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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index cef276b..8616172 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -116,90 +116,5 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$ gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert. Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die -Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -\iffalse - -\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen -%\label{sturmliouville:section:solution-properties} -} -\rhead{Eigenschaften von Lösungen} - -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines -Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften -zustande kommen. - -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in -Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet -wurde, noch etwas genauer angeschaut. -Es wird also im Folgenden -\[ - L_0 - = - -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} -\] -zusammen mit den Randbedingungen -\[ - \begin{aligned} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 - \end{aligned} -\] -verwendet. -Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits -gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ -selbsadjungiert zu machen. -Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies -für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. - -\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} - -Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in -den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. - -Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix -diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. - -Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu -zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass -\[ - \langle Av, w \rangle - = - \langle v, Aw \rangle -\] -für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt. -Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden. -Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt. - -Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. -Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das -Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist. -Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des -Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den -Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden. -Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen, -also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -falls er selbstadjungiert ist. - -\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} - -Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine -Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. -Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen -des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des -Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. - -Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und -erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen -des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die -Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist. - -\fi diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4701b8a..2299c3c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -5,16 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% order: -% 1. State goal of showing examples in intro -% 2. Show Sturm-Liouville form -% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples -% (make singular property brief) -% -% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions -% Check for readability - \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen @@ -22,14 +12,10 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt. -Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen -Differentialgleichungen. -Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung. -Wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. +Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. +Handelt es sich um eine partielle +Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in +mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -45,15 +31,16 @@ als = 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung -bezeichnet. +geschrieben werden kann, dann wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als +Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -78,9 +65,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Abschnitt diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" @@ -105,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres -Sturm-Liouville-Problem. +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um +ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -131,6 +118,7 @@ Sturm-Liouville-Problem. \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere -Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung -eindeutig ist. +Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren. +Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen +nicht mehr nur aus Eigenvektoren. + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 99a043d..887e085 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,10 +9,6 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -% -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem -% -> Eigenschaften der Lösungen -% -> Beispiele erwähnen - In diesem Kapitel wird zunächst nochmals ein Überblick über das Sturm-Liouville-Problem und dessen Randbedingungen gegeben. Dann wird ein Zusammenhang zwischen reellen symmetrischen Matrizen und diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index b247441..5fb3a0c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -8,6 +8,14 @@ \subsection{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} +In diesem Unterkapitel wird anhand der +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden. +Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine +kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. + \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: @@ -35,8 +43,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ + k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome @@ -46,17 +54,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, -die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. +Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{regulär oder singulär?} +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -74,19 +81,27 @@ Die Funktion p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. - +Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +die Bedingungen erfüllen. +Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} - Die Gleichung + In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion + illustriert. + Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. \] - - mit - $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ - ergibt + mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. + Eigesetzt ergibt dies \[ - \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \begin{aligned} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= + \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + &= 0. + \end{aligned} \] + Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind. + Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden. \end{beispiel} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 2104645..0ef1072 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -9,11 +9,12 @@ \rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab -betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses -physikalischen Phänomenes auftritt. +betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung +dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet, dessen initiale Wärmeverteilung durch $u(t=0, x)$ gegeben ist. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} @@ -58,7 +59,7 @@ als Randbedingungen. Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. -Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$. +Die einzige Einschränkung liefert die initiale Wärmeverteilung $u(0, x)$. Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. @@ -144,6 +145,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. + Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} @@ -162,7 +164,7 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die +Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der @@ -186,8 +188,8 @@ reguläres Sturm-Liouville-Problem. Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} -in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man -erhält +des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} +eigesetzt und man erhält \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -203,7 +205,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem -handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind. +handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit isolierten Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} @@ -285,14 +287,15 @@ Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. -Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im -allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im +allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. Es werden nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. + Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. Dies fürht zu \[ @@ -315,7 +318,6 @@ sich B \sin(\beta l) = 0. \] - $\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt. Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ @@ -335,11 +337,11 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. -Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst +Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzt man nun die +Setzt man die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} -in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich +in $X^{\prime}$ ein, beginnend mit $x = 0$, ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = @@ -358,7 +360,7 @@ folgt nun = 0. \] -Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Wiederum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ @@ -385,7 +387,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden \subsubsection{Fourierreihe als Lösung} Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun -wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell +wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell unendlich viele Lösungen gibt. Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen Koeffizienten für jede Lösungsfunktion. @@ -399,15 +401,15 @@ Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination \] aus allen möglichen Lösungen um. -Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen, -da +Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen. +Da \[ \begin{aligned} a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\ b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0 \end{aligned} \] -gilt endet man somit bei +gilt, endet man somit bei \[ X(x) = @@ -483,13 +485,13 @@ gebildet: Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze -Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. +Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und ungerade $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ -gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: +gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \[ \begin{aligned} \hat{u}_c(0, x) @@ -511,21 +513,22 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \] Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale -um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt +um den Faktor zwei skalliert wurde. +Es gilt also \[ -\begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - &= + = 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - \\ +\] +und +\[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - &= + = 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. -\end{aligned} \] -Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} -berechnet: +Als nächstes wird nun das +Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} berechnet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -574,13 +577,15 @@ orthogonal zueinander stehen und \] da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind. -Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu +Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu \[ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx = a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx \] -vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite +vereinfacht. + +Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \[ |