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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 42 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index b143b6e..948217a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -33,7 +33,8 @@ Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. -\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen} +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen +\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}} % TODO: intro @@ -64,43 +65,56 @@ eine Orthogonalbasis. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} -% TODO: check L for errors (- sign) - -Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als -Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator +In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits +der Operator \[ L = \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) \] -eingeführt wird. -Mit diesem Operator kann nun +eingeführt. +Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung \[ (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \lambda w(x) y(x) \] -umgeschrieben werden zu -\[ +in das Eigenwertproblem +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eigenvalue-problem} L y = \lambda y. -\] +\end{equation} +umzuschreiben. \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} -Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut. +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher +angeschaut. Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. -Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden, -dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +Analog zur Matrix $A$ aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle L v, w\rangle = \langle v, L w\rangle \] gilt. -Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt +Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems +sicher gestellt. + +Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu +schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird +im Weiteren nicht näher diskutiert. + +Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |