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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index d8e2112..cef276b 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -23,14 +23,14 @@ \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. -Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen -zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. +Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann. Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind. Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem -dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogonalität der Lösungsfunktionen geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen @@ -44,16 +44,17 @@ Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass \langle Av, w \rangle = \langle v, Aw \rangle + \qquad + v, w \in \mathbb{R}^n \] -für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist. +erfüllt ist. Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix selbstadjungiert ist. Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} -für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. - -Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist. -In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des +für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. Dieser sagt nun aus, dass die +Matrix $A$ diagonalisierbar ist. +In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des Eigenwertproblems \[ A v_i @@ -104,13 +105,15 @@ $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \] gilt. Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits -gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems -sicher gestellt. - -Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu -schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter ''kompakter Operator'' sein. -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird -im Weiteren nicht näher diskutiert. +gezeigt, ist dies durch die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des +Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt. + +Um nun über den Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} auf die +Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu schliessen, muss der Operator $L$ ein +sogenannter ''kompakter Operator'' sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$ +gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert. Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine |