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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 78950e1..b68229f 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -78,13 +78,24 @@ und bei $w_2(\alpha,z)$ falls \end{equation} \subsection{Ableitung} -Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen \begin{equation} - \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k), + \frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z), \end{equation} -und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als +und +%\begin{equation} +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +%\end{equation} \begin{equation} - \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). + \frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left( + z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + \right) \end{equation} -Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. |