ keine Nullstelle ist. + +Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und +die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. +\end{proof} + +Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung +der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion, +mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann. + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/diffke.tex b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex new file mode 100644 index 0000000..02e90f6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex @@ -0,0 +1,139 @@ +% +% diffke.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Differentialkörper und ihre Erweiterungen +\label{buch:integral:subsection:diffke}} +Die Ableitung wird in den Grundvorlesungen der Analysis jeweils +als ein Grenzprozess eingeführt. +Die praktische Berechnung von Ableitungen verwendet aber praktisch +nie diese Definition, sondern fast ausschliesslich die rein algebraischen +Ableitungsregeln. +So wie die Wurzelfunktionen im letzten Abschnitt als algebraische +Körpererweiterungen erkannt wurden, muss jetzt auch für die Ableitung +eine rein algebraische Definition gefunden werden. +Die entstehende Struktur ist der Differentialkörper, der in diesem +Abschnitt definiert werden soll. + +% +% Derivation +% +\subsubsection{Derivation} +Für die praktische Berechnung der Ableitung einer Funktion verwendet +man in erster Linie die bekannten Rechenregeln. +Dazu gehören für zwei Funktionen $f$ und $g$ +\begin{itemize} +\item Linearität: $(\alpha f+\beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ für +Konstanten $\alpha$, $\beta$. +\item Produktregel: $(fg)'=f'g+fg'$. +\index{Produktregel}% +\item Quotientenregel: $(f/g)' = (f'g-fg')/g^2$. +\index{Quotientenregel}% +\end{itemize} +Die ebenfalls häufig verwendete Kettenregel $(f\circ g)' = (f'\circ g) g'$ +\index{Kettenregel}% +für zusammengesetzte Funktionen wird später kaum benötigt, da wir +Verkettungen durch Körpererweiterungen ersetzen wollen. +Die Ableitung hat somit die rein algebraischen Eigenschaften +einer Derivation gemäss folgender Definition. + +\begin{definition} +Sei $\mathscr{F}$ ein Körper. +Eine {\em Derivation} ist eine lineare Abbildung +\index{Derivation}% +$D\colon \mathscr{F}\to\mathscr{F}$ +mit der Eigenschaft +\[ +D(fg) = (Df)g+f(Dg). +\] +Ein {\em Differentialkörper} ist ein Körper mit einer Derivation. +\index{Differentialkoerper@Differentialkörper}% +\end{definition} + +Die Ableitung in einem Funktionenkörper ist eine Derivation, +die sich zusätzlich dadurch auszeichnet, dass $Dx=x'=1$. +Sie wird weiterhin mit dem Strich bezeichnet. + +% +% Ableitungsregeln +% +\subsubsection{Ableitungsregeln} +Die Definition einer Derivation macht keine Aussagen über Quotienten, +diese kann man aber aus den Eigenschaften einer Derivation sofort +ableiten. +Wir schreiben $q=f/g$ für $f,g\in\mathscr{F}$, dann ist $f=qg$. +Nach der Kettenregel gilt +\( +f'=q'g+qg' +\). +Substituiert man darin $q=f/g$ und löst nach $q'$ auf, erhält man +\[ +f'=q'g+\frac{fg'}{g} +\qquad\Rightarrow\qquad +q'=\frac1{g}\biggl(f'-\frac{fg'}{g}\biggr) += +\frac{f'g-fg'}{g^2}. +\] + + +% +% Konstantenkörper +% +\subsubsection{Konstantenkörper} +Die Ableitung einer Konstanten verschwindet. +Beim Hinzufügen von Funktionen zu einem Funktionenkörper können weitere +Konstanten hinzukommen, ohne dass dies auf den ersten Blick sichtbar wird. +Zum Beispiel enthält $\mathbb{Q}(x,\!\sqrt{x+\pi})$ wegen +$(\!\sqrt{x+\pi})^2-x=\pi$ auch die Konstante $\pi$. +Eine Derivation ermöglicht dank des nachfolgenden Satzes auch, +solche Konstanten zu erkennen. + +\begin{satz} +Sei $\mathscr{F}$ ein Körper und $D$ eine Derivation in $\mathscr{F}$. +Dann ist die Menge $C=\{a\in\mathscr{F}\;|\;Da=0\}$ ein Körper. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Es muss gezeigt werden, dass Summe und Produkt von Element von $C$ +wieder in $C$ liegen. +Wenn $Da=Db=0$, dann ist $D(a+b)=Da+Db=0$, also ist $a+b\in C$. +Für das Produkt gilt $D(ab)=(Da)b+a(Db)=0b+a0=0$, also ist auch +$ab\in C$. +\end{proof} + +Die Menge $C$ heisst der {\em Konstantenkörper} von $\mathscr{F}$. +\index{Konstantenkörper}% + +% +% Logarithmus und Exponantialfunktion +% +\subsubsection{Logarithmus und Exponentialfunktion} +Die Exponentialfunktion und der Logarithmus sind nicht algebraisch +über $\mathbb{Q}(x)$, sie lassen sich nicht durch eine algebraische +Gleichung charakterisieren. +Sie zeichnen sich aber durch besondere Ableitungseigenschaften aus. +Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen garantiert, +dass eine Funktion durch eine Differentialgleichung und Anfangsbedingungen +festgelegt ist. +Für die Exponentialfunktion und der Logarithmus haben die +Ableitungseigenschaften +\[ +\exp'(x) = \exp(x) +\qquad\text{und}\qquad +x \log'(x) = 1. +\] +\index{Exponentialfunktion}% +\index{Logarithmus}% +In der algebraischen Beschreibung eines Funktionenkörpers gibt es +das Konzept des Wertes einer Funktion an einer bestimmten Stelle nicht. +Somit können keine Anfangsbedingungen vorgegeben werden. +Da die Gleichungen linear sind, sind Vielfache einer Lösung wieder +Lösungen. +Insbesondere ist mit $\exp(x)$ auch $a\exp(x)$ eine Lösung und mit +$\log(x)$ auch $a\log(x)$ für alle Konstanten $a$. + +Die Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion +des Logarithmus ist, lässt sich mit den Mitteln eines Differentialkörpers +nicht ausdrücken. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/elementar.tex b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex new file mode 100644 index 0000000..854a875 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +% +% elementar.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Elementare Funktionen +\label{buch:integral:subsection:elementar}} +Etwas allgemeiner kann man sagen, dass in den +Beispielen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +algebraische Erweiterungen von $\mathbb{Q}(x)$ und Erweiterungen +um Logarithmen oder Exponentialfunktionen vorgekommen sind. +Die Stammfunktionen verwenden dieselben Funktionen oder höchstens +Erweiterungen um Logarithmen von Funktionen, die man schon im +Integranden gesehen hat. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex new file mode 100644 index 0000000..a999ebb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex @@ -0,0 +1,249 @@ +% +% erweiterungen.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Körpererweiterungen +\label{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen}} +Das Beispiel des Körpers $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ auf Seite +\pageref{buch:integral:beispiel:Qsqrt2} illustriert eine Möglichkeit, +einen kleinen Körper zu vergrössern. +Das Prinzip ist verallgemeinerungsfähig und soll in diesem Abschnitt +erarbeitet werden. + +% +% algebraische Zahl-Erweiterungen +\subsubsection{Algebraische Erweiterungen} +Der Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ entsteht aus dem Körper $\mathbb{Q}$ +dadurch, dass man die Zahl $\sqrt{2}$ hinzufügt und alle erlaubten +arithmetischen Operationen zulässt. +Die Darstellung von Elementen von $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ als +$a+b\sqrt{2}$ ist möglich, weil die Zahl $\alpha=\sqrt{2}$ die +algebraische Relation +\[ +\alpha^2-2 = \sqrt{2}^2 -2 = 0 +\] +erfüllt. +Voraussetzung für diese Aussage ist, dass es die Zahl $\sqrt{2}$ in einem +geeigneten grösseren Körper gibt. +Die reellen oder komplexen Zahlen bilden einen solchen Körper. +Wir verallgemeinern diese Situation wie folgt. + +\begin{definition} +Ist $K$ ein Körper, dann heisst ein Körper $L$ mit $K\subset L$ ein +{\em Erweiterungskörper} von $K$. +\index{Erweiterungskoerper@Erweiterungskörper} +\end{definition} + +\begin{definition} +\label{buch:integral:definition:algebraisch} +Sei $K\subset L$ eine Körpererweiterung. +Das Element $\alpha\in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, wenn es +ein Polynom $p(x)\in K[x]$ gibt derart, dass $\alpha$ eine Nullstelle +von $p(x)$ ist, also gibt mit $p(\alpha)=0$. +Das normierte Polynom $m(x)$ geringsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ +erfüllt, heisst das {\em Minimalpolynom} von $\alpha$. +\index{Minimalpolynom}% +\end{definition} + +Man sagt auch $\alpha$ ist algebraisch vom Grad $n$, wenn das Minimalpolynom +den Grad $n$ hat. +Wenn $\alpha\ne 0$ algebraisch ist, dann ist auch $1/\alpha$ algebraisch, +wie das folgende Argument zeigt. +Für das Minimalpolynom $m(x)$ von $\alpha$, ist $m(\alpha)=0$. +Teilt man diese Gleichung durch $\alpha^n$ teilt, erhält man +\[ +m_0\frac{1}{\alpha^n} ++ +m_1\frac{1}{\alpha^{n-1}} ++ +\ldots ++ +m_{n-1}\frac{1}{\alpha} ++ +1 += +0, +\] +das Polynom +\[ +\hat{m}(x) += +m_0x^n + m_1x^{n-1} + \ldots m_{n-1} x + 1 +\in +K[x] +\] +hat also $\alpha^{-1}$ als Nullstelle. +Das Polynom $\hat{m}(x)$ beweist daher, dass $\alpha^{-1}$ algebraisch ist. + +Die Zahl $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ ist also algebraisch über $\mathbb{Q}$ +und jede andere Quadratwurzel von Elementen von $\mathbb{Q}$ ist +ebenfalls algebraisch über $\mathbb{Q}$. +Auch der Körper $\mathbb{Q}(\alpha)$ kann für jede andere Quadratwurzel +auf die genau gleiche Art wie für $\sqrt{2}$ konstruiert werden. + +\begin{definition} +\label{buch:integral:definition:algebraischeerweiterung} +Sei $K\subset L$ eine Körpererweiterung und $\alpha\in L$ ein algebraisches +Element mit Minimalpolynom $m(x)\in K[x]$. +Dann heisst die Menge +\begin{equation} +K(\alpha) += +\{ +a_0 + a_1\alpha + \ldots +a_n\alpha^n +\;|\; +a_i\in K +\} +\label{buch:integral:eqn:algelement} +\end{equation} +mit $n=\deg m(x) - 1$ der durch Adjunktion von $\alpha$ erhaltene +Erweiterungsköper. +\end{definition} + +Wieder muss nur überprüft werden, dass jedes Produkt oder jeder +Quotient von Ausdrücken der Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} +wieder in diese Form gebracht werden kann. +Dazu sei +\[ +m(x) += +m_0+m_1x + m_2x^2 ++\ldots +m_{n-1}x^{n-1} + x^n +\] +das Minimalpolynom von $\alpha$. +Die Gleichung $m(\alpha)=0$ kann nach $\alpha^n$ aufgelöst werden und +liefert +\[ +\alpha^n = -m_0 - m_1\alpha - m_2\alpha^2 -\ldots -m_{n-1}\alpha^{n-1}. +\] +Damit kann jede Potenz von $\alpha$ mit einem Exponenten grösser als $n$ +in eine Linearkombination von Potenzen mit kleineren Exponenten +reduziert werden. +Ein Polynom in $\alpha$ kann also immer auf die +Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} +gebracht werden. + +Es muss aber noch gezeigt werden, dass auch der Kehrwert eines Elements +der Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} in dieser Form geschrieben +werden kann. +Sei also $a(\alpha)$ so ein Element, dann sind die beiden Polynome +$a(x)$ und $m(x)$ teilerfremd, der grösste gemeinsame Teiler ist $1$. +Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann man zwei Polynome +$s(x)$ und $t(x)$ finden derart, dass $s(x)a(x)+t(x)m(x)=1$. +Setzt man $\alpha$ für $x$ ein, verschwindet das Minimalpolynom und +es bleibt +\[ +s(\alpha)a(\alpha) = 1 +\qquad\Rightarrow\qquad +s(\alpha) = \frac{1}{a(\alpha)}. +\] +Damit ist $s(\alpha)$ eine Darstellung von $1/a(\alpha)$ in der +Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}. + +% +% Komplexe Zahlen +% +\subsubsection{Komplexe Zahlen} +Die imaginäre Einheit $i$ hat die Eigenschaft, dass $i^2=-1$, insbesondere +ist sie Nullstelle des Polynoms $m(x)=x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$. +Die Menge $\mathbb{Q}(i)$ ist daher eine algebraische Körpererweiterung +von $\mathbb{Q}$ bestehend aus den komplexen Zahlen mit rationalem +Real- und Imaginärteil. + +% Transzendente Körpererweiterungen +\subsubsection{Transzendente Erweiterungen} +Nicht alle Zahlen in $\mathbb{R}$ sind algebraisch. +Lindemann bewies 1882 einen allgemeinen Satz, aus dem folgt, +dass $\pi$ und $e$ nicht algebraisch sind, es gibt also +kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, welches $\pi$ +oder $e$ als Nullstelle hat. + +\begin{definition} +Eine Zahl $\alpha\in L$ in einer Körpererweiterung $K\subset L$ +heisst {\em transzendent}, wenn $\alpha$ nicht algebraisch ist, +wenn es also kein Polynom in $K[x]$ gibt, welches $\alpha$ als +Nullstelle hat. +\end{definition} + +Die Zahlen $\pi$ und $e$ sind also transzendent. +Eine andere Art, diese Eigenschaft zu beschreiben ist zu sagen, +dass die Potenzen +\[ +1=\pi^0, \pi, \pi^2,\pi^3,\dots +\] +linear unabhängig sind. +Gäbe es nämlich eine lineare Abhängigkeit, dann gäbe es Koeffizienten +$l_i$ derart, dass +\[ +l_0 + l_1\pi^1 + l_2\pi^2 + \ldots + l_{n-1}\pi^{n-1} + l_{n}\pi^n = l(\pi)=0, +\] +und damit wäre dann ein Polynom gefunden, welches $\pi$ als Nullstelle hat. + +Selbstverstländlich kann man zu einem transzendenten Element $\alpha$ +immer noch einen Körper konstruieren, der alle Zahlen enthält, welche man +mit den arithmetischen Operationen aus $\alpha$ bilden kann. +Man kann ihn schreiben als +\[ +K(\alpha) += +\biggl\{ +\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} +\;\bigg|\; +p(x),q(x)\in K[x] \wedge p(x)\ne 0 +\biggr\}, +\] +aber die Vereinfachungen zur +Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}, die bei einem algebraischen +Element $\alpha$ möglich waren, können jetzt nicht mehr durchgeführt +werden. +$K\subset K(\alpha)$ ist zwar immer noch eine Körpererweiterung, aber +$K(\alpha)$ ist nicht mehr ein endlichdimensionaler Vektorraum. +Die Körpererweiterung $K\subset K(\alpha)$ heisst {\em transzendent}. + +% rationale Funktionen als Körpererweiterungen +\subsubsection{Rationale Funktionen als Körpererweiterung} +Die unabhängige Variable wird bei Rechnen so behandelt, dass die +Potenzen alle linear unabhängig sind. +Dies ist die Grundlage für den Koeffizientenvergleich. +Der Körper der rationalen Funktion $K(x)$ +ist also eine transzendente Körpererweiterung von $K$. + +% Erweiterungen mit algebraischen Funktionen +\subsubsection{Algebraische Funktionen} +Für das Integrationsproblem möchten wir nicht nur rationale Funktionen +verwenden können, sondern auch Wurzelfunktionen. +Wir möchten also zum Beispiel auch mit der Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ +und allem, was man mit arithmetischen Operationen daraus machen kann, +arbeiten können. +Eine Körpererweiterung, die $\sqrt{ax^2+bx+c}$ enthält, enthält auch +alles, was man daraus bilden kann. +Doch wie bekommen wir die Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ in den Körper? + +Die Art und Weise, wie man Wurzeln in der Schule kennenlernt ist als +eine neue Operation, die zu einer Zahl die Quadratwurzel liefert. +Diese Idee, den Körper mit einer weiteren Funktion anzureichern, +führt über nicht auf eine nützliche neue algebraische Struktur. +Wir dürfen daher $\sqrt{ax^2+bx+c}$ nicht als die Zusammensetzung +einer einzelnen neuen Funktion $\sqrt{\phantom{A}}$ mit +einem Polynom betrachten. + +Die Wurzel $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist aber auch die Nullstelle des Polynoms +\[ +p(z) += +z^2 - [ax^2+bx+c] +\in +K(x)[z] +\] +mit Koeffizienten in $K(x)$. +Die eckigen Klammern sollen helfen, die Koeffizienten in $K(x)$ +zu erkennen. +Die Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist also algebraisch über $K(x)$. +Einen Funktionenkörper, der die Funktion enthält, kann man also erhalten, +indem man den Körper $K(x)$ um das über $K(x)$ algebraische Element +$y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ zu $K(x,y)=K(x,\sqrt{ax^2+bx+c}$ erweitert. +Wurzelfunktion werden daher nicht als Zusammensetzungen, sondern als +algebraische Erweiterungen eines Funktionenkörpers betrachtet. + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima b/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima new file mode 100644 index 0000000..0d5a56d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima @@ -0,0 +1,9 @@ +y: sqrt(a*x^2+b*x+c); + +F: log(x + b/(2 * a) + y/sqrt(a))/sqrt(a); + +f: diff(F, x); + +ratsimp(f); + +ratsimp(y*f); diff --git a/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex b/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex new file mode 100644 index 0000000..85db464 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +% +% iproblem.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Das Integrationsproblem +\label{buch:integral:subsection:integrationsproblem}} +\index{Integrationsproblem}% +Die Ableitung ist ein einem Differentialkörper mit Hilfe der Ableitungsregeln +immer ausführbar, ganz ähnlich wie die Berechnung von Potenzen in einem Körper +immer ausführbar ist. +Die Umkehrung, also eine sogenannte Stammfunktion zu finden, ist dagegen +deutlich schwieriger. + +\begin{definition} +\index{Stammfunktion} +Eine {\em Stammfunktion} einer Funktion $f\in\mathscr{K}$ im Funktionenkörper +$\mathscr{K}$ ist eine Funktion $F\in\mathscr{K}$ derart, dass $F'=f$. +Wir schreiben auch $F=\int f$. +\end{definition} + +Zwei Stammfunktionen $F_1$ und $F_2$ einer Funktion $f\in\mathscr{K}$ +haben die Eigenschaft +\[ +\left.\begin{aligned} +F_1' &= f \\ +F_2' &= f +\end{aligned}\quad\right\} +\qquad +\Rightarrow +\qquad +(F_1-F_2)' = 0 +\qquad\Rightarrow\qquad +F_1-F_2\in\mathscr{C}, +\] +die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich daher nur durch eine +Konstante. + +\subsubsection{Stammfunktion von Polynomen} +Für Polynome ist das Problem leicht lösbar. +Aus der Ableitungsregel +\[ +\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} +\] +folgt, dass +\[ +\int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} +\] +eine Stammfunktion von $x^n$ ist. +Da $\int$ linear ist, ergibt sich damit auch eine Stammfunktion für +ein beliebiges Polynom +\[ +g(x) += +g_0 + g_1x + g_2x^2 + \dots g_nx^n += +\sum_{k=0}^n g_kx^k +\in\mathbb{Q}(x) +\] +angeben: +\begin{equation} +\int g(x) += +g_0x + \frac12g_1x^2 + \frac13g_2x^3 + \dots \frac{1}{n+1}g_nx^{n+1} += +\sum_{k=0}^n +\frac{g_k}{k+1}x^{k+1}. +\label{buch:integral:iproblem:eqn:polyintegral} +\end{equation} + +\subsubsection{Körpererweiterungen} +Obwohl die Ableitung in einem Differentialkörper immer ausgeführt werden +kann, gibt es keine Garantie, dass es eine Stammfunktion im gleichen +Körper gibt. +Im kleinsten denkbaren Funktionenkörper $\mathbb{Q}(x)$ +haben die negativen Potenzen linearer Funktionen die Stammfunktionen +\[ +\int +\frac{1}{(x-\alpha)^k} += +\frac{1}{(-k+1)(x-\alpha)^{k-1}} +\] +für $k\ne 1$, sind also wieder in $\mathbb{Q}(x)$. +Für $k=1$ ist aber +\[ +\int \frac{1}{x-\alpha} += +\log(x-\alpha), +\] +es braucht also eine Körpererweiterung um $\log(x-\alpha)$, damit +$(x-\alpha)^{-1}$ eine Stammfunktion in $\mathbb{Q}(x,\log(x-\alpha))$ +hat. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/irat.tex b/buch/chapters/060-integral/irat.tex new file mode 100644 index 0000000..4c472ea --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/irat.tex @@ -0,0 +1,140 @@ +% +% irat.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Integration rationaler Funktionen +\label{buch:integral:subsection:rationalefunktionen}} +Für die Integration der rationalen Funktionen lernt man in einem +Analysis-Kurs üblicherweise ein Lösungsverfahren. +Dies zeigt zunächst, dass rationale Funktionen immer eine Stammfunktion +in einem geeigneten Erweiterungskörper haben. +Es deutet aber auch an, dass Stammfunktionen eine ziemlich spezielle +Form haben, die später als +Satz von Liouville~\ref{buch:integral:satz:liouville} +ein besondere Rolle spielen wird. + +% +% Aufgabenstellung +% +\subsubsection{Aufgabenstellung} +In diesem Abschnitt ist eine rationale Funktion $f(x)\in\mathbb{Q}(x)$ +gegeben, deren Stammfunktion bestimmt werden soll. +Als rationale Funktion kann sie als Bruch +\begin{equation} +f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} +\label{buch:integral:irat:eqn:quotient} +\end{equation} +mit Polynomen $p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]$ geschrieben werden. +Gesucht ist ein Erweiterungskörper $\mathscr{K}\supset \mathbb{Q}(x)$ +derart und eine Stammfunktion $F\in\mathscr{K}$ von $f$, also $F'=f$. + +% +% Polynomdivision +% +\subsubsection{Polynomdivision} +Der Quotient~\eqref{buch:integral:irat:eqn:quotient} kann durch Polynomdivision +mit Rest vereinfacht werden in einen polynomialen Teil und einen echten +Bruch: +\begin{equation} +f(x) += +g(x) ++ +\frac{a(x)}{b(x)} +\label{buch:integral:irat:eqn:polydiv} +\end{equation} +mit Polynomen $g(x),a(x),b(x)\in\mathbb[Q](x)$ und $\deg a(x) < \deg b(x)$. +Für den ersten Summanden liefert +\eqref{buch:integral:iproblem:eqn:polyintegral} eine Stammfunktion. +Im Folgenden bleibt also nur noch der zweite Term zu behandeln. + +% +% Partialbruchzerlegung +% +\subsubsection{Partialbruchzerlegung} +Zur Berechnung des Integral des Bruchs +in~\eqref{buch:integral:irat:eqn:polydiv} wird die Partialbruchzerlegung +benötigt. +Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir den Körper $\mathbb{Q}(x)$ +mit alle Nullstellen $\beta_i$ des Nenner-Polynoms $b(x)$ zu einem Körper +$\mathscr{K}$ erweitert haben, in dem Nenner in Linearfaktoren zerfällt. +Unter diesen Voraussetzungen hat die Partialbruchzerlegung die Form +\begin{equation} +\frac{a(x)}{b(x)} += +\sum_{i=1}^m +\sum_{k=1}^{k_i} +\frac{A_{ik}}{(x-\beta_i)^k}, +\label{buch:integral:irat:eqn:partialbruch} +\end{equation} +wobei $k_i$ die Vielfachheit der Nullstelle $\beta_i$ ist. +Die Koeffizienten $A_{ik}$ können zum Beispiel mit Hilfe eines linearen +Gleichungssystems bestimmt werden. + +Um eine Stammfunktion zu finden, muss man also Stammfunktionen für +jeden einzelnen Summanden bestimmen. +Für Exponenten $k>1$ im Nenner eines Terms der +Partialbruchzerlegung~\eqref{buch:integral:irat:eqn:partialbruch} +kann dazu die Regel +\[ +\int \frac{A_{ik}}{(x-\beta_i)^k} += +\frac{A_{ik}}{(-k+1)(x-\beta_i)^{k-1}} +\] +verwendet werden. +Diese Stammfunktion liegt wieder in $\mathscr{K}(x)$ liegt. + +% +% Körpererweiterungen +% +\subsubsection{Körpererweiterung} +Für $k=1$ ist eine logarithmische Erweiterung um die Funktion +\begin{equation} +\int \frac{A_{i1}}{x-\alpha_i} += +A_{i1} +\log(x-\alpha_i) +\label{buch:integral:irat:eqn:logs} +\end{equation} +nötig. +Es gibt also eine Stammfunktion in einem Erweiterungskörper, sofern +er zusätzlich alle logarithmischen Funktionen +in~\ref{buch:integral:irat:eqn:logs} enthält. +Sie hat die Form +\[ +\sum_{i=1}^m A_{i1} \log(x-\beta_i), +\] +wobei $A_{i1}\in\mathscr{K}$ ist. + +Setzt man alle vorher schon gefundenen Teile der Stammfunktion zusammen, +kann man sehen, dass die Stammfunktion die Form +\begin{equation} +F(x) = v_0(x) + \sum_{i=1}^m c_i \log v_i(x) +\label{buch:integral:irat:eqn:liouvillstammfunktion} +\end{equation} +haben muss. +Dabei ist $v_0(x)\in\mathscr{K}(x)$ und besteht aus der Stammfunktion +des polynomiellen Teils und den Stammfunktionen der Terme der Partialbruchzerlegung mit Exponenten $k>1$. +Die logarithmischen Terme bestehen aus den Konstanten $c_i=A_{i1}$ +und den Logarithmusfunktionen $v_i(x)=x-\beta_i\in\mathscr{K}(x)$. +Die Funktion $f(x)$ muss daher die Form +\[ +f(x) += +v_0'(x) ++ +\sum_{i=1}^m c_i\frac{v'_i(x)}{v_i(x)} +\] +gehabt haben. +Die Form~\eqref{buch:integral:irat:eqn:liouvillstammfunktion} +der Stammfunktion ist nicht eine Spezialität der rationalen Funktionen. +Sie wird auch bei grösseren Funktionenkörpern immer wieder auftreten +und ist als Satz von Liouville bekannt. + +% +% Minimale algebraische Erweiterung +% +\subsubsection{Minimale algebraische Erweiterung} +XXX Rothstein-Trager + diff --git a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex new file mode 100644 index 0000000..2bfe0e1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex @@ -0,0 +1,144 @@ +% +% logexp.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Log-Exp-Notation für elementare Funktionen +\label{buch:integral:subsection:logexp}} +Die Integration rationaler Funktionen hat bereits gezeigt, dass +eine Stammfunktion nicht immer im Körper der rationalen Funktionen +existiert. +Es kann notwendig sein, dem Körper logarithmische Erweiterungen der Form +$\log(x-\alpha)$ hinzuzufügen. + +Es können jedoch noch ganz andere neue Funktionen auftreten, wie die +folgende Zusammenstellung einiger Stammfunktionen zeigt: +\begin{equation} +\begin{aligned} +\int\frac{dx}{1+x^2} +&= +\arctan x, +\\ +\int \cos x\,dx +&= +\sin x, +\\ +\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} +&= +\arcsin x, +\\ +\int +\operatorname{arcosh} x\,dx +&= +x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}. +\end{aligned} +\label{buch:integration:risch:allgform} +\end{equation} +In der Stammfunktion treten Funktionen auf, die auf den ersten +Blick nichts mit den Funktionen im Integranden zu tun haben. + +Die trigonometrischen und hyperbolichen Funktionen +in~\eqref{buch:integration:risch:allgform} +lassen sich alle durch Exponentialfunktionen ausdrücken. +So gilt +\begin{equation} +\begin{aligned} +\sin x &= \frac{1}{2i}\bigl( e^{ix} - e^{-ix}\bigr), +& +&\qquad& +\cos x &= \frac{1}{2}\bigl( e^{ix} + e^{-ix}\bigr), +\\ +\sinh x &= \frac12\bigl( e^x - e^{-x} \bigr), +& +&\qquad& +\cosh x &= \frac12\bigl( e^x + e^{-x} \bigr). +\end{aligned} +\label{buch:integral:risch:trighypinv} +\end{equation} +Nach Multiplikation mit $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$ entsteht eine +quadratische Gleichung in $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$. +Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen erlaubt daher, $e^{ix}$ +bzw.~$e^{x}$ zu finden und damit auch die Umkehrfunktionen. +Die Rechnung ergibt +\begin{equation} +\begin{aligned} +\arcsin y +&= +\frac{1}{i}\log\bigl( +iy\pm\sqrt{1-y^2} +\bigr) +& +&\qquad& +\arccos y +&= +\log\bigl( +y\pm \sqrt{y^2-1} +\bigr) +\\ +\operatorname{arsinh}y +&= +\log\bigl( +y \pm \sqrt{1+y^2} +\bigr) +& +&\qquad& +\operatorname{arcosh} y +&= +\log\bigl( +y\pm \sqrt{y^2-1} +\bigr) +\end{aligned} +\label{buch:integral:risch:trighypinv} +\end{equation} +Alle Funktionen, die man aus dem elementaren Analysisunterricht +kennt, können also mit Hilfe von Exponentialfunktionen und Logarithmen +geschrieben werden. +Man nennt dies die $\log$-$\exp$-Notation der trigonometrischen +und hyperbolischen Funktionen. +\index{logexpnotation@$\log$-$\exp$-Notation}% + +Wendet man die Substitutionen +\eqref{buch:integral:risch:trighyp} +und +\eqref{buch:integral:risch:trighypinv} +auf die Integrale +\eqref{buch:integration:risch:allgform} +an, entstehen die Beziehungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\int\frac{1}{1+x^2} +&= +\frac12i\bigl( +\log(1-ix) - \log(1+ix) +\bigr) +\\ +\int\bigl( +{\textstyle\frac12} +e^{ix} ++ +{\textstyle\frac12} +e^{-ix} +\bigr) +&= +-{\textstyle\frac12}ie^{ix} ++{\textstyle\frac12}ie^{-ix} +\\ +\int +\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +&= +-i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2}) +\\ +\int \log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) +&= +x\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) - \sqrt{x^2-1}. +\end{aligned} +\label{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +\end{equation} +Die in den Stammfuntionen auftretenden Funktionen treten entweder +schon im Integranden auf oder sind Logarithmen von solchen +Funktionen. +Zum Beispiel hat der Nenner im ersten Integral die Faktorisierung +$1+x^2=(1+ix)(1-ix)$, in der Stammfunktion findet man die Logarithmen +der Faktoren. + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex new file mode 100644 index 0000000..7b24e9f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex @@ -0,0 +1,178 @@ +% +% rational.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Rationale Funktionen und Funktionenkörper +\label{buch:integral:subsection:rational}} +Welche Funktionen sollen als Antwort auf die Frage nach einer Stammfunktion +akzeptiert werden? +Polynome in der unabhängigen Variablen $x$ sollten sicher dazu gehören, +also alles, was man mit Hilfe der Multiplikation, Addition und Subtraktion +aus Koeffizienten zum Beispiel in den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und +der unabhängigen Variablen aufbauen kann. +Doch welche weiteren Operationen sollen zugelassen werden und was lässt +sich über die entstehende Funktionenmenge aussagen? + +\subsubsection{Körper} +Die kleinste Zahlenmenge, in der alle arithmetischen Operationen soweit +sinnvoll durchgeführt werden können, ist die Menge $\mathbb{Q}$ der +rationalen Zahlen. +Etwas formaler ist eine solche Menge, in der die Arithmetik uneingeschränkt +ausgeführt werden kann, ein Körper gemäss der folgenden Definition. +\index{Korper@Körper}% + +\begin{definition} +\label{buch:integral:definition:koerper} +Eine {\em Körper} ist eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen $+$, die Addition, +und $\cdot$, die Multiplikation, +welche die folgenden Eigenschaften haben. +\begin{center} +\renewcommand{\tabcolsep}{0pt} +\begin{tabular}{p{68mm}p{4mm}p{68mm}} +%Eigenschaften der +Addition: +\begin{enumerate}[{\bf A}.1)] +\item assoziativ: $(a+b)+c=a+(b+c)$ +für alle $a,b,c\in K$ +\item kommutativ: $a+b=b+a$ +für alle $a,b\in K$ +\item Neutrales Element der Addition: es gibt ein Element $0\in K$ mit +der Eigenschaft $a+0=a$ für alle $a\in K$ +\item Additiv inverses Element: zu jedem Element $a\in K$ gibt es das Element +$-a$ mit der Eigenschaft $a+(-a)=0$. +\end{enumerate} +&&% +%Eigenschaften der +Multiplikation: +\begin{enumerate}[{\bf M}.1)] +\item assoziativ: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ +für alle $a,b,c\in K$ +\index{Assoziativgesetz}% +\index{assoziativ}% +\item kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$ +für alle $a,b\in K$ +\index{Kommutativgesetz}% +\index{kommutativ}% +\item Neutrales Element der Multiplikation: es gibt ein Element $1\in K$ mit +der Eigenschaft $a\cdot 1 =a$ für alle $a\in K$ +\index{neutrales Element}% +\item Multiplikativ inverses Element: zu jedem Element +\index{inverses Element}% +$a\in K^*=K\setminus\{0\}$ +gibt es das Element $a^{-1}$ mit der Eigenschaft $a\cdot a^{-1}=1$. +\index{Einheitengruppe}% +\index{Gruppe der invertierbaren Elemente}% +\end{enumerate} +\end{tabular} +\end{center} +\vspace{-22pt} +Ausserdem gilt das Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in K$ gilt +$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$. +\index{Disitributivgesetz}% +Die Menge $K^*$ heisst auch die {\em Einheitengruppe} oder die +{\em Gruppe der invertierbaren Elemente} des Körpers. +\end{definition} + +Das Assoziativgesetz {\bf A}.1 besagt, dass Summen mit beliebig +vielen Termen ohne Klammern geschrieben werden kann, weil es nicht +darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Additionen ausgeführt werden. +Ebenso für das Assoziativgesetz {\bf M}.1 der Multiplikation. +Die Kommutativgesetze {\bf A}.2 und {\bf M}.2 implizieren, dass man +nicht auf die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren achten muss. +Das Distributivgesetz schliesslich besagt, dass man Produkte ausmultiplizieren +oder gemeinsame Faktoren ausklammern kann, wie man es in der Schule +gelernt hat. + +Die rellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ +bilden ebenfalls einen Körper, die von den rationalen Zahlen geerbten +Eigenschaften der Verknüpfungen setzen sich auf $\mathbb{R}$ und +$\mathbb{C}$ fort. +Es lassen sich allerdings auch Zahlkörper zwischen $\mathbb{Q}$ und +$\mathbb{R}$ konstruieren, wie das folgende Beispiel zeigt. + +\begin{beispiel} +\label{buch:integral:beispiel:Qsqrt2} +Die Menge +\[ +\mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) += +\{ +a+b\sqrt{2} +\;|\; +a,b\in \mathbb{Q} +\} +\] +ist eine Teilmenge von $\mathbb{R}$. +Die Rechenoperationen haben alle verlangten Eigenschaften, wenn gezeigt +werden kann, dass Produkte und Quotienten von Zahlen in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ +wieder in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ sind. +Dazu rechnet man +\begin{align*} +(a+b\sqrt{2}) +(c+d\sqrt{2}) +&= +ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) +\intertext{und} +\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}} +&= +\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}} +\cdot +\frac{c-d\sqrt{2}}{c-d\sqrt{2}} += +\frac{ac-2bd +(-ad+bc)\sqrt{2}}{c^2-2d^2} +\\ +&= +\underbrace{\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}} ++ +\underbrace{\frac{-ad+bc}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}} +\sqrt{2} +\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}). +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + + +\subsubsection{Rationalen Funktionen} +Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen +Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige +Variable $x$ enthalten. +Ausserdem sollte man beliebige arithmetische Operationen mit +diesen Ausdrücken durchführen können. +Mit Addition, Subtraktion und Multiplikation entstehen aus den +rationalen Zahlen und der unabhängigen Variablen die Polynome $\mathbb{Q}[x]$ +(siehe auch Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:polynome}). + + +\begin{definition} +Die Menge +\[ +\mathbb{Q}(x) += +\biggl\{ +\frac{p(x)}{q(x)} +\;\bigg|\; +p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x] +\wedge +q(x)\ne 0 +\biggr\}, +\] +bestehend aus allen Quotienten von Polynomen, deren Nenner nicht +das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen} +\index{rationale Funktion}% +mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$. +\end{definition} + +Die Definition erlaubt, dass der Nenner Nullstellen hat, die sich in +Polen der Funktion äussern. +Die Eigenschaften eines Körpers sind sicher erfüllt, wenn wir uns +nur davon überzeugen können, +dass die arithmetischen Operationen nicht aus dieser Funktionenmenge +herausführen. +Dazu muss man nur verstehen, dass die Operation des gleichnamig Machens +zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die +Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen +umwandelt. + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/risch.tex b/buch/chapters/060-integral/risch.tex index 6c8ff96..1ba746a 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/risch.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/risch.tex @@ -6,7 +6,8 @@ \section{Der Risch-Algorithmus \label{buch:integral:section:risch}} \rhead{Risch-Algorithmus} - +\input{chapters/060-integral/logexp.tex} +\input{chapters/060-integral/elementar.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex new file mode 100644 index 0000000..787cfc9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex @@ -0,0 +1,480 @@ +% +% sqrat.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Integranden der Form $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ +\label{buch:integral:subsection:rxy}} +Für rationale Funktionen lässt sich immer eine Stammfunktion in einem +Erweiterungskörper angeben, der durch hinzufügen einzelner logarithmischer +Funktionen entsteht. +Die dabei verwendeten Techniken lassen sich verallgemeinern. +Zur Illustration und Motivation des später beschriebenen Risch-Algorithmus +stellen wir uns in diesem Abschnitt der Aufgabe, Integrale +mit einem Integranden zu berechnen, der eine rationale Funktion von $x$ +und $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist. + +% +% Aufgabenstellung +% +\subsubsection{Aufgabenstellung} +Eine rationale Funktion von $x$ und $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist ein +Element des Differentialkörpers, den man aus $\mathbb{Q}(x)$ durch +hinzufügen des Elementes +\[ +y=\sqrt{ax^2+bx+c} +\] +erhält. +Eine Funktion $f\in\mathbb{Q}(x,y)$ kann geschrieben werden als Bruch +\begin{equation} +f += +\frac{ +\tilde{p}_0 + \tilde{p}_1y + \dots + \tilde{p}_n y^n +}{ +\tilde{q}_0 + \tilde{q}_1y + \dots + \tilde{q}_m y^m +} +\label{buch:integral:sqrat:eqn:ftilde} +\end{equation} +mit rationalen Koeffizienten $\tilde{p}_i,\tilde{q}_i\in\mathbb{Q}(x)$. +Gesucht ist eine Stammfunktion von $f$. + +% +% Algebraische Vereinfachungen +% +\subsubsection{Algebraische Vereinfachungen} +Da $x^2=ax^2+bx+c$ ein Polynom ist, sind auch alle geraden Potenzen +von $y$ Polynome in $\mathbb{Q}(x)$, +und die ungeraden Potenzen von $y$ lassen sich als Produkt aus einem +Polynom und dem Faktor $y$ schreiben. +Der Integrand~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:ftilde} +lässt sich daher vereinfachen zu einem Bruch der Form +\begin{equation} +f(x) += +\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y}, +\label{buch:integral:sqrat:eqn:moebius} +\end{equation} +wobei $p_i$ und $q_i$ rationale Funktionen in $\mathbb{Q}(x)$ sind. + +% +% Rationalisieren +% +\subsubsection{Rationalisieren} +Unschön an der Form~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:moebius} ist die +Tatsache, dass $y$ sowohl im Nenner wie auch im Zähler auftreten kann. +Da aber $y$ die quadratische Identität $y^2=ax^2+bx+c$ erfüllt, +kann das $y$ im Nenner durch Erweitern mit $q_0-q_1y$ zum verschwinden +gebracht werden. +Die Rechnung ergibt +\begin{align*} +\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y} +&= +\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y} +\cdot +\frac{q_0-q_1y}{q_0-q_1y} += +\frac{(p_0+p_1y)(q_0-q_1y)}{q_0^2-q_1^2y^2} +\\ +&= +\frac{p_0q_0-p_1q_1(ax^2+bx+c)}{q_0^2-q_1^2(ax^2+bx+c)} ++ +\frac{q_0p_1-q_1p_0}{q_0^2-q_1^2(ax^2+bx+c)} y. +\end{align*} +Die Quotienten enthalten $y$ nicht mehr, sind also in $\mathbb{Q}(x)$. +In der späteren Rechnung stellt sich heraus, dass es praktischer ist, +das $y$ im Nenner zu haben, was man durch erweitern mit $y$ wieder +unter Ausnützung von $y^2=ax^2+bx+c$ erreichen kann. +Die zu integrierende Funktion kann also in der Form +\begin{equation} +f(x) += +W_1 + W_2\frac{1}{y} +\label{buch:integral:sqint:eqn:w1w2y} +\end{equation} +geschrieben werden mit rationalen Funktionen +$W_1,W_2\in\mathbb{Q}(x)$. +Eine Stammfunktion von $W_1$ kann mit der Methode von +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:rationalefunktionen} +gefunden werden. +Im Folgenden kümmern wir uns daher nur noch um $W_1$. + +% +% Polynomdivision +% +\subsubsection{Polynomdivision} +Die Funktion $W_2$ in \eqref{buch:integral:sqint:eqn:w1w2y} ist eine +rationale Funktion $W_2\in \mathbb{K}(x)$, also ein Bruch mit Polynomen +in $x$ als Zähler und Nenner. +Durch Polynomdivision mit Rest können wir $W_2$ schreiben als +\[ +W_1 = \varphi + W_3, +\] +wobei $\varphi$ ein Polynom in $x$ ist und $W_3$ eine rationale +Funktion, deren Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. +Zur Bestimmung der Stammfunktion bleibt jetzt nur noch +\begin{equation} +\int W_2\frac{1}{y} += +\int \frac{\varphi}{y} ++ +\int W_3\frac1{y} +\label{buch:integral:sqint:eqn:Wy} +\end{equation} +zu berechnen. + +% +% Integranden der Form $\varphi(x)/y$ +% +\subsubsection{Integranden der Form $\varphi(x)/y$} +Der erste Term in~\eqref{buch:integral:sqint:eqn:Wy} ist ein Integral eines +Quotienten eines Polynoms geteilt durch $y$. +Solche Integrale können, wie im Folgenden gezeigt werden soll, reduziert +werden auf das Integral von $1/y$. +Genauer gilt der folgende Satz. + +\begin{satz} +\label{buch:integral:sqint:satz:polyy} +Sei $\varphi\in\mathcal{K}(x)$ ein Polynom in $x$, dann gibt +es ein Polynom $\psi\in\mathcal{K}(x)$ vom Grad $\deg\psi < \deg\varphi$, +und $A\in\mathcal{K}$ derart, dass +\begin{equation} +\int \frac{\varphi}{y} += +\psi y + A\int\frac{1}{y}. +\label{buch:integral:sqint:eqn:phipsi} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir schreiben die Polynome in der Form +\begin{align*} +\varphi +&= +\varphi_mx^m + \varphi_{m-1}x^{m-1} + \dots + \varphi_2x^2 + \varphi_1x + \varphi_0 +\\ +\psi +&= +\phantom{\varphi_mx^m+\mathstrut} +\psi_{m-1}x^{m-1} + \dots + \psi_2x^2 + \psi_1x + \psi_0 +\intertext{mit der Ableitung} +\psi' +&= +\phantom{\varphi_mx^m+\mathstrut} +\psi_{m-1}(m-1)x^{m-2} + \dots + 2\psi_2x + \psi_1. +\end{align*} +Wir leiten die Gleichung~\eqref{buch:integral:sqint:eqn:phipsi} +nach $x$ ab und erhalten +\begin{align*} +\frac{\varphi}{y} +&= +\psi'y + \psi y' + \frac{A}{y} += +\psi'y + \psi \frac{ax+b/2}{y} + \frac{A}{y}. +\intertext{Durch Multiplikation mit $y$ wird die Gleichung wesentlich +vereinfacht zu} +\varphi +&= +\psi' y^2 + \psi y' y + A += +\psi' \cdot(ax^2+bx+c) + \psi\cdot (ax+b/2) + A. +\end{align*} +Auf beiden Seiten stehen Polynome, man kann daher versuchen, die +Koeffizienten von $\psi$ mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs zu +bestimmen. +Dazu müssen die Produkte auf der rechten Seite ausmultipliziert werden. +So ergeben sich die Gleichungen +\begin{equation} +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcr} +\varphi_m +&=& +(m-1)\psi_{m-1} a &+& & & +&+& +\psi_{m-1} a & & & & +\\ +\varphi_{m-1} +&=& +(m-2)\psi_{m-2}a +&+& +(m-1)\psi_{m-1}b +& & +&+& +\psi_{m-2}a +&+& +\psi_{m-1}\frac{b}2 +& & +\\ +\varphi_{m-2} +&=& +(m-3)\psi_{m-3}a +&+& +(m-2)\psi_{m-2}b +&+& +(m-1)\psi_{m-1}c +&+& +\psi_{m-3}a +&+& +\psi_{m-2}\frac{b}2 +& & +\\ +&\vdots&&&&&&&&&&& +\\ +\varphi_2 +&=& +\psi_{1\phantom{-m}}a +&+& +2\psi_{2\phantom{-m}}b +&+& +3\psi_{3\phantom{-m}}c +&+& +\psi_{1\phantom{-m}}a +&+& +\psi_{2\phantom{-m}}\frac{b}2 +& & +\\ +\varphi_1 +&=& +& & +\psi_{1\phantom{-m}}b +& & +2\psi_{2\phantom{-m}}c +&+& +\psi_{0\phantom{-m}}a +&+& +\psi_{1\phantom{-m}}\frac{b}2 +\\ +\varphi_0 +&=& +& & +& & +\psi_{1\phantom{-m}}c +& & +&+& +\psi_{0\phantom{-m}}\frac{b}2 +&+&A +\end{array} +\end{equation} +In jeder Gleichung kommen hächstens drei der Koeffizienten von $\psi$ vor. +Fasst man sie zusammen und stellt die Terme etwas um, +erhält man die einfacheren Gleichungen +\begin{equation} +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcr} +\varphi_m +&=& +(m-0){\color{red}\psi_{m-1}}a & & & & +& & +\\ +\varphi_{m-1} +&=& +(m-1+\frac12)\psi_{m-1}b +&+& +(m-1){\color{red}\psi_{m-2}}a +& & +& & +\\ +\varphi_{m-2} +&=& +(m-1)\psi_{m-1}c +&+& +(m-2+\frac12)\psi_{m-2}b +&+& +(m-2){\color{red}\psi_{m-3}}a +& & +\\ +&\vdots&&&&&&&&&&& +\\ +\varphi_2 +&=& +3\psi_{3\phantom{-m}}c +&+& +(2+\frac12)\psi_{2\phantom{-m}}b +&+& +2{\color{red}\psi_{1\phantom{-m}}}a +& & +\\ +\varphi_1 +&=& +2\psi_{2\phantom{-m}}c +&+& +(1+\frac12)\psi_{1\phantom{-m}}b +&+& +{\color{red}\psi_{0\phantom{-m}}}a +& & +\\ +\varphi_0 +&=& +\psi_{1\phantom{-m}}c +& & +&+& +(0+\frac12) \psi_{0\phantom{-m}}b +&+&{\color{red}A} +\end{array} +\end{equation} +Die erste Gleichung kann wegen $a\ne 0$ nach $\psi_{m-1}$ aufgelöst werden, +dadurch ist $\psi_{m-1}$ bestimmt. +In allen folgenden Gleichungen taucht jeweils ein neuer Koeffizient +von $\psi$ auf, der rot hervorgehoben ist. +Wieder wegen $a\ne 0$ kann die Gleichung immer nach dieser Variablen +aufgelöst werden. +Die Gleichungen zeigen daher, dass die Koeffizienten des Polynoms $\psi$ +in absteigender Folge und die Konstanten $A$ eindeutig bestimmt werden. +\end{proof} + +Mit diesem Satz ist das Integral über den Teil $\varphi/y$ auf den +Fall des Integrals von $1/y$ reduziert. +Letzteres wird im nächsten Abschnitt berechnet. + +% +% Das Integral von $1/y$ +% +\subsubsection{Das Integral von $1/y$} +Eine Stammfunktion von $1/y$ kann mit etwas Geschick mit den +Interationstechniken gefunden werden, die man in einem Analysis-Kurs +lernt. +Durch Ableitung der Funktion +\[ +F += +\frac{1}{\sqrt{a}}\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr) +\] +kann man nachprüfen, dass $F$ eine Stammfunktion von $1/y$ ist, +also +\begin{equation} +\int +\frac{1}{y} += +\frac{1}{\sqrt{a}}\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr). +\end{equation} + +% +% Partialbruchzerlegung +% +\subsubsection{Partialbruchzerlegung} +In der rationalen Funktion $W_3$ in \eqref{buch:integral:sqint:eqn:Wy} +hat der Zähler kleineren Grad als der Nenner, sie kann daher wieder +in Partialbrüche +\[ +W_3 += +\sum_{i=1}^n +\sum_{k=1}^{k_i} +\frac{A_{ik}}{(x-\alpha_i)^k} +\] +mit den Nullstellen $\alpha_i$ des Nenners von $W_3$ mit Vielfachheiten +$k_i$ zerlegt werden. +Die Stammfunktion von $W_3/y$ wird damit zu +\begin{equation} +\int W_3\frac{1}{y} += +\sum_{i=1}^n +\sum_{k=1}^{k_i} +A_{ik} +\int +\frac{1}{(x-\alpha_i)^ky} += +\sum_{i=1}^n +\sum_{k=1}^{k_i} +A_{ik} +\int +\frac{1}{(x-\alpha_i)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}. +\end{equation} +Die Stammfunktion ist damit reduziert auf Integrale der Form +\begin{equation} +\int +\frac{1}{(x-\alpha)^k \sqrt{ax^2+bx+c}} +\label{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +\end{equation} +mit $k>0$. + +% +% Integrale der Form \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +% +\subsubsection{Integrale der Form \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}} +Die Integrale~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +können mit Hilfe der Substution +\[ +t=\frac{1}{x-\alpha} +\qquad\text{oder}\qquad +x=\frac1t+\alpha +\] +In ein Integral verwandelt werden, für welches bereits eine +Berechnungsmethode entwickelt wurde. +Dazu berechnet man +\begin{align*} +y^2 +&= a\biggl(\frac1t+\alpha\biggr)^2 + b\biggl(\frac1t+\alpha\biggr) + c +\\ +&= +a\biggl(\frac{1}{t^2}+2\frac{\alpha}{t}+\alpha^2\biggr) ++\frac{b}{t}+b\alpha+c += +\frac{1}{t^2}\bigl( +\underbrace{a+(2a\alpha+b)t+(a\alpha^2+c)t^2}_{\displaystyle=Y^2} +\bigr) +\intertext{und damit} +y&=\frac{Y}{t}. +\end{align*} +Führt man die Substition +$dx = -dt/t^2$ im Integral aus, erhält man +\begin{align*} +\int\frac{dx}{(x-\alpha)^ky} +&= +- +\int +t^k\cdot\frac{t}{Y}\frac{dt}{t^2} += +-\int\frac{t^{k-1}}{Y}\,dt. +\end{align*} +Das letzte Integral ist wieder von der Form, die in +Satz~\ref{buch:integral:sqint:satz:polyy} behandelt wurde. +Insbesondere gibt es ein Polynom $\psi$ vom Grad $k-2$ und +eine Konstante $A$ derart, dass +\[ +\int\frac{1}{(x-\alpha)^ky} += +\psi Y + A\int\frac{1}{Y} +\] +ist. +Damit ist das Integral von $R(x,y)$ vollständig bestimmt. + +\subsubsection{Beobachtungen} +Die eben dargestellte Berechnung des Integrals von $R(x,y)$ zeigt einige +Gemeinsamkeiten mit der entsprechenden Rechnung für rationale +Integranden, aber auch einige wesentliche Unterschiede. +Wieder zeigt sich, dass Polynomdivision und Partialbruchzerlegung +die zentralen Werkzeuge sind, mit denen der Integrand zerlegt und +leichter integrierbare Funktionen umgeformt werden kann. +Andererseits ist der in +Satz~\ref{buch:integral:sqint:satz:polyy} +zusammengefasste Schritt eine wesentliche zusätzliche Vereinfachung, +die keine Entsprechung bei rationalen Integranden hat. + +Die gefunden Form der Stammfunktion hat jedoch die allgemeine +Form +\[ +\int R(x,y) += +v_0 + +C +\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr) ++ +\sum_{i=1}^n c_i +\log v_i, +\] +die ganz der bei rationalen Integranden gefunden Form entspricht. +Darin ist $v_0$ die Summe der angefallenen rationalen Teilintegrale, +also $v_0\in\mathcal{K}(x,y)$. +Die $v_i\in\mathcal{K}(x,y)$ sind die entsprechenden Logarithmusfunktionen, +die bei der Berechnung der Integrale \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +auftreten. +Insbesondere liefert die Rechnung eine Körpererweiterung von +$\mathcal{K}(x,y)$ um die logarithmische Funktionen +$\log(x+b/2a+y/\!\sqrt{y})$ und $\log v_i$, in der $R(x,y)$ eine +Stammfunktion hat. + + + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 4cb2ba3..3acce2f 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -651,7 +651,7 @@ werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist. \begin{definition} Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst -$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement +$k' = \sqrt{1-k^2}$ der {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$. \end{definition} diff --git a/buch/papers/fresnel/Makefile b/buch/papers/fresnel/Makefile index 11af3a7..ed74861 100644 --- a/buch/papers/fresnel/Makefile +++ b/buch/papers/fresnel/Makefile @@ -3,20 +3,6 @@ # # (c) 2022 Prof Dr Andreas Mueller # -all: fresnelgraph.pdf eulerspirale.pdf pfad.pdf - images: @echo "no images to be created in fresnel" -eulerpath.tex: eulerspirale.m - octave eulerspirale.m - -fresnelgraph.pdf: fresnelgraph.tex eulerpath.tex - pdflatex fresnelgraph.tex - -eulerspirale.pdf: eulerspirale.tex eulerpath.tex - pdflatex eulerspirale.tex - -pfad.pdf: pfad.tex - pdflatex pfad.tex - diff --git a/buch/papers/fresnel/images/Makefile b/buch/papers/fresnel/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..eb7dc57 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/Makefile @@ -0,0 +1,38 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: schale.pdf \ + fresnelgraph.pdf \ + eulerspirale.pdf \ + pfad.pdf \ + apfel.pdf \ + kruemmung.pdf + +schale.png: schale.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Oschale.png schale.pov + +schale.jpg: schale.png Makefile + convert -extract 1240x1080+340 schale.png -density 300 -units PixelsPerInch schale.jpg + +schale.pdf: schale.tex schale.jpg + pdflatex schale.tex + +eulerpath.tex: eulerspirale.m + octave eulerspirale.m + +fresnelgraph.pdf: fresnelgraph.tex eulerpath.tex + pdflatex fresnelgraph.tex + +eulerspirale.pdf: eulerspirale.tex eulerpath.tex + pdflatex eulerspirale.tex + +pfad.pdf: pfad.tex + pdflatex pfad.tex + +apfel.pdf: apfel.tex apfel.jpg eulerpath.tex + pdflatex apfel.tex + +kruemmung.pdf: kruemmung.tex + pdflatex kruemmung.tex diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg b/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..76e48e7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf b/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..69e5092 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex b/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex new file mode 100644 index 0000000..754886b --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% apfel.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\input{eulerpath.tex} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\begin{scope} +\clip(-0.6,-0.6) rectangle (7,6); +\node at (3.1,2.2) [rotate=-3] {\includegraphics[width=9.4cm]{apfel.jpg}}; +\end{scope} + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\draw[color=gray!50] (0,0) rectangle (4,4); +\draw[->] (-0.5,0) -- (7.5,0) coordinate[label={$C(t)$}]; +\draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.0) coordinate[label={left:$S(t)$}]; +\begin{scope}[scale=8] +\draw[color=red,opacity=0.5,line width=1.4pt] \fresnela; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m index 84e3696..84e3696 100644 --- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m +++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf Binary files differindex 4a85a50..db74e4b 100644 --- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf +++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex index 38ef756..38ef756 100644 --- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex +++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf Binary files differindex 9ccad56..c658901 100644 --- a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf +++ b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex index 20df951..20df951 100644 --- a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex +++ b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex diff --git a/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1180116 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex new file mode 100644 index 0000000..af0a1a9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% kruemmung.tex -- Krümmung einer ebenen Kurve +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope} +\clip (-1,-1) rectangle (4,4); + +\def\r{3} +\def\winkel{30} + +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{0.6*\r}) arc (0:\winkel:{0.6*\r}) -- cycle; +\fill[color=blue!20] (\winkel:\r) + -- ($(\winkel:\r)+(0,{0.6*\r})$) arc (90:{90+\winkel}:{0.6*\r}) -- cycle; +\node[color=blue] at ({0.5*\winkel}:{0.45*\r}) {$\Delta\varphi$}; + +\node[color=blue] at ($(\winkel:\r)+({90+0.5*\winkel}:{0.45*\r})$) + {$\Delta\varphi$}; + +\draw[line width=0.3pt] (0,0) circle[radius=\r]; + +\draw[->] (0,0) -- (0:\r); +\draw[->] (0,0) -- (\winkel:\r); + +\draw[->] (0:\r) -- ($(0:\r)+(90:0.7*\r)$); +\draw[->] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+({90+\winkel}:0.7*\r)$); +\draw[->,color=gray] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+(0,0.7*\r)$); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:\winkel:\r); +\node[color=red] at ({0.5*\winkel}:\r) [left] {$\Delta s$}; +\fill[color=red] (0:\r) circle[radius=0.05]; +\fill[color=red] (\winkel:\r) circle[radius=0.05]; + +\node at (\winkel:{0.5*\r}) [above] {$r$}; +\node at (0:{0.5*\r}) [below] {$r$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf b/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf Binary files differindex ff514cc..df3c7af 100644 --- a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf +++ b/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.tex b/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex index 5439a71..680cd78 100644 --- a/buch/papers/fresnel/pfad.tex +++ b/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex @@ -15,6 +15,9 @@ \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] +\fill[color=gray!40] (0,0) -- (2,0) arc (0:45:2) -- cycle; +\node at (22.5:1.4) {$\displaystyle\frac{\pi}4$}; + \draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}]; \draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}]; diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9c21951 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pov b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov new file mode 100644 index 0000000..085a6a4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov @@ -0,0 +1,191 @@ +// +// schale.pov -- +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +#declare O = <0,0,0>; + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.036; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.5, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <10, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +sphere { + <0, 0, 0>, 1 + pigment { + color rgb<0.8,0.8,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +#declare stripcolor = rgb<0.2,0.2,0.8>; 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+ triangle { O, Punten, Poben } + #while (phi < phimax - phistep/2) + #declare phi = phi + phistep; + #declare Poben2 = punkt(phi, theta(phi) + thetawidth); + #declare Punten2 = punkt(phi, theta(phi) - thetawidth); + triangle { O, Punten, Punten2 } + triangle { O, Poben, Poben2 } + triangle { Punten, Punten2, Poben } + triangle { Punten2, Poben2, Poben } + #declare Poben = Poben2; + #declare Punten = Punten2; + #end + triangle { O, Punten, Poben } + } + pigment { + color stripcolor + } + finish { + specular 0.8 + metallic + } +} + +union { + #declare phi = phimin; + #declare P = punkt(phi, theta(phi)); + #while (phi < phimax - phistep/2) + sphere { P, 0.003 } + #declare phi = phi + phistep; + #declare P2 = punkt(phi, theta(phi)); + cylinder { P, P2, 0.003 } + #declare P = P2; + #end + sphere { P, 0.003 } + pigment { + color stripcolor + } + finish { + specular 0.8 + metallic + } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.tex b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex new file mode 100644 index 0000000..577ede4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% schlange.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} +\def\a{47} +\def\r{3.3} +\def\skala{0.95} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope}[xshift=-7.4cm,yshift=-1.2cm] + \clip (-3.6,-2.2) rectangle (3.6,5.1); + + \fill[color=blue!20] (0,0) + -- ({180-\a}:{0.4*\r}) arc ({180-\a}:180:{0.4*\r}) + -- cycle; + \node[color=blue] at ({180-\a/2}:{0.3*\r}) {$\vartheta$}; + + \fill[color=blue!20] (0,{\r/sin(\a)}) + -- ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a}:{0.3*\r})$) + arc ({270-\a}:270:{0.3*\r}) + -- cycle; + \node[color=blue] at ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a/2}:{0.2*\r})$) + {$\vartheta$}; + + + \draw (0,0) circle[radius=\r]; + \draw[->] (0,-3.0) -- (0,5); + \draw ({-\r-0.2},0) -- ({\r+0.2},0); + \fill (0,0) circle[radius=0.06]; + + \draw (0,0) -- ({180-\a}:\r); + \node at ({180-\a+3}:{0.65*\r}) [above right] {$1$}; + + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({180-\a}:\r) -- (0,{\r/cos(90-\a)}); + \fill[color=red] ({180-\a}:\r) circle[radius=0.08]; + \fill[color=red] (0,{\r/cos(90-\a)}) circle[radius=0.08]; + \node[color=red] at (-1.0,3.7) [left] {$r=\cot\vartheta$}; + \node[color=red] at ({180-\a}:\r) [above left] {$P$}; + \node[color=red] at (0,{\r/sin(\a)}) [right] {$Q$}; +\end{scope} + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=7.6cm]{schale.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node[color=red] at (-1.4,1.4) {$r$}; +\node[color=red] at (-2.2,-0.2) {$P$}; +\node[color=red] at (0,3.3) [right] {$Q$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/main.tex b/buch/papers/fresnel/main.tex index e6ee3b5..2050fd4 100644 --- a/buch/papers/fresnel/main.tex +++ b/buch/papers/fresnel/main.tex @@ -8,6 +8,11 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Andreas Müller} +{\parindent0pt Die} Fresnel-Integrale tauchen in der Untersuchung der Beugung +in paraxialer Näherung auf, auch bekannt als die Fresnel-Approximation. +In diesem Kapitel betrachen wir jedoch nur die geometrische +Anwendung der Fresnel-Integrale als Parametrisierung der Euler-Spirale +und zeigen, dass letztere eine Klothoide ist. \input{papers/fresnel/teil0.tex} \input{papers/fresnel/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/fresnel/references.bib b/buch/papers/fresnel/references.bib index 58e9242..cf8fb21 100644 --- a/buch/papers/fresnel/references.bib +++ b/buch/papers/fresnel/references.bib @@ -44,3 +44,9 @@ title = { Fresnel Integral }, date = { 2022-05-13 } } + +@online{fresnel:schale, + url = { https://www.youtube.com/watch?v=D3tdW9l1690 }, + title = { A Strange Map Projection (Euler Spiral) - Numberphile }, + date = { 2022-05-14 } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex index 253e2f3..85b8bf7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex @@ -20,7 +20,7 @@ C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt \\ S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt \end{align*} -heissen die Fesnel-Integrale. +heissen die Fresnel-Integrale. \end{definition} Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte @@ -39,7 +39,7 @@ C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x), S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x). \end{aligned} \] -Durch eine Substution $t=bs$ erhält man +Durch eine Substitution $t=bs$ erhält man \begin{align*} C_a(x) &= @@ -91,7 +91,7 @@ $C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher werden. \begin{figure} \centering -\includegraphics{papers/fresnel/fresnelgraph.pdf} +\includegraphics{papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf} \caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) und $S(x)$ ({\color{blue}blau}) \label{fresnel:figure:plot}} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil1.tex b/buch/papers/fresnel/teil1.tex index a41ddb7..c716cd7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil1.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil1.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \rhead{Euler-Spirale} \begin{figure} \centering -\includegraphics{papers/fresnel/eulerspirale.pdf} +\includegraphics{papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf} \caption{Die Eulerspirale ist die Kurve mit der Parameterdarstellung $x\mapsto (C(x),S(x))$, sie ist rot dargestellt. Sie windet sich unendlich oft um die beiden Punkte $(\pm\frac12,\pm\frac12)$. @@ -25,7 +25,7 @@ $(\pm\frac12,\pm\frac12)$ zu winden. \begin{figure} \centering -\includegraphics{papers/fresnel/pfad.pdf} +\includegraphics{papers/fresnel/images/pfad.pdf} \caption{Pfad zur Berechnung der Grenzwerte $C_1(\infty)$ und $S_1(\infty)$ mit Hilfe des Cauchy-Integralsatzes \label{fresnel:figure:pfad}} @@ -182,7 +182,7 @@ muss, folgt $C_1(\infty)=S_1(\infty)$. Nach Multlikation mit $\sqrt{2}$ folgt aus der Tatsache, dass auch der Realteil verschwinden muss \[ -\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty) +\sqrt{\frac{\pi}{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty) \qquad \Rightarrow \qquad @@ -190,7 +190,10 @@ C_1(\infty) = S_1(\infty) = -\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}. +\frac12 +\sqrt{ +\frac{\pi}{2} +}. \] Aus \eqref{fresnel:equation:arg} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil2.tex b/buch/papers/fresnel/teil2.tex index 22d2a89..ec8c896 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil2.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil2.tex @@ -15,10 +15,165 @@ Eine ebene Kurve, deren Krümmung proportionale zur Kurvenlänge ist, heisst {\em Klothoide}. \end{definition} -Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau bei Autobahnkurven -angewendet. -Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit mit entlang einer Klothoide, +Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau für Autobahnkurven +verwendet. +Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Klothoide, muss man die Krümmung mit konstaner Geschwindigkeit ändern, also das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen. Dies ermöglicht eine ruhige Fahrweise. +\subsection{Krümmung einer ebenen Kurve} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/kruemmung.pdf} +\caption{Berechnung der Krümmung einer ebenen Kurve. +\label{fresnel:figure:kruemmung}} +\end{figure} +Abbildung~\ref{fresnel:figure:kruemmung} erinnert daran, dass der +Bogen eines Kreises vom Radius $r$, entlang dem sich die Richtung +der Tangente um $\Delta\varphi$ ändert, die Länge +$\Delta s = r\Delta\varphi$. +Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius, daraus kann +man ablesen, dass +\[ +\kappa = \frac{1}{r} = \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}. +\] +Für eine beliebige ebene Kurve ist daher die Krümmung +\[ +\kappa = \frac{d\varphi}{ds}. +\] + +\subsection{Krümmung der Euler-Spirale} +Wir betrachten jetzt die Euler-Spirale mit der Parametrisierung +$\gamma(s) = (C_1(s),S_1(s))$. +Zunächst stellen wir fest, dass die Länge der Tangente +\[ +\dot{\gamma}(s) += +\frac{d\gamma}{ds} += +\begin{pmatrix} +\dot{C}_1(s)\\ +\dot{S}_1(s) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos s^2\\ +\sin s^2 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +|\dot{\gamma}(s)| += +\sqrt{\cos^2s^2+\sin^2s^2} += +1. +\] +Insbesondere ist der Parameter $s$ der Kurve $\gamma(s)$ die +Bogenlänge. + +Der zu $\dot{\gamma}(s)$ gehörige Polarwinkel kann aus dem Vergleich +mit einem Vektor mit bekanntem Polarwinkel $\varphi$ abgelesen werden: +\[ +\begin{pmatrix} +\cos \varphi\\ +\sin \varphi +\end{pmatrix} += +\dot{\gamma}(s) += +\begin{pmatrix} +\cos s^2\\\sin s^2 +\end{pmatrix}, +\] +der Polarwinkel +ist daher $\varphi = s^2$. +Die Krümmung ist die Ableitung des Polarwinkels nach $s$, also +\[ +\kappa += +\frac{d\varphi}{ds} += +\frac{ds^2}{ds} += +2s, +\] +sie ist somit proportional zur Bogenlänge $s$. +Damit folgt, dass die Euler-Spirale eine Klothoide ist. + +\subsection{Eine Kugel schälen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{papers/fresnel/images/schale.pdf} +\caption{Schält man eine einen Streifen konstanter Breite beginnend am +Äquator von einer Kugel ab und breitet ihn in der Ebene aus, entsteht +eine Klothoide. +\label{fresnel:figure:schale}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/apfel.pdf} +\caption{Klothoide erhalten durch Abschälen eines Streifens von einem +Apfel (vgl.~Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}) +\label{fresnel:figure:apfel}} +\end{figure} +Schält man einen Streifen konstanter Breite beginnend parallel zum Äquator +von einer Kugel ab und breitet ihn in die Ebene aus, entsteht eine +Approximation einer Klothoide. +Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} zeigt blau den abgeschälten Streifen, +Abbildung~\ref{fresnel:figure:apfel} zeigt das Resultat dieses Versuches +an einem Apfel, das Youtube-Video \cite{fresnel:schale} des +Numberphile-Kanals illustriert das Problem anhand eines aufblasbaren +Globus. + +Windet sich die Kurve in Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} $n$ +mal um die vertikale Achse, bevor sie den Nordpol erreicht, dann kann +die Kurve mit der Funktion +\[ +\gamma(t) += +\begin{pmatrix} +\cos(t) \cos(t/n) \\ +\sin(t) \cos(t/n) \\ +\sin(t/n) +\end{pmatrix} +\] +parametrisiert werden. +Der Tangentialvektor +\[ +\dot{\gamma}(t) += +\begin{pmatrix} +-\sin(t)\cos(t/n) - \cos(t)\sin(t/n)/n \\ +\cos(t)\cos(t/n) - \sin(t)\sin(t/n)/n \\ +\cos(t/n)/n +\end{pmatrix} +\] +hat die Länge +\[ +| \dot{\gamma}(t) |^2 += +\frac{1}{n^2} ++ +\cos^2\frac{t}{n}. +\] +Die Ableitung der Bogenlänge ist daher +\[ +\dot{s}(t) += +\sqrt{ +\frac{1}{n^2} ++ +\cos^2\frac{t}{n} +}. +\] + + +Der Krümmungsradius des blauen Streifens, der die Kugel im Punkt $P$ bei +geographischer $\vartheta$ berührt, hat die Länge der Tangente, die +die Kugel im Punkt $P$ berührt und im Punkt $Q$ durch die Achse der +Kugel geht (Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}). +Die Krümmung in Abhängigkeit von $\vartheta$ ist daher $\tan\vartheta$. + + + + diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex index 37e6bee..ceddbe0 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex @@ -42,8 +42,8 @@ C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) \qquad\text{und}\qquad S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) \] -erfüllen, kann man eine Methode zur Lösung von Differentialgleichung -verwenden. +erfüllen, kann man eine Methode zur numerischen Lösung von +Differentialgleichung verwenden. Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale} wurden auf diese Weise erzeugt. diff --git a/buch/papers/kreismembran/main.tex b/buch/papers/kreismembran/main.tex index 67b436c..e63a118 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/main.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/main.tex @@ -3,29 +3,10 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:kreismembran}} -\lhead{Thema} +\chapter{Schwingungen einer kreisförmligen Membran\label{chapter:kreismembran}} +\lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +\chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz} \input{papers/kreismembran/teil0.tex} \input{papers/kreismembran/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index e4b1711..1552259 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -3,20 +3,8 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{kreismembran:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{kreismembran:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} +\rhead{Einleitung} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index b715075..aef5b79 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -2,54 +2,99 @@ % teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{kreismembran:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{kreismembran:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. +\section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode + \label{kreismembran:section:teil1}} +\rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode} +An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmetode gelöst. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{kreismembran:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{kreismembran:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\end{equation*} +Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt: +\begin{equation*} + \Delta + = + \frac{\partial^2}{\partial r^2} + + + \frac1r + \frac{\partial}{\partial r} + + + \frac{1}{r 2} + \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. + \label{buch:pde:kreis:laplace} +\end{equation*} +Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. +Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. +Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran. + +Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: +\begin{align*} + u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ + (r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t) +\end{align*} +Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt: +\begin{equation*} + u\big|_{\Gamma} = 0 +\end{equation*} +Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: +\begin{align*} + u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\ + \frac{\partial}{\partial t} u(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi) +\end{align*} +Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: +\begin{equation*} + u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t) +\end{equation*} +Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetz in der Differenzialgleichung ergibt: +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} +\end{equation*} +Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Grunden suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: +\begin{gather*} + T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0\\ + r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 = - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} +\end{gather*} +In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das: +\begin{gather*} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \\ + G''(\varphi) = \nu G(\varphi) +\end{gather*} +$G$ kann in einer Fourierreihe entwickelt werden, so dass man sieht, dass $\nu$ die Form $n^2$ mit einer positiven ganzen Zahl sein muss, also: +\begin{equation*} + G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi) +\end{equation*} +Die Gleichung $F$ hat die Gestalt +\begin{equation*} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \quad (*) +\end{equation*} +Wir bereits in der Vorlesung von Prof. Müller gezeigt, sind die Besselfunktionen +\begin{equation*} + J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} +\end{equation*} +Lösungen der "Besselschen Differenzialgleichung" +\begin{equation*} + x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0 +\end{equation*} +Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung $(*)$. Die +Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion +$J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich +viele Nullstellen +\begin{equation*} + \alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ... +\end{equation*} +haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergit sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass +\begin{equation*} + F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad mit \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} +\end{equation*} +Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung +\begin{equation} + u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)\cos(n\varphi)[a_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+b_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)] +\end{equation} +Dabei sind m und n ganze Zahlen, wobei m für die Anzahl der Knotenkreise und n +für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei kmn die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. +An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche und Diskussion mit Prof. Müller wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 7ed217f..8afe817 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -1,40 +1,113 @@ % -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 -\label{kreismembran:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. + +\section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}} +\rhead{Die Hankel Transformation} + +Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. +Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. +Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. +In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. + + +Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: +\begin{align} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} +\end{align} +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. + \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} +\end{align} +Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, + \label{equation:F_ohne_bessel} +\end{align} +wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. + +Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n +\begin{align} + J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha + \label{equation:bessel_n_ordnung} +\end{align} +\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: +\begin{align} + F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ + &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), + \label{equation:F_mit_bessel_step_2} +\end{align} +wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: +\begin{align} + \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. + \label{equation:hankel} +\end{align} + +Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}: + +\begin{align} + e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, +\end{align} +was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, + +\begin{align} + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ + &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} +\end{align} + +Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: +\begin{align} + \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. + \label{equation:inv_hankel} +\end{align} + +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. +Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, + +\begin{align} + f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, + \label{equation:hankel_integral_formula} +\end{align} +um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. + +\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. + +\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + +\begin{equation*} + \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. +\end{equation*} + +\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} +Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: + +\begin{equation*} + \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. +\end{equation*} + +\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} +Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: + +\begin{align*} + &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ + &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), +\end{align*} +bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$. + +\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + +\begin{equation*} + \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), +\end{equation*} +bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 73dee0f..bef8b5f 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -3,38 +3,76 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 +\section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode \label{kreismembran:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode} +Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: +\begin{equation*} + \frac{\partial^2u}{\partial t^2} + = + c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + + + \frac{1}{r} + \frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 0<r<\infty, \quad t>0 + \label{eq:PDE_inf_membane} +\end{equation*} + +\begin{align} + u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty + \label{eq:PDE_inf_membane_RB} +\end{align} + +Mit Anwendung der Hankel-Transformation nullter Ordnung in Abhängigkeit von $r$ auf die Gleichungen \eqref{eq:PDE_inf_membane} und \eqref{eq:PDE_inf_membane_RB}: + +\begin{align} + \tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) dr, +\end{align} + +bekommt man: + +\begin{equation*} + \frac{d^2 \tilde{u}}{dt^2} + c^2\kappa^2\tilde{u}=0, +\end{equation*} + +\begin{equation*} + \tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad + \frac{\partial}{\partial t}\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa). +\end{equation*} + +Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie schon gesehen, wie folgt + +\begin{equation*} + \tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t). +\end{equation*} + +Wendet man an nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung + +\begin{align} + u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) d\kappa. + \label{eq:formale_lösung} +\end{align} + +Es wird daher davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird + +\begin{equation*} + u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d}{dt}(r,0)=g(r)=0 +\end{equation*} + +so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und + +\begin{equation*} + \tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa} +\end{equation*} + +Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also +\begin{align*} + u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t)dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r)dk\\ + &=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}} +\end{align*} + + +\subsection{Vergleich der Lösungen +\label{kreismembran:vergleich}} +Hier kommt noch der Vergleich der Lösungen ;) diff --git a/buch/papers/kugel/images/Makefile b/buch/papers/kugel/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..4226dab --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/Makefile @@ -0,0 +1,30 @@ +# +# Makefile -- build images +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: curvature.jpg spherecurve.jpg + +curvature.inc: curvgraph.m + octave curvgraph.m + +curvature.png: curvature.pov curvature.inc + povray +A0.1 +W1920 +H1080 +Ocurvature.png curvature.pov + +curvature.jpg: curvature.png + convert curvature.png -density 300 -units PixelsPerInch curvature.jpg + +spherecurve2.inc: spherecurve.m + octave spherecurve.m + +spherecurve.png: spherecurve.pov spherecurve.inc + povray +A0.1 +W1080 +H1080 +Ospherecurve.png spherecurve.pov + +spherecurve.jpg: spherecurve.png + convert spherecurve.png -density 300 -units PixelsPerInch spherecurve.jpg + +spherecurve: spherecurve.cpp + g++ -o spherecurve -g -Wall -O spherecurve.cpp + +spherecurve.inc: spherecurve + ./spherecurve diff --git a/buch/papers/kugel/images/curvature.maxima b/buch/papers/kugel/images/curvature.maxima new file mode 100644 index 0000000..6313642 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/curvature.maxima @@ -0,0 +1,6 @@ + +f: exp(-r^2/sigma^2)/sigma; +laplacef: ratsimp(diff(r * diff(f,r), r) / r); +f: exp(-r^2/(2*sigma^2))/(sqrt(2)*sigma); +laplacef: ratsimp(diff(r * diff(f,r), r) / r); + diff --git a/buch/papers/kugel/images/curvature.pov b/buch/papers/kugel/images/curvature.pov new file mode 100644 index 0000000..3b15d77 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/curvature.pov @@ -0,0 +1,139 @@ +// +// curvature.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.09; + +camera { + location <10, 10, -40> + look_at <0, 0, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <-10, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +// +// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with +// color <c> +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +arrow(<-3.1,0,0>, <3.1,0,0>, 0.01, White) +arrow(<0,-1,0>, <0,1,0>, 0.01, White) +arrow(<0,0,-2.1>, <0,0,2.1>, 0.01, White) + +#include "curvature.inc" + +#declare sigma = 1; +#declare s = 1.4; +#declare N0 = 0.4; +#declare funktion = function(r) { + (exp(-r*r/(sigma*sigma)) / sigma + - + exp(-r*r/(2*sigma*sigma)) / (sqrt(2)*sigma)) / N0 +}; +#declare hypot = function(xx, yy) { sqrt(xx*xx+yy*yy) }; + +#declare Funktion = function(x,y) { funktion(hypot(x+s,y)) - funktion(hypot(x-s,y)) }; +#macro punkt(xx,yy) + <xx, Funktion(xx, yy), yy> +#end + +#declare griddiameter = 0.006; +union { + #declare xmin = -3; + #declare xmax = 3; + #declare ymin = -2; + #declare ymax = 2; + + + #declare xstep = 0.2; + #declare ystep = 0.02; + #declare xx = xmin; + #while (xx < xmax + xstep/2) + #declare yy = ymin; + #declare P = punkt(xx, yy); + #while (yy < ymax - ystep/2) + #declare yy = yy + ystep; + #declare Q = punkt(xx, yy); + sphere { P, griddiameter } + cylinder { P, Q, griddiameter } + #declare P = Q; + #end + sphere { P, griddiameter } + #declare xx = xx + xstep; + #end + + #declare xstep = 0.02; + #declare ystep = 0.2; + #declare yy = ymin; + #while (yy < ymax + ystep/2) + #declare xx = xmin; + #declare P = punkt(xx, yy); + #while (xx < xmax - xstep/2) + #declare xx = xx + xstep; + #declare Q = punkt(xx, yy); + sphere { P, griddiameter } + cylinder { P, Q, griddiameter } + #declare P = Q; + #end + sphere { P, griddiameter } + #declare yy = yy + ystep; + #end + + pigment { + color rgb<0.8,0.8,0.8> + } + finish { + metallic + specular 0.8 + } +} + diff --git a/buch/papers/kugel/images/curvgraph.m b/buch/papers/kugel/images/curvgraph.m new file mode 100644 index 0000000..75effd6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/curvgraph.m @@ -0,0 +1,140 @@ +# +# curvature.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +global N; +N = 10; + +global sigma2; +sigma2 = 1; + +global s; +s = 1.4; + +global cmax; +cmax = 0.9; +global cmin; +cmin = -0.9; + +global Cmax; +global Cmin; +Cmax = 0; +Cmin = 0; + +xmin = -3; +xmax = 3; +xsteps = 200; +hx = (xmax - xmin) / xsteps; + +ymin = -2; +ymax = 2; +ysteps = 200; +hy = (ymax - ymin) / ysteps; + +function retval = f0(r) + global sigma2; + retval = exp(-r^2/sigma2)/sqrt(sigma2) - exp(-r^2/(2*sigma2))/(sqrt(2*sigma2)); +end + +global N0; +N0 = f0(0) +N0 = 0.4; + +function retval = f1(x,y) + global N0; + retval = f0(hypot(x, y)) / N0; +endfunction + +function retval = f(x, y) + global s; + retval = f1(x+s, y) - f1(x-s, y); +endfunction + +function retval = curvature0(r) + global sigma2; + retval = ( + -4*(sigma2-r^2)*exp(-r^2/sigma2) + + + (2*sigma2-r^2)*exp(-r^2/(2*sigma2)) + ) / (sigma2^(5/2)); +endfunction + +function retval = curvature1(x, y) + retval = curvature0(hypot(x, y)); +endfunction + +function retval = curvature(x, y) + global s; + retval = curvature1(x+s, y) - curvature1(x-s, y); +endfunction + +function retval = farbe(x, y) + global Cmax; + global Cmin; + global cmax; + global cmin; + c = curvature(x, y); + if (c < Cmin) + Cmin = c + endif + if (c > Cmax) + Cmax = c + endif + u = (c - cmin) / (cmax - cmin); + if (u > 1) + u = 1; + endif + if (u < 0) + u = 0; + endif + color = [ u, 0.5, 1-u ]; + color = color/max(color); + color(1,4) = c/2; + retval = color; +endfunction + +function dreieck(fn, A, B, C) + fprintf(fn, "\ttriangle {\n"); + fprintf(fn, "\t <%.4f,%.4f,%.4f>,\n", A(1,1), A(1,3), A(1,2)); + fprintf(fn, "\t <%.4f,%.4f,%.4f>,\n", B(1,1), B(1,3), B(1,2)); + fprintf(fn, "\t <%.4f,%.4f,%.4f>\n", C(1,1), C(1,3), C(1,2)); + fprintf(fn, "\t}\n"); +endfunction + +function viereck(fn, punkte) + color = farbe(mean(punkte(:,1)), mean(punkte(:,2))); + fprintf(fn, " mesh {\n"); + dreieck(fn, punkte(1,:), punkte(2,:), punkte(3,:)); + dreieck(fn, punkte(2,:), punkte(3,:), punkte(4,:)); + fprintf(fn, "\tpigment { color rgb<%.4f,%.4f,%.4f> } // %.4f\n", + color(1,1), color(1,2), color(1,3), color(1,4)); + fprintf(fn, " }\n"); +endfunction + +fn = fopen("curvature.inc", "w"); +punkte = zeros(4,3); +for ix = (0:xsteps-1) + x = xmin + ix * hx; + punkte(1,1) = x; + punkte(2,1) = x; + punkte(3,1) = x + hx; + punkte(4,1) = x + hx; + for iy = (0:ysteps-1) + y = ymin + iy * hy; + punkte(1,2) = y; + punkte(2,2) = y + hy; + punkte(3,2) = y; + punkte(4,2) = y + hy; + for i = (1:4) + punkte(i,3) = f(punkte(i,1), punkte(i,2)); + endfor + viereck(fn, punkte); + end +end +#fprintf(fn, " finish { metallic specular 0.5 }\n"); +fclose(fn); + +printf("Cmax = %.4f\n", Cmax); +printf("Cmin = %.4f\n", Cmin); diff --git a/buch/papers/kugel/images/spherecurve.cpp b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.cpp new file mode 100644 index 0000000..8ddf5e5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.cpp @@ -0,0 +1,292 @@ +/* + * spherecurve.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdio> +#include <cstdlib> +#include <cmath> +#include <string> +#include <iostream> + +inline double sqr(double x) { return x * x; } + +/** + * \brief Class for 3d vectors (also used as colors) + */ +class vector { + double X[3]; +public: + vector() { X[0] = X[1] = X[2] = 0; } + vector(double a) { X[0] = X[1] = X[2] = a; } + vector(double x, double y, double z) { + X[0] = x; X[1] = y; X[2] = z; + } + vector(double theta, double phi) { + double s = sin(theta); + X[0] = cos(phi) * s; + X[1] = sin(phi) * s; + X[2] = cos(theta); + } + vector(const vector& other) { + for (int i = 0; i < 3; i++) { + X[i] = other.X[i]; + } + } + vector operator+(const vector& other) const { + return vector(X[0] + other.X[0], + X[1] + other.X[1], + X[2] + other.X[2]); + } + vector operator*(double l) const { + return vector(X[0] * l, X[1] * l, X[2] * l); + } + double operator*(const vector& other) const { + double s = 0; + for (int i = 0; i < 3; i++) { + s += X[i] * other.X[i]; + } + return s; + } + double norm() const { + double s = 0; + for (int i = 0; i < 3; i++) { + s += sqr(X[i]); + } + return sqrt(s); + } + vector normalize() const { + double l = norm(); + return vector(X[0]/l, X[1]/l, X[2]/l); + } + double max() const { + return std::max(X[0], std::max(X[1], X[2])); + } + double l0norm() const { + double l = 0; + for (int i = 0; i < 3; i++) { + if (fabs(X[i]) > l) { + l = fabs(X[i]); + } + } + return l; + } + vector l0normalize() const { + double l = l0norm(); + vector result(X[0]/l, X[1]/l, X[2]/l); + return result; + } + const double& operator[](int i) const { return X[i]; } + double& operator[](int i) { return X[i]; } +}; + +/** + * \brief Derived 3d vector class implementing color + * + * The constructor in this class converts a single value into a + * color on a suitable gradient. + */ +class color : public vector { +public: + static double utop; + static double ubottom; + static double green; +public: + color(double u) { + u = (u - ubottom) / (utop - ubottom); + if (u > 1) { + u = 1; + } + if (u < 0) { + u = 0; + } + u = pow(u,2); + (*this)[0] = u; + (*this)[1] = green * u * (1 - u); + (*this)[2] = 1-u; + double l = l0norm(); + for (int i = 0; i < 3; i++) { + (*this)[i] /= l; + } + } +}; + +double color::utop = 12; +double color::ubottom = -31; +double color::green = 0.5; + +/** + * \brief Surface model + * + * This class contains the definitions of the functions to plot + * and the parameters to + */ +class surfacefunction { + static vector axes[6]; + + double _a; + double _A; + + double _umin; + double _umax; +public: + double a() const { return _a; } + double A() const { return _A; } + + double umin() const { return _umin; } + double umax() const { return _umax; } + + surfacefunction(double a, double A) : _a(a), _A(A), _umin(0), _umax(0) { + } + + double f(double z) { + return A() * exp(a() * (sqr(z) - 1)); + } + + double g(double z) { + return -f(z) * 2*a() * ((2*a()*sqr(z) + (3-2*a()))*sqr(z) - 1); + } + + double F(const vector& v) { + double s = 0; + for (int i = 0; i < 6; i++) { + s += f(axes[i] * v); + } + return s / 6; + } + + double G(const vector& v) { + double s = 0; + for (int i = 0; i < 6; i++) { + s += g(axes[i] * v); + } + return s / 6; + } +protected: + color farbe(const vector& v) { + double u = G(v); + if (u < _umin) { + _umin = u; + } + if (u > _umax) { + _umax = u; + } + return color(u); + } +}; + +static double phi = (1 + sqrt(5)) / 2; +static double sl = sqrt(sqr(phi) + 1); +vector surfacefunction::axes[6] = { + vector( 0. , -1./sl, phi/sl ), + vector( 0. , 1./sl, phi/sl ), + vector( 1./sl, phi/sl, 0. ), + vector( -1./sl, phi/sl, 0. ), + vector( phi/sl, 0. , 1./sl ), + vector( -phi/sl, 0. , 1./sl ) +}; + +/** + * \brief Class to construct the plot + */ +class surface : public surfacefunction { + FILE *outfile; + + int _phisteps; + int _thetasteps; + double _hphi; + double _htheta; +public: + int phisteps() const { return _phisteps; } + int thetasteps() const { return _thetasteps; } + double hphi() const { return _hphi; } + double htheta() const { return _htheta; } + void phisteps(int s) { _phisteps = s; _hphi = 2 * M_PI / s; } + void thetasteps(int s) { _thetasteps = s; _htheta = M_PI / s; } + + surface(const std::string& filename, double a, double A) + : surfacefunction(a, A) { + outfile = fopen(filename.c_str(), "w"); + phisteps(400); + thetasteps(200); + } + + ~surface() { + fclose(outfile); + } + +private: + void triangle(const vector& v0, const vector& v1, const vector& v2) { + fprintf(outfile, " mesh {\n"); + vector c = (v0 + v1 + v2) * (1./3.); + vector color = farbe(c.normalize()); + vector V0 = v0 * (1 + F(v0)); + vector V1 = v1 * (1 + F(v1)); + vector V2 = v2 * (1 + F(v2)); + fprintf(outfile, "\ttriangle {\n"); + fprintf(outfile, "\t <%.6f,%.6f,%.6f>,\n", + V0[0], V0[2], V0[1]); + fprintf(outfile, "\t <%.6f,%.6f,%.6f>,\n", + V1[0], V1[2], V1[1]); + fprintf(outfile, "\t <%.6f,%.6f,%.6f>\n", + V2[0], V2[2], V2[1]); + fprintf(outfile, "\t}\n"); + fprintf(outfile, "\tpigment { color rgb<%.4f,%.4f,%.4f> }\n", + color[0], color[1], color[2]); + fprintf(outfile, "\tfinish { metallic specular 0.5 }\n"); + fprintf(outfile, " }\n"); + } + + void northcap() { + vector v0(0, 0, 1); + for (int i = 1; i <= phisteps(); i++) { + fprintf(outfile, " // northcap i = %d\n", i); + vector v1(htheta(), (i - 1) * hphi()); + vector v2(htheta(), i * hphi()); + triangle(v0, v1, v2); + } + } + + void southcap() { + vector v0(0, 0, -1); + for (int i = 1; i <= phisteps(); i++) { + fprintf(outfile, " // southcap i = %d\n", i); + vector v1(M_PI - htheta(), (i - 1) * hphi()); + vector v2(M_PI - htheta(), i * hphi()); + triangle(v0, v1, v2); + } + } + + void zone() { + for (int j = 1; j < thetasteps() - 1; j++) { + for (int i = 1; i <= phisteps(); i++) { + fprintf(outfile, " // zone j = %d, i = %d\n", + j, i); + vector v0( j * htheta(), (i-1) * hphi()); + vector v1((j+1) * htheta(), (i-1) * hphi()); + vector v2( j * htheta(), i * hphi()); + vector v3((j+1) * htheta(), i * hphi()); + triangle(v0, v1, v2); + triangle(v1, v2, v3); + } + } + } +public: + void draw() { + northcap(); + southcap(); + zone(); + } +}; + +/** + * \brief main function + */ +int main(int argc, char *argv[]) { + surface S("spherecurve.inc", 5, 10); + color::green = 1.0; + S.draw(); + std::cout << "umin: " << S.umin() << std::endl; + std::cout << "umax: " << S.umax() << std::endl; + return EXIT_SUCCESS; +} diff --git a/buch/papers/kugel/images/spherecurve.m b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.m new file mode 100644 index 0000000..99d5c9a --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.m @@ -0,0 +1,160 @@ +# +# spherecurve.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global a; +a = 5; +global A; +A = 10; + +phisteps = 400; +hphi = 2 * pi / phisteps; +thetasteps = 200; +htheta = pi / thetasteps; + +function retval = f(z) + global a; + global A; + retval = A * exp(a * (z^2 - 1)); +endfunction + +function retval = g(z) + global a; + retval = -f(z) * 2 * a * (2 * a * z^4 + (3 - 2*a) * z^2 - 1); + # 2 + # - a 2 4 2 2 a z + #(%o6) - %e (4 a z + (6 a - 4 a ) z - 2 a) %e +endfunction + +phi = (1 + sqrt(5)) / 2; + +global axes; +axes = [ + 0, 0, 1, -1, phi, -phi; + 1, -1, phi, phi, 0, 0; + phi, phi, 0, 0, 1, 1; +]; +axes = axes / (sqrt(phi^2+1)); + +function retval = kugel(theta, phi) + retval = [ + cos(phi) * sin(theta); + sin(phi) * sin(theta); + cos(theta) + ]; +endfunction + +function retval = F(v) + global axes; + s = 0; + for i = (1:6) + z = axes(:,i)' * v; + s = s + f(z); + endfor + retval = s / 6; +endfunction + +function retval = F2(theta, phi) + v = kugel(theta, phi); + retval = F(v); +endfunction + +function retval = G(v) + global axes; + s = 0; + for i = (1:6) + s = s + g(axes(:,i)' * v); + endfor + retval = s / 6; +endfunction + +function retval = G2(theta, phi) + v = kugel(theta, phi); + retval = G(v); +endfunction + +function retval = cnormalize(u) + utop = 11; + ubottom = -30; + retval = (u - ubottom) / (utop - ubottom); + if (retval > 1) + retval = 1; + endif + if (retval < 0) + retval = 0; + endif +endfunction + +global umin; +umin = 0; +global umax; +umax = 0; + +function color = farbe(v) + global umin; + global umax; + u = G(v); + if (u < umin) + umin = u; + endif + if (u > umax) + umax = u; + endif + u = cnormalize(u); + color = [ u, 0.5, 1-u ]; + color = color/max(color); +endfunction + +function dreieck(fn, v0, v1, v2) + fprintf(fn, " mesh {\n"); + c = (v0 + v1 + v2) / 3; + c = c / norm(c); + color = farbe(c); + v0 = v0 * (1 + F(v0)); + v1 = v1 * (1 + F(v1)); + v2 = v2 * (1 + F(v2)); + fprintf(fn, "\ttriangle {\n"); + fprintf(fn, "\t <%.6f,%.6f,%.6f>,\n", v0(1,1), v0(3,1), v0(2,1)); + fprintf(fn, "\t <%.6f,%.6f,%.6f>,\n", v1(1,1), v1(3,1), v1(2,1)); + fprintf(fn, "\t <%.6f,%.6f,%.6f>\n", v2(1,1), v2(3,1), v2(2,1)); + fprintf(fn, "\t}\n"); + fprintf(fn, "\tpigment { color rgb<%.4f,%.4f,%.4f> }\n", + color(1,1), color(1,2), color(1,3)); + fprintf(fn, "\tfinish { metallic specular 0.5 }\n"); + fprintf(fn, " }\n"); +endfunction + +fn = fopen("spherecurve2.inc", "w"); + + for i = (1:phisteps) + # Polkappe nord + v0 = [ 0; 0; 1 ]; + v1 = kugel(htheta, (i-1) * hphi); + v2 = kugel(htheta, i * hphi); + fprintf(fn, " // i = %d\n", i); + dreieck(fn, v0, v1, v2); + + # Polkappe sued + v0 = [ 0; 0; -1 ]; + v1 = kugel(pi-htheta, (i-1) * hphi); + v2 = kugel(pi-htheta, i * hphi); + dreieck(fn, v0, v1, v2); + endfor + + for j = (1:thetasteps-2) + for i = (1:phisteps) + v0 = kugel( j * htheta, (i-1) * hphi); + v1 = kugel((j+1) * htheta, (i-1) * hphi); + v2 = kugel( j * htheta, i * hphi); + v3 = kugel((j+1) * htheta, i * hphi); + fprintf(fn, " // i = %d, j = %d\n", i, j); + dreieck(fn, v0, v1, v2); + dreieck(fn, v1, v2, v3); + endfor + endfor + +fclose(fn); + +umin +umax diff --git a/buch/papers/kugel/images/spherecurve.maxima b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.maxima new file mode 100644 index 0000000..1e9077c --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.maxima @@ -0,0 +1,13 @@ +/* + * spherecurv.maxima + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +f: exp(-a * sin(theta)^2); + +g: ratsimp(diff(sin(theta) * diff(f, theta), theta)/sin(theta)); +g: subst(z, cos(theta), g); +g: subst(sqrt(1-z^2), sin(theta), g); +ratsimp(g); + +f: ratsimp(subst(sqrt(1-z^2), sin(theta), f)); diff --git a/buch/papers/kugel/images/spherecurve.pov b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.pov new file mode 100644 index 0000000..b1bf4b8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kugel/images/spherecurve.pov @@ -0,0 +1,73 @@ +// +// curvature.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.13; + +camera { + location <10, 10, -40> + look_at <0, 0, 0> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <-10, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +// +// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with +// color <c> +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +arrow(<-2.7,0,0>, <2.7,0,0>, 0.03, White) +arrow(<0,-2.7,0>, <0,2.7,0>, 0.03, White) +arrow(<0,0,-2.7>, <0,0,2.7>, 0.03, White) + +#include "spherecurve.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc index b30377e..5e86543 100644 --- a/buch/papers/nav/Makefile.inc +++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc @@ -6,9 +6,10 @@ dependencies-nav = \ papers/nav/packages.tex \ papers/nav/main.tex \ - papers/nav/references.bib \ - papers/nav/teil0.tex \ - papers/nav/teil1.tex \ - papers/nav/teil2.tex \ - papers/nav/teil3.tex + papers/nav/einleitung.tex \ + papers/nav/flatearth.tex \ + papers/nav/nautischesdreieck.tex \ + papers/nav/sincos.tex \ + papers/nav/trigo.tex \ + papers/nav/references.bib diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9d630aa --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2b02105 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3f99a36 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b3188b7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..057740f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..97066a2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5dcc0c8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png diff --git a/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3f60370 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..53dd784 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..aafa107 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -0,0 +1,9 @@ + + +\section{Einleitung} +Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. +Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex new file mode 100644 index 0000000..5bfc1b7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -0,0 +1,28 @@ + + +\section{Warum ist die Erde nicht flach?} + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} + \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} + \end{center} +\end{figure} + +Es gibt heutzutage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. +Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. +Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristoteles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist. +Auch der Erdschatten bei einer Mondfinsternis ist immer rund. +Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. +Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. +Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + +Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. +Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. +Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. + diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile index c9dcacc..da4defa 100644 --- a/buch/papers/nav/images/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -50,7 +50,8 @@ DREIECKE3D = \ dreieck3d4.pdf \ dreieck3d5.pdf \ dreieck3d6.pdf \ - dreieck3d7.pdf + dreieck3d7.pdf \ + dreieck3d8.pdf dreiecke3d: $(DREIECKE3D) @@ -106,3 +107,17 @@ dreieck3d7.jpg: dreieck3d7.png dreieck3d7.pdf: dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg pdflatex dreieck3d7.tex +dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov +dreieck3d8.jpg: dreieck3d8.png + convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg +dreieck3d8.pdf: dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg + pdflatex dreieck3d8.tex + +dreieck3d9.png: dreieck3d9.pov common.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov +dreieck3d9.jpg: dreieck3d9.png + convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg +dreieck3d9.pdf: dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg + pdflatex dreieck3d9.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc index 33d9384..2c0ae6e 100644 --- a/buch/papers/nav/images/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/common.inc @@ -12,6 +12,7 @@ global_settings { #declare imagescale = 0.034; +#declare O = <0, 0, 0>; #declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>); #declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>); #declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>); @@ -97,13 +98,13 @@ union { } #end -#macro winkel(w, p, q, staerke) +#macro winkel(w, p, q, staerke, r) #declare n = vnormalize(w); #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); intersection { - sphere { <0, 0, 0>, 1 + staerke } - cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), 0.4 } + sphere { O, 1 + staerke } + cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } } @@ -113,37 +114,74 @@ union { sphere { p, 1.5 * staerke } #end +#macro dreieck(p, q, r, farbe) + #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); + #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); + intersection { + plane { n1, 0 } + plane { n2, 0 } + plane { n3, 0 } + sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } + pigment { + color farbe + } + finish { + metallic + specular 0.4 + } + } +#end + +#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); + #declare np = vnormalize(-vcross(p, n)); + #declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + n, 0.02, White) +// arrow(a, a + np, 0.01, Red) +// arrow(a, a + nq, 0.01, Blue) + intersection { + cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r } + plane { np, vdot(np, a) } + plane { nq, vdot(nq, a) } + pigment { + farbe + } + finish { + metallic + specular 0.5 + } + } +#end + +#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); +// arrow(a, a + n, 0.015, Orange) + #declare m = vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + m, 0.015, Pink) + ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe) +#end + #declare fett = 0.015; -#declare fine = 0.010; +#declare fein = 0.010; + +#declare klein = 0.3; +#declare gross = 0.4; #declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; #declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; #declare gruen = rgb<0,0.6,0>; #declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>; +#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>; +#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; + +#macro kugel(farbe) sphere { <0, 0, 0>, 1 pigment { - color rgb<0.8,0.8,0.8> + color farbe } } +#end -//union { -// sphere { A, 0.02 } -// sphere { B, 0.02 } -// sphere { C, 0.02 } -// sphere { P, 0.02 } -// pigment { -// color Red -// } -//} - -//union { -// winkel(A, B, C) -// winkel(B, P, C) -// seite(B, C, 0.01) -// seite(B, P, 0.01) -// pigment { -// color rgb<0,0.6,0> -// } -//} diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..015bce7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov index 8afe60e..e491075 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(A, B, C, fine) + winkel(A, B, C, fein, gross) pigment { color rot } @@ -36,7 +36,7 @@ object { } object { - winkel(B, C, A, fine) + winkel(B, C, A, fein, gross) pigment { color gruen } @@ -47,7 +47,7 @@ object { } object { - winkel(C, A, B, fine) + winkel(C, A, B, fein, gross) pigment { color blau } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6b3f09d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov index c23a54c..c0625ce 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7d79455 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov index f2496b5..b6f64d5 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(A, B, C, fine) + winkel(A, B, C, fein, gross) pigment { color rot } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e1ea757 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov index bddcf7c..b6f17e3 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov @@ -6,9 +6,9 @@ #include "common.inc" union { - seite(A, B, fine) - seite(A, C, fine) - punkt(A, fine) + seite(A, B, fein) + seite(A, C, fein) + punkt(A, fein) punkt(B, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(B, C, P, fine) + winkel(B, C, P, fein, gross) pigment { color rgb<0.6,0.4,0.2> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0c86d36 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov index 32fc9e6..188f181 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov @@ -6,9 +6,9 @@ #include "common.inc" union { - seite(A, B, fine) - seite(A, C, fine) - punkt(A, fine) + seite(A, B, fein) + seite(A, C, fein) + punkt(A, fein) punkt(B, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov index 7611950..191a1e7 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(B, A, P, fine) + winkel(B, A, P, fein, gross) pigment { color rgb<0.6,0.2,0.6> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov index fa48f5b..aae5c6c 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov @@ -10,13 +10,13 @@ union { seite(A, P, fett) seite(C, P, fett) - seite(A, B, fine) - seite(B, C, fine) - seite(B, P, fine) + seite(A, B, fein) + seite(B, C, fein) + seite(B, P, fein) punkt(A, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) - punkt(B, fine) + punkt(B, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -27,7 +27,7 @@ union { } object { - winkel(A, P, C, fine) + winkel(A, P, C, fein, gross) pigment { color rgb<0.4,0.4,1> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..52bd25e --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9d630aa --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov new file mode 100644 index 0000000..9e9921a --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov @@ -0,0 +1,96 @@ +// +// dreiecke3d8.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +union { + seite(A, B, fett) + seite(B, C, fett) + seite(A, C, fett) + seite(A, P, fein) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, klein) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, C, A, fein, klein) + pigment { + color gruen + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(C, A, B, fein, gross) + pigment { + color blau + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, P, C, fein/2, gross) + pigment { + color rgb<0.8,0,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, C, fein, klein) + pigment { + color rgb<1,0.8,0> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, A, fein/2, gross) + pigment { + color rgb<0.4,0.6,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +dreieck(A, B, C, White) + + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex new file mode 100644 index 0000000..c59c7b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% +% dreieck3d8.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d8.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (0.7,3.8) {$A$}; +\node at (-3.4,-0.8) {$B$}; +\node at (3.3,-2.1) {$C$}; +\node at (-1.4,-3.5) {$P$}; + +\node at (-1.9,2.1) {$c$}; +\node at (-0.2,-1.2) {$a$}; +\node at (2.6,1.5) {$b$}; +\node at (-0.8,0) {$l$}; + +\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$}; +\node at (1,-2.9) {$p_c$}; + +\node at (0.7,3.3) {$\alpha$}; +\node at (0.8,2.85) {$\omega$}; +\node at (-2.6,-0.6) {$\beta$}; +\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$}; +\node at (-2.6,-1.3) {$\beta_1$}; +\node at (-2.1,-0.8) {$\kappa$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov new file mode 100644 index 0000000..24d3843 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov @@ -0,0 +1,66 @@ +// +// dreiecke3d8.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +//union { +// seite(A, B, fein) +// seite(B, C, fein) +// seite(A, C, fein) +// seite(A, P, fein) +// seite(B, P, fett) +// seite(C, P, fett) +// punkt(A, fein) +// punkt(B, fett) +// punkt(C, fett) +// punkt(P, fett) +// pigment { +// color dreieckfarbe +// } +// finish { +// specular 0.95 +// metallic +// } +//} + +//dreieck(A, B, C, White) + +kugel(kugeltransparent) + +ebenerwinkel(O, C, P, 0.01, 1.001, rot) +ebenerwinkel(P, C, P, 0.01, 0.3, rot) +komplement(P, C, P, 0.01, 0.3, Yellow) + +ebenerwinkel(O, B, P, 0.01, 1.001, blau) +ebenerwinkel(P, B, P, 0.01, 0.3, blau) +komplement(P, B, P, 0.01, 0.3, Green) + +arrow(B, 1.5 * B, 0.015, White) +arrow(C, 1.5 * C, 0.015, White) +arrow(P, 1.5 * P, 0.015, White) + +union { + cylinder { O, P, 0.7 * fein } + + cylinder { P, P + 3 * B, 0.7 * fein } + cylinder { O, B + 3 * B, 0.7 * fein } + + cylinder { P, P + 3 * C, 0.7 * fein } + cylinder { O, C + 3 * C, 0.7 * fein } + + pigment { + color White + } +} + +#declare imagescale = 0.044; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e11e2c0..e16dc2a 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -3,34 +3,19 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:nav}} -\lhead{Thema} +\chapter{Sphärische Navigation\label{chapter:nav}} +\lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} -\input{papers/nav/teil0.tex} -\input{papers/nav/teil1.tex} -\input{papers/nav/teil2.tex} -\input{papers/nav/teil3.tex} + +\input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} +\input{papers/nav/trigo.tex} +\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..c239d64 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,199 @@ +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. + +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. + +Für die Definition gilt: +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Winkel && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} + +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} + + +\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} + \end{center} +\end{figure} + +Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} + + + + +\subsection{Ecke $P$ und $A$} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. +Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. + +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. +\subsection{Ephemeriden} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. +In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/nav/bilder/ephe.png} + \caption[Nautical Almanac Mai 2002]{Nautical Almanac Mai 2002} + \end{center} +\end{figure} + +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. + +\subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich + +\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] + +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. +\subsubsection{Sextant} +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/sextant.jpg} + \caption[Sextant]{Sextant} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. +Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} + + +\subsubsection{Dreieck $ABC$} + +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $A$ && Nordpol \\ + $B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\ + $C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$ + \end{tabular} +\end{center} + +Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + +Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. +Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + +Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. +Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + +Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. +Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ + $\delta_2$ && Deklination vom Bildpunk $Y$ \\ + $\lambda_1 $&& Längengrad vom Bildpunkt $X$\\ + $\lambda_2$ && Längengrad vom Bildpunkt $Y$ + \end{tabular} +\end{center} + +Nun haben wir die beiden Seiten $c$ und $b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes +$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. + +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. +Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. +Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. +Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. + +\subsubsection{Dreieck $BPC$} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort $P$. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. + +Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. +\subsubsection{Dreieck $ABP$} +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. +Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] +und +\[ +\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. +\] + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. +Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..5b87303 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,4 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{amsmath}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex new file mode 100644 index 0000000..d56d482 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -0,0 +1,21 @@ + + + +\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. +Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. + +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. + +Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. +Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. + +Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. +Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/teil0.tex b/buch/papers/nav/teil0.tex deleted file mode 100644 index f3323a9..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{nav:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{nav:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil1.tex b/buch/papers/nav/teil1.tex deleted file mode 100644 index 996202f..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{nav:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{nav:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{nav:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{nav:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil2.tex b/buch/papers/nav/teil2.tex deleted file mode 100644 index 5a52e03..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{nav:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil3.tex b/buch/papers/nav/teil3.tex deleted file mode 100644 index 2b5d2d5..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{nav:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex new file mode 100644 index 0000000..ce367f6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -0,0 +1,108 @@ + +\section{Sphärische Trigonometrie} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: + +\subsection{Das Kugeldreieck} +Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen. +Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. +Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. +Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden. + +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). + +Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. +Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist. + +Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. +Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck. + +Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt: +\begin{center} + \begin{tabular}{ccc} + Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ + \hline + $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ + + $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ + \end{tabular} +\end{center} + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} + \end{center} + +\end{figure} + +\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} +Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. +\begin{figure} + + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} + \caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Winkelsumme} +\begin{figure} + + \begin{center} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} + \end{center} +\end{figure} + + +Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. +Für die Summe der Innenwinkel gilt +\begin{align} + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber +\end{align} +wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. +\subsubsection{Sphärischer Exzess} +Der sphärische Exzess +\begin{align} + \epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber +\end{align} +beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. + +\subsubsection{Flächeninnhalt} +Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. +\subsection{Sphärischer Sinussatz} +In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. +Das bedeutet, dass + +\begin{align} + \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber +\end{align} +auch beim Kugeldreieck gilt. + +\subsection{Sphärische Kosinussätze} +Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz +\begin{align} + \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber +\end{align} %Seitenkosinussatz +und den Winkelkosinussatz + +\begin{align} + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber +\end{align} + +\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. +Es gilt nämlich: +\begin{align} + \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & + \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber +\end{align} +
\ No newline at end of file diff --git a/buch/splitpapers b/buch/splitpapers index 9ae5aae..e1b6834 100755 --- a/buch/splitpapers +++ b/buch/splitpapers @@ -16,7 +16,7 @@ then fi awk 'BEGIN { - offsetpage = 10 + offsetpage = 12 startpage = 0 identifier = "" chapterno = 0 diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a2dfb87 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile @@ -0,0 +1,33 @@ +# +# Makefile -- hermiteintegrierbar +# +# (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +# +all: hermiteintegrierbar-handout.pdf MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf + +include ../slides/Makefile.inc + +SOURCES = common.tex slides.tex $(slides) + +MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf: MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex $(SOURCES) + pdflatex MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex + +hermiteintegrierbar-handout.pdf: hermiteintegrierbar-handout.tex $(SOURCES) + pdflatex hermiteintegrierbar-handout.tex + +thumbnail: thumbnail.jpg # fix1.jpg + +thumbnail.pdf: MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf + pdfjam --outfile thumbnail.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \ + MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf 1 +thumbnail.jpg: thumbnail.pdf + convert -density 300 thumbnail.pdf \ + -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch thumbnail.jpg + +fix1.pdf: MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf + pdfjam --outfile fix1.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \ + MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf 1 +fix1.jpg: fix1.pdf + convert -density 300 fix1.pdf \ + -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch fix1.jpg + diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex new file mode 100644 index 0000000..7a3a647 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex -- Präsentation +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[aspectratio=169]{beamer} +\input{common.tex} +\setboolean{presentation}{true} +\begin{document} +\begin{frame} +\titlepage +\end{frame} +\input{slides.tex} +\end{document} diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex new file mode 100644 index 0000000..8b1c71f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +% +% common.tex -- gemeinsame definition +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\input{../common/packages.tex} +\input{../common/common.tex} +\mode<beamer>{% +\usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} +} +\beamertemplatenavigationsymbolsempty +\title[$\int P(t)e^{-t^2}\,dt$]{Elementare Stammfunktion für +$\displaystyle\int P(t)e^{-t^2}\,dt$?} +\author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller} +\date[]{} +\newboolean{presentation} + diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex new file mode 100644 index 0000000..a466024 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% hermiteintegrierbar-handout.tex -- Handout XXX +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[handout,aspectratio=169]{beamer} +\input{common.tex} +\setboolean{presentation}{false} +\begin{document} +\input{slides.tex} +\end{document} diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex new file mode 100644 index 0000000..cb3bbea --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% slides.tex -- XXX +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\folie{hermite/normalintegrale.tex} +\folie{hermite/normalhermite.tex} +\folie{hermite/hermiteentwicklung.tex} +\folie{hermite/loesung.tex} +\folie{hermite/skalarprodukt.tex} + diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc index 5c55467..58c21f2 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc @@ -4,4 +4,9 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterhermite = \ + ../slides/hermite/normalintegrale.tex \ + ../slides/hermite/normalhermite.tex \ + ../slides/hermite/hermiteentwicklung.tex \ + ../slides/hermite/loesung.tex \ + ../slides/hermite/skalarprodukt.tex \ ../slides/hermite/test.tex diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex new file mode 100644 index 0000000..e1ced30 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% hermiteentwicklung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beliebige Polynome} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Polynom} +\[ +P(x) += +p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n +\] +als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben: +\begin{align*} +P(x) +&= +a_0H_0(x)% + a_1H_1(x) ++ \dots + a_nH_n(x) +\\ +&= +a_0\cdot 1 +\\ +&\quad + a_1\cdot 2x +\\ +&\quad + a_2\cdot(4x^2-2) +\\ +&\quad + a_3\cdot(8x^3-12x) +\\ +&\quad + a_4\cdot(16x^4-48x^2+12) +\\ +&\quad\;\;\vdots +\\ +&\quad + a_n(2^nx^n + \dots) +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Koeffizientenvergleich} +führt auf ein Gleichungssystem +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\ +\hline + 1& 0& 0& 0& 0&\dots&p_0\\ + 0& 2& 0& 0& 0&\dots&p_1\\ +-2& 0& 4& 0& 0&\dots&p_2\\ + 0&-12& 0& 8& 0&\dots&p_3\\ +12& 0&-48& 0& 16&\dots&p_4\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Dreiecksmatrix, Diagonalelement +$\ne 0$ +$\Rightarrow$ +$\exists$ eindeutige Lösung +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex new file mode 100644 index 0000000..7d4741f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% loesung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lösung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +Für welche Polynome $P(t)$ kann man eine Stammfunktion +\[ +\int +P(t)e^{-\frac{t^2}2} +\,dt +\] +in geschlossener Form angeben? +\end{block} +\begin{block}{``Hermite-Antwort''} +\[ +\int H_n(x)e^{-x^2}\,dx +\] +kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden. +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Allgemein} +\begin{align*} +\int P(x)e^{-x^2}\,dx +&= +\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +\sum_{k=0}^n +a_k +\int +H_k(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +a_0\operatorname{erf}(x) + C +\\ +&\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +\end{align*} +\end{block} +\begin{theorem} +Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn +$a_0=0$ +\end{theorem} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex new file mode 100644 index 0000000..16a314c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% normalhermite.tex -- integrability of hermite polynomials +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hermite-Polynome} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition (Rodrigues-Formel)} +\[ +H_n(x) += +(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Orthogonalität} +$H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. +\begin{align*} +\langle H_n,H_m\rangle_w +&= +\int H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +\biggl\{ +\renewcommand{\arraycolsep}{1pt} +\begin{array}{l@{\quad}l} +1&\text{falls $n=m$}\\ +0&\text{sonst} +\end{array} +\biggr\} += +\delta_{mn} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren} +Rekursionsformel: +\[ +H_n(x) += +2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Stammfunktion} +\begin{align*} +\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx +&= +\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x) +\\ +&\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx +\\ +{\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)} +&= +{\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx +\\ +&\qquad +- +\int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx +\\ +\text{\color{gray}(Produktregel)} +&= +\int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx +\\ +\text{\color{gray}(Ableitung)} +&= +e^{-x^2}H_{n-1}(x) +\end{align*} +ausser für $n=0$: +\[ +\int +H_0(x)e^{-x^2}\,dx += +\int +e^{-x^2}\,dx +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex new file mode 100644 index 0000000..88abbe8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% +% normalintegrale.tex -- +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Integranden $P(t)e^{-t^2}$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +Für welche Polynome $P(t)$ kann man eine Stammfunktion +\[ +\int +P(t)e^{-t^2} +\,dt +\] +in geschlossener Form angeben? +\end{block} +\begin{block}{Allgemeine Antwort} +Satz von Liouville und +Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Negativbeispiel} +$P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral +\[ +F(x) += +\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt +\] +ist nicht elementar darstellbar. +\end{block} +\begin{block}{Positivbeispiel} +$P(t)=t$. Wegen +\begin{align*} +\frac{d}{dx}e^{-x^2} +&= +-xe^{-x^2} +\intertext{ist} +\int te^{-t^2}\,dt +&= +-e^{-x^2}+C +\end{align*} +elementar darstellbar. +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex new file mode 100644 index 0000000..32b933f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% skalarprodukt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Skalarprodukt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthogonale Zerlegung} +Orthogonale $H_k$ normalisieren: +\[ +\tilde{H}_k(x) = \frac{1}{\|H_k\|_w} H_k(x) +\] +mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$ +\end{block} +\begin{block}{``Hermite''-Analyse} +\begin{align*} +P(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty a_k H_k(x) += +\sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x) +\\ +\tilde{a}_k +&= +\| H_k\|_w\, a_k +\\ +a_k +&= +\frac{1}{\|H_k\|} +\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w += +\frac{1}{\|H_k\|^2} +\langle H_k, P\rangle_w +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Integrationsproblem} +Bedingung: +\begin{align*} +a_0=0 +\qquad\Leftrightarrow\qquad +\langle H_0,P\rangle_w +&= +0 +\\ +\int_{-\infty}^\infty +P(t) w(t) \,dt += +\int_{-\infty}^\infty +P(t) e^{-t^2} \,dt +&= +0 +\end{align*} +\end{block} +\begin{theorem} +Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar +genau dann, wenn +\[ +\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 +\] +\end{theorem} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 6aa09f8..ca4ccc9 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,4 +3,8 @@ % % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{0/intro.tex} +\folie{hermite/normalintegrale.tex} +\folie{hermite/normalhermite.tex} +\folie{hermite/hermiteentwicklung.tex} +\folie{hermite/loesung.tex} +\folie{hermite/skalarprodukt.tex} diff --git a/vorlesungen/stream/countdown.html b/vorlesungen/stream/countdown.html index d8ec82e..e9d7d6e 100644 --- a/vorlesungen/stream/countdown.html +++ b/vorlesungen/stream/countdown.html @@ -25,7 +25,7 @@ function checkfor(d) { console.log("time string: " + ds); let start = new Date(ds).getTime(); console.log("now: " + now); - if ((start > now) && ((start-now) < 3600*1000)) { + if ((start > now) && ((start-now) < 3300*1000)) { deadline = start; console.log("set deadline to: " + ds); } else { |
