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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc index a79e614..8fd5db4 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc @@ -10,4 +10,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex \ chapters/030-geometrie/flaeche.tex \ chapters/030-geometrie/laenge.tex \ + chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.tex \ chapters/030-geometrie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex index 7cb790d..088b683 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex @@ -47,11 +47,11 @@ die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren. \input{chapters/030-geometrie/laenge.tex} \input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} -%\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{1} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigo/1.m b/buch/chapters/030-geometrie/trigo/1.m new file mode 100644 index 0000000..3eea249 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigo/1.m @@ -0,0 +1,33 @@ +# +# 1.m +# +# +n = 10; +format long; + +function retval = snewtonstep(x, s) + corr = (-4*x*x*x+3*x-s) / (-12*x*x + 3); + retval = x - corr; +end + +function retval = cnewtonstep(x, c) + corr = (4*x*x*x-3*x-c) / (12*x*x - 3); + retval = x - corr; +end + +s0 = pi / 180; + +s3 = sind(3) +c3 = cosd(3) + +r = zeros(n+1,2) +r(1,1) = pi / 180; +r(1,2) = sqrt(1-r(1,1)^2); + +for i = (1:n) + r(i+1,1) = snewtonstep(r(i,1), s3); + r(i+1,2) = cnewtonstep(r(i,2), c3); +endfor + +r + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigo/3.m b/buch/chapters/030-geometrie/trigo/3.m new file mode 100644 index 0000000..a1f8ed1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigo/3.m @@ -0,0 +1,13 @@ +format long + +s15 = sqrt((2-sqrt(3))/4) +c15 = sqrt((2+sqrt(3))/4) + +s36 = sqrt((5-sqrt(5))/8) +c36 = sqrt((3+sqrt(5))/8) + +s18 = sqrt(1/2-c36/2) +c18 = sqrt(1/2+c36/2) + +s3 = s18 * c15 - c18 * s15 +c3 = c18 * c15 + s18 * s15 diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index a2426a7..be51e89 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -501,19 +501,19 @@ zum Beispiel für $n=3$: \cos^3\alpha-3\cos\alpha(1-\cos^2\alpha) \\ &= -4\cos^3\alpha-3\cos\alpha +4\cos^3\alpha-3\cos\alpha, \\ \sin 3\alpha &= --3\cos^2\alpha\sin\alpha -+ +3\cos^2\alpha\sin\alpha +- \sin^3\alpha = --3(1-\sin^2\alpha)\sin\alpha+\sin^3\alpha +3(1-\sin^2\alpha)\sin\alpha-\sin^3\alpha \\ &= -4\sin^3\alpha --3\sin\alpha +-4\sin^3\alpha ++3\sin\alpha. \end{align*} Indem man diese Formeln als kubische Gleichungen für die Unbekannte $\cos\alpha$ bzw.~$\sin\alpha$ betrachtet, kann @@ -526,6 +526,230 @@ algebraische Operationen bestimmen. \subsubsection{Eine Tabelle der Werte der trigonometrischen Funktionen aufstellen} +Die älteste Tabelle der Werte trigonometrischer Funktionen stammt aus der +Feder von Hipparcos aus dem zweiten Jahrhundert BCE. +Sie hatte eine Auflösung von $1^\circ$. +Wie kann man eine solche Tabelle mit den Mitteln der damaligen Zeit, +also insbesondere ganz ohne Dezimalbrüche, zusammenstellen? + +Aus speziellen Dreiecken kann man die einige wenige bekannte Winkel +finden und die zugehörigen Werte der trigonemetrischen Funktionen +bestimmen. +In einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck liest man +\[ +\sin 45^\circ = \cos 45^\circ +\] +ab. +Ein gleichseitiges Dreieck erlaubt +\begin{align*} +\sin 30^\circ &= \frac{1}{2} & +\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{2} +\\ +\sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{2} & +\cos 60^\circ &= \frac{1}{2} +\intertext{zu bestimmen. +Mit Hilfe der Halbwinkelformeln werden daraus die Werte +von $15^\circ$:} +\sin 15^\circ &= \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} & +\cos 15^\circ &= \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}. +\end{align*} +Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man jetzt auch noch die Werte +für den Winkel $75^\circ$ bestimmen. +Damit sind die Werte der Sinus- und Kosinus-Funktion für alle +Vielfachen von $15^\circ$ bekannt. + +Etwas spezieller ist die Situation eines Fünfecks, welches den +Zentriwinkel $72^\circ$ hat, damit kann man die Werte +\begin{align*} +\sin 36^\circ &= +\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}8} +&&\text{und}& +\cos 36^\circ &= +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +\\ +\sin 72^\circ &= +2 +\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}8} +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} += +\sqrt{5+\sqrt{5}} +&&& +\cos 72^\circ &= +\frac{3+\sqrt{5}}{8} +- +\frac{5-\sqrt{5}}{8} += +\frac{-1+\sqrt{5}}{4} +\intertext{% +Mit den Halbwinkelformeln kann man dies nochmals teilen, bis man +die Winkel} +\sin 18^\circ &= +\sqrt{\frac12-\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +&&\text{und}& +\cos 18^\circ &= +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +\intertext{sowie} +\sin 9^\circ &= +\sqrt{\frac12-\frac12 +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +} +&&\text{und}& +\cos 9^\circ &= +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +} +\end{align*} +ausgwertet hat. + +\begin{table} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}>{$}c<{$}>{$}l<{$}|>{$}r<{$}>{$}c<{$}>{$}l<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline +\alpha&&&90^\circ-\alpha&&&\sin\alpha&\cos\alpha\\ +\hline + 0^\circ & & & & & &0.00000000&1.00000000\\ + 3^\circ &=&18^\circ-15^\circ & 87^\circ &=&72^\circ+15^\circ &0.05233596&0.99862953\\ + 6^\circ &=&15^\circ-\phantom{0}9^\circ & 84^\circ &=&75^\circ+\phantom{0}9^\circ &0.10452846&0.99452190\\ + 9^\circ & & & 81^\circ &=&90^\circ-\phantom{0}9^\circ &0.15643447&0.98768834\\ +12^\circ &=&30^\circ-18^\circ & 78^\circ &=&60^\circ+18^\circ &0.20791169&0.97814760\\ +15^\circ & & & 75^\circ & & &0.25881905&0.96592583\\ +18^\circ & & & 72^\circ & & &0.30901699&0.95105652\\ +21^\circ &=&30^\circ-\phantom{0}9^\circ & 69^\circ &=&60^\circ+\phantom{0}9^\circ &0.35836795&0.93358043\\ +24^\circ &=&15^\circ+\phantom{0}9^\circ & 66^\circ &=&75^\circ-\phantom{0}9^\circ &0.40673664&0.91354546\\ +27^\circ &=&45^\circ-18^\circ & 63^\circ &=&45^\circ+18^\circ &0.45399050&0.89100563\\ +30^\circ & & & 60^\circ & & &0.50000000&0.86600254\\ +33^\circ &=&45^\circ-12^\circ & 57^\circ &=&45^\circ+12^\circ &0.54463903&0.83867057\\ +36^\circ & & & 54^\circ &=&90^\circ-36^\circ &0.58778525&0.80901699\\ +39^\circ &=&30^\circ+\phantom{0}9^\circ & 51^\circ &=&60^\circ-\phantom{0}9^\circ &0.62932039&0.77714596\\ +42^\circ &=&30^\circ+12^\circ & 48^\circ &=&60^\circ-12^\circ &0.66913060&0.74314483\\ +45^\circ & & & & & &0.70710678&0.70710678\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Tabelle der Werte der trigonometrischen für Winkel, die ganzzahlige +Vielfache von $3^\circ$ sind. +Für die Winkel in der Spalte $90^\circ-\alpha$ sind die Sinus- und +Kosinus-Werte zu vertauschen. +\label{buch:geometrie:trigo:tabelle}} +\end{table} +Ausgehend von bereits behandelten Vielfachen von $15^\circ$ kann man +jetzt mit Hilfe der Additionstheoreme durch Addition und Subtraktion +der bereits behandelten Winkel jeden Winkel bekommen, der ein Vielfaches +von $3^\circ$ ist, sie sind in der Tabelle~\ref{buch:geometrie:trigo:tabelle} +zusammengestellt. + +Zum Beispiel ergeben sich für den Winkel $3^\circ = 18^\circ - 15^\circ$ +mit den Additionstheoremen die folgenden Werte: +\begin{align*} +\sin3^\circ +&= +\sin(18^\circ-15^\circ) +\\ +&=\sin18^\circ \cos 15^\circ - \cos18^\circ\sin15^\circ +\\ +&= +\sqrt{\frac12-\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} +- +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} +\\ +&= +0.05233595624294377, +\\ +\cos3^\circ +&= +\cos(18^\circ-15^\circ) +\\ +&= +\cos18^\circ\cos15^\circ + \sin18^\circ\sin15^\circ +\\ +&= +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} ++ +\sqrt{\frac12-\frac12 +\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} +} +\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} +\\ +&= +0.998629534754574. +\end{align*} + + +Wie man es auch dreht und wendet, es scheint keine rein geometrische +Möglichkeit zu geben, einen die Werte der Sinus- und Kosinus-Funktion +von $1^\circ$ zu bestimmen, mit denen man die bisher erhaltene Tabelle +auf diese Auflösung verfeinern könnte. +Da man aber bereits die Werte für $\sin3^\circ$ und $\cos3^\circ$ +bestimmt hat, kann man die kubischen Gleichungen für $c=\cos1^\circ$ +und $s=\sin1^\circ$ +\begin{align*} +\cos3^\circ &= 4c^3-3c +&&\Rightarrow& +c^3-3c-\cos3^\circ&=0 +\\ +\sin3^\circ &= -4s^3+3s +&&\Rightarrow& +4s^3-3s+\sin3^\circ&=0 +\end{align*} +zu lösen versuchen. +Es stellt sich allerdings heraus, dass die Gleichung drei reelle +Lösungen hat, nämlich +\[ +c=\cos1^\circ,\; \cos121^\circ,\; \cos241^\circ +\qquad\text{und}\qquad +s=\sin1^\circ,\; \sin121^\circ,\; \sin241^\circ. +\] +Dies bedeutet, dass der {\em casus irreduzibilis} für die Lösung +der kubischen Gleichung vorliegt, der nur mit Hilfe komplexer Zahlen +behandelt werden kann. +Dazu muss die dritte Wurzel aus einer komplexen Zahl gezogen werden, +was wieder gleichbedeutend mit der Bestimmung der Sinus- und Kosinus-Werte +von $1^\circ$ ist. +Damit bleibt für den Winkel $1^\circ$ nur ein numerisches Verfahren. +Zum Beispiel kann man das Newton-Verfahren verwenden mit dem Startwert +$s_0=\pi/180$ für die Iteration, die $\sin 1^\circ$ liefern soll, und +$c_0=\sqrt{1-s_0^2}$ für die Kosinus-Iteration. +Die Konvergenz ist sehr schnell, bereits nach zwei Iterationen hat +man einen auf 16 Stellen genauen wert, wie man in +Tabelle~\ref{buch:geometrie:trigo:newtontabelle} sieht. +Mit einer einzigen Anwendung des Additionstheorems kann man jetzt +aus den Werten der Tabelle~\ref{buch:geometrie:trigo:tabelle} +die Werte von Sinus und Kosinus für jedes ganzzahlige +Vielfache von $1^\circ$ berechnen. +\begin{table} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline +i&s_i&c_i\\ +\hline + 0 & 0.\underline{01745}329251994330 & 0.\underline{9998476}796893682 \\ + 1 & 0.\underline{0174524064372}2863 & 0.\underline{999847695156391}5 \\ + 2 & 0.\underline{01745240643728351} & 0.\underline{999847695156391}2 \\ + 3 & 0.\underline{01745240643728351} & 0.\underline{999847695156391}3 \\ +\hline + & \sin1^\circ & \cos1^\circ \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Newton-Iteration zur Bestimmung von $\sin1^\circ$ und +$\cos1^\circ$ +\label{buch:geometrie:trigo:newtontabelle}} +\end{table} \subsection{Differentialgleichungen} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.m b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.m new file mode 100644 index 0000000..854c07c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.m @@ -0,0 +1,13 @@ +format long + +s = sqrt(2)/2 +c = sqrt(2)/2 + +s2 = sqrt(1/2-c/2) +c2 = sqrt(1/2+c/2) + +s4 = sqrt(1/2-c2/2) +c4 = sqrt(1/2+c2/2) + +s8 = sqrt(1/2-c4/2) +c8 = sqrt(1/2+c4/2) diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.tex new file mode 100644 index 0000000..0277751 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +Berechnen Sie $\sin\alpha$ und $\cos\alpha$ für den Winkel +$\alpha=5\nicefrac{5}{8}^\circ$ exakt. + +\begin{loesung} +Der Winkel $\alpha=5\nicefrac{5}{8}^\circ$ ist +$\alpha=\bigl(\frac{45}{8}\bigr)^\circ$, also ein Sechzehntel eines rechten +Winkels. +Den Wert von $\sin\alpha$ und $\cos\alpha$ erhält man also, indem +man dreimal die Halbwinkelformeln +\begin{align*} +\sin\frac{\alpha}2 +&= +\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} +& +\cos\frac{\alpha}2 +&= +\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} +\intertext{auf $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=1/\sqrt{2}$ anwendet:} +\sin\biggl(\frac{45}2\biggr)^\circ +&= +\sqrt{\frac{2-\sqrt{2\mathstrut}}{4}} +& +\cos\biggl(\frac{45}2\biggr)^\circ +&= +\sqrt{\frac{2+\sqrt{2\mathstrut}}{4}} +\\ +&= +0.382683432365090 +& +&= +0.923879532511287 +\\ +\intertext{auf $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=1/\sqrt{2}$ anwendet:} +\sin\biggl(\frac{45}4\biggr)^\circ +&= +\sqrt{\frac12-\frac12 +\sqrt{\frac{2+\sqrt{2\mathstrut}}{4}} +} +& +\cos\biggl(\frac{45}4\biggr)^\circ +&= +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{2+\sqrt{2\mathstrut}}{4}} +} +\\ +&= 0.195090322016128 +& +&= 0.980785280403230 +\\ +\sin\biggl(\frac{45}8\biggr)^\circ +&= +\sqrt{\frac12-\frac12 +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{2+\sqrt{2\mathstrut}}{4}} +} +} +& +\cos\biggl(\frac{45}8\biggr)^\circ +&= +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac12+\frac12 +\sqrt{\frac{2+\sqrt{2\mathstrut}}{4}} +} +} +\\ +&= 0.098017140329560 +& +&= 0.995184726672197 +\qedhere +\end{align*} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index b67a9f8..c5a9447 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -174,6 +174,9 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. Funktionen} XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ + + + \subsubsection{Umfang einer Ellipse} \begin{figure} \centering |