diff options
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diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc index 191bad6..a9ef74a 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -9,4 +9,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/090-pde/separation.tex \ chapters/090-pde/rechteck.tex \ chapters/090-pde/kreis.tex \ + chapters/090-pde/kugel.tex \ chapters/090-pde/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex index 543a92d..db909ee 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex @@ -19,6 +19,7 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind. \input{chapters/090-pde/separation.tex} \input{chapters/090-pde/rechteck.tex} \input{chapters/090-pde/kreis.tex} +\input{chapters/090-pde/kugel.tex} %\section*{Übungsaufgaben} %\rhead{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/090-pde/images/Makefile b/buch/chapters/090-pde/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..9ae1a36 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/images/Makefile @@ -0,0 +1,7 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +rechteck.pdf: rechteck.tex + pdflatex rechteck.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/images/rechteck.pdf b/buch/chapters/090-pde/images/rechteck.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..12a1672 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/images/rechteck.pdf diff --git a/buch/chapters/090-pde/images/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/images/rechteck.tex new file mode 100644 index 0000000..e7ba3c7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/images/rechteck.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +% +% rechteck.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\a{12} +\def\b{8} + +\def\k{9} +\pgfmathparse{\k-1} +\xdef\kmax{\pgfmathresult} +\def\l{4} +\pgfmathparse{\l-1} +\xdef\lmax{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\a/\k} +\xdef\dx{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\b/\l} +\xdef\dy{\pgfmathresult} + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle (\a,\b); +\fill[color=red!20] (0,0) rectangle (\a,\b); + +\foreach \kl in {0,2,...,\lmax}{ + \foreach \ki in {0,2,...,\kmax}{ + \fill[color=blue!20] + ({\ki*\dx},{\kl*\dy}) rectangle + ({(\ki+1)*\dx},{(\kl+1)*\dy}); + } +} + +\foreach \kl in {1,3,...,\lmax}{ + \foreach \ki in {1,3,...,\kmax}{ + \fill[color=blue!20] + ({\ki*\dx},{\kl*\dy}) rectangle + ({(\ki+1)*\dx},{(\kl+1)*\dy}); + } +} + +\end{scope} + +\draw (0,0) rectangle (\a,\b); + +\foreach \ki in {1,...,\kmax}{ + \draw[line width=0.2pt] ({\ki*\dx},0) -- ({\ki*\dx},\b); +} +\foreach \li in {1,...,\lmax}{ + \draw[line width=0.2pt] (0,{\li*\dy}) -- (\a,{\li*\dy}); +} + +\draw (\a,-0.1) -- (\a,0.1); +\draw ({\a/\k},-0.1) -- ({\a/\k},0.1); +\node at (\a,0) [below] {$\mathstrut a$}; +\node at ({\a/\k},0) [below] {$\mathstrut a/k$}; +\draw (-0.1,\b) -- (0.1,\b); +\draw (-0.1,{\b/\l}) -- (0.1,{\b/\l}); +\node at (0,\b) [left] {$\mathstrut b$}; +\node at (0,{\b/\l}) [left] {$\mathstrut b/l$}; + +\draw[->] (-0.1,0) -- ({\a+0.7},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,{\b+0.7}) coordinate[label={right:$y$}]; + +\node at ({\a/2},\b) [above] {$k=\k$}; +\node at (\a,{\b/2}) [above,rotate=-90] {$l=\l$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex new file mode 100644 index 0000000..0e3524f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +% +% kugel.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Kugelfunktionen +\label{buch:pde:section:kugel}} + diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex index 944fbf1..72e2806 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex @@ -5,3 +5,193 @@ % \section{Rechteckige Membran \label{buch:pde:section:rechteck}} +Als Beispiel für die Lösung des in +Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem} +aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems +mit Hilfe von Separation betrachten wir ein rechteckiges Gebiet. + +\subsection{Differentialgleichung und Randbedingungen} +Wir betrachten das Gebiet +\[ +G += +(0,a) \times (0,b) += +\{ (x,y) \mid 0< x <a\wedge 0<y<b\}. +\] +Gesucht ist eine Lösung des Eigenwertproblems +\begin{equation} +\Delta U = -\lambda^2 U +\label{buch:pde:rechteck:eqn:dgl} +\end{equation} +auf $G$ mit den homogenen Randbedingungen +\[ +\left. +\begin{aligned} +U(0,y) &= 0\\ +U(a,y) &= 0 +\end{aligned} +\; +\right\} +\forall y \in (0,b) +\qquad +\text{und} +\qquad +\left. +\begin{aligned} +U(x,0) &= 0\\ +U(x,b) &= 0 +\end{aligned} +\; +\right\} +\forall x \in (0,a). +\] +Dieses Gebiet lässt sich bestens in kartesischen Koordinaten +beschreiben, so dass wir auch den Laplace-Operator in den +gleichen Koordinaten ansetzen können. +Wir verwenden also im folgenden +\[ +\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}. +\] + + +\subsection{Separation} +Wir setzen die Lösung als Produkt von Funktionen, die nur von einer +der Variablen abhängen, nämlich +\[ +U(x,y) += +X(x) \cdot Y(y). +\] +Durch Einsetzen in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:rechteck:eqn:dgl} +erhalten wir +\[ +X''(x) \cdot Y(y) + X(x)\cdot Y''(y) = -\lambda^2 X(x)\cdot Y(y). +\] +Nach Division durch $X(x)\cdot Y(y)$ können wir separieren in +\[ +\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2 - \frac{Y''(y)}{Y(y)}. +\] +Da wir Schwingungslösungen erwarten, schreiben wir die Lösungen +in der Form $-\mu^2$. +So erhalten wir die beiden Differentialgleichungen +\[ +\begin{aligned} +X''(x) &= -\mu^2 X(x)&&x\in (0,a) +\\ +Y''(y) &= (-\lambda^2-\mu^2) Y(y)&& y\in(0,b) +\end{aligned} +\] + +Die Funktionen $X(x)$ und $Y(y)$ müssen homogene Randbedingungen +erfüllen, also +\[ +\begin{aligned} +X(0) &= 0\\ +X(a) &= 0 +\end{aligned} +\qquad\text{und}\qquad +\begin{aligned} +Y(0) &= 0\\ +Y(b) &= 0 +\end{aligned} +\] + +\subsection{Lösung der Differentialgleichungen} +Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $X''(x) = -\mu^2 X(x)$ +ist eine Funktion der Form +\[ +X(x) = A\cos\mu x + B\sin\mu x. +\] +Die Randbedingung für $x=0$ ist +\[ +X(0) = A = 0 +\] +bedeutet, dass nur der Sinus-Term verwendet werden muss. +Die Randbedingung am rechten Rand wird dann +\[ +X(a) = B\sin\mu a. +\] +Da $B$ nicht auch verschwinden kann, muss $\sin\mu a=0$ sein. +Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind alle ganzzahligen Vielfachen +\[ +\mu a = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z} +\Rightarrow +\mu = \frac{k\pi}{a}\qquad k\in\mathbb{Z}. +\] +Die negativen $k$ geben die gleichen Lösungsfunktionen wie die positiven +$k$, man kann sich daher auf die positiven $k$ beschränken. +Die Lösungen sind daher +\[ +X_k(x) = \sin \frac{k\pi}{a}x. +\] + +Für die Gleichung $Y''(y)=(-\lambda^2 +\mu^2)Y(y)$ folgt auf ganz analoge +Weise, dass ihre Lösungen die Form +\[ +Y_l(y) += +\sin \frac{k\pi}{b}y. +\] + +Aus $X_k(x)$ und $Y_l(y)$ können jetzt die Lösungen +\begin{equation} +U_{kl}(x,y) = \sin \frac{k\pi}{a} x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y +\label{buch:pde:rechteck:eqn:ukl} +\end{equation} +zusammengesetzt werden, die homogene Randbedingungen entlang +des ganzen Randes des Rechtecks erfüllen. + +Die Funktionen $X_k(x)$ hat weitere Nullstellen für $x$-Werte, für +die $k\pi x/a$ ein ganzzahliges Vielfaches von $k$ ist, also wenn +\[ +\frac{kx}{a} += +\frac{x}{a/k} +\] +eine ganze Zahl ist. +Dies tritt ein, wenn $x$ ein ganzzahliges Vielfaches von $a/k$ ist. +Ebenso hat die Funktion $Y_l(y)$ Nullstellen, wenn $y$ ein ganzzahliges +Vielfaches von $b/l$ ist. +Die Funktion $U_{kl}(x,y)$ verschwindet daher auf allen Geraden +parallel zur $y$-Achse an $x$-Koordinaten, die Vielfache von $a/k$ sind +und auf allen Geraden parallel zur $x$-Achse an $y$-Koordinaten, die +Vielfache von $b/l$ sind. + +\subsection{Eigenfrequenzen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/090-pde/images/rechteck.pdf} +\caption{Vorzeichen und Knotenlinie der Eigenfunktion +$U_{kl}(x,y)$ des Laplace-Operators auf dem Rechteck $(0,a)\times (0,b)$. +In den blauen Rechtecken gilt $U_{kl}(x,y)>0$ in den roten gilt +$U_{kl}(x,y)<0$. +die vertikalen und horizontalen schwarzen Linien sind Knotenlinien +der Eigenfunktion, ihre $x$-Koordinaten sind Vielfache von $a/k$, +die $y$-Koordinaten sind Vielfache von $b/l$. +\label{buch:pde:rechteck:fig:knoten}} +\end{figure} +Die Lösungen $U_{kl}(x,y)$ aus \eqref{buch:pde:rechteck:eqn:ukl} +sind Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung +$\Delta U=-\lambda^2 U$. +Durch Einsetzen lassen sich jetzt auch die Eigenwerte bestimmen: +\begin{align*} +\Delta U_{kl}(x,y) +&= +-\frac{k^2\pi^2}{a^2} \sin\frac{k\pi}{a}x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y +-\frac{l^2\pi^2}{b^2} \sin\frac{k\pi}{a}x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y += +-\biggl(\frac{k^2\pi^2}{a^2}+\frac{l^2\pi^2}{b^2}\biggr) U_{kl}(x,y) +\end{align*} +Die Eigenfrequenzen einer rechtecking schwingenden Membran sind also +\[ +\lambda += +\sqrt{ +\frac{k^2\pi^2}{a^2}+\frac{l^2\pi^2}{b^2} +}. +\] +Die Vorzeichen und die Knotenlinien der $U_{kl}(x,y)$ des +Eigenwertproblems ist in Abbildung~\ref{buch:pde:rechteck:fig:knoten} +dargestellt. diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex index 81195d3..6faceaa 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/separation.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex @@ -225,7 +225,8 @@ umzuwandeln. % % Eigenwertprobleme % -\subsection{Eigenwertproblem} +\subsection{Eigenwertproblem +\label{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}} Viele partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik sind zeitabhängig, aber das räumliche Gebiet, in dem sie definiert sind, ist nicht von der Zeit abhängig. diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex index 51134ba..e141255 100644 --- a/buch/chapters/part1.tex +++ b/buch/chapters/part1.tex @@ -21,7 +21,6 @@ \input{chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex} \input{chapters/090-pde/chapter.tex} % Gamma und Pi -% Eulersche Beta-Funktion % Spezielle Funktionenfamilien %\input{chapters/100-kombinatorisch/chapter.tex} |