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-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.pngbin0 -> 124329 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil4.tex116
2 files changed, 101 insertions, 15 deletions
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
new file mode 100644
index 0000000..53eb2f9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 598a57e..6184369 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,24 +6,22 @@
\section{Beispiel Verfolgungskurve
\label{lambertw:section:teil4}}
\rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben.
-\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
-\label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadrant und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
\begin{equation}
- A
+ \overrightarrow{Z}
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
;
- P
+ \overrightarrow{V}
=
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
\label{lambertw:Anfangspunkte}
\end{equation}
-Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve \eqref{lambertw:pursuerDGL} einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
\begin{equation}
\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
\circ
@@ -79,12 +77,12 @@ Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich z
= 0
\label{lambertw:equation5}
\end{equation}
-Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
+Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen, wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
\[
x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
= 0
\]
-Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
+Nach dem Kürzen und Vereinfachen ergibt sich folgende DGL:
\begin{equation}
x y^{\prime} + t - y
= 0
@@ -146,21 +144,109 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
&=
\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
&=
- C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+ \frac{e^C}{4} x^2 - \frac{ln(x)}{2 \cdot e^C} + C_1 \\
+ &=
+ C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2}
\end{align*}
-Das Resultat wie ersichtlich ist folgende Funktion welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann:
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
+ \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
+ \label{lambertw:BildFunkLoes}
+ }
+\end{figure}
+
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann:
\begin{equation}
- y(x)
+ {\color{red}{y(x)}}
=
- C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+ C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{ln(x)}}{8 \cdot C_2}
\label{lambertw:funkLoes}
\end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1, C_2\) und \(C_3\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
\begin{itemize}
\item
Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
\item
Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
\item
- Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss die Kurve auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+ Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
\end{itemize}
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+\begin{equation}
+ y(x)\big \vert_{t=0}
+ =
+ y(x_0)
+ =
+ y_0
+ \:;\:
+ \frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0}
+ =
+ y^{\prime}(x_0)
+ =
+ \frac{y_0}{x_0}
+\end{equation}
+Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ y_0
+ &=
+ C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} \\
+ \frac{y_0}{x_0}
+ &=
+ 2 \cdot C_2 x_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+... Mit folgenden Formeln geht es weiter:
+\begin{align*}
+ \eta
+ &=
+ \left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+ \:;\:
+ r_0
+ =
+ \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+ y
+ &=
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+ y^\prime
+ &=
+ \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\
+ -4t
+ &=
+ \left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+ -4t+\left(y_0+r_0\right)
+ &=
+ \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+ e^{-4t+\left(y_0+r_0\right)}
+ &=
+ e^{\left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\left(r_0-y_0\right)} \\
+ e^{\frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+ &=
+ e^{\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta}\cdot\eta\ \\
+ \chi
+ &=
+ \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+ \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+ &=
+ \chi\eta\cdot e^{\chi\eta} \\
+ W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+ &=
+ \chi\eta \\
+ \frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+ &=
+ \eta \\
+ \frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+ &=
+ \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \\
+ x\left(t\right)
+ &=
+ \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+\end{align*}
+\begin{equation}
+ y(t)
+ =
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}+\left(r_0-y_0\right)\cdot\mathrm{ln}\ \left(\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}\right)-r_0+3y_0\right)
+ \label{lambertw:funkNachT}
+\end{equation}