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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..a18684f --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +% +% tschebyscheff_beispiel.tex +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit +\begin{align*} + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ + q(x) &= 0 +\end{align*}. +Da die Sturm-Liouville-Gleichung +\begin{equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} + \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 +\end{equation} +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +\begin{equation} + T_n(x) = \cos n (\arccos x) +\end{equation}. +Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: +\begin{equation} + T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ + (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. +\end{equation}, +jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$. + +Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man +\begin{equation} +\begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0 +\end{aligned} +\end{equation}. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. +Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Somit erhält man +\begin{equation} + \begin{aligned} + k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0 +\end{aligned} +\end{equation}. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. + + + + + + + + + + + + |